Otto Bruhns Aufgabensammlung Technische Mechanik

Otto Bruhns
Aufgabensammlung
Technische Mechanik 3
Kinetik fUr Bauingenieure
und Maschinenbauer
Aus dem Programm _______________..
Grundstudium
Mathematik fur Ingenieure
und Naturwissenschaftler
von L. Papula, 3 Bande
Experimentalphysik fur Ingenieure
von H.-I. Schulz et al.
Elemente der Mechanik in 3 Banden
von O. Bruhns und Th. Lehmann
Aufgabensammlung Technische Mechanik 1
Statik fur Bauingenieure und Maschinenbauer
von O. Bruhns
Aufgabensammlung Technische Mechanik 2
Festigkeitslehre fur Bauingenieure und Maschinenbauer
von O. Bruhns
Aufgabensammlung Technische Mechanik 3
Kinetik fUr Bauingenieure und Maschinenbauer
von O. Bruhns
Roloff / Matek Maschinenelemente
von W. Matek, D. Muhs, H. Wittel und M. Becker
Werkstoffkunde und Werkstoffprufung
von W. WeiBbach
Elektrische MeBtechnik
von K. Bergmann
vieweg _____________~
Otto Bruhns
Aufgabensammlung
Technische Mechanik 3
Kinetik fUr Bauingenieure und Maschinenbauer
Mit tiber 200 Abbildungen
II
vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titeldatensatz fUr diese Publikation ist bei
Der Deutschen Bibliothek erhiiltlich
ISBN 978-3-528-07422-7
ISBN 978-3-322-90801-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-90801-8
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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1999
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Gedruckt auf saurefreiem Papier
v
Vorwort
Die Mechanik ist eine der Grundlagen der Ingenieurwissenschaften. Sie soli die Studierenden an die
Ingenieurprobleme heranflihren und sie spater in die Lage versetzen, neuen Problemen mit geschiirftem
analytischen Denkvermogen begegnen zu konnen.
ErfahrungsgemaB ist das Erlernen der wesentlichen Grundlagen und Methoden der Mechanik etwas,
das den Studierenden der Ingenieurwissenschaften zu Beginn ihres Studiums besonders schwerfiillt.
Das vorliegende Buch soli dazu beitragen, die Schwierigkeiten beim Erlernen dieses Faches zu
iiberwinden. Es wendet sich deshalb insbesondere an die Studierenden des Bauingenieurwesens und
des Maschinenbaus im Grundstudium.
Das Buch folgt eng der didaktischen Linie der Mechanik-Vorlesungen an deutschen Hochschulen.
Es ist insbesondere hervorgegangen aus meiner langjiihrigen Lehrtatigkeit an der Ruhr-Universitat in
Bochum.
Das vorliegende Studienbuch ist der dritte Band der Reihe" Aufgabensammlung Mechanik", die die
Bande "Elemente der Mechanik" erganzen und abrunden solI. Es ist so aufgebaut, daB die wesentlichen
Elemente der "Kinetik" behandelt werden. Zu Beginn eines jeden Kapitels werden die flir die Losung
der Aufgaben wichtigsten Beziehungen und Formeln zusammengestellt und kurz erlautert. Dabei wird
jeweils auf die entsprechenden Abschnitte der Bande der"Elemente der Mechanik" Bezug genommen,
so daB ein genaueres Nacharbeiten erleichtert wird. Es folgen einige typische Beispiele von Aufgaben,
die in aller Ausflihrlichkeit gelost werden. Den AbschluB bilden dann in jedem Kapitel eine Reihe
von Aufgaben, fiir die im Kapitei 13 die Losungen in Kurzform angegeben werden.
Die Mechanik behandelt einen Stoff, der erfahrungsgemaB durch reines Lesen nicht erlernbar ist. Es
wird deshalb empfohlen - und der gewiihlte Aufbau der Kapitel soli die Studierenden in dieser Weise
motivieren - die zusammengestellten Aufgaben entsprechend den Losungen der Beispiele sorgfaltig
durchzuarbeiten. Dabei wird hier allerdings vorausgesetzt, daB die Methoden und Prinzipien der
"Statik" und der "Festigkeitslehre" beherrscht werden. Eine Besonderheit der Aufgaben der Kinetik
besteht darin, daB sich in alief Regel keine standardisierten Losungen mehr angeben lassen. Haufig
existieren nebeneinander ganz verschiedene Losungswege - und erfahrungsgemaB bereitet gerade dies
besondere Schwierigkeiten. Das vorliegende Buch ist bemiiht, auch auf diese Probleme einzugehen.
Mein herzlicher Dank geht an dieser Stelle an aile meine Mitarbeiter, die durch standige Diskussion
sehr zur nun vorliegenden Fassung des Buches beigetragen haben. Mein besonderer Dank giltjedoch
den beiden Studenten cando ing. B. Kiefer und stud. ing. P. Lubrich, die mir bei der Erstellung der
vielen Abbildungen behilflich waren.
Bochum, im August 1999
Otto Bruhns
VI
Inhaltsverzeichnis
1 Eindimensionale Bewegung
1.1
1.2
1.3
Allgemeines
Beispiele .
Aufgaben
2 Ebene und raumIiche Bewegung
2.1
2.2
2.3
Allgemeines
Beispiele .
Aufgaben
3 Bewegungwiderstiinde
1
4
11
15
15
17
23
25
Allgemeines
Beispie1e .
Aufgaben
25
26
32
4 Relativbewegung
35
Allgemeines
Beispie1e .
Aufgaben
35
37
44
3.1
3.2
3.3
4.1
4.2
4.3
5
Kinematik, Momentanpol
5.1 Allgemeines
5.2 Beispiele .
5.3 Aufgaben
48
48
50
54
6 Grundlagen der Kinetik starrer Korper
56
Massen-Tragheitsmomente.
Impuls- und Drallsatz
Energiesatz .
Beispie1e .
Aufgaben
56
57
58
58
61
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
7 Ebene Bewegung starrer Korper
7.1
7.2
7.3
Allgemeines
Beispiele .
Aufgaben
8 Raumliche Bewegung starrer Korper
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
9
Kinematik der raumlichen Bewegung
Bewegung urn einen festen Punkt
Allgemeine Bewegungen
Beispie1e .
Aufgaben ........
Elementare Theorie des StoRes
9.1 A l l g e m e i n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
62
63
70
74
74
74
75
76
83
86
86
VII
9.2
9.3
9.4
9.5
Zentraler StoB ..
Allgemeinere StoBvorgiinge
Beispiele.
Aufgaben
86
88
90
95
10 Schwinger mit einem Freiheitsgrad
10.1 Allgemeines
...... .
10.2 Freie Schwingungen
10.3 Fremderregte Schwingungen .
10.3.1 Harmonische Erregung
10.3.2 Nichtperiodische Erregung
10.4 Beispiele
10.5 Aufgaben
98
98
99
100
100
102
103
111
11 Schwinger mit mehreren Freiheitsgraden
11.1 Allgemeines
11.2 Eigenschwingungen
11.3 Beispiele .
11.4 Aufgaben
118
118
118
119
122
12 Elemente der analytischen Mechanik
12.1 Kinematik der Systeme starrer Kiirper .
12.2 Das Prinzip der virtuellen Arbeit in der Kinetik
12.3 Die Lagrangeschen Gleichungen .
12.4 Beispiele .
12.5 Aufgaben
123
123
124
125
126
132
13 Losungen
134
1
Eindimensionale Bewegung
1.1
Allgemeines
Dnter den Voraussetzungen der klassischen Mechanik (siehe Elemente Band I, Kapitel6, bzw. Band III,
Kapitell) konnen wir den Zusammenhang zwischen den auf einen Korper einwirkenden resultierenden
Kriiften (bzw. Momenten) und den dadurch hervorgerufenen Bewegungen beschreiben durch
Impulssatz, Massen-Mittelpunktsatz
F( a)
D
= -d
mv\!
t·
=
...
= m1'M ,
1fIV'v!
,
(1.1)
Drallsatz - bezogen auf den raumfesten Punkt 0
M~~i = .~ H (:]
(1.2)
Dabei sind F(o) bzw. M~~j die von auBen auf den Korper einwirkenden (eingepragten) Kriifte bzw.
Momente (bezogen auf 0),1'."1 bzw. VM sind der Ortsvektor und die Geschwindigkeit des MassenMittelpunktes und H (U) ist der Drall des Korpers (ebenfalls bezogen auf 0).
Wir konnen den Drallsatz auch fiir den Massen-Mittelpunkt M anschreiben und erhalten dann
Drallsatz - bezogen auf den Massen-Mittelpunkt
(a)
M(.I!)
=
D
dt HIMI
= dfD
J
(1'
-1'M) X
(1.3)
dmv,
\"
mit H U.1) dem DralI des Korpers in bezug auf den Massen-Mittelpunkt.
Fiir starre Korper gilt daneben stets der
Energiesatz der Mechanik fiir starre Korper
(1.4)
Dabei sind D A. \~) das Inkrement der Arbeit aller auBeren Kriifte und
1
2
EM = 2" 1111',\1
(1.5)
die kinetische Energie des Massen-Mittelpunktes.
Sind aile an einem starren Korper angreifenden Kraf~e Potentialkrafte, d.h. gemaB F
aus einem Potential <I> = <1>( 1') ableitbar, so wird aus (1.4)
I D( E + If» = 0 .
""-;
F
= -grad <I>
+ <I> = konst., I
(1.6)
der Energiesatz der Mechanik fiir konservative Systeme. Als Potential <I> gilt z.B.:
(i) die Federenergie fiir eine elastische Feder
<I>
= ~ c.r':2
O. Bruhns, Aufgabensammlung Technische Mechanik 3
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1999
(1.7)
2
I Eindimensionale Bewegung
mit der Federkonstanten c,
(ii) die potentielle Energie fUr einen Korper der Masse m in einem homogenen Schwerefeld
q> = mgh M
(1.8)
,
wobei hM die Lage des Massen-Mittelpunktes tiber einem Bezugsniveau (in aller Regel die ErdoberHache) bezeichnet.
In den ersten 4 Kapiteln dieses Bandes wollen wir die Bewegungen von Massenpunkten beschreiben,
also von solchen Korpern, bei denen wir uns die gesamte Masse m des Korpers im Massen-Mittelpunkt
vereinigt denken und bei denen wir aile von auBen an dem Korper angreifenden Krafte diesem Punkt
zuordnen (Ersatz-Modell der Punkt-Kinetik, siehe auch Elemente der Mechanik, Band III, Kapitel
2). 1m Rahmen dieser Vereinfachung reicht dann auch der Impulssatz (1.1) aus, die Bewegung des
Massenpunktes zu beschreiben. Entsprechend konnen wir auch die Schreibweise vereinfachen, indem
wir den Index M fortlassen, also z.B. einfach v statt v M schreiben.
Wir wollen zunachst nur solche Bewegungen eines Massenpunktes betrachten, bei denen die (geradlinige oder gekrtimmte) Bahn des Massenpunktes im voraus bekannt oder durch kinematische
Bindungen gegeben ist, so daB wir die Lage des Massenpunktes im Raum eindeutig mit einer OrtsKoordinate beschreiben konnen.
Kinematik der eindimensionalen Punkt-Bewegung
Von eindimensionalen Bewegungen sprechen wir insbesondere bei geradliniger Bewegung eines Massenpunktes. Ftir diese gilt - wenn wir eine langs der Bahn verlaufende Koordinate s benutzen und den
Bewegungsablauf in der Bahn als Funktion der Zeit beschreiben
s = s(t),
s = v(t),
s = v(t) = a(t)
fUr den zuriickgelegten Weg s, die. Geschwindigkeit v sowie die Beschleunigung a.
Wir konnen den Bewegungsablauf auch in anderer Form beschreiben, z.B. durch die Angabe von
s = v(s)
und nennen dies die Darstellung der Bewegung in der Phasenebene. Diese Darstellung ist der Darstellung s(t) aquivalent. Aus der Beziehung s = v(s) folgt namlich durch Trennung der Variablen
t
s
j dt= j
to
v~:)
--+
t=t(s),
--+
s=s(t),
So
wenn wir So und to als fest gegeben betrachten. Ferner gilt
s = a(s)
s = Ds Ds = Ds s = a(s)
Ds dt
Ds
--+
jsDs=ja(s)Ds.
Das kinematische Bewegungsgesetz der eindimensionalen Bewegung kann uns in verschiedener
Weise gegeben sein. Wir konnen vier Grundfiil1e unterscheiden.
1. Grundfall:
Gegeben sei s = s(t) (bzw. s(t) oder s(t). Aus s(t) erhalten wir durch Differentiation nach der Zeit
s(t) = v(t),
--+
s(t) = v(t) = a(t).
1st s (t) = v (t) gegeben, so gewinnen wir s (t) durch Integration tiber die Zeit
t
s(t) = So + j v(t) dt.
to
3
1.1 Allgerneines
ii( t) errnitteln wir dagegen wiederurn durch Differentiation nach der Zeit.
In der dritten Variante ist zunachst sit) = art) vorgegeben. Dann erhalten wir v(t) bzw. sit) durch
einmalige bzw. zweimalige Integration von art) tiber die Zeit. Die Umkehr von sit) liefert t = t(s).
Setzen wir das in v( t) bzw. a( t) ein, so kiinnen wir stets auch
v=v(s)
a=a(s)
bzw.
angeben. In manchen Fallen ist es schlieBlich noch interessant,
a = a(v)
v = l'(a)
bzw.
zu kennen. Wir erreichen dies, indem wir aus v(t) und ali) bzw. aus v(s) und a(s) die Zeit i bzw. den
Weg s eliminieren.
2. Grundfall:
Gegeben sei .5 = to ( s ). Dies entspricht der Darstellungsmiiglichkeit des Bewegungsablaufes in der
Phasenebene. Wie dort gezeigt, kiinnen wir aus v ( 5) zunachst durch Differentiation
Dv(s)
a(s) = - - u(s)
Ds
und durch Integration
Ds
Js ~
t(s)=to+
So
gewinnen. Die Umkehr von tis) liefert dann sri). Durch Einsetzen von sri) in vis) und a(s) bzw.
durch Differentiation von sri) nach der Zeit erhalten wir dann vii) und a(i) und durch Elimination
von soder t schlieBlich auch a( v) bzw. v( a).
3. Grundfall.·
Gegeben sei
.s
= a ( s ). Wegen
Du(s)
a(s) = vis) --.D.,
kiinnen wir daraus durch Integration tiber s
Ja(s)
S
Jvis)
"
D., =
So
Dt,(s),
vis) =
-+
VB
Vo
+ 2 1so{' a(sJDs
ermitteln. Von da an kiinnen wir wie im 2. Grundfall verfahren.
4. Grundfall:
Gegeben sei
.s =
Dv
s= -
a ( v). Setzen wir
v.
Ds
so kiinnen wir dies umformen zu
1,01'
Ds = -a(v)
Die Umkehr liefert
wirdagegen
..
01'
5 = dt'
-+
s=
s( v)
= So +
JV vOv
a(v)'
vo
v( s). Oamit haben wir das Problem auf den 2. Grundfall zurtickgeftihrt. Setzen
so ergibt die Umformung dieses Ausdruckes zunachst
Ov
a(u)
di= -
-+
J a(v)'
v
l(v)=lo+
Oie Urnkehr dieser Funktion liefert
Ov
Vo
s=
vii) und filhrt uns damit auf den 1. Grundfall.
4
1 Eindimensiona1e Bewegung
1.2 Beispiele
Aufgabe 1.1:
Das Weg-Zeit-Diagramm eines Fahrzeuges sei gegeben. Bestimmen Sie
1. die mitt1ere Geschwindigkeit im Zeitinterval1
von tl = 1 s bis t2 = 3, 2, 1,5 sowie 1, 1 s,
2. die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = t l ,
3. die mittlere Besch1eunigung im Zeitinterval1
vontl =1sbist 2 =3, 2, 1,5sowie1,1s,
4. die momentane Besch1eunigung zum Zeitpunkt
t = tl
x[m]
9
8
6
4
2
'--~=+---2r----+3""" t[s]
LOsung: Das Weg-Zeit-Diagramm fo1gt einer kubischen Parabe1, deren Parameter a wir mit Hilfe der
Werte des Diagramms bestimmen
x
1
-3
O'=-=-ms.
t3
3
1. mittlere Geschwindigkeiten:
_ X2 - XI
6.x
v = t2 - tl = 6.t·
Damit erha1ten wir
a)
6.t = 2.0 s ,
b)
6.t=1.0s,
c)
6.t
d)
6.t=0.1s,
= ~ m,
1
X2 = 9.0
xI=3"m,
X2 = 2.667 m
-+
= 3"1
m,
X2 = 1.125 m
-+
xI=~m,
X2 = 0.444 m
XI
= 0.5 S,
XI
m
-+
-+
v=
v=
v=
v=
4.33 mls
2.33 mls
1.58 mls
1.11 mls
2. momentane Geschwindigkeit:
v = lim X2 12-+1,
XI
t2 - tl
= lim 6.x = dx
il.HO 6.t
dt
dx
2
v = - = 3O't
dt
-+
V(tl = 1 s) = 1 mls.
3. mittlere Besch1eunigungen:
_ V2 - VI
6.v
a=---=-.
t2- tl 6 . t
Damit erhalten wir
a)
b)
c)
d)
6.t = 2.0 s,
6.t = 1.0 S,
6.t = 0.5 S,
6.t=0.1s,
VI
VI
VI
VI
=
=
=
=
1 mis,
1 mis,
1 mis,
1 mis,
V2
V2
V2
V2
=
=
=
=
9.0
4.0
2.25
1.21
mls
mls
mls
mls
-+
-+
-+
-+
a = 4.0 mls 2
a = 3.0 mls 2
a = 2.5 mls 2
a=
2.1 mls 2
4. momentane Besch1eunigung:
V = 3O't 2
-+
dv
= 6O't
dt
a= -
-+
a(tJ = 1 s) = 2 mls 2
5
1.2 Beispiele
Aufgabe 1.2:
Bei einem aus der Ruhe startenden Laufer verhalte sich die Geschwindigkeit als Funktion des Weges
wie v ( s) = k {(S, (k = konst). Berechnen Sie bei gegebenem k
a) a(s),
b) a(t),s(t) undv(t),
wenn fiir t = 0 s = 0 sein soIl.
LOsung: Die Losung folgt dem 2. Grundfall.
a) Fiir die Beschleunigung
a(s)
dv
(l
gilt bei gegebenem v (s)
dt, ds = ~ k 2
:1
= di = d.Zdi
b) Es gilt
v(s) =
ds
dl
t=
~
3
2k
2
-S3
Aufgabe 1.3:
Beim Betrieb eines Bandgerates ist die Einhaltung
einer konstanten Bandgeschwindigkeit v von groBer
Bedeutung. Wie miissen die Winkelgeschwindigkeiten WI und W2 der beiden Spulen ausgelegt werden,
wenn das Band mit konstanter Geschwindigkeit transportiert werden solI?
Gegeben:
,s «
1"0
LOsung: Fiir konstante Bandgeschwindigkeit gilt
bei veranderlichen Radien 1"1 (t) bzw. 1"2(t) an beiden Rollen. Fiir jede abgewickelte Lage des Bandes
verringert sich der Radius der Rolle I urn die Dicke ,s des Bandes, d.h.
bzw. nach Umstellen der Gleichung
J
'1
1"1
R
II
dTl = - , ~
211
J dt
I
V
Wl=-'
1"1
0
Entsprechend erhalten wir fiir Rolle 2
1'2
=
V~
+ -; t ,
1'6
V
W2
=-.
1"2
1 Eindimensionale Bewegung
6
Aufgabe 1.4:
Vor einer urn die Strecke f zusammengedriickten Feder !iegt ein Massenpunkt vom Gewicht G.
Wie groB ist seine Geschwindigkeit beim Abltisen
von der Feder? Wie weit rutscht er die schiefe
Ebene hinauf? Bewegungswiderstiinde sind zu vernachHissigen.
Gegeben: Jl
=0
LOsung: Wir betrachten drei Bereiche der Bewegung des Massenpunk-
tes:
1.) Bewegung unter Einwirkung der Federkraft:
Der Impulssatz in x- Richtung !iefert
mx = c(f - x),
wobei c(f - x) die Kraft der zusammengedriickten Feder angibt. Die Ltisung des Problems erfolgt
entsprechend dem 3. Grundfall, d.h.wir formen die Bewegungsgleichung urn und erhalten
J
v
J~
x
v Dv =
o
(f - x) Dx
0
Beim Abltisen von der Feder (x = f) betragt die Geschwindigkeit
=
VA
f!i f·
2.) Bewegung auf der horizontalen Ebene:
In Bewegungsrichtung wirken keine Krafte
x= 0
-+
x = v = konst. = v A .
3.) Bewegung auf der schiefen Ebene
Der Impulssatz in Bewegungsrichtung liefert
m~
mx = -mgsin a.
Die Aufwartsbewegung endet, wenn v = 0 wird, der dann zuriickgelegte Weg sei xo. Da v gesucht und a gegeben ist, ktinnen wir abermals
auf den 3. Grundfall zuriickgreifen
mg
1
J-gsinaDx
VA
0
o
vDv =
Xo
-+
v21°
VA
= 2g sin a IXO
0
-+
v A2
xo = - - .
2 gsina
Alternative LOsung: Wir gehen nun aus vom Energiesatz fUr konservative Systeme (1.6) und bestim-
men die Energie zu Beginn und beim Abltisen von der Feder
Mit (1.5) bzw. (1.7) erhalten wir daraus bei E (0) = 0 sowie <I> A = 0
~cl = ~mv~
-+
VA
=
ffiJ·
1.2 Beispiele
7
Auf entsprechende Weise erhalten wir auch den Wert
Xo
-I mV 2A = mg h
Xo
:1
2
h = __
v A_.
= __
sina
2 gsina
wenn wir ausnutzen, daB bei .ro: v = 0 und damit auch Eo = 0 werden.
Wir sehen also, daB der Energiesatz in den Fallen, in denen nach der Geschwindigkeit gefragt ist, ein
auBerordentlich wirksames Hilfsmittel zur Ltisung der Bewegungsgleichungen darstellt.
Aufgabe 1.5:
Die nebenstehende Anordnung wird sich selbst iiberlassen. Bestimmen Sie die Beschleunigungen der Gewichte G 1 und G2 . Die Rollen sind masselos, Bewegungswiderstande sind zu vernachlassigen.
Gegeben: G I = nIlg.
(,'2
= m2g
LOsung: Wir schneiden das System frei und beschreiben die vertikale Bewegung der beiden Massen durch
die Koordinaten:r und y. Zwischen diesen Koordinaten besteht die kinematische Bindung
x
= 2y.
Der Impulssatz liefert nun fUr beide Massen
+ 25,
nIlY
=
m2.I·
= 2m2Y = m2g -
-mIg
5,
mit S der unbekannten Seilkraft. Ulsen wir hier die zweite Gleichung
nach S auf und setzen dies in die erste ein, so erhalten wir schlieBlich
+ 2m2
+ 4m2 g,
-ml
y=
Aufgabe 1.6:
nil
i = 2Y.
Ein Lastwagen yom Gewicht (i = 20 kN fabrt eine StraBe konstanter Steigung (sin a = 7/250)
hinauf. Als Bewegungswiderstand wirke eine konstante Kraft R = 1 kN. Wekhe maximale Leistung
muB yom Motor abgegeben werden, wenn
a) der Wagen mit gleichbleibender Geschwindigkeit Vo = 36 kmlh fabrt,
b) die Geschwindigkeit bei konstanter Besch1eunigung ao in 10 s von Vo auf 1,5 Vo erhtiht werden
soll? Wie groB ist die mittlere Leistung wabrend des Beschleunigungsvorganges?
8
1 Eindimensionale Bewegung
LOsung: Wir beschreiben die Bewegung des Fahrzeuges mit
Hilfe des Impulssatzes in Fahrtrichtung
mx=Fm-R-Gsina.
a) Bei konstanter Geschwindigkeit verschwindet die Besch1eunigung. Die yom Motor abgegebene Kraft Fm wird dann
Fm = R+Gsina.
Die Arbeit die diese Kraft auf dem Weg x verrichtet ist
x
x
AM= jFmdx= j(R+Gsina)dx=(R+Gsina)x,
o
0
= AM = (R+ Gsina)x = (R + Gsina)vo = 15,6 kW.
PM
b) Bei konstanter Beschleunigung ao erhalten wir aus dem Impulssatz
Fm
= R + G sin a + mao = R + G sin a + Q ao .
9
.
PM(t) = AM = (R
G
+ Gsina + -
9
ao)v(t).
Dabei ist die Geschwindigkeit v(t) = aot
ao =
1,5vo - Vo
Vo
2tl '
+ Vo mit
= 10 s.
tl
Wir erhalten auf diese Weise
PM(t) = (R + Gsin a
+ Q ao)(aot + vo).
9
Die maximale Leistung ist am Ende des Beschleunigungsvorganges bei t = tl zu erbringen
.
G Vo 3
PMm•x = (R+Gsma+ --2 )-2vo = 38,7kW.
9
tl
Die mittlere Leistung erhalten wir als Quotient aus der yom Motor verrichteten Arbeit und der
Beschleunigungszeit t I
AM
.
Pm = = (R + G sm a
tl
+ -G ao) -Xl .
9
tl
Der in der Zeit tl zurlickgelegte Weg betragt dabei
Pm
= (R + G sin a + Q ao) ~ Vo = 32,2 kW.
9
4
9
1.2 Beispiele
Aufgabe 1.7:
Ein Ballon vom Gesamtgewicht G bewegt sich mit der konstanten Beschleunigung a = 0,5 9 auf die
ErdoberfHiche zu.
a) Bestimmen Sie den Auftrieb des Ballons.
b) In einer Hbhe von 100 m Uber der ErdoberfHiche versucht der Ballonfahrer, die Landung abzubremsen. Zu diesem Zeitpunkt hat der Ballon bereits eine Geschwindigkeit von Va = 20 mls erreicht.
Wieviel Ballast muB er Uber Bord werfen, damit die Landung weich erfolgen kann (va = OJ? (Der
Auftrieb des Ballons werde durch den Ballastabwurf nicht beeinfluBt).
c) Mit welcher Geschwindigkeit wUrde der Ballon auf der Erde aufschlagen, wenn der Ballonfahrer
keinen Ballast abwirft~
wsung: a) Wir bestimmen den Auftrieb "4 mit Hilfe des Impulssatzes in
vertikaler Richtung
Ill.i··
= ma = G -
A
-7
1
A= G-ma = -G.
2
b) Beim Bremsvorgang sind Geschwindigkeiten und Hbhen des Ballons zu
Beginn und am Ende des Prozesses gegeben. Wir wenden den Energiesatz
(\.6) an und erhalten mit Va = 0 aus
I ..
2
:; (11/ - mQ)(v a -
2
Va)
+ (m- mQ)gH -
AH
= 0,
wobei der Auftrieb A lediglich die Gewichtskraft G abmindert. Den abzuwerfenden Ballast Q berechnen wir daraus zu
(m - TIlQ)(l'G
+ '2qII)
= IIlgH
Q
= mQ9 =
c) Wir wenden abermals den Energiesatz an
I
2
2
-2 m(v 0 - (' (I )
+ mqH -
und bestimmen daraus
(,~=U5+(jH
•
.HI
=0
I'"
-+
1',,=:37.16m1s.
Aufgabe 1.8:
Eine Rakete mit der Anfangsmasse ma (Schale inc!. FUllung) wird senkrecht abgefeuert. Der Treibstoff der Rakete wird als konstanter MassenfluB q =
dm / dt mit der konstanten Geschwindigkeit u relativ
zur Rakete ausgestoBen, Gesucht ist der Verlauf der
Geschwindigkeit v (t) der Rakete,
wsung: Wir gehen aus vom Impulssatz (1.1) und
bringen ihn in seine Integralform
J
t2
Fla) dl = mV,\I(1 2 )
t,
-
II/v;\I(tIl·
V5
2
va
+9 H
+ 2g H G = 0, .585 G ,
1 Eindimensionale Bewegung
10
Fiir einen Kiirper mit veranderlicher Masse bedeutet dies im Zeitintervall dt - wie vereinbart, lassen
wir gleichzeitig den Index M fallen
J
t+dt
F(a)
dt
=
mv(t + dt) - mv(t).
t
Die BewegungsgriiBe m v( t) kiinnen wir flir die beiden betrachteten Zeitpunkte angeben
mv(t) = (mo - qt)ve x ,
mv(t + dt) = {(mo - qt - qdt)(v + dv) - (u - v)qdt}e x
und die eingepragte Kraft F( a) ist durch die jeweilige Gewichtskraft festge1egt
Fiir das oben angegebene Integral iiber die eingepragten Krafte erhalten wir, wenn wir alle Terme
hiiherer Ordnung in dt vernachlassigen
J
t+dt
F(a)
dt
= F(a) dt = mv(t + dt) - mv(t).
t
Setzen wir hier nun die Beziehungen flir die eingepragte Kraft sowie die BewegungsgriiBe ein, so wird
daraus
dv
ill (mo -
qt)
= uq -
(mo - qt)g,
wenn wir abermals alle hiiheren Glieder in den Inkrementen vernachlassigen. Wir integrieren diese
Bewegungsgleichung und erhalten so
- g} dt
Jdv = J{~
mo-qt
t
v
o
0
-+
v(t)
mo
mo -
= uln - - - -
qt
gt.
1.3 Aufgaben
11
1.3 Aufgaben
Aufgabe 1.9:
Bestimmen Sie u(s), a(.,), u(I). s(t). a(l) sowie a( v)
flir die im nebenstehenden Phasenportrat beschriebene Bewegung.
v
~------~----~~s
Aufgabe 1.10:
Die Anfahrbeschleunigung eines Flugzeuges auf dem Rollfeld laBt sich naherungsweise durch die
Beziehung a( v) = aovo/ (vo + v) darstellen. Welche Strecke s legt das Flugzeug auf der Rollbahn bis
zum Start bei VI = 80 mls zuruck, und welche Zeit benotigt es bis zum Abheben?
Gegeben: ao = 4 mls". Vo = 200 mls.
Aufgabe 1.11:
Wie groB wird die Grenzgeschwindigkeit flir einen bemannten Fallschirm von 10 kN Gewicht, der die
Form einer hal ben Hohlkugel yom Durchmesser 4 m besitzt?
Der Luftwiderstand sei Fw = Cw A ~ pv 2. Dabei sind A die Projektionsfiache, p = 1,25 kg/m3 die
Dichte der Luft und Cw = 1,:3:3 der Widerstandsbeiwert.
Aufgabe 1.12:
Die Beschleunigung, die ein Massenpunkt im Schwerefeld der Erde erfahrt, betragt a( s) = - [{/ S2.
Die Konstante [{ ist so zu bestimmen, daB flir s = R = 6.370 km die Beschleunigung a = -9 =
-9,81 mls 2 wird. Mit welcher Geschwindigkeit muBte man einen Korper von der Erdoberfiache aus
senkrecht nach oben schieBen, damit er nicht mehr zur Erde zUrUckkehrt?
Aufgabe 1.13:
Von einem Schlitten mit dem Gewicht G = 1 kN wird
ein GeschoB (G' = 1 N) mit v' = 300 mls abgefeuert.
Wie bewegt sich der Schlitten nach dem AbschuB,
wenn dieser unter dem Winkel von a = 30° erfolgt?
6
V'
71717177~717l~17J71777/
1 Eindimensiona1e Bewegung
12
Aufgabe 1.14:
Die Bremsverzogerung eines Fahrzeugs wird durch
das nebenstehende Diagramm beschrieben. Wie groB
ist ao, wenn das Fahrzeug zur Zeit to noch mit
Vo == 72 kmlh fahrt und zur Zeit tl zum Stillstand
gekommen ist?
== 0
t 1 == 40
T tot-------t=-.---<>t[s]
ao
1
2ao
1
Aufgabe 1.15:
Ein SchUtze trifft mit einer Kugel (Gewicht G'
1 . 10- 2 N) einen Holzklotz von 1,5 N in seinem
Schwerpunkt. Der Holzklotz, der auf einer rauhen
Unterlage (/1 == 0,3) horizontal gleiten kann, rutscht
daraufhin 0,68 m bis zum Stillstand. Wie groB war
die Auftreffgeschwindigkeit der Kugel?
/1
")
G~
r--,G'v'
" e ___
L
J
77777777IJ7117111777711777777,
I-- s---l
Aufgabe 1.16:
Beim Umspulen eines Bandes dreht die WickelspuIe (rechts) mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ll.
Bestimmen Sie:
a) die Geschwindigkeit des Bandes als Funktion der
Zeit,
b) den Winkel der linken Spule als Funktion der Zeit
c) die Winkelgeschwindigkeit der linken Spule als
Funktion der Zeit (0 « ro).
Aufgabe 1.17:
Ein Ballon mit dem Gesamtgewicht G flillt mit konstanter Beschleunigung a. Wie groB ist der Auftrieb?
Wieviel Ballast Q muB abgeworfen werden, damit der Ballon bei unverandertem Auftrieb wieder mit
der Beschleunigung b steigen kann?
Aufgabe 1.18:
Ein Stein wird mit der Anfangsgeschwindigkeit Vo == 20 m/s senkrecht nach oben geworfen. Wie hoch
fliegt der Stein? Wann erreicht er wieder den Boden? Der Luftwiderstand ist zu vernachlassigen.
13
1.3 Aufgaben
Aufgabe 1.19:
Der Massenpunkt der Masse 7Il! bewegt sich aufhorizontaler Ebene. Wie groB sind die Geschwindigkeiten
der Massen, wenn die Masse 7Il! den Punkt B erreicht
hat?
Seil und Umlenkrolle seien masselos. Bewegungswiderstiinde sind zu vernachliissigen.
T
h
1
ml
Gegeben: h =:3 m, 1= 1 m, rT/, = 2m!
e
AI'
B
m2~
f-----<>x
t
Aufgabe 1.20:
Die Beschleunigung eines Kraftwagens als Funktion
der Geschwindigkeit lasse sich aus dem angegebenen
Diagramm ablesen. Berechnen Sie,
a) nach welcher Zeit to der Wagen die Geschwindigkeit O.5vo erreicht sowie
b) den Weg .1'0, den er dann zuriickgelegt hat.
Vergleichen Sie diese Ergebnisse mit denen einer konstanten Beschleunigung.
a
/
Parabel
L---------------+-~~V
Vo
Aufgabe 1.21:
Urn welche Strecke ,1' senkt sich die mitt1ere Masse
maximal ab, wenn das System aus der Ruhe losgelassen wird?
Seil und Rolle sind als masselos zu betrachten.
I-- e -'+1'>-- {' ----I
T
It
1
Aufgabe 1.22:
Die Bewegung eines Massenpunktes 7Il mit der Anfangsgeschwindigkeit Va wird durch einen hydraulischen Diimpfer (Diimpfkraft: kv) abgebremst. Welchen Weg hat der Massenpunkt bis zum Stillstand
zuriickgelegt und welche Zeit benotigt er dafiir?
Gegeben:
TIl,
k.
1'0