Repetitorium Axel Hillmann | Fibel Theorie der Marktwirtschaft | 15
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vwlfibel Theorie der Marktwirtschaft von Axel Hillmann Fünfzehnte Auflage Textauszug vwlfibeln Einführung in die Wirtschaftswissenschaft Theorie der Marktwirtschaft Makroökonomie Marktversagen Allokationstheorie Fiskalpolitik Öffentliche Ausgaben (in Arbeit) Repetitorium Axel Hillmann VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Inhaltsverzeichnis II Inhaltsverzeichnis Seite 1 Einführung 1 2 Haushaltstheorie 2.1 Einführung 2.2 Güternachfrage 2.2.1 Präferenzordnung 2.2.2 Nutzenfunktion und Indifferenzkurve 2.2.3 Budgetrestriktion und Budgetgerade 2.2.4 Nutzenmaximum (Haushaltsgleichgewicht) 2.2.5 Nachfragefunktionen 2.2.5.1 Einkommens– bzw. Budgetänderungen 2.2.5.2 Preisänderungen für das betrachtete Gut 2.2.5.3 Preisänderungen für ein anderes Gut 2.2.5.4 Substitutions– und Einkommenseffekt 2.3 Arbeitsangebot 2.4 Intertemporale Nutzenmaximierung 2.5 Entscheidungen unter Unsicherheit 2.5.1 Entscheidungen unter Risiko 2.5.2 Entscheidungen unter Ungewissheit 2.5.3 Ermittlung der Erwartungsnutzenfunktion 2.6 Lösungen zu den Übungsaufgaben 2.7 Lösungen zu den Klausuraufgaben 5 5 7 8 12 18 21 26 27 30 32 34 39 44 49 49 58 59 62 66 3 Theorie der Firma 3.1 Einführung 3.2 Kurzfristige Analyse 3.2.1 Partielle Faktorvariation 3.2.2 Kostenfunktionen 3.2.3 Angebots– und Nachfragefunktionen 3.3 Langfristige Analyse 3.3.1 Substitutionale Faktorvariation 3.3.2 Proportionale oder totale Faktorvariation 3.3.3 Kostenfunktionen 3.3.4 Angebots– und Nachfragefunktionen 3.4 Lösungen zu den Übungsaufgaben 3.5 Lösungen zu den Klausuraufgaben 103 103 108 108 112 121 125 125 137 143 151 157 161 4 Vollständige Konkurrenz 4.1 Einführung 4.2 Gütermarktnachfrage 4.3 Gütermarktangebot 4.4 Gütermarktgleichgewicht 4.4.1 Statische Analyse –Preismechanismus 4.4.2 Komparativ–statische Analyse 191 191 193 196 202 203 205 Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Inhaltsverzeichnis III 4.4.3 Cobweb–Theorem 4.4.4 Markteingriff des Staates Faktormarkt 4.5.1 Faktormarktangebot 4.5.2 Faktormarktnachfrage Rente Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösungen zu den Klausuraufgaben 211 213 217 217 219 222 232 236 5 Unvollständige Konkurrenz 5.1 Monopol: Einführung 5.2 Monopolgleichgewicht 5.3 Kartell 5.4 Monopolistische Konkurrenz 5.5 Lösungen zu den Übungsaufgaben 5.6 Lösungen zu den Klausuraufgaben 267 267 270 283 286 288 291 6 Mathehilfen für die Volkswirtschaftslehre 6.1 Ableitungen 6.2 Totales Differenzieren 6.3 Lagrange–Technik 6.4 Lösen einer quadratischen Gleichung 6.5 Elastizitäten 6.6 Rechnen mit Exponenten 333 333 335 336 337 338 341 7 Glossar 342 4.5 4.6 4.7 4.8 Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Symbolverzeichnis IV Abbildungsverzeichnis Seite Haushaltstheorie Abb. 1: Strenge Konvexität Abb. 2: Nutzenkurve 1 Abb. 3: Nutzenkurve 2 Abb. 4: Indifferenzkurve Abb. 5: Grenzrate der Substitution Abb. 6: Substitutionselastizität Abb. 7: Budgetgerade Abb. 8: Budgetgerade nach Budgeterhöhung Abb. 9: Budgetgerade nach Preiserhöhung Abb. 10: Budgetgerade nach Preissenkung Abb. 11: Nutzenmaximum Abb. 12: Nachfragekurve Abb. 13: Engelkurve Abb. 14: Preis–Konsumkurve Abb. 15: Kreuzpreis–Konsumkurve Abb. 16: Substitutions– und Einkommenseffekt Abb. 17: Giffen–Gut Abb. 18: Slutsky–kompensierte Nachfrage Abb. 19: Lohnerhöhung Abb. 20: Intertemporale Budgetgeraden Abb. 21: Nutzenfunktion bei Risikoscheu Abb. 22: Nutzenfunktion bei Risikofreude Abb. 23: Nutzenfunktion bei Risikoneutralität 9 12 13 14 16 17 19 20 20 20 21 28 29 31 33 35 37 38 41 46 55 56 57 Theorie der Firma Abb. 24: Ertrags- und Grenzertragskurven Abb. 25: Ertrags-, Grenzertrags- und Durchschnittsertragskurven Abb. 26: Ertrags– und kurzfristige Kostenkurven einer neoklassischen Produktionsfunktion Abb. 27: Ertrags– und kurzfristige Kostenkurven einer ertragsgesetzlichen Produktionsfunktion Abb. 28: Ertrags– und kurzfristige Kostenkurven einer linear–limitationalen Produktionsfunktion Abb. 29: Ertrags– und kurzfristige Kostenkurven einer linear–substitutionalen Produktionsfunktion Abb. 30: Angebotskurven einer neoklassischen Produktionsfunktion Abb. 31: Isoquanten Abb. 32: Gesetz von der abnehmenden Grenzrate der technischen Substitution Abb. 33: Isokline Abb. 34: Kostenminimum Abb. 35: Expansionspfad Abb. 36: Isoquante der Sato–Funktion Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de 110 111 116 117 118 119 123 127 128 129 131 133 135 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Symbolverzeichnis Abb. 37: Isoquante einer linearen Funktion Abb. 38: Isoquante der Leontief–Funktion Abb. 39: Niveau–Ertragskurven Abb. 40: Niveau–Ertragskurve bei zunächst steigenden, dann sinkenden Skalenerträgen Abb. 41: Niveau–Ertrags– und langfristige Kostenkurven bei konstanten Skalenerträgen Abb. 42: Niveau–Ertrags– und langfristige Kostenkurven bei sinkenden Skalenerträgen Abb. 43: Niveau–Ertrags– und langfristige Kostenkurven bei steigenden Skalenerträgen Abb. 44: Niveau–Ertrags– und langfristige Kostenkurven bei wechselnden Skalenerträgen Abb. 45: Kurzfristige und langfristige Kosten Abb. 46: Kurzfristige und langfristige Kostenfunktionen (neoklassisch) Abb. 47: Kurzfristige und langfristige Kostenfunktionen (linear–limitational) Abb. 48: Faktorpreiserhöhung – Substitutions– und Mengeneffekteffekt V 136 136 139 142 144 145 146 147 148 149 150 155 Preisbildung bei vollständiger Konkurrenz Abb. 49: Vollkommen unelastische Nachfrage Abb. 50: Vollkommen elastische Nachfrage Abb. 51: Horizontale Addition von Nachfragekurven Abb. 52: Angebotskurven in der sehr kurzen Frist Abb. 53: Marktungleichgewicht Abb. 54: Senkung der Produktionskosten Abb. 55: Nachfrageerhöhung bei vollkommen unelastischem Angebot Abb. 56: Nachfragesenkung bei vollkommen elastischem Angebot Abb. 57: Kostensenkung bei vollkommen unelastischer Nachfrage Abb. 58: Kostenerhöhung bei vollkommen elastischer Nachfrage Abb. 59: Walrasianische Stabilitätsanalyse Abb. 60: Instabiles Cobweb–Gleichgewicht Abb. 61: Stabiles Cobweb–Gleichgewicht Abb. 62: Wirkung einer Verbrauchsteuer 1 Abb. 63: Wirkung einer Verbrauchsteuer 2 Abb. 64: Verbrauchsteuer bei vollkommen elastischen Angebot Abb. 65: Verbrauchsteuer bei vollkommen unelastischer Nachfrage Abb. 66: Preisobergrenze Abb. 67: Preisuntergrenze Abb. 68: Kurzfristige Faktornachfragekurve bei konstantem Güterpreis Abb. 69: Kurzfristige Faktornachfragekurve bei variablem Güterpreis Abb. 70: Marginale und maximale Zahlungsbereitschaft Abb. 71: Konsumentenrente und Produzentenrente Abb. 72: Wohlfahrtswirkung einer Preisobergrenze Abb. 73: Wohlfahrtswirkung einer Preisuntergrenze Abb. 74: Wohlfahrtswirkung einer Verbrauchsteuer Abb. 75: Wohlfahrtswirkung einer Produktionskontingentierung Abb. 76: Wohlfahrtswirkung von Stützungskäufen Abb. 77: Wohlfahrtswirkung einer Weltmarktöffnung Abb. 78: Wohlfahrtswirkung einer Zollerhebung Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de 194 194 196 197 204 203 207 208 208 208 209 211 212 213 214 215 215 216 216 219 219 222 223 226 227 227 228 229 230 231 VI VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Symbolverzeichnis Preisbildung im Monopol Abb. 79: Erlös und Grenzerlös im Monopol Abb. 80: Monopolgleichgewicht 1 Abb. 81: Monopolgleichgewicht 2 Abb. 82: Als–Ob–Konkurrenz–Fall 1 Abb. 83: Als–Ob–Konkurrenz–Fall 2 Abb. 84: Exogene Nachfrageerhöhung im Monopol Abb. 85: Erhöhung der Produktionskosten im Monopol Abb. 86: Wirkung einer Verbrauchsteuer Abb. 87: Nachfrageerhöhung im natürlichen Monopol Abb. 88: Kostensenkung im natürlichen Monopol Abb. 89: Kartellgleichgewicht Abb. 90: Monopolistische Konkurrenz Symbolverzeichnis h l m r t w x y z A B C E F G K L N P Q S T U V X ε λ μ Homogenitätsgrad Lohnsatz Monopolgrad Zinssatz Steuersatz Wahrscheinlichkeit (individuelle) Angebots– oder Nachfragemenge für das Gut X (individuelle) Angebots– oder Nachfragemenge für das Gut Y Zeitpräferenzrate, Zollsatz Index für Angebot (Konsum–) Budget eines Haushaltes Konsumausgaben (Haushaltstheorie), Kapital (Theorie der Firma) Einkommen (nur Haushaltstheorie), Erlös Freizeit Gewinn Kosten Arbeit Index für Nachfrage Güterpreis (individuelle) Produktionsmenge Ersparnis Gesamtzeit Nutzen Barwert des Einkommens Gütermenge Elastizität Lagrangeparameter Niveau–Faktor Die Bedeutung weiterer Parameter und Indizes ergibt sich aus dem Zusammenhang. Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de 269 272 272 274 274 275 277 277 279 279 284 286 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 2 2.1 Haushaltstheorie Einführung 5 Textauszug Die mikroökonomische Haushaltstheorie beschäftigt sich mit den wirtschaftlichen Entscheidungen privater Haushalte. Der Endzweck allen wirtschaftlichen Handelns – die Befriedigung unserer (materiellen) Bedürfnisse – vollzieht sich im Haushalt. Abhängig von ihren individuellen Vorlieben (Präferenzen) arbeiten, sparen und konsumieren die Haushalte, um diese Bedürfnisse zu befriedigen. Dabei nimmt man an, ein Haushalt verhalte sich bei seinen (ökonomischen) Entscheidungen derart, als ob er eine Präferenzordnung (Rangfolge der Wünschbarkeit verschiedener Alternativen) besitze. Diese Präferenzordnung lässt sich, um eine formale Analyse zu ermöglichen, unter bestimmten Voraussetzungen durch eine mathematische Funktion, die sog. Nutzenfunktion abbilden. Ferner wird angenommen, dass der Haushalt seine Bedürfnisbefriedigung, mithin seinen (im Allgemeinen) durch den Güterverbrauch gestifteten Nutzen zu maximieren trachtet. Bezogen auf diesen grundsätzlichen Nutzenmaximierungskalkül steht der Haushalt vor den folgenden Entscheidungssituationen: Ein Haushalt (ökonomische Entscheidungseinheit, Marktakteur) fragt Güter nach. bietet Arbeit an. bietet Kapital an. produziert nicht für Märkte. Annahme: Ein Haushalt ist Nutzenmaximierer. Arbeitsangebot Der Haushalt entscheidet über die Aufteilung seiner ihm pro Periode zur Verfügung stehenden Zeit auf Arbeitszeit und Freizeit. Dieses Verteilungsproblem wird mit Hilfe einer Nutzenfunktion abgebildet, in der die Freizeit Argument ist. Ziel dieser Analyse ist die Ableitung einer individuellen Arbeitsangebotsfunktion, die den Zusammenhang zwischen Angebot und Lohnsatz beschreibt. geg. Zeit (24 Std / Tag) Arbeitszeit Freizeit Güternachfrage für mehrere Perioden / Kapitalangebot Über die Arbeitsangebotsentscheidung ist bei gegebenem Lohnsatz das (Arbeits–) Einkommen für eine Periode gegeben. Der Haushalt entscheidet über die Aufteilung seines Einkommens auf Konsumieren und Nicht–Konsumieren (Sparen). Dieses Problem des Güterverbrauchs im Zeitablauf wird mit Hilfe einer intertemporalen Nutzenfunktion abgebildet, in der die Verbrauchsmengen bzw. Konsumsummen für zwei (oder mehrere) Perioden Argumente sind. geg. Einkommen Konsum Sparen Güternachfrage für eine Periode Über die Konsum– bzw. Sparentscheidung ist das (Konsum–) Budget bzw. das für Konsumzwecke verfügbare Einkommen für die betrachtete Periode gegeben. Der Haushalt entscheidet über die Aufteilung seines Konsumbudgets auf verschiedene Güter. Dieses Verteilungsproblem wird mit Hilfe einer Nutzenfunktion abgebildet, in der die verschiedenen Güter (x und y) Argumente sind. Ziel dieser Analyse ist die Ableitung individueller Güternachfragefunktionen, die den Zusammenhang zwischen Nachfrage und Güterpreisen bzw. Konsumbudget beschreiben. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de geg. (Konsum–) Budget Konsum x Konsum y 6 Arbeit und Kapital gehen mit ihrer Leistungsabgabe in die Produktion ein. Rationalverhalten widerspruchfreies (konsistentes) Entscheiden und Handeln Annahme: Haushalt ist Mengenanpasser bzw. Preisnehmer: Preise sind gegeben. Die Nutzenfunktion enthält in der Regel nur zwei Argumente. VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie Über das verfügbare Einkommen sind Angebots– und Nachfragemengen des Haushalt stets wechselseitig voneinander abhängig. Bei allen Entscheidungen richten sich – abhängig von den gegebenen Preisen für Güter und Produktionsfaktoren (Arbeit und Kapital) – die Mengendisposition des Haushaltes danach, welche Entscheidungsalternative ihm den größten Nutzen stiftet. Die Haushaltstheorie unterstellt rationales Verhalten des repräsentativen Haushalts. 2 Außerdem, so eine weitere Annahme, verfügen die Haushalte über alle entscheidungsrelevanten Informationen, sie entscheiden unter Sicherheit. Haushalte schließlich sind – in dieser Einführung – stets Mengenanpasser, d. h. sie orientieren sich mit ihren nachgefragten (Güter–) und angebotenen (Faktor–) Mengen an den Marktgegebenheiten (vor allem an den für einen einzelnen Akteur gegebenen Preisen), ihr individuelles Nachfrage– bzw. Angebotsverhalten hat – wie auf einem Markt unter vollständiger Konkurrenz – mithin keinen Einfluss auf Gleichgewichtsmengen und Gleichgewichtspreise auf jeglichen Güter– bzw. Faktormärkten. Nachfolgend wird zunächst das Konzept der Nutzenmaximierung am Beispiel des Nachfrageverhaltens eines (repräsentativen) Haushalts innerhalb einer Periode sehr ausführlich beschrieben, anschließend am Beispiel des Arbeitsangebotsverhaltens und bezüglich der intertemporalen Konsumentscheidung kürzer zusammengefasst, wobei wie üblich (schon aus Gründen der grafischen Darstellbarkeit) stets auf den Zwei–Güter–Fall abgestellt ist: 2 Entscheidung über den Konsum einzelner Güter bei gegebenen Konsumbudget – Abschnitt 2.2 (Güternachfrage) Entscheidung über Arbeitszeit und Freizeit bei gegebener Gesamtzeit – Abschnitt 2.3 (Arbeitsangebot) Entscheidung über den Konsum im Zeitablauf bei gegebenem verfügbarem Einkommen – Abschnitt 2.4 (Intertemporale Konsumentscheidung) Im Modul „Theorie der Marktwirtschaft“ der FernUniversität Hagen wird zudem der Begriff substanzielle Rationalität (in Abgrenzung zur instrumentellen Rationalität) verwendet, weil das Rationalitätsprinzip das Entscheidungsziel selbst (Nutzenmaximierung!) einschließt. Wenn überdies die zur Entscheidung notwendige Informationsbeschaffung keine Kosten verursacht, so eine weitere vereinfachende Annahme, ist perfekte Rationalität gegeben. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 2.2 7 Güternachfrage Im Folgenden wird hergeleitet, wie sich ein einzelner Haushalt idealtypisch als Nachfrager auf Gütermärkten verhält. Formales Ziel dieser Analyse ist die Bestimmung von individuellen Nachfragefunktionen bzw. Nachfragekurven für jedes konsumierte, auf Märkten nachzufragende Gut (Ware oder Dienstleistung). 3 Dabei wird stets unterstellt, der Haushalt beabsichtige, unter Ausschöpfung seines für Konsumzwecke vorgesehenen Budgets und unter Berücksichtigung der von den Märkten vorgegebenen Preise seinen aus dem Konsum der Güter gestifteten Nutzen zu maximieren. Anders formuliert: Um die Nachfragefunktionen eines Haushalts herleiten zu können, muss man zunächst die (allgemein oder spezifisch formulierte) Bedingung für ein Nutzenmaximum ermitteln. Für die Ermittlung dieser Nutzenmaximierungsbedingung muss man die Präferenzen bzw. die Nutzenfunktion des Haushalts sowie sein Budget bzw. seine Budgetrestriktion kennen. Hier ein Schema für die nachfolgende Analyse: Zur Erinnerung: Der Haushalt ist Nutzenmaximierer. Von der Nutzenfunktion kann man auf die Nachfragefunktion schließen, aber niemals umgekehrt! Bitte merken Sie sich: Präferenzordnung Nutzenfunktion Budgetbeschränkung U U ( x, y ) B PX x PY y (Bedingung für ein) Nutzenmaximum U / x PX U / y PY Nachfragefunktion für Gut X Nachfragefunktion für Gut Y x x ( B, PX , PY ) y y ( B, PX , PY ) Mit Ausnahme des folgenden Kapitels zur Präferenzordnung sollten Sie alle Abschnitte chronologisch bearbeiten. Eine Nutzenfunktion und ihre verschiedenen Aspekte werden Sie auch ohne Kenntnis der Eigenschaften der Präferenzordnung verstehen. 3 Die Nachfrage nach freien Gütern wie Luft, Sand in der Sahara etc. ist also nicht von Interesse. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de Abschnitt 2.2.1 können Sie später bearbeiten. Ein Güterbündel kann auch aus nur einem Gut bestehen. 8 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 2.2.1 Präferenzordnung Eine Präferenzordnung ist die subjektive Rangfolge von Entscheidungsalternativen nach ihrer Wünschbarkeit. Hier geht es um alternative Güterbündel, also Kombinationen aus den Verbrauchsmengen verschiedener Güter. Formal ist eine Präferenzordnung ein System von Relationen mit Es gibt starke und schwache Präferenzordnungen sowie Indifferenzordnungen. Axiom: Grundannahme ohne Beweis der Dominanzbeziehung „ “ (besser als) oder alternativ „ ~ “ (nicht schlechter als) sowie der Indifferenzbeziehung „~“ (gleich gut wie). Systeme, die ausschließlich Bewertungen mit bzw. enthalten, nennt man starke Präferenzordnungen, solche, die lediglich ~ aufweisen, Indifferenzordnungen. Rangfolgen, die Vergleiche sowohl für als auch für ~, mithin ~ enthalten, nennt man schwache Präferenzordnungen. Axiome des Rationalverhaltens bzw. grundlegende Eigenschaften der Präferenzordnung eines (jeden) Haushalts sind: A Vollständigkeit Der Haushalt ist in der Lage, alle zur Entscheidung stehenden y x Güterkombinationen (in einem y x Güterdiagramm) zu bewerten und miteinander zu vergleichen. Es gilt für beliebige Güterbündel A ( x A , y A ) und B ( x B , y B ) : Präferenzordnungen, die nur „~“ oder nur „ “ enthalten, sind nicht vollständig. entweder A B (Güterbündel A wird höher bewertet als B.) oder A B (A wird niedriger bewertet als B.) oder A~B (A und B werden gleich bewertet.) B Transitivität Die Rangfolge der Güterbündel muss widerspruchsfrei sein. Wenn Güterbündel A höher eingeschätzt wird als B, und dieses höher als Güterbündel C, dann muss A auch höher eingeschätzt werden als C. Für beliebige Güterbündel A, B und C gilt: Wenn A B und B C , dann A C . In einem y x Güterdiagramm dürfen sich deshalb Kurven gleichwertiger Güterbündel (sog. Indifferenzkurven, dazu später mehr) nicht schneiden. C Reflexivität Zwei identische Güterbündel A und B (A = B) werden gleich gut bewertet: A ~ B Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 9 Zusätzliche (!) Annahmen zu Präferenzordnung sind D Stetigkeit Beim Vergleich von Güterbündeln gibt es keine sprunghaften, sondern stetige Höherbewertungen. Für beliebige Güterbündel A, B, C und D gilt: Wenn A B und B C , dann gibt es im Güterraum entlang der Verbindungslinie von A und C ein Güterbündel D mit D ~ B. Im y x Diagramm (Abb. 1) existieren unendlich viele, in sich lückenlose Graphen gleichwertiger Güterbündel (Indifferenzkurven), deren Abstand zueinander unendlich klein ist. E Nichtsättigung Der Haushalt zieht stets ein Güterbündel A einem Güterbündel B vor, wenn A von mindestens einem Gut eine größere Menge als B enthält, aber von keinem Gut eine geringere Menge als B. A( x A , y A ) B ( x B , y B ) , wenn x A x B und y A y B Nichtsättigung: Mehr ist besser! Im y x Güterdiagramm gilt für ein Güterbündel A, das rechts (oberhalb) von einem Güterbündel B liegt, stets A B . F Strenge Konvexität Ein Haushalt zieht Güterbündel vor, die aus zwei indifferenten Güterbündeln gemischt sind. Für beliebige Güterbündel A, B und C gilt: Wenn A ~ B, dann gilt für jedes Güterbündel C entlang der Verbindungslinie von A und B: C A ~ B. formal: C [ A (1 ) B] A ~ B mit A B und 0 α 1 Im y x Güterdiagramm verlaufen die Kurven gleichwertiger Güterbündel (Indifferenzkurven) konvex zum Ursprung: y A C B x Abb. 1: Strenge Konvexität Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de strenge Konvexität: Mischung ist besser! 10 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie alternativ: Mit Hilfe der binären Ordnungsrelation „ ~ “ (nicht schlechter als bzw. mindestens so gut wie) lassen sich die Eigenschaften der Präferenzordnung auch wie folgt darstellen: A Vollständigkeit: Für zwei beliebige Güterbündel A und B gilt Axiome Vollständigkeit Transitivität Reflexivität entweder A ~ B oder B ~ A oder beides. B Transitivität: Für je drei Güterbündel A, B, C gilt: Aus A ~ B und B ~ C folgt A ~ C . C Reflexivität: Für jedes A A gilt A weitere Eigenschaften Stetigkeit Nichtsättigung strenge Konvexität ~ A. D Stetigkeit: siehe oben. E Nichtsättigung: Aus x A x B und y A y B folgt A B . F Strenge Konvexität: siehe oben. Lexikografische Präferenzordnung Es gibt auch Präferenzordnungen, die nicht alle beschriebenen Eigenschaften simultan aufweisen. Als Beispiel einer solchen Präferenzordnung: Gegeben seien zwei Güterbündel A( x A , y A ) und B ( x B , y B ) . Der Haushalt präferiert A gegenüber B, wenn Die lexikografische Präferenzordnung ist nicht stetig. entweder x A x B oder x A x B und y A y B gilt. In dieser Präferenzordnung existiert kein anderes Güterbündel C, das gleichwertig zu A ist. Trivialerweise gilt Indifferenz nur für A A . Es gibt keine Indifferenzkurven, der lexikografischen Präferenzordnung fehlt die Eigenschaft der Stetigkeit. Präferenzordnung und Nutzenfunktion Wenn die Präferenzordnung die ersten vier Eigenschaften Vollständigkeit Transitivität Reflexivität Stetigkeit aufweist, lässt sie sich mit einer – mathematisch formulierten – Nutzenfunktion U beschreiben. Die spezifische Form der Nutzenfunktion ist dabei unerheblich, solange gilt: Aus A B folgt Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 11 U ( A) U ( B) ! Es gibt also viele Nutzenfunktionen U i und U j , die eine bestimmte Präferenzordnung abbilden können, allerdings nur, wenn U i eine streng monoton steigende Transformation von U j (und umgekehrt) ist! Es muss für U i F (U j ) mithin stets dU i / dU j 0 erfüllt sein. 4 Drei Beispiele verdeutlichen, was gemeint ist: U i x 2 y 2 ist eine Transformation von U j x y , denn es gilt j 2 i 2 U (U ) . U x y i 2 Ableitungsregel: ist eine streng monoton steigende Transformation von U j x y , weil für beliebige Änderungen von y a xn mit x und y gilt: dU i / dU j 2 U j 0 . dy / dx n a x n 1 Ui 1 ist eine streng monoton fallende Transformation von x y U j x y , denn es gilt U i (U j ) 1 sowie für beliebige Ändei rungen von x und y: dU / dU j j 2 (U ) 0. Prüfen Sie: U i F (U j ) U i x 2 / 3 y1 / 3 ist keine Transformation von U j x y , denn es lässt sich nicht U i F (U j ) bilden. Alternativer Beweis durch Widerspruch: Für die Güterbündel ( x, y ) ( 2,1) und ( x, y ) (1,2) gilt und dU i / dU j 0 U j ( 2,1) U j (1,2) 2 , aber U i ( 2,1) 2 2 3 U i (1,2) 21 3 . Richtig oder falsch? Übungsaufgabe 1 a) Die Nutzenfunktion U x widerspricht dem Axiom der Vollständigkeit. b) Die Nutzenfunktion U x y widerspricht der Annahme der Unersättlichkeit. c) Die Nutzenfunktion U x y widerspricht der Stetigkeitsannahme. d) Die Nutzenfunktion U x y 2 strenger Konvexität. 4 widerspricht der Annahme Wenn bei Änderung der Funktionsargumente U j steigt (sinkt, konstant bleibt), muss auch U i steigen (sinken, konstant bleiben). Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de x und y bestimmen U. Nicht umgekehrt! 12 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 2.2.2 Nutzenfunktion und Indifferenzkurve Eine Nutzenfunktion U U ( x, y ) ist die formalisierte Darstellung der Präferenzen eines Haushaltes, sie stellt einen Zusammenhang her zwischen dem Nutzenniveau bzw. der Nutzenzahl U (abhängige Variable) und der Kombination der Gütermengen x und y (unabhängige Variablen). In der ordinalen Nutzentheorie 5 werden verschiedene Annahmen getroffen, damit die Nutzenfunktion in der mikroökonomischen Analyse verwendet werden kann. Ausgangspunkt einer solchen Nutzenfunktion ist die obige Präferenzordnung. Wie Sie sehen werden, besteht ein enger Zusammenhang zwischen den Annahmen für eine Nutzenfunktion und den Axiomen sowie den weiteren Eigenschaften der Präferenzordnung. In diesem Abschnitt werden einige Begriffe eingeführt, deren Definition und ökonomische Bedeutung Sie sich aneignen sollten: Grenznutzen Indifferenzkurve Grenzrate der Substitution Substitutionselastizität Grenznutzen Grenznutzen ökonomisch Mit zunehmendem Konsum eines Gutes nimmt auch der Nutzen zu. Der Grenznutzen (= Zusatznutzen, marginaler Nutzen) ist der Nutzen, den eine weitere (infinitesimal kleine) Gütereinheit zusätzlich stiftet. Etwas anschaulicher: Der Grenznutzen ist der Nutzen der zuletzt verbrauchten Gütereinheit. U Grenznutzen grafisch x Abb. 2: Nutzenkurve 1 Die Steigung der Tangente an der Nutzenkurve im U x Diagramm ist stets positiv, die Kurve verläuft mithin streng monoton 5 Der Zusammenhang zwischen Nutzenzahl und Güterkombination ist lediglich ordinal: Eine höhere (niedrigere) Zahl bedeutet ein höheres (niedrigeres) Nutzenniveau – mehr nicht! Bei der historisch älteren kardinalen Variante lassen sich aus dem Abstand zweier Nutzenzahlen zusätzliche Angaben zur Bedürfnisbefriedigung wie „doppelt so groß“, „um 20% höher“ etc. ableiten. Damit würden die Nutzenniveaus auch unter verschiedenen Haushalten vergleichbar. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 13 steigend. Das korrespondiert mit der Eigenschaft der Nichtsättigung der Präferenzordnung. Die erste partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach einem Gut ist jeweils größer Null. U Ux 0 x sowie Grenznutzen U U y 0. y formal formaler Hinweis: Es handelt sich um unterschiedliche Schreibweisen für die Ableitung (den Grenznutzen)! An der Notation U können Sie aber x vermutlich besser erkennen, dass die Ableitung besagt, um wie viele Einheiten sich der Nutzen ändert ( U ), wenn der Verbrauch des Gutes x um eine (infinitesimal kleine) Einheit steigt ( x ). Jeder Differentialquotient ist also eine Ursache-Wirkungs-Beziehung. U = Wirkung, x = Ursache Differentialquotient: Ursache „unten“ Wirkung „oben“ Wenn bei gegebenem (konstantem) x der Verbrauch des Gutes y steigt, steigt wegen U / y 0 der Nutzen. Dies wirkt sich im U x Diagramm durch eine Verlagerung der Nutzenkurve nach oben (also entlang der U Achse) aus. Man nennt y deshalb Lageparameter der Nutzenkurve. Machen Sie sich klar, dass in einem U y Diagramm die Variable x Lageparameter ist! U y1 > y0 y0 x0 y ist Lageparameter im U–x–Diagramm. x Abb. 3: Nutzenkurve 2 Änderung des Grenznutzens Der Nutzenzuwachs, den eine zusätzliche Gütereinheit stiftet, ist um so geringer, je größer die verbrauchte Gütermenge bereits ist. Diese Annahme wird auch als Gesetz vom abnehmenden Grenznutzen oder als 1. GOSSENsches Gesetz bezeichnet. 6 6 Diese übliche Annahme zur Änderung des Grenznutzens ist nicht konstitutiv für eine Nutzenfunktion! Es sind auch Nutzenfunktionen mit Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de Grenznutzenänderung 1. Gossensches Gesetz 14 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie Die Kurve der Nutzenfunktion ist streng konkav, also zur x Achse gestaucht. (siehe Abb. 2) Die zweite (partielle) Ableitung der Nutzenfunktion nach jedem Gut ist kleiner Null. 2U x 2 Übungsaufgabe 2 U xx 0 2U sowie y 2 U yy 0 . Richtig oder falsch? a) Der Graph der Nutzenfunktion U x 0,2 y1, 2 verläuft im U x und im U y Diagramm jeweils konkav steigend. b) Für die Nutzenfunktion U x 0,2 y 0,8 ist mit jeweils steigendem Verbrauch der Grenznutzen für x abnehmend und für y zunehmend. c) Die Grenznutzen der Nutzenfunktion U 2 x 3 y sind konstant. Indifferenzkurve U ist Lageparameter im y–x–Diagramm. Die Indifferenzkurve ist der Graph der Nutzenfunktion U U ( x, y ) im y x Diagramm (oder x y Diagramm). Lageparameter ist der Nutzen U, entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen also konstant! Eine Indifferenzkurve ist mithin der geometrische Ort aller Güterbündel (im Güter– oder Konsumraum), die einem Haushalt denselben Nutzen stiften bzw. denen gegenüber ein Haushalt indifferent ist y C A I3 B I1 I2 x Abb. 4: Indifferenzkurven konstantem oder sogar steigendem Grenznutzen möglich. Nutzenfunktionen, die sich in dieser Hinsicht unterscheiden, können dennoch dieselbe Präferenzordnung abbilden. Anders ausgedrückt: Damit U i eine streng monoton steigende Transformation von U j ist, muss nicht 2U i / (U j ) 2 0 gelten. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 15 Wenn die Indifferenzkurven I1 ( I 2 , I 3 ) alle Güterbündel mit dem Nutzenniveau U1 (U 2 ,U 3 ) repräsentieren, dann gilt U1 U 2 U 3 bzw. A B C . Weil auf einer Indifferenzkurve stets nur gleichwertige Güterbündel liegen, können sich Indifferenzkurven niemals schneiden. Das korrespondiert mit der Eigenschaft der Transitivität der Präferenzordnung. Im Güterraum existiert ein System unendlich vieler lückenloser Indifferenzkurven, deren Abstand zueinander unendlich klein ist. Das korrespondiert mit der Vollständigkeitsannahme und der Stetigkeitseigenschaft der Präferenzordnung. Nutzenfunktion Vollständigkeit, Transitivität, Stetigkeit Je größer der Nutzen ist, um so weiter entfernt vom Ursprung liegt die Indifferenzkurve. Die Steigung der Indifferenzkurve ergibt sich, indem die Nutzenfunktion nach der Ordinatenvariable y des Güterdiagramms aufgelöst, y y ( x,U ) , und anschließend nach x abgeleitet wird. Für nicht–spezifische Nutzenfunktionen wie U U ( x, y ) ergibt sich die Steigung nur durch totales Differenzieren: dU Spezifische Funktionen lassen sich partiell und total differenzieren. U U dx dy x y Wegen der Nutzenkonstanz auf der Indifferenzkurve ( dU 0 ) folgt 0 U U dy dx y x bzw. nach Umstellen die Steigung U / x dy 0 U / y dx Indifferenzkurve Steigung Grenzrate der Substitution (GRS) Wenn man eine Indifferenzkurve wie in Abb. 4 von oben nach unten durchläuft, so wird sukzessive von Gut x mehr ( dx 0 ) und von Gut y weniger ( dy 0 ) konsumiert, ohne dass sich das Nutzenniveau ändert: Gut y wird bei konstantem Nutzen durch Gut x substituiert. Die Grenzrate der Substitution des Gutes y durch Gut x, dy / dx , ist jene Menge von Gut y, auf die bei einer Erhöhung von Gut x um eine (infinitesimal kleine) Einheit verzichtet werden kann, um das Nutzenniveau konstant zu halten. 7 Die Grenzrate der Substitution 7 Die in y Gütereinheiten (nicht in Geldeinheiten!) notierte Verzichtsbereitschaft des Haushaltes wird im Modul „Theorie der MarktwirtRepetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de GRS ökonomisch 16 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie entspricht also dem Verhältnis, zu dem der Haushalt beide Güter ohne Nutzenänderung zu tauschen bereit ist: GRS = Steigung der Indifferenzkurve U / x dy 0 U / y dx 8 Bitte merken Sie sich: Die Grenzrate der Substitution entspricht dem negativen umgekehrten Grenznutzenverhältnis! Die Grenzrate der Substitution (GRS) ist formal die Steigung der Indifferenzkurve. Geometrisch kann die GRS als Steigung der Tangente an der Indifferenzkurve gemessen werden. Wenn die Indifferenzkurve (von unten) streng konvex verläuft, die beiden Güter also nur unvollkommen substituierbar sind, nimmt die Tangentensteigung, also die GRS mit zunehmenden x betragsmäßig (!) ab: y U = const. x Abb. 5: Grenzrate der Substitution Gesetz von der abnehmenden GRS Dieser Verlauf entspricht dem Gesetz von der abnehmenden Grenzrate der Substitution. Es besagt, dass ein Haushalt mit zunehmender Menge von Gut x für jede zusätzliche Mengeneinheit von Gut x auf eine lediglich immer kleinere Menge von Gut y verzichten kann, um seinen Nutzen konstant zu halten. Anders ausgedrückt: Je mehr ein Haushalt bereits von Gut x konsumiert, desto geringer ist die Menge von Gut y, die bei gleich bleibendem Nutzenniveau durch eine zusätzliche Mengeneinheit von Gut x substituiert werden kann. schaft“ der FernUniversität Hagen auch marginale Zahlungsbereitschaft genannt: Bei einer GRS von dy / dx 2 ist der Haushalt bereit, für eine zusätzliche x Einheit zwei y Einheiten zu „zahlen“. 8 Im Modul „Theorie der Marktwirtschaft“ der FernUniversität Hagen würde die GRS wie folgt notiert werden: GRS ( y, x) lim Δy . Δx0 Δx Bitte beachten Sie zudem, dass die GRS dort positiv notiert ist! Denken Sie bei der ökonomischen Interpretation dennoch stets daran, dass die Vorzeichen von Δy und Δx unterschiedlich sein müssen, weil y durch x substituiert wird (oder umgekehrt). Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 17 Das Gesetz von der abnehmenden Grenzrate der Substitution korrespondiert mit der Annahme der Konvexität der Präferenzordnung, wonach jede Mischung aus zwei gleichwertigen Güterbündeln stets vorgezogen wird. Bei zunehmenden Konsum von Gut x sinkt der Grenznutzen U / x (wegen des Gesetzes vom abnehmenden Grenznutzen!), bei abnehmenden Konsum von Gut y steigt U / y (aus demselben Grund!). Deshalb sinkt bei konstantem Nutzenniveau betragsmäßig (!) die GRS bei zunehmenden Konsum von Gut x. Dies ist der formale Nachweis für den konvexen Verlauf der Indifferenzkurve! Richtig oder falsch? Nutzenfunktion strenge Konvexität Übungsaufgabe 3 a) Die GRS der Nutzenfunktion U x y ist konstant. b) Die GRS der Nutzenfunktion U x 2 y 2 ist positiv. c) Die Indifferenzkurve der Nutzenfunktion U 0,5 x 0,5 y ist eine fallende Gerade. Substitutionselastizität Die Substitutionselastizität gibt das Verhältnis aus relativer Änderung der Gütermengenkombination y / x und der relativen Änderung der Grenzrate der Substitution dy / dx an. Anschaulicher (wenn auch ungenauer): Die Substitutionselastizität besagt, um wie viel Prozent das Gütermengenverhältnis y / x steigt, wenn die Grenzrate der Substitution um ein Prozent steigt. Die Substitutionselastizität entspricht dem Quotienten aus prozentualer Änderung des Güterverhältnisses y / x und prozentualer Änderung der Grenzrate der Substitution dy / dx : ε sub ( y, x) d ( y / x) : ( y / x) d (dy / dx) : (dy / dx) y Substitutionselastizität ökonomisch allgemein zum Konzept der Elastizität siehe Abschnitt 2.2.5 Substitutionselastizität stets positiv εsub (Ui) < εsub (Uj) Ui Uj x Abb. 6: Substitutionselastizität Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de 18 Substitutionselastizität Maß für die Substituierbarkeit der Güter VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie Je weniger gekrümmt die Indifferenzkurve verläuft, um so stärker ändert sich das Verhältnis der Gütermengen bei einer Änderung der Grenzrate der Substitution, um so größer ist der Wert der Substitutionselastizität. 9 Im Grenzfall perfekter Substituierbarkeit gilt stets d (dy / dx) 0 und deshalb hat die Substitutionselastizität den Wert Unendlich. 10 2.2.3 Das Konsumbudget muss ausgeschöpft sein. Budgetrestriktion und Budgetgerade Die durch Nutzenfunktion bzw. Indifferenzkurven beschriebenen Präferenzen eines Haushalts können in einer Marktwirtschaft selbstverständlich nur insoweit befriedigt werden, als sie durch das Konsumbudget (verfügbare Einkommen = Nettoeinkommen minus Ersparnis) gedeckt sind. Das Konsumbudget muss zudem für die geplanten Güterkäufe vollständig ausgeschöpft werden, damit ein Nutzenmaximum erreicht werden kann, denn: Jeder für Konsumausgaben geplante Euro, der nicht ausgegeben wurde, erhöht, indem er für den Kauf eines beliebigen Gutes eingesetzt wird, den Nutzen – also kann der Nutzen zuvor nicht maximal gewesen sein! Das Konsumbudget B ist ausgeschöpft, wenn es den tatsächlichen Konsumausgaben, mithin der Summe aus den mit den jeweiligen Preisen PX und PY bewerteten Gütermengen x und y entspricht. Die sog. Budgetgleichung lautet: Budgetgleichung B PX x PY y . 11 Die Budgetgerade ist der Graph der Budgetgleichung, der geometrische Ort aller Güterbündel im Konsumraum, die bei gegebenem Konsumbudget und bei gegebenen Güterpreisen maximal erreichbar (weil: finanzierbar) sind. Man nennt sie auch Konsummöglichkeitsgrenze. Sie begrenzt im Güterraum (dem gesamten y x Diagramm) die sog. Konsummöglichkeitsmenge. 9 Die abgebildeten Indifferenzkurven dürfen sich schneiden, weil sie zu zwei verschiedenen Nutzenfunktionen gehören! Können Sie erkennen, dass sich von links oben nach rechts unten die Grenzrate der Substitution (die Steigung!) für die zu U i gehörende Indifferenzkurve stärker und das Verbrauchsmengenverhältnis weniger stark ändert, als dies für U j der Fall ist!? Daraus folgt: ε sub (U i ) ε sub (U j ) . 10 Die Nutzenfunktion U x y führt zu linearen Indifferenzkurven, sie weist mithin vollkommene Substituierbarkeit der Güter auf: sub . Bei vollständiger Komplementarität, Beispiel: U minx, y, also Nicht–Substituierbarkeit, gilt wegen d ( y / x) 0 übrigens ε sub 0 . 11 Die Budgetrestriktion, B PX x PY y , schließt mit „>“ die Möglichkeit ein, dass die geplante Konsumsumme durch die tatsächlichen Konsumausgaben nicht ausgeschöpft wird. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 19 y B/PY Konsummöglichkeitsmenge Budgetgerade ( = Konsummöglichkeitsgrenze) x B/PX Abb. 7: Budgetgerade Die Gleichung der zur Übertragung in das y x Diagramm geeigneten Budgetgerade (Steigungsform der Budgetgleichung) lautet B B PX y x . Die Achsenabschnitte lauten y (für x 0 ) PY PY PY B (für y 0 ). Die Steigung der Budgetgeraden entsowie x PX spricht der ersten Ableitung und ist gleich dem negativen (umgekehrtem) Preisverhältnis: y = B / PY maximale y-Menge x = B / PX maximale x-Menge Preisverhältnis P dy X dx PY Steigung der Budgetgerade Lageparameter im y x Diagramm sind PX , PY und B. Das Preisverhältnis gibt an, auf wie viele y Gütereinheiten der Haushalt verzichten muss, wenn er bei ausgeschöpftem Budget eine x Einheit zusätzlich kaufen möchte. nicht verwechseln: Die Grenzrate der Substitution (GRS) gibt an, auf wie viele y Einheiten der Haushalt zu verzichten bereit ist, wenn er bei unverändertem Nutzen eine x Einheit zusätzlich bekommen kann. Lage der Budgetgerade Änderungen der Lageparameter PX , PY und B bewirken eine Verschiebung der Budgetgerade. Kombinationen (B sinkt und PX steigt u. ä.) sind möglich. Die proportionale Änderung (zum Beispiel mit dem Faktor ) aller drei Lageparameter lässt die Lage der Budgetgerade jedoch unverändert: B ( PX ) x ( PY ) y bzw. nach Kürzen B PX x PY y Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de 20 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie y B1/PY Die Budgetgerade verschiebt sich parallel bei einer Budgetänderung (B steigt) B0/PY x B0/PX B1/PX Abb. 8: Budgetgerade nach Budgeterhöhung y B/PY Die Budgetgerade dreht sich um den Schnittpunkt mit der y-Achse, wenn sich der Preis für Gut x ändert. (PX steigt) B/PX1 B/PX0 x Abb. 9: Budgetgerade nach Preiserhöhung für Gut x y B/PY 1 Die Budgetgerade dreht sich um den Schnittpunkt mit der x-Achse, wenn sich der Preis für Gut y ändert. (PY sinkt) B/PY0 x B/PX Abb. 10: Budgetgerade nach Preissenkung für Gut y Übungsaufgabe 4 Richtig oder falsch? a) Wenn PX sinkt, dreht sich die Budgetgerade um ihren Schnittpunkt mit der y Achse vom Ursprung weg. b) Wenn PY steigt, dreht sich die Budgetgerade um ihren Schnittpunkt mit der x Achse zum Ursprung hin. c) Die Erhöhung der Einkommensteuer verlagert die Budgetgerade parallel nach innen. d) Wenn das Einkommen um 10% und beide Güterpreise um 5% steigen, bleibt die Budgetgerade unverändert. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 2.2.4 21 Nutzenmaximum (Haushaltsgleichgewicht) Ein Haushalt ist mit seinen Konsumplänen im Gleichgewicht, wenn er keine Veranlassung hat, diese Pläne zu ändern – nämlich genau dann, wenn jede Änderung eine Nutzenminderung bedeuten würde! Ein Haushaltsgleichgewicht oder Haushaltsoptimum liegt vor bei einem Güterbündel, bei dessen Verbrauch der Haushalt angesichts gegebener Güterpreise und bei ausgeschöpftem Konsumbudget den höchsten Nutzen realisiert. Gleichgewicht Definition Nutzenmaximum ökonomisch Die (grafische oder rechnerische) Ermittlung des Nutzenmaximums, genauer: der Bedingung für ein Nutzenmaximum, ist die Lösung der folgenden Optimierungsaufgabe: (Zielfunktion) max! U U ( x, y ) unter der Nebenbedingung B PX x PY y Nutzenmaximum Optimierungsaufgabe Bitte merken Sie sich: Das Optimierungsproblem ist nur dann korrekt formuliert, wenn jede endogene Variable (mindestens) zwei Mal im Optimierungsansatz vorkommt! Die endogenen Variablen sind hier x und y. Die exogenen Variablen sind B, PX und PY . Endogene Variablen werden im Modell bestimmt. Exogene Variablen sind im Modell gegeben. Grafisch lösen Sie das Optimierungsproblem, indem Sie die Indifferenzkurve (Graph der Zielfunktion) bei gegebener (!) Budgetgerade (Graph der Nebenbedingung mit B const. ) so weit nach rechts oben verschieben ( max! U ), bis jene gerade noch einen gemeinsamen Punkt mit der Budgetgerade hat. y B/PY Nutzenmaximum P grafisch x B/PX Abb. 11: Nutzenmaximum Im Tangentialpunkt P von Budgetgerade und maximal erreichbarer Indifferenzkurve ergibt sich das nutzenmaximierende Güterbündel. In P stimmen die Steigungen von Indifferenzkurve (IK) und Budgetgerade (BG) überein. Es gilt also: Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de 22 Nutzenmaximum Bedingung VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie dy U / x PX dx PY IK U / y dy dx BG Das Grenznutzenverhältnis (betragsmäßig: Grenzrate der Substitution) entspricht dem Güterpreisverhältnis: Bitte merken Sie sich: Im Haushaltsgleichgewicht gilt: Grenznutzenverhältnis gleich Preisverhältnis! Diese Bedingung für ein Haushaltsgleichgewicht kann auch als formale Lösung des obigen Optimierungsproblems max! U U ( x, y ) unter der Nebenbedingung B PX x PY y gefunden werden, indem die korrespondierende Lagrange–Funktion (Zielfunktion inkl. Nebenbedingung) maximiert wird: Nutzenmaximum Lagrange-Ansatz (1) max! Λ( x, y, λ ) U ( x, y ) λ ( B PX x PY y ) Nullsetzen der partiellen Ableitungen ergibt die notwendigen Bedingungen für ein Nutzenmaximum: (2) ! Λ U λ PX 0 x x (3) ! Λ U λ PY 0 y y (4) ! Λ B PX x PY y 0 λ 12 Division der Gleichungen (2) und (3) ergibt die gesuchte (und grafisch bereits gefundene) Bedingung für das Nutzenmaximum 13 (5) P U / x X U / y PY 12 Die Ableitung nach dem sog. Lagrange–Parameter λ und Nullsetzen ergibt stets die Nebenbedingung! Deswegen soll bei allen weiteren Optimierungsansätzen auf diese Ableitung verzichtet werden. 13 Addieren Sie zunächst λ PX bzw. λ PY und dividieren anschließend linke bzw. rechte Seiten der Gleichungen (2) und (3) – schneller lässt sich der Lagrange–Parameter nicht eliminieren! Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 23 Wiederholung, weil es so wichtig ist: Im Haushaltsgleichgewicht gilt: Grenznutzenverhältnis gleich Preisverhältnis! Nach Umformung von (5) ergibt sich das 2. Gossen’sche Gesetz: 14 (6) U / x U / y PX PY Identität im Maximum: Grenznutzen des Geldes Dieses Gesetz besagt, dass im Haushaltsgleichgewicht die mit den jeweiligen Preisen gewogenen Grenznutzen der Güter (Grenznutzen des Geldes) übereinstimmen. Anders ausgedrückt: Im Nutzenmaximum stiftet die letzte ausgegebene Geldeinheit für jedes Gut denselben Grenznutzen. Bitte merken Sie sich: Im Haushaltsgleichgewicht gilt auch: Identität der Grenznutzen des Geldes! Wenn Sie die Gleichungen (5) bzw. (6) als Standard–Lösung des Problems der optimalen Konsumentscheidung eines Haushalts verinnerlicht haben, ist eine Herleitung über den Lagrange–Ansatz – auch bei spezifizierten Nutzenfunktionen – entbehrlich! Mit Hilfe der beispielhaften Ungleichung U / x 3 2 U / y Verzichtsbereitschaft größer als Verzichtserfordernis PX , PY also für eine nicht–nutzenmaximale Situation, können Sie sich die Bedeutung der obigen Gleichgewichtsbedingung verdeutlichen: U / x 3 gilt, ist der Haushalt bereit, für eine zusätzliche U / y Einheit des Gutes x auf drei y Einheiten zu verzichten. Angesichts Wenn 14 Dieses Ergebnis erhalten Sie auch, wenn Sie (2) und (3) über den Lagrange–Parameter gleichsetzen: λ U / x U / y . hat ofPX PY fenbar die Bedeutung Grenznutzen des Geldes. Sie können für alle Lagrange–Ansätze verallgemeinern: Der Lagrange–Parameter entspricht der Ableitung der Zielfunktion (hier: Nutzenfunktion) nach der limitierenden Größe (hier: Budget). ist der Grenznutzen des Konsumbudgets (des Einkommens), gibt also an, um wie viele Einheiten der Nutzen steigt, wenn das Konsumbudget (das Einkommen) um eine (infinitesimal kleine) Einheit erhöht wird. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de 24 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie PX 2 muss er jedoch nur auf zwei PY y Einheiten verzichten! Der Haushalt wird also y durch x substituieren, worauf U / y steigt und U / x sinkt, bis gilt: der gegebenen Güterpreise, P U / x X U / y PY 15 Herleitung der Nachfragefunktionen Sehen Sie sich noch einmal das Analyseschema zu Beginn des Abschnitts 2.2 an: Die Nachfragefunktionen für die Güter x und y lassen sich nur mit Hilfe der Bedingung für ein Nutzenmaximum herleiten. Für die rechnerische Ermittlung wird eine spezifische Nutzenfunktion benötigt: U x 0,5 y 0,5 Die Nutzenmaximierungsbedingung lautet Exponentenrechnung a b x x x xa x b ab xa b 2 Unbekannte 2 Gleichungen Kürzen von PY P U / x X , hier also: U / y PY 0,5 x 0,5 y 0,5 0,5 x 0,5 y 0,5 PX PY bzw. gekürzt P y X x PY Diese Nutzenmaximierungsbedingung enthält mit x und y zwei endogene Variablen. Um die Nachfragefunktionen x f ( PX ...) und y f ( PY ...) zu ermitteln, wird eine zweite Gleichung benötigt. Das ist die Budgetgleichung B PX x PY y . P Umstellen der Nutzenmaximierungsbedingung zu y X x und PY P Einsetzen in die Budgetgleichung bringt B PX x PY X x PY bzw. B 2 PX x . Umstellen nach x bringt 15 Alternativ: Wenn U / x U / y gilt, stiftet die Ausgabe der letzPX PY ten Geldeinheit für Einheiten des Gutes x einen höheren Zusatznutzen als für Einheiten des Gutes y. In diesem Fall ist die nutzenmaximale Güterkombination noch nicht erreicht, weil noch ein Nutzengewinn durch die Substituierung des Gutes y durch das Gut x möglich ist: Mehr x kaufen, weniger y verbrauchen. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie x B 2 PX 25 Nachfragefunktion des Haushaltes nach Gut x P Einsetzen in y X x bringt nach Kürzen PY y B 2 PY Nachfragefunktion des Haushaltes nach Gut y Tipp: Die Nachfragefunktionen für Funktionen der Form U x a y b gehorchen einem bestimmten Schema. Stellen Sie dies doch einmal selbst fest, indem Sie für diese allgemeine Nutzenfunktion die beiden Nachfragefunktionen wie oben ermitteln! Wie lauten die Nachfragefunktionen für a b ? Sind die Konsumausgaben für jedes Gut abhängig vom Preis? Gegeben sind B 50 , PX 2 , PY 1 sowie die Nutzenfunktion U x 0,4 y 0,6 . Richtig oder falsch? a) Für das nutzenmaximierende Güterbündel gilt ( x, y ) (10,30) . b) Wenn der Preis für das Gut y auf PYneu 2 steigt, gilt im Gleichgewicht ( x, y ) (10,15) . c) Wenn der Preis für das Gut y auf PYneu 2 steigt, steigen im Gleichgewicht die Ausgaben für das Gut y. d) Wenn das Budget um 100% steigt und sich die Preise verdoppeln, gilt im Gleichgewicht ( x, y ) (10,30) . Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de Übungsaufgabe 5 26 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 2.2.5 Nachfragefunktionen Die individuelle Nachfragefunktion eines Haushalts gibt an, welche Menge an Gut x oder Gut y der nutzenmaximierende Haushalt bei alternativen Preisen für die Güter x und y und bei alternativen Budgets B (bzw. alternativen Einkommen, wenn die Ersparnis prozentual unverändert bleibt) jeweils nachfragen wird: x x ( B, PX , PY ) sowie y y ( B, PX , PY ) Nachfragefunktionen sind homogen vom Grade Null in den Preisen und dem Konsumbudget (Einkommen). D. h. die Güternachfrage ändert sich nicht, wenn Preise und Einkommen um denselben Prozentsatz steigen oder fallen. Die Budgetgerade würde ihre Lage in diesem Fall nicht ändern, die nutzenmaximierende Güterkombination konstant bleiben. Ceteris-paribus-Klausel Alle anderen Variablen bleiben konstant. Exogene Größen bestimmen endogene Größen, aber nie umgekehrt. Differentialquotient Ursache dPX „unten“ Wirkung dx „oben“ Die formale Ermittlung spezifischer individueller Nachfragefunktionen haben Sie im vorigen Abschnitt kennen gelernt. In diesem Abschnitt geht es um verschiedene Eigenschaften dieser Nachfragefunktionen. Wie die nachgefragte Gütermenge sich mit PX oder PY oder B ceteris paribus ändert, wird durch die Vorzeichen der partiellen Ableitungen nach PX , PY oder B bestimmt. Mit Hilfe der nachfolgenden komparativ–statischen Analyse wird ermittelt, wie unter den getroffenen Annahmen (konstante Präferenzen, Entscheidung unter Sicherheit) die endogenen Variablen, also die nachgefragten Mengen x und y, variieren, wenn für die exogenen Variablen PX , PY und B verschiedene Werte angenommen werden. Da es hier nicht auf die Stärke bzw. den Betrag der Nachfragereaktion sondern lediglich auf die Richtung, also darauf ankommt, ob die Nachfrage nach einem Gut bei einer exogenen Größenänderung steigt, sinkt oder unverändert bleibt, muss lediglich das Vorzeichen der ersten partiellen Ableitungen der Nachfragefunktionen nach PX , PY oder B ermittelt werden. Für die Funktion x x ( PX ) besagt die Ableitung dx / dPX 0 , dass die Nachfrage nach Gut x mit steigendem Preis abnimmt und mit sinkendem Preis zunimmt. Die Nachfragereaktion eines Haushalts auf Preisänderungen oder Einkommens– bzw. Budgetänderungen lässt sich in vielen Fällen indes genauer mit Hilfe des Elastizitätenkonzeptes angeben: Elastizität Anders als die Ableitung der Nachfragefunktion informiert die Elastizität ( x, PX ) nicht nur über die Richtung (Nachfrage steigt oder sinkt) sondern, da sie ohne Mengeneinheiten auskommt, mithin di- Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 27 mensionslos ist, auch über die relative Stärke der Nachfrageänderung. 16 Allgemein gilt: Eine Elastizität a , b mit a, b Elastizität da / a db / b der Variable a bezüglich der Variable b gibt (näherungsweise) an, um wie viel Prozent sich die abhängige Variable a verändert, wenn sich die unabhängige Variable b um 1 Prozent ändert. Es handelt sich mithin um das Verhältnis von relativer (= prozentualer) Änderung von a und relativer (= prozentualer) Änderung von b. Für den Betrag einer Elastizität, ε , müssen Sie folgende Fälle unterscheiden: ε0 vollkommen unelastisch 0 ε 1 unelastisch 1 ε elastisch ε vollkommen elastisch 2.2.5.1 Einkommens– oder Budgetänderungen Eine Einkommens– bzw. Budgetsteigerung erhöht die Konsummöglichkeitsmenge des Haushalts. Daraufhin kann die Nachfrage nach Gut x steigen, sinken oder gleich bleiben. Entsprechendes gilt für die Nachfrage nach Gut y. Da sich die Konsummöglichkeitsmenge erhöht und der Haushalt sein Budget annahmegmäß ausschöpft, sind folgende Nachfragereaktionen jedoch ausgeschlossen: 1. Die Nachfrage nach beiden Gütern sinkt. Budget steigt: 2. Die Nachfrage nach einem Gut sinkt, die Nachfrage nach dem anderen Gut bleibt unverändert. 17 Die Nachfrage nach mindestens einem Gut muss steigen. 16 Stellen Sie sich irgend eine plausible Nachfragefunktion x x ( PX ) für Segelschiffe vor. Die Ableitung, dx / dPX , besagt, um wie viele Einheiten sich die Nachfrage nach Segelschiffen ändert, wenn ihr Preis um eine Einheit (1 Euro!) steigt. Welchen Zahlenwert hat vermutlich diese Ableitung? Sicher Null! Heißt dies, dass die Nachfrage des Haushalts nach Segelschiffen vollkommen preisunabhängig ist? Sicher nicht! 17 Wenn sich die Budgetgerade nach oben verlagert, kann der Tangentialpunkt mit der Indifferenzkurve nicht nach links und unten wandern! Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de 28 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie Wenn das Einkommen bzw. Budget sinkt, ist ausgeschlossen: Budget sinkt: 1. Die Nachfrage nach beiden Gütern steigt. Die Nachfrage nach mindestens einem Gut muss sinken. 2. Die Nachfrage nach einem Gut steigt, die Nachfrage nach dem anderen Gut bleibt unverändert. Einkommens-Konsumkurve und Engelkurve Die budget– bzw. einkommensabhängige Nachfragekurve für das Gut x wird wie folgt hergeleitet: y EinkommensKonsumkurve B1/PY Einkommens–Konsumkurve B0/PY Verbindung aller Nutzenmaxima für verschiedene Budgets Q1 Q0 x B0/PX B1/PX B Nachfragekurve Graph der Nachfragefunktion im B–x– Diagramm. Lageparameter PX und PY. B1 B0 Nachfragekurve x Abb. 12: Nachfragekurve Wenn das Budget (Einkommen) von B0 auf B1 steigt, verschiebt sich die Budgetgerade parallel nach rechts oben. So ist jedem Budget (Einkommen) genau eine Budgetgerade zugeordnet, die ihrerseits genau einen Tangentialpunkt (Q0, Q1) mit einer Indifferenzkurve aufweist. Die Verbindung aller Tangentialpunkte (nutzenmaximaler Güterkombinationen) nennt man Einkommens–Konsumkurve. Im vorliegenden Fall handelt es sich bei x und y um sog. normale Güter: 18 Die Nachfrage nach x und nach y steigt mit steigendem Budget (Einkommen). Die Übertragung aller Haushaltsgleichgewichte in ein B x Diagramm ergibt die budget– bzw. einkommensabhängige Nachfragekurve für das Gut x. Lageparameter der Nachfragekurve sind PX und PY . Die budget– bzw. einkommensabhängigen Nachfragekurve für das Gut y wird hier wie folgt hergeleitet: Die Übertragung aller Gleich18 In einigen Lehrbüchern finden Sie den Begriff superiores Gut, superior ist das Antonym zu inferior. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 29 gewichte in ein y B Diagramm ergibt die budget– bzw. einkommensabhängige Nachfragekurve für das Gut y, die sog. Engelkurve. 19 Wenn es sich wie hier um normale Güter handelt, hat die Engelkurve einen steigenden Verlauf. Wenn die Engelkurve überproportional steigt (mithin konvex verläuft), handelt es sich um ein sog. Luxusgut, wenn die Engelkurve unterproportional ansteigt (konkav verläuft), um ein sog. notwendiges Gut. 20 y y Engelkurve B1/PY B0/PY Q1 Q0 Engelkurve x B0/PX B1/PX B0 B1 Graph der Nachfragefunktion im y–B– Diagramm. Lageparameter PX und PY. B Abb. 13: Engelkurve Einkommenselastizität Mit Hilfe der ersten partiellen Ableitung der Nachfragefunktion nach dem Budget, x / B , und / oder mit Hilfe der Einkommenselastizität ε x, B kann die Nachfrage nach Gut x in Abhängigkeit vom Budget B bei unveränderten Preisen PX und PY analysiert werden. Entsprechendes gilt für das Gut y. Die Einkommenselastizität ε x, B x / x x B B / B B x Einkommenselastizität gibt (näherungsweise) an, um wie viel Prozent sich die nachgefragte Gütermenge x verändert, wenn sich das Budget bzw. das Einkommen um 1 Prozent ändern. Es handelt sich mithin um das Verhältnis von relativer Nachfrageänderung nach einem Gut und relativer Einkommensänderung. Dabei sind folgende Fälle zu unterscheiden (nächste Seite): 19 Die Engelkurve für ein Gut – so ist sie definiert – liegt in einem Mengen–Budget–Diagramm, dieEinflussgröße B ist also auf der Abszisse abgetragen. 20 Können Sie an den Abb. 12 und 13 erkennen, dass x ein Luxusgut und y ein notwendiges Gut ist!? Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de 30 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie >0 vollkommen einkommensunabhängige Güter =0 >0 =0 <0 steigt bleibt unverändert sinkt steigend waagerecht fallend normales Gut normal inferior x, B 0 x / B x, B x, B 0 Nachfrage . . . bei Einkommenserhöhung Engelkurve inferiores Gut <0 Unterscheiden Sie für normale Güter noch mit Hilfe der zweiten partiellen Ableitung der Nachfragefunktion nach dem Budget B: Luxusgut: Engelkurve konvex notwendiges Gut: Engelkurve konkav Luxusgut notwendiges Gut >0 <0 >1 <1 überproportional unterproportional 2x B 2 ε x, B bzw. ε y, B Nachfrage steigt . . . bei Einkommenserhöhung Engelkurve 2.2.5.2 konvex ansteigend konkav ansteigend Preisänderungen für das betrachtete Gut Bei einer Erhöhung des Preises für ein Gut kann die Nachfrage des Haushalts nach dem betrachteten Gut steigen, sinken oder gleich bleiben. Entsprechendes gilt für eine Preissenkung. (direkte) Preiselastizität Die Nachfragereaktion auf Änderungen des eigenen Preises kann mit Hilfe der ersten partiellen Ableitung der Nachfragefunktion nach diesem Preis, x / PX , oder mit Hilfe der direkten Preiselastizität ε x, PX ermittelt werden. Entsprechendes gilt für das Gut y. Die direkte Preiselastizität (direkte) Preiselastizität ε x, PX x / x x PX PX / PX PX x gibt (näherungsweise) an, um wie viel Prozent sich die nachgefragte Gütermenge x verändert, wenn der Preis PX um 1 Prozent steigt. Es handelt sich um das Verhältnis von relativer Nachfrageänderung und relativer Preisänderung. Dabei ist zu unterscheiden: Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 31 vollkommen (keine Bez.) preisunelastisches Giffen-Gut Gut >0 <0 =0 x / PX x, PX Nachfrage . . . bei Preiserhöhung Nachfragekurve <0 =0 >0 sinkt bleibt unverändert steigt fallend senkrecht steigend Giffen–Gut Nachfrage steigt mit steigendem Preis. y B/PY Preis–Konsumkurve Q1 PX Q0 B/PX1 Verbindung aller Nutzenmaxima für verschiedene Preise PX x B/PX0 Nachfragekurve PX1 PX0 Preis-Konsumkurve Graph der Nachfragefunktion im PX–x– Diagramm. Lageparameter B und PY. Nachfragekurve x Abb. 14: Preis–Konsumkurve Wenn der Preis für Gut x von PX0 auf PX1 steigt, dreht sich die Budgetgerade im Uhrzeigersinn um den Punkt B / PY . Jedem Preis für Gut x ist eine Budgetgerade zugeordnet, die wiederum genau einen Tangentialpunkt (Q0, Q1) mit einer Indifferenzkurve aufweist. Im vorliegenden Fall sinkt die Nachfrage mit steigendem Preis PX . Die Verbindung aller nutzenmaximierenden Güterkombinationen (Tangentialpunkte) nennt man Preis–Konsumkurve. Die Übertragung aller Haushaltsoptima in ein PX x Diagramm ergibt die Nachfragekurve. Wenn die Nachfrage bei einer Preiserhöhung steigt, handelt es sich um ein sog. Giffen–Gut, die Nachfragekurve verläuft dann steigend! Lageparameter sind B und PY . Wirkung einer Verbrauchsteuer Die Erhebung einer Steuer auf den Verbrauch des betrachteten Gutes ist aus der Perspektive des Konsumenten nichts Anderes als eine Preiserhöhung und wirkt sich – abhängig vom Vorzeichen der Ableitung bzw. der Preiselastizität – ebenso aus. Eine Subvention ist Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de 32 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie eine Negativsteuer und kommt einer Preissenkung gleich. Unterschieden werden muss zwischen Mengensteuer PX + t Wertsteuer (1 + t) PX einer Mengensteuer, bei der jede verbrauchte Mengeneinheit mit einem Steuersatz t belegt wird, so dass sich der (Markt–) Preis PX aus Sicht der Verbrauchers auf PX t erhöht (Beispiel: Mineralölsteuer: Steuersatz pro Liter Benzin) , sowie einer Wertsteuer, die – denken Sie an die übliche Umsatzsteuer – an dem (Markt–) Preis eines Gutes ansetzt und diesen für den Konsumenten auf (1 t ) PX erhöht. Dies lässt sich wie folgt in der Nachfragefunktion berücksichtigen: x x ( PX t ,...) bzw. x x [(1 t ) PX ,...] Exkurs: Ausgabenelastizität Die Ausgabenelastizität ε PX x, PX gibt (näherungsweise) an, um wie viel Prozent sich die Ausgaben für die nachgefragte Gütermenge x verändern, wenn sich der Preis PX um 1 Prozent ändert. Es handelt sich mithin um das Verhältnis von relativer Ausgabenänderung und relativer Preisänderung. Produktregel wegen x = x (PX) Ausgabenelastizität = Preiselastizität + 1 ( PX x) 1 ( PX x) /( PX x) ( PX x) PX PX / PX PX PX PX x x P x 1 x 1 X x PX 1 x, PX PX x x PX PX x, PX Bitte merken Sie sich: Die Ausgabenelastizität entspricht stets der Summe aus 1 und der Preiselastizität! 2.2.5.3 Preisänderungen für ein anderes Gut Bei einer Preiserhöhung für ein anderes Gut kann die Nachfrage nach dem betrachteten Gut steigen, sinken oder gleich bleiben. (indirekte) Kreuzpreiselastizität Mit Hilfe der Ableitung x / PY bzw. der (indirekten) Kreuzpreiselastizität x, PY kann die Nachfrage nach Gut x in Abhängigkeit von PY bei unverändertem B und unverändertem PX analysiert werden. Entsprechendes gilt für das Gut y. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 33 Die indirekte Preiselastizität bzw. Kreuzpreiselastizität (indirekte) x / x x PY ε x, PY PY / PY PY x Kreuzpreiselastizität gibt (näherungsweise) an, um wie viel Prozent sich die nachgefragte Gütermenge x verändert, wenn sich der Preis PY um 1 Prozent ändert. Es handelt sich mithin um das Verhältnis von relativer Nachfrageänderung nach einem Gut und relativer Preisänderung eines anderen Gutes. Dabei sind folgende Fälle zu unterscheiden: x / PY >0 vollkommen kreuzpreisunabhängiges Gut =0 x, PY >0 =0 <0 steigt bleibt unverändert sinkt steigt verläuft senkrecht fällt Substitut Nachfrage . . . bei Preiserhöhung Nachfragekurve Substitut Komplement x, PY 0 Butter - Margarine <0 Komplement x, PY 0 Tabakspfeife - Pfeifentabak Wenn der Preis für Gut y von PY0 auf PY1 steigt, dreht sich die Budgetgerade entgegen dem Uhrzeigersinn um den Punkt B / PX . Jedem Preis für Gut y ist eine Budgetgerade zugeordnet, die wiederum genau einen Tangentialpunkt (Q0, Q1) mit einer Indifferenzkurve aufweist. Die Verbindung aller Tangentialpunkte nennt man Kreuzpreis–Konsumkurve. Die Übertragung aller Haushaltsoptima in ein PY x Diagramm ergibt eine Nachfragekurve. Lageparameter sind B und PX . y B/PY0 Kreuzpreis–Konsumkurve Kreuzpreis-Konsumkurve Verbindung aller Nutzenmaxima für verschiedene Preise PY Q0 B/PY1 Q1 x B/PX PY PY1 Nachfragekurve Graph der Nachfragefunktion im PY–x– Diagramm. Lageparameter B und PX. Nachfragekurve PY0 x Abb. 15: Kreuzpreis–Konsumkurve Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de 34 Übungsaufgabe 6 VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie Richtig oder falsch? a) Die Nachfragekurve in einem PX x Diagramm verschiebt sich nach rechts, wenn der Preis eines Substitutes steigt. b) Die Nachfragekurve in einem PX x Diagramm verschiebt sich nach links, wenn das betrachtete Gut inferior ist und das Einkommen sinkt. c) Die Nachfragekurve in einem PX y Diagramm verschiebt sich nach links, wenn der Preis des Gutes x sinkt. d) Die Engelkurve verschiebt sich nach oben, wenn der Preis eines zum betrachteten Gut komplementären Gutes sinkt. 2.2.5.3 Substitutions– und Einkommenseffekt Um ein vermeintliches Paradoxon wie die Nachfrageerhöhung bei einer Preiserhöhung 21 plausibel erklären zu können, muss die Reaktion eines Haushalts auf Preisänderungen genauer analysiert werden. Hilfreich ist, hierbei den Gesamteffekt (!) einer Preiserhöhung für ein Gut auf die Nachfrage nach beiden Güter gedanklich in zwei Teileffekte zu zerlegen: in einen Substitutionseffekt und einen Einkommenseffekt. Jede Preiserhöhung für (z. B.) Gut x hat grundsätzlich zwei Wirkungen: 22 Preiserhöhung ändert PX / PY Preiserhöhung verringert die Konsummöglichkeitsmenge 1. Änderung des Preisverhältnisses: Zum Einen hat die Preiserhöhung für Gut x das Preisverhältnis PX / PY erhöht. Gut x ist im Verhältnis zu Gut y teurer geworden, bzw. Gut y ist relativ zu Gut x billiger geworden. Der Haushalt wird dann – ohne Berücksichtigung der zweiten Wirkung – Gut x durch Gut y substituieren. Die sich daraus ergebende Nachfrageänderung ist immer gleich: Das relativ billiger gewordene Gut wird mehr, das relativ teurer gewordene Gut weniger nachgefragt. Das ist der Substitutionseffekt. 2. Kaufkraftverlust des Budgets: Zum Anderen kann der Haushalt das ursprünglich optimale Güterbündel nicht mehr erreichen, weil bei einer Preissteigerung für ein Gut seine Konsummöglichkeitsmenge, anders ausgedrückt: sein Realeinkommen bzw. (was Dasselbe ist) die Kaufkraft seines nominalen Einkommens gesunken sind. Der Haushalt befindet sich so gesehen 21 Das Phänomen von Giffen–Gütern wird mitunter tatsächlich Giffen– Paradoxon genannt. 22 Für eine Preissenkung gilt das Nachfolgende lediglich umgekehrt. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 35 in derselben Situation wie bei einer Senkung seines nominalen Einkommens. Für normale (inferiore) Güter gilt: (Real–) Einkommensänderung und Nachfrageänderung sind gleichgerichtet (gegenläufig). Diese realeinkommensbedingte Nachfrageänderung nennt man Einkommenseffekt. Der Gesamteffekt einer Preiserhöhung für Gut x, also die Summe aus Einkommens– und Substitutionseffekt, hängt, da der Substitutionseffekt stets gleich ist, letztlich vom Einkommenseffekt, also davon ab, ob es sich um normale oder inferiore Güter handelt. Bitte merken Sie sich: Substitutionseffekt + Einkommenseffekt = Gesamteffekt Ausgangspunkt in der Abb. 16 sei das Haushaltsoptimum Q0. Bei einer Preiserhöhung für das Gut x von PX0 auf PX1 dreht sich die Budgetgerade im Uhrzeigersinn um den Punkt B / PY . Die neue Budgetgerade wird also durch B / PY B / PX1 markiert. y B‘/PY B/PY Substitutionseffekt: Q0 Q‘1 + Einkommenseffekt: Q‘1 Q1 = Gesamteffekt: Q 0 Q1 Q‘1 Q1 Q0 I1 B/PX1 B‘/PX1 I0 B/PX0 x Abb. 16: Substitutions– und Einkommenseffekt (hier: Preiserhöhung für das Gut x) Substitutionseffekt Der Substitutionseffekt (Bewegung von Punkt Q0 nach Punkt Q‘1) kann folgendermaßen illustriert werden: Die Hilfsbudgetgerade (gestrichelte Linie, B' / PY B' / PX1 ), deren Steigung das neue Preisverhältnis der beiden Güter, PX1 / PY , wiedergibt, ist der gedachte Ort aller Güterbündel, die der Haushalt nach der Veränderung des relativen Preises maximal erreichen könnte unter der Annahme, Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de Nominale Größe werden in Geldeinheiten, reale Größe in Mengeneinheiten ausgedrückt. 36 Nutzenkompensation nach Hicks Substitutionseffekt = Gesamteffekt – Einkommenseffekt VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie dass der durch die Preiserhöhung ausgelöste Realeinkommensrückgang durch eine (gedachte!) Ausgleichszahlung derart kompensiert würde, dass der Haushalt sein altes Nutzenniveau halten kann. (wichtig: Die Hilfsbudgetgerade berührt deshalb die alte Indifferenzkurve!) Die Bewegung von Q0 nach Q‘1 zeigt also, wie der Haushalt nur auf die Änderung des Preisverhältnisses unter Beibehaltung seines alten Nutzenniveaus (!) reagieren würde. 23 Hier: Das relativ teurer werdende Gut x wird weniger nachgefragt: Die x Nachfrage sinkt von Q0 nach Q‘1. Das verhältnismäßig billiger werdende Gut y wird mehr nachgefragt: Die y Nachfrage steigt von Q0 nach Q‘1. Das gilt für alle Güter und ist immer so! Einkommenseffekt Einkommenseffekt = Gesamteffekt – Substitutionseffekt Der Einkommenseffekt (Bewegung von Punkt Q‘1 nach Punkt Q1) ist dann diejenige Mengenänderung beider Güter, die sich allein aus der Veränderung des Realeinkommens (also ohne gedachte Kompensationszahlung) ergibt. Q1 kennzeichnet als Tangentialpunkt von neuer Budgetgerade und neuer Indifferenzkurve I1 (die das nach der Preiserhöhung maximal erreichbare, allerdings niedrigere Nutzenniveau widerspiegelt) das neue nutzenmaximierende Güterbündel. Hier: Beide Güter sind normale Güter: Die Nachfrage nach x und y sinkt (bei einer Realeinkommenssenkung) von Q‘1 nach Q1. Gesamteffekt Gesamteffekt = Einkommenseffekt + Substitutionseffekt Der Gesamteffekt (Bewegung von Punkt Q0 nach Punkt Q1) ist die Summe aus Substitutions– und Einkommenseffekt Hier: Das Gut x wird bei einer eigenen Preiserhöhung weniger nachgefragt: Die x Nachfrage sinkt von Q0 nach Q1. Das Gut y ist ein Substitut, denn die y Nachfrage steigt von Q0 nach Q1. Ist Ihnen klar: Gut y ist ein Substitut (Komplement), wenn bei einer Preiserhöhung für Gut x der neue Gleichgewichtspunkt Q1 oberhalb (unterhalb) von Q0 liegt! Giffen–Gut Weil der Substitutionseffekt gutunabhängig stets gleich ist, muss ein Giffen–Gut simultan zwei Eigenschaften aufweisen: Giffen–Gut 1. Es muss inferior sein. Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein. 2. Der Einkommenseffekt muss den Substitutionseffekt betragsmäßig übersteigen. 23 Der sich tatsächlich ebenfalls ergebende Einkommenseffekt wird hier also zunächst gedanklich ausgeblendet! Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 37 Da bei einer Preiserhöhung der Substitutionseffekt auch bei einem Giffen–Gut dazu führt, dass dieses Gut weniger nachgefragt wird, muss der aus der Preiserhöhung resultierende Kaufkraftverlust des Budgets eine Nachfrageausweitung bewirken, das Gut mithin inferior nachgefragt werden. Diese Nachfrageerhöhung als Folge des Einkommenseffektes muss dabei betragsmäßig größer sein als die Nachfrageminderung auf Grund des Substitutionseffektes, damit im Gesamteffekt die Nachfrage bei einer Preiserhöhung steigt. Sehen Sie sich noch einmal die Abb. 16 an: Damit das Gut x ein Giffen– Gut ist, muss das Haushaltsgleichgewicht Q1 rechts vom ursprünglich nutzenmaximalen Güterbündel Q0 liegen. Die Nachfrageänderung Q‘1 Q1 übersteigt die Nachfrageänderung Q0 Q‘1 betragsmäßig! y Q‘1 Q0 I0 Q1 I1 x‘1 x0 x1 x Abb. 17: Giffen–Gut (hier: Preiserhöhung für das Gut x) Abgebildet ist die Wirkung einer Preiserhöhung auf die Nachfrage nach dem Giffen–Gut x: Folge des Substitutionseffektes ist eine Nachfragesenkung (von x0 auf x '1 ). Folge des Einkommenseffektes ist eine den Substitutionseffekt überkompensierende Nachfrageerhöhung (von x '1 auf x1 ), so dass die Nachfrage nach x bei einer Erhöhung von PX per Saldo von x0 auf x1 steigt. Slutsky–kompensierte Nachfrage Bei der Analyse von Substitutions– und Einkommenseffekt gibt es eine alternative Möglichkeit für die als Kompensation für den Kaufkraftverlust des Budgets gedachte Ausgleichszahlung: Dabei wird nicht wie oben auf ein unverändertes Nutzenniveau abgestellt, 24 vielmehr soll dadurch das ursprüngliche Güterbündel, mit- 24 In Abgrenzung zur Slutsky–kompensierten Nachfrage lautet jene Analyse im Modul „Theorie der Marktwirtschaft“ der FernUniversität Hagen: Hicks–kompensierte Nachfrage. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de Der Substitutionseffekt ist immer gleich. Der Einkommenseffekt macht den Unterschied! 38 Einkommenskompensation nach Slutsky VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie hin das ursprüngliche Realeinkommen garantiert werden. Die Hilfsbudgetgerade wird – unter Beachtung des neuen Preisverhältnisses, also mit veränderter Steigung! – in diesem Fall mithin soweit parallel nach rechts verschoben, dass Q0 erreicht wird. Diese Verschiebung ist im Fall einer Preiserhöhung stärker (im Fall einer Preissenkung schwächer!) als bei der obigen Nutzenkompensierung: y B‘/PY Substitutionseffekt: B/PY Q‘‘1 Q0 + Einkommenseffekt: Q‘‘1 Q1 = Gesamteffekt: Q0 Q1 Q‘‘1 Q1 Q0 I1 I‘1 I0 B/PX1 B‘/PX1 B/PX0 x Abb. 18: Slutsky–kompensierte Nachfrage Das (Zwischen–) Gleichgewicht Q‘‘1 liegt auf einer höher gelegenen Indifferenzkurve als das Ursprungsgleichgewicht Q0. Dadurch ändern sich Substitutions– und Einkommenseffekt dem Betrage nach, nicht aber der Gesamteffekt einer Preisänderung gegenüber der nutzenkompensierenden Ausgleichszahlung. alternative Nachfragekurven Abgestellt auf die unterschiedlichen Kompensationsmöglichkeiten bei einer Preisänderung lassen sich alternative Preis–Konsumkurven bzw. Nachfragekurven herleiten: Nachfragekurve ohne Kompensation nach Marshall Ohne Kompensation ergibt sich die Preis–Konsumkurve als Verbindungslinie zwischen Q0 und Q1. Die daraus grafisch ableitbaren Nachfragekurven heißen nicht kompensierte bzw. Marshall’sche Nachfragekurven. Es handelt sich um die im Abschnitt 2.2.5.2 hergeleitete Standard–Darstellung. Nachfragekurve mit Nutzenkompensation nach Hicks Bei einer Nutzenkompensation (Hicks–kompensierte Nachfrage) ergibt sich die Preis–Konsumkurve als Verbindungslinie zwischen Q0 und Q‘1. Die daraus ableitbaren Nachfragekurven heißen nutzenkompensierte bzw. Hicks’sche Nachfragekurven. Nachfragekurve mit Einkommenskompensation nach Slutsky Bei einer Einkommenskompensation (Slutsky–kompensierte Nachfrage) ergibt sich die Preis–Konsumkurve als Verbindungslinie zwischen Q0 und Q‘‘1. Die ableitbaren Kurven heißen einkommenskompensierte bzw. Slutsky’sche Nachfragekurven. Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 39 Richtig oder falsch? Übungsaufgabe 7 a) Bei einer Budgeterhöhung entspricht der Gesamteffekt dem Einkommenseffekt. b) Wenn bei einer Preissenkung ein Nutzenausgleich durch eine Steuererhebung erfolgt, entspricht der Substitutionseffekt dem Gesamteffekt. c) Bei einer Preiserhöhung ist der Substitutionseffekt bei einer Nutzenkompensation stärker als bei einer Einkommenskompensation. d) Bei einer Preissenkung ist der Substitutionseffekt bei einer Einkommenskompensation stärker als bei einer Nutzenkompensation. Endes des Textauszuges Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 62 2.6 Lösungen zu den Übungsaufgaben Textauszug Lösung der Aufgabe 1 a) falsch: Für zwei Güterbündel A( x A ) und B ( x B ) gilt entweder A ~ B oder B ~ A oder beides. b) richtig: U / y 1 0 . Der Nutzen sinkt mit zunehmendem Verbrauch von y. c) falsch: Für jede beliebige Nutzenzahl gibt es eine Indifferenzkurve mit der Steigung dy / dx 1 . Es gibt also unendlich viele, in sich lückenlose Indifferenzkurven, deren Abstand zueinander unendlich klein ist. d) falsch: Für die Güterbündel A mit ( x A , y A ) (1, 4) und B mit ( x B , y B ) (4, 2) ergibt sich jeweils ein Nutzen von U A U B 16 . Für das Güterbündel C als Mischung aus A und B mit ( xC , yC ) [2, (10 / 3)] ergibt sich U C 22, 2 U A U B 16 . Lösung der Aufgabe 2 U 2U 0,2 x 0,8 y1,2 0 und 0,16 x 1,8 y1,2 0 verläuft die 2 x x U Nutzenkurve im U x Diagramm konkav steigend. Wegen 1,2 x 0, 2 y 0, 2 0 y a) falsch: Wegen und 2U 2 y steigend. 0,24 x 0,2 y 0,8 0 verläuft die Nutzenkurve im U y Diagramm konvex b) falsch: Wegen U 0,2 x 0,8 y 0,8 0 x und 2U x 2 0,16 x 1,8 y 0,8 0 bzw. U 2U 0, 2 0, 2 und 0,8 x y 0 0,16 x 0, 2 y 1,2 0 ist der Grenznutzen für 2 y y beide Güter abnehmend. c) richtig: U U 2 const . und 3 const . x y Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 63 Lösung der Aufgabe 3 a) falsch: dy U / x y dx U / y x b) falsch: 2 x y2 dy U / x y dx U / y x 2 x2 y [Fällt Ihnen etwas auf zu U x y aus a) und U x 2 y 2 aus b)? Wie lautet die GRS zur Nutzenfunktion U x a y a ?] c) richtig: dy U / x 0,5 1 dx U / y 0,5 Lösung der Aufgabe 4 a) richtig: Wenn PX sinkt, steigt B / PX . b) richtig: Wenn PY steigt, sinkt B / PY . c) richtig: Die Erhöhung der Einkommensteuer senkt Einkommen und Konsumbudget. d) falsch: 1,1 B (1,05 PX ) x (1,05 PY ) y bzw. 1,1 B 1,05 ( PX x PY y ) . Die Budgetgerade verschiebt sich parallel nach außen. Ende des Textauszuges Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 66 2.7 Lösungen zu den Klausuraufgaben Textauszug Lösung der Aufgabe 1 aus 9/13 B, C, D, und E sind richtig. Zu A: Die Gleichung der Budgetgerade lautet allgemein B P1 X 1 P2 X 2 , hier also 20 1 X 1 0,5 X 2 . [A ist falsch.] dX 2 P 1 2 , dX 1 P2 ermittelt als Ableitung aus der nach X 2 umgestellten Budgetgleichung, X 2 40 2 X 1 . [B ist richtig.] Zu B: Die Steigung der Budgetgerade im X 2 X 1 Diagramm lautet Zu C: Für P1 2 und P2 1 gilt dX 2 P 1 2 . [C ist richtig.] dX 1 P2 Zu D: Wenn sich P1 halbiert, können bei X 2 0 nunmehr X 1 X1 B 20 40 statt P1 0,5 20 20 konsumiert werden. [D ist richtig.] 1 Zu E: Die Einkommenssenkung senkt die Konsummöglichkeitsmenge, lässt das Preisverhältnis, also die Steigung der Budgetgerade jedoch unverändert, die Budgetgerade verlagert sich im Güterdiagramm mithin parallel nach innen. [E ist richtig.] Lösung der Aufgabe 2 aus 9/13 A und B sind richtig. Zu A: Bei einer lexikografischen Präferenzordnung ist die Annahme der Stetigkeit nicht erfüllt. Stetigkeit ist jedoch (im Fernuni–Kurs!) kein Axiom des Rationalverhaltens. Wegen der mangelnden Stetigkeit lässt sich eine lexikografische Präferenzordnung übrigens nicht mit einer Nutzenfunktion darstellen. [A ist richtig.] Zu B: Die Gleichung der Indifferenzkurve lautet X 2 ferenzkurve 2 3 U X 1 , die Steigung der Indif5 5 dX 2 3 const. . [B ist richtig.] dX 1 5 ~ ~ Zu C: Zwei Nutzenfunktionen U und U beschreiben dieselbe Präferenzordnung, wenn U eine streng monoton steigende Transformation von U ist (und umgekehrt). Es muss für ~ ~ U F (U ) mithin stets dU / dU 0 erfüllt sein. Im vorliegenden Fall gilt nicht einmal ~ U F (U ) . [C ist falsch.] Zu D und E: Eine lexikografische Präferenzordnung erfüllt die Axiome des Rationalverhaltens, enthält jedoch keine zwei unterschiedlichen Güterbündel, die gleichwertig sind. Eine solche Präferenzordnung hat also gar keine Indifferenzkurven. [D und E sind falsch.] Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 67 Lösung der Aufgabe 3 aus 9/13 B, C, und E sind richtig. Zu A und B: Ein Entscheider mit der Nutzenfunktion U ( X ) a X b c mit b 1 ( b 1 , b 1 ) ist risikofreudig (risikoneutral, risikoscheu). [A ist falsch, B ist richtig.] Zu C: Der Entscheider ist genau dann indifferent zwischen einem sicheren Ertrag und der Handlungsalternative mit unsicherem Ertrag, wenn die Nutzenwerte aus sicherem Ertrag und unsicherer Handlungsalternative identisch sind. Der sichere Ertrag, für den diese Bedingung erfüllt ist, wird das Sicherheitsäquivalent X S genannt. Für den erwarteten Nutzen gilt E[U ( X )] (3 / 4) 2 0 (1 / 4) 2 1 2 (1 / 4) . Da für den Nutzen des Sicherheitsäquivalents derselbe Nutzen gelten muss, [C ist richtig.] 2 X S2 2 (1 / 4) , folgt X S2 1 / 4 bzw. X S 1 / 2 . Zu D und E: Der Erwartungswert aus B beträgt E ( X ) (3 / 4) 0 (1 / 4) 1 1 / 4 . [D ist falsch, E ist richtig.] Lösung der Aufgabe 4 aus 9/13 A und D sind richtig. Die Nachfragefunktionen ergeben sich aus der Nutzenmaximierungsbedingung und der Budgetgleichung. Die Bedingung für ein Nutzenmaximum (Grenznutzenverhältnis gleich U / X 1 6 X 1 X 22 P X P 1 . Kürzen, 2 1 , Auflösen Preisverhältnis) lautet hier: X 1 P2 U / X 2 6 X 12 X 2 P2 P nach X 2 1 X 1 und Einsetzen in die Budgetgleichung P1 X 1 P2 X 2 B bringt P2 P P B B P1 X 1 1 P2 X 1 B bzw. X 1 . Einsetzen von X 1 in X 2 1 X 1 P2 P2 2 P1 2 P1 B bringt X 2 . Nach Einsetzen der Zahlenwerte folgen X 1 25 und X 2 5 . [A ist 2 P2 B 50 ~ 1 . Man kann auch argumentieren: Eine Nutrichtig.] Für P2 25 gilt X 2 2 P2 2 25 zenfunktion der Form U A X 1a X 1b mit A, a, b 0 führt stets zu streng konvex fallenden Indifferenzkurven, im Nutzenmaximum kann also niemals X i 0 gelten. [B ist falsch.] Die B B Ausgaben Pi X i Pi für das Gut i hängen nur vom Einkommen ab. [C ist 2 Pi 2 falsch, D ist richtig.] Im Fall A ergibt sich ein Nutzen von U ( A) 3 X 12 X 22 3 25 2 5 2 , B B B2 ~ 2 ~2 3 . im Fall B (nach der Erhöhung auf P2 25 ) von U ( B ) 3 X 1 X 2 3 2 50 100 Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 68 Damit das Niveau aus A erreicht wird, muss für das Budget 3 B2 3 25 2 5 2 bzw. 100 B2 B 125 2 bzw. 125 bzw. B 1.250 gelten. [E ist falsch.] 100 10 Lösung der Aufgabe 5 aus 9/13 A und D sind richtig. In dieser Aufgabe geht es um die intertemporale Nutzenmaximierung über zwei Perioden. Die Budgetbeschränkung für die erste Periode lautet B X 1 S1 , wobei S1 den nicht konsumierten Teil des Einkommens, die Ersparnis, bezeichnet. Die Budgetbeschränkung für die zweite Periode, in der laut Aufgabenstellung kein (Arbeits–) Einkommen erzielt wird, lautet (1 r ) S1 X 2 . Konsumausgaben kann der Haushalt in der zweiten Periode mithin lediglich in Höhe des Konsumverzichts der ersten Periode inkl. Verzinsung (Kapitaleinkommen in der zweiten Periode) leisten. Einsetzen von B X 1 S1 bzw. S1 B X 1 in (1 r ) S1 X 2 ergibt die intertemporale Budgetbeschränkung: (1 r ) ( B X 1 ) X 2 bzw. X B X 1 2 . [A ist richtig, B ist falsch.] 1 r Das intertemporale Nutzenmaximierungsproblem lautet max! U X 1 X 12 unter der Nebenbedingung (1 r ) ( B X 1 ) X 2 bzw. max! X 1 X 12 [(1 r ) ( B X 1 ) X 2 ] Die notwendigen Bedingungen für ein intertemporales Nutzenmaximum lauten ! a X 1 1 X 12 (1 r ) 0 X 1 Dividieren der beiden Gleichungen bringt und ! (1 ) X 1 X 2 0 X 2 X 1 1 X 12 (1 ) X 1 X 2 1 r 1 X2 1 r bzw. X 2 (1 r ) X 1 . Für 0,5 gilt 1 X1 bzw. 1 (1 r ) 1 . [E ist falsch.] Repetitorium Axel Hillmann Kürzen X 2 (1 r ) X 1 mit X 2 X 1 wegen 1 r 1 . [C ist falsch, D ist richtig.] Für 0,5 ist Fall gilt nur dann X 2 X 1 , wenn nach 1 1 . In diesem Infos im Internet: www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 69 Lösung der Aufgabe 1 aus 3/13 A, B und C sind richtig. Zu A: Die Gleichung der Budgetgerade lautet allgemein B P1 X 1 P2 X 2 , hier also 1.000 4 X 1 25 X 2 . [A ist richtig.] dX 2 P 1, dX 1 P2 B P1 X1 . ermittelt als Ableitung aus der nach X 2 umgestellten Budgetgleichung, X 2 P2 P2 [B und C sind richtig.] Zu B und C: Die Steigung der Budgetgerade im X 2 X 1 Diagramm lautet Zu D: Bei einer Senkung von P2 bleibt X 1 B / P1 250 (Maximalmenge von Gut 1, Schnittpunkt mit der X 1 Achse) unverändert, während die Maximalmenge von Gut 2, (Schnittpunkt mit der X 2 Achse) steigt. [D ist falsch.] dX 2 5 . Die dX 1 26 Budgetgerade verschiebt sich zwar nach innen, aber offensichtlich nicht parallel, da sich die Steigung geändert hat. [E ist falsch.] Zu E: Die Steigung der Budgetgerade im X 2 X 1 Diagramm lautet nun Lösung der Aufgabe 2 aus 3/13 E ist richtig. Zu A: Da die Nichtsättigungsannahme nicht erfüllt sein muss, sind Konstellationen mit (2,2) (1,1) und (3,3) ~ (1,1) vorstellbar! Eine Nutzenfunktion mit derartigen Präferenzen ist beispielsweise U X 1 0,5 X 12 X 2 . [A ist falsch.] Zu B: Umstellen bringt X 2 U ( X 1 , X 2 ) / X 1 mit dX 2 U ( X1, X 2 ) 0 . Die negative dX 1 X 12 Steigung der Indifferenzkurve nimmt mit zunehmendem X 1 betragsmäßig ab. [B ist falsch.] ~ ~ ~ ~ Zu C: Für U und U gilt U 5 U mit dU / dU 1 0 , U ist also eine streng monoton steigende Transformation von U . Dies ist die Voraussetzung dafür, dass beiden Nutzenfunktionen dieselbe Präferenzordnung zugrunde liegt. [C ist falsch.] dX 2 1 . Die Indifferenzkurven dX 1 haben also eine positive Steigung. [D ist falsch, E ist richtig.] Zu D und E: Umstellen bringt X 2 U ( X 1 , X 2 ) X 1 mit Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 70 Lösung der Aufgabe 3 aus 3/13 A, C, D und E sind richtig. Zu A: Ein Entscheider, der die Nutzenfunktion U ( X ) a X b c mit b 1 ( b 1 , b 1 ) besitzt, ist risikofreudig (risikoneutral, risikoscheu). [A ist richtig.] Zu B: Der Entscheider ist genau dann indifferent zwischen einem sicheren Ertrag und der Handlungsalternative mit unsicherem Ertrag, wenn der Nutzen aus sicherem Ertrag und der erwartete Nutzen aus der unsicheren Handlungsalternative identisch sind. Der sichere Ertrag, für den diese Bedingung erfüllt ist, wird das Sicherheitsäquivalent X S genannt. Für den erwarteten Nutzen gilt E[U ( X )] 0,5 0 0,5 16 2 . Da für den Nutzen des Sicherheitsäquivalents derselbe Nutzen gelten muss, U ( X S ) X S 2 , folgt X S 4 . [B ist falsch.] Zu C: Für den Erwartungswert gilt E ( X ) 0,5 0 0,5 16 8 4 X S . [C ist richtig.] Zu D und E: Die Differenz aus Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent wird Risikoprämie R genannt. Sie gibt den Betrag an, den der Entscheider für die sichere Alternative zu zahlen bereit wäre. Für einen risikoscheuen (risikofreudigen, risikoneutralen) Entscheider gilt R 0 ( R 0 , R 0 ). [D und E sind richtig.] Lösung der Aufgabe 4 aus 3/13 D und E sind richtig. Die Gleichung der Indifferenzkurve für diese Nutzenfunktion lautet X 2 U ( X 1, X 2 ) X 1 , der Betrag der Steigung ist mit dX 2 / dX 1 1 konstant, was zu einer linearen Indifferenzkurve führt! Mit der allgemein – außer bei linearen Indifferenzkurven! – gültigen Nutzenmaximierungsbedingung, Grenznutzenverhältnis gleich Preisverhältnis, kommen Sie hier nicht weiter! Wenn Sie den nutzenmaximalen Konsumpunkt hingegen grafisch ermitteln, indem Sie – wie üblich – die Indifferenzkurve soweit vom Ursprung weg bewegen, dass ein Tangentialpunkt mit der Budgetgeraden entsteht, sehen Sie, was auch nachvollziehbar ist: Der Konsument wird einzig Gut 1 erwerben, wenn dessen objektiver Relativpreis, P1 / P2 , kleiner ist als sein subjektiver Relativpreis, dX 2 1 . Dies ist hier erfüllt für jeden Preis P1 P2 . [A, B und dX 1 C sind falsch.] Wenn P1 steigt, sinkt bei gegebenem Budget natürlich die finanzierbare Menge von Gut 1. [D ist richtig.] Nur wenn nach einer Preiserhöhung P1 P2 gilt, wird ausschließlich Gut 2, und zwar in der Menge X 2 B / P2 gekauft. [E ist richtig.] Lösung der Aufgabe 5 aus 3/13 C ist richtig. Für das Einkommen gilt Y l L bzw. nach Einsetzen von 16 L F , der Zeitbudgetbeschränkung, Y l (16 F ) bzw. Y l F l 16 . Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 71 Lösung der Aufgabe 1 aus 9/12 A, B und E sind richtig. Zu A: Die Gleichung der Budgetgerade lautet allgemein B P1 X 1 P2 X 2 , hier also 600 3 X 1 2 X 2 . [A ist richtig.] dX 2 P 3 1 , dX 1 P2 2 3 ermittelt als Ableitung aus der nach X 2 umgestellten Budgetgleichung, X 2 300 X 1 . 2 [B ist richtig.] Zu B: Die Steigung der Budgetgerade im X 2 X 1 Diagramm lautet Zu C: X 1 200 erschöpft das Budget von 600 angesichts des Preises P1 3 bereits. Das Güterbündel ( X 1 , X 2 ) (200, 300) würde das doppelte Budget beanspruchen. [C ist falsch.] Zu D: Wenn sich P2 verdoppelt, halbiert sich die Konsummöglichkeitsmenge. [D ist falsch.] Zu E: Die Einführung einer Einkommensteuer lässt das Preisverhältnis, also die Steigung der Budgetgerade unverändert, während das verfügbare Einkommen sinkt. Die Budgetgerade verlagert sich im X 2 X 1 Diagramm parallel nach innen. [E ist richtig.] Lösung der Aufgabe 2 aus 9/12 D ist richtig. Zu A: Vollständigkeit, Transitivität und Reflexivität sind die Axiome des Rationalverhaltens einer jeden Präferenzordnung in der mikroökonomischen Haushaltstheorie. [A ist falsch.] Zu B: U ( X 1 , X 2 ) X 1 erfüllt alle Axiome des Rationalverhaltens. [B ist falsch.] Zu C: Die angegebene Präferenzordnung ist nicht transitiv, wie ein einfaches Zahlenbeispiel zeigt: A (3,2) B (4,2) und B (4,2) C (3,3) , jedoch C (3,3) A(3,2) . Sie ist nicht einmal reflexiv, denn für zwei identische Güterbündel A (3,2) gilt sowohl A (3,2) A (3,2) also auch A (3,2) A (3,2) . [C ist falsch.] Zu D: Für U und V gilt V 2 U mit dV / dU U 0 , V ist also eine streng monoton steigende Transformation von U . Dies ist die Voraussetzung dafür, dass beiden Nutzenfunktionen dieselbe Präferenzordnung zugrunde liegt. [D ist richtig.] Zu E: Für U und V gilt nicht V f (U ) , V ist keine Transformation von U . [E ist falsch.] Lösung der Aufgabe 3 aus 9/12 B und C sind richtig. Zu A: Ein Entscheider, der die Nutzenfunktion U ( X ) a X b c mit b 1 ( b 1 , b 1 ) besitzt, ist risikofreudig (risikoneutral, risikoscheu). [A ist falsch.] Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 72 Zu B: Der Entscheider ist genau dann indifferent zwischen einem sicheren Ertrag und der Handlungsalternative mit unsicherem Ertrag, wenn die Nutzen aus sicherem Ertrag und unsicherer Handlungsalternative identisch sind. Der sichere Ertrag, für den diese Bedingung erfüllt ist, wird das Sicherheitsäquivalent X S genannt. Für den erwarteten Nutzen gilt E[U ( X )] (1 / 3) 9 (2 / 3) 0 1 . Da für den Nutzen des Sicherheitsäquivalents derselbe Nutzen gelten muss, U ( X S ) X S 1 , folgt X S 1 . [B ist richtig.] Zu C: Der Erwartungswert aus B beträgt E ( X ) (1 / 3) 9 (2 / 3) 0 3 . [C ist richtig.] Zu D und E: Die Differenz aus Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent wird Risikoprämie R genannt. Für B gilt R E ( X ) X S 3 1 2 [D und E sind falsch.] Lösung der Aufgabe 4 aus 9/12 B, C, D, und E sind richtig. Die Gleichung der Indifferenzkurve lautet X 2 0,25 U ( X 1 , X 2 ) 0,25 X 1 , der Betrag der Steigung ist mit dX 2 / dX 1 0,25 konstant, was zu einer linearen Indifferenzkurve führt! Mit der allgemein – außer bei linearen Indifferenzkurven! – gültigen Nutzenmaximierungsbedingung, Grenznutzenverhältnis gleich Preisverhältnis, kommen Sie hier nicht weiter! Wenn Sie den nutzenmaximalen Konsumpunkt hingegen grafisch ermitteln, indem Sie – wie üblich – die Indifferenzkurve soweit vom Ursprung weg bewegen, dass ein Tangentialpunkt mit der Budgetgeraden entsteht, sehen Sie, was auch nachvollziehbar ist: Der Konsument wird einzig Gut 1 mit X 1 B / P1 erwerben, wenn dessen objektiver Relativpreis, ( P1 / P2 ) , kleiner ist als sein subjektiver Relativpreis, dX 2 / dX 1 0,25 . Dies ist erfüllt für jeden Preis P1 0,25 P2 . Im umgekehrten Fall, P1 0,25 P2 , wird also ausschließlich Gut 2, und zwar in der Menge X 2 B / P2 gekauft. Sollte hingegen P1 0,25 P2 gelten, ist keines der beiden Güter relativ billiger als das andere, der Haushalt ist indifferent, jede beliebige Mischung aus X 1 und X 2 (auch X i 0 und X j B / P j ) führt zu einem Nutzenmaximum. Am einfachsten (in der Klausur) ist es vielleicht, wenn Sie rasch den Nutzen für beide Möglichkeiten berechnen. B 30 B 30 30 und U ( X 2 ) 4 X 2 4 4 40 . Der Haushalt P1 1 P2 3 fragt nur X 2 nach. [A ist falsch.] Zu A: U ( X 1 ) X 1 B 30 Zu B, C und D: U ( X 2 ) 4 X 2 4 ~ 4 24 . Jetzt wird nur X 1 nachgefragt. [B, C 5 P2 und D sind richtig.] Zu E: Um U 40 zu erreichen, muss gelten: U ( X 1 ) 40 X 1 B B bzw. B 40 . [E P1 1 ist richtig.] Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de VWL–Fibel Theorie der Marktwirtschaft – Haushaltstheorie 73 Lösung der Aufgabe 5 aus 9/12 A, D und E sind richtig. In dieser Aufgabe geht es um die intertemporale Nutzenmaximierung über zwei Perioden. Die Budgetbeschränkung für die erste Periode lautet B X 1 S1 , wobei S1 den nicht konsumierten Teil des Einkommens, die Ersparnis, bezeichnet. Die Budgetbeschränkung für die zweite Periode, in der laut Aufgabenstellung kein (Arbeits–) Einkommen erzielt wird, lautet (1 r ) S1 X 2 . Konsumausgaben kann der Haushalt in der zweiten Periode mithin lediglich in Höhe des Konsumverzichts der ersten Periode inkl. Verzinsung (Kapitaleinkommen in der zweiten Periode) leisten. Einsetzen von B X 1 S1 in (1 r ) S1 X 2 ergibt die intertemX porale Budgetbeschränkung: (1 r ) ( B X 1 ) X 2 bzw. B X 1 2 . [A ist richtig, B 1 r ist falsch.] Das intertemporale Nutzenmaximierungsproblem lautet max! U X 10,6 X 20,4 unter der Nebenbedingung (1 r ) ( B X 1 ) X 2 bzw. max! X 10,6 X 20,4 [(1 r ) ( B X 1 ) X 2 ] Die notwendigen Bedingungen für ein intertemporales Nutzenmaximierung lauten ! 0,6 X 1 0,4 X 20,4 (1 r ) 0 X 1 Dividieren der beiden Gleichungen bringt und ! 0,4 X 10,6 X 2 0,6 0 X 2 0,6 X 10,4 X 20,4 0,4 X 10,6 X 2 0,6 1 r bzw. nach Kürzen 2 3 X2 1 r bzw. X 2 (1 r ) X 1 . [C ist falsch.] 3 2 X1 Einsetzen dieser intertemporalen Nutzenmaximierungsbedingung X 2 2 (1 r ) X 1 in 3 2 (1 r ) X 1 bzw. 3 3 2 5 nach Kürzen B X 1 X 1 [E ist richtig.] bzw. B X 1 und mit X 1 B schließlich 5 3 3 die Funktion der Konsumausgaben für die erste Periode. [D ist richtig.] die Budgetbeschränkung (1 r ) ( B X 1 ) X 2 bringt (1 r ) ( B X 1 ) Ende des Textauszuges Repetitorium Axel Hillmann Infos im Internet: www.axel-hillmann.de Repetitorium Axel Hillmann www.axel-hillmann.de | vwl verstehen– Klausuren bestehen vwlfibeln vwlonline Einführung in die Wirtschafts­wissenschaft (EVWL) Fibel: 236 Seiten (inkl. aller Klausurlösungen) Online: 34 Lernvideos, Gesamtlaufzeit 25 Std 70 Übungen 107 Lernkontrollfragen ester tsem für Ers Theorie der Marktwirtschaft Fibel: 376 Seiten (inkl. aller Klausurlösungen) Online: 50 Lernvideos, Gesamtlaufzeit 38 Std 89 Übungen 211 Lernkontrollfragen Makroökonomie Fibel: 354 Seiten (inkl. aller Klausurlösungen) Online: 37 Lernvideos, Gesamtlaufzeit 23 Std 33 Übungen 122 Lernkontrollfragen wiwiseminare Finanzierung: Grundlagen Dozent: Christian Meyer 3 Tage weitere Skripte, Infos, Leseproben und Bestellungen: axel-hillmann.de Stabilitätspolitik Dozentin: Dr. Heide Wolff 3 Tage vwlshop facebook.com/ Repetitorium.Axel.Hillmann Forum wiwi-fernstudium.de Repetitorium Axel Hillmann Diplom-Volkswirt (FernUniversität Hagen), Mentor für Makro und Mikro Kirchstraße 15 • 27327 Martfeld • 04255-1758 • [email protected]