Grundlagen

Logik / Grundbegriffe
Aussage
Unter einer Aussage ist jeder Satz zu verstehen, für den es Sinn hat zu behaupten, dass
sein Inhalt wahr oder falsch ist. Der Inhalt einer Aussage interessiert nicht; es
interessiert nur die Eigenschaft einer Aussage, entweder wahr oder falsch zu sein. Eine
Aussage ist daher eine Größe, die einen der beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch
annimmt.
Bezeichnungen für Wahrheitswerte
wahr
falsch
w
f
true
false
t
f
(logisch) 1
(logisch) 0
Aussagenvariable
Eine Aussagenvariable ist eine Variable, für die man beliebige Aussagen einsetzen
darf. Da dieses Einsetzen einer Aussage nur die Zuweisung eines der Werte wahr oder
falsch bedeutet, ist eine Aussagenvariable als eine Variable anzusehen, die nur zwei
Werte, nämlich wahr oder falsch, annehmen kann.
Logik / Bildung neuer Aussagen
Durch sprachliche Formulierungen oder durch eine Wahrheitstafel lassen sich aus
einzelnen Aussagen neue Aussagen bilden.
Konjunktion (UND-Verknüpfung)
Die Aussage A und B ist genau dann wahr, wenn A und B beide wahr sind.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A∧B
0
0
0
1
Disjunktion (ODER-Verknüpfung)
Die Aussage A oder B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der beiden
Aussagen A und B ist.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A∨B
0
1
1
1
Antivalenz (Exklusiv-Oder-Verknüpfung)
Die Aussage entweder A oder B ist genau dann wahr, wenn A und B verschiedene
Wahrheitswerte haben.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A⊕B
0
1
1
0
Äquivalenz
Die Aussage A ist äquivalent mit B ist genau dann wahr, wenn A und B den selben
Wahrheitswert haben.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A≡B
1
0
0
1
Implikation
Die Aussage aus A folgt B ist genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A→B
1
1
0
1
Negation
Die Aussage nicht A bzw. A nicht (geschrieben: ¬A oder A) ist genau dann wahr,
wenn A falsch ist.
A
0
1
A
1
0
NAND
Die NAND-Verknüpfung von A und B ist die negierte UND-Verknüpfung. Sie ist
genau dann falsch, wenn A und B beide wahr sind.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
¬(A ∧ B)
1
1
1
0
NOR
Die NOR-Verknüpfung von A und B ist die negierte ODER-Verknüpfung. Sie ist
genau dann wahr, wenn A und B beide falsch sind.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
¬(A ∨ B)
1
0
0
0
Logik in der Umgangssprache
Boolesche Algebra / Axiome
Eine Boolesche Algebra ist eine Menge M, in der zwei Verknüpfungen und
erklärt sind, wo ein Nullelement 0 und ein Einselement 1 ausgezeichnet sind und
jedem Element A ein Komplement A zugeordnet ist, so dass für alle A, B, C aus M
gilt:
Assoziativgesetz (A1)
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
Kommutativgesetz (A2)
A B=B A
A B=B A
Absorptionsgesetz (A3)
A (A B) = A
A (A B) = A
Distributivgesetz (A4)
(A B) C = (A C) (B C)
(A B) C = (A C) (B C)
Gesetze für das Null- und Einselement (A5)
A 1=A
A 0=A
Gesetze für das Komplement (A6)
A A=0
A A=1
Die Axiome A1 – A6 sind nicht unabhängig. Eine Boolesche Algebra wird bereits
durch die Axiome A2, A4, A5 und A6 definiert.
(A1 und A3 lassen sich aus A2, A4, A5 und A6 ableiten.)
Eine Boolesche Algebra ist ein distributiver und komplementärer Verband.
Boolesche Algebra / Theoreme
Idempotenzregeln
A A=A
A A=A
Regeln über das Komplement
Das komplement eines Elements ist eindeutig bestimmt.
A=A
Regeln von de Morgan
(A B) = A B
(A B) = A B
Umformungsregeln
(A B) (A B) = B
(A B) (A B) = B
A (A B) = A B
A (A B) = A B
(A B) (A C) = (A C) (A B)
(A B) (A C) = (A C) (A B)
Boolesche Algebra / Dualitätsprinzip
Ersetzt man gleichzeitig in einem Axiom durch und durch sowie 1 durch 0
und 0 durch 1, so erhält man das zu diesem Axiom gehörige duale Axiom. Führt man
diese Ersetzung in einem Theorem aus, so erhält man das zu diesem Theorem
gehörige duale Theorem.
Gesetz für das Komplement (A6)
A A=0
Regel von de Morgan
(A B) = A B
Huntingtonsche Axiome
Eine Boolesche Algebra kann auch durch die fünf Huntingtonschen Axiome definiert
werden:
Die Huntingtonschen Axiome lauten für eine Menge M, in der zwei Verknüpfungen
und erklärt sind, wo ein Nullelement 0 und ein Einselement 1 ausgezeichnet sind
und jedem Element A ein Komplement A zugeordnet ist, wie folgt:
Abgeschlossenheit (H1)
A B M
A B
Kommutativgesetz (H2)
A B=B A
A B=B A
Distributivgesetz (H3)
(A B) C = (A C) (B C)
(A B) C = (A C) (B C)
Null- und Einselement (H4)
A 1=A
A 0=A
Komplement (H5)
A A=0
A A=1
M
Mengen / das Wichtigste
Georg Cantor begründete gegen Ende des vorigen Jahrhunderts die Theorie
beliebiger Mengen von Dingen, die Mengenlehre, mit der folgenden intuitiven
(naiven) Umschreibung:
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von bestimmten
wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens,
welche Elemente der Menge M genannt werden, zu einem Ganzen.
Der Mengenbegriff gilt als der Grundbegriff der Mathematik in dem Sinne, dass sich alle übrigen
mathematischen Begriffe auf der Basis der Begriffe der Menge und der Elementbeziehung exakt
begründen lassen. Dementsprechend ist eine explizite Definition des Begriffs „Menge“ nicht
möglich, denn eine explizite Definition eines Begriffes bedeutet immer, dass dieser Begriff auf
andere (grundlegendere) Begriffe zurückgeführt wird.
Die Beziehung, dass ein Objekt x Element einer Menge M ist, wird ausgedrückt durch:
x M
Beispiele: 3 { a, X, 1, 17, 3, , }
3 { 0, 10 100 }
Die Menge A heißt Teilmenge von M ( A
Element von M ist.
Beispiele:
M = { a, X, 1, 17, 3,
A = { 1, 3, a }
B = { 1, 17, 23, 42 }
M ), wenn jedes Element von A auch
,
}
A
B
Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ( A
die zu A und zu B gehören.
Beispiel:
A = { a, 1, 17}
B = { b, 1, 17, 42 }
B ) ist die Menge aller Elemente,
A
Die Vereinigung zweier Mengen A und B ( A
die zu A oder zu B gehören.
Beispiel:
A = { a, 1, 17}
B = { b, 1, 17, 42 }
M
M
B = { 1, 17 }
B ) ist die Menge aller Elemente,
A
B = { a, b, 1, 17, 42 }
Die Mengendifferenz A − B ist die Menge, die sämtliche Elemente von A enthält, die
nicht in B enthalten sind.
Beispiel:
A = { a, 1, 17}
B = { b, 1, 17, 42 }
A−B={a}
Die Potenzmenge P(M) einer Menge M ist die Gesamtheit aller Teilmengen der
Menge M.
Beispiel:
M = { a, b }
P(M) = { {}, {a}, {b}, {a,b} }
Mengen / Boolesche Algebra
Die Mengenalgebra ist eine Boolesche Algebra.
Menge:
Potenzmenge P(M) einer Grundmenge M
Verknüpfungen:
A
A
Nullelement:
{ } ( leere Menge )
Einselement:
M ( Grundmenge )
Komplement:
A = M − A (Mengendifferenz zur Grundmenge, A P )
B (Durchschnitt, A P, B P)
B (Vereinigung, A P, B P)
Zahlensysteme / Stellenwertsysteme
Zahlen werden allgemein in einem Stellenwertsystem (Positionssystem, polyadischen
Zahlensystem, b-adischen Zahlensystem) als Folge von Ziffern dargestellt. Die
Wertigkeit einer Ziffer hängt von der Stelle ab, an der die Ziffer steht. Man
unterscheidet zwischen ganzen Zahlen (Zahlen ohne Komma) und gebrochenen
Zahlen (Zahlen mit einem Komma).
Der Stellenwert der Position i istdie Potenz bi einer Basis b.
Als Basis kommen natürliche Zahlen größer als 1 in Betracht.
Für die Ziffern zi einer Zahl gilt: 0 zi < b
Ganze Zahlen
zn zn-1 ... z2 z1 z0
Der Wert einer Zahl z errechnet sich wie folgt:
z = znbn+zn-1bn-1+ ... +z2b2+z1b1+z0b0
Gebrochene Zahlen
zn zn-1 ... z2 z1 z0 , z-1 z-2 ... z-m
Der Wert einer Zahl z errechnet sich wie folgt:
z = znbn+zn-1bn-1+ ... +z2b2+z1b1+z0b0+z-1b-1+z-2b-2+ ... +z-mb-m
Beispiele
Basis
Bezeichnung
Ziffern
2
Dualsystem
0, 1
8
Oktalsystem
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10
Dezimalsystem
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
16
Hexadezimalsystem
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,
F
Ist zweifelhaft, in welchem Zahlensystem eine Zahl dargestellt ist, fügt man die Basis
in Klammern der Zahl als Index an.
Beispiele: 101(2) 101(10) 101(16) 41(10) 41(16)
Zahlensysteme / Konvertierung positiver ganzer Zahlen
Bei der Umwandlung von Zahlen zwischen verschiedenen Stellenwertsystemen muss
man unterscheiden:
Gegeben ist die Darstellung eine Zahl in einem fremden Zahlensystem,
d.h. es ist eine Ziffernfolge gegeben. Gesucht ist die Zahl im eigenen
Zahlensystem, in dem die Berechnungen ausgeführt werden.
Gegeben ist eine Zahl eigenen Zahlensystem, in dem Berechnungen
ausgeführt werden (können). Gesucht ist die Ziffernfolge der Darstellung
dieser Zahl in einem fremden Zahlensystem.
In den folgenden Beispielen werden die Berechnungen im Dezimalsystem, also in dem
System, in dem wir Menschen rechnen, durchgeführt. Dieses System ist das daher das
eigene Zahlensystem.
Konvertierung in das eigene Zahlensystem
Die Zahl wird entsprechend der Definition des Stellenwertsystems berechnet.
Multiplikation der Ziffern zi mit bi und Addition der Werte
z = znbn+zn-1bn-1+ ... +z2b2+z1b1+z0b0
Beispiel:
1011(2) = 1*23 + 0*22 + 1*21+ 1*20 = 11
Fortgesetzte Multiplikation der Werte mit b und Addition der Ziffern zi
z = ((…(znb + zn-1)b ... +z2)b + z1)b + z0
Beispiel:
1011(2) = ((1*2 + 0)*2 +1)*2 +1 = 11
Konvertierung in ein fremdes Zahlensystem
Division durch bi
Durch wiederholte ganzzahlige Division durch bi mit Restbildung und weitere
Verarbeitung des Restes erhält man die Werte der Ziffern im fremden Zahlensystem
von der höchstwertigen zur niedrigstwertigen Ziffer.
z = znbn+zn-1bn-1+zn-2bn-2+ ... +z2b2+z1b1+z0b0
Die ganzzahlige Division von z durch bn ergibt:
zn mit dem Rest zn-1bn-1+zn-2bn-2+ ... +z2b2+z1b1+z0b0
Die ganzzahlige Division des Rests durch bn-1 ergibt:
zn-2 mit dem Rest zn-2bn-2+ ... +z2b2+z1b1+z0b0
u.s.w.
bis zur ganzzahligen Division des Rests durch b0 . Diese ergibt:
z0 mit dem Rest 0
Beispiel:
11
3
3
1
div
div
div
div
8
4
2
1
=
=
=
=
1
0
1
1
Rest
Rest
Rest
Rest
3
3
1
0
Ergebnis: 1011(2)
Division durch b
Durch wiederholte ganzzahlige Division durch b mit Restbildung und weitere
Verarbeitung des Quotienten erhält man die Werte der Ziffern im fremden
Zahlensystem von der niedrigstwertigen zur höchstwertigen Ziffer.
z = znbn+zn-1bn-1+zn-2bn-2+ ... +z2b2+z1b1+z0b0
Die ganzzahlige Division von z durch b ergibt:
znbn-1+zn-1bn-2+ ... +z2b1+z1b0 mit dem Rest z0
Die ganzzahlige Division von des Quotienten durch b ergibt:
znbn-2+zn-1bn-3+ ... +z2b0 mit dem Rest z1
u.s.w.
bis das Ergebnis 0 ist. Der Rest ist dann zn
Beispiel:
11
5
2
1
div
div
div
div
2
2
2
2
=
=
=
=
5
2
1
0
Rest
Rest
Rest
Rest
1
1
0
1
Ergebnis: 1011(2)
Codierung / Begriffe
Zeichen (character)
Ein Element aus einer zur Darstellung von Information vereinbarten
endlichen Menge von verschiedenen Elementen.
Zeichenvorrat (character set)
Eine Menge von Zeichen.
Alphabet (alphabet)
Ein in vereinbarter Reihenfolge geordneter Zeichenvorrat.
Wort (word)
Eine Folge von Zeichen, die in einem bestimmten Zusammenhang als
Einheit betrachtet wird.
Ziffer (digit)
Ein Zeichen, das eine Zahl repräsentiert.
binär (binary)
Genau zwei Werte fähig; die Eigenschaft bezeichnend, ein Binärzeichen
als Wert anzunehmen.
Binärzeichen (binary element, binary digit)
Jedes Zeichen aus einem Zeichenvorrat von zwei Zeichen. Kurz-form:
Bit.
Code (code)
1. Eine Vorschrift für die eindeutige Zuordnung (Codierung) der Zeichen
eines Zeichenvorrats zu denjenigen eines anderen Zeichenvorrats
(Bildmenge).
2. Der als Bildmenge auftretende Zeichenvorrat.
Die Zeichen der Bildmenge können selbst Wörter aus Elementen eines
anderen Zeichenvorrats sein.
ASCII - Tabelle
Code
Zeichen
Code
Zeichen
Code
Zeichen
Code
Zeichen
000 0000
NUL
010 0000
SP
100 0000
@
110 0000
`
000 0001
SOH
010 0001
!
100 0001
A
110 0001
a
000 0010
STX
010 0010
''
100 0010
B
110 0010
b
000 0011
ETX
010 0011
#
100 0011
C
110 0011
c
000 0100
EOT
010 0100
$
100 0100
D
110 0100
d
000 0101
ENQ
010 0101
%
100 0101
E
110 0101
e
000 0110
ACK
010 0110
&
100 0110
F
110 0110
f
000 0111
BEL
010 0111
'
100 0111
G
110 0111
g
000 1000
BS
010 1000
(
100 1000
H
110 1000
h
000 1001
HT
010 1001
)
100 1001
I
110 1001
i
000 1010
LF
010 1010
*
100 1010
J
110 1010
h
000 1011
VT
010 1011
+
100 1011
K
110 1011
k
000 1100
FF
010 1100
,
100 1100
L
110 1100
l
000 1101
CR
010 1101
-
100 1101
M
110 1101
m
000 1110
SO
010 1110
.
100 1110
N
110 1110
n
000 1111
SI
010 1111
/
100 1111
O
110 1111
o
001 0000
DLE
011 0000
0
101 0000
P
111 0000
p
001 0001
DC1
011 0001
1
101 0001
Q
111 0001
q
001 0010
DC2
011 0010
2
101 0010
R
111 0010
r
001 0011
DC3
011 0011
3
101 0011
S
111 0011
s
001 0100
DC4
011 0100
4
101 0100
T
111 0100
t
001 0101
NAK
011 0101
5
101 0101
U
111 0101
u
001 0110
SYN
011 0110
6
101 0110
V
111 0110
v
001 0111
ETB
011 0111
7
101 0111
W
111 0111
w
001 1000
CAN
011 1000
8
101 1000
X
111 1000
x
001 1001
EM
011 1001
9
101 1001
Y
111 1001
y
001 1010
SUB
011 1010
:
101 1010
Z
111 1010
z
001 1011
ESC
011 1011
;
101 1011
[
111 1011
{
001 1100
FS
011 1100
<
101 1100
\
111 1100
|
001 1101
GS
011 1101
=
101 1101
]
111 1101
}
001 1110
RS
011 1110
>
101 1110
^
111 1110
~
001 1111
US
011 1111
?
101 1111
_
111 1111
DEL
ASCII - Tabelle / Sonderzeichen
Code
Zeichen Abkürzung für
Bedeutung
000 0000
NUL
Null
Füllzeichen
000 0001
SOH
Start of Heading
Anfang des Kopfes
000 0010
STX
Start of Text
Anfang des Textes
000 0011
ETX
End of Text
Ende des Textes
000 0100
EOT
End of Transmission
Ende der Übertragung
000 0101
ENQ
Enquiry
Stationsaufforderung
000 0110
ACK
Acknowledge
Positive Rückmeldung
000 0111
BEL
Bell
Klingel
000 1000
BS
Backspace
Rückwärtsschritt
000 1001
HT
Horizontal Tabulation
Horizontal-Tabulator
000 1010
LF
Line Feed
Zeilenvorschub
000 1011
VT
Vertical Tabulation
Vertikal-Tabulator
000 1100
FF
Form Feed
Formularvorschub
000 1101
CR
Carriage Return
Wagenrücklauf
000 1110
SO
Shift Out
Dauerumschaltung
in andere Codetabelle
000 1111
SI
Shift In
Rückschaltung
in Standardcode
001 0000
DLE
Data Link Escape
Datenübertragungsumschaltung
001 0001
DC1
Device Control 1
Gerätesteuerung 1
001 0010
DC2
Device Control 2
Gerätesteuerung 2
001 0011
DC3
Device Control 3
Gerätesteuerung 3
001 0100
DC4
Device Control 4
Gerätesteuerung 4
001 0101
NAK
Negative Acknowledge Negative Rückmeldung
001 0110
SYN
Synchonous Idle
Synchronisierung
001 0111
ETB
End of Transmission
Block
Ende des Übertragungsblocks
001 1000
CAN
Cancel
Ungültig, Abbruch
001 1001
EM
End of Medium
Ende der Aufzeichnung
001 1010
SUB
Substitute
Austausch eines Zeichens
001 1011
ESC
Escape
Umschaltung
001 1100
FS
File Separator
Hauptgruppen-Trennung
001 1101
GS
Group Separator
Gruppen-Trennung
001 1110
RS
Record Separator
Untergruppen-Trennung
001 1111
US
Unit Separator
Teilgruppen-Trennung
010 0000
SP
Space
Zwischenraum, Leerzeichen
111 1111
DEL
Delete
Löschen, Entfernen