Gliederung der Vorlesung Lerninhalte der 7. Vorlesung

Auswertung des Tests vom 6. Dezember
2. Wie können Windrichtung und –geschwindigkeit gemessen werden?
14
3. Skizzieren Sie die Felder von Windgeschwindigkeit und Temperatur.
Bestimmen Sie die Divergenz und Rotation der Windfelder. Deuten sie
die total-zeitliche Änderung der Temperatur.
10



r 
v = 10 sin(2πx L) 


0


mit
T = 288.15 −
10 y
L
4. Was bedeuten die Begriffe stationär, konservativ und advektionsfrei für
die Feldgröße ε? Nutzen Sie zur Erläuterung den Zusammenhang
2.4 Feuchte
2.5 Strahlung
3. Thermodynamik der Atmosphäre
8
( )
insgesamt 16
13. Dezember 2004
1
Definitionen der Temperatur und ihrer Maßskalen (5)
ƒ
Gleichverteilung der Energie auf die Freiheitsgrade
eines Moleküle
ƒ
1. HS der Thermodynamik
ƒ
adiabatische Zustandsänderungen δq=0
ƒ
spezifische Wärmekapazitäten
ƒ
Carnot-Kreislauf:
p
4
2
1
k BT
2
Analoges Vorgehen für
Enthalpie h (dabei wird α durch p ersetzt) und
Freie Enthalpie g (α durch p und s durch T ersetzt)
du = Tds − pdα
du (T ) = δq − pdα
1
2
Ekin ( f ) =
3.1 Adiabatische Prozesse mit Kondensation
3.2 Temperaturschichtung und Stabilität
3.3 Beispiele (Rauchfahnenformen, Wolkenentstehung, Grenzschicht,..)
3.4 Thermodynamische Diagrammpapiere
3.5 Phänomene (Wolken, Nebel,Niederschlag,..)
13. Dezember 2004
Thermodynamische Potentiale
Lerninhalte der 7. Vorlesung
ƒ
7. Vorlesung
2.3.1 Definition der Temperatur (Hauptsätze der Thermodynamik)
2.3.2 Adiabatische Zustandsänderungen
2.3.3 Haushalt und Flussdichten "fühlbarer Wärme"
2.3.4 Temperaturmessung
2.3.5 Globale Temperaturverteilung
11
dε ∂ε r r
=
+ v ⋅∇ ε
dt ∂t
Gliederung der Vorlesung
1. Einführung
1.1 Physikalische Einheiten
1.2 Meteorologische Elemente
1.3 Der Feldbegriff in der Meteorologie
1.4 Vektoren-Operationen und Ableitungen
1.5 Die meteorologischen Grundgleichungen
1.6 Skalenbetrachtungsweise
2. Meteorologische Elemente
2.1 Luftdruck und Luftdichte
2.2 Windgeschwindigkeit
2.3 Temperatur
1. Der Windvektor hat die Einträge u = 10 m/s, v= 17 m/s und w=0. Wie
groß sind Betrag und Richtung der Windgeschwindigkeit?
Betrag 15
w
3
k
V
cv ≡
δq
δT
cp ≡
α
δq
δT
p
ƒ dem System wird insgesamt Wärme
zugefügt, womit es Arbeit leistet
ƒ Wirkungsgrad η der Wärmekraftmaschine
ƒ im abgeschlossenen System (δQ=0) bleibt
die Entropie konstant oder nimmt zu
ƒ Wärme kann nicht vollständig in Arbeit
umgesetzt werden (2 HS)
ƒ Die Atmosphäre funktioniert wie eine
Wärmekraftmaschine
13. Dezember 2004
3
Innere Energie : u ( s, α )
Enthalpie :
h ( s , p ) = u + pα
du = Tds − pdα
dh = Tds + αdp
Freie Energie : f (T , α ) = u − Ts
Freie Enthalpie : g (T , p ) = u − Ts + pα
df = − sdT − pdα
dg = − sdT + αdp
ƒ Damit ergeben sich insgesamt vier Potentiale thermodynamischer Systeme.
ƒ Die geeignete Darstellung des 1. HS richtet sich nach der behandelten
Problematik, z.B. wir die Enthalpie oder die freie Enthalpie gewählt, wenn die
Druckänderung bekannt oder konstant ist.
ƒ Die freie Enthalpie wird auch als Gibb'sche Energie bezeichnet
13. Dezember 2004
4
1
Spezifische Wärmen c
Beziehung zwischen cv und cp
Die spezifische Wärme gibt an, wie viel Wärmeenergie zugeführt werden muss,
um die Einheitsmasse um die Temperatur um 1 Grad zu erhöhen, [c]=J/(kg K)
i.a. vom Weg, z.B. bei Gasen von Annahmen über p und α abhängig
Tds = du + pdα = cv dT + d ( pα ) − αdp
d ( pα ) = α dp + p dα = RL dT
pα = RLT
spezifische Wärme bei konstantem Volumen cv
cv ≡
δq
Tds
du
δq
=
=
c ≡
δT αv δδTT αα dT
Tds = (cv + R )dT − αdp
du = Tds − pdα
Tds = dh − αdp
= c p dT − αdp
spezifische Wärme bei konstantem Volumen cp
cp ≡
δq
δT
=
p
Tds
δT
=
p
dh
dT
= cv dT + RL dT − αdp
c p − cv = RL
dh = Tds + α dp
u (T = 0) = 0  u = cvT
⇒ 
h(T = 0) = 0 h = c pT
13. Dezember 2004
5
Freiheitsgrade
cp
cv
= 1+
cp
2
f
= 1+
cv
6
Der Gleichverteilungssatz gibt die Energie
eines Moleküls pro Freiheitsgrad
ƒ Jedes Molekül besitzt drei Translationsfreiheitsgrade entsprechend
den drei Raumrichtungen, in die es sich bewegen kann.
E= f
E = 1 k BT
2
ƒ Zweiatomige Moleküle besitzen zusätzlich zwei
Rotationsfreiheitsgrade mit Achsen senkrecht
zur Verbindungsachse
dEmol = f
ƒ Dreiatomige nichtlineare Moleküle besitzen drei Rotationsfreiheitsgrade
2
de = du = f
ƒ Hinzu kommen Vibrationsfreiheitsgrade; einer beim
zweiatomigen Molekül, drei bei einem dreiatomigen
Molekül. Diese sind aber bei den
Atmosphärentemperaturen wenig „aktiviert“.
7
2
k BT = f
R*
T [ J / Molekül ]
2 N
A
R* dT [ J / Mol ]
R*
dT
2 M
cv = du
13. Dezember 2004
2
2
= 1 + = 1,4
f
5
13. Dezember 2004
Beweis von
ƒ Freiheitsgrade sind die unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten eines
Teilchens, mit denen es innere Energie speichern kann
ƒ Da Luft i. W. aus 2-atomigen Molekülen besteht hat
sie 5 Freiheitsgrade.
Trockene Luft
cp = 1004 J kg-1 K-1
cv = 717 J kg-1 K-1
RL = 287 J kg-1 K-1
f Anzahl der Freiheitsgrade
dT
kB=1.38⋅10-23 J/K
NA= 6,0228·1023
R* = kB⋅NA
M = m/n
= f
[ J / kg ]
R*
2 M
c p = cv + R
Boltzmann-Konstante
Avogadro-Konstante
Allgemeine Gaskonstante
Molmasse
*
cp
cv
M
=R
= 1− f
*
1 + f 
2
M 
2
13. Dezember 2004
8
2
Adiabatisches Aufsteigen
2.3.2 Temperaturänderung der
Luft bei Vertikalbewegungen
du = Tds − pdα
Temperaturänderung eines Luftvolumens, das
in der Atmosphäre vertikal verschoben wird.
ƒ Adiabatische Form des 1. HS der Thermodynamik
ƒ Potentielle Temperatur
ƒ Temperaturprofil in der turbulenten Grenzschicht
ƒ Adiabatischer Temperaturgradient
ƒ Energiebetrachtung beim Aufsteigen
ƒ Potentielle Temperatur und Entropie
T
dT
=?
dz
1.
„trocken“: keine Kondensation von
Wasserdampf
2.
adiabatisch: keine Wärmeleitung,
Strahlungserwärmung oder
Strahlungsabkühlung, oder Diffusion, also δq=0
du (T ) = − pdα
T + ∆T
T
Bei adiabatischen Bewegungen beschreibt der
1 HS den Ausgleich zwischen Innerer Energie
und Ausdehnungsarbeit
9
13. Dezember 2004
13. Dezember 2004
10
Poisson-Gleichung
Adiabatisches Aufsteigen
δq = dh − αdp = 0
ƒ Beim Aufsteigen des Luftvolumens nimmt nach der
statischen Grundgleichung der Druck ab.
RT
c p dT = αdp = L dp
p
dp = − g ρ dz
adiabatisch!
T2  p 2
=
T1  p1
dh = c p dT
α = RLT / p
dp
dT
= RL
cp
p
T
R
ln T2 − ln T1 = L (ln p2 − ln p1 )
cp
Tu(z) aktuelles
Temperaturprofil
z
T − ∆T
dT
=?
dz
TrockenAdiabaten
-p
T
T
13. Dezember 2004
T
11
p
RL
cp
 p 
=  2 
 p1 
0
-pk
κ
k
StüweDiagramm
300
500
dT
dp
T + ∆T
1000



 p 

T ( p ) = T ( p 0 ) 
 p0 
0
du (T ) = − pdα
ƒ Die Temperaturänderung bei adiabatischen
Aufsteigen lässt sich mittels der PoissonGleichung beschreiben
T − ∆T
Annahmen:
ƒ Poisson-Gleichung
ƒ Nimmt dabei die Dichte auch ab
(wie meistens - und damit α zu), so leistet
das Gas Ausdehnungsarbeit auf Kosten der
inneren Energie: diese und mit u=cvT auch die
Temperatur nehmen ab.
Tu(z) aktuelles
Temperaturprofil
z
T
=∞
p =0
1000
13. Dezember 2004
12 T
3
Potentielle Temperatur θ
Temperaturprofil bei Durchmischung
Die potentielle Temperatur ist jene, die ein Luftvolumen annimmt, wenn es
adiabatisch auf einen Referenzdruck po (meist 1000 hPa) gebracht wird.
 p 

T ( p ) = T ( p 0 ) 
 p0 
-p
0
pB
Referenzdruck
Temperatur bei
Referenzdruck
p1,T1 → p,T beliebig
B
p 
θ = T 0 
 p
p0
TA
k
p2 = p0
T2 = Θ
A
pA
a) Atmosphäre sei in Ruhe.
Sie werde vom Boden (bei
T0) durch Wärmeleitung etc.
angeheizt.
Strahungsprozesse in der
Atmosphäre seien
Vernachlässigbar.
θA
TB
θB
RL
c p dT = −
=−
dT
dz
1
ρ
(− ρ u g dz )
dT
dz
RLT pu
gdz
p RLTu
=−
∂Tu
∂z
ad
instantaner Druckausgleich
zwischen Luftvolumen und
Umgebung
T
gdz
Tu
trocken
adiabatisch
dT
dz
= − ρ u gdz
T
Tu
z
g T
g
≅−
c p TU
cp
≡ −0,98 K/100m
≡ -γ d
g
−
cp
T
>1
Tu
T 15
14
Temperaturgradient (lapse rate)
ad
ƒ
Atmosphäre entwickelt sich adiabatisch ausgehend von einem
bestimmten Anfangszustand
im Gleichgewicht stellen sich neutrale Bedingungen ein -dT/dz = Γ
ƒ
Solare Erwärmung an der Oberfläche kann das Gleichgewicht stören und
eine instabile Atmosphäre erzeugen
z
z
ATM
Γ
z
ATM
Anfang: - dT/dz = Γ
T
13. Dezember 2004
13. Dezember 2004
T
T
<1
Tu
T
Adiabatisches Profil stellt
sich ein mit T0 als
Temperatur in Bodennähe.
13
1 HS für adiabatische Bewegungen
z
dp ≡ ∂pu = − ρ u g∂z
T0
T0
T
T(z)=T0=const
im thermischen Gleichgewicht
T
Adiabatischer Temperaturgradient
c p dT = αdp =
z
z
cp
Die potentielle Temperatur ist eine Konstante (konservative
Größe) bei adiabatischen Bewegungen eines Luftvolumens.
13. Dezember 2004
δq = dh − αdp = 0
b) Einsetzen von Turbulenz
und damit vertikale
Durchmischung, die
innerhalb der Atmosphäre
adiabatisch erfolgen soll.
Γ
Erwärmung
→ instabil
initial
T
final
Γ
T
Auftrieb relaxiert instabile
Atmosphäre zu –dT/dz=Γ
ƒ Schnelles vertikales Mischen in einer instabilen Atmosphäre sorgt dafür, daß der
Temperaturgradient Γ ist
ƒ Eine Beobachtung von -dT/dz = Γ ist ein Indikator für instabile Atmosphäre
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16
4
Energiebetrachtungen beim Aufsteigen
c p dT = αdp ≅ − g dz
c p (T − T0 ) + g ( z − z0 ) = 0
c pT0 = c pT + g ( z − z0 )
Entropie s und potentielle Temperatur θ
δq = c p dT − αdp
c pθ = c pT + g ( z − z0 )
1
424
3
{ {
const
Enthalpie
potentielleEnergie
δq
p 
dT
1
−
dp
T
T ρT
ds = c p d ln T − RL d ln p
Referenzhöhe z0
→T0=Θ
≡ ds = c p
ln θ = ln T + RL
cp
cp
ln
p
p0
c p ln θ = c p ln T − RL ln p − RL ln p0
1
424
3
ds ≡ c p d ln θ
const
c p d ln θ = c p d ln T − RL d ln p
T
ƒ Beim adiabatischen Aufstieg/Abstieg wird Enthalpie in potentielle
Energie umgewandelt und umgekehrt.
δq = Tds = c pTd ln θ = c p dθ ≈ c p dθ
θ{
ƒ Aus der 1. Form des 1. HS folgte, dass bei adiabatischen
Bewegungen Innere Energie in Ausdehnungsarbeit
umgewandelt wird bzw. umgekehrt.
ƒ cpθ und damit auch die potentielle Temperatur θ ist eine
Konstante (konservative Größe) bei adiabatischen
Umlagerungen.
13. Dezember 2004
RL
θ = T  0 
 p
~1
Wärmezu- oder –abnahme sind proportional zu Änderungen der
potentiellen Temperatur!!
Sie hängen nicht unmittelbar mit der Änderung der Temperatur zusammen
17
13. Dezember 2004
18
Wärmehaushaltsgleichung
2.3.3 Fluss fühlbarer Wärme
ƒ Die Atmosphäre wird wesentlich durch ihren Kontakt mit der
Erdoberfläche erwärmt.
dh = c p dT =
{ Tds + αdp
Änderung der Enthalpie im Volumenelement
ƒ Direkt an der Erdoberfläche (wenige mm) geschieht das durch
Wärmediffusion. Diese lässt sich wegen der Inhomogenität des
Untergrundes nicht messen.
dh
dT
ds
dp
= cp
=T
+α
dt
dt
dt
dt
Änderung mit der Zeit (totales Differential)
1.HS
( )
r r
∂h
ds
dp
∂T
= cp
= − cp v ⋅∇ T + T
+α
∂t
∂t 14243 1dt
dt
4243
ƒ Oberhalb dieser sehr dünnen Schicht erfolgt der
Wärmetransport i.w. durch Turbulenz; dieser Transport lässt
sich direkt messen oder aus dem Temperatur- und Windprofil
abschätzen.
Advektion in
das Volumen
Vereinfachung durch potentielle Temperatur
ƒ w‘T‘ ist nicht die geeignete Formulierung für den
Wärmetransport, da sich T durch adiabatische Druckänderung
mit der Höhe verändert.
c p dθ = c pθd ln θ = θds
ƒ w‘θ‘ ist die geeignete Formulierung, da die potentielle
Temperatur eine Konstante bei adiabtischen Abläufen ist.
13. Dezember 2004
cp
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Haushaltsgleichung der Enthalpie
Quellen + Senken
im Volumen
cp
dθ
ds
=θ
dt
dt
( )
dθ ∂θ r r
=
+ v ⋅∇ θ
dt
∂t
( )
r r
∂θ
ds
= − cp v ⋅∇ θ + θ
∂t 14243 {
dt
Advektion
= Qu
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20
5
Wärmehaushaltsgleichung
Vertikaler turbulenter Wärmefluss H
Gradientansatz
Kz turbulenter
Diffusionskoeffizient
Erwärmung des Volumens durch
- innere Reibung
- Divergenz der Strahlungsflüsse
- Divergenz der molekularen Wärmeleitung
r
H mol
H = −ρc p K z
r
r
r
H mol = −λ∇T = −c p ρa∇T
Annahme: ∂T = 1 K / m
∂x
∂θ
∂z
Differenzenansatz (bulk Ansatz)
- z0-z klein
- αL abhängig von Höhendifferenz
Turbulente Wärmeflüsse und vertikales Temperaturprofil:
r
H mol ≈ 0,026 W/m 2
sehr klein!
r
r
r
H = H mol + H turb ≅ H turb
λ
α/(λcp)
H = α L (θ 0 − θ ) ≅ α L (T0 − T )
H = ρ c p w′θ '
Quellterm Qu
J/(m2s))
Wärmeleitfähigkeit (~0,026
Temperaturleitfähigkeit (~2x10-5 m2s)
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z
ΘA = ΘB
ΘA > ΘB
ΘA < ΘB
A
B
keine Profiländerung, kein Wärmefluss
TA nimmt zu, TB ab → Wärmefluss nach unten
TA nimmt ab, TB zu → Wärmefluss nach oben
∂θ
=0→H=0
∂z
∂θ
>0→H<0
∂z
∂θ
<0→H>0
∂z
abwärts
aufwärts
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22
6