Grundprinzipien der Mechatronik Prof. Dr.

Grundprinzipien der Mechatronik
Einleitung
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
nik
Mecha tron ik
Informat
Interdiziplinäres Gebiet, bei dem
folgende Diziplinen zusammenarbeiten:
• Mechanisches System
(Maschinenbau, Feinwerktechnik,
Apparatebau)
• Elektronisches System
(Mikoelektronik, Leistungselektronik, Meßtechnik, Aktorik)
• Informationstechnik
(Systemtheorie, Automatisierungstechnik, Softwaregestaltung, künstliche Intelligenz)
Definition des Begriffes Mechatronik
Grundprinzipien der
Mechatronik
Einleitung
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Ein typisches mechatronisches System
nimmt Signale auf, verarbeitet sie und
gibt Signale aus, die es z. B. in Kräfte
und Bewegungen umsetzt.
Mechatronisches System
Einleitung
Grundprinzipien der Mechatronik
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Bedeutung der Fachdiziplin im industriellen Einsatz:
• Mechatronik ist die Anwendung der Mikroelektronik im Maschinenbau.
• Der Mikroprozessor wird
wie ein neues Maschinenelement in die Konstruktion integriert.
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Einleitung
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Erklärung als Verschmelzung
verschiedener Fachdiziplinen:
Elektronische
Systeme
Mikroelektronik
Leistungselektronik
Sensorik
Aktorik
Mechanische
Systeme
Informationstechnik
Systemtheorie
Modellbildung
Automatisierungstechnik
Software-Technik
Künstliche
Intelligenz
Maschinenbau
Feinwerktechnik
Apparatebau
Einleitung
Grundprinzipien der Mechatronik
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Was tut ein MechatronikIngenieur ?
Er arbeitet an der Schnittstelle der Fachdiziplinen
Maschinenbau, Elektrotechnik und Computertechnik .
Einleitung
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Entwicklungszyklus ohne Mechatronik
MaschinenbauMaschinenbauentwicklung
entwicklung
ProduktProduktdefinition
definition
Optimierung
ElektrotechnikElektrotechnikentwicklung
entwicklung
Optimierung
elektromechanisches
Produkt
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Mechatronik-Entwicklungszyklus
ProduktProduktdefinition
definition
gemeinsame
Entwicklung
von MB und ET
Optimierung
mechatronisches
Produkt
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Welche
Bedeutung hat
die Mechatronik
für das
Mäusefangen?
Einleitung
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Einfaches mechanisches System Mausefalle
Einleitung
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Mechatronische Mausefalle
Einleitung
Grundprinzipien der Mechatronik
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Mechanische Mausefalle zum „Lebendfangen“
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Mechatronische Mausefalle zum „Lebendfangen“
Einleitung
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Definition eines mechatronischen Systems
aufgrund seiner Funktionalitäten
Die drei Funktionen
„Wahrnehmen“, „Erkennen“
und „Ausführen“ sind nicht
an bestimmte Baugruppen
des Systems gebunden.
Einleitung
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Einfaches mechatronisches System gebaut aus dem
LEGO-MINDSTORM-System
Aktor (Motor)
Digitalrechner
Getriebe
Kipper
(führt Bewegung
aus)
Sensor (Lichttaster)
Raupenketten
(führen zusätzliche
Bewegung aus)
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Anschluß
Anschluß des
des Sensors
Sensors
Motor
Eingänge
Display
Getriebe
Motorwelle
Ausgänge
Anschluß
Anschluß des
des
Aktors
Aktors
Mikrorechner mit Meßwertaufnahme und Leistungsteil des
LEGO-Mindstorm-Systems
Antriebssystem des
Kippers
Sensor (Lichttaster)
Was macht dieses elektromechanische System zum
mechatronischen System?
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???????
???????
???????
???????
Sensoren
Sensoren
???????
???????
???????
???????
Meßwerte
Physikalische
Größen
Mechanische
Struktur
Meßwertverarbeitung
Digitalrechner
Leistungsteil
Stellgrößen
!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!
Aktoren
Aktoren
!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!
Getriebe
Getriebe
und
und
Führungen
Führungen
Außenwelt
Außenwelt
Einleitung
Grundprinzipien der Mechatronik
Einleitung
Kipper führt Bewegung aus, wenn
Lichtsensor Objekt wahrnimmt:
Rein reaktives Verhalten ohne
Intelligenz!
Kein Unterschied im Verhalten bei
unterschiedlichen Reizen.
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Grundprinzipien der Mechatronik
Einleitung
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Logischer Zusammenhang
Ursache
Ursache
Wirkung
Wirkung
Beziehung
Beziehung
wenn
wennObjekt
Objekt
dann
dannBewegung
Bewegung
Technische Realisierung
Betätigung
Sensor
Sensor
Aktor
Aktor
Schalter
Hilfsenergie
Einleitung
System zeigt unterschiedliches
Verhalten bei unterschiedlichen
Reizen:
Zielorientiertes Verhalten durch
Erkennen unterschiedlicher Objekte!
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Mechatronisches System
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Einleitung
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Logischer Zusammenhang
Sensor
einlesen
Farbe
Rot?
ja
Kipper
betätigen
nein
Farbe
Blau?
ja
vorwärts
fahren
nein
Es besteht ein komplexerer
Zusammenhang zwischen aufgenommenen Informationen
und dem jeweiligen Verhalten
des Systems:
Intelligentes Verhalten, nicht
nur reaktiv!
Technische Realisierung
Erzeugung der logischen
Entscheidungen am
einfachsten mit Hilfe eines
Mikrorechners
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Einleitung
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Sensor mißt
Verzögerung
Meßwert
Mikroprozessor
prüft Fahrzustand
Auslösesignal
Gasgenerator
bläst Airbag auf
Regelung mechatronischer Systeme
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vU
Radschlupf
Rad
vR
s=
v R − vU
vR
Straße
Rad blockiert: Æ vU = 0
Æ s=1
Rad rollt ab: Æ vU = vR
Æ s=0
Abhängigkeit der Haftreibzahl vom Radschlupf und vom Straßenzustand
Regelung mechatronischer Systeme
vR
vU
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a1...4 : Schwellwerte für Radbeschleunigung
4
3
1
2
elektro-hydraulisches Servoventil
ABS-Regelalgorithmus
Einleitung
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Hierarchie der an einer Problemlösung beteiligten Fachdisziplinen
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Einleitung
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Werkzeug
Spannfutter Vorschub
Zustellung
Werkstück
Drehmaschine
Hauptbewegung
Reitstockspitze
A
h
χ
b
f
Drehmaschine und Drehbearbeitung
f: Vorschub
h:Spanungsdicke
a: Schnitttiefe
b: Spanungsbreite
a A: Spanungsquerschnitt
χ: Einstellwinkel
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Einleitung
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Schnittgeschwindigkeit vc
Spannungsquerschnitt A = h • b = a • f
Vorschubgeschwindigkeit vf
Ff
Fr
Fc
Hauptschnittkraft Fc = kc • A
kc: spezifische Schnittkraft
Kräfte und Bewegungen beim Drehen
Fc: Hauptschnittkraft
Ff: Vorschubkraft
Fr: Rückkraft
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Einleitung
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Hooke‘sches Gesetz:
F=c•x
Schnittgeschwindigkeit vc
c: Steifigkeit (Federkonstante)
x: Verformung (Weg)
Fc = kc • a • f
Span
Schnitttiefe a schwankt
⇒
Werkzeug
Veränderliche Kraft:
∼
∼
F=c•x
∼
x : veränderlicher Weg
= Schwingung
Hauptschnittkraft Fc
Werkstück
Entstehung von Schwingungen beim Drehen
Einleitung
Grundprinzipien der Mechatronik
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Unterschiedliche Betriebszustände bei der Drehbearbeitung
Einleitung
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Oberfläche des Drehteils
Einleitung
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a)
grau unterlegt maschinenbauliche Maßnahmen
b)
elektrotechnische
Maßnahmen
Schematische Draufsicht auf eine Drehmaschine mit Baugruppen im Kraftfluss
Einleitung
Grundprinzipien der Mechatronik
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Interferenz zweier Schwingungen mit Auslöschung im mittleren Bereich
Modellbildung
Grundprinzipien der Mechatronik
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Fachdisziplinen(Mechanik,
(Mechanik,Thermodynamik,
Thermodynamik,Fluidik,
Fluidik,Regelungstechnik)
Regelungstechnik)
Fachdisziplinen
1. Schritt
VerbaleBeschreibung
Beschreibungder
derSysteme
Systeme
Verbale
2. Schritt
Modellbildung
Modellbildung
3. Schritt
MathematischeModellbeschreibung
Modellbeschreibung
Mathematische
Vorgehensweise bei der Beschreibung physikalisch technischer Systeme
Grundprinzipien der Mechatronik
Modellbildung
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A4
Umgebung
A1
A2
A3 (Input)
A5
A6
A7
A8
System
A9(Output)
An-2 An-1 An
System
System: Von seiner Umgebung in irgend
einer Weise abgegrenzter Gegenstand;
die Abgrenzung ergibt sich aus der
Fragestellung der Systembetrachtung.
Jedes System zeigt gegenüber der Umgebung gewisse Kennzeichen, Merkmale, Eigenschaften, die Attribute genannt werden. Attribute, die weder Eingangsgrößen (Input) noch Ausgangsgrößen (Output) sind, sondern die Verfassung des Systems beschreiben,
werden Zustände genannt.
Definition eines Systems und seiner Eigenschaften
Grundprinzipien der Mechatronik
Modellbildung
A1
System
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A2
System
Subsystem 1
Relation R13
Relation R12
Funktion F : A1
A2
Subsystem 3
Relation R32
Zwischen den Attributen eines Systems
bestehen Beziehungen in Form von FunkRelation R23
tionen. Ist die Funktion F unbekannt, so
Subsystem 2
bezeichnet man das System auch als
Black Box. Ein System enthält normalerweise Subsysteme, deren Beziehungen
untereinander durch Relationen Rij beschrieben werden. Die Menge der
Relationen heißt Struktur des Systems.
Funktionen und Struktur eines Systems
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Modellbildung
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.
F: Iin = Iout
A1: Iin
R=100 Ω
A2: Iout
A3: Temperatur θ
A4: Drahtdicke d
Elektrisches System
.
.
F: Vin = Vout
A1: Vin
.
A2: Vout
Rohr
A3: Druck p
A4: Rohrdurchmesser d
Hydraulisches System
Beispiele für einfache technische Systeme
Grundprinzipien der Mechatronik
Modellbildung
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Welche Teile eines größeren Systems
als Teilsysteme definiert werden hängt
von der Fragestellung ab, die behandelt
werden soll, und nicht von physikalischen Abgrenzungen.
Elektrisches System
Elektromotor
Elektromotor
Getriebe
Kreiselpumpe
Hochbehälter
Rohrleitung mit Ventil
Speicherbehälter
Elektromechanisches
System
Hydraulisches System
Beispiele für Systemabgrenzungen
Grundprinzipien der Mechatronik
Modellbildung
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Modelle
Physikalische
Modelle
Mathematische
Modelle
Prototyp-Modell
Analytisches Modell
Pilotmodell
Simulationsmodell
Ähnlichkeitsmodell
Unterschiedliche Modellarten
Modelle dienen zur Beschreibung der Eigenschaften und der Struktur
eines Systems. Sie sind
nie ein absolut vollständiges Abbild eines Systems.
Physikalische Modelle
sind gegenständlich und
maßstäblich.
Mathematische Modelle
sind abstrakt und dienen
einer formalen Beschreibung der Systemeigenschaften.
Modellbildung
Prototypmodell
Pilotmodell
Ähnlichkeitsmodell
• 1:1-maßstäbliches Modell
• Höchste qualitative und
quantitative Ähnlichkeit
• Herstellung teuer und aufwendig
• Unflexibel bezüglich Ändeungen
• Häufig maßstäblich unterschiedlich z. B. 1:10
• Bildet nur wesentliche Eigenschaften genau ab
• Herstellung mit reduziertem
Aufwand
• Einfacher zu ändern
• Nur Teile des Systems
werden abgebildet
• Herstellung mit geringem
Aufwand
• Quantitative Aussagen bei
gleichen Kennzahlen
Grundprinzipien der Mechatronik
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F = a • x• + b • x + c
Analytisches Modell
• Das Modell kann durch einen geschlossenen
analytischen Ausdruck beschrieben werden
• Hohe qualitative und quantitative Ähnlichkeit
bei gültigem Modell
• Lösung bei komplexen Systemen schwer auffindbar
E
10
3
Simulationsmodell
• Das Modell kann durch einen geschlossenen
analytischen Ausdruck beschrieben werden
• Hohe qualitative und quantitative Ähnlichkeit
bei gültigem Modell
• Lösung beliebig komplexer Systeme möglich
Unterschiedliche Modelltypen
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Modellbildung
z
Punkt
P(x,y,z)
r
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Geeignet für die
statische Beschreibung von Raumpositionen aber nicht für
y
die räumliche Bewegung von Körpern
z(0)
z(1)
αz
y(1)
1 x(1)
Körper
r
y(0)
x
Punkt : Einfache mathematische
Modellvorstellung des Raumes.
Seine Lage im Raum kann durch
3 Koordinaten beschrieben werden, da seine räumliche Ausdehnung gleich Null ist. In der Realität
gibt es keine Punkte!
Ein dreidimensionaler Ortsvektor r
zeigt auf den Punkt.
0
x(0)
Reale Körper haben nicht 3 sondern 6 Freiheitsgrade im Raum. Ihre Lage kann beispielsweise durch einen dreidimensionalen Ortsvektor r im raumfesten Koordinatensystem und
durch drei Verdrehwinkel αx, αy, αz eines körpereigenen gegenüber dem raumfesten Koordinatensystem beschrieben werden.
Einfache geometrische Modellvorstellung
Modellbildung
Grundprinzipien der Mechatronik
Einfache Modellvorstellung:
Elektron ist eine Kugel, die entweder den Atomkern
umkreist oder sich frei in einem Kontinuum bewegen kann. Ausreichendes Modell zur Beschreibung
von Geschwindigkeit oder Ort des Elektrons.
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Atomkern
Elektron
Problem: Heisenbergsche Unschärfebeziehung
verbietet die exakte gleichzeitige Bestimmung von
Geschwindigkeit und Ort eines Elektrons. Modell hat
daher Mängel.
Weiterer Einwand; ein um ein Atom kreisender, elektrisch geladener Körper müßte elektromagnetische
Wellen abstrahlen und dadurch Energie verlieren.
Eine Lösung dieses Modellproblems ergibt die Interpretation des Elektrons als stehende Welle mit der
Wellenlänge λ. Es sind nur Bahnen mit ganzzahligem
Vielfachen von λ möglich.
Einfache kernphysikalische Modellvorstellung
λ
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Modellbildung
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ExperimentelleSystemanalyse
Systemanalyse
Experimentelle
TheoretischeSystemanalyse
Systemanalyse
Theoretische
System
Identifikationsverfahren
Identifikationsverfahren
Aufgabenstellung,
Genauigkeit
Systemanalyse
Durch Messung von Systemeigenschaften versucht man auf die Modellstruktur und die Modellparameter zu
schließen.
mathem. Methoden,
physik. Gesetze
Struktur
Modellreduktion
Systemparameter,
Prozessdaten
mathem. Modell
Plausibilität,
Messdaten
Modellverifikation
Verfahren der Modellbildung
endgültiges Modell
Modellbildung
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In der theoretischen Modellbildung wird das Modell auf der Grundlage von mathematisch
formulierten Naturgesetzen aufgestellt. Es muß eine Struktur entwickelt werden, indem
komplizierte Systeme in Teilsysteme zerlegt und erforderliche Schnittstellen ausgesucht
werden. Dabei ist das Wesentliche vom Unwesentlichen durch vereinfachende Annahmen zu trennen. Dabei gelten drei Anforderungen:
Die Modellelemente müssen klar definiert, eindeutig beschreibbar und in sich widerspruchsfrei sein (physikalische Transparenz).
Die Folgerungen über das Verhalten, die man aus der Verknüpfung der Modellelemente zu einem Gesamtmodell ziehen kann, müssen im Rahmen des Modellzwecks
(Gültigkeitsbereich) dem realen Systemverhalten entsprechen (Modellgültigkeit).
Gibt es verschiedene Möglichkeiten zur
Darstellung des Systems, die alle den
ersten beiden Forderungen genügen,
so sollte man die einfachst mögliche
auswählen (Effizienz).
Theoretische Modellbildung
Alles sollte so
einfach wie möglich
gemacht werden, aber
nicht einfacher.
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Modellbildung
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Das Verhalten häufig betrachteter kontinuierlicher Systeme läßt sich durch wenige
physikalische Grundgesetze beschreiben:
Newtonsche Axiome der Mechanik
Hebelgesetze
Hauptsätze der Thermodynamik
Theoretische Modellbildung
Actio
Ohmsches Gesetz,
Kirchhoffsche Regeln
Reactio
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Modellbildung
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Häufig lassen sich Bilanzgleichungen für gespeicherte Energien, Massen und Impulse
verwenden, deren Formulierung in der Regel auf Differentialgleichungen führt:
Speicherung
Speicherung
imSystem
System
im
=
Transportüber
über
Transport
dieSystemgrenze
Systemgrenze
die
(Eintritt,Austritt)
Austritt)
(Eintritt,
+
Erzeugung
Erzeugung
imSystem
System
im
-
Verbrauch
Verbrauch
Systeme mit konzentrierten Parametern:
(Zustandsgrößen hängen von der Zeit t ab)
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Systeme mit verteilten Parametern:
(Zustandsgrößen hängen von der Zeit t und vom Ort z ab)
Partielle Differentialgleichungen
Bilanzgleichungen
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Modellbildung
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Kräfte:
Fk = k • x
Federkraft
Fd = d • x•
Dämpfungskraft
F(t) : Erregerkraft
Einmassenschwinger mit
viskosem Dämpfer
••
m • x : Trägheitskraft
Bilanzgleichung nach d‘Alembertschen Prinzip:
••
F(t) - Fk – Fd – m•x = 0
Differentialgleichung:
•
••
m•x + d•x + k•x = F(t) Gewöhnliche DGL mit
konstanten Koeffizienten
Anwenden des Schnittprinzips
Beispiel für einfaches mechanisches System
Modellbildung
Prototypmodell
Pilotmodell
Ähnlichkeitsmodell
• 1:1-maßstäbliches Modell
• Höchste qualitative und
quantitative Ähnlichkeit
• Herstellung teuer und aufwendig
• Unflexibel bezüglich Ändeungen
• Häufig maßstäblich unterschiedlich z. B. 1:10
• Bildet nur wesentliche Eigenschaften genau ab
• Herstellung mit reduziertem
Aufwand
• Einfacher zu ändern
• Nur Teile des Systems
werden abgebildet
• Herstellung mit geringem
Aufwand
• Quantitative Aussagen bei
gleichen Kennzahlen
Grundprinzipien der Mechatronik
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F = a • x• + b • x + c
Analytisches Modell
• Das Modell kann durch einen geschlossenen
analytischen Ausdruck beschrieben werden
• Hohe qualitative und quantitative Ähnlichkeit
bei gültigem Modell
• Lösung bei komplexen Systemen schwer auffindbar
E
10
3
Simulationsmodell
• Das Modell kann durch einen geschlossenen
analytischen Ausdruck beschrieben werden
• Hohe qualitative und quantitative Ähnlichkeit
bei gültigem Modell
• Lösung beliebig komplexer Systeme möglich
Unterschiedliche Modelltypen
Grundprinzipien der Mechatronik
Modellbildung
R
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L
I
UR
Ue
UL
UC
C
Ua
R : ohmscher Widerstand
UR = R • I
L : Induktivität
•
UL = L • I
C : Kapazität
UC = 1/C • ∫ I dt
Ue : Eingangsspannung
Ua : Ausgangsspannung
i : Strom
Bilanzgleichung als Maschengleichung:
⎫
Ua(t) = UC(t) = 1/C • ∫ I dt ⇒ ⎬
•
••
•
Ua(t) = 1/C • I , Ua(t) = 1/C • I ⎭
UR(t) +UL(t) +UC(t) – Ue(t) = 0
•
••
LC Ua(t) + RC Ua(t) + Ua(t) = Ue(t)
Gewöhnliche DGL mit konstanten
Koeffizienten
Beispiel für einfaches elektrisches System
Modellbildung
Grundprinzipien der Mechatronik
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••
•
m•x(t) + d•x(t) + k•x(t) = F(t)
Koeffizientenvergleich:
m ˆ= L
d ˆ= R
Nachgiebigkeit c = 1/k =
ˆC
••
•
LC ua(t) + RC ua(t) + ua(t) = ue(t)
Vergleich Einmassenschwinger und elektrischer Schwingkreis
Modellbildung
Grundprinzipien der Mechatronik
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Stoffe wie Quarz (SiO2 s. Bild), Bariumtitanat (BaTiO3) oder Bleimetaniobat(PbNb2O6)
zeigen den piezoelektrischen (druckelektrischen) Effekt. Bei Belastung eines solchen
Stoffes mit einer äußeren mechanischen Spannung werden elektrische Ladungen auf
gegenüberliegenden Oberflächen getrennt, so daß man eine elektrische Spannung
messen kann. Der Prozeß ist auch umkehrbar (reziproker piezoelektrischer Effekt).
Erklärung des piezoelektrischen Effekts
Modellbildung
Grundprinzipien der Mechatronik
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Ersatzschaltbild für Piezoschwinger
C0 : Kapazität des Piezoschwingers
L : für Schwingermasse
C : für Schwingernachgiebigkeit
R1 : für abgestrahlte Schallenergie
R2 : für mechanische Verluste
Verwendung eines Piezoschwingers in einem Ultraschallprüfkopf
Modellbildung
Grundprinzipien der Mechatronik
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ausgeprägte
Prüffrequenz
große Impulsbreite
keine ausgeprägte Prüffrequenz
kleine Impulsbreite
Unterschiedliche Signalverläufe und Spektren von Ultraschallschwingungen
Grundprinzipien der Mechatronik
Modellbildung
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Mechanische Güte
Qm = 1/R √ L/C
R = R1 + R 2
Qm: 1000 für normale
Piezomaterialien
Ultraschallsignal eines Piezoschwingers
geringe Güte (Qm = 100)
C0 : Kapazität des Piezoschwingers
L : für Schwingermasse
C : für Schwingernachgiebigkeit
R1 : für abgestrahlte Schallenergie
R2 : für mechanische Verluste
Güte von Piezoschwingern
Modellbildung
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Signal eines mechanisch stark bedämpften Piezoschwingers
Signal des Schwingers mit Parallelspule L0 zu C0
Abstimmung von Piezoschwingern geringer Güte
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
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Kräfte:
Fk = k • x
Federkraft
Fd = d • x•
Dämpfungskraft
F(t) : Erregerkraft
Einmassenschwinger mit
viskosem Dämpfer
••
m • x : Trägheitskraft
Bilanzgleichung nach d‘Alembertschen Prinzip:
••
F(t) - Fk – Fd – m•x = 0
Differentialgleichung:
•
••
m•x + d•x + k•x = F(t) Gewöhnliche DGL mit
konstanten Koeffizienten
Anwenden des Schnittprinzips
Beispiel für einfaches mechanisches System
Lösung von Modellgleichungen
(n)
•
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(m)
bn•xa(t) + ... + b1•xa(t) + b0 •xa(t) = a0 •xe(t) + ... + am •xe(t)
Allgemeine Form der linearen, gewöhnlichen Differentialgleichung mit konstanten
Koeffizienten
Die Lösung dieser Art von DGL kann durch n-fache Integration erfolgen, wobei n Integrationskonstanten C1 bis Cn entstehen. Die Menge aller Lösungsfunktionen, die
durch diese n Parameter gegeben sind, nennt man die allgemeine Lösung der DGL.
Weist man, z. B. aufgrund bekannter Anfangsbedingungen, den Lösungsparametern
bestimmte Werte zu, so erhält man eine partikuläre Lösung.
Um eine analytische Lösung der DGL herzuleiten, betrachtet man zuerst einfache
Sonderfälle. Ein Sonderfall liegt vor, wenn die rechte Seite der Gleichung verschwindet. Die verbleibende DGL bezeichnet man als homogene DGL, die die sogn.
Eigenvorgänge des Systems beschreibt, d. h.das dynamische Systemverhalten ohne
äußere Einflüsse. Die allgemeine Lösung der DGL lautet dann:
xa(t) = xah(t) + xap(t)
xah(t), xap(t) homogene und partikuläre Lösung
Allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
Lösung von Modellgleichungen
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Der einfachste zu behandelnde Fall des Einmassenschwingers
ist die ungedämpfte Schwingung (Dämpfer weggelassen) ohne
äußere Anregung, der Eigenvorgang des ungedämpften Systems.
••
DGL: m•x + k•x = 0
homogene DGL
Klassischer Lösungsansatz: x(t) = ^x•est
•
••
x(t) = ^x•s2•est
x(t) = ^x•s•est
^ 2•est + k•x•e
^ st = 0 = m•s2 + k = 0
Eingesetzt in die DGL ergibt das: m•x•s
m•s2 + k = 0
charakteristisches Polynom
S1,2= ± √ - k/m = ± i √ k/m mit i2 = -1 Wurzeln des charakteristischen
Polynoms oder Eigenwerte
Freie ungedämpfte Schwingungen
Lösung von Modellgleichungen
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Die Gesamtlösung der homogenen DGL mit den beiden Eigenwerten ergibt sich dann
^ est zu:
entsprechend dem Lösungsansatz x(t) = x•
x(t) = A • es1t + B • es2t oder wegen s1 = - s2
x(t) = A • es1t + B • e - s1t
A und B sind Integrationskonstanten
Die Konstanten A und B können aus den Anfangsbedingungen ermittelt werden:
x(t=0) = x0 Anfangsauslenkung
•
•
x(t=0) = x0 Anfangsgeschwindigkeit
Wegen e0 = 1 für t=0 gilt dann:
•
•
x(0) = A + B = x0 und x(0) = A • s1 - B • s1 = x0
Daraus ermitteln sich die
Integrationskonstanten A und B zu:
A=
s1x0 + x• 0
2s1
B=
s1x0 - x• 0
2s1
Allgemeine Lösung der homogenen DGL und Anfangsbedingungen
Lösung von Modellgleichungen
S1,2= ± √ - k/m = ± i √ k/m
ω
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Eigenwerte
S1,2= ± i • ω
Eigenkreisfrequenz ω0
Setzt man für die Eigenwerte s1,2 = ± i • ω sowie die Integrationskonstanten A und B
in die Gesamtlösung ein, so erhält man:
i ω x0 + x• 0 iωt
i ω x0 - x• 0 -iωt
x(t) =
e +
e
2iω
2iω
Dies ist eine komplexe Zahl. Um das Bewegungsverhalten der Masse in Abhängigkeit von der Zeit darstellen zu können, muß man die Gleichung in eine reele Form
bringen. Dazu bietet sich die sogn. Euler-Relation an: eiωt = cos ωt + i sin ωt
Angewendet auf die Lösung der DGL ergibt sich:
•
•
⎧
x
x
⎫
⎧
x
x
0 +i
0 (cos ωt + i sin ωt) +
0 -i
0 ⎫(cos ωt – i sin
x(t) =
⎩2
2ω ⎭
⎩2
2ω ⎭
Allgemeine Lösung der homogenen DGL und Anfangsbedingungen
ωt)
Lösung von Modellgleichungen
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Allgemeine phasenverschobene
Cosinusschwingung:
x(t) = x^ cos ( ωt + ϕ )
= ^x cos ϕ cos ωt – x^ sin ϕ sin ωt
^
x cos ϕ = x0
•
x^ sin ϕ = -x0/ω
•
•
⎧
x
x
⎫
⎧
x
x
0 +i
0 (cos ωt + i sin ωt) +
0 -i
0 ⎫(cos ωt – i sin ωt)
x(t) =
⎩2
2ω ⎭
⎩2
2ω ⎭
= x0 cos ω t + x• 0/ω sin ω t
Schwingung des ungedämpften Einmassenschwingers
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
^
x cos ϕ = x0
•
x sin ϕ = -x0/ω
^
Quadrieren
und Addieren
x^ 2 ( cos2 ϕ + sin2 ϕ ) = x02 + x• 02/ω2
=1
sin ϕ
x0
x^ cos ϕ = - x0 ω = tan ϕ
x^
Anfangsphase
•
•
x0
ϕ = arctan ( - x ω )
0
x^ =
Amplitude
√ x 2 + x• 2/ω2
0
0
ω0 : Eigenkreisfrequenz
T = 2 π / ω : Schwingungsdauer
fe = ω / 2 π = 1/T : Eigenfrequenz
Bestimmung von Amplitude und Anfangsphase des Einmassenschwingers
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
••
m x + d x• + k x = 0
klassischer Ansatz : x(t) = x^ • est
DGL:
charakteristische Gleichung :
m s2 + d s + k = 0
s1,2 = - d/2m ± √ (d/2m)2 – k/m
= - d/2m ± i √ k/m – (d/2m)2 = δ ± i ω
ungedämpftes System
ω02 : Eigenkreisfrequenz
gedämpftes System
ω2
Freie gedämpfte Schwingung (keine äußere Erregung)
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
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(d/2m)2 – k/m > 0
m s2 + d s + k = 0
Es gibt zwei reele Eigenwerte
s1 = δ1 uns s2 = δ2 ,so daß die
Lösung der DGL lautet:
x(t) = A•eδ1t + B•eδ2t
Die Addition zweier Exponentialfunktionen ist eine monotone
Funktion, die einen Kriechvorgang und keine Schwingung
darstellt.
s1,2 = - d/2m ± √ (d/2m)2 – k/m
Fallunterscheidung von gedämpften Schwingungen
(Kriechvorgang; überkritische Dämpfung)
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
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(d/2m)2 – k/m = 0
dkrit= 2m√ k/m = 2√ km
Es gibt zwei gleiche Eigenwerte,
die reel und negativ sind.
Der Bewegungsvorgang stellt
den Übergang vom Kriechen zur
Schwingung dar und wird aperiodischer Grenzfall genannt.
Es liegt die kritische Dämpfung
dkrit vor.
m s2 + d s + k = 0
s1,2 = - d/2m ± √ (d/2m)2 – k/m
Fallunterscheidung von gedämpften Schwingungen
(Aperiodischer Grenzfall; kritische Dämpfung)
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
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(d/2m)2 – k/m < 0
Die Eigenwerte sind konjugiert
komplex und ihr Wert ist:
s1,2 = δ ± iω
m s2 + d s + k = 0
eδt
ω = √ k/m
Die Lösung der DGL lautet damit:
x(t) = A•es1t + B•es2t
= eδt ( A•eiωt + B•e-iωt )
Darin stellt der Faktor eδt eine
Dämpfungsfunktion und der Klammerausdruck einen periodischen
Vorgang dar.
s1,2 = - d/2m ± √ (d/2m)2 – k/m
Fallunterscheidung von gedämpften Schwingungen
(Schwingung; unterkritische Dämpfung)
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
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Lösung der DGL:
x(t) = eδt ( A•eiωt + B•e-iωt ) = eδt [x0 cos ωt + {( x• 0 - δ•x0)/ω } sin ωt ]
( A und B bestimmt wie bei der ungedämpften Schwingung )
Wie der generelleVerlauf dieser Funktion aussieht,
hängt vom Wert von δ ab:
δ<0
δ < 0, die Amplitude der Schwingung nimmt ab
δ = 0, die Schwingung verläuft mit ungedämpfter
Amplitude
δ > 0, die Schwingung wäre nicht gedämpft, sondern zu unendlichen Amplituden aufklingend (physikalisch unmöglich).
δ=0
Fallunterscheidung von gedämpften Schwingungen
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
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Will man die behandelten unterschiedlichen Eigenvorgänge übersichtlich
klassifizieren, so benutzt man einen dimensionslosen Dämpfungsfaktor, das
Lehrsche Dämpfungsmaß:
D = d/dkrit = d/2mω0 = d/2 √mk = ⏐δ⏐/ω0 = ⏐δ⏐/ √ δ2 + ω2
Setzt man diesen Parameter in die Gleichung
für die Eigenwerte ein, so erhält man:
s1,2 = ω0 (-D ± √ D2 – 1 )
Stellt man einen Eigenwert in der komplexen
Ebene dar, so gilt für den Dämpfungswinkel β
D = sin β
δ = tan β
Lehrsches Dämpfungsmaß
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
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Fallunterscheidung:
D < 1 ; zwei konjugiert komplexe Eigenwerte
Lösung der DGL:
x(t) = e-ω0Dt [x0 cos ωt + {( x• 0 + Dω0•x0)/ω } sin ωt ] gedämpfter periodischer
D = 1 ; Eigenwerte sind gleich
Vorgang
s1,2 = ω0 ( -1 ± √ 12 – 1 ) = - ω0
x(t) = e-ω0t [ x0 + ( x• 0 + ω0•x0) t ] kein
periodischer Vorgang, aperiodischer Grenzfall
D > 1 ; zwei reele Eigenwerte
^ } sinh ω
^t ]
^ t + {( •x + D ω •x )/ω
x(t) = e-ω0Dt [ x0 cosh ω
0
0 0
kein periodischer Vorgang, überkritische Dämpfung
^ = ω √ D2 + 1
mit ω
0
Fallunterscheidung mit Lehrschem Dämpfungsmaß
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
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Oszillation
Aperiodischer
Grenzfall
Kriechvorgang
Schwingverhalten in Abhängigkeit von D
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
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Harmonische Anregung:
••
^
m x + d x• + k x = F(t) mit F(t) = F
cos Ωt
Euler Relation:
^
F(t) = Re { F ei Ωt}
oder kürzer aber ungenau
ei ωt = cos ωt + i sin ωt
^ i Ωt
F(t) = F
e
Lösungsansatz (partikuläre Lösung):
^ ei Ωt , Amplitude ^
^ ei Ωt } oder kürzer x(t) = x
x(t) = Re { x
x kann auch komplex sein
•
••
^ ei Ωt
^ ei Ωt und x(t) = - Ω2 x
x(t) = i Ω x
DGL :
^
( - Ω2 m + i Ωd + k ) x^ ei Ωt = F ei Ωt
Division durch ei Ωt
⇒
^
( - Ω2 m + i Ωd + k ) x^ = F
Erzwungene Schwingungen des Einmassenschwingers
Lösung von Modellgleichungen
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Komplexe Amplitude:
^
^
x^ = F / ( - Ω2 m + iΩ d + k ) = F/k • 1 / [- (m/k) Ω2 + i(d/k)Ω + 1 ]
Frequenzverhältnis:
η = Ω / ω0
^
F
1
x^ =
k 1- η2 + i(d/k)√k/m η
= xst
1
1 – η2 + 2iDη
xst: statische Auslenkung
^
durch die Kraft F
xst
^
|x| =
= xstV(η)
2
2
2
2
√(1- η ) + 4 D η
Vergrößerungsfunktion V(η) eines harmonisch erregten Einmassenschwingers
Grundprinzipien der Mechatronik
Gültigkeit von Modellgleichungen
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Bei der Modellbildung muß beachtet werden, in welchem Gültigkeitsbereich
ein Modell sinnvolle und zutreffende Aussagen liefert.
Kräfte am Pendel:
Fg = m • g Massenkraft
Fr = m • g • sin ϕ Rückstellkraft
l • ϕ : Bogenlänge
l • ••
ϕ : Winkelbeschleunigung
Newtonsches Bewegungsgesetz:
••
F=m•x
- m • g • sin ϕ (t) = m • l • ••
ϕ (t)
Differentialgleichung:
m • l • ••
ϕ (t) + m • g • sin ϕ (t) = 0
nichtlineare DGL
Modellbildung für das Pendel
Grundprinzipien der Mechatronik
Gültigkeit von Modellgleichungen
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Differentialgleichung:
m • l • ••
ϕ (t) + m • g • sin ϕ (t) = 0
Anfangsbedingungen:
ϕ(t=0) = ϕ0
••
ϕ(t=0) = ϕ••0 = 0
Einfachere Lösung der DGL durch folgende Annahme:
sin ϕ(t) ≈ ϕ(t)
Dies bedeutet eine Einschränkung des Gültigkeitsbereichs
des Modells, da diese Aussage nur für kleine Anfangsauslenkungen ϕ(t) gilt.
Die DGL wird dadurch linearisiert und erhält die Form:
m • l • ••
ϕ (t) + m • g • ϕ (t) = 0
Linearisierung der Modellgleichung für das Pendel
Grundprinzipien der Mechatronik
Gültigkeit von Modellgleichungen
ϕ0 = 10°
Beide Schwingungen
stimmen überein.
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ϕ0 = 30°
Beide Schwingungen weichen erst nach
mehreren Nulldurchgängen in der Frequenz ab.
ϕ0 = 60°
Abweichung in der Frequenz schon
nach einer Schwingung
Modell mit nichtlinearer DGL
Modellbildung für das Pendel
ϕ0 = 90°
Sofortige starke Abweichung in der Frequenz
und Amplitude
Modell mit linearisierter DGL
Grundprinzipien der Mechatronik
Gültigkeit von Modellgleichungen
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Nur 1 Tauch-Freiheitsgrad:
Rad als starrer Körper angenommen,
Reifenfederung und -dämpfung mit
Federung und Dämpfung zwischen
Rad und Aufbau zusammengefaßt.
Die Art des zu erstellenden Modells
ist nicht unabhängig
von der Fragestellung, die mit Hilfe
des Modells beantwortet werden soll:
Modell liefert vernünftige Aussagen für
die Abstimmung des Systems,z.B. auf
eine Taucheigenfrequenzvon 1 bis 2 Hz
und Dämpfungsgrad von 0,2 bis 0,3.
Für eine genauere Untersuchung des
Fahrkomforts ist ein weiterer Nick-Freiheitsgrad erforderlich.
Modell liefert Informationen über den
Zeitunterschied, der zwischen Vorderund Hinterrad beim Überfahren einer
Bodenwelle auftritt.
Abhängigkeit der Modellbildung von der Fragestellung
Grundprinzipien der Mechatronik
Gültigkeit von Modellgleichungen
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Zusätzliche Vertikal-Freiheitsgrade der
Radmassen.
Erweiterte Fragestellungen an das Modell
erfordern komplexere
Modellierungen. So
liefert das Modell mit 2
Freiheitsgraden nur unzu reichende Informationen darüber, ob beim
Überfahren von Hindernissen Radentlastungen
bis zum kurzzeitigen
Abheben auftreten.
Modell liefert gute Aussagen bis in
einen Frequenzbereich von 15 Hz.
Zusätzlicher Freiheitsgrad für die
1. Biegeschwingungseigenform
der Karosserie (Karosserie nicht
mehr als starr angenommen.
Modell läßt gute Aussagen bis in
den Frequenzbereich von 25 Hz zu.
Modellerweiterung für neue Fragestellungen
Grundprinzipien der Mechatronik
Gültigkeit von Modellgleichungen
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Der Stromlaufplan eines elektrischen Systems ist nicht einfach
nur ein Lageplan der verwendeten elektrischen Bauteile sondern ein Modell des realen Systems.
Modell hat nur Gültigkeit, wenn Eingangssignale in niedrigem
Frequenzbereich liegen.
Im mittleren Frequenzbereich können die Eigenschaften der
Bauteile und der Verbindungen nicht mehr vernachlässigt werden (Koppelkapazitäten und Induktivitäten von Leitungen, Windungskapazitäten von Spulen, Dielektrische Verluste von Kapazitäten).
Modell hat Gültigkeit bis in einen hohen Frequenzbereich.
Für sehr hohe Frequenzen reicht ein Modell mit konzentrierten
Bauelementen nicht mehr aus. Als Modell muß ein Leitungsstück genommen werden.
Modell hat Gültigkeit bis zu höchsten Frequenzen.
Modellgültigkeit von elektrischen Systemen
Grundprinzipien der Mechatronik
Gültigkeit von Modellgleichungen
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
L : Ankerinduktivität
R : Ankerwiderstand
cM : motorbauartabhängige Konstante
Φ : magnetischer Fluß im Erregerfeld
U : Klemmenspannung
Ui : elektromotorische Kraft (EMK)
Ui = cM • Φ • ω
Zur Beschreibung des Motorverhaltens werden nur
die Ankerinduktivität L, der Ankerwiderstand R und
und die elektromotorische Kraft Ui als interne Spannungsquelle benutzt. Der kinetische Energie speichernde, rotierende Anker wird als masselos angenommen, die Speicherfähigkeit der Induktivität nicht
berücksichtigt.
•
DGL: U = UL + UR + Ui = L • I + R • I + cM • Φ • ω
Modellgleichung
eignet sich zur Beschreibung der Drehzahl
Einfaches Modell eines Gleichstrommotors
Grundprinzipien der Mechatronik
Gültigkeit von Modellgleichungen
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Zur Beschreibung der Eigendynamik des Ankers
muß man das Trägheitsmoment des Ankers J mitberücksichtigen, das dem Motor bei Drehzahländerungen eine Belastung aufprägt und zu dessen Beschleunigung ein Beschleunigungsmoment MB erforderlich ist. Das die Beschleunigung liefernde innere Motormoment Mi wird durch den Ankerstrom
geliefert.
Für den Fall, daß kein äußeres Lastmoment ML am
Motor angreift gilt:
•
•
Mi = cM • Φ • I
M
=
J
•
ω
=
c
•
Φ
•
I
⇒
I
=
J
•
ω
/ Φ • cM
i
M
•
•
MB = J • ω = Mi - ML
DGL : U = L • I + R • I + cM • Φ • ω
Für sprungförmige Änderungen der Ankerspannung ΔU gilt dann:
JL
••
ΔU =
Δω
+ JR Δω• + Φ cM Δω
ΦcM
ΦcM
Verbessertes Modell eines Gleichstrommotors
Grundprinzipien der Mechatronik
Gültigkeit von Modellgleichungen
ΔU =
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
JL
••
Δω
+ JR Δω• + Φ cM Δω
ΦcM
ΦcM
Diese DGL 2. Ordnung beschreibt ein dem Einmassenschwinger vergleichbares System. Bei einem Spannungssprung ΔU folgt die Drehzahl mit einem vom Dämpfungsmaß D abhängenden aperiodischen oder überschwingenden Vorgang. Das Modell erlaubt keine Aussage über den
eingeschwungenen Zustand, da dann das Beschleunigungsmoment MB = 0 gilt und bei Fehlen einer äußeren Last
MR = d • ω
das Motormoment Mi = 0 würde (Mi = 0 ⇒ Ι = 0).
Dies Problem kann durch die zusätzliche Annahme eines Reibmoments in der
Lagerung des Motors umgangen werden: MB = Mi - MR - ML
ΔU =
JL ••
JR + dL
•
Δω +
Δω
+ (Φ cM + dR) Δω
ΦcM
ΦcM
Modell des Gleichstrommotors mit Lagerreibung
Grafische Modellbildung
ML
U
Gleichstrommotor
Geringe Detaillierung
ω
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bei der Darstellung der Modelle als Differentialgleichung werden die Zusammenhänge und Einflüsse der verschiedenen Größen auf das Systemverhalten nicht besonders deutlich. Die grafische
Darstellung als Blockschaltbild machen das Modellgeschehen bedeutend anschaulicher.
Die Darstellung kann in verschiedenen Detaillierungsgraden erfolgen.
DGL:
JL
JR
••
ΔU = Φc Δω
+ Φc Δω• + Φ cM Δω
M
M
Detaillierung entsprechend Differentialgleichung
Summationsstellen:
U – Ui = UL + UR
MB = Mi - ML
Modell des Gleichstrommotors als Blockschaltbild
Grafische Modellbildung
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Die Erweiterung des Modells
um die Lagerreibung fügt einen weiteren Block hinzu, der
ein Moment als Ausgangsgröße hat, das ebenfalls in
die linke Summationsstelle
führt.
DGL:
ΔU =
JL ••
JR + dL
•
Δω +
Δω
+ (Φ cM + dR) Δω
ΦcM
ΦcM
Summationsstellen:
U – Ui = UL + UR
MB = Mi - ML - MR
Blockschaltbild des Gleichstrommotors mit Lagerreibung
Grafische Modellbildung
xe
Grundprinzipien der Mechatronik
System
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xa
mathematisches Modell
Das mathematische Modell (DGL o. ä.), das den Zusammenhang zwischen
Eingangsgröße xe und Ausgangsgröße xa eines Systems beschreibt, wird
~
als Übertragungsfunktion F bezeichnet:
~
xa(t) = F • xe(t)
Ist das Modell durch eine DGL wie beim Einmassenschwinger in der Form
••
•
m x + d x + k x = F(t)
~
so kann die Übertragungsfunktion F nicht direkt explizit angegeben werden.
Man benötigt daher eine andere Darstellung von der Übertragungsfunktion.
Blockschaltbild und Übertragungsfunktion
Laplace-Transformation
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Die homogene, lineare DGL mit konstanten Koeffizienten
••
m x + d x• + k x = 0
x(t) = C • est
konnte durch einen Exponentialansatz
gelöst und dadurch algebraisiert werden.
Danach muß eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL gefunden und abschließend durch Einsetzen der Anfangsbedingungen die Integrationskonstanten bestimmt werden.
Mit Hilfe der Laplace-Transformation gelingt es, ohne den beschriebenen umständlichen Weg über die allgemeine Lösung mit unbestimmten Konstanten,
direkt die Lösung zu den gegebenen Anfangsbedingungen zu finden.
Die Laplace-Transformation ist eine Funktional-Transformation wie beispielsweise auch der Logarithmus. Dabei wird die Originalfunktion aus einem
Originalbereich in einen Bildbereich transformiert, wo die Lösung der Funktion
einfacher ist. Danach wird die Lösung in den Originalbereich zurücktransformiert:
Transformation
in Bildbereich
Rücktransformation
in Originalbereich
y = xn
→
log y = n • log x
→
y = Inv (n • log x)
Logarithmus als Funktional-Transformation
Laplace-Transformation
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Beispiel:
y = 23 = 8 → log y = 3 • log 2 = 3 • 0,301029 = 0,903089 → y = 8
Die Laplace-Transformation ist eine Integral-Transformation, die eine zeitabhängige Funktion aus dem Zeitbereich (Originalbereich) in einen Bildbereich
transformiert in dem Ableitungen einer zeitabhängigen Größe in Form algebraischer Ausdrücke vorliegen, die mit bekannten Methoden berechnet werden
können. Das Ergebnis muß dann in den Zeitbereich rücktransformiert werden.
Vorgehensweise bei einer Funktional-Transformation
Grundprinzipien der Mechatronik
Laplace-Transformation
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Für die Laplace-Transformation einer Zeitfunktion f(t) lautet die allgemeine
Transformationsgleichung:
t2
∫
F(s) = f(t) • K(s,t) dt
Der Ausdruck K(s,t) heißt Kern der Transformation
t1
Unterschiedliche Integraltransformationen unterscheiden sich voneinander
durch die Beschaffenheit des Kerns. So wie eine einfache Funktion einer Zahl
genau eine andere Zahl zuordnet, ordnet diese Integraltransformation einer
Funktion der Variablen t eine neue Funktion der Variablen s zu.
Bei der Laplace-Transformation gilt für den Kern:
K(s,t) = e-st und s = δ + i ω
s ist eine komplexe Variable, d.h. in der Transformation wird die Zeit als unabhängige Variable der reelen Funktion f(t) durch die komplexe Variable s
∞
ersetzt.
F(s) =
∫ f(t) • e-st dt
-∞
Kern der Laplace-Transformation
Laplace-Transformation
Grundprinzipien der Mechatronik
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Voraussetzung für die Existenz des Laplace-Integrals ist, daß das Integral konvergiert, d. h. der Wert des Integrals ist < ∞ .
∞
F(s) =
∫ f(t) • e-st dt
wird auch geschrieben
L [ f(t) ] = F(s)
-∞
Für diese Zuordnung (Korrespondenz) schreibt man auch kurz:
f(t) ° ⎯• F(s) .
Mit der gefundenen Bildfunktion kann man dann die erforderlichen Rechenoperationen vornehmen und muß dann die gefundene Ergebnisfunktion in
den Originalbereich (Zeitbereich) rücktransformieren:
L-1 [ F(s) ] = f(t) ;
F(s) •⎯ °f(t)
Vor- und Rückwärts-Transformation
Grundprinzipien der Mechatronik
Laplace-Transformation
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Beispiel: Transformation einer „Rampenfunktion“
f(t) = a • x(t) = a • t
x(t) = t für t >= 0 ; x(t) = 0 für t < 0
f(t)
∞
L [ f(t) ] = F(s) = a • ∫t • e
-st
dt
f(t) = a • x(t)
0
Partielle Integration:
∫ uv´dt = uv - ∫ vu´dt
=0
L [ f(t) ] = a • t (- 1/s) e-st |
∞
0
t
∞
∫
- a • (-1/s) e-st dt
0
∞
= a / s [(-1 /s) • e-st ]0 = a / s2
⇒ a • t °⎯• a / s2
Laplace-Transformation der Rampenfunktion
Laplace-Transformation
Grundprinzipien der Mechatronik
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Für die Anwendung der Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen sind einige weitere Rechenregeln erforderlich.
Beispiel: Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
•
L [ T • xa + xa ] = L [ a0 • xe ]
Für lineare DGL gilt Verstärkungsprinzip { xa(t) = Op[ c • xe(t) ] = c • Op[ xe(t)] } und
das Superpositionsprinzip { xa(t) = Op[ xe1(t) + xe2(t) ] = Op[ xe1(t)] + Op [ xe2(t)] }
T•
•
L [ xa ] + L [xa ] = a0 • L [xe ]
Einsetzen des Laplace-Integrals ergibt:
∞
∞
∫
•
T • xa (t) • e-st dt +
0
∫
0
∞
∫
xa (t) • e-st dt = a0 • xe (t) • e-st dt
0
Laplace-Transformation einer Differentialgleichung
Grundprinzipien der Mechatronik
Laplace-Transformation
∞
∫
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∞
∞
•
T • xa (t) • e-st dt +
0
∫
∫
xa (t) • e-st dt = a0 • xe (t) • e-st dt
0
0
•
Durch partielle Integration findet man für die zeitliche Ableitung xa(t):
∞
∞
∫
∞
•
∫
xa (t) • e-st dt = xa(t) • e-st |0 + s • xa (t) • e-st dt
0
∞
0
∫
= lim xa(t) • e-st – xa(0) + s • xa (t) • e-st dt =
t→∞
L [ x•a(t) ]
0
= 0 (Vor. Integral konvergiert)
s•
L [ xa(t) ]
•
L [ xa(t) ] = s • L [ xa(t) ] – xa(0) = s • X(s) – x(0) = s • F(s) – f(0)
Da für physikalische Vorgänge normalerweise nur Zeiten t >= 0 behandelt werden
handelt es sich bei x(0) um den rechtsseitigen Grenzwert x(0+).
Laplace-Transformierte der ersten zeitlichen Ableitung
Grundprinzipien der Mechatronik
Laplace-Transformation
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Für die Ableitungen einer zeitabhängigen Variablen gilt daher allgemein:
x(t) °⎯• X(s)
•
x(t)
⎯• s • X(s) - x(0+)
°
•
••
2 • X(s) - s • x(0+) - x(0+)
x(t)
s
⎯•
°
•
•
•
(n)
x(t)
n
n-1
°⎯• s • X(s) - s • x(0+) - ... - x (0+)
(n-1)
Diese Gleichungen stellen den Differentiationssatz der Laplace-Transformation
dar. In ihm kommen die normalerweise nicht bekannten Anfangswerte x(0+) und
ihre Ableitungen vor. Für die meisten physikalischen Systeme kann man bei
der Untersuchung dynamischer Vorgänge davon ausgehen, daß der linksseitige
Grenzwert x(0-) gleich dem rechtsseitigen x(0+) ist und das verschwindende
Anfangsbedingungen vorliegen für die gilt: xa(0-) = xe(0-) = 0. Das Gleiche gilt
für die Ableitungen.
Differentiationssatz der Laplace-Transformation
Laplace-Transformation
Grundprinzipien der Mechatronik
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Wendet man den Differentiationssatz der Laplace-Transformation auf eine lineare
inhomogene DGL 2. Ordnung an, so ergibt sich:
••
•
•
b2 • xa + b1 • xa + b0 • xa = a0 • xe + a1 • xe
°⎯•
(b2 s2 + b1 s + b0) Xa(s) = (a0 + a1 s) Xe(s)
Schreibt man dies in folgender Form auf:
Xa(s) = Q(s) / R(s) • Xe(s) = G(s) • Xe(s) =
a0 + a1 s
b0 + b1 s + b2 s2
•
Xe(s)
so erhält man die Schreibweise der Übertragungsfunktion.
Die Übertragungsfunktion G(s) ist das Verhältnis der Bildfunktionen der linken
und rechten Seite der linearen DGL für verschwindende Anfangsbedingungen.
Die Übertragungsfunktion
Grundprinzipien der Mechatronik
Laplace-Transformation
xe(t)
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System
xa(t) = ?
mathematisches Modell
Die im Zeitbereich nicht lösbare Aufgabe, eine explizite Funktion anzugeben,
die den Zusammenhang zwischen der Ausgangsgröße und der Eingangsgröße angibt, läßt sich im Bildbereich lösen:
Xe(s)
Übertragungsfunktion
Xa(s)
G(s)
1.) Ermittlung der Übertragungsfunktion G(s) direkt aus der DGL
2.) Laplace-Transformation Xe(s) der Eingangs-Zeitfunktion xe(t) :
xe(t) °⎯• Xe(s)
3.) Bildung von G(s) • Xe(s) = Xa(s)
4.) Rücktransformation der Bildfunktion Xa(s) in den Zeitbereich: Xa(s) •⎯° xa(t)
Ermittlung der Ausgangsgröße mit der Übertragungsfunktion
Laplace-Transformation
Grundprinzipien der Mechatronik
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Für die Laplace-Transformation und für die Rücktransformation stehen Tabellen
mit bereits bekannten Korrespondenzen zur Verfügung.
F(s)
f(t)
F(s)
f(t)
1
δ(t)
Dirac-Impuls
1 / (1±a • s)
±1/a • e -+ t/a
1 / [s(s ±a)]
±1/a • [1- e -+ a•t]
1 / (s ± a)2
t • e -+a•t
1/s
1/s2
σ(t)
Sprungfunktion
ρ(t)
Rampenfunktion
n! / sn+1
tn
ω / (s2 +ω2)
sin (ω • t)
1 / (s±a)
e -+ at
ω / (s2 - ω2)
sinh (ω • t)
Korrespondenzen zwischen Bild- und Originalbereich
Laplace-Transformation
Grundprinzipien der Mechatronik
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Als Beispiel soll die Ausgangsgröße eines Systems mit gegebener DGL auf eine
sprungförmige Änderung der Eingangsgröße berechnet werden.
•
DGL: 3 xa(t) + 1,5 xa(t) = xe(t) ; xe(t) = 0 für t<0, xe(t) = 1 für t≥0
•
3 xa(t) + 1,5 xa(t) = xe(t) °⎯• 3 s Xa(s) + 1,5 Xa(s) = Xe(s)
(3 s + 1,5) Xa(s) = Xe(s) ⇒ G(s) = Xa(s) / Xe(s) = 1 / (3s +1,5)
= 0,66 / (2s + 1)
Xe(s) = 1 / s ⇒ Xa(s) = G(s) • Xe(s) = 0,66 / (2s + 1) • 1 / s
= 0,66 / [s (2s + 1)]
Rücktransformation von Xa(s) mit Hilfe der Korrespondenztabelle:
Xa(s)
•⎯°
xa(t) = 0,66 ( 1 - e- t/2 ) = Kp ( 1 - e- t/T )
Korrespondenzen zwischen Bild- und Originalbereich
Laplace-Transformation
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
DeltaDiracImpuls
Xe(s) = 1 ⇒
Xa(s) = G(s) • Xe(s)
= 0,66 / (2s + 1) • 1
= 0,66 / (2s + 1)
Xa(s) •⎯° xa(t) = 0,66 ( 0,5 • e- t/2 )
= 0,33 • e- t/2
Rampe
Xe(s) = 1/s2 ⇒
Xa(s) = G(s) • Xe(s)
= 0,66 / (2s + 1) • 1/s2
= 0,66 / [(2s + 1) • s2 ]
Xa(s) •⎯° xa(t) = 0,66 (t-2+2 • e- t/2)
Reaktion eines Systems
auf unterschiedliche
Eingangssignale
Blockschaltbilder
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
In der Regel sind reale dynamische Systeme komplexerer Natur, so daß sich
ihr Blockschaltbild aus einer Anzahl miteinander verbundener Blöcke ergibt.
Solche Anordnungen haben eine Gesamtübertragungsfunktion.
Für die Ermittlung der Gesamtübertragungsfunktion von unterschiedlichen Zusammenschaltungen gelten die folgenden Regeln:
G1 =
G2 =
Xa(s) = Xa2 = G2 • Xe2 = G2 • Xa1
Xa1
Xe1
Xa2
Xe2
Xa1 = G1 • Xe1 = G1 • Xe(s)
Xa(s) = G1 • G2 • Xe(s) ⇒ G = G1 • G2
d.h. die Gesamtübertragungsfunktion einer Reihenschaltung ist das Produkt der Einzelübertragungsfunktionen
Reihenschaltung von Blöcken
Grundprinzipien der Mechatronik
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Blockschaltbilder
Summationsstelle
Xe = Xe1 = Xe2
Xa = Xa1 + Xa2
Xa = G1 • Xe + G2 • Xe = ( G1 + G2 ) Xe ⇒ G =
Xa
Xe
= G1 + G2
d.h. die Gesamtübertragungsfunktion einer Parallelschaltung ist die Summe
der Einzelübertragungsfunktionen
Parallelschaltung von Blöcken
Xe1 = Xe
±
Blockschaltbilder
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Xa2
Xe = Xe1 ± Xa2
Xa = Xa1 = Xe2
Xa = G1 • Xe1
Xa2 = G2 • Xa ⇒ Xa = (
1
G1
± G2 ) Xe ⇒ G =
G1
1 ± G1 • G2
d.h. die Gesamtübertragungsfunktion einer Rückkopplung zwischen zwei Blöcken
ergibt sich nach obiger Rechenvorschrift aus den Einzelübertragungsfunktionen
Rückkopplung von Blöcken
Grundprinzipien der Mechatronik
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Blockschaltbilder
Erzeugung des Weges x durch Integration
Einmassenschwinger
Kräftesumme
Fb = F(t) - Fk – Fd
••
=m•x
Fk = k • x
•
Fd = d • x
Entwicklung des Blockschaltbildes für den Einmassenschwinger
Blockschaltbilder
Grundprinzipien der Mechatronik
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G1 =
1
m•s
G2 =
G1
1 + d • G1
G3 = G2 •
=
=
Vereinfachung des Blockschaltbildes
1
s
1
ms + d
1
•
ms2 + ds
1
s
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Blockschaltbilder
Übertragungsfunktion
F(s)
X(s)
Gges(s)
Gges =
1
1
+k
G3
=
1
ms2
+ ds + k
=
X(s)
F(s)
=
Xa(s)
Xe(s)
Hieraus kann man auf die Laplace-Transformierte der DGL des Einmassenschwingers schließen und auf die eigentliche DGL:
( m s2 + ds + k ) Xa(s) = Xe(s) ⇒ m ••xa + d x• a + k xa = xe
Dies ist gleichbedeutend mit der bekannten DGL des Einmassenschwingers:
••
•
m x(t) + d x(t) + k x(t) = F(t)
Bestimmung der DGL aus der Übertragungsfunktion
Beispiel
Invertiertes Pendel
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Grundprinzipien der Mechatronik
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Beispiel
Bewegungsgleichungen:
l
Kräfte am Wagen
α
l
x
d 2x
FR − FH = M 2
dt
m⋅ g
FV
Kräfte am Stab
FH
M
Invertiertes Pendel
(1)
FR
d2
FH = m 2 ( x + l ⋅ sin α )
dt
( 2)
Koordinaten des
Stabschwerpunktes
d2
FV − m ⋅ g = m 2 (l ⋅ cos α )
dt
(3)
Grundprinzipien der Mechatronik
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Beispiel
l
α
l
x
Momentensumme um den
Stabschwerpunkt:
m⋅ g
FV
d 2α
FV ⋅ l ⋅ sin α − FH ⋅ l ⋅ cos α = J 2
dt
FH
M
Invertiertes Pendel
FR
m ⋅l2
J=
3
(4)
Massenträgheitsmoment des
Stabes
Grundprinzipien der Mechatronik
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Beispiel
d 2x
(1)
FR − FH = M 2
FR − FH = M ⋅ &x& (1′)
dt
d
d2
&
&
[cos α ⋅ α& ]
F
m
x
m
l
=
⋅
+
⋅
⋅
FH = m 2 ( x + l ⋅ sin α ) (2)
H
dt
dt
= m ⋅ &x& + m ⋅ l (− sin α ⋅ α& 2 + cos α ⋅ α&&)
FV − m ⋅ g =
d2
m 2 (l ⋅ cos α )
dt
(3)
FV ⋅ l ⋅ sin α − FH ⋅ l ⋅ cos α =
d 2α
J 2
dt
( 4)
= m ⋅ &x& + m ⋅ l (α&& ⋅ cos α − α& 2 ⋅ sin α )
(2′)
d
(− sin α ⋅ α& )
dt
= ml − α& 2 ⋅ cos α − α&& ⋅ sin α
(3′)
FV − m ⋅ g = ml ⋅
(
Jα&& = FV ⋅ l ⋅ sin α − FH ⋅ l ⋅ cos α
)
(4′)
Grundprinzipien der Mechatronik
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Beispiel
Linearisierung: Für kleine Winkel α gilt:
sin α = α − α 3 6 + ⋅ ⋅ ⋅ ≈ α
cos α = 1 − α 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 1
FR − FH = M ⋅ &x&
(1′)
FR − FH = M ⋅ &x&
FH = m&x& + ml (α&& ⋅ cos α − α& 2 ⋅ sin α )(2′)
(
)
FV − m ⋅ g = ml − α& 2 ⋅ cos α − α&& ⋅ sin α (3′)
Jα&& = FV ⋅ l ⋅ sin α − FH ⋅ l ⋅ cos α
(4′)
(5)
FH ≈ m&x& + ml (α&& − α& 2 ⋅ α )(6)
(
)
FV − m ⋅ g ≈ −ml α& 2 − α&& ⋅ α (7)
Jα&& ≈ FV ⋅ l ⋅ α − FH ⋅ l
(8)
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Beispiel
Für kleine Winkel α können Glieder höherer Ordnung wie
usw. vernachlässigt werden:
FR − FH = M ⋅ &x&
(5′)
FR − FH = M ⋅ &x&
(5)
FH ≈ m&x& + ml (α&& − α& 2 ⋅ α )(6)
(
)
FV − m ⋅ g ≈ −ml α& 2 − α&& ⋅ α (7)
Jα&& ≈ FV ⋅ l ⋅ α − FH ⋅ l
α& 2 , α&& ⋅ α&
(8)
FH ≈ m&x& + mlα&&
FV − m ⋅ g ≈ 0
(6′)
(7′)
Jα&& ≈ FV ⋅ l ⋅ α − FH ⋅ l
(8′)
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Beispiel
Eliminieren der Reaktionskräfte FH und FV durch Substitution:
(6‘) → (8‘) und (7‘) → (8‘)
FR − FH = M ⋅ &x&
FH ≈ m&x& + mlα&&
(5′)
(6′)
Jα&& ≈ FV ⋅ l ⋅ α − FH ⋅ l
FV − m ⋅ g ≈ 0
(8′)
Jα&& = m ⋅ g ⋅ l ⋅ α − m ⋅ l ⋅ &x& − m ⋅ l 2α&&
bzw.
(J + m ⋅ l )α&& + m ⋅ l ⋅ &x& − m ⋅ g ⋅ l ⋅ α = 0
Einsetzen (5‘)
2
→ (6‘)
m ⋅ &x& + m ⋅ l ⋅ α&& = FR − M ⋅ &x&
bzw. m ⋅ l ⋅ α&& + (m + M ) &x& = FR
(10)
(9)
(7′)
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bond Graphen
Lösungsmethoden
Mechanik
Lösungsmethoden
Elektrotechnik
Mechanik
Elektrotechnik
Lösungsmethoden
Fluidik
Fluidik
Gemeinsame Lösungsmethode
Problemlösung in unterschiedlichen Fachgebieten
Lösungsmethoden
Thermodynamik
Thermodynamik
Wäre
wünschenswert
Bondgraphen
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
d‘Alembertschen Prinzip liefert Differntialgleichung
m ⋅ &x& + d ⋅ x& + k ⋅ x = F (t )
Einmassenschwinger
• Es gibt keine direkte Entsprechung zwischen den
Elementen des Modells und den Bauelementen
des Systems
• Die Ermittlung der Ausgangsgröße erfordert das
Lösen einer komplizierten Differentialgleichung
Modellierung des Einmassenschwingers mit der Methodik der Mechanik
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
• Die Bondgraph Methode stellt den Versuch dar, eine einheitliche
Beschreibungsform physikalischer Systeme zu erhalten.
• Sie ist unabhängig von einer bestimmten Fachgebietssicht
• Grundlegendes Merkmal physikalischer Systeme ist das Fließen von
Energie (= Leistung)
• An jeder Stelle eines Systems gilt der Energieerhaltungssatz
• In allen Fachgebieten ist die Leistung P das Produkt zweier charakteristischer Größen des Fachgebietes
Elektrisch →
P =U ⋅ I
Mechanisch →
P = F ⋅v
(Translation)
Mechanisch →
(Rotation)
P = M ⋅ ω Hydraulisch → P = p ⋅ V&
Thermodynamisch →
P = T ⋅ S&
Berechnung der Leistung in unterschiedlichen Fachgebieten
Bondgraphen
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Die beiden Größen, deren Produkt die Leistung ergeben, werden
in der Methodik der Bondgraphen als
Effort „e“ (engl. Anstrengung) und Flow „f “ (engl. Fluss)
bezeichnet
Fachgebiet
Effort
Flow
elektrisch
Potential
Strom
mechanisch
Kraft
Geschwindigkeit
hydraulisch
Druck
Volumenstrom
chemisch
chemisches Potential
molarer Fluss
thermodynamisch
Temperatur
Entropiefluss
Effort- und Flowgrößen der unterschiedlichen Fachgebiete
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
Bond
e
f
P = e⋅ f
Pfeil zeigt in
Richtung des
Energieflusses
In jedem physikalischen System gibt es Komponenten,
die Energieströme aufteilen, speichern oder umwandeln.
Es gibt:
Quellen (Source) für Effort und Flow : SE, SF
Speicher für Effort und Flow : L, C
Leistungsverlust : R
Umwandlung von Leistung : TF,GY
Verzweigung von Efforts und Flows : e, f
Allgemeines Bondgraph Element
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
Steuergrößen
(Informationen)
Bauteil
Leistungsbonds
Gelenk
Gelenk
Bondgraph Darstellung eines Bauteils
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
e
f
L
Induktivität, Trägheit (Masse)
d
e = L⋅ f
dt
e
f
C
Kapazität, mech. Feder
C⋅
e
f
R
Widerstand, Reibung (Dämpfung)
e = R⋅ f
e1
f1
e2
TF
(GY) f2
Transformer
Gyrator
d
e= f
dt
e1 ⋅ f1 = e2 ⋅ f 2
Bondgraph Darstellung elementarer Bauelementeigenschaften
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
e
f
L
e
f
C
e
f
R
d
e = L⋅ f
dt
C⋅
T
S&
d
e= f
dt
Effort wird im Bauelement angesammelt
Flow wird im Bauelement angesammelt
e = R⋅ f
Ins Bauteil fließende Leistung
wird teilweise als Wärme abgeführt
Bondgraph Darstellung elementarer Bauelementeigenschaften
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
Transformer
e1
e2
TF
f1
m f2
e2 = m ⋅ e1 ,
f1 = m ⋅ f 2
e1 ⋅ f1 = e2 ⋅ f 2
Ins Bauteil fließende Leistung
wird unverändert durchgeleitet
m: Übersetzungsverhältnis
n1
Beispiel: elektrischer Transformator
m=
n2
e1 = U1
U 2 = m ⋅ U1
n1
e2 = U 2
⇔ e2 = m ⋅ e1
U1
n2
U2
Bondgraph Darstellung elementarer Bauelementeigenschaften
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
Gyrator
e1
e2
GY
f1
m f2
e1 ⋅ f1 = e2 ⋅ f 2
Ins Bauteil fließende Leistung
wird unverändert durchgeleitet
e1 = m ⋅ f 2 , e2 = m ⋅ f1
m: Übersetzungsverhältnis
Beispiel: Elektromotor
e1 = M Mot
e2 = U i
f1 = ω
f 2 = I Mot
M Mot = m ⋅ I Mot
Ui = m ⋅ω
m = cMot ⋅ Φ
Bondgraph Darstellung elementarer Bauelementeigenschaften
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
„Junctions“ sind Bauteile mit mehr als zwei Bonds, in die Leistungen
hinein und hinausfließen
e1
f
e3 f
e
Effort-Junction
e2
f
f1 = f 2 = f 3 = f
e1 − e2 − e3 = 0
Mechanisch:
e: Kraft,
f: Geschwindigkeit
Satz von d‘Alembert
Alle Flows sind gleich, die
Summe aller Efforts ist Null
e f3
Flow-Junction
e
e
f
f1
f2
e1 = e2 = e3 = e
f1 − f 2 − f 3 = 0
Elektrisch:
e: Spannung,
f: Strom
1. Kirchhoffsches
Gesetz
Alle Efforts sind gleich, die
Summe aller Flows ist Null
Bondgraph Darstellung von Verbindungsstellen (Junction)
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
SE
e
f
SF
e
f
Source Effort
Quelle oder Senke von Energie
bspw. äußere Kraft oder
Spannungsquelle
Source Flow
Quelle oder Senke von Energie
bspw. Geschwindigkeit der
mechanischen Schnittstelle
oder Stromfluss nach außen
Bondgraph Darstellung elementarer Bauelementeigenschaften
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
Wand
Feder
Masse
SE
(Kraft F(t))
Dämpfer
Einmassenschwinger
OUT
(Ausgabe der Beobachtungsgröße x(t))
Bondgraph Bauelementemodell des Einmassenschwingers
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
Feder: mechanisches System
f =v e=F
C
vf
vw
f
Ff
vm
Flow-Junction:
Summe aller Flows gleich Null
Alle Efforts sind gleich, d. h. in der Junction
herrscht die Kraft Ff
Kapazität:
f =C⋅
d
e ⇒ ∫ f ⋅ dt = C ⋅ e
dt
Flow wird im Bauelement angesammelt, d. h.
Geschwindigkeit wird zu Verschiebung
aufintegriert
Bondgraph der Feder
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
Dämpfer: mechanisches System
f =v e=F
R
vd
vw
f
Fd
vm
Flow-Junction:
Summe aller Flows gleich Null
Alle Efforts sind gleich, d. h. in der Junction
herrscht die Kraft Fd
Widerstand (Reibung): e = R ⋅ f
Flow wird im Bauelement angesammelt, d. h.
Geschwindigkeit wird zu Verschiebung
aufintegriert
Bondgraph des Dämpfers
Bondgraphen
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Wand: mechanisches System
f =v e=F
Ff
SF
e vw
Fd
Effort-Junction:
Summe aller Efforts gleich Null
Alle Flows sind gleich, d. h. in der Junction
herrscht die Geschwindigkeit vw = 0
Source Flow:
Abgabe von Flow: Geschwindigkeit der Wand
Bondgraph der Wand
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
Masse: mechanisches System
f =v e=F
L
Ff
Fd
Fm
e
vm
F(t)
Effort-Junction:
Summe aller Efforts gleich Null
Alle Flows sind gleich, d. h. in der Junction
herrscht die Geschwindigkeit vm der Masse
Trägheit:
d
e = L ⋅ f ⇒ ∫ e ⋅ dt = L ⋅ f
dt
Effort wird im Bauelement angesammelt, d. h
Kraft wird zu Impuls aufintegriert
∫
xm
F = m ⋅ a ⇒ ∫ F ⋅ dt = m ⋅ v
Bondgraph der Masse
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
C
vf
Ff
vw
SF
e
vw
R
f
Ff
Fm
F(t)
e
vm
vd
Fd
vw
Ff
vm
L
f
Fd
Fd
vm
∫
xm
SE
OUT
Bondgraph des Einmassenschwingers
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
C
vf
Da die Wandgeschwindigkeit
(Flow) Null ist, und damit keine
Leistung aus den Flow-Junctions
Von Feder und Dämpfer nach
Links fließt, können die zugehörigen Bonds, sowie die EffortJunction und der Source Flow
der Wand weggelassen werden.
R
f
Ff
Ff
vm
L
Fm
F(t)
e
vm
vd
f
Fd
Fd
vm
∫
xm
SE
OUT
Bondgraph des Einmassenschwingers
Grundprinzipien der Mechatronik
Prof. Dr.-Ing. W. Roddeck
Bondgraphen
Die Flow-Junctions von Feder und
Dämpfer sind trivial, da sie nur jeweils einen hinein- und einen
hinausführenden Bond besitzen.
Sie können daher weggelassen
werden.
C
Ff
vm
L
Fm
F(t)
e
vm
R
Fd
vm
∫
xm
SE
OUT
Bondgraph des Einmassenschwingers
Grundprinzipien der Mechatronik
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Bondgraphen
Feder
vm = x& f
Ff = k ⋅ x f
Fd = d ⋅ vm
Fm = p& m
∫
f ⋅ dt = C ⋅ e ⇒ C =
Dämpfer
e = R⋅ f ⇒ F = d ⋅v
p m = m ⋅ vm
F (t ) = Φ (t )
C
Ff
vm
L
Fm
F(t)
ev
m
− F f − Fd − Fm + F (t ) = 0
x& m = vm
1
⇒ F = k ⋅ ∫ v ⋅ dt
k
R
Fd
vm
∫
Simulationsgleichungen des Bondgraphen
xm
SE
OUT