Elektrodynamik in Materie

Teil C
Elektrodynamik in Materie
Version vom 5. Juni 2013, 14:28
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N.BORGHINI
Elektrodynamik in Materie
Theoretische Physik IV
Die Grundgesetze der Elektrodynamik — die Maxwell–Newton-Gleichungen — sind mikroskopische Gesetze, d.h. Zusammenhänge zwischen Felder auf einer mikroskopischen Skala `, typischerweise der atomaren Skala. Solche „lokalen“ Felder werden im Folgenden mit Kleinbuchstaben geschrieben: elektrisches Feld ~e, magnetisches Feld ~b, Ladungsdichte ρ, Stromdichte ~, usw. Damit
lauten die Maxwell-Gleichungen („im Vakuum“)
~ · ~e(t, ~r) = 1 ρ(t, ~r)
∇
0
~
~
∇ · b(t, ~r) = 0
~
~ × ~e(t, ~r) + ∂ b (t, ~r) = ~0
∇
∂t
~ × ~b(t, ~r) − 1 ∂~e (t, ~r) = µ0~(t, ~r).
∇
c2 ∂t
(IX.24a)
(IX.24b)
(IX.24c)
(IX.24d)
Die folgenden Kapiteln befassen sich mit der Elektrodynamik in Materie, d.h. auf einer makroskopischen Skala L ≫ `. Über die Größe eines makroskopischen Körpers können die lokalen Felder
viel variieren. Andererseits entspricht das Auflösungsvermögen eines Messapparats einer Skala R,
die oft erheblich größer als die mikroskopische Skala ist: ` R L. Die gemessenen physikalischen
Größen sind gemittelte Werte der mikroskopischen Felder über diese Skala R.
Die natürlichen Freiheitsgrade der Theorie sind dementsprechend makroskopische Felder, auch
effektive Felder genannt, die hiernach mit Großbuchstaben bezeichnet werden, und die die gemit~ magnetische Induktion B,
~ Ladungsdichte
telten lokalen Felder darstellen: elektrische Feldstärke E,
~
%, Stromdichte J... Wenn f (~r) eine auf 1 normierte Funktion mit einem Träger der Größe R um
~r = ~0 ist,34 die den Mittelungsprozess der Messung beschreibt,35 gelten
Z
~ ~r) = f (~r − ~r 0 ) ~e(t, ~r 0 ) d3~r 0 ≡ h~e(t, ~r)i,
E(t,
(IX.25a)
Z
~ ~r) = f (~r − ~r 0 ) ~b(t, ~r 0 ) d3~r 0 ≡ h~b(t, ~r)i,
B(t,
(IX.25b)
Z
%(t, ~r) = f (~r − ~r 0 ) ρ(t, ~r 0 ) d3~r 0 ≡ hρ(t, ~r)i,
(IX.25c)
Z
~ ~r) = f (~r − ~r 0 ) ~(t, ~r 0 ) d3~r 0 ≡ h~(t, ~r)i.
J(t,
(IX.25d)
Aus den Relationen zwischen den lokalen Felder sollen Zusammenhänge zwischen den effektiven Feldern — makroskopische Gesetze — hergeleitet werden. Das Ergebnis der Mittelung (IX.25)
hängt aber davon ab, wie die Ladungsträger im Material auf externe Felder reagieren, d.h. von den
Eigenschaften des Materials. Deshalb sind für elektrische Leiter, Halbleiter, Isolatoren — mit vielen
Unterklassen — unterschiedliche makroskopische Gesetze zu erwarten.
Bemerkung: Hier werden makroskopische „effektive“ Modelle aus der mikroskopischen „fundamentalen“ Theorie hergeleitet, gemäß der theoretischen Vorgehensweise.36 Historisch wurden aber die
makroskopischen Gesetze vor den mikroskopischen experimentell entdeckt!
34
... oder eine Funktion, deren Support „im physikalischen Sinn“ der Größe R ist, d.h. die schnell gegen 0 strebt.
2
2
3
1
Beispielsweise f (~r) =
Θ(R − |~r|), mit Θ der Heaviside-Funktion, oder f (~r) =
e−~r /R . Eine Diskussion
4πR3
(πR2 )3/2
ist in Ref. [1] zu finden.
35
Hier wird nur die räumliche Mittelung beschrieben, eine realistische Funktion sollte auch die endliche zeitliche
Auflösung der Messapparate berücksichtigen.
36
...die ursprünglich auf H.Lorentz zurückgeht [2].
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N.BORGHINI
Elektrodynamik in Materie
Theoretische Physik IV
Literaturverzeichnis
[1] G. Russakoff, Am. J. Phys. 38 (1970) 1188–1195.
[2] H. A. Lorentz, Proc. Roy. Neth. Acad. Arts Sci. 5 (1902) 254–266.
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