Vorlesungsinhalt: 1. Einführung 2. Passive Bauelemente

Prof. Brunner SS 2006
Elektronik für Physiker
Vorlesungsinhalt:
1. Einführung
2. Passive Bauelemente
1. Ohmscher Widerstand
2. Kondensator
3. Spule
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Elektronik für Physiker
Kapazität im Stromkreis
•
Gleichspannung: Sehr hoher Widerstand R=∝
(nach kurzzeitigem Beladen)
•
Wechselspannung U(t)= U0sin(ωt):
I
Q=CU; ⇒ I=dQ/dt = CdU/dt = ωCU0sin(ωt+π/2)
U
Strom eilt der Spannung um 90° voraus
(Änderung von U ⇒ Beladen von C ⇒ Stromfluss)
I
P(t)= U(t)I(t) = ½ ωCU02 sin(2ωt); Energie oszilliert (Blindleistung)
Sehr elegant:
Komplexe Größen
U(t)=U0exp(iωt)
i
komplexe
Zahlenebene
ic=jωC×uc
I= CdU/dt = iωCU0exp(iωt) = iωC U(t)
„Ohmsches Gesetz“ I=U/XC mit komplexem (Blind-)Widerstand:
uc
u
XC= 1/iωC
Einfachere Rechnung, und Imaginarteil ergibt dann Lösungen für U, I
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Elektronik für Physiker
Beispiel: RC-Glied
•
Spannungsteiler mit Reihenschaltung von R und XC !
•
Es gilt:
UA = UE
•
XC
1
;
=UE
R + XC
1 + iωRC
Übertragungsfunktion:
g (ω ) = U A / U E =
g (ω ) =
1
1 + iωRC
1
1 + (ωRC )
2
;
;
ϕ = arctan(−ωRC ); (Phasenverschiebung zw. U A und U E )
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RC-Glied mit Wechselspannung
• Grenzfrequenz νg: ωg = 2πνg = 1/RC = 1/τ
g(ωg)=0.7
• Logarithmische Darstellung:
g * (ω ) = log g (ω ) = 20 log g (ω ) dB
2
(g*(ωg)=-3dB, 50% Leistung)
Allgemeine U(t):
Fouriertransformation,
Rechnung,
Rücktransformation;
oder Lösung der DGL
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Tiefpass mit angelegtem Spannungspuls
•
•
⇒
UE = UR + UA
IR =UR/R = IC = C dUA/dt
dU A
dt
=
;
U E − U A RC
Integration ergibt:
UA = U0 (1-exp(-t/RC))
τ = RC = 1/ωg; Zeitkonstante
ta = t(90%)–t(10%)=
= RC ln9 ≈ 2.2τ; Anstiegszeit
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Tiefpass als Integrierglied
•
Für Pulslänge td<<τ gilt: UA ≅
U0 t/τ für 0≤ t ≤td
UA ~ Fläche unter U(t)
Für allgemeine U(t) mit ν>>νg:
R >> X C ;
U E = U R + U C = IR + IX C ≈ IR;
dU A
;
dt
dU A
⇒ U E ≈ RC
;
dt
und : I = I C = C
UA ≈
1
t
U
∫
τ
E
dt ;
0
Tiefpass wirkt als Integrator für ν>>νg → Mittelwertmessung
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Analoge Behandlung: Hochpass
• Übertragungsfunktion:
g (ω ) = U A / U E =
g (ω ) =
ωRC
iωRC
;
1 + iωRC
1 + (ωRC )
2
;
ϕ = arctan(1 / ωRC );
• Übertragung hoher Frequenzen: g(∞)=1, ϕ=0
• Unterdrückung tiefer Frequenzen: g(0)=0, ϕ(0)=90°
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Hochpass als Differenzierglied
• Spannungspuls:
UE=UC+UA
IR = IC = C dUC/dt
UA = RIR= RC dUC/dt= RC(dUE/dt -dUA/dt)
Rechteck-Puls U0 ab t=0:
⇒ dUA/UA = -dt/τ für t>0
⇒ UA = U0 exp(-t/τ);
Für Puls mit td>>τ: dUA/dt →0
UA = τ dUE/dt; Differentiator
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Bandpass-Filter (Wien-Filter)
•
Kombination von Hoch- und Tiefpass (R und C) in Serien- und
Parallelschaltung
uE
R1
uA
C1
R2
•
Qualitative Analyse:
•
Andere Betrachtung:
– Für ω→0 sperrt C1; (Hochpass) → UA=0
– Für ω→∝ leitet C2; (Tiefpass) → UA=0
⇒ Bandpass
– Ohne C2 ist es Hochpass mit g(∝)=R2/(R1+R2)
– Mit C2 werden hohe ω kurzgeschlossen
⇒ Bandpass
C2
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Quantitative, komplexe Lösung
Spannungsteiler mit
R1, C1, und (R2 und C2)parallel
uE
R1
uA
C1
R2
C2
1
1 R 2 + 1 XC2
u A Parallelschaltung (R2, C2)
=
=
1
uE
Gesamtwiderstand
R1 + X C1 +
1 R 2 + 1 XC2
Spezialfall mit R1=R2= R, C1=C2= C und
XC =
2
1
jωC
(ωRC ) 2
uA
; Resonanzmaximum für ω=ω0=1/RC:
=
2 2
2
(1 − (ωRC ) ) + 9(ωRC )
uE
U =U /3
A
1 − (ωRC ) 2
ϕ = arctan
3ωRC
E
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Rechnen, Simulieren, Überlegen, Messen
uE
Bandpass nach Wien
Phase ϕ
Amplitude UA
R1
uA
C1
R2
R=10kΩ
C=1nF
UE=1V
⇒ υ0 = ω0/2π
≈ 16 kHz
C2
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Erweiterung um Ohmschen Spannungsteiler:
Wien-Robinson-Brücke
U=UE/3
Ua=0 in Resonanz
Siehe:
Tietze+Schenk
pp. 1541
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Vorlesungsinhalt:
1. Einführung
2. Passive Bauelemente
1. Ohmscher Widerstand
2. Kondensator
3. Spule
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2.3 Spulen, Induktivitäten, Trafos
• Zeitabhängiger Strom I(t) in L
⇒ zeitabhängiges Magnetfeld H(t)
⇒ Induktionsspannung Uind(t)
dΦ
dI
Φ = BA = LI ; U ind = −
= −L × ;
dt
dt
I
(Selbst-)Induktivität L [Vs/A =Henry]
Leiterschleife: L=µ0Rπ/2; (R=1cm: L=10-8H)
Spule:
N2A
L = µr µ0
l
• Ausführungen:
•
•
Leiterschleife: kleines L, hohe ν, Streufelder, Wirbelstromverluste
Ferritkerne: pulverförmige Mischkristalle aus Fe2O3 und NiO (ZnO)
umschließen Spulenkörper,
(+) geringe Streufelder, (-) aber 1kHz<ν<100MHz
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So schaut`s aus
5
4
6
2
3
7
1
Drosselspulen: (1) = 1 µH, (2) = 100 µH,
(3) = selbstgewickelte HF-Drossel, (4), (5) = Trimmspulen,
(6) = Kleinstübertrager (Trafo),
(7) = Platinentrafo (230V primär, 2x 6 V/5VA sekundär)
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Induktivität im AC-Kreis
•
Wechselspannung U(t) an L
I(t)=I0exp(jωt);
Maschenregel: U(t)+Uind(t)=0;
⇒ U(t)= -Uind(t) = jωLI(t)= XLI(t);
⇒ Blindwiderstand:
XL=jωL
(el. Leistung geht in/aus magn. Feld)
⇒ Strom hinkt der Spannung U um
90° hinterher
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Ein-/Ausschalten von Gleichstrom
Einschalten von U0 an Spule (L, R):
Strom steigt linear an und sättigt bei I0=U0/R
UR=U0 + UL = U0 – LdI/dt= RI
⇒
I=
U0
(1 − exp(−t / τ )); mit : τ = L / R;
R
Ausschalten von I0:
I (t ) = I 0 exp(−t / τ );
U ind (t ) = − L
dI LI (t )
=
= RI (t );
dt
τ
Öffnen des Schalters: RS sehr groß
⇒ Uind=RSI(t) >>U0 groß, Schaltfunken!
Abhilfe: Kapazität C II Schalter (s. PSpice/Induktion-2)
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LRC-Schwingkreis
•
R bewirkt Dämpfung der Schwingung und Frequenzverschiebung
U
C sei geladen mit Q=CUC=CU0;
LRC von U abgekoppelt und geschlossen:
I=-CdU/dt; U=UC=UL + UR = LdI/dt + RI;
U0
C
R
L
d 2U R dU
1
+ ×
+
×U = 0
2
dt
L dt LC
600Ω
Gedämpfter harm. Osz. m. Lösung:
ω2 < 0
200Ω
U(t) = U0exp(-γt) cos(ωt);
60Ω
Mit: γ =R/2L; ω2= 1/LC – (R/2L)2;
20Ω
ω2 >0
L=100 µH
C=10 nF
⇒ ω0 = 1/LC0.5
= 1 MHz
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LRC-Schwingkreis an AC-Spannung
•
Komplexer Widerstand:
Xges(ω)= 1/jωC + R + jωL;
X ges = R 2 + (ωL − 1 / ωC ) 2 ;
20 Ω
L=100 µH
C=10 nF
⇒ ω0 = 1/√LC
= 1 MHz
C
jωL
1/jωC
X
U(t)
R
L
R
Phasenverschiebung zw. I und U:
C dominiert bei kleinen ω, L bei gr. ω
20 Ω
60 Ω
60 Ω
200 Ω
600 Ω
200 Ω
600 Ω
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Transformatoren
Anwendung:
Transformation, Übertragung von Wechselspannung
Galvanische Trennung von Stromkreisen,
Pulsübertragung (AC ohne DC-Anteil)
Primärseite
Sekundärseite
Up
Us
ferromagnetischer Kern
Wechselstrom (Primär) erzeugt magnetisches Wechselfeld
Dies induziert Wechselspannung (Sekundär)
Spannungsverhältnis:
Up
Us
=
Lp
Ls
=
Np
Ns
;
Ferromagnetische Kerne: Erhöhen L, reduzieren Streufelder und
Verluste, begrenzen aber Frequenzbereich
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Vorlesungsinhalt:
1.
2. Passive Bauelemente
1. Ohmscher Widerstand
2. Kondensator
3. Spule
3. Dioden
3.0 Grundlagen: Dotierte Halbleiter und Ferminiveau
3.1 pn-Diode ohne Stromfluss
3.2 pn-Diode mit Stromfluss: Kennlinie und Kapazität
3.3 Zener-Diode
3.4 Schottky-Diode
3.5 Spezielle Dioden
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Elektronik für Physiker
Dotierung von HL mit Donatoren, Akzektoren
Dotierung mit Fremdstoff (Diffusion, Implantation, Epitaxie) z. B.:
P statt Si, Si statt Ga: 1 Leitungselektron, n-leitend
B statt Si, C statt As: 1 Fehlelektron, Lochzustand, p-leitend
H-Atommodell für Donatorelektron im HL mit Masse m*, Diel.Konst. ε:
D+
EB =
e
2
4πεε 0 2a
*
B
e-
=
me*
= ER
≈ 50 meV ;
2
m0ε
da : me* << m0 ; ε ≈ 15; aB ≈ nm;
Für T>100 K sind alle Donatoren
ionisiert und n=ND: Extrinsischer Bereich
Für hohe T tritt auch Eigenleitung auf
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Elektronik für Physiker
Ladungsträgerdichte und Fermienergie in dotiertem HL
•
Donatorniveau nahe LB-Kante, Akzeptorniveau nahe VB-Kante
Für Fermiverteilung gilt stets: f(E=EF)=0.5
Bei T=0K sind alle Zustände unter EF besetzt, über EF unbesetzt
→ EF nahe bei Donator bzw. Akzeptorniveau
• Neutralitätsbedingung z.B. bei n-Dotierung: n = ND+ + p
⇒ Analytische Näherung ergibt:
(für nichtentartete HL n<<NC, p<<ND)
EF =
⎛ N
EC + ED 1
+ k BT ln⎜⎜ D
2
2
⎝ gN C
g = 2 Entartungsfaktor
E
n
E
⎞
⎟⎟;
⎠
p
300K
EC
EF
EC
EF
ED
EV
EA
EV
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Dotierte Halbleiter
Auch im dotierten HL gilt
Massenwirkungsgesetz:
np=ni2= f(T, HL-Material)
z.B. für n-Si:
ni2=2x1020cm-3 bei T=300K
Sei n=1018cm-3
⇒ p=ni2/n = 2x102cm-3;
Thermisches Gleichgewicht zw.
Generation und Rekombination von
Elektron-Loch-Paaren
(Ohne Stromfluss!)
n=ni exp((EF,n-Ei)/kT)
p=ni exp((Ei-EF,p)/kT)
mit Ei= Bandlückenmitte
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Elektronik für Physiker
Vereinfachte Darstellung von Leitungs-, Valenzband
•
•
n-dotiertes Si: n=NDonator
Löcher gibt es als thermisch generierte
Minoritätsladungsträger, die mit Elektronen
rekombinieren in mittlerer Minoritätslebensdauer
τ=10-10s (n groß) bis 10-4s (n klein)
Lage des Ferminiveaus EF im Bandschema
beschreibt Besetzung im Gleichgewicht (I=0)
EF
LB
EF
Ei
VB
•
Bei hoher Dotierung n, p > 5x1018 cm-3 liegt das
Ferminiveau EF innerhalb des Leitungs- bzw.
Valenzbandes:
Entartetes Elektronengas mit freien Elektronen
(auch bei T=0K) wie in Metallen
Stromfluss erfolgt nur durch freie Elektronen,
die Zustände nahe EF (±kBT) einnehmen!
Fermiflächen von hochdotiertem n-Si:
Ellipsoide um ∆-Täler nahe bei X-Punkten