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FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.2140
Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
von Staats sekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
Dr. Otto Schafmeister
Fachbereich Mathematik an der Universität Münster
Referent: Prof Dr. Dr. h. c. Dr. h. c. Heinrich Behnke
Differenzierbare Räume
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
ISBN 978-3-663-06241-7
ISBN 978-3-663-07154-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07154-9
Verlags-Nr.012140
© 1970 by Springer Fachrnedien Wiesbaden
Ursprünglich erschienen bei Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen 1970
Gesamtherstellung : Westdeutscher Verlag·
Inhalt
Einleitung .............................................................
5
Kapitel I: Globale Einbettung differenzierbarer Räume
§ 1 Differenzierbare Unterräume des IRn ...................................
§ 2 Tangenten an differenzierbare Unterräume des IR. n und Differentiale von
7
Abbildungen .......................................................
12
16
18
21
§ 3 k-differenzierbare Räume und differenzierbare Abbildungen ...............
§ 4 Einbettung differenzierbarer Räume in den IR.(n+l)2 . . . • • . . . • • • . . . . . • . . • • .
§ 5 Einbettung differenzierbarer Räume in den IR.2n+l . . . . . . . . . • • • . . . • . • . . . • •
Kapitel II: Differenzierbare Abbildungen und topologische Dimension
§ 1 Differenzierbare Abbildungen von Mannigfaltigkeiten ....................
§ 2 Differenzierbare Abbildungen differenzierbarer Räume. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
§ 3 Differenzierbare und holomorphe Abbildungen komplexer Räume .........
27
31
32
Literaturverzeichnis .....................................................
38
3
Einleitung
Der Begriff des differenzierbaren Raumes wurde von K. SPALLEK in [11] eingeführt. Es
handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung des Begriffs der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, ähnlich wie komplexe Mannigfaltigkeiten durch komplexe Räume verallgemeinert werden. Ferner besteht eine Verbindung zur Funktionentheorie dadurch, daß
sich jeder komplexe Raum in natürlicher Weise als differenzierbarer Raum auffassen läßt.
Dadurch lassen sich gewisse Ergebnisse aus der Theorie der differenzierbaren Räume auf
komplexe Räume anwenden.
Ein Paar D = (X, d) heißt k-differenzierbarer Unterraum des IRn, wenn Xc IRn
eine Teilmenge ist und d eine Garbe über X, die dadurch entsteht, daß man die Garbe
~k der Keime von Ck-Funktionen im IRn auf X einschränkt und dann durch eine
Idealuntergarbe ß dividiert, die folgende Eigenschaften hat:
a) ßx=l=~~,
b) ß x ' ~~-1 n ~~
=
ß
x
(für alle x EX).
(Die Bedingung b) muß aus gewissen beweistechnischen Gründen gefordert werden und
ist in vielen Fällen von selbst erfüllt.)
Sind D = (X, d) und D' = (X', d') k-differenzierbarer Unterräume des IRn bzw.
des IR m, so heißt ein Paar f = (f,1 *) eine k-differenzierbare Abbildung von D in D',
wenn 1: X ---+ x' eine stetige Abbildung ist und 1 * :1 -1 (d') ---+ dein Garbenhomomorphismus derart, daß 1 und 1* lokal durch Ck-Abbildungen IRn ---+ IRm
»induziert« werden. Allgemeine k-differenzierbare Räume entstehen dann durch »Verklebung« von k-differenzierbaren Unterräumen irgendwelcher IR n mittels Diffeomorphismen, und entsprechend wird der Begriff der k-differenzierbaren Abbildung für beliebige k-differenzierbare Räume erweitert.
Kapitel I dieser Arbeit behandelt die Frage nach der Existenz globaler Einbettungen
eines k-differenzierbaren Raumes in einen euklidischen Zahlenraum IR m.
Die Paragraphen 1, 2 und 3 enthalten grundlegende Definitionen und Tatsachen. Vieles
davon findet man - mit kleinen, mehr formalen Unterschieden - bereits in [11].
In Paragraph 4 wird gezeigt, daß sich jeder k-differenzierbare Raum D, dessen lokale
Einbettungsdimension durch n beschränkt ist, in den IR(n+1)2 einbetten läßt (4.7). Dies
ist eine Verallgemeinerung eines entsprechenden Satzes für n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten, den W. Bos in [1] bewiesen hat. Im Falle k ~ 2 existiert sogar
eine Einbettung von D in den IR2n+1. Das wird in § 5 mit Hilfe der Ergebnisse aus § 4
bewiesen (5.11). Damit ist der bekannte Einbettungssatz von WHITNEY für differenzierbare Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. Gleichzeitig ist das Resultat Verallgemeinerung
eines entsprechenden Einbettungssatzes, den K. SPALLEK in [11] mit anderen Methoden
für eine sehr viel speziellere Klasse differenzierbarer Räume bewiesen hat.
In Kapitel II werden differenzierbare Abbildungen von differenzierbaren Räumen
untersucht; insbesondere Zusammenhänge zwischen dem Rang solcher Abbildungen
und der topologischen Dimension der Bildmenge.
§ 1 beschäftigt sich mit Ck-Abbildungen F: M ---+ N zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Es ergeben sich zwei Hauptresultate (1.13 und 1.12):
(i) Bezeichnet B r die Menge derjenigen Punkte von M, in denen F einen Rang ~ r hat,
so gilt: dirn F(B r ) ~ r.
(ii) Es ist dirn F(M) gleich dem Maximum des Ranges von F in M.
5
Die Aussagen (i), (ii) gelten nur unter gewissen Voraussetzungen über den Grad k der
Differenzierbarkeit.
In § 2 wird das obige Ergebnis (i) auf k-differenzierbare Abbildungen f = (j,f*) : A -+ A'
zwischen differenzierbaren Räumen A = (X, d), A' = (X', d') übertragen (2.2).
Hieraus gewinnt man dann folgende Aussage (2.5): Bezeichnet K die Menge der kritischen Punkte von f, d. h. die Menge aller x E X mit rangx f < dim/(x) X', so liegt
X' - f(K) dicht in X' (falls k groß genug ist). Dieses Resultat läßt sich als Verallgemeinerung eines Satzes von K. SPALLEK deuten, der in [11] zeigt, daß f(K) das
Lebesgue-Maß Null hat, falls A' eine Mannigfaltigkeit ist. Das Ergebnis von SPALLEK
wiederum ist eine Verallgemeinerung des bekannten Satzes von SARD (siehe [9]).
In § 3 werden differenzierbare Abbildungen zwischen komplexen Räumen untersucht.
Es wird ein neuer Rangbegriff eingeführt, der besondere Rücksicht auf die singulären
Punkte des Urbildraumes nimmt. Damit lassen sich die obigen Ergebnisse (i) und (ii)
auf differenzierbare Abbildungen komplexer Räume (3.6 und 3.7) übertragen. Eine Anwendung der Resultate auf holomorphe Abbildungen f: X -+ Yergibt den bereits von
R. REMMERT und K. STEIN mittels funktionentheoretischer Methoden in [8] bewiesenen
Satz, daß die topologische Dimension von f (X) doppelt so groß ist, wie das Maximum
des komplexen Ranges von f (3.10). Ein weiteres Beispiel für die Anwendbarkeit der
Ergebnisse in der komplexen Analyis ist schließlich der Satz, daß eine abgeschlossene
holomorphe Abbildung eines komplexen Raumes in einen irreduziblen komplexen
Raum bereits dann surjektiv ist, wenn die Bildmenge innere Punkte besitzt (3.11).
Ich danke Herrn Professor Dr. Dr. h. c. Dr. h. c. H. BEHNKE für die Arbeitsmöglichkeit
in seinem Institut sowie für sein freundliches Interesse an meiner Arbeit und Herrn
Dozenten Dr. K. SPALLEK für wertvolle Anregungen und Ratschläge.
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KAPITEL
I
Globale Einbettung differenzierbarer Räume
§ 1 Differenzierbare Unterräume des IRn
Es sei [gk = [gk (lR n) die Garbe der Keime von Ck- Funktionen im IR n (k = 1,2, ... ,00).
Für x E IR n ist der Halm [g~ eine lokale, nicht noethersche IR-Algebra, deren maximales
Ideal mx aus den Keimen derjenigen Funktionen besteht, die im Punkte x verschwinden.
Ist X C IR n eine Teilmenge, so bezeichne [gk (X) die Einschränkung von [gk auf X
und rex, [gk) die IR-Algebra der (stetigen) Schnitte über X in [gk.
1.1 Lemma: Jeder Schnitt aus rex, [gk) läßt sich zu einem Schnitt über einer geeigneten offenen Umgebung von X fortsetzen.
Beweis: Vergleiche [5], p. 7, Theorem 1.5.
1.2: Es sei!?f eine Garbe von Ringen mit Einselement über dem topologischen Raum
X, so daß der Einsschnitt st::tig ist. Für SE r(X,!?f) definieren wir Tr s: = abgeschlossene Hülle von {x EX; sex) =1= O} als den Träger von s. Ist {Ui , i EI} eine offene
Überdeckung von X, so heißt im System {Si E rex, !?f); i E I} eine Partition der Eins
in!?f bzgl. {Ud, wenn gilt:
a) Tr Si C Ui ;
b) {Tr Si; i E I} ist ein lokalendliches System;
c) L Si = 1 = Einsschnitt in !?f.
iEl
1.3 Lemma: In [gk(X) gibt es bzgl. jeder offenen Über deckung von X ein Partition
der Eins.
Beweis: Sei {Ui ; i E I} eine vorgegebene offene Über deckung von X. Dann gibt es
offene Mengen Vi C IR n mit Vi n X = Ui . Sei U: = U Vi. Da U eine offene TeiliEI
menge des IRn ist, gibt es nach bekannten Sätzen der Differentialtopologie bzgl. der
offenen Überdeckung {Vi} von U eine Partition {Si; i E I} der Eins in [gk (U). Dann ist
{Si I X; i E I} eine Partition der Eins in [gk (X) bzgl. {Ui }.
1.4: Sei q; eine Garbe von abelschen Gruppen über einem parakompakten Hausdorffraum X. Ist 1) : q; --:>- q; ein Garbenhomomorphismus, so versteht man unter dem
Träger von 1) (Tr 1)) die abgeschlossene Hülle der Menge aller Punkte x E X, für die der
induzierte Homomorphismus 1)x: q; x --:>- q; x vom Nullhomomorphismus verschieden ist.
q; heißt fein, wenn es zu jeder lokalendlichen offenen Überdeckung {Ui ; i E I} von X
Garbenhomomorphismen 1)i : q; --:>- q; gibt, so daß gilt:
a) Tr 1)i C Ui ;
b)
L 1)i =
identische Abbildung von q;.
iEl
Jede feine Garbe q; über X ist weich, d. h. Schnitte über abgeschlossenen Teilmengen
von X lassen sich stets zu Schnitten über X in q; fortsetzen ([2], p. 175, Lemma 7).
1.5: Ist!?f eine Garbe von Ringen mit Eins über dem parakompakten Hausdorffraum X
und gibt es bzgl. jeder offenen Überdeckung von X eine Partition der Eins in!?f, so ist
jede Idealuntergarbe f von !?f fein.
7
Beweis: Sei {Ut ; i E I} eine lokalendliche Überdeckung von X und J C [JIl eine
Idealuntergarbe. Zu {Ut } gibt es eine Partition der Eins {Si E reX, [JIl); i E I}. Man
betrachte die Abbildungen
~i : [JIl --+ [JIl
(Xx 1--+ Si (x)
. (Xx,
Da J x ein Ideal in [JIlx ist, liegt mit (Xx auch Si (x) . (Xx in J x. Folglich induzieren die ~t
Garbenhomomorphismen (bzgl. der additiven Struktur) ~i : J --+ J. Nach Konstruktion gilt:
1.6 Korollar:
a) Jede Idealuntergarbe J C
b) ~k(X) ist fein.
~k(X),
Xc lR.n , ist fein.
Beweis: Die Behauptung folgt aus 1.3 und 1.5.
1.7 Korollar: Ist J C
Schnittalgebren
~k(X)
eine Idealuntergarbe, so ist die kanonische Sequenz der
o--+r(X, J) --+r(X, ~k(X)) --+r(X, ~k(X)jJ) --+ 0
exakt.
Beweis: Nach 1.6 ist J fein und folglich verschwindet Hq(X, J) für q ~ 1 (vgl. [2],
p.176).
1.8 Lemma: Sei Je P)k(X) eine Idealuntergarbe. Zu jeder offenen Überdeckung
gibt es eine Partition der Eins in P)k(X)jJ.
Beweis: Zu jeder offenen Überdeckung {Ui} von X existiert nach 1.3 eine Partition
der Eins {st} in qk(X). Die Bilder der Schnitte Si in der Quotientengarbe ~k(X)jJ
stellen dann eine Partition der Eins in ~k (X)jJ dar.
1.9 Korollar: Es sei J C ~k(X) eine Idealuntergarbe und AC U C X, A abgeschlossen und U offen (bzgl. X). Dann existiert ein S Er(X, P)k(X)jJ), so daß gilt:
sex) = 1x für alle
x
E
A,
Tr S C U.
Beweis: Es ist {U, X - A} eine offene Überdeckung von X. Nach 1.8 existieren
Schnitte s, t Er(X, !!)k(X)jJ) mit Tr se U, Tr teX - A und s t = 1. Für
XE A ist tex) = Ox und folglich sex) = 1x .
+
1.10 Korollar: Ist J C !!)k(X) eine Idealuntergarbe, so ist die Garbe !!)k(X)jJ fein.
Beweis: Die Behauptung folgt aus 1.5 und 1.8.
1.11: Istd eine Garbe von lR.-Algebren über dem topologischen Raum X (mit stetigem
Einsschnitt), so soll das Paar (X, d) ein reell-geringter Raum heißen; d heißt die Strukturgarbe des Raumes.
Sind A = (X, d) und B = (Y, E?ß) reell-geringte Räume, so soll ein Paar f = (J,f *)
ein Morphismus von A in B heißen, wenn gilt:
a) f:X --+ Y ist eine stetige Abbildung;
b) f* :f-l(:Jß) --+d ist ein Garbenhomomorphismus (von lR.-Algebren), der den
Einsschnitt in den Einsschnitt überführt.
8
Dabei bezeichne j -1 (gß) das Garbenurbild von gß vermöge f Es ist j -1 ein Funktor
von der Kategorie der Garben über Y in die Kategorie der Garben über X.
Sei im folgenden f = (j,j *) : A ~ Bein Morphismus reell-geringter Räume.
1.12: Für X' C X induziertj* einen Homomorphismus
j)(, : r(j (X'),
gß) ~
r(X ' d),
der gegeben wird durch
(j)(/(S)) (x): = j*(s(j(x))), x
Insbesondere hat man für x
j;: gß!(X)
E
E
X', s Er(j(X'), !Jß).
X Algebrahomomorphismen
~dx.
1.13: Unter der Einschränkung von A auf die Teilmenge X' C X versteht man den
geringten Raum A 1X': = (X', d 1X'). Dann ist f 1X': = (jl X',j * 1(jl X')-1(~))
ein Morphismus von AI X' in B und heißt die Einschränkung von f auf x'.
1.14: Ist C = (Z, '6') ein weiterer reell-geringter Raum und 9 = (g, g*) ein Morphismus von B in C, so definiert man die Verknüpfung gof: A ~ C wie folgt:
gof:
(g 0 j, j* 0 j
=
-1
(g*)).
Dabei istj* 0 j-l (g*) in folgender Weise als Garbenhomomorphismus von (g 0 j)-1('C)
nach d aufzufassen:
(g 0 j)-1 ('6') = j
-1 (g-1
('6'))
r
1
(~1 j
-1 (gß)
L
d.
Damit wird die Klasse der reell-geringten Räume zu einer Kategorie. Der identische
Morphismus von A = (X, d) hat die Gestalt idA = (idx , idJiV')' wobei idJiV': (idx )-1(d)
= .<:1 ~ d der identische Garbenhomomorphismus von d ist.
Es gilt für x
h*x
E
=
X und gof = : 1) = (h, h*):
j*x
0
*
gf(x)'
1.15 Definition: Sei X C ]Rn und
alle x E X gilt:
a) J
b) J
x
Je !!2 k (X)
eine Idealuntergarbe derart, daß für
=!= !!2~
x •
!!2~-1 !l!!2~ = J x '
Dann heißt der reell-geringte Raum D
raum des ]Rn.
=
(X, !!2 k (X)jJ) ein k-differenzierbarer Unter-
m
Die Bedingung b) besagt: Ist
IX =
L
)'i' ßi
mit
ßi E
J x,
)'i E
!!2~-1 und gilt IX E !!2~,
i~l
so folgt IX E .ß x. Diese Bedingung wird in vielen späteren Beweisen benutzt und deshalb von vornherein axiomatisch gefordert. Sie ist im Falle k = (X) stets erfüllt.
Ein weiterer k-differenzierbarer Unterraum D' = (X', !!2 k (X')jJI) des ]Rn heißt ein
k-differenzierbarer Unterraum von D, wenn gilt:
X' C X
und
J~ J.ß x
für alle
x E
X'.
In diesem Sinne ist Dein Unterraum von (]Rn, !!2 k (]Rn)jO)
ist z. B. D 1 X' Unterraum von D.
=
(]Rn,
!!2 k )
=
]Rn.
Ferner
9
1.16 Spezialfälle: Setzt man ß = 0 (Nullgarbe über X), so erhält man den k-differenzierbaren Raum (X, !!J1e (X)). Ist ß = ß (X) die Garbe der auf X verschwindenden
k-differenzierbaren Funktionskeime, so heißt (X,!!J 1e (X)(ß (X)) der Zu X gehiirige
reduzierte k-differenzierbare Raum. Für jede Idealgarbe ß C !!J1e (X), die obiger Bedingung
a) genügt, gilt: 0 C ß C ß(X). Ist U C IRn offen, so gibt es genau einen k-differenzierbaren Unterraum des IRn, der U als Trägermenge hat, nämlich (U, !!J1e(U)).
1.17 Definition: Sei D = (X, !!J1e(X)(ß) ein k-differenzierbarer Unterraum des IRn.
Ein Morphismus reell-geringter Räume f = (j,j*) von D in (IRm, !!J1e(IRm)) heißt
eine k-differenzierbare Abbildung von D in den IRm, wenn es zu jedem x E X eine Umgebung U im IRn gibt und eine CIe-Abbildung F: U --+ IRm, so daß f IU n X von F
induziert wird, d. h. so daß gilt:
a) fIUnX=FIX;
b) f:
(O:y)
=
O:y
0
Fx
für alle
XE U n X,
O:y E !!J~(IRm),
Y = f (x).
Dabei bedeutet F x den Keim der Abbildung F im Punkte x und der Querstrich die
Restklassenbildung modulo ß x.
Ist X' C X und f: D --+ IR meine k-differenzierbare Abbildung im obigen Sinne, so
auch fl X': DIX' --+ IRm.
1.18 Lemma: Es bezeichne Mor (D, IRm) die Menge aller k-differenzierbaren Abbildungen von D in den IRm undYl, ... ,Ym E r(IRm,!!J 1e (IRm)) seien die Koordinatenfunktionen im IR m. Folgende Abbildung ist bijektiv:
1fJ: Mor (D, IRm) --+r(X, !!J1e(X)(ß)m
f=
(J,f *) 1--+ (j * (Yl), .. . ,j * (Ym))·
Die Abbildung 1fJ ist mit der Einschränkungsabbildung verträglich, d. h. für X' C X
gilt: 1fJ(fIX') = 1fJ(ÜIX'.
Beweis: a) Injektivität: Seien
f(xo) =g(xo)
f, gE Mor(D, IRm)
und f: o =g:o
mit 1fJ(f)
=
1fJ(g). Zu zeigen ist:
für alle Xo EX.
Es gibt eine Umgebung U von Xo im IRn und CIe-Abbildungen F = (Fl, ... , Fm),
G = (GI, ... , Gm): U --+ IRm, durch die f IU n X bzw. gl U n X induziert werden.
Nach Voraussetzung gilt:
(F;o' ... , pr:J
= 1fJ(f)
(xo)
=
1fJ(g) (xo)
= (G~o'
... , G;J.
Hieraus erhält man F~o - G~o Eß xo C m xo C !!J~o' und daraus folgt Fi(xo) = O(xo),
1:::;;i:::;;m, also f(xo) =F(xo) = G(xo) =g(xo)· Sei Yo:=f(xo)=g(xo) und
O:Yo E !!J~o (IR m). Zu zeigen ist f: o(O:Yo) = g:o (O:yJ Es sei 0: (Yl, ... ,Ym): W --+ IR ein
Repräsentant von O:Yo in einer offenen konvexen Umgebung W von Yo' Dann ist
V: = p-l (W) n G-l (W) eine Umgebung von Xo im IRn und ß(x, t): = G(x)
t(F(x) - G(x)) eine Ck-Abbildung von Vx [0,1] in W. Für x E V gilt:
+
(0: 0 F) (x) - (0: 0 G) (x)
J0(0:
=
o:(ß(x, 1)) - 0: (ß (x, 0))
J L 00:
1 1 m
=
o
=
10
0
ß) (x, t) dt
ot
L (Fi i~l
m
=
0
Gi) (x) . hi(x)
(ß(X, t)) . (Fi(x) - O(x)) dt
i~l 0Yi
mit
.
h'(x):
00:
J-°Yi
(ß(x, t)) dt.
1
=
0
Es folgt:
m
IX Yo
0
F xo
-
IX Yo
0
G XO =
L
i 1
(F~" -
G~o) h~o'
~
wobei
(siehe oben) und
i
hXo
E
H
91Xo
.
N ach Bedingung b) in 1.15 erhält man hieraus
also
b) Surjektivität: Sei (Sl' ••. , sm) Er(X, 91k (X)(J)m vorgegeben. Nach 1.1 und 1.7
gibt es eine offene Umgebung U von X im IR n und eine Ck-Abbildung
F = (F!, ... , Fm): U
---+
IR m,
so daß für x E X gilt: si (x) = F~ (1 ~ i ~ m). Die Abbildung F induziert eine kdifferenzierbare Abbildung f : D ---+ IR m, für die nach Konstruktion gilt:
1.19 Korollar: a) Jede k-differenzierbare Abbildung f: D ---+ IRm wird bereits von
einer einzigen Ck-Abbildung (global) induziert, d. h. es gibt eine Umgebung U von
X im IRn und eine Ck-Abbildung F: U ---+ IRm, durch die f induziert wird.
b) Zwei Ck-Abbildungen F, G: U ---+ IRm, wo U eine offene Umgebung von X im
IRn ist, induzieren genau dann dieselbe k-differenzierbare Abbildung D ---+ IRm, wenn
für alle x E X gilt:
Beweis: Die Behauptungen ergeben sich aus 1.18 und aus dessen Beweis.
1.20 Definition: Es seien D = (X, 91 k (X)(J) und D' = (X', 91 k (X')(J') k-differenzierbare Unterräume des IR n bzw. des IR mund f = (f, f *) : D ---+ IR meine kdifferenzierbare Abbildung. Gilt feX) C X' und f; (lXy) = 0 für alle x E X, lXy E J~,
Y = f (x), so induziert f * in kanonischer Weise einen Garbenhomomorphismus
f *: f- 1 (91 k (X')(J')
---+ 91 k (X)(f
Der Morphismus reell-geringter Räume (f,J *) : D
bare Abbildung von D in D'.
---+
D' heißt dann eine k-differenzier-
1.21: Aus 1.19, a) folgt: Ein Morphismus reell-geringter Räume (f,f *) : D ---+ D' ist
genau dann eine k-differenzierbare Abbildung, wenn er (global) durch eine Ck-Abbildung induziert wird, d. h. wenn es eine offene Umgebung U von X im IRn gibt und
eine Ck-Abbildung F: U ---+ IRm, so daß gilt:
a)f=FIX;
b) ßyoFxEJx füralle XEX, ßyEJ~,y=F(x);
c) f: (~) = ~y 0 F x für alle x E X, lX y E 91; (IRm), y = fex).
Jede Ck-Abbildung F: U ---+ IRm, Xc U, U offen im IRn, mit der Eigenschaft
F(X) C X' und mit der Eigenschaft b) induziert eine k-differenzierbare Abbildung
(f, f *) : D ---+ D', wobei f = F I X und wobei f * durch c) gegeben wird.
11
1.22: Sind f: D ~ D' und g: D' ~ D" k-differenzierbare Abbildungen, so ist auch
der Morphismus gof: D ~ D" eine k-differenzierbare Abbildung. Werden nämlich f
und 9 durch Ck-Abbildungen Fbzw. G induziert, so wird gof durch die Ck-Abbildung
GoF induziert. Der identische Morphismus idn : D ~ D ist differenzierbar; er wird
durch die Ck-Abbildung i dIRn induziert. Damit wird die Klasse aller k-differenzierbaren
Unterräume irgendwelcher IR n zusammen mit den k-differenzierbaren Abbildungen
solcher Unterräume zu einer Kategorie.
1.23 Definition: Es sei f = (j,j*): D ~ D' eine k-differenzierbare Abbildung,
D = (X, !?)k(X)jß), D' = (X', !?)k(X')jß'). Dann heiße f
a) regulär in x, x E X, wennj; surjektiv ist;
b) eine Immersion, wenn f für alle x E X in x regulär ist;
c) eine Einbettung, wenn f eine Immersion und j: X ~ j(X) ein Homöomorphismus
ist.
d) ein Diffeomorphismus, wenn f ein Isomorphismus in der Kategorie der k-differenzierbaren Unterräume ist, d. h. wenn es eine k-differenzierbare Abbildung 9 : D' ~ D
gibt mit gof = idn , fog = idnl; 9 ist dann eindeutig bestimmt, wir schreiben
9 = f- 1 .
Ist D' ein k-differenzierbarer Unterraum von D, so ist die durch idlRn induzierte kanonische k-differenzierbare Abbildung D' ~ Deine Einbettung.
1.24: Seien f: D ~ D' und g: D' ~ D" k-differenzierbare Abbildungen. Dann gilt:
Ist f regulär in x und 9 regulär in j (x), so ist gof regulär in x. Sind fund 9 Einbettungen, so ist auch gof eine Einbettung.
§ 2 Tangenten an differenzierbare Unterräume des IRn
und Differentiale von Abbildungen
2.1 Definition: Sei D = (X, !?)k(X)jß) ein k-differenzierbarer Unterraum des IRn
und x E X. Dann heißt:
Tx(D):={YEIRn;
dIXx(Y)=O
füralle
IXxEßx}
der Tangentialraum an D in x. Es ist Tx(D) C IRn ein Untervektorraum. Seine Elemente
heißen Tangentialvektoren an D in x, seine Dimension heißt Tangentialdimension von D in x.
Für Ck-Untermannigfaltigkeiten des IRn, versehen mit der zugehörigen reduzierten
Strukturgarbe, stimmt diese Definition des Tangentialraumes mit der üblichen überein.
Ist D' = (X', !?)k(X')jß') ein k-differenzierbarer Unterraum von D, so ist Tx(D') ein
Untervektorraum von Tx(D), x EX'.
2.2 Lemma: Sei D = (X, !?)k(X)jß) ein k-differenzierbarer Unterraum des IRn,
x E X und m = dim Tx(D) die Tangentialdimension von D in x. Dann gibt es eine
Umgebung U von x im IR n und eine m-dimensionale Ck-Untermannigfaltigkeit M von
U, so daß D IU 11 X ein k-differenzierbarer Unterraum von Mist (M aufgefaßt als
reduzierter Unterraum des IR n).
Beweis: Man betrachte die lineare Abbildung
L: ß x ~ IRn,
IXx
I~
dIXx.
Der Vektorraum L(ßx ) ist das orthogonale Komplement von TAD) bzgl. des natürlichen Skalarprodukts im IRn, und folglich gilt dirn L(ßx ) = n - m. Ohne Ein12
schränkung darf man m < n annehmen (im Falle m = n setzt man M = 1Rn). Sei
{bj; m 1 ~j ~ n} eine Basis von L(JJ. Dann gibt es Funktionskeime ß~ EJx mit
dß~ = bj . Man wähle in einer Umgebung V von x Repräsentanten ßj von ßL so daß
für alley EVn X gilt: ßt EJy , also insbesondere ßi(y) = O. Da die bj linear unabhängig sind, hat die Funktionalmatrix der Abbildung (ßm+i, ... , ßn): V ~ 1Rn- m im
Punkte x den Rang n - m. Es gibt deshalb eine offene Umgebung U von x, U C V,
und Ck-Funktionen ßi, ... , ßm auf U, so daß durch ßi, ... , ßm, ßm+l, ... , ßn in U
neue differenzierbare Koordinaten gegeben sind. Insbesondere wird durch die Gleichung ßm+l = ... = ßn = 0 eine m-dimensionale Ck-Untermannigfaltigkeit M von
U definiert. Für y EX n U gilt ßi(y) = 0, m
1 ~ j ~ n, also folgt X n U C M.
Bleibt zu zeigen: J(M)y C J y füry EX n U(J(M) = Garbe der auf M verschwindenden Ck-Funktionskeime). Sei lXy E J (M)y und IX ein Repräsentant von lXy • Da die
Funktion IX in einer Umgebung vony auf M verschwindet, läßt sie sich bzgl. der Koordinaten ßj lokal in der folgenden Form entwickeln:
+
+
IX
=
n
L
j=m+l
yi. ßi, yi
Funktionen der Klasse Ck-l.
Es folgt:
~ ~y -
Wegen ßt
E
J
y
n
"
L.
j=m+l
yi.
ßjy'
y
yyj
,,->k-l
E =y
,
lXy
,,->k
E =y'
folgt hieraus mit Hilfe von 1.15, b):
lXy
E
J
Y'
2.3 Korollar: Unter den Voraussetzungen von 2.2 gibt es eine Umgebung U von x
im 1Rn, so daß eine Einbettung D IU n X ~ 1Rm existiert.
Beweis: Man wähle U und M wie in 2.2. Durch Verkleinerung von U läßt sich erreichen, daß eine Einbettung M ~ 1Rm existiert. Zusammen mit der kanonischen Einbettung D I U n X ~ M erhält man dann eine Einbettung D I U n X ~ M ~ 1Rm
von DI Un Xin den 1Rm. (Im Falle m = 0 setze man 1R o = {O}, fl}k(1RO) = 1R.)
2.4 Definition: Es seien D = (X, fl}k(X)jJ) und D' = (X', fl}k(X')jJ') k-differenzierbare Unterräume des 1Rn bzw. des 1Rm und f: D ~ D' eine k-differenzierbare Abbildung. In einer Umgebung U von x im 1Rn werde f durch die Ck-Abbildung
F: U ~ 1Rm induziert. Dann heißt die lineare Abbildung dfx: = dFx I Tx(D) das
Differential von f in x.
Die Definition von dfx hängt nicht von der Wahl von F ab. Wird nämlich f IU n X
auch durch eine zweite Ck-Abbildung G: U ~ 1Rm induziert, so folgt nach 1.19, b):
F~-G~EJx,
1 ~i~m.
Also gilt für alley E Tx(D) nach 2.1:
d(Fi - Gi)x(Y)
=
0,
das heißt dFx(Y)
= dGx(Y).
Es gilt ferner:
Sei nämlich x':
IXx'
0
= fex)
Fx
E
undy E Tx(D). Dann gilt für alle
IXx' EJ~,:
J x, also 0 = d(lXx' 0 F x) (y) = dlXx,(dFx(y».
Das bedeutet dFx(Y) E Tx,(D').
13
2.5: a) Sind
f:
D -+ D', g: D' -+ D k-differenzierbare Abbildungen, so gilt:
= dgf(x)
d(g 0 f)x
0
dfx.
Es ist d(idD)x = idT(D)x'
b) Ist f: D -+ D' ein Diffeomorphismus, so ist dfx: Tx(D) -+ Tf(x) (D') ein Isomorphismus.
2.6 Lemma: Sei f: D -+ D' eine k-differenzierbare Abbildung; D,D' wie
Für x E X gilt:
f ist regulär in x genau dann, wenn dfx injektiv ist.
Beweis: In einer Umgebung Vvon x werde
induziert, und es sei x': = f (x).
a)
f sei regulär in
dfx(Y)
x, d.
=
Dann ist zu zeigen:y
Für !Xx'
E ,@~,(lRm)
h.f; surjektiv.
dFx(Y)
=
Es seiy
E
2.4.
-+ lR m
Tx(D) vorgegeben mit
O.
O.
gilt:
d(!Xx' 0 Fx) (y)
=
Ferner hat man für jedes ßx
dßx(Y)
=
f durch eine Ck-Abbildung F: V
1fi
=
d!Xx' (dFx(Y»
E
=
O.
.fx nach 2.1 :
O.
+
Wegen der Surjektivität vonf; läßt sich jedes !Xx E.@~ in der Form !Xx = !Xx' 0 F x
ßx
schreiben; !xx' E ,@~,(lRm), ßx E .fx . Folglich ist d!XxCY) = 0 für alle !Xx E .@~; das bedeutety = O.
b) dfx sei injektiv. Ist r = dim Tx(D), so existiert nach 2.2 eine Umgebung U von x
im lRn und eine r-dimensionale Ck-Untermannigfaltigkeit M von U, so daß D IU n X
Unterraum von M ist. Dann ist Tx(D) Untervektorraum von Tx(M) (= Tangentialraum an M in x im üblichen Sinne), und aus Dimensionsgründen folgt Tx(D) = Tx(M).
Nach Voraussetzung ist also dFx injektiv auf Tx(M). Wie aus der Differentialtopologie
bekannt ist, induziert dann F - nach eventueller Verkleinerung von U - eine Einbettung
von M in den lRm . Da D IU n X Unterraum von M ist, induziert F auch eine Einbettung D IU n X -+ lRm . Folglich ist f IU n X eine Einbettung und insbesondere f
regulär in x.
2.7 Korollar: Ist f regulär in x, so gibt es eine Umgebung U von x derart, daß f IU n X
eine Einbettung ist.
Beweis: Ist f regulär in x, so ist dfx injektiv. Die Behauptung folgt dann aus Teil b)
des Beweises zu 2.6.
2.8 Definition: Unter der Einbettungsdimension von D = (X, .@k(X)j.f) im Punkte
x E X versteht man die kleinste Zahl m ;::; 0 derart, daß es eine Umgebung U von x
und eine Einbettung D IU n X -+ lRm gibt. Wir schreiben dann m = einbdimx (D).
2.9 Lemma: einbdimx (D)
=
dim Tx(D).
Beweis: Aus 2.3 folgt einbdimx (D) ~ dim Tx(D). Sei einbdimx (D) = m. Es gibt
dann eine Einbettung f: D I U n X -+ lR m, X E U. Insbesondere ist f regulär in x, und
somit ist nach 2.6 die lineare Abbildung dfx: Tx(D) -+ Tf(x) (lRm ) = lRm injektiv.
Daraus folgt dim Tx(D) ~ dim (lRm ) = m.
14
2.10 Lemma: Sei D = (X, P)k(X)/..F) ein k-differenzierbarer Unterraum des IRn und
f: D -+ IRm eine Einbettung. Dann existiert ein eindeutig bestimmter k-differenzierbarer Unterraum D' des IR m derart, daß feinen Diffeomorphismus D -+ D' induziert.
Beweis: Notwendigerweise muß gelten: D': = (X', P)k(X')/..F') mit X': = feX);
= {lXx' E p)~,(IRm);f*(lXx') = O}, x' EX'.
Damit ist D' zunächst ein reell-geringter Raum, und f induziert nach Konstruktion
einen Isomorphismus geringter Räume f: D -+ D'. Bleibt zu zeigen: a) D' ist ein
k-differenzierbarer Unterraum des IRm, b) f ist ein Diffeomorphismus. Sei Weine Umgebung von Xim IRn und F: W -+ IRm eine Ck-Abbildung, die f induziert (vgl. 1.21).
zu a): Für x' E X', x' = fex) gilt nach Konstruktion:
J~,:
..F~,
=
{lXx'
Ist also
IXx '
E ..F~, .
E p)~, (IRm);
P)t1 n p)~"
IXx '
0
F x E ..FJ.
so folgt
IXx '
0
Fx E J
x •
p)~-1
n
p)~
= ..Fx
und daher IXx ' E ..F~,. Folglich ist ..F~, . p)~-;1 n p)~, = ..F~,. Offenbar ist auch ..F~, =F p)~"
Somit erfüllt..F' die Bedingungen a) und b) in 1.15.
zu b): Da f ein Isomorphismus geringter Räume ist, genügt es, zu jedem Xo E X eine U mgebung U anzugeben, so daß f I U n X ein Diffeomorphismus D I U n X -+ D' If( U n X)
ist. Der Morphismus f I U n X wird nach Konstruktion durch F induziert, ist also eine
k-differenzierbare Abbildung. Es sei r = dirn T xo (D). Nach 2.2 existiert eine Umgebung
U von Xo im IRn und eine r-dimensionale Ck-Untermannigfaltigkeit M von U, so daß
D IU n X Unterraum von M ist. Da f in Xo regulär ist, ist dFxo injektiv auf
Txo(M) = Txo(D). Nach Verkleinerung von U und M darf man deshalb annehmen,
daß Feinen Diffeomorphismus von M auf eine r-dimensionale Ck-Untermannigfaltigkeit M' des IRm induziert. Die Umkehrabbildung von FI M wird dann durch eine
Ck-Abbildung G: U' -+ IR n induziert, wo U' eine geeignete Umgebung von M' im
IRmist. Es ist D' If(Un X) Unterraum vonM'; denn es giltf(U n X) C F(M) =M',
und für x' Ef(Un X), x' = fex), IXx, E..F(M')x, hat man IXx, 0 F x E..F(M)x C ..Fx ,
also IXx' E ..F~, nach Konstruktion von ..F', und somit ist ..F (M')x' C ..F~,. Ferner wird
durch G eine k-differenzierbare Abbildung g: D' If(U n X) -+ D IU n X induziert;
denn es ist G(j(U n X» = U n X, und ferner gilt für x' = fex) Ef(U n X) und
ßx E..Fx nach Konstruktion von G: ßx 0 (Gx' 0 F x) - ßx mod..F (M)x, also
(ßx 0 G x') 0 F x E..Fx wegen ..F (M)x C ..Fx, und daraus folgt ßx 0 Gx' E..F~,. Nach Konstruktion induzieren die Ck-Abbildungen GoF und FoG die Identität auf M bzw.
auf M', also induzieren sie auch die Identität auf dem Unterraum D I U n X von M
bzw. auf dem Unterraum D'lf(Un X) von M'. Folglich ist 9 der zu fl Un X
inverse Morphismus, d. h. f I U n X ist ein Diffeomorphismus.
2.10 bleibt auch dann richtig, wenn man den IRm durch einen beliebigen k-differenzierbaren Unterraum D" des IR m ersetzt. Der Beweis für diesen allgemeinen Fall verläuft
analog.
Im folgenden identizieren wir die Menge der k-differenzierbaren Abbildungen D -+ IRm,
D = (X, P)k(X)/..F), vermöge 1.18 mit den Elementen von reX, P)k(X)/..F)m.
2.11 Lemma: Es seien f: D -+ IRm, g: D -+ IRt zwei k-differenzierbare Abbildungen,
f = (SI, ... , Sm) Er(X, P)k(X)/..F)m, 9 = (r!, ... , rt) Er(X, P)k(X)/..F)t. Ist f regulär in x E X, so ist auch die Abbildung (f, g) : D -+ IRm+t regulär in x, die definiert
wird durch
15
Beweis: Sei U eine Umgebung von X im IR n, und F: U --+ IR m, C: U --+ IRt seien
zwei Ck-Abbildungen, die f bzw. 9 induzieren. Dann wird (f, g) durch die Ck-Abbildung
(F, C): U --+ IRm+t induziert. Ist dF;r; injektiv auf Ta; (D), x E X, so ist auch
d(F, C)a; = (dF;r;, dCa;) injektiv auf T;r;(D). Daraus folgt mit Hilfe von 2.6 die Behauptung.
§ 3 k-differenzierbare Räume und differenzierbare Abbildungen
3.1: Es sei A = (X,.sI) ein reell-geringter Raum. Ein Tripel (U, g, D) heißt k-differenzierbare Karte von A (im IR n), wenn gilt:
a) U C X ist eine offeneTeilmenge;
b) D ist ein k-differenzierbarer Unterraum des IR n;
c) 9 = (g, g*) : AlU --+ D ist ein Isomorphismus geringter Räume.
Zwei k-differenzierbare Karten (U, g, D) und (U', g', D') von A heißen (differenzierbar) verträglich, wenn gilt U n U' = 0 oder wenn der Morphismus
g'og-1Ig(Un U'): Dlg(Un U')--+D'Ig'(Un U')
ein Diffeomorphismus ist.
Eine Kollektion U = {(Ui, gi, D i ); i EI} von paarweise verträglichen k-differenzierbaren Karten heißt k-differenzierbarer Atlas von A, wenn gilt X = U U i . Der Atlas U
jE!
heißt eine k-differenzierbare Struktur auf A, wenn er maximal ist, d. h. wenn es keinen
von U verschiedenen Atlas von A gibt, der alle Karten aus U enthält. Jeder k-differenzierbare Atlas U von A induziert eine k-differenzierbare Struktur
auf A. Dabei
besteht
genau aus allen k-differenzierbaren Karten von A, die mit jeder Karte aus U
verträglich sind. Zwei Atlanten U, U' von A induzieren genau dann dieselbe Struktur
auf A, wenn jede Karte aus U mit jeder Karte aus U' verträglich ist.
Ist im folgenden eine k-differenzierbare Struktur
vorgegeben, so soll unter einem
Atlas von A stets ein solcher verstanden werden, dessen Karten zu
gehören, und
wenn von einer differenzierbaren Karte gesprochen wird, so soll stets eine Karte aus
gemeint sein.
m
m
m
m
m
3.2 Definition: Ein reell-geringter Raum A = (X,.sI) zusammen mit einer k-differenzierbaren Struktur
auf A heißt ein k-differenzierbarer Raum.
m
3.3 Definition: Ein Morphismus f = (f, f *) : A --+ B zweier k-differenzierbarer
Räume A und B heißt eine k-differenzierbare Abbildung, wenn für je zwei k-differenzierbare Karten (U, g, D) und (U', g', D') von A bzw. von B mitf-1(U') nU
0 der
Morphismus
'*
(*) g'
0
f
0
g-1: D I g(J-1(U') n U)
--+
D'
eine k-differenzierbare Abbildung ist.
Der Morphismus f ist bereits dann eine Ck-Abbildung, wenn der Morphismus (*)
differenzierbar ist für alle Karten (U, g, D) aus einem Atlas von A und alle Karten
(U', g', D') aus einem Atlas von B. Man kann also die Differenzierbarkeit von f mit
Hilfe beliebiger Atlanten testen.
3.4: In völliger Analogie zu 1.23 soll definiert sein, wann die k-differenzierbare Abbildung f: A --+ B in einem Punkt regulär ist und wann f eine Immersion, eine Einbettung
oder ein Diffeomorphismus heißt.
16
Jeder k-differenzierbare Unterraum D = (X, !!Jk (X)/~) des IR n läßt sich in kanonischer
Weise als k-differenzierbarer Raum auffassen. Die differenzierbare Struktur auf D ist
gegeben durch den aus einer einzigen Karte bestehenden Atlas {(X, idn , D)}. Die
Definition 3.2 ist also eine Verallgemeinerung von 1.15. Entsprechend ist Definition 3.3
eine Verallgemeinerung von 1.20.
3.5: Ist A = (X, d) ein k-differenzierbarer Raum und Y C X eine Teilmenge, so
besitzt auch A IY eine k-differenzierbare Struktur derart, daß der kanonische Morphismus AI Y --+ A eine (differenzierbare) Einbettung ist. Ist f : A --+ Beine k-differenzierbare Abbildung, so ist auch f IY: AI Y --+ Beine k-differenzierbare Abbildung.
3.6 Lemma: A = (X, d) sei ein k-differenzierbarer Raum, Mor (A, IRm) bezeichne
die Menge der k-differenzierbaren Abbildungen A --+ IRm = (IRm, !!Jk(IRm» und
Y1, ... ,Ym E r(IR m, !!Jk) die Koordinatenfunktionen im IR m. Die folgende Abbildung
ist bijektiv:
1p: Mor (A, IRm) --+r(X, d)m
f=
(J,f *)
1--+
(j * (Y1), .. . ,j * (ym».
Beweis: a) Injektivität: Seien f, 9 E Mor (A, IRm) mit 1p(f) = 1p(g). Da A lokal
diffeomorph zu einem k-differenzierbaren Unterraum eines IR n ist, gibt es dann nach
1.18 zu jedem x E X eine Umgebung U derart, daß gilt f IU = gl u. Daraus folgt
f = g.
b) Surjektivität: Sei (Sl, ... , sm) E reX, d)m vorgegeben. Ist {(Ui , gi, D i ); i EI}
ein k-differenzierbarer Atlas von A, dann existieren nach 1.18 k-differenzierbare Abbildungen fi: AI U i --+ IRm mit fi (yj) = Sj I U i , 1 :;;: j :;;: m. Für h, i 2 E I mit
U i () U i =1= 0 erhält man, indem man Teil a) auf den Raum AI U i () Ui anwendet:
k Ui , ()2 Ui , = fi,l Ui , () Ui ,. Durch die Kollektion {fi; i E I} is~ folglich eine kdifferenzierbare Abbildung f: A --+ IR m gegeben, für die nach Konstruktion gilt:
1p(f) = (Sl, ... , sm)·
Im folgenden soll Mor (A, IRm) vermöge 1p mit reX, d)m identifiziert werden.
i
3.7 Lemma: Es seien f: A --+ IRm, g: A --+ IRt zwei k-differenzierbare Abbildungen,
A=(X,d), f=(Sl, ... ,Sm)Er(X,d)m, g=(r1, ... ,rt)Er(X,d)/. Die kdifferenzierbare Abbildung (f, g): A --+ IRmH werde definiert durch
(f, g): = (Sl, ... , Sm, r1, ... , rt) Er(X, d)m+t.
Dann gilt:
a) Ist f regulär in x E X, so auch (f, g).
b) Ist feine Einbettung, so auch (f, g).
Beweis: a) Die Aussage ist von lokaler Natur und folgt unmittelbar aus 2.1l.
b) Sei 1): = (f, g), 1) = (h, h*), f = (J,f*), 9 = (g,g*). Die Abbildung h: X --+ IRmH
wird gegeben durch x 1--+ (j(x),g(x». Ist feine Einbettung, so ist f regulär in jedem
Punkt und f : X --+ f (X) ein Homöomorphismus. Nach a) ist dann auch 1) regulär in
jedem Punkt, und ferner ist auch die Abbildung h = (J,g): X --+ heX) ein Homöomorphismus, d. h. 1) ist eine Einbettung.
3.8 Lemma: Ist f: A --+ IRm eine Einbettung, A = (X, d), so existiert (genau) ein
k-differenzierbarer Unterraum D des IRm derart, daß feinen Diffeomorphismus A --+ D
induziert.
Beweis: Sei D: = (Y,!!Jk(IRm)/~) mit Y: = feX), ~y :_= {ay E!!J~;f*(xy) = O},y E Y.
Dann induziert f einen Isomorphismus geringter Räume f : A --+ D. Es bleibt zu zeigen,
17
daß D ein k-differenzierbarer Unterraum des 1Rm ist und fein Diffeomorphismus.
Dieses Problem ist jetzt lokal und wird gelöst durch den Beweis zu 2.10.
§ 4 Einbettung differenzierbarer Räume in den IR<n+l)'
4.1: Ist X ein metrischer topologischer Raum mit abzählbarer Basis, so bezeichne
dimx X die (induktive) topologische Dimension von X im Punkte x, x E X, und
dirn X: = sup {dimx X; x E X} die topologische Dimension von X (vgl. [3], p. 24).
Ist U = {Ui } eine Überdeckung von X, so heißt U von der Ordnung:;;; n wenn der Durchschnitt von je n
1 verschiedenen Mengen U1 , ... , U n+l E U leer ist.
+
4.2 Lemma: Genau dann gilt dirn X:;;; n, wenn jede offene Überdeckung von X eine
lokalendliche offene Verfeinerung der Ordnung ~ n + 1 besitzt.
Beweis: siehe [6], p. 23, Corollary und p. 90 Theorem IV. 1.
4.3 Lemma: Ist dirn X:;;; n, X ein metrischer Raum mit abzählbarer Basis, so existiert zu jeder offenen Überdeckung U von X eine lokalendliche offene Verfeinerung W,
+ 1, i E lN},
derart, daß für alle i,j E lN, i =l= j, gilt: W; () W; =
W = {W;; 1 :;;; r :;;; n
Beweis: Wegen dirn X:;;; n existiert nach 4.3
1. Da X eine
feinerung m der Ordnung :;;; n
als abzählbar annehmen:
m = {Vj,j E lN}. Da m lokalendlich ist und X
eine stetige Partition der Eins, d. h. es gibt
o :;;; rpj :;;; 1, Träger rpj C V j und
+
L
JEIN
Für 1 :;;; r :;;; n
rpj
=
1
0, 1 :;;; r :;;; n
+ 1.
zu U eine lokalendliche offene Verabzähl bare Basis besitzt, darf man m
normal (da metrisch), gibt es bzgl. m
stetige Funktionen rpj: X ~ IR mit
(vgl. [10], p. 88, Satz 3).
+ 1 sei
und für CXr: = {jl, ... ,jr} E Fr setzen wir
w;r:
=
{x E X; rpk(X)
<
rpj(x)
für alle jE cx" k
1: cxr}.
+
Dann erfüllt das System W: = {w;r; 1 :;;; r :;;; n
1, CX r E Fr} die Bedingungen des
Lemmas:
Da das System {Träger rpj} lokalendlich ist, läßt sich w;r lokal durch endlich viele Ungleichungen zwischen stetigen Funktionen beschreiben und ist folglich eine offene
Menge. Wegen L rp; = 1, Tr (rpj) C Vj und Ordnung m :;;; n
1 gibt es zu Xo E X
mindestens einen, aber höchstens n
1 verschiedene Indizes jl, ... , jr E lN mit
rph (xo) > O. Setzt man CX r : = {jl' ... , jr}, so gilt für j 1: CXr : rpj(xo) = 0 < rph (xo),
d. h. Xo E W;r.
Also ist Weine offene Überdeckung von X. Ferner ist Weine Verfeinerung von mund
damit auch von U; denn für w;r E W,j E CXr gilt nach Konstruktion: w;r C Tr(rpj) C Vj.
Außerdem ist W lokalendlich. Zu Xo E X existiert nämlich eine Umgebung U, in der
alle rpj verschwinden bis auf endlich viele Ausnahmen rph' ... , rpjm' Dann wird U nur
+
+
von denjenigen endlich vielen Mengen w;r EW geschnitten, für die gilt CXr C {jl'" .jm}'
Schließlich ist w;r () wfr = 0 für CXr =l= Pr. Zu CXr, Pr E Fr mit CXr =l= Pr gibt es näm18
lieh), k E lN mit) E IX r,) t/= ßr und k E ßr, k t/= IXr, und für XE w;r n wfr müßte dann
sowohl IPk(X) < IPj(x) als auch IPj(x) < IPk(X) gelten. Man beachte noch, daß die
Mengen Fr abzähl bar sind, so daß sich das System W = {w;r} in der Form
W = {W;; 1 ~ r ~ n + 1, i E lN} schreiben läßt.
4.4 Vereinbarung: Von jetzt ab betrachten wir ausschließlich solche k-differenzierbaren Räume A = (X, d), für die gilt: X ist ein regulärer topologischer Raum mit
einer abzählbaren Basis.
Dann ist X metrisierbar und folglich parakompakt und normal. Da jede Teilmenge
X' C lR m regulär ist und eine abzählbare Basis besitzt, ist obige Bedingung trivialerweise notwendig für die Existenz irgendwelcher Einbettungen A --+ lRm . Jeder kdifferenzierbare Unterraum des lRm erfüllt obige Bedingung.
4.5: Ist A = (X, d) ein k-differenzierbarer Raum, so definiert man die Einbettungsdimension von A im Punkte x, x E X, völlig analog wie in 2.8. Es ist einbdimx A offenbar
die kleinste Zahl m, so daß es eine k-differenzierbare Karte (U, g, D) von A im lRm gibt
mit x E U (folgt aus 3.8).
4.6 Lemma: Es gilt für alle x EX: dim x X
~
einbdimx A.
Beweis: Nach 4.4 ist X metrisierbar und hat abzählbare Basis. Ist m: = einbdimx A,
so existiert eine differenzierbare Karte (U, g, D) von A im IRm mit XE U. Insbesondere
ist g: U --+ g(U) C lRm ein Homöomorphismus. Da dimx X eine lokale topologische
Invariante ist, folgt:
dimx X
= dim x U = dimg(x)g(U)
~
dimg(U) ~ dim lRm
= m.
4.7 Satz: Es sei A = (X, d) ein k-differenzierbarer Raum mit einbdimx A
alle x E X. Dann existiert eine Einbettung A --+ lR (n+l) 2.
~
n für
4.8 Korollar: Genau dann ist A = (X, d) diffeomorph zu einem Unterraum eines
IRm, wenn einbdimx A, x E X, beschränkt ist.
Der Beweis des Korollars ergibt sich aus 4.7 und 3.8. Für den Beweis von 4.7 benötigen
wir folgende Hilfssätze :
4.9 Hilfssatz: Unter den Voraussetzungen von 4.7 gibt es eine offene Überdeckung
{Wr ; 1 ~ r ~ n + 1} von X und Einbettungen gr: AI W r --+ lRn.
Beweis: Wegen einbdimx A ~ n, x E X, existiert eine offene Überdeckung U = {Uj }
von X mit Einbettungen fj: AI U j --+ lRn.
Ohne Einschränkung darf man Jj(Uj ) C K: = {y E lRn; IIYII < 1} annehmen. Ferner
folgt aus einbdimx A ~ n nach 4.6: dim X = sup {dimx X} ~ n. Folglich existiert
1, i E lN} von
nach 4.3 eine lokalendliche offene Verfeinerung W = {W;; 1 ~ r ~ n
U mit der Eigenschaft:
n wt = 0 für i =1= j. Da Weine Verfeinerung von U ist,
gibt es dann auch Einbettungen f;: AI W; --+ lR n mit (W;) C K. Für 1 ~ r ~ n
1
und i E lN wähle man im lRn offene Kugeln
mit Radius 1 und mit verschiedenen
Mittelpunkten so aus, daß für i,) E lN, i =1=), gilt K; n Kt = 0, 1 ~ r ~ n 1. Indem
man die Einbettung f;: AI
--+ lRn mit einer Translation lRn --+ lRn komponiert,
welche Kauf K; abbildet, erhält man Einbettungen g;: AI Wj --+ lRn mit g;(W;) C K;.
Es sei Wr : = U W,i. Da für festes r sowohl die W: als auch die K; paarweise disjunkt
+
W;
K;
W;
+
f;
+
iEIN
sind, wird durch die Kollektion {g;; i E lN} eine Einbettung gr: A I W r --+ lRn definiert.
Nach Konstruktion ist {Wr ; 1 ~ r ~ n
1} eine offene Überdeckung von X.
+
19
4.10 Hilfssatz: Seien A = (X, d) ein differenzierbarer Raum, U und Woffene Teilmengen von X mit Ü C Wund 9 : AI W ---+ ]Rn eine Einbettung. Dann gilt:
a) Zu jeder abgeschlossenen Menge B in X mit B C U existiert ein S E T(X, d) mit
Tr S C U, si B = 1 = Einsschnitt.
b) Es existiert eine differenzierbare Abbildung f: A ---+ ]Rn mit f I U = gl u.
Beweis: a) Sei Y: = g (W) C ]Rn. Es ist g: W ---+ Y ein Homöomorphismus und folglich U': = g(U) offen in Y, B': = g(B) abgeschlossen in Y mit B' CU'. Nach 1.9
existiert s' E T(Y, f0k (Y» mit Tr s' C U', s' IB' = 1. Man setze s: = g* (s') E T(W, d).
Dann ist Tr se U und slB = 1. Wegen Tr se U, Ü C W läßt sich s durch die Defizu einem Schnitt aus T(X, d) fortsetzen, der die gewünschten
nition s I X - W =
Eigenschaften besitzt.
°
b) Sei 9 = (Sl' ... , sn) ET(W, d)n (vgl. 3.6). Da X nach 4.4 normal ist, existiert eine
offene Teilmenge V von X mit Ü C V, 17 C W. Nach a) existiert SE T(X, d) mit
Tr se V, si Ü = 1. Wegen Tr se V, 17 C W läßt sich ti: = S· Si als Schnitt aus
T(X, d) auffassen, wobei ti I X-V = 0, 1 ~ i ~ n. Sei
f:
Wegen
si Ü
=
=
(tl, ... , t n) ET(X, d)n,
f:
A ---+ ]Rn.
1 folgt ti IU = Si I U und damit f I U = 9 I U.
4.11 Hilfssatz : Es sei f = (f,] *) : A ---+ ]Rm eine differenzierbare Abbildung,
A = (X, d), f = (Sl' ... , sm) ET(X, d)m. ]: X ---+]Rm habe die Komponentendarstellung] = (j1, ... ,jm). Ist dann si o (x) = A . 1x , A E ]R, x E X, so gilt;'1o (x) = A.
Beweis: Da die Aussage von lokaler Natur ist, darf man annehmen, daß A ein differenzierbarer Unterraum des ]Rn ist: X C ]Rn, d = f0 k (X)jß. Es werde f durch die
ek-Abbildung F: U ---+]Rm induziert, Xc U, F = (Ft, ... , Fm). Dann gilt
Sjo(x) = FIo Ef0~jßx, also F1° =}.. 1x = Ax (nach Voraussetzung), wobei Ax den
Keim der konstanten Funktion A bedeutet. Damit folgt F ~'
Ax mod ß x' und hieraus
ergibt sich wegen ß x C m x :ijo (x) = Fjo (x) = A.
=
Beweis zu 4.7: Nach 4.9 gibt es eine offene Überdeckung {Wr ; 1 ~ r ~ n + 1} von
X und Einbettungen gr: AI W r ---+ ]Rn. Da X normal ist, existieren offene Überdeckungen {Ur; 1 ~ r ~ n} und {Vr ; 1 ~ r ~ n} mit V r C Ur, Ü r C W r . Nach 4.10,
b) existieren differenzierbare Abbildungen fr : A---+]Rn mitfr I Ur = gr I Ur, 1 ~ r ~ n + 1,
und nach 4.10, a) gibt es Schnitte Sr ET(X,d) mit Trsr C Ur, Sr IVr = 1, 1 ~ r ~ n + 1.
Es sei dann fo : = (Sl'·.· ,Sn+l), fo : A ---+]R n+l und f : = (fo, h, .. ·, f n+l) : A ---+ ]R (n+l').
Nach Konstruktion ist gr I Ur = fr I Ur eine Einbettung und folglich ist nach 3.7 auch
f I Ur: A I Ur ---+ ]R(n+l)2 eine Einbettung, 1 ~ r ~ n + 1. Wegen X = U Ur ist insbesondere f eine Immersion. Es sei] = (!t, .. . ,jn+l, .. . ,j(n+l)') die Komponentendarstellung der Abbildung]: X ---+ ]R(n+1)'. Wegen fo = (Sl' ... , Sn+l), Tr Sr C Ur,
srlVr = 1 folgt nach 4.11: ]rlVr = 1 und frl(X - Ur) = 0, 1 ~ r ~ n + 1. Wir
müssen noch zeigen, daß 1.] injektiv, 2. die Umkehrabbildung j-1 stetig ist. Dann ist
j: X ---+ j(X) ein Homöorr.orphismus und f die gesuchte Einbettung.
1. Es seij (Xl) = j (X2); Xl, X2 EX. Ist etwa Xl E V ro ' so gilt 1 = jr o(Xl) = jr o(X2).
Wegen]r o I(X - Uro) =
folgt X2 EUro' also Xl, X2 EUro· Da fl U ro eine Einbettung ist, folgt Xl = X2.
2. Es seiyv = f(x v) Ej(X) eine Punktfolge, die im ]R(n+l)' gegenyo = j(xo) konvergiert. Dann ist zu zeigen, daß in X die Folge der Xv gegen Xo konvergiert. Sei
etwa Xo E V r0 und damit fr 0 (xo) = 1. Wegen der Konvergenz von j (x v) gegen
°
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