Diskrete Mathematik
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Diskrete Mathematik
Inhaltsverzeichnis
(Vgl.: Nehrlich, W.: Diskrete Mathematik, Fachbuchverlag Leipzig, 2003)
WS 2010/11
0.
Allgemeines
I.
Mathematische Logik
0.
1.
2.
3.
29.09.2010 (ab S. 4)
Einführung
Klassische zweiwertige Aussagenlogik
a)
Begriff der Aussage
Def. I.0
b) Aussagenverbindungen
Def. I.1
Syntax logischer Ausdrücke
Def. I.2
Tautologie, Kontradiktion, …
c)
Semantische Äquivalenz
Def. I.3
Def. I.4
dualer Ausdruck
Satz I.1
Dualitätstheorem
d) Normalformen
Def. I.5
Fundamentalkonjunktion, DNF
Satz I.2
DNF eines Ausdrucks
Def. I.6
Elementarkonjunktion, KDNF
Satz I.3
KDNF eines Ausdrucks
Prädikatenlogik
a)
Definitionen
b) Rechenregeln für Quantoren
Einige Beweismethoden
a)
Implikation
b) Äquivalenz(en), Ringbeweis
c)
vollständige Induktion
06.10.2010 (ab S. 9)
13.10.2010 (ab S. 11)
20.10.2010 (ab S. 13)
II. Mengen
0.
1.
27.10.2010 (ab S. 16)
Cantorsche Mengendefinition
Teilmenge, Potenzmenge
a)
Def. II.1
Teilmenge
Def. II.2
Gleichheit
b) Def. II.3
Potenzmenge
III. Boolesche Algebren
1.
2.
3.
Mengenalgebra
a)
Mengenoperationen
Def. III.1
b) Rechenregeln
Satz III.1
c)
Mächtigkeit endlicher Mengen
Def. III.2
Satz III.2
Folgerung1, Folgerung 2
Satz III.3
Axiome der Booleschen Algebra
Def. III.3
Satz III.4
Satz III.5
Die Halbordnungsstruktur einer Booleschen Algebra
Def. III.4
-Relation
Satz III.6
Def. III.5
Atom
Satz III.7
Satz III.8
Satz III.9
Darstellungssatz
Satz III.10
B, 0, 1, , ,
03.11.2010 (ab S. 18)
10.11.2010 (ab S. 22)
24.11.2010 (ab S. 25)
P M , , M, , ,
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
1
IV. Relationen
1.
Charakterisierung von Relationen
a)
Mengenprodukt, Relationsbegriff
Def. IV.1
MN
Satz IV.1
Rechenregeln
Def. IV.2
R MN
b) Darstellung binärer Relationen
) Digraph
xy
c)
Def. IV.5*
Satz IV.2
R1
R2 o R1
Matrixprodukt
A R2 o R1 A R1
A R2
Eigenschaften von Relationen. Strukturierte Mengen
a)
Eigenschaften binärer Relationen
Def. IV.6
Eigenschaften von R M M
b) Strukturierte Mengen
Def. IV.7
Ordnungsrelationen, Äquivalenzrelationen
Def. IV.8
Äquivalenzklasse, Faktormenge
Satz IV.3
aRb a b a b
Satz IV.4
Def. IV.9
Satz IV.5
c)
Satz IV.8
Zerlegung einer Menge mittels einer Äquivalenzrelation
Zerlegung einer Menge
M
=
R
Permutation, Determinante
Gleichmächtigkeit
Endlichkeit nach Dedekind
abzählbar unendlich
0
0,1 0
,
M P M
Zahlentheorie
0.
1.
2.
08.12.2010 (ab S. 34)
Bijektionen und unendliche Mächtigkeiten
22.12.2010 (ab S. 37)
Def. IV.10
Funktionen
Def. IV.11
totale, injektive, surjektive, bijektive Funktion
Satz IV.6
M N n finj. fsurj. fbijekt.
Def. IV.12
Def. IV.13
Def. IV.14
Def. IV.15
Satz IV.7
V.
x
)
Adjazenzmatrix
A R
Def. IV.3 spezielle Relationen
Umkehrung und Verknüpfung von Relationen
Def. IV.4
Def. IV.5
2.
01.12.2010 (ab S. 27)
Grundeigenschaften ganzer Zahlen
Satz V.0
i) a b a b a
05.01.2011 (ab S. 40)
ii)
ab a b
Teilbarkeit, Division mit Rest
a)
Teilbarkeit
Def. V.1
a|b
Satz V.1
Teilereigenschaften
b) Division mit Rest
Satz V.2
b = qa + r , 0 ≤ r < |a|
Def. V.2
r = bmoda
Def. V.3
Kongruenz: b b'(moda)
Satz V.3
bmoda = b'moda b b'(moda)
ggT, Euklidischer Algorithmus
a)
Der größte gemeinsame Teiler
Def. V.4
ggT(a, b)
Satz V.4
ggT(b, a) = ggT(a, r) für b = qa + r
b) Euklidischer Algorithmus
Def. V.5
Teilerfremdheit
Satz V.5
Vielfachsummendarstellung: ggT(a, b) = ax + by
Erweiterter Euklidischer Algorithmus
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
2
3.
Modulare Arithmetik
12.01.2011 (ab S. 43)
4.
Primzahlen, Fundamentalsatz
19.01.2011 (ab S. 45)
5.
Der Satz von Euler
später
6.
Chinesischer Restsatz
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
3
Diskrete Mathematik
Material zur LV
WS 2010/11
I. Mathematische Logik
I.
0. Einführung
29.09.2010
(Joh. 1.1)
Im Anfang war das Wort
Logik:
Logos:
= zum Logos gehörig
Rede, Wort, Vernunft, Verhältnis
= ratio et oratio
(Goethes Faust : = Wort, Sinn, Kraft, Tat)
heute: Logik = Lehre vom schlüssigen und folgerichtigen Denken
Denken
Sprache als materielle Erscheinungsform
Präzisionsmängel der natürlichen Sprachen:
Syntax:
Beschreibung
Semantik:
Inhalt
bezüglich
sprachlicher Darstellungen,
gestört durch Homonyme (mehrdeutige Substantive): z. B.
Leiter, Faust.
Deshalb: Künstliche bzw. formale Sprachen zur
1. Vermeidung von Mehrdeutigkeit,
2. Unterstützung des folgerichtigen Denkens.
z. B.
Formelsprachen der Physik, Chemie
Programmiersprachen
Wissenschaftssprache
in der Mathematik
Mathem.
Logik
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
(I.1.)
(I.2.)
Die wichtigsten Grundlagen der modernen Logik gehen zurück auf Aristoteles (384 – 322).
Untersuchung der allgemeinen Prinzipien logischen Denkens
Syllogistik = Lehre des Schließens
Verbindung von mathem. Kombinationskunst – logischem Schließen
mathem. Logik bei
G. W. Leibniz (1646 – 1716), B. Bolzano (1781 – 1848);
Herausbildung der Logik als eigenständiges Gebiet der Mathematik, vor allem durch
de Morgan (1806 – 1871), Boole (1815 – 1864), Frege (1848 – 1925);
algebraische Struktur in der Logik
Russel (1872 – 1970), Whitehead (1861 – 1947) Principia Mathematica;
Hilbert (1862 – 1943); Gödel (1906 – 1978);
mathematische Logik
zentrale Fragen der theoretischen Informatik
Kleene (1909 – 1994), Church (1903 – 1995), Turing (1912 – 1954)
Algorithmen und Rekursionstheorie
Mathematische Logik bildet die Basis für Rechnerentwicklung, Digitaltechnik, künstliche
Intelligenz u. s. w.
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
4
I.
1.
Klassische zweiwertige Aussagenlogik
a)
Begriff der Aussage
Grammatikalische Form einer Aussage: Aussagesatz, z. B.
Keine Imperativ-, Interrogativ- oder ähnliche Sätze: z. B.
Der Ball ist rund.
Denk mal! Wozu ist Logik nützlich?
Das möchte man wissen.
Aussagesatz mit eindeutig bestimmtem Wahrheitswert : p ist Aussage
def .
" " bedeutet "definitionsgemäß"
W oder F
def .
Zweiwertigkeitsprinzip
i)
Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten
Es gibt nur die Wahrheitswerte W = "wahr" und F = "falsch".
ii)
Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch
Eine Aussage kann nicht zugleich wahr und falsch sein.
z. B.
i)
Die Gleichung x3 – x = 0 hat genau zwei Lösungen.
ii)
Für jede natürliche Zahl n 3 hat die Gleichung xn + yn = zn keine ganzzahligen
Lösungen.
Behauptung: Fermat 1637
Beweis:
Wiles 1994
iii)
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende
Quersumme es auch ist.
iv)
Die Zahl 2m – 1 ist eine Primzahl.
Aussage hinsichtlich der syntaktischen Form
Aussageform
m ist aber "freie" Variable.
Aussageform
Aussage mit "freien" Variablen.
wahr für z. B. 2, 3
falsch für z. B. 4
2m – 1 : Mersennesche Zahlen
Marin Mersenne (1588 – 1648)
Weiteres zu Aussageformen später unter "Prädikatenlogik".
b)
Aussagenverbindungen
Verknüpfung von Einzelaussagen zu neuen Aussagen
Extensionalitätsprinzip
Der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage hängt nur von den Wahrheitswerten der
sie konstituierenden Einzelaussagen ab, nicht aber von deren Sinnzusammenhängen oder
Inhalten (Intensionen).
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
5
Die 5 klassischen Aussagenverbindungen
i)
ii)
iii)
Negation: non p ; nicht p ; p ; ~ p ; p
Konjunktion: et (p, q) ; p und q ; p
Disjunktion: vel (p, q) ; p oder q ; (p
" " ̂ vel: einschließendes "oder"
q, pq
q)
p
p
W
F
F
W
p
W
W
F
F
q
W
F
W
F
p
p
W
W
F
F
q
W
F
W
F
p
q
W
F
F
F
q
W
W
W
F
iv)
Implikation: wenn p, dann q ; seq (p, q) ; (p q)
p q: aus p folgt q, p ist hinreichend für q,
q ist notwendig für p, p (kann) nur dann
(sein), wenn q ist
p
W
W
F
F
q
W
F
W
F
pq
W
F
W
W
v)
Äquivalenz: eq (p, q) ; genau dann p, wenn q ;
(p q)
p
W
W
F
F
q
W
F
W
F
pq
W
F
F
W
zu ii) bzw. iii) Umgangssprache: Bei rotem und gelbem Ampellicht muss angehalten werden.
Konjunktive Form einer Disjunktion
zu iv)
ex falso sequitur quolibet
W W
F W
F F
verum sequitur ex quolibet
Eine Diskussionsbeilage zum Begriff der Folgerung:
W
1=1
W
W
0=0
0
W
F
F
1=1
0=1
0=1
F
W
W
0=1
0=0
0
F
W
F
0=1
0=1
1
AufgabenBearbeitungs- schließliches
voraussetzung
schritt
Ergebnis
p
Voraussetzung
Prämisse
q
Schlussfolgerung
Konklusion
Behauptung
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
6
Ausdrücke (sinnvolle Zahlenreihen)
Herstellung von Aussagen H aus Einzelaussagen p, q, r, ... mit Hilfe der
logischen Junktoren , , , , .
Def. I.1 Syntax logischer Ausdrücke
i) Jede Einzelaussage p, q, r, ... sowie die Wahrheitswerte W und F sind Ausdrücke.
ii) Sind H , H1 , H2 Ausdrücke, so sind auch H, (H1
H2), (H1
H2), (H1 H2), (H1 H2)
Ausdrücke.
iii) Ausdrücke können ausschließlich mittels i) oder ii) gebildet werden.
Anm.: Def. I.1 ist eine rekursive bzw. induktive Definition
z. B.
((p q)
( q
(p q))) Ausdruck
( p
q)
zwei aufeinander
folgende Junktoren
(p q
r) keine Ausdrücke
Klammerstruktur
Verabredung:
i) äußerste Klammern können weggelassen werden; ii) stärkste Bindung bei p , p ;
iii)
vor
z. B. : p
(q
r) = p
q
r=p
qr , aber: p
q
r (p
q)
r = (p
q)r
Zur Sprechweise:
Ausdrücke:
Einzelaussagen p, q, r ...:
W, F:
Semantik:
aussagenlogische Terme, Formeln
Aussagenvariable
logische Konstanten
Wahrheitswertverlauf von Ausdrücken, der durch
Wahrheitswerttabellen ermittelt wird.
z. B.
i)
p
W
F
ii)
p
W
F
iii)
H=p
p
W
F
p
F
F
H=p
p
W
F
p
F
W
Elimination von F
p p=F
H hat stets den Wahrheitswert F
(Satz vom (ausgeschlossenen)
Widerspruch).
Elimination von W
p p=W
H hat stets den Wahrheitswert W
(Satz vom ausgeschlossenen
Dritten).
p
W
W
p
F
W
H = (p q) ( q p) = H1 H2
p
q
W
W
F
F
W
F
W
F
H1
p
q
W
F
W
W
H
W
W
W
W
q
F
W
F
W
H2
W
F
W
W
p
F
F
W
W
H hat stets den Wahrheitswert W;
H2 ist die Kontraposition von H1.
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
7
iv)
H = (p (q r)) ((( p
r)
q)
r) = (p H1) H2 = H3 H2
p
q
r
(p
(q
r))
((( p
W
W
W
W
F
F
F
F
W
W
F
F
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
W
F
F
W
F
F
W
F
W
W
W
W
W
W
F
F
F
F
W
F
W
W
F
W
F
F
W
W
F
F
W
W
F
F
W
F
W
W
W
F
W
W
W
F
W
F
W
F
W
F
W
F
W
W
F
W
F
F
F
F
F
F
W
W
W
W
Def. I.2
r)
W
F
W
F
W
W
W
W
r)
q)
W
F
W
F
W
F
W
F
W
F
F
F
W
W
F
F
W
W
F
F
W
W
F
F
F
F
F
F
F
W
F
F
F
W
F
W
F
W
F
W
Ein Ausdruck heißt
erfüllbar, wenn er
tautologisch, wenn er
kontradiktorisch, wenn er
neutral, wenn er erfüllbar ist und
W
W
F
F
annimmt für
mindestens eine
alle
alle
mindestens eine
Belegung(en)
der
Einzelaussagen.
Zu den obigen Beispielen: i) Kontradiktion, ii) u. iii) Tautologien, iv) ist neutral
Für einen Ausdruck mit n Einzelaussagen p1 ... pn gibt es genau 2n Zeilen
der Wahrheitswerttabelle
Anm.:
p1
W
F
p1
W
W
F
F
1
2 =2
p2
W
F
W
F
p1
W
W
W
W
F
F
F
F
22 = 4
p2
W
W
F
F
W
W
F
F
p3
W
F
W
F
W
F
W
F
p1
W
W
F
F
23 = 8
p2
p3
p4
23 Zeilen
23 Zeilen
2 23 = 24 Zeilen
Für n Einzelaussagen entspricht jede Zeile genau einer n-stelligen Dualzahl, von denen es
genau 2n gibt. (0, 0, ... , 0) , (1, 0, ... , 0) , (0, 1, 0, ... , 0) ... (1, 1, ... , 1)
20 + 21 + 22 + ... + 2n – 1 =
2n 1
2n 1 : größte Zahl
2 1
Sämtliche zweistelligen Aussageverbindungen:
p
W
W
F
F
q
W
F
W
F
15
f1
W
W
W
W
14
f2
W
W
W
F
13
f3
W
W
F
W
12
f4
W
W
F
F
11
f5
W
F
W
W
10
f6
W
F
W
F
9
f7
W
F
F
W
8
f8
W
F
F
F
7
f9
F
W
W
W
6
f10
F
W
W
F
5
f11
F
W
F
W
4
f12
F
W
F
F
3
f13
F
F
W
W
2
f14
F
F
W
F
1
f15
F
F
F
W
0
f16
F
F
F
F
Klassische Aussagenverbindungen: p bzw. q : f13 bzw. f11
f8 :
, f2 :
, f5 : , f7 : , f1 : W , f16 : F , f4 : Id(p) = p , f6 : Id(q) = q , f3 :
Weitere zweistellige Aussageverbindungen:
f9 : (p q) =: p | q, "nicht sowohl p als auch q", "weder p noch q"
f15 : (p
q) =: p q
f10 : (p q) =: p q
"weder p noch q"
"entweder p oder q"
NAND-Funktion (not-and)
Junktor "|" : Sheffer-Strich.
NOR-Funktion (not-or), Nicod-Funktion
Junktor "" : Peirce-Pfeil.
Antivalenz, XOR-Funktion (exclusive-or)
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
8
c)
Semantische Äquivalenz
06.10.2010
Def. I.3
Zwei Ausdrücke H1 und H2 heißen semantisch äquivalent, wenn sie denselben Wahrheitswertverlauf haben, d. h., wenn der Ausdruck H1 H2 eine Tautologie ist. Analog spricht man von
semantischer Implikation, wenn H1 H2 eine Tautologie ist.
Schreibweise: H1 H2 bzw. H1 H2 ;
Es gilt:
i)
ii)
iii)
H1 H2
H H
für jeden Ausdruck H
H1 H2 H2 H1
H1 H2 und H2 H3 H1 H3
Reflexivität
Symmetrie
Transitivität
der Relation ""
"" ist eine Äquivalenzrelation, wie allgemein jede reflexive, symmetrische und transitive
Relation genannt wird (später, Kap. IV).
Es gilt: H1 H2
bzw.
H1
r) (p
r) (p
q)
q)
H1 H2
H2 H1 H2
z. B.
0)
p
p
qq
qq
p und p
p und p
i)
pqqp
ii)
pqp
iii)
p q (p q)
iv)
p q ( p
v)
(p
vi)
p
r
r
(Kommutativität und Assoziativität von
(Kommutativität und Assoziativität von
)
)
(Kontraposition(sprinzip))
q
(Junktor kann semantisch äquivalent mittels und
(q p)
q)
q) p
(q
(q
(q
( q
(Junktor kann semantisch äquivalent mittels und
ersetzt werden)
p)
(Junktor kann semantisch äquivalent mittels ,
und
ersetzt werden)
q und (p
r) (p
q)
ersetzt werden)
(p
q) p
r)
q
r
p
W
W
W
W
F
F
F
F
W
W
F
F
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
W
F
W
W
W
W
F
F
F
F
(de Morgansche Regeln)
(Distributivität von
(q
p
q
W
W
W
F
F
F
F
F
r)
W
W
W
F
W
W
W
F
gegenüber
(p
W
W
W
W
W
W
W
W
q)
W
W
F
F
F
F
F
F
)
(p
W
W
W
F
F
F
F
F
r)
W
F
W
F
F
F
F
F
Zusammen mit iv) und 0) folgt hieraus:
p q ( p
( p
q)
( q
q) (q
Also p q (p
p) (( p
q)
q)
q) ( p
p)
(q
q)
( p
(( p q)
p)
p) (p
q) ( p
q)
q) p q p q
Bei dieser Umformung wurden die semantischen Äquivalenzen H
benutzt.
H F und H
FH
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
9
vii) p (q r) (p
Bew.:
q) r
(Prämissenverbindung)
p (q r) p
(q r) p
(p
q)
r (p
q) r
( q
r) ( p
q)
r
Def. I.4 dualer Ausdruck
Ein Ausdruck H ohne die Teilausdrücke W, F enthalte nur die Junktoren ,
H* werde aus H durch wechselseitige Ersetzung aller
und gebildet.
H* heißt der zu H duale Ausdruck.
,
.
Satz I.1 Dualitätstheorem
H1 und H2 seien Ausdrücke, in denen nur die Junktoren ,
Dann gilt H1 H2 H1* H2*
,
vorkommen.
Beispiel für Anwendungen von Satz 1
p
H1
H2
(q
r) (p
q)
(p
r)
H1*
H2*
(q
r) (p
q)
p
(p
r)
Beweis von Satz 1
Es sei H1 H2. Konstruieren wir aus H1 und H2 die Ausdrücke H 1 und H 2, indem alle
vorkommenden Einzelaussagen durch ihre Negation ersetzt werden, so gilt gemäß Def. I. 31
auch H 1 H 2. Nun kann man in H 1 und H 2 durch wiederholte Anwendung der de
Morganschen Regeln die -Junktoren sukzessive "nach außen treiben", wobei die semantische
Äquivalenz stets erhalten bleibt. Bei diesem Prozess gehen alle Junktoren und
wechselseitig ineinander über, so dass man schließlich erhält:
H1* H2*. Hieraus folgt dann die Behauptung H1* H2*.
Am Beispiel der semantischen Äquivalenz ( p
demonstrieren wir den Beweisweg:
q)
H1 = ( p
q) = H2.
q)
(p
q) (p
q)
( p
(p
q) (p
q)
( p
q)
Durch Ersetzung der Einzelaussagen durch ihre Negation erhalten wir:
H 1 = ( p
q)
( p
q) ( p
q)
( p
q) = H 2.
Durch zweimalige Anwendung der de Morganschen Gesetze folgt:
( p
q)
(( p
( p
d)
q)
(p
q) (p
(p
q)) ((p
q)
(p
q) (p
q)
q)
q)
( p
( p
( p
q) und
q)), also H1* H2*, und schließlich
q), also H1* H2*.
Normalformen
Reduktion von Ausdrücken auf eine einheitliche Beschreibungsform wodurch
i)
die Semantik (der Wahrheitswertverlauf) ablesbar ist ohne Aufstellen der vollständigen
Wahrheitstafel, und daher
ii)
semantische Äquivalenzen "sofort" erkennbar sind.
Def. I.5
i)
ii)
1
Ein Ausdruck heißt Fundamentalkonjunktion, wenn er eine Konjunktion aus negierten
und unnegierten (Einzel-)Aussagen ist, wobei jede Aussage höchstens einmal vorkommt.
Eine Disjunktion von Fundamentalkonjunktionen heißt disjunktive Normalform (DNF).
Jede i-te Belegung von H ist gleich der (2n + 1 – i)-ten Belegung von H *
i-te Belegung H = (2n + 1 – i)-te Belegung H
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
10
iii)
Der kontradiktorische Ausdruck F ist eine DNF.
z. B.
p q r ist Fundamentalkonjunktion, aber nicht p q p .
pq r
qr
p
r ist DNF.
Satz I.2
Jeder Ausdruck kann in eine semantisch äquivalente DNF umgeformt werden.
Bew.:
Extrablatt 03, Schritte 1. – 4.
z. B.
H p q q p
p q q p
p q q p p q q p
p q p q pq pq
DNF
p q pq
Def. I.6
i)
ii)
iii)
Eine Fundamentalkonjunktion, in der jede (Einzel-)Aussage genau einmal vorkommt,
heißt Elementarkonjunktion oder Minterm.
Eine Disjunktion von Elementarkonjunktionen heißt kanonische disjunktive
Normalform (KDNF).
Der Ausdruck F heißt leere KDNF.
Satz I.3
Jeder Ausdruck kann in eine semantisch äquivalente KDNF umgeformt werden.
Bew.:
Extrablatt 03, Schritte 1. – 6.
z. B.
H p q pq
p q q q p p p q
pq pq q p q p pq
pq pq pq pq
Anmerkungen:
13.10.2010
i)
Im Unterschied zur DNF ist die KDNF eindeutig bis auf die Reihenfolge von
pq qp
E1 E2 E2 E1
;
Einzelaussagen
in Mintermen
Minterme
ii)
H1 H2
KDNF H1 KDNF H2
iii)
HW
KDNF H ist vollständig, d. h. enthält alle möglichen 2n Minterme
bei p1 , p2 ,
Tautologie
iv)
H F
, pn Einzelaussagen.
KDNF H ist leer.
Kontradiktion
v)
Jeder W-Belegung von H p, q,
, r in der Wahrheitstafel entspricht genau ein
Minterm der KDNF(H), d. h.
H H p, q, r W für die Belegung WFW pqr ist Minterm in der KDNF von H.
z. B.
Abstimmfunktion
f p, q, r H p, q, r W : : Die Mehrheit der Einzelaussagen hat
def .
den Wahrheitswert W.
p
W
q
W
r
W
f(p,q,r)
W
W-Belegung
pqr
F-Belegung
–
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
11
W
W
F
W
pqr
–
W
F
W
W
pq r
–
W
F
F
F
–
pq r
F
W
W
W
pqr
–
F
W
F
F
–
pqr
F
F
W
F
–
pqr
F
F
F
F
–
pq r
KDNF
:
f p, q, r H p q r p q r p q r p q r
KDNF
für
f p, q, r H p q r p q r p q r p q r
Eine zur KDNF analoge Normalform wird gebildet aus der Konjunktion von Maxtermen
(Elementardisjunktionen) und heißt kanonische konjunktive Normalform (KKNF).
Die Bildung erfolgt über die KDNF von H und anschließender Negation gemäß H H ,
z. B.
(siehe oben)
H H pq r pqr pq r pq r
H p q r p q r p q r p q r H *
Anm.
Im Allgemeinen gilt nicht wie hier KKNF H H* KDNF H * ,
d. h., KKNF und KDNF sind nicht dual zueinander.
Satz I.3*
Jeder Ausdruck H kann in eine semantisch äquivalente KKNF H E1 E2
Er umgeformt
werden, in deren Maxtermen (Elementardisjunktionen) Ei definitionsgemäß alle Einzelaussagen
genau einmal vorkommen und mit " " verknüpft sind.
vi)
z. B.
pq
pq pq pq
pq
KDNF
KKNF
p q pq pq
KDNF
p q p q
KKNF
vii) Zu weiteren Normalformen siehe Literatur.
viii) Da jeder Ausdruck so umgeformt werden kann, dass nur die Junktoren , , und die
Einzelaussagen vorkommen, bildet die Menge , , eine Verknüpfungsbasis.
Weitere Verknüpfungsbasen sind , , , , , , ja sogar
| , ;
siehe Übung Blatt 01.
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
12
I.
2. Prädikatenlogik
20.10.2010
a) Definitionen
Eine Aussageform (Prädikat) wie z. B.
p x : x 5 ;
p x, y : y 2x ;
p x, y, z : x 2 y 2 z 2
wird eine Aussage durch Festlegung eines Grundbereichs G(ültigkeitsbereich) für die freien
Variablen x, y, z in Verbindung mit den sogenannten Quantoren "
", "
" , die eine
Verallgemeinerung der Konjunktion " " bzw. Disjunktion " " bezeichnen.
Für G x1 , x2 ,
, xn sei
p x : p x1 p x2
p xn ,
def .
x G
p x : p x1 p x2
def .
x G
p xn ,
und allgemein
p x : Für alle x aus G gilt p x .
def .
x G
p x : Für einige x aus G gilt p x .
def .
x G
Es gibt (mindestens) ein x aus G, für das p x gilt.
Für den Allquantor (Generalisator) "
Anm.
" und den Existenzquantor (Partikularisator)
" sind auch die Schreibweisen " " bzw. " " üblich.
"
So erhält man z. B. für
1,2,
G
mit
x 5 ;
x
falsche
und zwei wahre Aussagen; hier ist x, y
y 2x eine
x 5 ;
x
x ,y
zu lesen als: "ein Paar x,y natürlicher Zahlen".
x 2 y 2 z 2 wahr; denn die Zahlentripel 3, 4, 5 oder 5, 12, 13 erfüllen die
So ist z. B.
x ,y , z
Gleichung x2 y 2 z 2 , ja sogar unendlich viele leisten das (vgl. dazu Extrablatt 04).
Kombinationen von Quantoren sind z. B.
i)
y 2x
x
ii)
y
y 2x
x
iii)
y 2x
x
y
y 2x ,
iv)
y
x
y
hier ist i), iv) falsch und ii), iii) wahr. Zur Vereinfachung setzt man
x G
z G
bzw.
x , ,z G
x G
z G
.
x , , z G
b) Rechenregeln für Quantoren
i)
(Verallgemeinerung von "de Morgan"
p x
x G
ii)
)
x G
)
x G
Anm.
p x ;
x G
p x q x
p x
p x
x G
p x q x
q x
)
x G
p x
x G
p x
x G
x G
x G
q x )
x G
x G
p x q x
p x q x
p x
x G
q x
x G
p x
x G
q x
x G
Für die Ungültigkeit von "" in ), ) betrachte man G = ,
p x : x ist gerade , q x : x ist ungerade (vgl. Blatt, 02 Aufg. 4).
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
13
p x, y
iii)
x G y H
p x, y
y H x G
p x, y
iv)
x G y H
p x, y :
y H x G
analog
p x, y
x G
y H
...
u. s. w.
x G y H
Übung: Man formuliere in der Sprache der Prädikatenlogik die Aussage:
i)
H=
Jede Teilmenge natürlicher Zahlen hat ein Minimum (kleinstes Element).
Also H
xu y .
T
ii)
H=
xu T y T
Es gibt genau ein x aus G mit p x .
p x
Also H
x ,y G
x G
I.
3. Einige Beweismethoden
a) Implikation p
i)
p x p y x y .
q
direkt, d. h. durch (mehrfache) Anwendung des Kettenschlusses p r p q q r .
z. B.
n
Bew.:
n ungerade
n ungerade
n2 ungerade
n2 2k 1 n2 ungerade
n2 2 2k 2 2k 1 1
n 2k 1
k
Anm.
k
k
Abgesehen von der Ungültigkeit der Assoziativität des Junktors
" ", d. h. p q r p q r (Beweis zur Übung), wird ein
Kettenschluss formal unkorrekt aufgeschrieben als p q r
wobei aber p q q r
ii)
st,
s t gemeint ist.
durch Kontraposition, d. h. Anwendung der Tautologie p q q p
n2 gerade
z. B.
n gerade
n
Bew.:
iii)
n ungerade n2 ungerade
i)
indirekt, d. h. durch Anwendung der Tautologie p q pq F ; hier wird also aus der
Gültigkeit der Prämisse p und der Negation der Konklusion q auf eine Kontradiktion F
geschlossen, z. B. auf F pp .
z. B.
p1 , , pn
p1 p2
Bew.:
p,q
p 1
p1 p2
pn 1 pq
pn p pq
p,q
p 1
p,q
p 1
1
p
pi p1 ,
pi p
1 pq p1 p2
p
, pn p
p
p 1
p 1
pi p1 , , pn
pn
pi p1 , , pn
pi
p
pi p
q
p 1
p1 p2 pn
qs
pi
p 1 F
(siehe dazu Extrablatt 05).
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
14
b) Äquivalenz(en)
i)
pq
durch Anwendung von p q p q p q
n2 gerade
z. B.
n gerade
n
" ":
a) ii) ;
" " : n gerade
n 2k
k
k
p q q r
ii)
p q
Anm.
n2 2 2k 2 2k n2 gerade .
durch einen Ringbeweis, d. h. durch Anwendung von
q r p q q r r p
(Beweis dieser Tautologie zur Übung).
Wie beim Kettenschluss wird auch hier unkorrekter Weise p q r geschrieben.
Im Unterschied zu " " ist allerdings der Junktor " " assoziativ, d. h. es gilt
p q r p q r (Beweis zur Übung).
z. B.
c)
Blatt 04 Aufg. 7.
vollständige Induktion
p n
n
n k0
I.A.
p k0
k
k k0
k0
I.A.
p k 1
I.V. I.B.
Induktionsanfang
I.S. :
I.V. I.B.
Induktionsschritt mit I.V.
und I.B.
n
Rekursionsformel Fn F0 F1
Bew.:
Induktionsvoraussetzung
Induktionsbehauptung
Für die Fermatschen Zahlen Fn 22 1 , n
z. B.
O
p k
1
0
Fk Fi 2
O
k
Fk 1 Fi 2
i 0
k
k 1 F F 2 22k 1 22k 1 22k 1 1 F 2
Fi Fk Fi I.V.
k k
k 1
i 0
i 0
gilt die
i 0
I.S. :
I.S. :
n 1
k0 1 : F1 22 1 5 22 1 2 F0 2
i 0
0,1,2,
Fn1 2 Fi 2 .
I.A. :
k 1
0
I.B.
(vgl. Extrablatt 06)
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
15
II. Mengen
II. 0. Mengendefinition nach Cantor
(1895)
27.10.2010
(1845-1918)
Unter einer 'Menge' verstehen wir die Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M
genannt werden) zu einem Ganzen.
(Anm.
Eine Menge ist nach Cantor ein "fertiges Ganzes".)
z. B.
i)
1, 2,
0, 1, 2,
Menge der natürlichen Zahlen.
Menge der ganzen Zahlen
0, 1
ii) Menge der ganzzahligen Lösungen von x3 2x2 x 0
G 2, 4,6,
iii) G n | n ist eine durch 2 teilbare natürliche Zahl
Schreibweisen
i)
aufzählend : M = x1, x2 ,
ii)
definierend durch eine Eigenschaft
p x der Elemente x : M x | p x
Anm. und Def. Von jedem Objekt x soll die Zugehörigkeit oder die Nichtzugehörigkeit zu einer
Menge M entschieden werden können, was mit p x : x M bzw. p x x M
bezeichnet wird. Also ist für jede Menge M die Aussage x M x M wahr
für jedes Objekt x. Neben dieser (notwendigen) Einschränkung der obigen
Cantorschen Mengendefinition sei noch für alle Objekte x die Gültigkeit der
Gleichung x = x vorausgesetzt. Andere mögliche "Objekte" kommen nicht in
Betracht, gehören also nicht zum gegenwärtigen mathematischen "Grundbereich".
Darum ist
W M | M ist Menge
WW
p
II. 1.
a)
def. W
M M keine Menge, denn
M M und W W
p
p
def. W
WW
p
F
Teilmenge, Potenzmenge
Teilmenge, Gleichheit
Def. II.1
i)
A heißt (ist) Teilmenge von B : A B
x
ii)
A
B : A B
x A
x A x B
A B:
x B
x
x A x B , d. h., A ist nicht Teilmenge von B.
x
iii)
x B
A heißt (ist) echte Teilmenge von B, wenn gilt A B
x A : A B .
x
Anm.
Def. II.2
G, U
0
mit der üblichen Bedeutung der Mengensymbole.
Gleichheit von Mengen
A B : A B B A
Anm.
Während "intuitiv" klar ist, wann zwei Mengen als gleich anzusehen sind, gibt die
obige Definition auch an, wie die Gleichheit zu beweisen ist.
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
16
MS Menge aller gleichseitigen Dreiecke
z. B.
MW Menge aller gleichwinkligen Dreiecke
Behauptung:
MS MW
Bew.:
" " Jedes gleichseitige Dreieck ist gleichwinklig.
" " Jedes gleichwinklige Dreieck ist gleichseitig.
Anm.
i)
ii)
Die Gleichheit stellt eine Äquivalenzrelation dar (siehe dazu Def. I.3).
Die Teilmengenrelation ist
)
A A reflexiv
)
A B B A A B antisymmetrisch
)
A B B C A C transitiv
und stellt somit (definitionsgemäß) eine Halbordnung dar (mehr zur Halbordnung in Kap. IV – Relationen).
b)
Potenzmenge
Def. II.3
P M heißt Potenzmenge von M mit P M : A | A M = Menge aller Teilmengen von M.
Die leere Menge :
x | x x , d. h. die Menge mit der Eigenschaft
x ,
x
ist Teilmenge jeder Menge, denn die Aussage
x
x x M
M
x
x M
ist wahr.
x
ist auch eindeutig wegen 1 2 2 1 1 2 .
Es gilt P M , da P M , M,
.
Darstellung der Ordnungsstruktur von P(M) durch ein Teilmengendiagramm:
P a, b, c , a ,
, a, b, c
a,b,c
Anm.
a,b
a,c
b,c
a
b
c
Derartige Diagramme werden auch für Teilmengen T(M) von P(M), d. h. für
Mengensysteme T(M) P(M) betrachtet.
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
17
III. Boolesche Algebren*
III. 1.
a)
Mengenalgebra
03.11.2010
Mengenoperationen
Def. 1
A, B P(E) ;
1)
AB:
E: Grundmenge
x | x A
x B
Durchschnitt, Schnittmenge von A, B;
oder A geschnitten B
2)
A B : A, B
disjunkt (kein gemeinsames Element)
A B x | x A x B
Vereinigungsmenge von A, B;
oder A vereinigt B
3)
A \ B x | x A x B
4)
A x | x E x A
5)
A B x | x A x B
Differenz von A und B; oder A ohne B
Komplement von A bezgl. E
x A symmetrische Differenz
x B
von A und B
Allgem. Durchschnitt/Vereinigung von T E P E
6)
Teilmengensystem T E M1,
n
i 1
Mi : M1 M2
n
Mn
i 1
allgemein
Mi M1 M2
Mn
allgemein
T E
x M
x |
M T E
Es gilt
, Mn P E
P E
T E x |
x M
M T E
P E E .
und
Darstellung der Mengenoperationen durch Venn-Diagramme (Eulersche Kreise)
AB
A
b)
B
AB
A
B
A\B
A
B
AB
A
A
E
A
B
Rechenregeln
Satz 1
Beweismethode
siehe Extrablatt 07
Durch Kombination der Aussagen
p p x x A, q q x x B, r r x C usw.
werden Eigenschaften definiert, die bestimmte Mengen beschreiben.
Zwei Mengen M, N sind gleich, wenn die die Mengen M und N definierenden
Eigenschaften EM(x) und EN(x) der Elemente semantisch äquivalent sind.
*
Aus technischen Gründen tauchen geänderte Symbole bzw. Bezeichnungen auf.
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
18
z. B.
Wegen p q q p ist
A B = {x | x A x B} = {x | x B x A} = B A.
M
EM(x)
EN(x)
N
Satz 1.1
A (A B)
denn {x | x A x (A B)}
denn {x | x A (x A x B)}
Satz 1.4
= A,
= {x | x A},
= {x | x A},
denn diese Gleichheit gilt wegen p (p q) p (Absorption – Tautologie Nr.8).
Satz 1.6
Anm.
A
=A
x A x x A
p F
p
AE
=A
x A x E = x A
p W
=p (Tautologie Nr. 3)
Es gilt für die symmetrische Differenz
AB
= {x | (x A x B) (x B x A)}
= {x | x A \ B x B \ A}
= (A \ B) (B \ A)
Vermutung (z. B. beim Anblick des entsprechenden Diagramms)
AB
Bew.:
= (A B) \ A B
= {x | x A B x A B}
E(x)
= x (A B)x (A B) =x (A B) x A B
E’ (x)
=x A x B) (x A x B) = (p q) (p q)
(p q) ( p q ) pp pq qp qq
F pq qp F (p q) (q p)
(x A x B) (x B x A)
= E(x) = Eigenschaft der symmetrischen Differenz A B gemäß Def. 1.5
"Trivialität"
(Tautologie 27)
F p q p, q p q W
Projektion
Oktaeder
Einbettung
W
p q
p
p q
A
B
q
E
F
A B A, B A B E
Satz 1.9
Weitere Rechenregeln
0)
i)
A \ B A B , klar nach Def.
A B (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B)
def .
bereits bewiesen
A
ii)
B
Folgerung 2.5
(s. Extrablatt 07)
A B = A B = A B
A
B
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
19
Exemplarisch ausführlicher Beweis
mit Hilfe von Satz 1, der als bewiesen vorausgesetzt wird, und obigen Gleichungen 0), i)
““ Voraussetzung:
AB=
Behauptung:
AB=AB
Beweis der Behauptung: A B (A B) \ (A B) (A B) \ (A B)
i)
(A B) E
Satz 1.7
““ Voraussetzung:
Behauptung:
Bew. der Behauptung:
0)
Vor .
A B
Satz 1.6
AB=AB
AB=
Wegen A B A A B (Satz 1.9) und der Transitivität von „“
folgt A B A B A B (A B) \ (A B) = (A B) ( A B)
def.
i)
Vor .
Mit der Monotonie (Satz 1.12) folgt (A B) (A B) ((A B) ( A B) ) (A B).
Also gilt wegen der Idempotenz M M = M (Satz 1.3) und Assoziativität (Satz 1.2)
A B (A B) (( A B) (A B)) = (A B) = wobei noch
M M
M M = (Satz 1.7) und M (Satz 1.6) benutzt wurde.
Komm .
Man erhält also:
A B A B A B =
def.
c) Mächtigkeit endlicher Mengen
Def. 2:
Eine (endliche) Menge M hat die Mächtigkeit n, n , wenn es eine (totale)
(1–1)-Zuordnung gibt zwischen den Elementen von M und denen von n 1,2, , n , d. h. eine
f : M n
x
f x
Bijektion
Gleichmächtigkeit
#M M n , M N : M N .
Schreibweisen:
M
Demnach lässt sich eine Menge mit
N
M n immer aufschreiben als M x1,
, xn .
Es wird 0 gesetzt.
Satz 2
Für endliche Mengen A, B gilt, wenn A B = , d. h. für disjunkte Mengen A, B gilt
|A B| = |A| + |B|.
Bew.:
Es sei
A
B
a1, a2 ,
b1, b2 ,
|A| = m ,
|B| = n
bzw.
A ~ (m) = {1, 2, ..., m} , B ~ (n) = { 1, 2, ..., n }
Es existieren Bijektionen f: A (m)
Konstruktion einer Bijektion h: A B (m + n)
f
... , am
... , bn
g
1,
2, ... , m =
m
1,
2, ... , n
n
und
g: B (n)
h
{1, 2, …, m, m + 1, m + 2, … m + n} = (m + n)
f(x) für x A
Also: h(x) =
g(x) + m für x B , m = |A|
E
Folgerung 1 |A B| = |A| + |B| - |A B|
Bew.:
A (B \ A)
=
A (B A )
A
B
B
B (A A )
Satz 1
Komm .
Ass.
A (B \ A)
A (B A )
0)
Distr.
(A B) (A A )
(A B) E
Satz 1
Satz 1
AB
Satz 1
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
20
Da A und B \ A disjunkt sind, und ihre Vereinigung gleich A B ist, folgt nach Satz 2
|A B| = |A (B \ A)| = |A| + |B \ A| *.
Es gilt:
zu 1)
1) B = (B \ A) A B) ,
2)
(B \ A) A B) = , d. h. Zerlegung von B in zwei disjunkte Teilmengen.
B A (A B)
(B A ) (B A)
Komm .
zu 2)
( B \ A ) A B)
(B A )A B)
=
B (A A )
BE
Satz 1
Distr.
B
Satz 1
(B B) (A A )
Ass.
Komm .
Satz 1
Also gilt nach Satz 2 |B| = |(B \ A) A B)| = |B \ A| + |A B| d. h. |B \ A| = |B| - |A B| **.
Einsetzen von |B \A| aus ** in * ergibt die Gleichung von Folgerung 1.
Folgerung 2 Folgerung 1 lässt sich verallgemeinern zu |M1 M2 ... Mn| = …
z. B. n = 3
|A B C|
|A| + |B C| - |A (B C)|
Fo lg . 1
|A| + |B| +|C| - |B C| - |(A B) (A C)|
Fo lg . 1
Distr.
|A| + |B| +|C| - |B C| - |A B| -A C| + |(A B) (A C)|
Fo lg . 1
|A| + |B| +|C| - |A B| -A C| - |B C| +A C|
Assoz .
Idemp .
Anm.
1)
2)
|A B| = |A \ B| + |B|
|A B| = |A| - |A \ B| , |A \ B| = |A| - |A B|
3)
4)
| A | = |E| - |A|
|A B| = |A| + |B| - 2|A B|
zu 1), 2): wurde bereits beim Beweis von Satz 2 gezeigt.
zu 3):
| A | = |E \ A| |E| - |E A|
2)
A E
Satz1
|E| - |A|
zu 4):
P M 2 M
Anwendung von 2)
Satz 3
Für eine Menge mit M n gilt
Bew.:
Jedem Element A von P(M), d. h. jeder Auswahl A aus M x1,
sich genau eine n-stellige 0,1-Folge a a1,
durch die Vorschrift
Da man 2
2
.
, ai ,
, xi ,
, xn lässt
, an mit ai 0,1 zuordnen
1 für xi A
ai =
.
0 für xi A
2 2n derartige Folgen bilden kann, ergibt sich daraus die
Anzahl der Teilmengen von M, nämlich 2n .
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
21
III. 2.
Axiome der Booleschen Algebra
10.11.2010
Sei eine Menge mit 0, 1 B und 0 1, dann heißt das 6–Tupel (B, 0, 1, +, •, –)
–
Boolesche Algebra, wenn für die Operationen +, •,
auf B gilt:
Def. 3
B1
x+y=y+x,x•y=y•x
(x + y) + z = x + (y + z) , (x • y) • z = x • (y • z)
B2
x + x = 1 , x •x = 0
Erzeugung
x+0=x,x•1=x
Wirkung
Kommutativität
Assoziativität
des neutr. Elementes 0 bzw. 1
B3
x • (y + z) = (x • y) + (x • z)
x + (y • z) = (x + y) • (x + z)
Distributivität von
• gegenüber +
+ gegenüber •
Bemerkung
"+", "•", "–" sind also zwei- bzw. einstellige Operationen auf der Trägermenge B.
Das Element x wird Komplement zu (von) x genannt.
Alle Eigenschaften treten paarweise auf, wobei die eine aus der anderen hervorgeht, indem man + mit • und 0 mit 1 vertauscht (Dualitätsprinzip).
Satz 4
1)
Idempotenz
x+x=x,x•x=x
2)
Dominanz von 1 bzw. 0
x+1=1,x•0=0
3)
Absorption
x • (x + y) = x , x + (x • y) = x
4)
Eindeutigkeit des Komplements
x + y = 1 und x • y = 0 y = x
5)
Doppeltes Komplement
x=x
6)
De Morgansche Regeln
x y x y , x•y x y
7)
Wechselseitige Komplementarität von 0 und 1
8)
Kürzungsregeln
0 1 , 1 0
a)
x + z = y + z und x • z = y • z x = y
b)
x + z = y + z und x + z = y + z x = y
c)
x • z = y • z und x • z = y • z x = y
Beweis
x + x (x + x) • 1 (x + x) • (x + x ) x + (x • x ) x + 0 = x
zu 1)
B2
B3
B2
B2
Analog wird x • x = x gezeigt, indem + mit • und
x + 1 x + (x + x ) (x + x) + x
zu 2)
B2
B1
Anm.
zu 3)
x+ x 1
=
x • x =0
B2
Diese Regeln lassen sich auch ohne das Assoziativgesetz aus B1 zeigen (Übung).
x • (x + y)
(x • x) + (x • y)
Distr.
x • (1 + y)
Idemp.
x + (x • y)
Distr.
B2
Voraussetzung : (x + y = 1) (x • y = 0)
Bew.:
y (y • 1) + 0 (y • (x + x )) + (x • x )
B2
( x • 1) + (x • y)
B2
x•1 x
Komm.
2)
zu 4)
Idemp.
x • 0 = x • (x • x ) = (x • x) • x
0 mit 1 vertauscht wird.
B2
Behauptung : y = x
((y • x) + (y • x ))+ (x • x )
Distr.
(0 + (y • x )) + (x • x ) y x x x
B2
Distr.
y x x
Komm .
Vorauss .
Komm .
Vorauss .
1• x
Komm .
x•1 x
B2
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
22
zu 5)
(x+ x = 1 ) (x • x = 0 ) x = x
4)
zu 6) Wegen 4) genügt es zu zeigen, dass (x + y) + ( x • y ) = 1 und (x + y) • ( x • y ) = 0 gilt.
(x + y) + ( x • y ) ((x + y) + x ) • ((x + y) + y )
Distr.
(y + (x + x )) • (x + (y + y ))
B2
Komm .
Assoz .
(y + 1) • (x + 1) 1 • 1 1
B2
2)
x • ( x • y ) + y • ( x • y ) = ... = 0 + 0 0
(x + y) • ( x • y )
B2
Distr.
Beweis zu x y x y
zu 7)
analog, oder alternativ durch Anwendung von 5) auf x y x y .
(0 + 1 = 1) (0 • 1 = 0) 1 = 0 1 = 0 0
B1, B2
zu 8c)
x
y
Vorauss.: x • z = y • z
Bew.:
x+x•z
Absorp.
=
Absorp.
y+y•z =
6)
4)
(x + x • z ) + x • z
(y + y • z ) + y • z
x •z = y •z
Vorauss.
Ass.
Beh.: x = y
x + (y • z + y • z) x + y ( z + z) x + y
Distr.
Komm.
y + (x • z + x • z) = y + x ( z + z) = y + x
=
Alternativer Beweis ohne das Assoz.-Gesetz: Vorauss. x z x z y z y z
Anm.
x=y
B2
.
Das angegebene Axiomensystem B1 – B3 für Boolesche Algebren ist insofern nicht
minimal, als das die Assoziativität in B1 weggelassen werden kann. Sie folgt aus
den übrigen Axiomen durch Anwendung von 8c) auf x y z x , x y z x ,
unter Benutzung von 3). (Übung)
Beispiele für Boolesche Algebren
1)
( B, F, W, , , )
B: Menge aller Ausdrücke (n-stellige Boolesche Funktionen), der klassischen zweiwertigen
Aussagenlogik, die mit n Einzelaussagen (Aussagenvariablen) p1, p2, ..., pn gebildet
werden können. Dabei werden semantisch äquivalente Ausdrücke als gleich betrachtet
(gesetzt).
2)
( P(M), , M, , ,
–
)
Potenzmengenalgebra für M .
Nachweis der Gültigkeit der Axiome B1, B2 und B3: Übung.
Bemerkung
Satz 5
Man kann zeigen, dass die Booleschen Algebren 1) und 2) im Fall B P n
isomorph sind, d. h., dass es zwischen den Trägermengen B und P(M) eine
Bijektion (1 1–Zuordnung) gibt, die "strukturerhaltend" ist.
Dieser Sachverhalt gilt allgemeiner. Nähere Erläuterungen dazu sowie der
Beweis des folgenden Satzes später.
Jede endliche Boolesche Algebra ist isomorph zu einer Potenzmengenalgebra.
Folgerung: B 2n
Die kleinsten Booleschen Algebren :
–
({W, F}, F, W, ) , ({{}}, , {}, , )
Betrachtet man die folgende Zuordnung der
Elemente
,
F 0
,
W 1
Operationen
, so erscheinen für die
beiden Algebren dieselben abstrakten Verknüpfungstafeln
0 1
0 0 1
1 1 1
0 1
0 0 0
1 0 1
x x
0 1.
1 0
Hiermit erhält man einen ersten Einblick in den Begriff der Strukturgleichheit (Isomorphie)
zweier Booleschen Algebren.
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
23
,
Für n , n 2 mit n = p1, p2, ..., pr , pi pj für i j , pi
Weiteres Beispiel
sei T(n) := {x | x ist Teiler von n}, dann ist (T(n), 1, n, kgV, ggT, –) eine Boolesche Algebra
mit den Operationen
x + y: = kgV(x, y) = kleinstes gemeinsames Vielfaches von x und y ,
x • y: = ggT(x, y) = größter gemeinsamer Teiler von x und y ,
n
, denn es gilt:
x :
x
B1
Kommutativität
Assoziativität
kgV (x, y) = kgV (y, x)
kgV (kgV (x, y), z) = kgV (x, kgV(y, z))
ggT (x, y) = ggT (y, x)
B2
neutrales Element
kgV (x, n/x) = n
ggT (ggT (x, y), z) = ggT (x, ggT(y, z))
B3
Distributivität
ggT (x, kgV (y, z)) = kgV (ggT (x, y), ggT (x, z))
ggT (x, n/x) = 1
kgV (x, ggT (y, z)) = ggT (kgV (x, y), kgV (x, z))
kgV (x, 1) = x
ggT (x, n) = x
Nachweis der Gültigkeit der Axiome B1, B2 und B3: Übung bzw. Literatur.
z. B.
T(30) = T(2 3 5) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} ;
T(6) = {1, 2, 3, 6}
Verknüpfungstafel für T(6)
kgV
1
2
3
6
ggT
1
2
3
6
x
x
1
1
2
3
6
1
1
1
1
1
1
6
2
2
2
6
6
2
1
2
1
2
2
3
3
3
6
3
6
3
1
1
3
3
3
2
6
6
6
6
6
6
1
2
3
6
6
1
Zur weiteren Einsicht in den Begriff der Strukturgleichheit (Isomorphie) zweier
Booleschen Algebren betrachte man im Vergleich zu oben das unten Angegebene:
({0, a, b, 1}, 0, 1, +, •, –)
+
0
a
b
1
•
0
a
b
1
x
x
0
0
a
b
1
0
0
0
0
0
0
1
a
a
a
1
1
a
0
a
0
a
a
b
b
b
1
b
1
b
0
0
b
b
b
a
1
1
1
1
1
1
0
a
b
1
1
0
Wegen a 0, a 1 und a a gilt:
a b b a , d. h. a und b sind zueinander komplementär.
Die korrespondierenden Tafeln unterscheiden sich offensichtlich nur durch ihre Bezeichnungen.
Die entsprechende isomorphe Potenzmengenalgebra: P M , , M, , ,
. (Übung)
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
24
III. 3.
Die Halbordnungsstruktur einer Booleschen Algebra
Def. III.4
24.11.2010
Auf der Trägermenge B einer Booleschen Algebra ( B, 0, 1, , , ) wird eine
"kleiner-gleich"-Relation "" definiert durch
x y :
Anm.
xy y
i)
xy
ii)
In der Potenzmengenalgebra mit z. B.
x y x (Übung)
B P a, b sind die Elemente
a , b unvergleichbar, denn wegen A B B A B erhält man
A B A B , und damit a b a b bzw. b a b
Satz III.6
a.
Für die -Relation aus Def. III.4 gilt die
x x
Reflexivität:
Antisymmetrie:
x y
x y
Transitivität:
y x
y z
xy
xz
für alle x, y, z B
Bew.: Übung
Anm.
Die -Relation aus Def. III.4 definiert also auf der Trägermenge einer Booleschen
Algebra die Struktur einer Halbordnung (partiellen Ordnung).
Vgl. dazu Anm. zu Def. II.2 bzw. Skriptseite 16.
In der Potenzmengenalgebra P M , , M, , ,
wird also wegen A B
A B durch die
Teilmengen-Relation " " eine Halbordnung auf P M definiert. Hier lässt sich jedes Element
(Menge) als Summe (Vereinigung) von einelementigen Mengen, d. h. "kleinsten nicht trivialen
Elementen", darstellen; für M x1, x2 , , x5 ist z. B. x2 , x4 , x5 x2 x4 x5 .
Dies gilt allgemein in Booleschen Algebren, wenn die Trägermenge B endlich ist, d. h. B n .
Dazu dient der folgende Begriff "Atom".
Def. III.5
Voraussetzungen wie in Def. III.4.
x B \ 0 : x heißt (ist) Atom :
y B \ 0
Anm.
y
x
y x .
Jedes x aus B ist nun entweder ein Atom oder nicht, d. h., es gilt
x ist Atom
y x y x , d. h., x ist Atom oder es existiert ein
y
B
\
0
y B \ 0 mit y x . Echt kleiner als ein Atom x ist also nur das Nullelement 0,
da 0x 0
0 x für alle x B und x 0 ist. 0 ist somit das kleinste Element,
und die Atome können als zweitkleinste Elemente betrachtet werden.
Satz III.7
Voraussetzung wie in Def. III.4.
Für alle x, y B gilt:
i)
xy x
ii)
x ist Atom
y B \ 0
iii)
Bew.:
zu i)
x, y sind Atome
xy
xy x
x y
xy
0
xy 0
xy
x
zu ii)
xy 0
i)
xy x
x Atom
zu iii)
x y
x Atom
y
x
y Atom
ii)
yx 0
x
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
25
Satz III.8
In einer endlichen Booleschen Algebra existiert zu jedem y 0 ein
x ist Atom x y .
Atom x mit x y , d. h.,
y B \ 0
Bew.:
x B \ 0
Ist y ein Atom, setze x = y.
Ist y kein Atom, so gibt es nach Definition des Atoms ein x 0 mit x y .
Ist x Atom, dann fertig. Anderenfalls wird x = y1 gesetzt und wie oben für y1
argumentiert. Man erhält eine abbrechende Folge y y0 y1
yk , da B
endlich ist, und damit das gesuchte Atom yk x mit x y .
Satz III.9
(Darstellungssatz)
In einer endlichen Booleschen Algebra lässt sich jedes x B \ 0 eindeutig,
bis auf die Reihenfolge, darstellen als Summe von Atomen, d. h., mit
An x1, , xn Menge aller Atome in B gilt
x xi
x B \ 0 xi
xi
1
xi An
1
Bew.:
k n.
,
k
k
Zunächst wird die Existenz einer Darstellung für x = 1 gezeigt, und zwar indirekt.
Sei y : x1
xn . Ist y 1 , so ist y 0 , und nach Satz III.8 gibt es dann
d. h. xi y xi , d. h. xi xi x1
ein Atom xi mit xi y ,
Für beliebiges x B \ 0 folgt nun
x 1x x1 xn x x1 x xn x
Satz III.7.ii)
xi
Eindeutigkeit der Darstellung:
Sei x xi xi xi x j
1
xi x xi
0
0
xi
1
k
xi
xi
0
xj
1
k
l
xi
0
0
xj
1
k
xn 0
.
kn ,
nach Satz III.7.ii).
mit i0 j1,
und xi x xi
0
xi ,
1
xi x xi oder xi x 0
0
, jl , dann folgt mit Satz III.7.iii)
xj
e
0 , also
xi 0
0
.
Und nun der Hauptsatz bzgl. der Struktur endlicher Boolescher Algebren.
Satz III.10
(= Satz II.5)
Jede endliche Boolesche Algebra ist isomorph zu einer Potenzmengenalgebra,
d. h.
mit
B, 0, 1, , ,
f
:
B
P M , , M, , , , d. h., es existiert eine Bijektion f
P M ,
M 1,
f x y
f x f y
f x y
f x f y
, n
für alle x, y B .
f x f x
Bew.:
Sei An x1, , xn B die Menge aller Atome, so wird f definiert durch
f x f xi xi i1, , ik , d. h., jedes x wird auf die eindeutig bestimmte
1
k
Indexmenge seiner Atom-Darstellung abgebildet.
Nachweis der geforderten Eigenschaften von f : Übung.
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
26
IV. Relationen
IV. 1.
Charakterisierung von Relationen
01.12.2010
a) Mengenprodukt, Relationsbegriff
Def. IV.1
Anm.
0)
i)
ii)
iii)
Die Menge aller geordneten Paare {(a, b) | a A b B} heißt Kreuzprodukt
oder kartesisches Produkt der Mengen A und B.
Schreibweise: A x B: = {(a, b) | a A, b B}
Die Gleichheit zweier geordneter Paare (a, b), (c, d) A x B ist festgelegt durch
(a, b) = (c, d): a = c b = d, d. h. durch die komponentenweise Gleichheit.
Zur Definition eines geordneten Paares ist auch eine mengentheoretische
Formulierung geeignet wegen: {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} a = c b = d.
Es gilt i. A.: A x B B x A, d. h. die Nicht – Kommutativität, z. B. A = {1, 2}, B = {b, 1, 2}
A x B = {(1, b), (1, 1), (1, 2), (2, b), (2, 1), (2, 2)}
B x A = {(b, 1), (b, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} , (1, b) (b, 1) für b 1
Im Fall endlicher Mengen gilt, |A x B| = |A| |B| = b a = |B x A| für |A| = a, |B| = b,
denn es wird jedes Element aus A mit jedem Element aus B kombiniert.
Verallgemeinerung von Def. IV.1
A x B x C = {(a, b, c) | a A b B c C} Menge aller geordneten Tripel (a, b, c)
M1 x M2 x … x Mn = {(m1, m2, …, mn) | m1 M1 m2 M2 …mn Mn}
Menge von geordneten n-Tupeln (m1 , m2 , ... , mn)
Satz IV.1
i)
iii)
A x B = A = B =
ii) (A B) x (C D) = (A x C) (B x D)
Distributivgesetze
) A B C A B A C
A B C A C B C
) A B C A B A C
A B C A C B C
)
A B \ C A B \ A C
Bew.:
Die Aussage von i) ist äquivalent zu A x B A B
Bew. von *:
A x B
*
yAxB
Zu ii)
Def . 1
y
aAbB
A B
y (a, b)
y (A B) x (C D)
y = (w, z) mit w A B und z C D w A w B) (z C z D)
Def . 1
(w A z C) (w B z D) (w, z) A x C (w, z) B x D
Def . 1
y = (w, z) (A x C) (B x D)
Anm.
B
i) Veranschaulichung von A x B
durch Teilmengen einer Ebene
AxB
A
großes Rechteck
(A B) x (C D)
D
BxD
CD
C
AxC
A
ii)
Eine zu Gleichung ii) aus Satz IV.1 entsprechende
Beziehung für "" gilt nicht, d. h. im Allg. ist
(A B) x (C D) (A x C) (B x D)
A = C = {1, 2} , B = D = {2, 3}
A B = {1, 2, 3} = C D
(A B) x (C D) = {1, 2, 3} x {1, 2, 3} (A x C) (B x D)
= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}
B
AB
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
27
Relationsbegriff
Def. IV.2
Eine Teilmenge R M x N heißt binäre (zweistellige) Relation
zwischen den Mengen M und N.
M: Domain (Vorbereich) ,
N: Codomain (Nachbereich)
DR = {x | x M
WR = {y | y N
(x , y) R} M
y N
Definitionsbereich
Anm.
i)
Wertebereich
Man schreibt auch xRy für (x , y) R analog zu x y, A B, A ~ B und sagt z. B.
x steht in der Relation R zu y.
R M x M =: M² heißt binäre Relation in/auf M
R M1 x M2 x ... x Mn heißt n-stellige Relation
ii)
iii)
z. B.
(x , y) R} N
x M
1) R
DR
=
=
{(A, y), (B, x), (B, z), (C, y), (D, y)} {A, B, C, D, E} x {x, y, z}
{A, B, C, D} , WR = {x, y, z}
2) R
= {(m, n) | m, n m n} = {(m, n) | m, n
m + k = n}
k
0
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (2, 2), (2, 3), …, (3, 3), …} x
b)
Darstellung binärer Relationen
) Darstellung binärer Relationen durch Digraphen (directed graph), d. h. Pfeildiagramme mit:
Ecken (Knoten)
x, y M N
x
Kanten (Pfeile)
(x, y) R
y
x
y
A
B
C
D
E
Ein Layout des Digraphen
der Relation aus Beispiel 1) wäre :
)
Schlingen
(x, x) R
x
Weiteres Beispiel:
x
y
z
R a, b , a, c , c, c a, b, c
2
a
b
c
Darstellung binärer Relationen durch Adjazenzmatrizen
Für |M| = m, |N| = n wird eine Nummerierung der Elemente festgelegt, d. h., man hat
M = {x1, x2, ..., xm}, N = {y1, y2, …, yn}, so dass dann eine Relation R M x N als
rechteckiges Zahlenschema (Matrix) dargestellt werden kann gemäß der Zuordnung
1, (x, y) R
(x, y)
0, (x, y) R
Man erhält also für die Relation aus Beisp. 1) die Adjazenzmatrix A(R):
x1
x2
x3
x4
x5
A
B
C
D
E
y1
x
0
1
0
0
0
y2
y
1
0
1
1
0
y3
z
0
1
0
0
0
A(R) =
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
28
Für |M| = m, |N| = n ist also nach Festlegung der Elementen-Nummerierung die
Adjazenzmatrix A(R) einer Relation R M x N definiert gemäß:
a11
a21
am1
A(R) =
Beispiel
a12
a22
a1n
a2n
am2
0 für (xi , yj) R
amn
M = T(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
xRy x/y : x teilt y y ist ganzzahliges Vielfaches von x.
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 6), (1, 10), (1, 15), (1, 30),
(2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 30),
(3, 3), (3, 6), (3, 15), (3, 30),
(5, 5), (5, 10), (5, 15), (5, 30),
(6, 6), (6, 30),
(10, 10), (10, 30),
(15, 15), (15, 30),
(30, 30)}
T(30) x T(30) , |R| = 27 geordnete Paare von 64 = |M²| möglichen.
Adjazenzmatrix
A(R) =
1 für (xi , yj) R
aij =
1
0
0
0
0
0
0
0
30
Digraph
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
6
15
10
3
2
5
Alle 8
Schlingen
ausgelassen.
1
8
12
6
1
Würfelecken
Würfelkanten
Flächen
Raumdiagonale
Jede der 19 Verbindungslinien entspricht einem nach
oben gerichteten Pfeil, d. h.
einer Kante des Digraphen
der Relation R.
27
Def. IV.3
Spezielle Relationen
i) Identität
idM = eM = R 0M := {(x, x) | x M} M x M = M2
Identität, identische Relation auf M
Für |M| = n gilt
A(en) =
Digraph
x1 ,
1
1
= En = Einheitsmatrix
1
x2 , … , xn
ii) R = M x M = M2 Allrelation
1 1
1 1
2
A(M ) =
iii) R =
Anm.
0
A(en) A RM
A R0 , A(M2) und A()
sind n-reihige quadratische Matrizen.
A() =
0 0
0 0
= 1n
Nullrelation
Nullmatrix = 0n
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
29
c)
Umkehrung und Verknüpfung von Relationen
R -1 {(y, x) | (x, y) R} N x M heißt inverse Relation (Umkehrrelation)
von R M x N.
Der Digraph von R -1 entsteht am Digraph von R durch Umkehrung aller Pfeile.
Die Adjazenzmatrix von R -1 entsteht aus A(R), indem die Rollen von Zeilen und
Spalten vertauscht werden, d. h. für |M| = m , |N| = n erhält man
Def. IV.4
a11
a21
:
:
am1
A(R)=
a12
a22
...
...
a1n
a2n
am2
…
amn
-1
A(R ) =
a11
a12
:
:
a1n
m Zeilen, n Spalten
(m x n)-Matrix
Anm.
i)
R
1
iv)
1
=R
a21
a22
...
...
am1
am2
a2n
…
amn
n Zeilen, m Spalten
(n x m)-Matrix
R M x N R -1 N x M
ii)
= (A(R))T
(siehe Anm. iv)
iii)
DR = WR, WR = DR
-1
-1
Werden in einer (m x n)-Matrix A die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht,
erhält man eine (n x m)-Matrix, die die Transponierte der Matrix A genannt und mit
AT bezeichnet wird. Es gilt also für die Adjazenzmatrix R-1
A(R–1) = (A(R))T.
z. B.
M = {a, b, c, d}, N = {1, 2, 3}
R = {(a, 1), (a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 3), (d, 1), (d, 2)} M x N
R -1 = {(1, a), (1, d), (2, a), (2, b), (2, d), (3, b), (3, c)} N x M
Digraph R
Digraph R -1
A(R)
a
1
1
0
0
1
b
2
c
3
1
1
0
1
A(R -1)
a
0
1
1
0
1
1
0
1
b
2
0
1
1
0
0
1
1
1
0
c
3
d
d
Def. IV.5
Verknüpfung von Relationen
R1 M x N, R2 N x K
R2 o R1 {(x, y) |
(x, z) R1 (z, y) R2} M x K
z N
R2 o R1 heißt Komposition oder Hintereinanderausführung der Relation R1 und R2 und
R
R
1
2
man sagt: „R2 nach R1“. Schreibweise: M N K
R o R
2
1 K
M
Anm.
Während (R1 o R2) o R3 = R1 o (R2 o R3) gilt (Übung), ist i. Allg. R2 o R1 R1 o R2 ,
z. B.
M = {x, y, z}, N = {a, b}
R1 = {(x, a), (x, b), (y, b), (z, a), (z, b)} M x N
R2 = {(a, x), (a, y), (a, z), (b, y)} N x M
R1
R2
x
a
a
b
b
y
z
R2 o R1 M x M
x
x
x
y
y
y
z
z
z
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
30
Die Adjazenzmatrix A(R2 o R1) erhält man aus den Matrizen A(R1) und A(R2) durch die
Matrizenmultiplikation (Zeile-mal-Spalte-Prinzip).
1
0
1
A(R1) =
1
1
1
A(R2) =
Zeile
1
0
mal
1
1
1
0
1
0
1
A(R2 o R1) =
1
1
1
1
0
1
Spalte
In der folgenden Definition des Produkts C = A B zweier Matrizen A, B ist am Beispiel noch
zu erkennen, dass es hier
2 Wege von x nach y
und
2 Wege von z nach y gibt.
a
a
x
z
y
y
b
b
Def. IV.5*
Matrizenmultiplikation
A(R1)
1
0
1
1
1
1
A
a11 a12
a21 a22
a31 a32
A(R2)
1
0
1
1
1
0
1
0
1
=
2
1
2
1
0
1
B
=
C
b11 b12 b13
b21 b22 b23
=
c11 c12 c13
c21 c23 c23
c31 c32 c33
c11 = a11 b11 + a12 b21 =
2
c21 = a21 b11 + a22 b21 =
2
a2 j
j 1
1
0
1
a1 j bj1 , c12 =
j 1
A(R2 o R1)
2
a1 j
1
1
1
1
0
1
bj2 , …
j 1
b j1 , c22 = …
c31 = …
Im Unterschied zu R2 o R1 ergibt sich für R1 o R2
1
0
A(R2)
1
1
1
0
A(R1)
1
0
1
1
1
1
,
=
2
0
3
1
A(R2)
,
1
0
A(R1)
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
=
A (R1 o R2)
=
1
0
1
1
normale Rechnung in 0
Rechnung in der Booleschen Algebra, d. h. mit 1 + 1 = 1
Definition
des Matrixprodukts
AB C
11 ij mn
a11 a1n
am1 amn
Satz IV.2
B bkl 1
A aij
k n
1 l p
b11 b1p
bn1 bnp
=
Cil 1 i m
1 l p
c11 c1p
Cil =
n
aij
j 1
b jl
cm1 cmp
(Beweis zur Übung) Wird in der Booleschen Algebra gerechnet, so gilt für die
Adjazenzmatrix der Komposition zweier Relationen R1 und R2
A(R2 o R1) = A(R1) A(R2) .
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
31
2.
Eigenschaften von Relationen und strukturierten Mengen
a)
Eigenschaften binärer Relationen auf einer Menge M
)
Prädikatenlogische Formulierung
Def. IV.6
(vgl. Extrablatt 08)
Prädikatenlogische
Eigenschaft
i)
R
Definition
reflexiv
:
xRx
x M
ii)
R
irreflexiv
:
xRx
x M
iii)
R
symmetrisch
:
xRy yRx
x, y M
iv)
R
asymmetrisch
xRy yRx
:
x, y M
v)
R
transitiv
xRy yRz xRz
:
x, y , z M
vi)
R
intransitiv
xRy yRz xRz
:
x, y , z M
vii) R
antisymmetrisch
:
xRy yRx x y
x, y M
viii) R
linear
:
xRy yRx x y
x, y M
Anm.
Zum besseren und tieferen Verständnis ist es nützlich, semantisch
äquivalente Umformungen oder die Negation der Eigenschaften zu betrachten.
z. B.
i) Negation der Irreflexivität:
(xRx)
x M
xRx
x M
xRx R reflexiv
x M
ii) Asymmetrie:
xRy (xRy)
x M
)
( (xRy) (yRx))
x, y M
(xRy yRx)
x, y M
xRy yRx
x, y M
Mengentheoretische Formulierung der Eigenschaften von Relationen aus Def. IV.6
i)
R
reflexiv
R0 R R0 R = R0
ii)
R
irreflexiv
R0 R =
iii)
R
symmetrisch
R -1 = R
iv)
R
asymmetrisch
R R -1 =
v)
R
transitiv
RoRR
vi)
R
intransitiv
(R o R) R =
vii) R
antisymmetrisch
R R -1 R0
viii) R
linear
R R -1 R0 = M x M
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
32
Beweis der Äquivalenz von prädikatenlogischer Charakterisierung und Formulierung mit Mengen,
z. B. Asymmetrie:
xRy (yRx)
x, y M
Def. R1
( (xRy) (yRx))
(xRy xR–1y)
((x, y) R R )
((x, y) R (x, y) R–1)
–1
x, y M
(xRy yRx)
x, y M
Def. R
x, y M
Def .
x, y M
x, y M
(x, y) R R–1
Def .
x, y M
R R–1 =
Def .
z. B. Antisymmetrie
(((x, y) R (y, x) R) x = y)
x, y M
((x, y) R R–1 (x, y) R0)
Def. R0
((x, y) R R–1 x = y)
x, y M
R R–1 R0
Def .
x, y M
Wegen R R–1 = R0 gilt: R asymmetrisch R antisymmetrisch
Anm.
)
Def. , R1
Formulierung durch Adjazenzmatrizen und Digraphen
Reflexivität
Nur Einsen in der Diagonalen
1
Irreflexivität
Nur Nullen in der Diagonalen
0
1
Digraph: Alle Knoten
(Ecken) haben Schlingen
0
Digraph: keine Schlingen
Symmetrie
Asymmetrie
Betrachte Spiegelung an der Hauptdiagonalen
0
1
1
1
0
0
0
0
Digraph: Alle Pfeile
sind Doppelpfeile
0
0
Digraph: keine Doppelpfeile
und Schlingen,
(zwischen zwei Ecken höchstens eine Kante)
1
0
Eine n-reihige quadratische Matrix
a11
A=
an1
Anm.
a1n
mit AT = A heißt symmetrisch
anm
Es gilt für eine Relation R M x M = M².
R symmetrisch A(R) = A(R–1) = (A(R))T
A(R) symmetrisch.
Antisymmetrie
1
0
0
0
Digraph: Zwischen verschiedenen Ecken höchstens eine Kante, Schlinge
möglich
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
33
Transitivität
Intransitivität
(Adjazenzmatrizen etwas schwieriger (kurz) zu beschreiben)
Digraph: Bei jedem Weg (Kantenzug,
d. h. aneinander gelegte Kanten) sind
Start- und Zielknoten durch eine Kante
verbunden.
Digraph: Keine direkte Kante zwischen
Start- und Zielknoten bei Wegen mit
mindestens zwei aneinander
liegenden Kanten.
Linearität
Zwischen verschiedenen Knoten stets eine Kante
x y x y x y
Hat eine Relation R eine der Eigenschaften aus Def. IV.6, so hat auch R-1
dieselbe Eigenschaft. Bew.: Übung
Anm.
Aufgabe
Man zeige die Gültigkeit der Gleichung
(R o S)–1 = S–1 o R–1 für Relationen S M x N, R N x K
M
N
K
S
R
M
K
RoS
M
S–1
M
N
K
R–1
K
S–1 o R–1
(x, y) (R o S)–1
Bew.:
(y, x) R o S
(y, z) S (z, x) R
z N
(x, z) R–1 (z, y) S–1 (x, y) S–1 o R–1
z N
b)
Strukturierte Mengen
Def. IV.7
08.12.2010
Eine Menge M mit einer Relation R M x M trägt die Struktur einer
Präordnung, Partialordnung (Halbordnung), Totalordnung oder die einer
Äquivalenzrelation, wenn gilt
Struktur Eigenschaft
von M
von R
reflexiv
R0 R
symmetrisch transitiv antisymmetrisch
RoRR
R R–1 R0
R = R–1
Präordnung
x
x
Partialordnung
x
x
x
Totalordnung
x
x
x
Äquivalenzrelation
x
z. B.
x
x
x
1) Präordnung: Übung
2) Halbordnung:
) Teilmengenrelation ’’ auf einer Potenzmenge P(M)
linear
R R–1 R0M²
) Teilbarkeitsrelation auf 0
(vgl. Kapitel II)
R| = R = {(m, n) | m, n 0
mk = n}
k
Bew.:
Reflexivität:
0
m 1 = m mRm
Antisymmetrie: mRn nRm
mk1 = n nk2 = m
k1 , k2
0
mk1 k2 = m
k1 , k2
0
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
34
Fallunterscheidung:
1: m = 0 n = m = 0
Transitivität:
2: m 0 k1 k2 = 1
mRn nRp
k1 k2
mk1 = n nk2 = p
k1 , k2
k1 = k2 = 1
0
m = n
m k 1 k2 = p
k1 , k2 k
0
mRp
0
Die Linearität gilt nicht, da z. B. 3 5 und 3 teilt nicht 5 und 5 teilt nicht 3. Die Teilbarkeitsrelation ist also keine totale Ordnungsrelation.
3) Die Kleiner-Gleich Relation "" auf z. B. , siehe Def. IV.2, Beisp. 2.
Beweis der Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität analog wie oben.
x y
Die -Relation ist außerdem noch linear, d. h.
x y
y x
x, y N
also eine Totalordnung.
4) Äquivalenzrelationen werden auf den entsprechenden Mengen definiert durch
H1 H2 H1RH2 semantische Äquivalenz ,
A = B ARB
Mengengleichheit ,
A ~ B ARB
Gleichmächtigkeit .
Anm.
Der Begriff der Äquivalenzrelation präzisiert und verallgemeinert der Begriff der
Gleichheit von Objekten einer gegebenen Zusammenfassung.
Beispiele für Digraphen von Mengen mit Teilbarkeitsrelation
i)
T(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
1 2 4 8 16
totale Ordnung lässt sich als Kette aufschreiben.
Schlingen und Transitivitätspfeile sind weggelassen.
12
ii)
4
6
2
3
T(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Transitivitätspfeile (z. B. 2 12 , 1 12)
und Schlingen sind weggelassen.
Halbordnung (nicht linear).
1
Anm.
[M, R] bezeichnet mit R M x M die durch die Relation R strukturierte Menge M.
Mit R = Präordnung, Halbordnung oder (totale) Ordnung, den Ordnungsrelationen,
bezeichnet [M, R] eine geordnete Menge.
Def. IV.8
Sei R M x M eine Äquivalenzrelation, dann heißt
[a]R : = {b | aRb} M
Äquivalenzklasse von a
a: Repräsentant der Äquivalenzklasse [a]R
M : = {[a]R | a M}
Faktor- oder Quotientenmenge
R
M : Index von R
R
Satz IV.3
Ist R eine Äquivalenzrelation auf M , so sind die folgenden Aussagen äquivalent.
i) aRb
ii) [a]R = [b]R
iii) [a]R [b]R
Bew.:
(Ringbeweis)
i) ii) : Voraussetzung aRb, Behauptung [a]R = [b]R
““
c [a]R
aRc
Def .
““
c [b]R
Def .
aRc aRb
bRc
Vorauss .
cRa aRb
R symm .
Vorauss .
aRb bRc
R trans.
aRc
Def .
R trans.
cRb
R symm.
bRc
Def .
c [b]R
c [a]R
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
35
ii) iii) : [a]R [b]R
[a]R [b]R = [a]R wegen M
iii) i) : [a]R [b]R
c [a]R c [b]R aRc bRc
c M
Folgerung
i)
ii)
Satz IV.4
Für eine Äquivalenzrelation R auf M gilt
R symm.
aRc cRb
R trans.
[a]R
ii)
aM
a]R [b]R [a]R [b]R
iii)
aM
a, b M
i), ii) siehe Satz IV.3
iii)
[a]R M
"": [a]R M , "": b M b [b]R
aM
z. B.
aRb
(aRb) [a]R und [b]R disjunkt.
Zwei Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder disjunkt.
i)
Bew.:
und aRa , d. h. a [a]R
[a]M
M:= Menge aller Studierenden der BHT:
s1 R s2 : s1 und s2 belegen denselben Studiengang
s studiert MD
[s]R = {p | p studiert dasselbe wie s} {p | p studiert MD}
z. B.
[, m] ist eine durch die Äquivalenzrelation m (Kongruenzrelation modulo m)
strukturierte Menge, wobei “m“ definiert ist für m durch
x – y = mq
x m y x y (mod m) :
*
q
(x = mq1 + r) y = mq2 + r)
q1 , q2
, 0 r m 1
Sprechweise: x kongruent y modulo m.
Anm.
i)
Beweis, dass “m“ eine Äquivalenzrelation ist, zur Übung.
ii) zum Beweis von
*
““
““
z. B.
(x = mq1 + r) y = mq2 + r) x – y = mq1 + r – (mq2 + r) = m (q1 - q2) = mq
später
m =2
[0] = {x | x = 2q q } ; denn 0Rx
x – 0 = 2q
Def . q
= {..., -2, 0, 2, 4, ...} Äquivalenzklasse der geraden ganzen Zahlen
[1] = {x | x = 2q +1 q } ; denn 1Rx
x – 1 = 2q
q
Klasse der ungeraden ganzen Zahlen
[2] = [0] = [2n], n , siehe auch Satz IV.3, denn a m b [a] = [b], ebenso
[3] = [1] = [2n + 1] ,
Faktormenge M
R
= {[a] | a M} der Äquivalenzrelation R M x M für M = und R : 1 , 2
bzw. Restsystem
2
Anm.
= {[0]} = {
Ein Mengensystem
Z
Z
1
}
= {[0], [1]} = {{... , –2, 0, ... , 62, 64, ...}, {... , –1, 1, ... , 63, 65, ...}} = {G, U}
Def. IV.9
i)
n .
ii)
P(M) heißt Zerlegung von M wenn gilt:
Z Z’ Z Z’ = (paarweise Disjunktheit)
Z M
iii)
Z
Z, Z '
Satz IV.4 besagt gerade, dass die Faktormenge {[a]R | a M} = M
R
eine Zerlegung der Menge M ist. Es ist die durch eine Äquivalenzrelation R
induzierte Zerlegung R := M .
R
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
36
Satz IV.5
Sei
eine Zerlegung der Menge M, dann wird durch xRy:
x Z y Z
Z
eine Äquivalenzrelation auf M definiert, für die M
Bew.:
reflexiv:
Z
xM=
gilt.
Z
x Z y Z =
Z
transitiv: xRy yRz
=
x Z x Z xRx
Z
symmetrisch: xRy
R
y Z x Z yRx
Z
x Z y Z y Z’ z Z’
Z, Z '
x Z z Z’ Z Z’
Def.
Z, Z '
x Z z Z’ y Z Z’
Z, Z '
x Z z Z xRz
Z = Z’ x Z z Z’
Z, Z '
.
Z
Anm.
i)
R
M M heißt die durch eine Zerlegung
ii)
Die Sätze IV.4, 5 drücken die Korrespondenz (Äquivalenz) der Begriffe "Zerlegung"
von und "Äquivalenzrelation" auf einer Menge M aus, d. h.
,
R : von einer Äquivalenzrelation R induzierte Zerlegung
R : von einer Zerlegung
c)
induzierte Äquivalenzrelation auf M.
induzierte Äquivalenzrelation R.
Bijektionen und unendliche Mächtigkeiten
Def. IV.10
22.12.2010
Eine Relation R M N heißt Funktion (Abbildung) aus M in N, wenn
R rechtseindeutig ist, d. h. wenn gilt
x M
Anm.
y1, y2 N
xRy1
xRy2 y1 y2 .
i)
y1
Bei Abbildungen tritt im bipartiten Digraphen die Situation x y nicht auf.
2
ii)
Bei Abbildungen werden meist die Kleinbuchstaben f, g, h … M N benutzt.
Def. IV.11
Eine Abbildung f M N heißt
i)
total (linkstotal)
:
Df M
ii)
surjektiv (rechtstotal)
:
Wf N
iii)
injektiv (linkseindeutig) :
x1, x2 M
iv)
bijektiv
:
yN
x1fy
x2fy x1 x2
f ist injektiv und surjektiv
Anm.
x1
Analog zur Rechtseindeutigkeit kann bei injektiven Abbildungen x
2
Anm.
i)
Zu Schreibweisen für Abbildungen:
f M N : f : M N
x
x, y f
ii)
Satz IV.6
f x y
xfy : y f x
In anderen Zusammenhängen (Analysis, Lineare Algebra, … ) werden totale
Abbildungen kurz Abbildung genannt, d. h., dort sind Abbildungen (Funktionen)
linkstotale und rechtseindeutige binäre Relationen zwischen Mengen
Für eine totale Abbildung f : M N mit
f surjektiv
Bew.:
Anm.
y nicht auftreten.
f injektiv
M N n
gilt
f bijektiv.
Übung (Schubfachprinzip)
In der Linearen Algebra gilt ein analoger Satz. Welcher?
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
37
Def. IV.12
Def. i)
Permutation, Determinante
Eine bijektive Abbildung p auf (n) = {1, 2, …, n} heißt Permutation von n Elementen.
2
1
p
p(1) p(2)
Schreibweise:
n
: p(1) p(2)
p(n)
p(n)
ii) Die Menge aller Permutationen von n Elementen wird mit Sn bezeichnet und
Permutationsgruppe (symmetrische Gruppe) genannt.
Anm.
Sn enthält also alle möglichen Anordnungen bzw. Vertauschungen der Reihenfolge
der Zahlen 1 bis n, wovon es bekanntlich n! = n(n – 1) … 2 1 gibt, d. h.
#(Sn) = n! .
Weiteres zur Gruppe Sn später.
Def. i)
Ein Paar (i, i*) heißt Inversion (Fehlstand) von p p(1)
p(n) , wenn p(i) > p(i*)
ist für i < i*.
ii) Eine Permutation heißt gerade, wenn die Anzahl ihrer Inversionen gerade ist,
andernfalls ungerade.
iii) Jeder Permutation p Sn wird ein Vorzeichen (Signum) zugeordnet durch:
gerade
1
sig(p) : , wenn p
ungerade
1
z. B.
p S3
: (1 2 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) (2 1 3) (1 3 2)
Anzahl der Inversionen:
0
2
2
3
1
1
sig(p)
:
1
1
1
1
1
1
a11
Sei A
a
n1
a1n
n n
gegeben.
K
ann
Def. Für ein p Sn heißt das Produkt der Form a1 p(1)
Anm.
an p(n) elementares Produkt
a2 p(2)
Ein elem. Produkt einer quadr. Matrix A enthält also aus jeder Zeile und jeder Spalte
von A genau ein Element als Faktor.
Def. Die Summe aller signierten elementaren Produkte von A Kn x n wird mit
Determinante von A bezeichnet, d. h., man hat die Funktion
det : K n n K
A
det( A) :
sig(p) a
a
z. B. det 11
a21
Def. IV.13
Anm.
a
1 p(1) 2 p(2)
p Sn
a12
a11
a11a22 a12 a21 :
a22
a21
an p(n)
(Leibnizsche Determinantendefinition)
a12
a22
Gleichmächtigkeit
Zwei Mengen A, B heißen gleichmächtig, wenn es zwischen ihnen eine Bijektion
f : A B gibt; Schreibweisen: A B , A B .
Auf einer "entsprechenden Universalmenge" hat die Gleichmächtigkeit die
Eigenschaften einer Äquivalenzrelation (Beweis zur Übung).
Def. IV.14
(1887 von R. Dedekind [1831 – 1916] formuliert)
M endlich
:
AM A M
A M
M unendlich
:
Die Menge M ist zu keiner ihrer echten Teilmengen gleichmächtig.
M ist nicht endlich
AM A M
AM
z. B.
ist unendlich, denn f :
n
Anm.
0
G
G
2n
G 2, 4,
,
G
, f bijektiv.
U
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
38
Def. IV.15
Eine Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn M gilt.
Man sagt dann: "Die Mächtigkeit von M ist Aleph Null" und schreibt
M 0 . Die Mächtigkeit (Kardinalzahl) von M ist Aleph Null besagt gerade,
dass die Elemente von M eindeutig und vollständig durchnummeriert werden
können.
Satz IV.7
Bew.:
i)
zu i) :
zu ii) :
Satz IV.8
Bew.:
i)
zu i) :
zu ii) :
M N 0
M N 0
ii)
0
1. Cantorsches Diagonalverfahren (s. Literatur)
wie i) oder Extrablatt 09.
0,1 0
ii)
P n M
2. Cantorsches Diagonalverfahren (s. Literatur)
Angenommen M P M , d. h., es gibt eine Bijektion f : M P M ,
dann gibt es für die Menge A a a f a M ein
b M mit f b A . Nun folgt
b A
b f b A
Def. A
und
b A f b
b A,
also
b A
b A
.
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
39
V. Zahlentheorie
V. 0.
05.01.2011
Es werden Eigenschaften ganzer Zahlen, d. h. von Elementen aus
, 2, 1,0,1,2, betrachtet.
a für a 0
Für den Betrag |a| einer Zahl a, d. h. für |a| : =
gilt
a für a 0
Satz V.0
i)
a b a
Bew.:
ii)
b a
ab a b
Übung (Analysis)
Für gerade Zahlen g1 2a , g2 2b und ungerade Zahlen u1 2c 1 , u2 2d 1 gilt
g1g2 , g1 g2 , u1 u2 , gi u j
Anm.
ab ungerade
gerade;
u1u2 , gi u j ungerade.
a und b ungerade
1.
Teilbarkeit, Division mit Rest
a)
Teilbarkeit
Def. V.1
a, b
a| b :
b qa
Sprechweisen: "a teilt b", "a ist Teiler von b",
q
"a ist Vielfaches von b".
z. B.
Satz V.1
2 | 6 , 2 | -6 , -2 | 6 , -2 | -6
Für a, b, c
i)
a|a, a|0
iii)
a|b
a | bc
v)
a|b
und
b≠0
Bew.:
gilt
ii)
a|1
a=1
oder
iv)
a|b
und
a|c
|a| = |b|
oder
|a| ≤ ½|b|
a = –1
a|b+c
und
a|b–c
zu i) bis iv): Übung,
zu v):
z. B.
i)
a | 235
und
|b| = |qa| = |q| |a|
|q| = 1
|q| 2
a | 252
impliziert entweder
|a| = |b| oder wegen q ≠ 0
1
|a| =
|b| ≤ ½|b|.
q
a | 252 – 235
ii)
a | n2 und a | (n + 1)2
d. h. a | 2n + 1 für n
iii)
a | 57218 und a | 57884 und
denn a | 666 und a ≠ 666.
b)
Division mit Rest
a | 17
a=1
a ist ungerade, denn a | (n + 1)2 – n2 ,
1,2, Menge der natürlichen Zahlen.
0 < a ungerade
oder a = 17
für a > 0.
a ≤ 333 ,
b aq r , 0 r a
Satz V.2
a, b
a0
q, r
eindeutig
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
40
Bew.:
Existenz (s. Literatur)
Eindeutigkeit: q1a r1 b q2 a r2
q1 q2 a r2 r1 ;
wegen 0 ri a 1
ist
- a 1 r2 r1 a 1 .
Angenommen r2 r1 0 , dann folgt wegen a | r2 r1 nach Satz V.1.v) und Satz V.0
a r2 r1 a 1
.
Da 0 r2 r1 a q1 q2 , folgt wegen a ≠ 0 auch q1 q2
Def. V.2
Für a, b
.
, a 0 seien q, r die nach Satz V.2 eindeutig bestimmten
Zahlen mit b qa r , 0 r a ; dann wird der Rest von b bei Division durch a
r : b mod a
"b modulo a" genannt.
Man hat also b qa b mod a .
Def. V.3
Kongruenz
b ab ' : b b ' mod a :
b b ' qa
q
Sprechweise: "b kongruent
Satz V.3
z. B. i)
b mod a b 'mod a
8mod5 3, 8mod5 2
ii)
Für m, n
b' modulo a"
b b ' mod a
Beweis zur Übung
, 13mod5 3, 100mod10 0
mit n m ist n mod m n, denn n 0m n , 0 n m
b qa r
2.
ggT, Euklidischer Algorithmus
a)
Der größte gemeinsame Teiler
Def. V.4
, 2mod5 3, 1000mod10 0
Für a, b
mit a ≠ 0 b ≠ 0
, 0 r a .
und T a : t | t ist Teiler von a , T b
wird d der größte gemeinsame Teiler von a und b genannt, wenn
d die größte Zahl aus T a T b ist.
Schreibweise: d = ggT a, b
Die Definition ist sinnvoll, da 1 T a T b und für z. B. a ≠ 0
Anm.
|a| das größte Element in T(a) ist.
z. B.
Satz V.4
i)
ggT 6,8 2 ggT 6, 8 ggT 6,8 ggT 6, 8
ii)
a, b
und a | b
ggT a, b a = ggT a,0 ggT a,0
Für a, b, q, r mit a ≠ 0 und b = qa + r gilt
ggT b, a ggT a, r .
Bew.:
Es ist T b T a T a T r zu zeigen.
" " : t | b und t | a
Satz V.1
t | b und t | qa und t | a
Satz V.1
t | b qa und t|a
t | a und t | r
" " analog
z. B.
ggT 17459,1587 ggT 1587,2 1 , denn 17459 = 11 ∙ 1587 + 2 .
Durch gegebenenfalls mehrfache Anwendung des Satzes wird der ggT ermittelt;
das Verfahren heißt
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
41
b)
Euklidischer Algorithmus
Bestimmung des ggT(a, b) für a, b
mit a 0 :
1. Schritt:
Ermittlung von q, r mit b qa r ,
2. Schritt:
Wenn r ≠ 0, setze b : a , a : r und wende Schritt 1 an;
0r a
wenn r = 0, so ist a der gesuchte ggT.
z. B.
ggT 4711,1024 1 , denn:
4711 4 1024 615
1024 1 615 409
615 1 409 206
409 1 206 203
206 1 203 3
203 67 3 2
3 12 1
2 2 1 0
Def. V.5
z. B.
a, b teilerfremd
ggT a, b 1
:
(relativ prim)
zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen fn , fn 1 sind teilerfremd (Beweis zur Übung)
1, 1, 2, 3, 5, 8,
Satz V.5
, fn , fn 1 ,
Vielfachsummendarstellung
Für a, b
gilt:
ggT a, b d
ax by d
x, y
z. B.
8x 5y 1
i)
ii)
x 2 ,
x 8 ,
y 3
y 13
Beweis des Satzes: siehe Literatur
Berechnung der Lösung
x, y
2
von ax by ggT a, b durch
Erweiterter Euklidischer Algorithmus
1. Schritt: ggT ermitteln, 2. Schritt: Resterückrechnung.
Erklärung durch ein Beispiel:
ggT 35,101 35x 101y
1. Schritt
2. Schritt
8 35 9 101 2 35
101 2 35 31
8 35 1 31 1 31 8 35 9 31
35 1 31 4
31 7 4 3
4 1 3 1
4 1 31 7 4 8 4 1 31
1 4 1 3
ggT
3 3 1 0
Also:
ggT 35,101 1 26 35 9 101 35 26 101 9
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
42
3.
Modulare Arithmetik
Von Satz IV.4 z. B. her ist die Kongruenz modulo m zweier Zahlen a, b
a b mod m
, als Äquivalenzrelation bekannt. Es wird jetzt mit
m | a b für m
den Restklassen (Äquivalenzklassen) a b | b a mod m
dem Restsystem (Faktormenge)
m
, d. h.
:
m
0 , 1 ,
gerechnet. Dazu werden auf
, m 1 zwei Operationen
eingeführt.
Def. V.6
Addition und Multiplikation in m
a b : a b
a b : a b
Anm.
Die Definitionen sind sinnvoll, da die Operationen von den Repräsentanten
der Restklassen unabhängig sind, d. h. es gilt
a ' a , b ' b
a ' b ' a b , a ' b ' a b .
Bew.:
Übung
Anm.
a
Die Restklassen sind Mengen von ganzen Zahlen, die bei Division durch den
Modul m denselben Rest lassen, d. h. (nach Satz V.3)
, a 2' m, a m, a, a m, a 2m,
wegen b a
b a qm , q
z. B.
Für m = 3 ist
3
.
0 , 1 , 2 , da nur die Reste r = 0, 1, 2 auftauchen.
0 , 6, 3, 0, 3, 6, 6 3
1 , 5, 2, 1, 4, 7, 8 7
2 , 4, 1, 2, 5, 8, 8 11 .
Additions- und Multiplikationstabelle für
6
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
Zur Abkürzung wird [0] = 0 , …, [5] = 5 geschrieben.
0
1
2
3
4
5
Satz V.6
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
m mit der oben definierten Addition und Multiplikation, kurz m , , ,
bildet einen kommutativen Ring mit Einselement 1 1 m , d. h. es gilt:
R1 :
R2 : i)
a b c a b c
ii)
iii)
R3 :
m
,
ist abelsche Gruppe.
Assoziativität,
1 a a
Existenz des neutralen Elements bzgl. der Multiplikation,
a b b a
Kommutativität,
a b c ab a c Distributivität.
Bew.:
zu R1 , R2 : Übung
zu R3 : a b c a b c a b c ab ac ab ac a b a c
Anm.
ist ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement. Während nur zwei
(multiplikativ) invertierbare Elemente hat, nämlich 1 und –1, gibt es in m i. Allg.
mehr mit der besagten Eigenschaft. Dazu die folgende
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
43
a m heißt (multiplikativ) invertierbar, wenn es ein b
a b 1 ,
Def. V.7
z. B.
5
: 2 3 1 4 4 ;
6
m
gibt mit
: 5 5 1 .
In 5 sind also alle Elemente a b invertierbar, in 6 nur 1 und 5 .
Die Begründung dafür liefert
Satz V.7
und a
Für m
ab 1
m
gilt:
ggT a, m 1, d. h. a ist in
m
invertierbar
a, m teilerfremd .
b
Bew.:
t|a
"":
t |1
Vor.
ab 1 qm
t |m
t 1
Satz V.1
t | ab qm
Satz V.1
t 1
ggT a, m 1
Nach Satz V.5 hat die Gleichung ax my 1 ggT a, m eine Lösung:
"":
Vor.
Mit x =: b ist ab – 1 = (–y)m , d. h. ab 1 (modm).
ab ab 1 für ein b
Also folgt
Anm:
Wegen a b 1 a b '
b b '
.
für ein invertierbares [a], ist die
Lösung von [a] ∙ x = [1] eindeutig; sie wird mit [a]–1
Inverse von [a] genannt.
Def. V.8
z. B.
Anm.
*
m
a | ggt a, m 1 Menge der in m invertierbaren Elemente
*
3
1 , 2 ,
1 , m 1
*
6
*
m,
1
Also 1 1 ,
Satz V.8
i)
ii)
Bew.:
bezeichnet und das
1 , 5 ,
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
7
.
\ 0
2
denn 11 1 und m 1m 1 m 1 m2 2m 1 1 .
m 11 m 1 , d. h. [1] und [m – 1] sind selbstinvers.
Für eine Primzahl p ist
*
p
*
7
m
*
p
1 , 2 ,
, p 1
*
p
\ 0 .
ist abelsche Gruppe.
zu i)
Folgt wegen ggT k, p 1 für k 1,2,
zu ii)
Wegen Satz V.6, dort R2 , ist nur noch die Abgeschlossenheit der
Multiplikation in
a , b
*
m
*
p
, p 1 aus Satz V.7 .
zu zeigen. Dies gilt sogar allgemeiner:
a a ' 1 bb '
a ', b '
ab a ' b ' ab a 'b '
a ', b '
Anm.
Satz V.6
aa ' bb '
11
1
.
Ist p eine Primzahl, so trägt p die algebraische Struktur eines (kommutativen)
Körpers, d. h. (p , +) und (p \ {[0]}, ∙) sind abelsche Gruppen und es gilt das
entsprechende Distributivgesetz.
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
44
4.
Primzahlen, Fundamentalsatz
Eine natürliche Zahl p 2 heißt Primzahl, wenn T p 1, p ist, d. h. mit
Def. V.9
:= Menge aller Primzahlen ist p
t|p
t 1
t p.
t
2 ist die einzige gerade Primzahl. Zu den Primzahlen der Form 2n – 1 (Mersennesche
Primz.) und 2n + 1 (Fermatsche Primz.) siehe Extrablatt 06.
z.B.
Satz V.9
p|n
i)
n
\ 1
Bew.:
zu i)
zu iii)
n
p | ab
iii)
a, b
n
ii)
p
p|a
p|b
p
siehe Literatur
zu ii)
Extrablatt 05
Angenommen, p teilt weder a noch b, dann ist ggT(a, p) = 1 = ggT(b, p)
und somit gibt es nach Satz V.5 Zahlen a', p', b', r' mit
aa' + pq' = 1 = bb' + pr'; also ist aa'bb' = (1 – pq')(1 – pr') = 1 + pq
für ein q und damit folgt p aba ' b ' und daraus p ab
.
p | n2 1
z. B.
Anm.
p|n 1
p|n 1
Die Primzahleigenschaft ist notwendig für Satz V.9 iii), denn 6 | 12,
aber 6 3 und 6 4.
Die durch Satz V.9 i) begründete Eigenschaft der Primzahlen als "Grundbausteine" der natürlichen
Zahlen \ {1} wird ausgedrückt in
Satz V.10
Fundmentalsatz der elementaren Zahlentheorie
Für n \ {1} existieren p1 , … , pk und e1 , … , ek mit
e
e
n p11 p22
e
pkk ,
wobei die Primfaktoren pi und die Exponenten ei eindeutig bestimmt sind.
Jede natürliche Zahl n 2 ist also das Produkt von eindeutig bestimmten
Primzahlpotenzen.
Bew.:
siehe Literatur
Satz V.11
Für a, b und p gilt
i)
Bew.:
zu i)
a bp ap bp mod p
ii)
ap a mod p
p 1 p
p
Mit der binomischen Formel a b ap ap k bk b p ist
k 1 k
p 1
ab b p ap bp p ap k bk ps für ein s zu zeigen.
k 1 k
Das folgt aber daraus, dass die Binomialkoeffizienten
p p p 1 p k 1 pq
Vielfache der Primzahl p sind, denn
1 2
k
n
k
jeder Primfaktor von n teilt pq und daher nach Satz V.9 iii) auch q.
zu ii)
p
p
) a 0 : ap a 1 1 a 1 1p mod p
p
) a 0 : a 1 1
a 2 p 1p 1 mod p
p
a 2 2
a 3 p 1p 2 mod p
p
a 3 3
zu ii)
) a 0
p
ap a
p
a a a mod p a mod p
a mod m
ap a mod m
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
45
Satz V.12
"Kleiner Fermat"
Für a
Bew.:
mit ggT a, p 1 gilt ap 1 1 mod p .
und p
Nach Satz V.7 existiert das Inverse a–1 und mit Satz V.11 folgt ap a1 aa1 mod p ,
d. h. die Behauptung. Dabei wurde die Rechenregel a b mod m
ac bc mod m
benutzt (Übung).
Anm.
Später wird eine von L. Euler bewiesene Verallgemeinerung des "kleinen Fermat"
angegeben.
5.
Der Satz von Euler (später)
6.
Chinesischer Restsatz
Zur Abkürzung wird a b(m) für a b(modm) geschrieben.
Satz V.13
Seien a1,
, ak
und m1,
mit ggT mi , mj 1 für i j .
, mk
Dann ist das System linearer Kongruenzen
x a1 m1 ,
x a2 m2 ,
x ak mk
,
eindeutig modulo M = m1 m2 … mk lösbar. Die Lösung ist
x M1x1 M2 x2
wobei M1
M
,
m1
M1x a1 m1 ,
Bew.:
M2
M
,
m2
,
M2 x a2 m2 ,
Mk
,
Mk xk ,
M
mk
ist und x1 ,
x2 ,
,
xk Lösungen von
Mk x ak mk sind.
Da ggT(Mi , mi) = 1, gibt es nach Satz V.7 eine Lösung yi für Mi x 1 mi
und mit xi ai yi eine Lösung für Mi x ai mi .
Weil M j x j 0 mi für i j , ist x M1x1 M2 x2
Mk xk Mi xi mi
und somit x ai mi aufgrund der Transitivität der Kongruenz.
Zur Eindeutigkeit:
Die Symmetrie und Transitivität der Kongruenz liefert für zwei Lösungen
x ' x mi für alle i = 1, …, k und damit x ' x m1 m2
mk x M ,
denn es gilt der
Satz:
Bew.:
1 i,
j k
ggT mi , mj =1 für i j und mi | b
M | b
mit M m1m2 mk .
vollständige Induktion (Übung)
z. B.
Lösung:
x 2 3
M1 110
110x 2 3
x1 1
,
x 1 10
,
M2 33
, 33x 1 10
,
x2 7
,
x 2 11
,
M3 30
, 30 x 2 11
,
x3 3
x 110 1 33 7 30 3 431
x 101 330
VL_Diskrete_Mathematik_WS2010_11
46
Anhang A zur VL "Diskrete Mathematik" – WS 2010/11
Material zu: Zyklisches Nummerieren in der Ebene
Quaterniäre bilaterale Gleichverteilung der ersten 4n natürlichen Zahlen
Magische Quadrate mit 4n Feldern
(Otto Hamborg, im April 2002)
Der Eid der Pythagoreer:
1 2
4 3
’
Zahlenschema I
1
2
3
4
Nein, bei dem, der unserer
Seele die Tetraktys übergeben
hat, welche Quelle und Wurzel
der ewigen Natur enthält.
00 = - - O- O10 = + - O+ O01 = - + O- O+
11 = ++ O+ O+
1
00
1
00
O-
O-
2
10
2
10
O+
O-
3
01
3
01
O-
O+
4
11
4
11
O+
O+
Bild I
Farbgestalt I
Bild II
Zahlenschema 2
Zahlenschema II
Farbgestalt 2
Farbgestalt II
Lateralkombinationen
E16
E8
E4
E2
E1
Der Weg zurück
44 53 52 45 46 51 54 43
21 12 13 20 19 14 11 22
28 5
4 29 30 3
6 27
37 60 61 36 35 62 59 38
40 57 64 33 34 63 58 39
25 8
1 32 31 2
7 26
24 9 16 17 18 15 10 23
41 56 49 48 47 50 55 42
5
4
3
9
7
5
11
5
4
3
6
23
25
27
21
12
13
14
11
17
31
29
19
9
16
15
10
15
1
3
13
8
1
2
7
6
1
12
13
14
11
9
16
15
10
|n m|
1
2
7
n 1
1
2
4
3
2
7
8
3
5
Zwei magische Quadrate M mit 42 = 16 bzw. 43 = 64 Feldern
Konstruktionsprinzip:
1. Schritt
n
Herstellung einer quadratischen Anordnung der Zahlen von 1 bis 4 , bei der die Spaltensummen gleich sind
und nur zwei Zahlen als Zeilensummen auftauchen.
2. Schritt
Anwendung von zwei Spiegelungen, die schon im 1. Schritt benutzt wurden.
16 Felder
1
0
1. Die n x n Matrix Sn = lässt sich interpretieren als
1
0
a1,1 a1,n
Mm,n Sn =
a
m,1 a m,n
1 a1,n a1,1
0
Spiegelung an
v
= Mm
ˆ
=
,n
der Vertikalen
1
0 a m,n a m,1
und
1 a1,1 a1,m a n,1 a n,m
0
Spiegelung an
=
= Mhn,m ˆ
Sn Mn,m =
der Horizontal en
1
0 a n,1 a n,m a1,1 a1,m
2
Nun werden zuerst die 4 Felder mit der Vierheit a, b, c, d markiert gemäß
a
b b
1
M16
d
d
a
c c
c c
4
a
M4
2
d
d
und anschließend die Zahlen 1, ... , 16
Mh4
3
b b
M v4
M
v h
4
a
in die k-ten Vierheiten eingetragen nach der Vorschrift
9
a
b
1 9
c 25
2
d
25
k
uk
uk uk 2k 1
,
uk k 1, ... , 4
uk
Bemerkung: An dieser Stelle sei schon darauf hingewiesen, dass die obige Zerlegung den Kern des
16
Verfahrens ausmacht. Das hängt zusammen mit
n 8 17
1
Somit ergibt sich
5 4 3 6 2 9
12 13 14 11 2 25
M16 =
9 16 15 10 2 25
8 1 2 7 2 9
34 34 34 34
25 9 25 9
.
2
2
2.
M14
M24
M14
S 2Mi4
M16
M 44
*
=
M16
**
M16
M24h
M34
M 44
5 4 14 11
12 13 3 6
9 16 2 7
8 1 15 10
5
12
9
8
5
12
9
8
14
3
2
15
4
13
16
1
11
6
7
10
N 4,2 S 2
M34h
N v4,2
5
12
9
8
N 4,2
11
6
*
M16
7
10
11
6
**
M16
7
10
M 16
Bemerkung: Die beiden Spiegelungen stehen in einer dualen Beziehung zueinander, die gerade in der
umgangssprachlichen Formulierung deutlich wird.
v
MS = M :
h
SM = M :
Zwei vertikale Spiegelungen bzgl. der halben äußeren Achsen
Eine horizontale Spiegelung bzgl. der ganzen inneren Achse
In ähnlicher Weise kann man eine duale Beziehung zwischen dem arithmetischen und harmonischen Mittel
ausdrücken durch ein Modell mit Ohmschen Widerständen:
Ma :
Mh :
Parallelschaltung zweier Reihenschaltungen
Reihenschaltung zweier Parallelschaltungen
(vgl. Hamborg 1995)
Zwei verwandte magische Quadrate
0 1
D S 2 1
0
Es gilt:
a a a a b b b b
D 1 2 3 4 1 2 3 4
b1 b 2 b3 b 4 a1 a 2 a 3 a 4
a a b b
D 1 2 1 2
b1 b 2 a1 a 2
a1
a2
a
3
a
4
b1
b1 a1
b2
b2 a 2
D
b3
b a
3 3
b a
b 4
4 4
sgn (X m,n) = Vorzeichen aus der Matrix (X m,n) = (Lij) bzw. (Rij)
I
5 4 3 6
5 4 14
12 13 14 11
12 13 3
9 16 15 10
9 16 2
8 1 2 7
8 1 15
a1 a 2
RO
RU
a1 a 2
11
6
7
10
5
12
9
8
DR O
a 1 M R a 4*
DR U
a1
14 4 11
3 13 6
2 16 7
15 1 10
R
O
M R D a 4 *
UR
12
5
8
9
3 13 6
14 4 11
15 1 10
2 16 7
L
DO
L
DU R
R ij
L ij
sgn L ij L ij sgn R i,5-j R i,5 j 1
LO
LU
II
a3 a4
DL O
a 3 a 4 a 1* M L a 4
DL U
5 4 3 6
12 13 3 6
12 13 14 11
5 4 14 11
9 16 15 10
8 1 15 10
8 1 2 7
9 16 2 7
a 1* M L a 4
12
5
8
9
3 13 6
14 4 11
15 1 10
2 16 7
O
UL
L
L ij
DO
R
DU L
5
12
9
8
14 4 11
3 13 6
2 16 7
15 1 10
R
R ij
I
5
4
3
6
9
9
12
13
14
11
25
25
9
16
15
10
25
25
8
1
2
7
9
9
II
14
4
3
13
2
16
15
1
5
11
12
6
7
9
7
16
10
8
10
12
16
6
12
6
5
18
11
5
11
25
8
16
10
8
10
9
9
18
7
9
7
9
25
5
18
11
25
9
12
16
6
25
9
9
18
9
25
8
25
9
9
25
9
25
=
=
=R
=L
3
13
14
4
15
1
2
16
64 = 4 · 16 Felder
1. Die Eintragung der 16 Vierheiten (a, b, c, d)k , k = 1, ... , 16 in M64 erfolgt entsprechend der Matrix M16
und ergibt zusammen mit dem sukzessiven Aufbau der Buchstabenanordnung das Bild a).
Das Schema b) M64 zeigt die Anordnung der Zahlen 1, ... , 64 , bei der alle Spaltensummen gleich 260 und
alle Zeilensummen gleich 132 oder 388 sind, wenn die Belegung der Vierheiten gemäß der Formel
33
a
1 33
b
c 2 97
d
97
k
a
Bild a)
a a
b b
5
d
d
4
12
8
11
15
d d
d d
a
a
2
a a
10
c c
c c
1
b b
d
d
b b
b b
16
c c
c c
6
14
a a
a a
Schema b) M 64
a
c c
c c
13
9
a
d d
d d
b b
b b
d
d
b b
3
c c
c c
a
a
uk
u k u k 2k 1
erfolgt ist.
,
uk
k 1, ... ,16
u k
d
d
7
b b
21
44
37
28
25
40
41
24
12
53
60
5
8
57
56
9
13
52
61
4
1
64
49
16
a
20
45
36
29
32
33
48
17
19
46
35
30
31
34
47
18
14
51
62
3
2
63
50
15
11
54
59
6
7
58
55
10
4 33
4 97
4 97
4 33
4 33
4 97
4 97
4 33
22
43
38
27
26
39
42
23
4 65 260
*
2. Acht Spiegelungen S2Mi4 Mih
4 an vier horizontalen Viertelachsen ergeben M16
4
4
M
13
M4
12
53
60
5
8
57
56
9
6
4
M
11
M4
S 2Mi4
16
4
M
1
M4
M
7
M4
a1
a2 a3
10
4
a4
a5
M16
a6 a7
a8
a1
S2
N18,2
52
13
4
61
64
1
16
49
45
20
29
36
33
32
17
48
14
51
62
3
2
63
50
15
a *4
a5
*
M16
N28,2
54
11
6
59
58
7
10
55
43
22
27
38
39
26
23
42
a 8*
Zwei Spiegelungen Ni8,2 S 2 Niv
8,2 an zwei vertikalen ganzen Achsen
stellen nun das magische Quadrat M 64 her.
21
52
12
45
19
54
14
43
44
13
53
20
46
11
51
22
37
4
60
29
35
6
62
28
61
5
36
30
59
3
38
25
64
8
33
31
58
2
39
40
1
57
32
34
7
63
26
41
16
56
17
47
10
50
23
24
49
9
48
18
55
15
42
a *4
a5
a1
N18*,2
N82,*2
27
M 64
a 8*
Bemerkung: Das Quadrat M 64 entsteht also dadurch, dass bei M64
2
M116 M16
die Buchstaben in jedes
4
3
M16
M16
i
wie in M16 eingetragen werden, die dann gemäß der Formel für die 16 Vierheiten belegt werden.
M16
i
Anschließend wird jedes M16
wie M16 behandelt.
a
b
b
a
a
b
b
a
d
c
c
d
d
c
c
d
21
25
20
19
105
81
25
22
105
81
81
121
81
d
c
c
d
d
c
c
d
a
b
b
a
a
b
b
a
28
9
29
30
9
27
a
b
b
a
a
b
b
a
25
9
32
31
9
26
d
c
c
d
d
c
c
d
121
81
d
c
c
d
d
c
c
d
a
b
b
a
a
b
b
a
121
121
81
81
105
24
25
81
105
17
Mit 9, 25 und 49 = 21 + 28 = 20 + 29 = ..., 81, 121 und 169 = 105 + 26
tauchen aus den 64 = 26 Feldern die ersten 6 ungeraden Quadratzahlen auf.
18
25
23
Eine andere "maximale" Anordnung der Schachfiguren
a
b
c
d
e
f
g
h
8
T
S
L
D
K
L
S
T
7
B
B
B
B
B
B
B
B
6
5
K
4
T
T
3
L
2
D
lineare Zählweise
B
S
S
1
B
B
B
B
L
B
B
B
zyklisch-planare Zählweise
8
16
24
32
40
48
56
64
7
15
23
31
39
47
55
63
40
57
64
33
34
63
58
39
25
8
1
32
31
2
7
26
2
10
18
26
34
42
50
58
24
9
16
17
18
15
10
23
1
9
17
25
33
41
49
57
41
56
49
48
47
50
55
42
Otto Hamborg
Bismarckstraße 106
10625 Berlin
Tel. 030 - 313 67 65
[email protected]
14. November 1995
Anhang B zur VL "Diskrete Mathematik" – WS 2010/11
Analogie- bzw. Symmetriebetrachtungen
zum arithmetischen und harmonischen Mittel*
Den folgenden Ausführungen liegt die Absicht zugrunde, das arithmetische und harmonische Mittel
unter dem Aspekt von Ähnlichkeit und Gleichwertigkeit darzustellen. In diesem Zusammenhang
werden daher Begriffe wie Analogie und Symmetrie zur Interpretation der Beziehungen zwischen den
beiden Mitteln im Vordergrund stehen. Auf eine im mathematischen Sinn präzise Definition dieser
Begriffe soll allerdings verzichtet werden.
Bei der üblichen Herleitung und Darstellung des bekannten geometrischen und algebraischen
Sachverhaltes wird das geometrische Mittel als „verbindendes― drittes mit einbezogen.
X
Arithmetisches Mittel:
A (a, b) = ½ (a + b) = M X
I.
Geometrisches Mittel: G (a, b) =
zZ
M
Y
Harmonisches Mittel:
H(a, b) = 2
ab
= XY
ab
a+b
= XZ
Nach Definition, bzw. Konstruktion gilt:
a
b
H : G = G : A
und
H G A
Grundlegend für alle weiteren Betrachtungen ist die als formaler Ausdruck für analoge und
symmetrische Korrespondenzen zu verstehende Symbolkette
II.
X
oder allgemein
Y <—> Y’
X’
... X Y Z ... <—> ... Z’ Y’ X’ ...
Zusammen mit den beiden erwähnten Begriffen wird dieser formale Ausdruck offensichtlich auch
durch die Kommutativität charakterisiert. Er stellt zunächst nur ein allgemeines Zeichenschema dar,
das erst durch die Zuordnung zu definierten Symbolen eine Bedeutung erhält. In den verschiedenen
und mehrdeutigen Zuordnungsmöglichkeiten mag dann der vereinheitlichende Aspekt und Wert der
formalen Symbolkette gesehen werden. Konkrete geometrische und algebraische Fragestellungen
sollen dabei in den Hintergrund treten und vorwiegend der formale Aufbau und Zusammenhang der
mathematischen Ausdrücke des arithmetischen und harmonischen Mittels zur Diskussion stehen. In
dem angesprochenen Sinn führen Ähnlichkeit und Gleichwertigkeit, bzw. Analogie und Symmetrie auf
die Zuordnungen :
III.
...
X Y Z ... <—> ... Z’ Y’ X’ ...
a)
H
G
b)
H : G
=
G : A
c)
G : H
=
A : G
d)
H∙A
A
= G∙G = A∙H
*
Der Pythagoreer Archytas von Tarent (428–365) verfasste eigens eine Arithmetica Universalis, die
auf den drei Grundannahmen des arithmetischen, geometrischen und harmonischen Mittels aufbaute,
um so auch mathematisch die Einheit von Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik zu
begründen. (Mainzer, Klaus: Geschichte der Geometrie (1980))
1
Die Ungleichung III a) zeigt das geometrische Mittel eingeschlossen durch das harmonische und das
arithmetischen. Aufgrund dieser Eigenschaft läßt sich das geometrische Mittel G ( a, b ) =
ab
*
zweier Zahlen a und b nach dem schon in der Antike bekannten Iterationsverfahren approximativ
bestimmen. Es steht sozusagen inmitten zweier immer enger werdender Grenzen, die sich aus den
beiden anderen Mitteln fortlaufend errechnen. Dagegen kann in III b), c) - besonders im Hinblick auf
die weiteren Ausführungen - das Paar
H ( a, b )
=
ab
2a+b
arithmetisches Mittel A ( a, b )
=
a+b
2
harmonisches Mittel
als im Vordergrund stehend angesehen werden, das seine Korrespondenz durch das verbindende
dritte Mittel G ( a, b ) erhält. Dem entspricht die Konstruktion am Halbkreis und, anhand der
Gleichungen, die Berechnung von H ( a, b ) aus A ( a, b ) über die Zwischenstufe G ( a, b ),
bzw. (G ( a, b ))² . Da von den beiden algebraischen Ausdrücken H ( a, b ) und A ( a, b ) der letztere
als einfacher und elementarer erscheint, kann man hier von einer gewissen formalen Asymmetrie
sprechen. Dem entspricht, dass die Konstruktion von A ( a, b ) aus H ( a, b ) umständlicher sein
dürfte als umgekehrt.
Der wesentliche Punkt der Symmetriebetrachtungen zum arithmetischen und harmonischen Mittel ist
nun der, dass man im Schema von III weitere Zeilen hinzufügen kann, die einerseits das
geometrische Mittel nicht enthalten, aber es andererseits formal so ersetzt wird, dass eine direkte
Korrespondenz zu III a - d besteht. Um den dadurch direkteren Bezug von A ( a, b ) und H ( a, b )
herzustellen, werden anstelle der Proportionen von Zahlen, bzw. Produkte von Zahlen und ihren
Kehrwerten Kompositionen von Operationen betrachtet. [Im Folgenden werden die Begriffe
Operation, Operator als Synonyme für Abbildungen (nach der gängigen mathematischen Definition)
verwendet.]
IV. a) (Definition):
( x, y )
=
x+y
K1 ( x )
=
1
x ,
K2 ( x, y )
id1 ( x )
=
x
id2 ( x , y ) =
(x)
=
( x , x )
(x)
=
(
;
Summe
1, 1
x x
=
( 1x , 1y )
( x , y )
Kehrwert
Identität
identische Verdoppelung
)
id. Verdoppelung des Kehrwertes
Mit der Schreibweise der Komposition von Operationen (Nacheinanderausführung von Abbildungen)
f und g gemäß
f(g(x)) =
fog(x)
und der abkürzenden Operatorschreibweise für
fog(x)
=
h(x)
durch
fog
=
h
erhält man aus der Definition IV. a)
IV. b) (Folgerung)
K1 o K1 = id1 ;
K2 o K2 = id2
o o o = id1
o K1 = K2 o = = K2 o o K1
Bemerkung:
Aufgrund der Assoziativität der Komposition von Operationen, d.h. (f o g) h = f o (g o h), können die
Klammern in den Operatorketten beliebig gesetzt und somit auch weggelassen werden.
*
Archytas von Tarent (um 400 v.Chr.), ein Freund Platons
2
Die Zerlegung von H ( a , b ) und A ( a , b ) in die elementaren Operationen aus IV. a) führt zu:
H(a,b) =
V.
A(a,b) =
VI.
2
ab
a+b
H
a+b
2
A
=
( aab+ b , aab+ b )=
((
=
( ( K ( 1a + 1b ) ) )=
=
( ( K1 ( ( K2 ( a , b ) ) ) ) )
=
o o K1 o o K2 ( a , b )
=
o o K1 o o K2
=
K1
=
K1 ( ( ( K1 ( a + b ) ) ) )
=
K1 o o o K1 o ( a , b )
=
K1 o o o K1 o
1
( a +2 b ) =
ab
a+b
) )=
(( (
K1 a + b
ab
( (K ( ( 1a
1
( ( a +1 b , a +1 b ) ) =
K1
, 1
b
)))
))))
( ( ( a +1 b ) ) )
K1
= K1 ( ( ( K1 ( ( a , b ) ) ) ) )
Somit führen die Zerlegungen in elementare Bestandteile zu der Korrespondenz
VII.
H = o o K1 o o K2
Y o K2
X
<—>
<—>
<—>
K1 o o o K1 o = A
K1 o Y
X’
Durch Einsetzen von o K1 = K2 o in die linke, bzw. rechte Seite von VII folgen zwei Darstellungen
der beiden Mittel, deren Symmetrie eine mathematisch und physikalisch aussagekräftige Interpretation
ermöglichen.
VIII.a
o K2 o o o K2 <—> K1 o o o K1 o
X o o X
<—>
X’ o o X’
VIII.b
o o K1 o o K2 <—> K1 o o K2 o o
o o X
<—>
X o o
Die Umformung von VII zu VIII.a, bzw. VIII. b bedeutet einen Schritt zu höherer Symmetrie in zwei
komplementär zueinander stehende Richtungen: Höhere Symmetrie der Teile zu Ungunsten des
Ganzen und höhere Symmetrie des Ganzen zu Ungunsten der Teile.
Zu VIII.a:
Hier erhalten die beiden Seiten selbst eine symmetrische Gestalt, unterscheiden sich
aber durch die Operationen X = o K2 und X’ = K1 o .
Der Unterschied von X = o K2 und X’ = K1 o ist insofern sogar maximal, als er
ein grundsätzliches Verbot beim Rechnen mit (reellen) Zahlen darstellt.
o K2 :
Zu VIII.b:
1
+
x
1
y
1
: K1 o , für x, y 0
x+y
Dagegen sind hier die beiden Seiten selbst nicht symmetrisch aufgebaut, aber aus
denselben Operationen spiegelsymmetrisch zueinander zusammengesetzt.
Die Zerlegungen in VIII.b stellen Ausdrücke dar, die direkt physikalisch interpretiert werden können,
und zwar durch die Reihen- und Parallelschaltung zweier ohmscher Widerstände.
3
IX. a)
R1
R2
Rr = R1 + R2
R1
=
( R 1 , R2 )
Rp =
R1 R2
= K1 o o K2 ( R1 , R2 )
R 1 + R2
RA =
( R 1 + R2 ) ( R 1 + R2 )
=
( R1 + R2 ) + (R1 + R2 )
IX. b)
R2
R1
R1
R2
R2
=
R1
R1
RH =
R2
R2
R 1 + R2
2
K1 o o K2 o o ( R1, R2 )
R1 R2 +
R1 + R 2
R1 R2 =
R 1 + R2
2 R1 R2
R 1 + R2
= o o K1 o o K2 ( R1, R2)
Die Korrespondenz der beiden Mittel A = RA und H = RH läßt sich also auch durch den Begriff der
Kommutativität formal und anschaulich charakterisieren. In der oben angeführten physikalischen
Realisierung folgt aufgrund einer direkten sprachlichen Übersetzung der Schaltbilder:
A = RA = Parallelschaltung
K1 o o K2
zweier gleicher
Reihenschaltungen
H = RH = Reihenschaltung
zweier gleicher
Parallelschaltungen
K1 o o K2
Nun folgt der Schritt von der Korrespondenz
H <—> A
X <—> X’
Y X = X’ Y’
X Y = Y’ X’ .
zur Gleichung
bzw.
Wegen o K1 = K2 o = = K2 o o K1 (IV. b) folgen aus z.B. VII die Gleichungen
K1 o H = K1 o o K2 o o o K2
X.
= A o K2
a)
K1 o H = K1 o o K2 o o K1 o o K2 = A o K2
b)
K1 o H =
K1 o o o o K2
= A o K2
c)
H o K2 =
o o
= K1 o A
Aufgrund dieser Darstellung des harmonischen und arithmetischen Mittels ergibt sich also eine weitere
Interpretation ihrer Korrespondenz. Sie sind aus derselben Operatorkette gebildet, wobei sie jeweils als
das Komplement der Kehrwertoperationen K1, bzw. K2 erscheinen.
4
Harm. Mittel
K1 o o o o K2
XI. [X. b)]
Arithm. Mittel
Nun werden noch die beiden Mittel A und H in die Form einer Operatorgleichung gebracht, die
analog zur Gleichung H A = G G , aufgebaut ist.
Aus der Darstellung von H und A in XI erhält man wegen = K2 o o K1 , o o o = id1
HooA
=
HooA
( o o o K2 ) o o ( K1 o o o )
= ( o o o (K2 o o K1))o o o
oo
=
XII.
kurz:
H
X
= H o K2 = K1 o A
[X. c)]
X = = Reihenschaltung [IX. a)]
A
=
X .
AooH
=
( K1 o o o ) o o ( o o o K2 )
=
K1 o ( o o o ) o o o o K2
=
K1 o o o o K2
und entsprechend
AooH
( K1 o o K2 ) o o ( K1 o o K2 ) = A o K2 = K1 o H
=
XIII.
kurz:
A
H
[X. b)]
X’
=
[X. a)]
X’ = K1 o o K2 = Parallelschaltung
[IX. b)]
X’
Die Verknüpfung
= o o ist nur für den trivialen Fall A = H kommutativ. (Nichtkommutativität der
Komposition von Operationen, d.h., im Allgemeinen gilt f o g g o f ). Man erhält also eine zu III. d)
analoge Korrespondenz.
XIV
H
A
=
X = K1 o A <—> K1 o H
X
= X’
X’ =
A
H
Zusammenfassende Darstellung von III, X und XIV:
G
H : G
=
G : A
G : H
=
A : G
H
A
H A = G G <—> G G = A H
... X Y Z ... <—> ... Z’ Y’ X’ ...
H o K2 = K1 o A = H
A=X
X
X’
X’ = A
H = K1 o H = A o K2
K1 o H = K1 o o o o K2 = A o K2
H o K2 =
o o
= K1 o A
5
Aufgrund und mit Hilfe der elementaren Operationen und ihrer Komposition könnte man nun z.B. der
folgenden Verallgemeinerung nachgehen:
( x, y ) = x + y
Es sei
ersetzt durch die gewichtete Summe
p,q ( x, y ) = px + qy .
Damit ergibt sich aus dem arithmetischen Mittel
A
o o
Ap,q = K1 o p,q o o p,q .
der Ausdruck
Wegen
= K1 o
Ap,q ( x, y ) =
px + qy
p+q
kommt man also zur Formel für die Teilung einer Strecke der Länge ( b - a ) im Verhältnis p : q für
a=x y=b.
Analog erhält man
Hp,q = p,q o o p,q o K2
p+q
Hp,q ( x , y ) = px + qyxy
und schließlich als eine Verallgemeinerung des geometrischen Mittels
Gp,q =
den Ausdruck
Ap,q Hp,q
Gp,q ( x, y ) =
px qy
xy
py qx
Allgemeine Bemerkung:
Die vorgestellten Betrachtungen sind in erster Linie im Rahmen von Meditation und Mnemotechnik
hinsichtlich mathematischer Gegenstände anzusiedeln. So läßt sich auch der Anfang und das Ende
des Weges von den Fibonacci-Zahlen zur Gleichung des Goldenen Schnittes zusammenfassend als
Vertauschung von Indizes und Exponenten analog und symmetrisch darstellen.
a0, a1 beliebig, aber fest vorgegeben
an + 2
.
.
.
n+2
s
= an + 1 + an
.
.
.
.
.
.
n+1
n
= s
+s
s = ½ 1 5
6