SS 2017 14 Torsten Schreiber
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SS 2017 Torsten Schreiber 14 Wenn man mindestens einen Operator mit einer definierten Menge in Verbindung setzt, dann fällt es unter dem Bereich der _________________Strukturen. Bei der kleinsten möglichen Struktur handelt es sich um eine ________________. Eine Gruppe existiert, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind. • ________________ Operation • Assoziativgesetz • ________________ Element • ________________ Element Man spricht von einer binären Operation, wenn durch die Rechnung die vorhandene Welt ______ ___________ wird. Ist diese Eigenschaft nicht erfüllt liegt ______ Struktur vor. Wenn bei einer Struktur zusätzlich noch das ________________ (Vertauschungsgesetz) gilt, dann wird sie ________________ genannt. Ohne diese Eigenschaft muss darauf geachtet werden, ob man die Operation ___________ oder ________________ zum Lösen einer Gleichung nutzt. SS 2017 Torsten Schreiber 15 1) Beweisen Sie die maximal mögliche Struktur für die Menge in der Arithmetik definierten Division: , ; ∈ und der 2) Ist die Struktur ,∗ mit der Menge 1; 1 und der üblichen Multiplikation ganzer Zahlen eine Halbgruppe oder eine Gruppe (Begründung). 3) Seien eine beliebige Menge, die Operationen ∪,∩ die Vereinigung und der die Potenzmenge von . Durchschnitt von Mengen und Ist die Struktur oder eine Gruppe? SS 2017 ,∪ bzw. ,∩ eine Halbgruppe, ein Monoid Torsten Schreiber 16 Ähnlich wie bei dem letzten Beispiel, kann man die Strukturen auch durch einen zweiten Operator erweitern und analysieren. Die Eigenschaften auf jeden einzelnen Operator bezogen sind die gleichen wie im vorherigen Kapitel der Gruppe. ,⨀ ,⨀ , ⨀ ist ein abelscher Monoid: Binäre Operation: ⨀ → Assoziativgesetz: ⨀ ⨀ Neutrales Element: ⨀ ① Kommutativgesetz: ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ , ⨀ ist ein Monoid: Binäre Operation: ⨀ → Assoziativgesetz: ⨀ ⨀ Neutrales Element: SS 2017 ⨀ ② Torsten Schreiber 17 ,⨀ ,⨀ ⨀ ,⨀ erfüllen links- und rechtseitig das Distributivgesetz: linksseitig: rechtsseitig: ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ besitzt das Nullelement, d.h. das neutrale Element zu ⨀ ist für ⨀ dominant: Nullelement: ⨀ ① ①⨀ ① Nimmt man zum Beispiel die herkömmliche Addition so existiert das neutrale Element ① 0. Nutzt man dies in Bezug auf die arithmetische Multiplikation, so erkennt man das die Null hier dominant ist, denn es gilt ∗ 0 0 ∗ 0. SS 2017 Torsten Schreiber 18 Betrachten wir nun eine Struktur basierend auf den natürlichen Zahlen und der in der Arithmetik definierten Addition und Multiplikation. , ,∗ , ist ein abelscher Monoid: Binäre Operation: → Assoziativgesetz: ; , , ∈ Neutrales Element: ① Kommutativgesetz: 0 ;0 ∈ ; , ∈ ∗ ∗ ,∗ ist ein Monoid: Binäre Operation: ∗ → Assoziativgesetz: ∗ ∗ Neutrales Element: SS 2017 ∗② ; , , ,∈ ∗ 1; 1 ∈ Torsten Schreiber 19 , ,∗ ,∗ erfüllen links- und rechtseitig das Distributivgesetz: linksseitig: ∗ rechtsseitig: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Die Multiplikation besitzt das Nullelement, d.h. das neutrale Element zur Addition ist für die Multiplikation dominant: Nullelement: ∗0 0∗ 0 Wie man erkennt liegt hier ein Halbring vor. Da die Multiplikation auch noch kommutativ ist, also sogar einen abelschen Halbring. SS 2017 Torsten Schreiber ∗ ∗ ; , ∈ gilt, haben wir 20 Im Wesentlichen handelt es sich bei einem Ring um einen Halbring, wobei einige Eigenschaften zusätzlich vorhanden sein müssen bzw. andere entfallen. ,⨀ ,⨀ , ⨀ ist eine abelscher Gruppe – das inverse Element muss zusätzlich existieren: Binäre Operation: ⨀ → Assoziativgesetz: ⨀ ⨀ ⨀ Neutrales Element: ⨀ ① Inverses Element: ⨀ ① Kommutativgesetz: ⨀ ⨀ ⨀ , ⨀ ist eine Halbgruppe – das neutrale Element muss nicht existieren: SS 2017 Binäre Operation: ⨀ → Assoziativgesetz: ⨀ ⨀ ⨀ Torsten Schreiber ⨀ 21 ,⨀ ,⨀ ⨀ ,⨀ erfüllen links- und rechtseitig das Distributivgesetz: linksseitig: rechtsseitig: ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ ⨀ Das Nullelement muss für die Existenz eines Rings nicht mehr vorhanden sein. Ist für den 2. Operator ⨀ das neutrale Element definiert, d.h. gilt ⨀ ② , dann handelt es sich auch wieder um einen Monoid (ggf. kommutativ), so dass man die Struktur auch als Ring mit Einselement oder unitären Ring bezeichnet. Für den Fall, dass die 2. Verknüpfung kommutativ ist, dann wird auch dieser Ring abelsch. SS 2017 Torsten Schreiber 22 Bei dem vorherigen Beispiel, konnte das inverse Element aufgrund der Mengendefinition nicht existieren. Also erweitern wir die Zahlen um den negativen Bereich. , ,∗ , ist eine abelsche Gruppe: Binäre Operation: → Assoziativgesetz: ; , , ∈ Neutrales Element: ① 0 Inverses Element: ;0 ∈ 0⇒ Kommutativgesetz: ∈ ; , ∈ ∗ ∗ ,∗ ist eine Halbgruppe: SS 2017 Binäre Operation: ∗ → Assoziativgesetz: ∗ ∗ Torsten Schreiber ; , , ,∈ 23 , ,∗ ,∗ erfüllen links- und rechtseitig das Distributivgesetz: linksseitig: ∗ rechtsseitig: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ,∗ ist sogar abelscher Monoid: Neutrales Element: ∗② Kommutativgesetz: ∗ ∗ 1; 1 ∈ ∗ ; , ∈ Dadurch dass die Multiplikation basierend auf den ganzen Zahlen sogar ein kommutativer Monoid ist, handelt es sich bei der Struktur , ,∗ um einen abelschen, unitären Ring. SS 2017 Torsten Schreiber 24 1) Beweisen Sie die maximal mögliche Struktur für die Menge !" ; ∈ \ 0 und ,⊛,⊘ mit den beiden Operatoren ⊛: Multiplikation und ⊘: Division. ⊛: !" ⊘: !" ⊛ !" ' ⊘ !" ' !" !" ' ' 2) Bildet die algebraische Struktur · 2; , ∈ ℚ , ∗ mit den üblichen Rechenoperationen in der Menge der rationalen Zahlen einen Ring? SS 2017 Torsten Schreiber 25
