Prof. Dr. M. Rapoport WS 2012/13 T. Richarz Einführung in die

Prof. Dr. M. Rapoport
T. Richarz
WS 2012/13
Einführung in die Algebra
3. Übungsblatt
Aufgabe 1:
a) Zeige, dass die Produktgruppe Z/mZ × Z/nZ genau dann zyklisch ist, wenn m und n teilerfremd sind. Beweise damit folgenden Satz. Sind m und n teilerfremde ganze Zahlen und
u, v ∈ Z beliebig, so gibt es ein x ∈ Z mit x ≡ u (mod m) und x ≡ v (mod n).
b) Sei G eine Gruppe. Seien N1 , . . . , Nk Normalteiler in G mit
N1 ∩ . . . ∩ Nk = {e}.
Setze Hi = G/Ni für i = 1, . . . , k. Zeige, dass G zu einer Untergruppe von H1 × . . . × Hk
isomorph ist.
Aufgabe 2:
Für n ≥ 1 bezeichne ϕ(n) die Anzahl der Erzeugenden der zyklischen Gruppe Z/nZ. Die Funktion
ϕ : N → N heißt Eulersche ϕ-Funktion. Zeige:
a) Ist p eine Primzahl und k > 0, so gilt ϕ(pk ) = pk (1 − p1 ).
b) Sind m und n teilerfremd, so gilt ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
c) Für n > 2 ist ϕ(n) gerade.
P
d) Es gilt n = d|n ϕ(d).
Aufgabe 3:
Sei n ≥ 3. Betrachte das regelmäßige n-Eck in der euklidischen Ebene R2 gebildet von den Punkten
x1 , . . . , xn ∈ R2 mit
!
cos ( 2πi
n )
für 1 ≤ i ≤ n.
xi =
sin ( 2πi
n )
Sei D2n die Untergruppe der orthogonalen Gruppe O(2, R) gegeben durch
D2n = {g ∈ O(2, R) | ∀ 1 ≤ i ≤ n ∃ 1 ≤ j ≤ n : gxi = xj },
d.h. D2n ist die Symmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks. Die Gruppe D2n wird Diedergruppe
der Ordnung 2n genannt.
Zeige:
a) Die Gruppe D2n wird erzeugt von
σ =
2π
cos ( 2π
n ) − sin ( n )
sin ( 2π
n )
cos ( 2π
n )
!
und
τ =
1
0
0
.
−1
b) Die von σ erzeugte Untergruppe in D2n ist ein Normalteiler der Ordnung n, und die Ordnung
von D2n ist 2n.
c) Sei G eine Gruppe erzeugt von zwei Elementen a, b ∈ G mit
ord(a) = n,
ord(b) = 2,
abab = e.
Dann ist G isomorph zu D2n .
Aufgabe 4:
Sei S4 die symmetrische Gruppe auf 4 Elementen. Bestimme alle Untergruppen der Ordnung 4 in
S4 . Welche davon sind normal in S4 ? Zeige, dass die Gruppe S4 auflösbar ist.
Eine Gruppe G heißt auflösbar, falls eine Kette von Untergruppen {e} = N0 ⊂ N1 ⊂ . . . ⊂ Nk−1 ⊂
Nk = G mit folgenden beiden Eigenschaften existiert.
i) Die Gruppe Ni−1 ist normal in Ni für alle 1 ≤ i ≤ k.
ii) Die Faktorgruppe Ni /Ni−1 ist abelsch für alle 1 ≤ i ≤ k.
Abgabe: Montag, 5. November 2012.