Kanonische Primfaktorzerlegung

Kanonische Primfaktorzerlegung
kann auf eindeutige Weise in der
Jede natürliche Zahl
Form
und
Primzahlen sind.
für
,
geschrieben werden, wobei
Dies ist die kanonische Primfaktorzerlegung von .
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.1/48
ggT und kgV
besitzen
und
einen größten gemeinsamen Teiler ggT
ein kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV
und
Je zwei natürliche Zahlen
.
Zur Bestimmung des ggT kann man den Algorithmus der
Wechselwegnahme benutzen:
while
do
begin
if
then
if
then
end
output(‘‘ggT =’’, m).
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.2/48
div
, so ist
und ganze Zahlen,
die kleinste ganze Zahl, die größer oder
Analog ist
gleich ist.
Sind
die größte ganze
Ist eine reelle Zahl, dann bezeichnet
Zahl, die kleiner oder gleich ist.
Gauss–Klammer
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.3/48
eine natürliche
Ist eine beliebige ganze Zahl und ist
Zahl, dann ist
In jedem Falle gilt
.
und
Beispielsweise ist
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.4/48
Rechnen modulo
Wenn man umfangreiche Rechnungen modulo
auszuführen hat, dann ist die Homomorphieregel
außerordentlich hilfreich. Sie besagt, dass man auch
Zwischenergebnisse modulo rechnen darf, ohne dass
sich das Endergebnis ändert. Formal besagt sie, dass für
stets folgendes gilt:
ganze Zahlen
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.5/48
Der ständige Zusatz „
“ wird rasch lästig und gern
weggelassen. Um Missverständnisse zu vermeiden, kann
man ihn am Ende der Rechnung in Klammern angeben und
die Gleichheitszeichen durch ersetzen, wie im folgenden
Beispiel:
schreibt man oft auch
Statt
und liest dies etwas altertümlich aber einprägsam als
ist kongruent zu modulo .
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.6/48
Ein Satz von J.P.Fermat
Eine Primzahl ist genau dann nicht als Summe
zweier Quadrate ganzer Zahlen darstellbar, wenn
kongruent zu 3 modulo 4 ist.
Solche Ergebnisse der elementaren Zahlentheorie haben in
den letzten Jahren für die Kryptologie an Bedeutung
gewonnen.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.7/48
Rechnen modulo 5
Die Verknüpfungstafeln für die Rechenarten modulo 5.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.8/48
Operationen auf einer Menge
Grundsätzlich hat man nahezu unbegrenzte Freiheiten, sich
neue Rechenstrukturen zu verschaffen: Man wählt sich
eine Trägermenge und definiert darauf Operationen,
beispielsweise indem man willkürlich Verknüpfungstafeln
hinschreibt.
Operation und Verknüpfung bedeuten in diesem
Zusammenhang dasselbe. Eine -stellige Operation auf
einer Trägermenge nimmt als Input eine Folge von
Elementen aus und gibt ein Element von als Output
zurück.
ist also eine Abbildung
Eine -stellige Operation auf
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.9/48
falls
der Spieler, der aussetzt,
wenn gegen spielt
falls
Tischtennisturniermultiplikation
,
.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.10/48
Tischtennisturniermultiplikationstafel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.11/48
Regeln (1) für das Rechnen modulo
Die Addition
ist assoziativ: es gilt
für alle
,
ist kommutativ: es gilt
für alle
,
ist kürzbar: aus
folgt stets
. Das ist
wichtig, wenn man Gleichungen lösen will.
hat als neutrales Element:
gilt
für alle .
hat inverse Elemente: Zu jedem ist
ein Element mit
. Daraus folgt
übrigens die Kürzbarkeit.
ist eine abelsche Gruppe.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.12/48
Regeln (2) für das Rechnen modulo
,
ist assoziativ: es gilt
für alle
ist kommutativ: es gilt
für alle
,
hat als neutrales Element:
gilt für
alle .
ist über der Addition distributiv:
gilt für alle
(Leseregel: „Punktrechnung vor
Strichrechnung“).
die Multiplikation
ist ein
kommutativer Ring mit Eins.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.13/48
Ein anderer Zugang zu
definiert man die
Für Zahlenmengen
Komplexaddition durch
Entsprechend kann man eine Komplexsubtraktion und
eine Komplexmultiplikation einführen.
So kommt man (wenn man noch Klammern einspart) für
natürliche Zahlen und zu
der Restklasse zum Rest modulo . Diese Menge
enthält genau diejenigen ganzen Zahlen, die bei der
ganzzahligen Division durch den Rest ergeben.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.14/48
Restklassenringe
Man überzeugt sich, dass bei festem
die
Komplexaddition,
Komplexsubtraktion und
Komplexmultiplikation
von Restklassen als Ergebnisse immer Restklassen liefern.
Die Restklassen modulo bilden einen kommutativen Ring
mit Eins, den Restklassenring der ganzen Zahlen modulo
.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.15/48
Rechnen mit Repräsentanten
enthält genau eine der Zahlen
Jede Restklasse modulo
.
Deshalb rechnet man nicht wirklich mit den Restklassen,
sondern mit ihren Repräsentanten aus .
Das entspricht genau der oben eingeführten Rechenweise
modulo .
Der Restklassenring modulo ist also isomorph zum Ring
der ganzen Zahlen modulo .
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.16/48
Rechnen modulo 2
Der für die Informatik wichtigste Fall ist natürlich . In
diesem Fall stimmen Addition und Subtraktion überein. Die
beiden Restklassen sind die Menge der geraden und die
der ungeraden Zahlen.
Das Rechnen modulo 2.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.17/48
Dividieren modulo ?
Eine Division modulo kann man nicht ohne erhebliche
Einschränkungen erfinden.
Das zeigt ein einfaches Beispiel: das Rechnen modulo 6.
Wenn es möglich wäre, eine Division durch 2 modulo 6 zu
erfinden, dann sollte doch jedenfalls 2 geteilt durch 2 das
Ergebnis 1 und 0 geteilt durch 2 das Ergebnis Null liefern.
Daraus erhält man die widersprüchliche Gleichung
So geht es also nicht!
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.18/48
Nullteiler
und
ist diese Bedingung für
Im Ring
2 ist also ein Nullteiler in .
Man kann dieses Beispiel verallgemeinern.
(in einem Ring) einen
Man nennt eine Zahl
mit
gibt.
Nullteiler, wenn es eine Zahl
erfüllt:
Die Argumentation der vorigen Seite zeigt:
eine Division durch Nullteiler
kann nicht sinnvoll definiert werden.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.19/48
Einheiten
in einem Ring ist eine Einheit, wenn es eine
gibt.
Eine Zahl
Zahl mit
Durch Einheiten kann man „dividieren“, denn verhält sich
ja wie ein Kehrwert zu .
Man sagt, sei multiplikativ invers zu .
Man dividiert durch , indem man mit multipliziert.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.20/48
Mittelwert mod 5
modulo 5 dasselbe
ist
denn wegen
.
wie
Auf diese Weise können wir z.B. einen „Mittelwert modulo
5“ definieren, nämlich die Operation
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.21/48
Tischtennis mod 5
modulo 5 dasselbe
ist
denn wegen
.
wie
Auf diese Weise können wir z.B. einen „Mittelwert modulo
5“ definieren, nämlich die Operation
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.22/48
Welche Zahlen sind Einheiten mod ?
Durch Einheiten kann man dividieren, durch Nullteiler nicht.
Es bleibt die Frage, wie man Einheiten und Nullteiler
erkennt.
ist das einfach:
Modulo
ist genau dann eine
Hilfssatz 1 Eine Zahl
Einheit modulo , wenn zu teilerfremd ist.
Ist keine Einheit, dann ist ein Nullteiler.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.23/48
Eulersche -Funktion
folgendermaßen
ggT
Die Eulersche -Funktion ist für
definiert:
gibt also auch die Anzahl der Einheiten in
gibt also die Anzahl der zu teilerfremden natürlichen
Zahlen an, die kleiner als sind.
an.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.24/48
Eine Formel für
Satz 1 Ist
, deshalb
Beispiel:
die kanonische Primfaktorzerlegung von , dann gilt
.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.25/48
Eine Menge
Zahlen und .
, bestehend aus natürlichen
falls
sonst.
WN
Output:
Input:
Funktion Wegnahme
Es wird also die größere der beiden Zahlen ersetzt durch
die positive Differenz der beiden Zahlen. Das Ergebnis ist
eine zwei- oder einelementige Menge.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.26/48
Eigenschaften der Funktion Wegnahme
mit
dann gibt es ganze Zahlen
WN
1. Ist
und ist ein gemeinsamer
, dann ist auch ein Teiler von und
WN
und
2. Ist
Teiler von
von .
und
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.27/48
Wechselwegnahme
Algorithmus Wechselwegnahme.
WN
O UTPUT:
.
Input: Natürliche Zahlen
WHILE
do
;
.
Weil bei jedem WHILE-Schritt die größere der beiden Zahlen
verkleinert wird, terminiert dieser Algorithmus offenbar,
d.h., er kommt zu einem Ergebnis.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.28/48
Beispiel zur Wechselwegnahme
Input: 154 238
also: 154
84
also:
84
70
also:
70
14
also:
56
14
also:
42
14
also:
28
14
also:
14
14
stop.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.29/48
ggT-Berechnung
mit
,
und .
teilt
2.
1. Es gibt ganze Zahlen
Hilfssatz 2 Der Algorithmus Wechselwegnahme berechnet
den größten gemeisamen Teiler (ggT).
Beweis Sei das Ergebnis einer Ausführung des
. Wendet man die
Algorithmus bei dem Input
Beobachtungen 1) und 2) induktiv an, so erhält man:
Das zweite zeigt, dass ein gemeinsamer Teiler von und
ist, und aus dem ersten folgt, dass jeder gemeinsame
Teiler von und auch ein Teiler von ist. Deshalb muss
der größte gemeinsame Teiler von und sein.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.30/48
Beobachtung
ggT
Eine Erkenntnis aus dem Beweis wollen wir als Satz
festhalten, weil sie oft sehr nützlich ist:
existieren ganze
Satz 2 Zu je zwei ganzen Zahlen
mit
Zahlen
Diese Zahlen
kann man durch „Rückwärtseinsetzen“
beim Algorithmus „Wechselwegnahme“ leicht bestimmen.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.31/48
Beschleunigung der ggT-Berechnung
Am Beispiel erkennt man eine Möglichkeit, den Algorithmus
zu beschleunigen: die letzten vier Schritte kann man zu
einem einzigen zusammenfassen.
Funktion Mehrfachwegnahme.
Input: Natürliche Zahlen und mit
.
.
Output: MW
Es wird also die größere der beiden Zahlen ersetzt durch
ihren Rest modulo der anderen.
mit
Input: Ganze Zahlen
WHILE
do
MW
;
Output: .
Algorithmus (Euklidischer Algorithmus).
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.32/48
. . . berechnet den ggT
Der Euklidische Algorithmus führt offenbar zum gleichen
Ergebnis wie die Wechselwegnahme. Wir haben also:
Satz 3 Der Euklidische Algorithmus berechnet den ggT.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.33/48
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.34/48
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.35/48
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.36/48
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.37/48
ggT
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.38/48
ggT
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.39/48
ggT
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.40/48
ggT
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.41/48
ggT
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.42/48
ggT
ggT
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.43/48
ggT
ggT
ggT
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.44/48
ggT
ggT
ggT
ggT
Beispiel
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.45/48
Beweis des Hilfssatzes über die Einheiten
Wenn zu teilerfremd ist, dann gibt es nach dem
Satz Zahlen und mit
Beweis
und folglich
woraus
folgt.
ist dann multiplikativ invers zu in .
, dann ist
eine ganze Zahl in ,
Ist
die von Null verschieden ist. Aber
ist dann ein
, d.h. ist ein
Vielfaches von und folglich
Nullteiler oder gleich 0.
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.46/48
Inversenberechnung
Aufgabe: Bestimme die Lösung der Gleichung
Lösungsweg:
3. Multiplikativ invers zu 13 is dann
mit
und
2. Berechne Zahlen
1. Zeige mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus, dass
gilt.
ggT
.
.
4. Die (einzige) Lösung der Aufgabe ist daher
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.47/48
Wenn eine Primzahl ist, dann ist jede Zahl in
teilerfremd zu .
GF
Wenn eine Primzahl ist, dann gibt es modulo keine
(außer Null)
Nullteiler. Man kann durch alle Zahlen von
modulo dividieren.
,
prim, ist ein Körper!
Er wird auch mit dem Symbol GF
(“Galois-Field”).
Der Ring
abgekürzt
Mathematik I für Informatiker – Zahlen – p.48/48