Installment Optionen - Goethe

Installment Optionen
Diplomarbeit
am
Fachbereich Mathematik
an der
Johann Wolfgang Goethe-Universität
Frankfurt am Main
Juli 2004
vorgelegt von
Susanne Alke Griebsch
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
4
Tabellenverzeichnis
5
Einleitung
6
1 Einführung in Installment Optionen
1.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Was ist eine Installment Option? . .
1.3 Beschreibung des Modells . . . . . .
1.4 Vorteile der Installment Option . . .
1.5 Compound Option . . . . . . . . . .
1.6 Bewertung der Installment Option im
1.7 Statisches und dynamisches Hedgen .
1.8 Anwendungsbeispiel einer Installment
. . . . . . . .
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Black-Scholes
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Option . . .
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Modell
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2 Bewertung und Hedge von kontinuierlichen Installment Optionen
2.1 Bewertung von amerikanischen Optionen mittels Contingent Claim Analyse . . .
2.1.1 Optimales Stoppen in kontinuierlicher Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Analytischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bewertung von kontinuierlichen Installment Optionen . . . . . . . . . . .
2.2.2 Approximation der kontinuierlichen Installment Option durch diskrete
Installment Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Eine Hedging Strategie für kontinuierliche Installment Optionen . . . . . . . . .
8
8
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16
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25
25
27
34
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37
37
3 Bewertung von Installment Optionen durch Stochastic Dynamic Programming
44
3.1 Stochastic Dynamic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2
INHALTSVERZEICHNIS
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3
Bewertung von Installment Optionen nach H. Ben-Ameur, M. Breton und P.
François . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Algorithmus zur Bewertung von Installment Optionen . . . . . . . . . . .
Cody-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algorithmus von H. Ben-Ameur, M. Breton und P. François im Pseudocode . . .
Auswertungen der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Theoretische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Herleitung der geschlossenen Bewertungsformel für Installment Optionen
4.1 Bivariate und multivariate Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bewertung von trivariaten Installment Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Berechnung einer ”Call-auf-Call-auf-Call” Option . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Allgemeine Formel für trivariate Installment Optionen . . . . . . . . .
4.2.3 Implementation der Bewertungsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Vergleich der Bewertungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Herleitung des Hilfsresultates (4.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Das Resultat von Curnow und Dunnett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Allgemeine Formel der n-variaten Installment Option . . . . . . . . . . . . . .
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70
71
74
76
A Quellcode
78
B Ein real gehandelter Kontrakt
83
Literaturverzeichnis
86
Abbildungsverzeichnis
1.1
1.2
1.3
1.4
Terminplan der Installmentzahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich von Installment und Standard Put-Optionsgewinnen bzw. Verlusten
unter zwei Preisszenarien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lebensdauer der Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wertfunktion einer Installment Option vor und nach einem Installmenttermin
und die Konvergenz der diskreten Installment Option . . . . . . . . . . . . . . .
10
13
18
19
2.1
Zwei Zahlenbeispiele für die Konvergenz der Installment Option gegen eine amerikanische Compound Put-Option auf einen Call plus diesen Call . . . . . . . . . 43
3.1
Anschauliche Auswertung des Algorithmus von H. Ben-Ameur, M. Breton und
P. François . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stopping und Holding Value einer Installment Option . . . . . . . . . . . . . . .
Stoppzeiten von Installment Optionen mit unterschiedlichen Installmentraten . .
Stoppzeiten einer Installment Option mit verschiedenen Anfangsspotpreisen . . .
3.2
3.3
3.4
4.1
54
57
59
60
Oszillation der Werte einer trivariaten Installment Option durch Berechnung mit
Hilfe des Binomialbaumverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
B.1 Kontrakt Seite 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
B.2 Kontrakt Seite 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
B.3 Kontrakt Seite 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4
Tabellenverzeichnis
3.1
3.2
4.1
Werte von Installment Optionen ohne zusätzlicher Ausübungsmöglichkeit berechnet durch ABF-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Werte von Installment Optionen mit zusätzlicher Ausübungsmöglichkeit berechnet durch ABF-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Vergleich der vorgestellten Bewertungsmethoden für Installment Optionen . . . 70
5
Einleitung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich im Wesentlichen mit Installment Optionen und deren
Bewertung und Hedgemöglichkeiten.
Installment Optionen werden vor allem im internationalen Treasurymanagement eingesetzt und
dienen der Absicherung von Wechselkursrisiken. Die Besonderheit besteht darin, daß ein Konzern die Optionsprämie über mehrere Zeitpunkte aufteilen kann, zu denen er jeweils entscheidet,
ob die Absicherung überhaupt noch benötigt wird. Dies könnte unter Umständen nicht mehr
der Fall sein, wenn das zugrunde liegende internationale Geschäft des Konzerns wider Erwarten
nicht zustande gekommen ist.
Der exakte Wert einer Installment Option im Black-Scholes Modell besteht aus einem Ausdruck
von Mehrfachintegralen, wohingegen die Anwendung verschiedener Bewertungsmethoden auf
diesen approximierte Werte liefert. Die Untersuchung des Verhaltens mehrerer bekannter Methoden und die Entwicklung einer neuen Bewertungsformel für Installment Option ist Inhalt
dieser Arbeit. Weiterhin wird die kontinuierliche Version der Installment Option betrachtet und
für diese ein neuer Hedge bewiesen.
Im Folgenden wird ein kurzer Überblick über die einzelnen Kapitel dieser Arbeit gegeben.
Zu Beginn dieser Arbeit werden die Grundlagen einer Installment Option beschrieben, die aus
ihrer Definition und den Ergebnissen verschiedener Artikel über Installment Optionen bestehen.
Überdies wird ein Anwendungsbeispiel einer Installment Option gegeben.
In Kapitel 2 wird ein neuer Hedge der kontinuierlichen Installment Option vorgestellt und bewiesen. Dazu wird zuvor die Theorie des optimalen Stoppens erläutert. Zudem werden bekannte
Resultate über kontinuierliche Installment Optionen dargelegt.
Ein Algorithmus zur Bewertung von Installment Optionen, der das stochastische Dynamic
Programming Prinzip ausnutzt, wird im dritten Kapitel vorgestellt und zusammen mit einer
Monte Carlo Simulation angewendet, um Beobachtungen über Stoppzeiten von Installment
Optionen zu machen.
6
Einleitung
7
Abschließend wird die allgemeine geschlossene Formel für n-fache Installment Optionen hergeleitet. Diesem Ziel folgend wird zuerst die Herleitung für die dreifache Installment Option
präsentiert und anschließend mit Hilfe einer Beziehung zwischen multivariaten Normalverteilungen das Endergebnis formuliert.
Zusammenfassend sind die zentralen Ergebnisse dieser Arbeit
• eine neue geschlossene Bewertungsformel,
• die Untersuchung der bekanntesten numerischen Methoden zur Bewertung und ein Vergleich deren Verhalten und
• eine Charakterisierung der kontinuierlichen Installment Option.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Juniorprof. Dr. C. Kühn für die hervorragende wissenschaftliche Betreuung dieser Arbeit. Bei Herrn Prof. Dr. U. Wystup möchte ich mich für die Stellung
des interessanten Diplomarbeitsthemas und für die Unterstützung während der Entwicklung
dieser Arbeit bedanken. Für die Aufnahme als Diplomandin mit einem finanzmathematischen
Thema möchte ich Herrn Prof. Dr. G. Kersting danken. Abschließend möchte ich der Commerzbank für das zur Verfügung gestellte Datenmaterial danken.
Kapitel 1
Einführung in Installment Optionen
1.1
Terminologie
Eine Option ist ein Finanzinstrument, das dem Käufer das Recht verleiht — aber nicht die
Pflicht auferlegt — zu einer bestimmten Zeit eine spezifizierte Transaktion zu tätigen. In dieser
Arbeit entspricht dies ein Wertpapier oder ein Derivat zu einem vorgebenen Preis zu kaufen
oder zu verkaufen. Diese Spezifikationen einer Option werden Kontraktdaten genannt. Die
wesentlichen Merkmale sind folgende:
(1) Das Asset oder Underlying, auf welches sich die Option bezieht; St steht dabei für den
Wert des Underlyings zur Zeit t.
(2) Das Laufzeitende t = T und der Anfangszeitpunkt t = 0.
(3) Der Ausübungspreis oder Strikepreis. Das ist der Preis K zu welchem die Transaktion
(das Underlying zu kaufen oder zu verkaufen) zum Ausübungszeitpunkt ausgeführt wird,
sofern die Option ausgeübt wird.
Der Preis von Optionen wird durch Marktdaten, insbesondere durch den Spot St , die Volatilität
σ sowie Dividenden- und Zinsraten, δ bzw. r, des Underlyings beeinflußt.
Die einfachsten Optionen heißen Call- und Put-Optionen — es sind Standard-Optionen mit
dem Recht zum Kauf bzw. zum Verkauf. Der Payoff einer europäischen Option, die nur zum
Laufzeitende ausgeübt werden kann, ist gegeben durch
max [φ(ST − K), 0] ,
wobei φ = +1 für eine Call-Option und φ = −1 für eine Put-Option ist. Eine Put- oder
Call-Option, die zu jedem Zeitpunkt vor oder zum Laufzeitende ausgeübt werden kann ist
8
1.2. Was ist eine Installment Option?
9
amerikanischen Typs. Eine gute Einführung in die Grundlagen von Standard-Optionen bietet
beispielsweise Hull [18].
Die oben beschriebenen Optionen werden auch Plain-Vanilla Optionen genannt. Ihre Auszahlungsfunktion hat eine einfache Struktur und die entsprechenden Wertpapiere sind meist relativ
liquide. Nicht-Standard-Optionen oder exotische Optionen, zu denen auch die Installment Option gehört, unterliegen zusätzlichen Spezifikationen und zeichnen sich durch kompliziertere
Auszahlungsfunktionen aus.
1.2
Was ist eine Installment Option?
Eine Installment Option besitzt zwei Eigenschaften, die sie von der Standard-Option unterscheidet:
(1) Die Optionsprämie wird in mehrere Beträge aufgeteilt (oft werden identische Beträge
bevorzugt) und periodisch - üblicherweise monatlich oder vierteljährlich - zu vorher festgelegten Terminen über die Lebensdauer der Option hinweg bezahlt.
(2) Der Optionshalter hat das Recht diese Installmentzahlungen abzubrechen, um damit die
Option bei der ersten nichtbezahlten Rate zu terminieren.
Die Bedeutung des letzteren ist, daß sich die Fortsetzung der Ratenzahlungen erwartungsgemäß
nicht lohnt, wenn der Zeitwert der Option nicht dem aktuellen Wert der Summe der verbleibenden noch zu leistenden Zahlungen entspricht. Für dieses Recht, die Zahlungen vor Ablauf
der Option terminieren zu können, ist die geforderte Prämie einer Installment Option — in
dem Falle, daß alle Zahlungen geleistet wurden — höher als die Prämie einer vergleichbaren
Standard-Option.
Ihre Bezeichnung hat die Installment Option also durch die regelmäßig zu leistenden Ratenzahlungen (engl. Installment).
Eine kontinuierliche Installment Option ist eine Option amerikanischen Typs, d.h. es ist dem
Optionshalter zu jedem Zeitpunkt möglich, die Option zu beenden. In der Regel werden bei
einer kontinuierlichen Installment Option alle Installmentzahlungen zu Beginn geleistet und im
Falle des Optionsabbruchs der Differenzbetrag zurückerstattet. Die kontinuierliche Installment
Option wird in Kapitel 2 eingehender betrachtet.
Installment Optionen werden unter anderem auch ”Continuation Options” oder ”Pay-as-you-go
Options” genannt. Sie können auch als Verallgemeinerung einer Compound Option (Definition
siehe Abschnitt 1.5) angesehen werden.
1.2. Was ist eine Installment Option?
10
Definition 1.1 Eine Installment Option ist eine Folge von n, sich aufeinander beziehenden
Optionen mit n Ausübungszeiten t1 , . . . , tn mit tn = T (wobei oft ti = iT /n ∀ i, die ti also
äquidistant gewählt werden), n Strikepreisen k1 , . . . , kn , und n Put/Call-Indikatoren φ1 , . . . , φn
(siehe Abbildung (1.1)), wobei
(
+1,
wenn die Option i ein Call ist,
φi :=
−1,
wenn die Option i ein Put ist.
Der Käufer hat auch das Recht zu jedem Zeitpunkt ti aus dem Geschäft auszusteigen, indem
er die zu ti fällige Installmentzahlung nicht leistet. Dann ist das Geschäft beendet ohne weitere
Rechte oder Pflichten beider Vertragsparteien.
Abbildung 1.1: Terminplan der Installmentzahlungen
Bemerkung 1.1 In der Praxis wird zu Beginn ein Preis P und zu allen weiteren Zeiten ti
die Installmentraten ki gezahlt, um das Recht, die zuunterst liegende Standard-Option zum
Zeitpunkt tn−1 zu kaufen bzw. zu verkaufen, zu verlängern. Es werden also alle φ’s als CallIndikatoren gewählt bis auf φn , das +1 oder −1 ist. Ebenfalls kann das Konzept der Installment
Option verallgemeinert werden, indem die einzelnen Optionen amerikanischen oder exotischen
Typs gewählt werden. In dieser Arbeit wird die Analyse der Installment Option auf europäische
Optionen beschränkt.
Bemerkung 1.2 Mitunter werden Installment Optionen so definiert, daß der Optionshalter
zu jedem Entscheidungstermin t1 , . . . , tn eine weitere Entscheidungsmöglichkeit hat:
1. Zahlung der Installmentrate. Das erhält die Option am Leben bis zum nächsten Entscheidungstermin.
2. Keine Zahlung der Installmentrate. Das beendet die Installment Option.
3. Ausübung der Option. Das beendet die Installment Option und die Standard-Option wird
mit der Auszahlung max(φi (s−kn ), 0) ausgeübt, wobei s = Sti und kn = K der Strikepreis
der Standard-Option ist.
1.3. Beschreibung des Modells
11
Die letzte Möglichkeit führt dazu, daß sich der Preis der Installment Option erhöht. Der Besitzer
erhält dafür eine Installment Option mit einem zusätzlichen Recht gegenüber der in Definition
1.1 beschriebenen.
Bemerkung 1.3 Als eine von Definition 1.1 verschiedene Ansicht der Installment Option findet sich stellenweise in der Literatur, daß die letzte Option der n-Installment Option noch nicht
die Standard-Option ist, sondern daß mit dessen Laufzeitende erst das Recht, die StandardOption zu erwerben, ausgeübt werden kann.
Folgende Artikel über Installment Optionen von M. Davis, W. Schachermayer, R. Tompkins
[10], H. Ben-Ameur, M. Breton, P. François [3], F. Karsenty, J. Sikorav [22] und J. Hakala, U.
Wystup [17] bilden die Grundlage dieses Kapitels.
1.3
Beschreibung des Modells
Installment Optionen finden ihre Anwendung überwiegend als Devisenoptionen. Eine Devisenoption (engl. Foreign Exchange Option) ist eine Option, bei welcher das Underlying St der
aktuelle Wechselkurs zwischen der inländischen und einer ausländischen Währung (in Einheiten
der inländischen Währung) und der Strikepreis ein festgelegter Wechselkurs ist. In diesem Fall
muß zwischen den risikolosen Zinsraten der beiden Währungen unterschieden werden. Die risikolose Inlandszinsrate wird mit rd und die risikolose Auslandszinsrate mit rf bezeichnet. Beide
Zinsraten werden als konstant angenommen. M. B. Garman und S. W. Kohlhagen zeigen in [14]
die Unterschiede in den Annahmen und der Bewertungsformel zwischen Devisen- und Aktienoptionen auf. Um den Wert einer Devisenoption angeben zu können, wird diese mit einer Option
auf eine Aktie mit kontinuierlicher Dividendenrate verglichen. Bei der Option mit Dividende
erhält der Halter der Aktie während der Laufzeit der Option die Dividendenzahlungen δ, hingegen bei der Devisenoption erhält der Halter der Fremdwährung während der Laufzeit Zinsen, in
Höhe des risikolosen Zinssatzes für diese Währung. Somit können Devisenoptionen so bewertet
werden, wie Optionen auf Aktien mit kontinuierlicher Dividendenrate, indem dafür der risikolose
Zinssatz rf der Fremdwährung anstelle der Dividendenrate eingesetzt wird. Bei diesem Modell
wird im Wesentlichen das Black-Scholes Modell auf die Besonderheiten der Währungsoption
übertragen. Bezüglich der Modellierung gibt es also keinen Unterschied. Es werden in dieser
Arbeit die Annahmen des Black-Scholes Modelles vorausgesetzt und die Theorie der risikoneutralen Optionsbewertung verwendet.
1.4. Vorteile der Installment Option
1.4
12
Vorteile der Installment Option
Installment Optionen finden insbesondere Verwendung in over-the-counter (OTC) Märkten,
bei denen der Handel von Optionen direkt zwischen den Marktteilnehmern ohne Einschaltung einer Börse stattfindet. Der Vorteil von OTC-Optionen, denen Standardisierungsmerkmale weitgehend fehlen, liegt darin, daß sie auf die jeweiligen Bedürfnisse der Handelsparteien
individuell zugeschnitten werden können. Damit wird aber wiederum auch die Fungibilität der
OTC-Optionen eingeschränkt.
Installment Optionen sind wesentliche Bestandteile des ”International Treasury Management”1
und eignen sich für international tätige Konzerne, die bereit sind, ein Aufgeld für das zusätzliche
Recht zu zahlen, die Installmentzahlungen vorzeitig zu beenden und Verluste einzudämmen,
falls während der Bietungsphase die Aussicht auf Fremdwährungseingänge ausfällt.
In diesem Zusammenhang bildet eine Installment Option eine Lösung. Während ein Unternehmen, das einen Vanilla Call als Absicherung gewählt hat den Call verkaufen könnte, falls das
Basisgeschäft nicht zustande gekommen ist, geht es dabei das Risiko ein, daß der Spot fällt und
dann der Call sehr wenig wert ist. Hingegen braucht ein Unternehmen mit einer Installment
Option nicht zu befürchten den vollen Preis einer Standard-Option zu verlieren. Es kann einfach die Installment Option bei einem Installmentzahlungstermin aufgeben oder sie zu einem
entsprechend geringeren Preis wieder verkaufen. Der Vorteil dabei ist, daß die Installment Option mit einer kleineren Anfangsprämie mehr Optionalität bietet als die Standard-Option. Eine
weitere Möglichkeit für das Unternehmen ist die Installment Option trotz des entfallenen Basisgeschäftes weiterhin als spekulatives Instrument zu halten, solange der Zeitwert der Option
größer als die zukünftig zu zahlenden Installmentprämien ist. Die Abbildungen 1.2 illustrieren
unter welchen Bedingungen eine Installment Option vorteilhafter als eine Standard-Put-Option
sein kann, siehe auch unter www.amex.de [1]. Die linke Abbildung 1.2 beschreibt eine Situation, in der die Standard-Put-Option einen höheren Profit als die Installment Option erzielt.
Dabei ist der Abstand zwischen den beiden gepunkteten Linien als Standard-Optionsprämie
zu interpretieren, während die eingezeichnete Treppenfunktion die kleineren Installment Optionsprämien darstellt. Die aufsummierten Installmentprämien, falls diese alle gezahlt werden,
ergeben insgesamt eine höhere Prämie, was durch den größeren Abstand zwischen der ersten
und der letzten Prämie verdeutlicht werden soll. Infolgedessen ist der Ertrag der Installment
Put-Option zum Verfallstermin entsprechend kleiner als der Standard-Put-Optionsgewinn. Die
rechte Abbildung 1.2 hingegen zeigt, daß im Falle eines Verlustes bei der Standard-Put-Option,
dieser bei der Installment Option durch frühzeitige Terminierung eingedämmt werden kann.
1
Techniken, die von Unternehmen mit internationalen Zahlungsströmen genutzt werden, um Gewinne zu
maximieren und Risiko zu minimieren.
1.4. Vorteile der Installment Option
13
Die Verluste beschränken sich in beiden Fällen auf die anfangs gezahlten Optionsprämien,
welche bei der Installment Option durch Terminierung der Ratenzahlungen erheblich geringer
gegenüber der Standard-Option ausfällt.
Installment Optionen sind nützlich in Situationen, bei denen es eine Zeit der Unsicherheit
darüber gibt, ob die zugrunde liegende Standard-Option überhaupt gebraucht wird, d.h. ob
überhaupt eine Situation eintritt, in der ein Risiko abgesichert werden muß. Die niedrige vorab
zu zahlende Prämie kann als Absicherung gegen diese Unsicherheit angesehen werden. Zum Beispiel gibt ein zukünftiges unsicheres Ereignis dem Käufer einer Compound Option (Installment
Option für n = 2) das Recht die Option nach Eintritt eines Ereignisses abzubrechen oder die
Zahlung fortzuführen, je nachdem wie das Ereignis ausgefallen ist. Genauso sind Installment
Optionen eine nützliche Anwendung für mehrere unsichere Ereignisse oder eine unsichere Zeitspanne in der Zukunft. Da die Prämie der Installment Option ein bekannter Kostenfaktor ist,
kann diese Ausgabe im Firmenhaushalt gut kalkuliert werden, im Gegensatz zum unbekannten
Preis der zukünftig zu erwerbenden Standard-Option. Aus bilanzierungstechnischen Gründen
kann es für ein Unternehmen von Vorteil sein, daß durch die aufgeteilten Installmentprämien ein
kleinerer Investitionsbetrag in der Gewinn- und Verlustrechnung für den jeweiligen Zeitraum
erscheint.
Aus der Sicht des Verkäufers ist das einfache Hedgen der Installment Option ein positiver
Aspekt. Nach M. Davis, W. Schachermayer, R. Tompkins [10] gibt es einen sehr effektiven
statischen Hedge, der durch Arbitrageargumente aufgestellt werden kann. Auf diesen Hedge
wird in Abschnitt 1.7 genauer Bezug genommen.
Vergleich von Installment und Standard Put-Optionsgewinnen bzw.
-verlusten unter zwei Preisszenarien
Abbildung 1.2: Links: Fortsetzung der Installmentzahlungen bis zum Verfallstermin. Rechts:
Abbruch der Installmentzahlungen zum erstmöglichen Entscheidungstermin
1.5. Compound Option
1.5
14
Compound Option
Eine Compound Option ist ein Spezialfall der Installment Option für n = 2, d.h. eine Option
auf eine Option. Sie ist also eine Option, die den Halter berechtigt eine Standard-Option zu
einem zukünftigen Termin zu einer vorher festgelegten Prämie zu kaufen bzw. zu verkaufen.
Mit einfachen Worten ausgedrückt: Die Compound Option stellt das Recht dar, eine Prämie
für eine bestimmte Option zu bezahlen oder zu erhalten. De facto wird dadurch eine Laufzeitverlängerung der Option erreicht. Durch die erhöhte Flexibilität, die eine Compound Option
ihrem Halter bietet, ist die totale Prämie, d.h. die Summe der beiden Prämien, höher als die
der Standard-Option.
Sie bietet den Vorteil, daß bereits bei Geschäftsabschluss der Preis des Underlyings fixiert wird.
Investoren können sich dadurch in der Zukunft das derzeitige Volatilitätsniveau sichern. Compound Optionen werden, ähnlich wie Installment Optionen, zur Absicherung von Geschäften,
deren Abschluß nicht eindeutig fixiert ist, und damit noch Unklarheit über den tatsächlichen
Absicherungsbedarf besteht, gehandelt.
Compound Optionen werden oft zur Bewertung von early-exercise Optionen (Optionen, die vor
Laufzeitende ausgeübt werden können) verwendet. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird diese
Eigenschaft zur Bewertung von kontinuierlichen Installment Optionen ausgenutzt.
Analytische Formeln für Compound Optionen von Geske [15], Hodges und Selby [32] und Rubinstein [30] beziehen die Black-Scholes (BS) Annahmen von konstanter Volatilität ein. Angenommen zur Zeit t1 hat der Halter einer Compound Option das Recht, eine Standard-Option
VStd mit Strike k2 und Ausübungszeit t2 für eine Prämie k1 zu kaufen/verkaufen. Dann hat die
Anfangsprämie zur Zeit t0 dieser Compound Option im BS-Modell folgenden Wert,
VCp = e−rd (t1 −t0 ) E [φ1 (VStd (St1 ) − k1 )]+
= erf t2 S0 N2 [a∗ , A∗ , ρ] − e−rd t2 k1 N2 [a, A, ρ] − e−rd t1 k2 N [a],
(1.1)
für a, a∗ , A, A∗ , ρ, siehe Kapitel 4 Abschnitt 2.1. Eine kompakte Herleitung dieser Formel
findet sich in den Teaching Notes von D. Chance [5]. Mit Hilfe numerischer Integration wird
ein konkreter Wert von VCp berechnet. Möglichkeiten der numerischen Berechnung des Wertes
einer Compound Option sind:
1. Binomialbäume
Das Binomialmodell wurde von Cox, Ross und Rubinstein [8] aufgestellt. Es basiert auf
der Konvergenz der Binomialverteilung gegen die Normalverteilung nach dem Gesetz der
großen Zahlen. Die Preisbewegungen der Log-Returns (Logarithmus der relativen Wechselkurspreisänderung) des Underlyings werden mittels konstanter Auf- und Abwärtsbewegungen in einem Binomialbaum modelliert. Dabei stellt die Baumtiefe die Laufzeit der
1.5. Compound Option
15
Option in diskreter Zeit dar und somit ist die Anzahl der Zeitschritte im Binomialbaum für
eine realistische Modellierung der Preisbewegungen relevant. Der Standard-Optionswert
wird durch Rückwärtsinduktion errechnet (Man beginnt mit den Blättern des Binomialbaums, berechnet die Werte der Knoten zum nächstfrüheren Zeitpunkt und fährt damit
fort bis schließlich der Wert des Anfangsknotens bestimmt ist.). Zur Berechnung des
Compound Optionswertes führt man eine weitere, der Lebensdauer der Compound Option (”Tochter Option”) entsprechende Rückwärtsinduktion im Baum durch. Die Anwendung des Binomialmodells ist also sinnvoll, wenn die zeitliche Änderung des Underlyings
normal- oder lognormal-verteilt ist. Für beispielsweise pfadabhängige oder amerikanische
Optionen müßten zusätzliche Anpassungen im Modell vorgenommen werden. Eine effizientere Variante sind die Leisen-Reimer Bäume [24].
2. Finite Differenzenverfahren
Bei der Diskretisierung der Zeit und des Zustandes mit Finiten Differenzen werden die
Ableitungen des Differentialoperators der gegebenen partiellen Differentialgleichung durch
Differenzenquotienten approximiert. Man verwendet dazu üblicherweise ein strukturiertes Gitter und erhält für jeden Knoten ein lineares Gleichungssystem. Das resultierende
Gleichungssystem kann mit iterativen Verfahren effizient gelöst werden. Eine Darstellung
der Optionsbewertung mittels explizitem Finite Differenzenverfahren findet sich in J. DeWynne, S. Howison and P. Wilmott [11]. Zur Bewertung von Installment Optionen wird
für ihren Preis eine partielle Differentialgleichung aufgestellt, die mit Hilfe des Finiten
Differenzenverfahrens approximiert werden kann.
3. Geschlossene Lösung
Für die europäische Standard-Option und einige andere Optionen ist es möglich, eine
geschlossene Lösung herzuleiten. Wie später gezeigt wird, ist eine Berechnung der Optionswerte mittels einer geschlossenen Lösung wesentlich schneller als beispielsweise mit
Binomialbäumen bei ähnlichen Genauigkeitsbedingungen. Das ist im Fall der Installment
Optionen darauf zurückzuführen, daß die Auswertung der Normalverteilungsfunktionen
schneller als die anderen hier betrachteten numerischen Verfahren ist. Geschlossene Lösungen sind mathematisch eleganter, aber meist schwierig herzuleiten.
4. Numerische Integration
Es gibt zahlreiche Verfahren der numerischen Integration. Eine gute Quelle für solche
Techniken ist Press et. al [26]. Wenn die zu approximierende Funktion analytisch bekannt
ist, wie in diesem Fall, ist eine gute numerische Methode die Gaußsche Quadratur. Diese
Technik approximiert das Integral einer Funktion f , indem die Funktion an bestimmten
1.6. Bewertung der Installment Option im Black-Scholes Modell
16
x-Werten ausgewertet und gewichtet wird und diese aufsummiert werden. Die numerische
Integration führt also zur Diskretisierung im Zustand. Die Genauigkeit der Gauß Quadratur Technik hängt von der Anzahl dieser Stützstellen und von der Art des Integranden
ab. Das fundamentale Theorem der Gaußschen Quadratur besagt, daß die optimalen xWerte der m-Punkt Gauß Quadratur Formeln genau die Nullstellen von orthogonalen
Polynomen sind. Eine Form der Gauß Quadratur ist die Gauß-Legendre Integration, die
die Nullstellen der Legendre-Polynome und Gewichtsfunktion W (x) = 1 im Intervall
[−1, 1] zugrunde legt. Um das Integral mit Intergrationsgrenzen a und b zu approximie+ b−a
x durchgeführt. Die Wahl der Integrationsgrenzen
ren, wird die Substitution t = a+b
2
2
zur Berechnung eines Optionspreises sollte einbeziehen, daß die Tails der Verteilung an
diesen Stellen bei der Auswertung abgeschnitten werden. Sind diese klein genug, ist die
Genauigkeit des Ergebnisses akzeptierbar.
Eine Installment Option ist eine iterierte Compound Option oder eine verallgemeinerte Compound Option mit typischerweise mehreren Installments im Gegensatz zu den beiden Prämienzahlungen der Compound Option. Die Installmentraten korrespondieren mit den Ausübungspreisen von sich aufeinander beziehenden Optionen, d.h. von Optionen auf Optionen auf Optionen ... etc. Daher sind zur Bewertung prinzipiell dieselben Methoden wie zur Bewertung der
Compound Option anwendbar. Den konkreten Wert auszurechnen, wird allerdings mit zunehmender Anzahl der Installmentoptionen immer rechenaufwendiger und der berechnete Wert
durch die wiederholten Approximationen immer ungenauer (siehe Abschnitt 4.3). Die Bewertungsformel einer Installment Option herzuleiten ist kompliziert, und die Berechnung eines
Optionswertes erfordert meist eine numerische Lösung, wobei unter anderem die Auswertung
von multivariaten Normalverteilungsfunktionen notwendig ist.
1.6
Bewertung der Installment Option im Black-Scholes
Modell
Die Wertfunktion einer Installment Option zu beliebigen Zeitpunkten im Black-Scholes Modell kann mittels iterativer Integration bestimmt werden. Dadurch entsteht ein exakter Ausdruck mit Mehrfachintegralen, dessen konkreter Wert approximativ berechnet werden kann
(z.B. durch Gauß-Legendre Integration).
Der Preisprozeß des Wechselkurses (Underlyings) St genügt folgender stochastischer Differentialgleichung (SDE) unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß
dSt = St [(rd − rf )dt + σdWt ]
für 0 ≤ t ≤ T,
1.6. Bewertung der Installment Option im Black-Scholes Modell
17
wobei rf die konstante risikolose Zinsrate der Fremdwährung, rd die konstante risikolose Zinsrate der Heimatwährung, σ die Volatilität und Wt eine Standard Brownsche Bewegung ist. Die
Lösung dieser SDE ist die bekannte geometrische Brownsche Bewegung,
√
St2 = St1 exp((rd − rf − σ 2 /2)∆t + σ ∆tZ)
für 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ T,
(1.2)
mit ∆t = t2 − t1 und einer standard-normalverteilten Zufallsvariablen Z, unabhängig von der
Vergangenheit von St bis zur Zeit t1 .
Sei t0 = 0 der Zeitpunkt des Vertragsbeginns der Installment Option und t1 , t2 , . . . , tn = T
eine Menge von Entscheidungsterminen, die im Vertrag festgelegt werden und zu welchen der
Optionshalter die Prämien k1 , k2 , . . . , kn−1 zahlt, um die Option am Leben zu erhalten. Um
die Anfangsprämie berechnen zu können, wird mit dem Laufzeitende T begonnen, an dem der
Payoff der Option bekannt ist,
Vn (s) := [φn (s − kn )]+ := max[φn (s − kn ), 0],
wobei s = ST der unsichere Wert des Wechselkurses zur Zeit T ist und φn = +1 für eine CallOption, φn = −1 für eine Put-Option.
Zum vorletzten Termin tn−1 muß im Falle einer Call-Option der Käufer also kn−1 bezahlen, um
eine klassische europäische Option zu erwerben, deren Preis zum Zeitpunkt tn−1
Vn−1 (s) := VStd (s) = e−rd (tn −tn−1 ) E[[φn (ST − kn )]+ | Stn−1 = s]
ist.
Natürlich wird der Käufer dies nur tun, wenn VStd ≥ kn−1 gilt, d.h. es liegt nur an der Differenz
zwischen VStd und kn−1 , ob der Käufer die Call-Option verlängert, nicht an den bisher gezahlten
Raten. Kurz bevor der Käufer kn−1 bezahlt, besitzt er ein Asset mit folgendem Wert max[VStd −
kn−1 , 0], also eine Compound Call-Option VCp mit Laufzeit zwischen tn−2 und tn−1 , mit Strike
kn−1 , Entscheidungstag tn−1 und Underlying VStd . Zahlt der Käufer kn−1 bei tn−1 , bedeutet dies,
daß er den Kontrakt VCp ausübt. Analog ist dies für Compound Put-Optionen zu verstehen,
und damit hat eine Compound Option den Wert
Vn−2 (s) := VCp (s) = e−rd (tn−1 −tn−2 ) E[[φn−1 (Vn−1 (Stn−1 ) − kn−1 )]+ | Stn−2 = s]
zur Zeit tn−2 .
Die weiteren Schritte sind analog: Man assoziert die Option Vi mit der Option Vi+1 , so daß Vi
eine Option auf Vi+1 mit Strike ki und Entscheidungstag ti ist. Geschieht dies für alle i ≤ n − 1,
so ist
P := V0 (s) = e−rd (t1 −t0 ) E[[φ1 (V1 (St1 ) − k1 )]+ | St0 = s]
1.6. Bewertung der Installment Option im Black-Scholes Modell
18
die erste Installmentrate, die das Geschäft bei t0 = 0 eröffnet bzw. der eindeutige arbitragefreie
Wert der Installment Option zum Zeitpunkt t0 im BS-Modell. Die Abbildung 1.3 soll diesen
Zusammenhang veranschaulichen.
Abbildung 1.3: Lebensdauer der Optionen Vi
Somit entsteht ein exakter Ausdruck für die Wertfunktion einer Installment Option
Vi−1 (s) = e−rd (ti −ti−1 ) E[[φi (Vi (Sti ) − ki )]+ | Sti−1 = s], für i = 1, . . . , n.
Diese ineinander geschachtelten Erwartungswerte bedeuten zur Berechnung eines konkreten
Optionwertes die Auswertung eines Mehrfachintegrals. Zur tatsächlichen Berechnung eines Installment Optionswertes, gilt es diesen Ausdruck bestmöglich zu approximieren. Einige Möglichkeiten werden in den folgenden Kapiteln vorgestellt.
Eine gängige Form der Installmentraten ist, für feste ti die ki derart zu bestimmen, daß diese
alle gleich sind mit f = ki = konst., 1 ≤ i ≤ n − 1. Der Strikepreis der Standard-Option bleibt
frei wählbar. Diese identische Prämie f , die im Artikel von M. Davis, W. Schachermayer, R.
Tompkins [10] ”Fair Premium” genannt wird, kann durch Nullstellensuche der Wertfunktion
der Installment Option bei t0 = 0 in Abhängigkeit des Strikepreises bestimmt werden. Die
anderen Größen durch die der Wert der Installment Option bestimmt ist, werden fest gewählt,
so daß für die identische Prämie V0 (f ) − f = 0 gelten soll.
Der Wert einer Installment Option hängt im zufälligen Sinn nur vom Wechselkurs St der zuunterst liegenden Standard-Option ab. In diesem Abschnitt wird das Verhalten des Installment
Optionswertes als Funktion des Wechselkurses zu verschiedenen Zeitpunkten beschrieben, vergleiche auch F. Karsenty, J. Sikorav [22]. Zur Vereinfachung wird eine Installment Option
betrachtet, die nur aus Calls Ci (für i = 1, . . . , n) zusammengesetzt ist, mit Ausübungszeiten ti
1.6. Bewertung der Installment Option im Black-Scholes Modell
19
(i = 2, . . . , n) Strikepreisen ki (i = 2, . . . , n) und Anfangsprämie P . Bei ti− , also unmittelbar vor
dem i-ten Entscheidungszeitpunkt ti , ist die Installment Option eine Option auf Ci mit Strike
ki und Payoff max[Ci − ki , 0]. Die Wertfunktion der Installment Option in Abhängigkeit von St
nähert sich für t → ti der Payoff-Funktion zum Zeitpunkt ti an, wie links in Abbildung 1.4 an
den beiden gepunkteten mittleren Funktionen zu erkennen ist (a ist eine Payoff-Funktion vor
der 3. Zahlung und b ist die Payoff-Funktion unmittelbar vor der 3. Zahlung). Außerdem ist Ci
eine wachsende Funktion in St , da sie eine Zusammensetzung mehrerer Optionen ist und jede
dieser Funktionen wachsend in St ist. Nach der i-ten Zahlung ”springt” die Wertfunktion wieder
zurück (links in Abbildung 1.4, von der durchgezogenen untersten Funktion zu der gestrichelten
obersten Funktion), ist jedoch niedriger als nach der (i − 1)-ten Zahlung, da die Option mit
ablaufender Zeit an Wert verliert. Bezeichnet Mi den Wert von St , für den Ci (St = Mi ) = ki
gilt, führt die Bedingung Ci > ki zu der Ungleichung bezüglich des Preises des Underlyings:
Sti > Mi . Dieser Wert Mi ist der Wechselkurs, zu welchem sich die Wertfunktion der Installment Option bei ti+ und die horizontale Achse ki schneiden. Die Wertfunktionen in der linken
Abbildung 1.4 wurden mit Hilfe des Binomialbaumverfahrens berechnet.
Abbildung 1.4: Links: Wertfunktion der Call Installment Option mit 4 Installmentraten k1 =
k2 = k3 = 2, k4 = 95 und r = 5%, σ = 20%, S0 = 100. Rechts: Konvergenz der identischen
Prämie der diskreten Installment Option gegen die der kontinuierlichen Installment Option
Ein bereits erwähnter Vorteil der Installment Option im Vergleich zur Standard-Option ist
die zusätzliche Handlungsfähigkeit, die dem Optionshalter zu jedem Installmenttermin zur
Verfügung steht und mittels derer sich die in der Zwischenzeit gewonnene Information umsetzen läßt. Daher ist im Vergleich zum Black-Scholes Wert einer Standard-Option die Summe
der Installmentraten höher,
un =
n−1
X
i=0
fn e−rd ti
mit ti = i∆t und n∆t = T.
1.7. Statisches und dynamisches Hedgen
20
un entspricht dem Preis einer n-Installment Option mit Entscheidungszeitpunkten ti und gleichbleibenden Prämienzahlungen fn bei ti , 0 ≤ i ≤ n − 1 (identische Prämie),im Gegensatz zu
den verschieden wählbaren Prämien ki zuvor und K dem Ausübungspreis der Standard-Option.
D.h. zu Beginn dieses Abschnittes wurde der Anfangswert der Installment Option in Abhängigkeit der restlichen Strikepreise bestimmt, hingegen für die Bestimmung der identischen Prämie
ist der Strikepreis K der Standard-Option vorgegeben.
Mit wachsender Anzahl der Installments n erhöht sich die Gesamtprämie der Installment
Option un aufgrund ihrer zunehmenden Optionalität. Die rechte Abbildung 1.4 läßt vermuten, daß un gegen eine obere Schranke
Z T
e−rd s ds
U =g
0
konvergiert, wenn n → ∞ (und ∆t → 0). Die Prämie g ist die identische Prämienrate für
eine kontinuierliche Installment Option bei welcher gdt zwischen t und t + dt gezahlt wird,
mit dem Recht jederzeit die Option terminieren zu können. Mit wachsendem n müssen die
Installmentzahlungen kleiner werden und g korrespondiert mit dem Limes
fn
→ g.
∆t
Die Existenz und die Beschreibung dieser oberen Schranke wird in Abschnitt 2.3 für kontinuierliche Installment Optionen bewiesen.
1.7
Statisches und dynamisches Hedgen
Im vorhergehenden Abschnitt wurde die Wertfunktion der Installment Option unter den Annahmen des BS-Modells bestimmt. Dieser Wert korrespondiert daher mit der Konstruktion
eines risikolosen dynamischen Hedge Portfolios. Ohne Annahmen über die Modellierung des
Preisprozesses zu machen, kann eine andere Betrachtungsweise der Installment Option dazu
genutzt werden No-Arbitrage-Grenzen2 aufzustellen. Dazu wird der Wert der Installment Option mit dem Wert eines statischen Hedge Portfolios verglichen. Wenn der Preis der Installment
Option zwischen diesen Grenzen liegt, dann kann eine statische Hedging Strategie basierend
auf diesem Portfolio in der Praxis als Anleitung für einen, aus Sicht des Optionsstillhalters,
effektiven statischen Hedge, der nach seiner Einrichtung nicht mehr verändert werden muß,
dienen. In dem Artikel [10] von M. Davis, W. Schachermayer und R. Tompkins werden diese
2
No-Arbitrage-Grenzen sind obere und untere Schranken für Optionspreise. Diese Schranken werden unabhängig von der Modellierung der zugrunde liegenden Basispreise nur mit Hilfe von Arbitrageargumenten
hergeleitet, d.h. es darf kein Optionspreis festgesetzt werden, der Arbitragemöglichkeiten zuläßt.
1.7. Statisches und dynamisches Hedgen
21
No-Arbitragegrenzen für Installment Call-Optionen aufgestellt. Um ein möglichst geschlossenes
Bild der Installment Option zu präsentieren, wird in diesem Abschnitt das Prinzip des in [10]
entwickelten Hedge für Installment Optionen skizziert. Im Weiteren dieser Arbeit wird dieser
nicht mehr aufgegriffen.
Betrachtet man die diskontierten Prämienzahlungen einer Installment Option mit
Installmentraten k1 , . . . , kn zu Zeiten t1 , . . . , tn = T und Anfangsprämie V0 := k0 bei t0 , erP
geben diese zusammen p0 := ni=0 ki e−rd (ti −t0 ) . Der Optionshalter kauft bei t0 die Installment
Option zum Preis p0 und hat damit das Recht eine Standard-Option mit Strike kn := K zum
Zeitpunkt tn−1 zu erwerben, oder er kann zu einem beliebigen Installmenttermin tj (1 ≤ j ≤ n)
die Option abbrechen und erhält die restlichen Installmentraten zurück.
Diese Situation ist äquivalent zu folgendem Vorgehen: Bei t0 wird zum Preis p0 die zuunterst
liegende Standard-Option erworben plus einem Put, der das Recht verbrieft, sie zu jedem ZeitP
punkt tj (1 ≤ j ≤ n) für qj = ni=j ki e−rd (ti −tj ) zu verkaufen.
Damit bestehen dieselben Rechte und Entscheidungsmöglichkeiten wie bei einer Installment
Option: Nach Laufzeitende des Puts ist das Endergebnis bei Nichtausübung die StandardOption, andernfalls, bei Ausübung des Puts in tj , werden die restlichen Prämien, die den noch
nicht bezahlten Installmentraten ab tj entsprechen, zurückgezahlt. Die Installment Option ist
also äquivalent zur zuunterst liegenden Standard-Option plus einem Bermuda Put (Option,
bei welcher vorzeitiges Ausüben auf bestimmte Zeiten beschränkt ist) auf diese Option mit
zeitabhängigem Strike qj .
Die beschriebene Äquivalenz führt zu No-Arbitragegrenzen für eine n-Installment Call-Option
mit Anfangsprämie k0 und weiteren Prämien k1 bei t1 , . . . , tn−1 :
Proposition 1.1 Es existiert eine Arbitragemöglichkeit, wenn k0 und k1 nicht den Bedingungen
C(t0 , T, K + k̂1 ) > k0 > [C(t0 , T, K) − e−rd (T −t0 ) k̂1 + PBer (t0 )]+
genügen, wobei
k̂1 = k1
n−1
X
erd (T −ti )
i=1
und PBer (t0 ) den Preis einer Bermuda Put-Option zur Zeit t0 bezeichnet, mit Underlying St ,
Ausübungszeiten t1 , . . . , tn−1 und Strikepreisen
Ki = k 1
n−1
X
e−rd (tj −ti )
j=i
sowie C den Preis einer europäischen Call-Option mit Laufzeit T und Strike K + k̂1 bezeichnet.
1.7. Statisches und dynamisches Hedgen
22
Intuitive Erklärung der rechten Ungleichung: Der Wert einer Bermuda Option auf die StandardOption ist größer als eine äquivalente Bermuda Option auf das Underlying. Die Differenz erzeugt
die rechte Ungleichung, wenn die Maximumsfunktion positiv ist. Denn ist die Installment CallOption k0 + e−rd (T −t0 ) k̂1 äquivalent zum Call C(t0 , T, K) plus dem Bermuda Put auf diesen
Call PBer (Call), wird die rechte Seite der obigen Ungleichung kleiner, indem anstelle dieses
Bermuda Puts ein Bermuda Put auf das Underlying PBer (t0 ) gesetzt wird. Theoretisch kann
die Anfangsprämie k0 Null betragen. Dies würde allerdings zu der absurden Situation führen,
in welcher die optimale Stoppzeit t0 = 0 ist. Die Option macht demnach nur Sinn, wenn k0 > 0
ist. Damit gilt die rechte Ungleichung auch dann noch, wenn die Maximumsfunktion von der
rechten Ungleichung gebildet wird.
Für n = 2 wird Proposition 1.1 in [10] bewiesen. Aus der linken Ungleichung ensteht die
Beschreibung des Hedge: Der Verkäufer der Installment Option kann seine Position nun durch
0
0
den Kauf einer europäischen Option mit einem Strike K absichern. K ist zusammengesetzt
aus dem Strike K der zuunterst liegenden Option der Installment Option, plus — im Falle eines
Installment Calls — der Summe der noch eventuell zukünftig zu zahlenden Installmentraten
k̂1 = k1
n−1
X
0
erd (T −ti ) , also K = K + k̂1 .
i=1
Seine Absicherungsstrategie besteht also aus einem statischen Hedge unter Verwendung einer
europäischen Standard Call-Option. Diese wird teilweise durch die vom Optionshalter erhaltene Installmentprämie k0 finanziert, der Differenzbetrag C(t0 , T, K + k̂1 ) − k0 wird zum Zins
rd geliehen.
Dieses Portfolio kann nur Gewinne abwerfen. Wird bei einem Installmenttermin die Installment
Option terminiert, verkauft der Optionsstillhalter den Call. Andernfalls bei Fortsetzung der Installment Option bezieht er die Installmentrate vom Optionshalter. Folglich hängt der Gesamtverlust nur von dem anfangs geliehenen Differenzbetrag zwischen Call und Installmentprämie
ab. Wenn diese Differenz nicht positiv ist, existiert nach obigem Satz eine Arbitragemöglichkeit,
d.h. es gilt für einen optimalen Hedge den zu leihenden Betrag zu minimieren.
Der Vorteil des statischen Hedge ist, daß die möglichen Verluste auf den geliehenen Betrag, der
benötigt wurde, um den Hedge aufzustellen, auf den Anfangsbetrag beschränkt sind. Andererseits sind die potentiellen Gewinne, wenn die Installment Option nicht verlängert wurde und
der Verkäufer den europäischen Call verkauft, unbeschränkt.
Eine weitere mögliche Hedgingstrategie des Installmentoptionsverkäufers wäre die Installment
Option dynamisch zu hedgen, d.h. die Optionsposition durch periodische Veränderung der Position, die im Underlying gehalten wird, abzusichern. Der Delta Hedge im Underlying St wird
1.8. Anwendungsbeispiel einer Installment Option
23
zu Beginn getätigt, finanziert wird dies durch die erhaltene Installmentprämie und einen gegebenenfalls zu leihenden Restbetrag, und dieses Hedge Portfolio wird, wenn nötig, im Laufe der
Lebenszeit der Installment Option mit Hilfe eines neu berechneten Deltas angepaßt.
Das Delta der Installment Option ist am Anfang und während der Lebenszeit der Option
betragsmäßig kleiner als das Delta der europäischen Standard-Option, da die Wahrscheinlichkeit, daß die Installment Option verlängert und letztendlich ausgeübt wird, kleiner als bei der
Standard-Option ist. Die Hedgekosten werden durch die Ratenzahlungen ki mitfinanziert. Sobald die letzte Installmentzahlung getätigt wurde, sind ab diesem Zeitpunkt das Delta der
Installment Option und das Delta der Standard-Option einander gleich.
Auch andere Marktrisiken, wie die Schwankung der Volatilität, werden mit entsprechenden
Instrumenten abgesichert.
1.8
Anwendungsbeispiel einer Installment Option
In diesem Abschnitt wird ein Geschäftsszenario einer Firma beschrieben, das eine Anwendungsmöglichkeit einer Installment Option in der Praxis illustrieren soll.
Eine europäische Firma erwartet durch Export in die USA Einnahmen in Höhe von 25 Mio.
US-Dollar in einem Jahr und wünscht diese in Euro umzutauschen. Zum Entscheidungszeitpunkt ist der EUR/USD-Kurs mit 1.0259 notiert (Der Wechselkurs wird in ”x Einheiten der
Heimatwährung/ 1 Einheit der Fremdwährung” angegeben.), d.h. die Firma würde für 1.0259
Mio. US-Dollar 1 Mio. Euro erhalten. Aufgrund geschäftlicher Unsicherheiten ist mit den USDollar Einnahmen in einem Jahr noch nicht fest zu rechnen.
Die Firma könnte sich mit einer einfachen Standard EUR Call-Option mit Strike 1.0500 gegen
Kursänderungen nach oben absichern. Wenn der Kurs fällt, verkauft sie den USD-Betrag am
Markt, steigt jedoch der Kurs über den Strikepreis verkauft sie die 25 Mio. US-Dollar zum Kurs
1.0500. Eine solche Standard EUR-Call (USD-Put) Option würde 950.000 US-Dollar kosten.
Da die US-Dollar Einnahme zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht gesichert ist, diese aber nach
bestimmten geschäftlichen Ereignissen mit einer höheren Wahrscheinlichkeit eintreten wird,
könnte es für die Firma günstiger sein, erst einen Teilbetrag der Standardoptionskosten zu
investieren, um später eine bessere Entscheidung treffen zu können, also eine Installment Option europäischen Typs mit vier Installmentzahlungen und einer Laufzeit von einem Jahr zu
erwerben. Mit dieser Installment Option erwirbt die Firma das OTC-Recht zu einem Strike
von 1.0500 einen EUR-Call/ USD-Put mit Nominal 25 Mio. US-Dollar in einem Jahr zu erwerben. Der EUR- bzw. USD-Zins für einjährige Laufzeiten beträgt 2.4050% bzw. 1.4894%
p.a. zum Entscheidungszeitpunkt. Die Anfangsprämie der Installment Option beträgt 285.000
US-Dollar. Die zweite Installmentrate ist 3 Monate nach Laufzeitbeginn zu leisten. Der Options-
1.8. Anwendungsbeispiel einer Installment Option
24
halter bezahlt 285.000 US-Dollar, um die Installment Option zu verlängern. Die weiteren Installmenttermine liegen in dreimonatigem Abstand zueinander, und die Installmentraten haben
ebenfalls eine Höhe von 285.000 US-Dollar. Im Falle einer Optionsverlängerung ist der Käufer
verpflichtet, bis zum sogenannten Prolongationstag dem Verkäufer dies mitzuteilen und leistet
die Prämienzahlung am vereinbarten Valutatag, um sein Recht auf Ausübung der Installment
Option aufrechtzuerhalten. Bei Unterlassung einer Installmentzahlung verliert der Käufer dieses
Recht am Fälligkeitstag (1 Jahr nach Laufzeitbeginn). Die Installment Option wird daraufhin
automatisch beendet.
Diese Beträge wurden mit marktgerechten Zinsstrukturkurven und Volatilitätskurven berechnet, wohingegen die in dieser Arbeit vorgestellten Bewertungsmethoden konstante Zinsraten
und Volatilität voraussetzen.
Die Zahlenangaben aus obigem Beispielszenario stammen aus einem real gehandelten Kontrakt,
der zur Anschauung in Anhang B abgebildet ist.
Kapitel 2
Bewertung und Hedge von
kontinuierlichen Installment Optionen
Das Ziel dieses Kapitels ist die Bewertung kontinuierlicher Installment Optionen im Kontext
des zeitkontinuierlichen Black-Scholes Modells. Zuerst wird das Konzept eines amerikanischen
Claims vorgestellt und das optimale Stoppproblem hinsichtlich der Arbitragebewertung amerikanischer Claims erörtert. Hierfür wird zunächst eine Grundlage fundamentaler Ergebnisse
über die Existenz und die Eigenschaften optimaler Stoppzeiten geschaffen. Dann wird ein analytischer Ansatz zur Bewertung von kontinuierlichen Installment Optionen nach einem Artikel
[10] von M. Davis, W. Schachermayer und R. Tompkins präsentiert, d.h. das optimale Stoppproblem für kontinuierliche Installment Optionen wird in Form von ”variational inequalities”
formuliert und außerdem die Approximation durch diskrete Installment Optionen bewiesen.
Um die Analyse über kontinuierliche Installment Optionen zu vervollständigen, konzentriert
sich dieses Kapitel abschließend auf die Beziehung optimaler Ausübungsstrategien im Zusammenhang mit kontinuierlichen Installment Optionen.
2.1
Bewertung von amerikanischen Optionen mittels Contingent Claim Analyse
Im Gegensatz zu einem Halter einer europäischen Option besteht für einen Halter einer amerikanischen Option zu jeder Zeit bis zum Laufzeitende die Möglichkeit, sein Recht auszuüben,
d.h. das zugrunde liegende Asset zu kaufen (oder zu verkaufen). Diese spezielle Eigenschaft
von Optionen amerikanischer Art – oder allgemeiner: amerikanischer Claims – bewirkt, daß die
Arbitragebewertung amerikanischer Optionen wesentlich komplizierter ist als die Bewertung europäischer Claims. Die Arbitragebewertung amerikanischer Claims steht in enger Beziehung zu
25
2.1. Bewertung von amerikanischen Optionen mittels Contingent Claim Analyse
26
optimalen Stoppproblemen. Intuitiv würde man erwarten, daß der Halter einer amerikanischen
Option seine Ausübungsstrategie in solcher Weise wählt, daß die erwartete Auszahlung der Option maximiert wird. Eine Maximierung der erwarteten diskontierten Auszahlung unter subjektiver Wahrscheinlichkeit führt zur Mehrdeutigkeit des Preises, wohingegen eine Maximierung
der erwarteten diskontierten Auszahlung eines amerikanischen Claims unter dem Martingalmaß (d.h. unter der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit) die Eindeutigkeit des Arbitragepreises
garantiert, siehe hierzu Kapitel 8 in M. Musiela, M. Rutkowski [25].
Um dieses Konzept zu formalisieren, wird zunächst eine Klasse zulässiger Ausübungszeiten eingeführt. Intuitiv ist die Entscheidung, einen amerikanischen Claim zur Zeit t auszuüben, auf
den Beobachtungen der Devisenpreisfluktuationen bis zur Zeit t begründet. Modelliert wird
dies durch eine Folge von σ-Algebren, Ft = σ(St ), die durch den Devisenkursprozeß St erzeugt werden1 , wodurch die zur Zeit t verfügbare Information repräsentiert wird. Es wird also
angenommen, daß Stoppzeiten zulässige Ausübungszeiten sind.
Definition 2.1 Eine Zufallsvariable τ : (Ω, F, P) → [0, T ] mit T < ∞ ist eine Stoppzeit der
Filtration F, wenn für jedes t ∈ [0, T ] das Ereignis {τ ≤ t} ∈ Ft .
Sei Tt,T die Menge aller Stoppzeiten τ der Filtration F für die P(t ≤ τ ≤ T ) = 1 gilt. Dann ist
ein amerikanischer Claim definiert durch die
Definition 2.2 Ein amerikanischer Contingent Claim ist ein nichtnegativer, Ft -adaptierter
Prozeß C = (C(t))0≤t≤T mit (a) einem Laufzeitende T , (b) der Auswahl einer Stoppzeit τ ∈ T0,T
und (c) einer Auszahlung zum Ausübungszeitpunkt.
Der Prozeß H = (H(t))0≤t≤T sei die diskontierte Auszahlung von C. Typische Beispiele amerikanischer Claims sind amerikanische Optionen.
Das Ziel des Käufers ist diejenige Auszahlung der Klasse {H(τ ) | τ ∈ T0,T } zu finden, die in
dem Sinne optimal ist, daß sie maximale Erwartung hat. Das optimale Stoppproblem besteht
also aus
(i) der Berechnung der maximalen erwarteten Auszahlung
U (0) := sup E[H(τ )],
τ ∈T0,T
1
Da im Black-Scholes Modell F = F W = F S nach (1.2) ist, ist jede Stoppzeit der Filtration F ebenso eine
Stoppzeit der Filtration F S erzeugt durch den Devisenkursprozeß S.
2.1. Bewertung von amerikanischen Optionen mittels Contingent Claim Analyse
27
(ii) der Herleitung von Bedingungen für die Existenz einer Stoppzeit τ∗ , die ”optimal” ist,
d.h. deren erwartete Auszahlung E[H(τ∗ )] das Supremum in (i) annimmt,
(iii) der Charakterisierung eines solchen τ∗ und der Betrachtung dessen Eigenschaften.
Die Theorie der optimalen Stoppzeiten wird im folgenden Abschnitt eingeführt, um sie im
Abschnitt 2.3 auf die Bewertung einer kontinuierlichen Installment Option anwenden zu können.
2.1.1
Optimales Stoppen in kontinuierlicher Zeit
Die Ergebnisse dieses Abschnittes stammen aus A. G. Fakeev [12] und I. Karatzas, S. E. Shreve
[20]. In dieser Ausführung wird vorausgesetzt, daß die Laufzeit T eine endliche Konstante ist,
und die Resultate sind demgemäß modifiziert.
Folgende Annahmen werden für diesen Abschnitt getroffen:
Betrachtet wird ein nichtnegativer, rechtsstetiger Prozeß (H(t))0≤t≤T , definiert auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) und adaptiert an diese Filtration {Ft }0≤t≤T , die die
üblichen Bedingungen der Rechtsstetigkeit2 und der Vollständigkeit bezüglich P erfüllt. Dabei wird angenommen, daß P trivial auf F0 ist, d.h. P[A] ∈ {0, 1}∀A ∈ F0 . Desweiteren soll
0 ≤ E[supt∈[0,T ] H(t)] < ∞ gelten.
Um das optimale Stoppproblem analysieren zu können, werden zunächst einige Definitionen
eingeführt.
Definition 2.3 Für eine beliebige Menge von Zufallsvariablen X sei mit X ∗ := ess.sup X die
Zufallsvariable bezeichnet, für die gilt
1. X ≤ X ∗ f.s. für alle X ∈ X und
2. X ∗ ≤ Y f.s., wenn Y eine Zufallsvariable mit X ≤ Y f.s. ∀X ∈ X .
Die Zufallsvariable X ∗ heißt essentielle obere Schranke oder essentielles Supremum der Menge
X.
Es kann gezeigt werden, daß
(A) von jeder nichtleeren Menge von Zufallsvariablen eine essentielle obere Schranke existiert
und diese fast sicher eindeutig ist;
2
Es gilt Ft = Ft+ :=
T
u>t
Fu ∀ t ≥ 0, d.h. die Filtration {Ft } ist rechtssteitg.
2.1. Bewertung von amerikanischen Optionen mittels Contingent Claim Analyse
28
(B) wenn X maximumsstabil ist, d.h. X, Y ∈ X ⇒ X ∨ Y ∈ X , es dann eine monoton
∗
wachsende Folge {Zn }∞
n=1 von Zufallsvariablen aus X mit X = limn→∞ Zn f.s. existiert;
(C) ∀t ∈ [0, T ] die Familie Ft -meßbarer Zufallsvariablen {E[H(τ ) | Ft ]}τ ∈Tt,T , maximumsstabil
auf (Ω, Ft ) ist.
Die Beweise von (A)-(C) sind in I. Karatzas, S. E. Shreve [20] zu Theorem A.3 und Lemma
D.1 zu finden.
Mittels dieser Eigenschaften wird die sogenannte Snell Envelope oder Snell Einhüllende von H
bezüglich P konstruiert.
Definition 2.4 Sei (H(t))0≤t≤T ein stochastischer Prozeß, adaptiert an eine Filtration F und
sei der Ft -meßbare Prozeß (U 0 (t))0≤t≤T definiert durch
U 0 (t) := ess.supτ ∈Tt,T E[H(τ ) | Ft ].
Dann heißt die rechtsstetige Modifikation U (t) von U 0 (t), d.h. mit P[U (t) = U 0 (t)] = 1 ∀t, Snell
Envelope von H (Die Existenz wird in Theorem 2.1 bewiesen.).
Die Snell Envelope hat die wichtige Eigenschaft, daß sie das kleinste rechtsstetige Supermartingal ist, das H majorisiert (siehe Theorem 2.1 unten), wobei ein Prozeß (X1 (t))0≤t≤T einen
Prozeß (X2 (t))0≤t≤T majorisiert, wenn P[X1 (t) ≥ X2 (t), ∀0 ≤ t ≤ T ] = 1 gilt. Ein Supermartingal wird in folgender Weise definiert.
Definition 2.5 Ein stochastischer Prozeß (X(t))t≥0 heißt Supermartingal bezüglich der Filtration F, wenn gilt:
(i) X(t) ist Ft -meßbar und E|X(t)| < ∞ ∀t,
(ii) Für s ≥ t ist X(t) ≥ E[X(s) | Ft ]
f.s.
Für ein an {Ft }t≥0 adaptiertes Supermartingal X(t) wird die folgende Eigenschaft ohne Beweis
dargelegt:
(D) Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer rechtsstetigen Modifikation von X(t) ist die Rechtsstetigkeit von E[X(t)].
Den Beweis von (D) findet man in I. Karatzas, S. E. Shreve [19] in Abschnitt 1.3.13.
2.1. Bewertung von amerikanischen Optionen mittels Contingent Claim Analyse
29
Theorem 2.1 Angenommen H ist ein nichtnegativer, rechtstetiger stochastischer Prozeß, der
die oben beschriebenen Bedingungen erfüllt, insbesondere gilt 0 ≤ E supt∈[0,T ] H(t) < ∞. Dann
existiert die Snell Envelope U (t) von H(t) und sie ist das kleinste rechtsstetige Supermartingal,
welches H majorisiert.
Beweis:
Zu beweisen sind die
(i) Existenz von U (t),
(ii) Supermartingaleigenschaft,
(iii) Dominanz gegenüber H,
(iv) und die Minimalität.
(i) Nach (D) läßt sich die Existenz von U (t) durch den Beweis der Rechtsstetigkeit von E[U 0 (t)]
gewinnen.
Sei s ≥ t, dann gilt E[U 0 (s)] ≤ E[U 0 (t)], weil das Supremum der rechten Seite über Teilmengen
des Supremums der linken Seite gebildet wird. E[U 0 (t)] ist also fallend in t und es folgt
E[U 0 (t)] ≥ E[U 0 (s)] für alle s ≥ t
⇒
E[U 0 (t)] ≥ lim E[U 0 (s)] =: E[U 0 (t+ )].
s&t
Der Beweis der umgekehrten Ungleichung ergibt sich aus der schwächeren Bedingung 0 <
supτ ∈T0,T E[H(τ )]< ∞, die aus der Voraussetzung folgt und der in (ii) noch zu beweisenden Gleichung E[U 0 (t)] =supτ ∈Tt,T E[H(τ )], so daß E[U 0 (t)] = supτ ∈Tt,T E[H(τ )] ≤ supτ ∈T0,T E[H(τ )] <
∞. Nach Definition und den Eigenschaften des Supremums existiert ∀ > 0 ein τ ∈ Tt,T so,
daß
E[U 0 (t)] ≥ E[E[H(τ ) | Ft ]] = E[H(τ )] > E[U 0 (t)] −
2
⇒
E[H(τ )] +
> E[U 0 (t)]. (2.1)
2
Definiere für jedes n ∈ N auf [0, T ] ∩ { 2in T, i = 0, . . . , 2n } die Stoppzeit
i
i−1
i
, für n ≤ τ < n ∀i.
n
2
2
2
n
o
S
[n]
ist eine Stoppzeit wegen τ ≤ s = i: in ≤s i−1
≤ τ <
2n
τ[n] =
[n]
Zur Kontrolle, τ
2
für s ≥ t, da τ eine Stoppzeit ist (man stoppt kurz nach τ ). Also ist
[n]
und τ ↓ τ . Infolge der Rechtsstetigkeit von H(t) ist
lim H(τ[n] ) = H(τ ).
n→∞
[n]
τ
i
2n
≤s
∈ Fs
eine diskrete Stoppzeit
2.1. Bewertung von amerikanischen Optionen mittels Contingent Claim Analyse
30
Unter Verwendung des Satzes der monotonen Konvergenz3 läßt sich schließen, daß
Z
Z
[n]
lim
H(τ )dP =
H(τ )dP.
n→∞
Ω
Ω
Für genügend große n gilt also
E[H(τ )] − E[H(τ[n] )] < ⇒ − < E[H(τ )] − E[H(τ[n] )] < 2
2
2
[n]
⇒ − + E[H(τ )] < E[H(τ )] < + E[H(τ[n] )]
2
2
0
⇒ E[U (t)] < E[H(τ )] + < E[H(τ[n] )] + ,
2
[n]
wobei die Ungleichung (2.1) in der letzten Zeile substituiert wurde. Weil ∀τ ∈ Tt,T τ > τ
[n]
[n]
gilt, folgt, daß τ ∈ Tt+ ,T ∀n. Insbesondere ist E[H(τ )] ≤supτ >t E[H(τ )] = E[U 0 (t+ )], was
schließlich in
E[U 0 (t)] < E[H(τ[n] )] + ≤ E[U 0 (t+ )] + resultiert. Da > 0 beliebig gewählt werden kann, erhält man E[U 0 (t)] ≤ E[U 0 (t+ )].
Es folgt insgesamt E[U 0 (t)] = E[U (t)], d.h. U (t) existiert.
(ii) Zu zeigen ist für τ ∈ Tν,T
E[U 0 (τ ) | Fν ] ≤ U 0 (ν) f.s.
(2.2)
Anstatt (2.2) zu zeigen, wird zunächst
E[U 0 (τ ) | Fν ] = ess.supρ∈Tτ,T E[H(ρ) | Fν ] f.s.
(2.3)
gezeigt. Man wählt eine Folge {ρn }∞
n=1 von Stoppzeiten in Tτ,T , so daß nach (B) {E[H(ρn ) |
∞
Fτ ]}n=1 eine monoton wachsende Folge ist und U 0 (τ ) = limn→∞ E[H(ρn ) | Fτ ] gilt. Nach dem
Satz der monotonen Konvergenz für bedingte Erwartungen, erhält man
E[U 0 (τ ) | Fν ]
=
mon. Konv.
=
Tower property
=
≤
E[ lim E[H(ρn ) | Fτ ] | Fν ]
n→∞
lim E[E[H(ρn ) | Fτ ] | Fν ]
n→∞
lim E[H(ρn ) | Fν ]
n→∞
(2.4)
ess.supρ∈Tτ,T E[H(ρ) | Fν ].
Hier gilt die Gleichheit, falls der Limes (2.4) gerade gegen den Erwartungswert konvergiert, der
durch ein ρ ≥ τ maximiert wird.
3
(H(τ ))τ ∈T0,T ist gleichgradig integrierbar nach Lemma II.20.6 in [28] und damit gilt Satz 21.7 in [2].
2.1. Bewertung von amerikanischen Optionen mittels Contingent Claim Analyse
31
Andererseits gilt wegen der Definition der Snell Envelope U 0 (τ ) ≥ E[H(ρ) | Fτ ] f.s. ∀ρ ∈ Tτ,T .
Bildet man die bedingten Erwartungen beider Seiten der Ungleichung, entsteht E[U 0 (τ ) | Fν ] ≥
E[H(ρ) | Fν ] f.s. ∀ρ ∈ Tτ,T , also auch für das optimale ρ. Dies impliziert
E[U 0 (τ ) | Fν ] ≥ ess.supρ∈Tτ,T E[H(ρ) | Fν ]
und beweist (2.3). Da wegen τ ≥ ν
ess.supρ∈Tτ,T E[H(ρ) | Fν ] ≤ ess.supρ∈Tν,T E[H(ρ) | Fν ] = U 0 (ν)
gilt, folgt (2.2) aus (2.3). U 0 (t) ist ein Supermartingal. Wegen der Rechtsstetigkeit des Erwartungswertes von U 0 (t) existiert ein rechtsstetiges Supermartingal U (t) mit P[U 0 (t) = U (t)] =
1 ∀t.
(iii) Mit fest gewähltem t ist
U 0 (t)
=
τ =t
≥
ess.sup
τ ∈Tt,T E[H(τ )
| Ft ]
E[H(t) | Ft ] = H(t).
Dies impliziert P[U 0 (t) ≥ H(t)] = 1 ∀t. Noch zu zeigen ist P [U 0 (t) = U (t) ∀t ∈ [0, T ]] = 1,
siehe hierzu Theorem D.7 in [20] von I. Karatzas und S. E. Shreve. U majorisiert H.
(iv) Um die Minimalität zu zeigen, sei schließlich X ein beliebiges rechtsstetiges Supermartingal,
welches H majorisiert. Für t ∈ [0, T ] und τ ∈ Tt,T impliziert das ”Optional Sampling Theorem”,
daß E[H(τ ) | Ft ] ≤ E[X(τ ) | Ft ] ≤ X(t) f.s. Daher erhält man für jedes t ∈ [0, T ]
U (t) = ess.supτ ∈Tt,T E[H(τ ) | Ft ] ≤ X(t) f.s.
D.h. U majorisiert H, und wenn X ein anderes rechtsstetiges Supermartingal ist, welches H
majorisiert, dann majorisiert X auch U .
Das vorrangige Interesse dieses Abschnittes ist die Herleitung einer Aussage über die Existenz
einer Stoppzeit σ, für die gilt, daß E[H(σ)] ”nahe” bei supτ ∈T0,T E[H(τ )] liegt, möglicherweise
sogar gleich ist. Bevor dieses Problem behandelt werden kann, sind einige weitere Konzepte
nötig.
Definition 2.6 Eine Stoppzeit τ∗ ∈ T0,T heißt optimal (bzgl. P), wenn
E[H(τ∗ )] = sup E[H(τ )].
τ ∈T0,T
2.1. Bewertung von amerikanischen Optionen mittels Contingent Claim Analyse
32
Nun sei die Stoppzeit τmin (t) für t ∈ [0, T ] definiert durch
(
inf{s | s ≥ t, U (s) = H(s)}
τmin (t) :=
T , wenn U (T ) = H(T )
und für λ ∈ (0, 1) und t ∈ [0, T ], definiere die Stoppzeit in Tt,T
(
inf{s ∈ (t, T ] | λU (s) ≤ H(s)}
λ
τmin
(t) :=
.
T , wenn U (T ) = H(T )
λ
wird in Theorem 2.2 verwendet und ist in Proposition D.10 in
Die folgende Gleichung für τmin
I. Karatzas, S. E. Shreve [20] bewiesen:
(E) Für 0 < λ < 1 und t ∈ [0, T ] gilt
λ
U (t) = E[U (τmin
(t)) | Ft ] f.s.
Wie im folgenden Theorem zu sehen ist, maximiert τmin (0) den Erwartungswert von H(τ ) unter
allen τ ∈ T0,T , mit anderen Worten, τmin (0) ist eine Lösung des optimalen Stoppproblems.
Theorem 2.2 Angenommen H besitzt stetige Pfade und erfüllt E[sup0≤t≤T H(t)] < ∞. Dann
gilt für jedes t ∈ [0, T ] und für die Stoppzeit τmin (t),
E[H(τmin (t)) | Ft ] = U (t) = ess.supτ ∈Tt,T E[H(τ ) | Ft ].
Insbesondere erhält man mit τmin (0)
E[H(τmin (0))] = U (0) = sup E[H(τ )].
τ ∈T0,T
Beweis:
Zunächst wird eine Familie von Stoppzeiten konstruiert, die ”approximativ optimal” ist.
Für jedes t ∈ [0, T ] gilt die Ungleichung
λ
λ
λU (τmin
(t)) ≤ H(τmin
(t)) f.s.
Für 0 < λ < 1 und jedes t ∈ [0, T ] gilt nach (E)
λ
U (t) = E[U (τmin
(t)) | Ft ] f.s.
Diese Aussage und die vorherige Ungleichung implizieren
λ
U (t) = E[U (τmin
(t)) | Ft ] ≤
1
λ
E[H(τmin
(t)) | Ft ] f.s.
λ
2.1. Bewertung von amerikanischen Optionen mittels Contingent Claim Analyse
33
λ
Nun gilt ∀λ ∈ (0, 1) H(τmin
(t)) ≤ sup0≤t≤T H(t), denn eine stetige Funktion ist auf einem
kompakten Intervall beschränkt. Es kann also das Theorem der dominierten Konvergenz für
bedingte Erwartungen angewendet werden. Zusammen mit der Linksstetigkeit von H ergibt
sich
λ
U (t) ≤ lim E[H(τmin
(t)) | Ft ] = E[H(τmin (t)) | Ft ] f.s.
λ↑1
Da U ein Supermartingal ist, welches H majorisiert, ergibt sich die umgekehrte Ungleichung
E[H(τmin (t)) | Ft ] ≤ E[U (τmin (t)) | Ft ] ≤ U (t) f.s.
Das folgende Ergebnis impliziert, daß τmin (0) die minimale optimale Stoppzeit ist.
Theorem 2.3 Eine Stoppzeit τ∗ ∈ T0,T ist genau dann optimal, wenn
H(τ∗ ) = U (τ∗ )
(2.5)
(U (τ∗ ∧ t))0≤t≤T
(2.6)
und das gestoppte Supermartingal
ein Martingal ist. Insbesondere genügt jede optimale Stoppzeit τ∗ der Bedingung τ∗ ≥ τmin (0).
Beweis:
Angenommen, die Stoppzeit τ∗ ist optimal, d.h. E[H(τ∗ )] = supτ ≥0 E[H(τ )]. Dann folgt aus
(2.2) und (2.3), indem ν ≡ 0 gesetzt wird,
E[U (τ )] ≤ U (0) ∀τ
und
E[U (τ )] = sup E[H(ρ)].
(2.7)
ρ∈Tτ,T
Zusammen mit Voraussetzung supτ ∈T0,T E[H(τ )] < ∞ ergibt sich
E[U (τ )] = sup E[H(ρ)] ≤ U (0) < ∞.
ρ∈Tτ,T
Daraus folgt
E[H(τ∗ )] =
sup E[H(ρ)] = E[U (τ∗ )],
ρ∈Tτ∗ ,T
ebenso wie für jedes σ ∈ T0,T
E[H(τ∗ )] =
sup
E[H(ρ)] = E[U (σ ∧ τ∗ )];
ρ∈Tσ∧τ∗ ,T
die linken Gleichungen ergeben sich aus der Optimalität von τ∗ und die jeweils rechten Gleichungen aus (2.7). Nun erhält man aus der Dominanz von U (t), also P[U (t) ≥ H(t)∀t ∈ [0, T ]] = 1,
2.2. Analytischer Ansatz
34
und aus E[H(τ∗ )] = E[U (τ∗ )] die Bedingung (2.5) den ersten Teil der Folgerung. Dahingegen
führt die Feststellung, daß E[U (σ ∧ τ∗ )] nicht von σ ∈ T0,T abhängt wegen der Optimalität von
τ∗ zu
E[U (σ ∧ τ∗ )] = E[U (τ∗ )]
und somit zu der zweiten Bedingung (2.6).
Umgekehrt ergeben (2.5) und (2.6)
E[H(τ∗ )] = E[U (τ∗ )] = U (0) = sup E[H(τ )].
τ ∈T0,T
2.2
Analytischer Ansatz
In diesem Abschnitt wird die Wertfunktion von kontinuierlichen Installment Optionen mittels
der optimalen Stoppzeit bestimmt. M. Davis, W. Schachermayer und R. Tompkins zeigen in ihrem Artikel [10] weiterhin, daß kontinuierliche Installment Optionen durch diskrete Installment
Optionen approximiert werden können.
Die Wertfunktion einer kontinuierlichen Installment Option wird wie folgt definiert.
Definition 2.7 Der No-Arbitrage Wert der kontinuierlichen Installment Option ist
p
−rd (τ −t)
−rd (T −t)
+
) ,
V (t, St ) = sup Et,St e
[ST − K] 1τ =T − (1 − e
rd
τ ∈Tt,T
wobei der Erwartungswert bezüglich des risikoneutralen Maßes gebildet wird. Die identische
Prämienrate p ist eine konstante nicht-negative Zahl.
Der erste Term im Erwartungswert von V (·, S) ist die Auszahlung des Calls, die nur erhalten
wird, wenn die Prämienzahlungen mit Rate p bis zum Zeitpunkt T fortgeführt werden, während
der zweite Term gleich dem diskontierten Gesamtwert der Prämienzahlungen von Zeit t bis zur
Zeit τ der Termination ist.
2.2.1
Bewertung von kontinuierlichen Installment Optionen
Ein analytischer Ansatz zur Charakterisierung von V wird durch die folgende heuristische
Begründung erhalten. Angenommen die Installment Option soll zur Zeit t zum Spot St bewertet
werden. Es besteht die Möglichkeit sie zu beenden, in welchem Fall der zukünftige Wert der
Option Null ist, oder für eine kleine Zeitspanne h fortzufahren und den optimal erreichbaren
2.2. Analytischer Ansatz
35
Gewinn zur Zeit t + h zu beziehen. In diesem Fall wird ph gezahlt und e−rd h V (t + h, St+h )
erhalten, d.h.




V (t, St ) = max 0, e−rd h E[V (t + h, St+h ) | St = s] − ph .
{z
}
|
”Net Holding Value”
(2.8)
Es kann gezeigt werden, daß die Option fortgeführthwerden sollte, wenn LV − p = 0, wobeii
2
der Differentialoperator L definiert ist durch LV := −rd V + ∂V
+ (rd − rf )S ∂V
+ 12 σ 2 S 2 ∂∂SV2
∂t
∂S
und bei LV − p < 0 ausgeübt werden sollte. Dies entspricht der Bedingung (2.9) im folgenden
Theorem 2.4, das sich auf die Eigenschaften der Wertfunktion der Installment Option konzentriert.
Weiterhin weiß man, daß V ≥ 0 und, daß V mit dem Ausübungswert des Calls zum Zeitpunkt
T übereinstimmt.
Theorem 2.4 Es existiert eine Funktion u : [0, T ] × R+ → R mit
Lu − p ≤ 0,
(2.9)
u ≥ 0,
(2.10)
(Lu − p)u = 0,
(2.11)
+
u(T, s) = [s − K] .
(2.12)
Die Funktion u stimmt mit V überein.
Bemerkung 2.1 Die Funktion u ist einmal stetig differenzierbar und es gibt eine stetige Funktion c : [0, T ] → R, so daß u(t, s) > 0 genau dann, wenn s > c(t) ist. Die Funktion u ist zweimal
stetig differenzierbar in der ”Continuation Region” C = {(t, s) | s > c(t)}.
Bemerkung 2.2 Es gibt einen Punkt (t, xt ), der den Raum in die ”Continuation Region” C
und die ”Stopping Region” S = [0, T ] × R\C teilt, wobei in diesem Punkt die Ungleichung (2.10)
als Gleichung gilt. Für die ” Stopping Region” gilt Lu − p < 0 und u = 0, für die ”Continuation
Region” hingegen gilt Lu − p = 0 und u > 0. Die Gleichung (2.11) stellt sicher, daß jeder Punkt
in die eine oder die andere Region gehört, der Fall mit Lu−p < 0 und u > 0 ist ausgeschlossen.
Beweis:
Das folgende Argument zeigt, daß jede genügend glatte Lösung der obigen Gleichungen in der
Tat der Wert der kontinuierlichen Installment Option ist. Sei
X(t) := e−rd t u(t, St ) −
p
(1 − e−rd t ),
rd
X(0) = u(0, S0 )
2.2. Analytischer Ansatz
36
Durch Anwendung der Itô-Formel4 erhält man
∂u
∂u 1 2 2 ∂ 2 u
∂u
−rd t
+ (rd − rf )S
+ σ S
dX(t) = e
− rd u − p dt + e−rd t σSdWt
2
∂t
∂S 2
∂S
∂S
∂u
= e−rd t (Lu − p) dt + e−rd t σSdWt ,
∂S
so daß X(t) wegen Ungleichung (2.9) und der Martingaleigenschaft von stochastischen Integralen ein Supermartingal ist. Daher gilt für jede Stoppzeit τ ∈ T0,T (Folgerung aus dem ”Optional
Sampling Theorem”)
X(0) ≥ E[X(τ )]
p
−rd τ
−rd T
+
−rd τ
)
= E e
[ST − K] 1τ =T + e
u(τ, Sτ )1τ <T − (1 − e
rd
p
−rd T
+
−rd τ
≥ E e
[ST − K] 1τ =T − (1 − e
)
rd
(2.13)
(2.14)
wobei Gleichung (2.12) zur Umformung (2.13) und Ungleichung (2.10) zur Umformung (2.14)
verwendet wurde. Hingegen, wenn τ ∗ := T ∧ inf{t : u(t, St ) = 0}, dann ist X(t ∧ τ ∗ ) ein
Martingal nach Gleichung (2.11), denn nach (2.9) ist X(t) Supermartingal und für die Martingaleigenschaft darf die Ungleichung < nicht eintreten. Nach (2.11) kann Lu − p < 0 nur gelten,
wenn u = 0 ist. Solange u > 0 ist, muß Lu − p = 0 sein, und es wird gestoppt, sobald u = 0 ist.
X(0)
=
Martingal
=
=
=
(2.14)
=
=
u(0, S0 )
E[X(τ ∗ )]
p
−rd τ ∗
∗
−rd τ ∗
E e
u(τ , Sτ ∗ ) − (1 − e
)
rd
p
−rd T
+
−rd τ ∗
E e
[ST − K] 1τ ∗ =T − (1 − e
)
rd
p
−rd τ
−rd T
+
)
sup E0,S0 e
[ST − K] 1τ =T − (1 − e
rd
τ ∈T0,T
V (0, S0 ).
Diese beiden Ergebnisse zeigen nach Theorem 2.3, daß τ ∗ optimal ist und daß u(0, S0 ) =
V (0, S0 ). Das gleiche Argument zeigt, daß u(t, S) = V (t, S) für jedes (t, S) ∈ [0, T ] × R+ mit
dem einzigen Unterschied, daß in (2.14) und der obigen Umformung bedingte Erwartungen
stehen.
2
∂u
Die Itô-Formel kann nicht direkt auf u angewandt werden, da ∂S
2 nicht stetig an der Grenze c(t) ist. u kann
∞
jedoch durch C -Funktionen approximiert und dann der Grenzwert gebildet werden, wie in Theorem 2.7.9 in
[19] gezeigt ist.
4
2.3. Eine Hedging Strategie für kontinuierliche Installment Optionen
2.2.2
37
Approximation der kontinuierlichen Installment Option durch
diskrete Installment Optionen
Für n ∈ N und t ∈ [0, T ] sei Dtn := [t, T ] ∩ {k2−n T, k = 0, 1, . . . , 2n } eine dyadische Zerlegung
n
und sei Tt,T
= {τ ∈ Tt,T : P[τ ∈ Dtn ] = 1}. Sei Vn (t, St ) definiert durch
p
−rd (T −t)
+
−rd (τ −t)
Vn (t, St ) := sup Et,St e
[ST − K] 1τ =T −
.
1−e
n
rd
τ ∈Tt,T
Der Wert Vn (t, St ) entspricht einer diskreten Installment Option mit 2n Installmentzahlungen
n
der Höhe (1 − e−rd T /2 )p/rd . Denn wenn zum Zeitpunkt tk−1 = (k − 1)2−n T die Option nicht
gestoppt wird, wird bis zum nächsten Entscheidungspunkt tk = k2−n T mit Rate p weitergezahlt.
Das ist äquivalent dazu, daß
Z
k2−n T
(k−1)2−n T
pe−rd (s−
(k−1)
2n
)T ds = (1 − e−rd T /2n ) p
rd
in tk−1 gezahlt wird.
Behauptung 2.1 limn→∞ Vn (t, St ) = V (t, St ).
Beweis:
Sei τ ∗ wie im Abschnitt zuvor definiert und τn∗ = k2−n T , falls {τ ∗ ∈ ((k − 1)2−n T, k2−n T ]}.
Nun definiere
p
∗
−rd (T −t)
+
−rd (τn∗ −t)
Vn (t, S) := Et,S e
[ST − K] 1τn∗ =T − (1 − e
) .
rd
0
0
n
n
⊂ Tt,T . Es ist klar, daß
⊂ Tt,T
Für n < n gilt Vn (t, S) ≤ Vn0 (t, S) ≤ V (t, S), da Tt,T
∗
∗
∗
n
limn→∞ Vn (t, S) = V (t, S) und Vn (t, S) ≤ Vn (t, S), da τn ∈ Tt,T .
Durch die Behauptung 2.1 ist gerechtfertigt, den Wert der kontinuierlichen Installment Option
durch diskrete Installment Optionen mit einer genügend hohen Anzahl von Installments zu
approximieren. Der Wert Vn (t, S) ist eine abnehmende Funktion der Prämienrate p. Deswegen
sind die No-Arbitrage Installment Werte p̂n zunehmend in n wie in Abbildung 2.1 zu sehen ist.
2.3
Eine Hedging Strategie für kontinuierliche Installment Optionen
In diesem Abschnitt wird eine neue Variante zur Bewertung und zum Hedgen von kontinuierlichen Installment Optionen vorgestellt. Es wird gezeigt, daß eine kontinuierliche Installment
2.3. Eine Hedging Strategie für kontinuierliche Installment Optionen
38
Option äquivalent ist zu einem europäischen Call plus einer amerikanischen Compound PutOption mit zeitabhängigem Strikepreis auf erstgenannten europäischen Call.
Zunächst wird diese Aussage anschaulich für rd = 0 dargestellt:
Behauptung 2.2
U :=
lim n-Installment Option mit Laufzeit T
n→∞
= Europäische Call-Option mit Laufzeit T und Strike K
+Amerikanischer Compound Put mit Strike (T − t)U auf diesen Call
Hier sieht man, daß der Strike der Put-Option linear in der Zeit abnimmt. Nun sei im Folgenden
rd positiv. Zum Beweis der entsprechenden Behauptung sind zuerst ein paar Vorüberlegungen
notwendig.
Die Auszahlungsfunktion der Installment Option zur Zeit t wird beschrieben durch
U
−rd (T −t)
g(t) =
(1 − e
) 1{t<T } + CE (0, ST )1{t=T }
(2.15)
rd
(
U
(1 − e−rd (T −t) ),
wenn t < T
rd
=
,
CE (0, ST ),
wenn t = T
wobei CE (u, s) = e−rd u Es [(Su − K)+ ] der Wert eines europäischen Calls mit Strike K, Restlaufzeit u und St durch Gleichung (1.2) definiert ist mit gegebenem Anfangswert S0 . Also ist
g(T ) = CE (0, ST ) = [ST − K]+ . Der andere Term der Auszahlungsfunktion g(t) entspricht dem
RT
Anteil der anfangs eingezahlten Installment Raten 0 U e−rd s ds, die im Falle einer Terminierung
dem Optionshalter zurückgezahlt werden. Dieser Term verhält sich linear bezüglich t bei einer
RT
Zinsrate rd = 0, da sich in diesem Falle t U ds = U (T − t) ergibt. Andernfalls bekommt der
RT
Besitzer die Prämien t U e−rd (s−t) ds = rUd (1 − e−rd (T −t) ), die auf t bezogen diskontiert werden. Bei Verlängerung der Installmentraten bis zum Laufzeitende T erhält der Optionshalter
schließlich die Standard-Option CE .
Der Wert des zusammengesetzten Produktes aus Behauptung 2.2 ist
"
+ #
U
CE (T, s) + sup E e−rd τ
(1 − e−rd (T −τ ) ) − CE (T − τ, Sτ )
.
(2.16)
rd
τ ∈T0,T
Da das diskontierte CE ein Martingal ist, gilt ∀τ ≥ 0 : E[e−rd τ CE (T − τ, Sτ )] = CE (T, s) und
(2.16) kann umgeformt werden zu
"
#
+
U
sup E e−rd τ
(1 − e−rd (T −τ ) ) − CE (T − τ, Sτ ) + e−rd τ CE (T − τ, Sτ )
rd
τ ∈T0,T
= sup E e−rd τ f (τ ) .
τ ∈T0,T
2.3. Eine Hedging Strategie für kontinuierliche Installment Optionen
39
Somit ist die Auszahlungsfunktion der rechten Seite der obigen Behauptung 2.2 zur Zeit t
+
U
−rd (T −t)
f (t) =
(1 − e
) − CE (T − t, St ) + CE (T − t, St )
(2.17)
rd
(
U
(1 − e−rd (T −t) ),
wenn rUd (1 − e−rd (T −t) ) > CE (T − t, St ) und t < T
rd
,
=
CE (T − t, St ),
wenn rUd (1 − e−rd (T −t) ) ≤ CE (T − t, St ) und t ≤ T
wobei CE der Wert des europäischen Calls mit Restlaufzeit T − t und Strike K ist, den die Installment Option als Underlying besitzt. Der linke Summand der Auszahlungsfunktion f (t) ist
wiederum die Auszahlungsfunktion der Compound Put-Option auf diesen Call mit zeitabhängigem Strike rUd (1 − e−rd (T −t) ). Es gilt f (T ) = CE (0, ST ) = [ST − K]+ .
Betrachtet man die Situation der Installment Option, so bestehen die Möglichkeiten der Terminierung der Option oder der Fortführung bis zum Laufzeitende. Es stellt sich heraus, daß der
letztere Fall der Situation der Nichtausübung des Compound Puts beim zusammengesetzten
Produkt entspricht. Bei beiden ist es die Call-Option, die der Halter zum Laufzeitende besitzt.
Die Ausübung des Compound Puts ist äquivalent zu der Terminierung der Installment Option
zum gleichen Zeitpunkt; dann ist die Auszahlung rUd (1 − e−rd (T −t) ).
Ein Vergleich von f und g führt zu folgenden Überlegungen für t < T :
(a) Im ersten Fall seien die eingesparten Prämien kleiner oder gleich dem Wert der CallOption:
U
(1 − e−rd (T −t) ) ≤ CE (T − t, St ).
(2.18)
rd
Der erste Summand von f ist in diesem Fall minimal und die Auszahlung bei f ist
dann CE (T − t, St ). Da das diskontierte CE (T − t, St ) ein Martingal ist, gilt ∀τ ≥ t :
E[e−rd (τ −t) CE (T −τ, Sτ ) | Ft ] = CE (T −t, St ). Die Wahl der Stoppzeit ändert in Erwartung
den Wert also nicht.
Bei g ist die Auszahlung rUd (1 − e−rd (T −t) ), welches kleiner oder gleich CE (T − t, St ) ist
wegen (2.18). Da das diskontierte CE (T − t, St ) ein Martingal ist, ist dies in Erwartung
auch kleiner oder gleich CE (0, ST ).
Fazit: Bei f und g wird der Besitzer des jeweiligen Produktes nicht ausüben, da sich die
Auszahlung nicht lohnt.
(b) Wenn die eingesparten Prämien größer als der Wert der Call-Option sind
U
(1 − e−rd (T −t) ) > CE (T − t, St ),
rd
dann entspricht die Auszahlung bei f wie auch bei g für t < T den eingesparten Prämien
U
(1 − e−rd (T −t) ).
rd
2.3. Eine Hedging Strategie für kontinuierliche Installment Optionen
40
Wenn t = T gilt, ist die Auszahlung bei f und g die Call-Option CE (0, ST ). Es gilt also
g(t) = f (t) für t = T . Und für t < T gilt g(t) ≤ f (t) ∀t, ω.
Aus diesen Vorüberlegungen läßt sich die Behauptung aufstellen, daß supτ ∈T0,T E[e−rd τ f (τ )]
der Summe der Prämien aus europäischem Call und amerikanischem Put auf diesen Call mit
variablem Strike ∀t ∈ [0, T ] entspricht. Um diese Behauptung beweisen zu können, muß der
optimal zu erzielende erwartete Ertrag bei beiden Produkten gleich sein.
Damit die Resultate der in Abschnitt 2.1.1 erläuterten optimalen Stopptheorie (insbesondere
Theorem 2.2) im folgenden Beweis angewandt werden können, ist zu überprüfen, ob die Pfade
von f stetig sind und E[sup0≤t≤T f (t)] < ∞ gilt.
Proposition 2.1 Für die Funktion f aus (2.17) und die Funktion g aus(2.15) gilt
sup E[e−rd τ g(τ )] = sup E[e−rd τ f (τ )].
τ ∈T0,T
τ ∈T0,T
Beweis:
Die Ungleichung in ”≤”-Richtung ist trivial, wegen
g(t) ≤ f (t)
∀t, ω ⇒
sup E[e−rd τ g(τ )] ≤ sup E[e−rd τ f (τ )].
τ ∈T0,T
τ ∈T0,T
Zum Beweis der Ungleichung in ”≥”-Richtung wird die Snell Envelope des größeren stochastischen Prozesses fd (t) := e−rd t f (t) gebildet,
Snell (fd ) (t) := ess.supτ ∈Tt,T E[e−rd τ f (τ ) | Ft ] ≥ e−rd t f (t)
∀t ∈ [0, T ]
f.s.,
insbesondere ist
Snell(fd )(0) = sup E[e−rd τ f (τ )] =: E(τ0 )
τ ∈T0,T
für die optimale Stoppzeit τ0 .
Nun definiert man ein neues Produkt, das sich wie die Installment Option verhält, aber zum
Zeitpunkt 0 beginnt, Restlaufzeit u hat und mit Aktienpreis s startet. Dessen Wertfunktion ist
##
"
"
+
U
(1 − e−rd (u−τ ) ) − CE (u − τ, S̃τ ) + CE (u − τ, S̃τ ) ,
h(u, s) = sup Es e−rd τ
rd
τ ∈T0,u
eine deterministische Funktion von u und s, wobei S̃ eine Zufallsvariable mit derselben Verteilung wie S ist.
2.3. Eine Hedging Strategie für kontinuierliche Installment Optionen
41
Aufgrund der Markov-Eigenschaft von S, kann Theorem 3.4 aus dem Artikel [21] von N. El
Karoui, J. - P. Lepeltier, A. Millet angewendet werden:
Snell (fd ) (t) = ess.supτ ∈Tt,T E e−rd τ f (τ ) | Ft
= e−rd t h(T − t, St )
(2.19)
Anschaulich folgt (2.19) aus der Markov-Eigenschaft des Prozesses (St ) und der Tatsache, daß
die Information Ft für die Zukunft (t, T ] nicht wertvoller ist als die Information σ(St ). Aussage
(2.19) entspricht damit der Tatsache, daß randomisierte Stoppzeiten, welche Ft -, aber nicht
σ(St )-meßbar sind, keinen höheren Erwartungswert liefern.
Aus der Theorie des optimalen Stoppens ist bekannt, daß der zufällige Zeitpunkt τt , der die
erwartete diskontierte Auszahlung im Intervall [t, T ] maximiert, derjenige Zeitpunkt ist, bei
dem der Prozeß Snell(·) zum ersten Mal auf den Level der diskontierten Auszahlung fällt,
vorausgesetzt, dieser besitzt stetige Pfade:
τt := inf{u ∈ [t, T ] | Snell (fd ) (u) = e−rd u f (u)}.
Mit anderen Worten, die optimale Ausübungszeit der amerikanischen Option mit Auszahlungsfunktion f ist gegeben durch
τ̂0 := inf{t ∈ [0, T ] | e−rd t h(T − t, St ) = e−rd t f (t)}.
Es gilt
"
h(T − τ̂0 , Sτ̂0 ) = f (τ̂0 ) =
+ #
U
(1 − e−rd τ̂0 ) − CE (T − τ̂0 , Sτ̂0 )
.
CE (T − τ̂0 , Sτ̂0 ) +
rd
Andererseits gilt
h(u, s) > CE (u, s) ∀u > 0, s > 0,
(2.20)
da
"
h(u, s) = CE (u, s) + sup Es e−rd τ
τ ∈T0,u
#
+
U
(1 − e−rd (u−τ ) ) − CE (u − τ, S̃τ ) 1{τ <u}
rd
wegen der Martingaleigenschaft von e−rd t CE (T − t, St ). D.h. h(u, s) ist echt größer als der
Callpreis, wenn das Supremum echt positiv ist. Das Supremum ist gleich Null, wenn für alle
Stoppzeiten der Erwartungswert gleich Null ist. Bei einer nichtnegativen Zufallsvariable ist dies
nur dann möglich, wenn die Zufallsvariable fast sicher gleich Null ist. Das ist hier nicht der
0
Fall, weil CE monoton in s ist, s → 0 ⇒ CE → 0 und für beliebiges τ , z.B. τ = u2 , existiert s
2.3. Eine Hedging Strategie für kontinuierliche Installment Optionen
u
0
42
0
so, daß P(s > S u2 ) > 0 und rUd (1 − e−rd 2 ) > CE ( u2 , s ). Also ist die Wahrscheinlichkeit, daß der
Callpreis unter den Strikepreis fällt, positiv.
Wegen Ungleichung (2.20) gilt
h(T − t, St ) > CE (T − t, St ) ∀t ∈ [0, T ).
Demnach ist h(T − t, St ) nur dann gleich f (t), wenn die Maximumsfunktion
i+
h
U
−rd t
(1 − e
) − CE (T − t, St ) positiv ist, eben wenn rUd (1 − e−rd t ) > CE (T − t, St ) gilt oder
rd
bei t = T . Zusammenfassend folgt
h(T − t, s) = f (t) ⇒
U
(1 − e−rd (T −t) ) > CE (T − t, s) ∀s > 0, t ∈ [0, T ).
rd
(2.21)
Durch Einsetzen von τ̂0 in die rechte Seite dieser Implikation erhält man für τ̂0 < T
h(T − τ̂0 , s) = f (τ̂0 ) ⇒
U
(1 − e−rd (T −τ̂0 ) ) > CE (T − τ̂0 , s).
rd
Beim optimalen Stoppen der Funktion f muß also (2.21) gelten. Die Maximumsfunktion in f
ist daher immer positiv. Es gilt für τ̂0
"
#
+
U
f (τ̂0 ) =
(1 − e−rd (T −τ̂0 ) ) − CE (T − τ̂0 , Sτ̂0 ) + CE (T − τ̂0 , Sτ̂0 ) 1{τ̂0 <T }
rd
+CE (0, ST )1{τ̂0 =T }
U
−rd (T −τ̂0 )
(1 − e
) − CE (T − τ̂0 , Sτ̂0 ) + CE (T − τ̂0 , Sτ̂0 ) 1{τ̂0 <T } + CE (0, ST )1{τ̂0 =T }
=
rd
U
−rd (T −τ̂0 )
(1 − e
) 1{τ̂0 <T } + CE (0, ST )1{τ̂0 =T }
=
rd
= g(τ̂0 ).
Daraus folgt die mittlere Gleichheit in
sup E[e−rd τ f (τ )] = E[e−rd τ̂ f (τ̂0 )] = E[e−rd τ̂0 g(τ̂0 )] ≤ sup E[e−rd τ g(τ )]
τ ∈T0,T
τ ∈T0,T
und somit auch
sup E[e−rd τ f (τ )] ≤ sup E[e−rd τ g(τ )].
τ ∈T0,T
τ ∈T0,T
Die bewiesene Behauptung 2.2 hat zur Folge, daß das n-dimensionale Installment Integral durch
ein einfaches Produkt, welches man mit einem Binomialbaum bewerten kann, approximiert
2.3. Eine Hedging Strategie für kontinuierliche Installment Optionen
43
werden kann.
Links in Abbildung 2.1 wurde die Behauptung 2.2 durch eine Folge von identischen Prämien
der zugehörigen n-Installment Optionen für n = 1, . . . , 18 in der Praxis nachvollzogen. Die
identische Prämie einer 1-Installment Option ist der Preis der Standard-Option zum Zeitpunkt
0. Die weiteren identischen Prämien der Installment Optionen wurden durch Nullstellensuche
bezüglich des Strikepreises der jeweiligen Installment Option minus dem Strikepreis , d.h.
V0 (k) − k = 0
unter Benutzung des Algorithmus von H. Ben-Ameur, M. Breton und P. François aus Kapitel
3 mit 8000 Stützstellen errechnet und entsprechend gewichtet (wie in Kapitel 1 Seite 19). Diese
Berechnung erfordert eine sehr hohe Genauigkeit und sehr lange Rechenzeiten. Die identische
Prämie für eine 18-Installment Option ist 17, 28. U wurde aufgrund Behauptung 2.2 durch den
entsprechenden europäischen Call plus einen amerikanischen Compound Put auf diesen Call
erstellt. Für den Wert des europäischen Calls wurde die BS-Formel verwendet und zur Berechnung des amerikanischen Compound Puts wurde ein Binomialbaum mit einer Tiefe von 6000
konstruiert, der zur Berechnung des zugrunde liegenden Calls wieder die BS-Formel benutzt.
Der Limes U liegt dann approximativ bei 17, 51. Mit wachsender Baumtiefe ist dieser Wert bei
der Berechnung gestiegen, d.h. der hier berechnete Wert für U ist kleiner als die kontinuierliche
identische Prämie.
Rechts in Abbildung 2.1 ist diese Konvergenz für das Zahlenbeispiel der in Kapitel 1 Abschnitt
8 beschriebenen Installment Option gezeigt. Der Limes U hat hier den Wert von 0, 04554 und
die identische Prämie für 10 Installments liegt bei 0, 03901.
Abbildung 2.1: Links: S0 = 100, K = 95, σ = 0.2, rd = 0.05, rf = 0, T = 1. Rechts: S0 = 1.0259,
K = 1.05, σ = 0.1, rd = 0.01, rf = 0.02, T = 1
Kapitel 3
Bewertung von Installment Optionen
durch Stochastic Dynamic
Programming
Zu Beginn dieses Kapitels wird die grundlegende Idee des Stochastic Dynamic Programming
illustriert, um die Anwendung dieser Methode zur Bewertung von Installment Optionen plausibel zu machen. Anschließend wird ein Algorithmus beschrieben, der das Prinzip des Dynamic
Programming umsetzt, und dieser wird in Verbindung mit einer Monte Carlo Simulation zu
einer ersten Betrachtung der Stoppzeiten einer Installment Option eingesetzt.
3.1
Stochastic Dynamic Programming
Dynamic Programming beschäftigt sich mit der Lösung von mehrstufigen Optimierungsproblemen. Sei T der Zeithorizont und t0 ∈ (0, T ) ein Zeitpunkt innerhalb des Zeithorizontes.
Das Dynamic Programming Prinzip besagt, daß die optimale Gesamtstrategie erhalten werden
kann, indem in zwei Schritten vorgegangen wird:
1. Wähle irgendeine Anfangsstrategie auf dem Intervall (0, t0 ] und bestimme dazu die Reststrategie auf (t0 , T ], die die Zielfunktion maximiert. Der maximal erzielbare Wert ist dann
eine Funktion der Anfangsstrategie.
2. Maximiere diese Funktion über alle Anfangsstrategien.
Meist wird dieses Bellman Prinzip T -mal angewendet, wobei T die Anzahl der Zeitschritte ist,
d.h. in jedem Optimierungsschritt muß nur ein Zeitschritt berücksichtigt werden. Die Bedeutung
von ”programming” ist, Entscheidungen und Planungen zu treffen, während ”dynamic” die
44
3.1. Stochastic Dynamic Programming
45
Relevanz der Zeit und der Sequenz von Entscheidungen in dem betrachteten Prozeß aufzeigt.
Die Zustände werden durch den Zufall beeinflußt, was zur stochastischen Form des Dynamic
Programming führt. Klassische Literatur über Stochastic Dynamic Programming in diskreter
Zeit und endlichem Zeithorizont sind beispielsweise D. P. Bertsekas und S. E. Shreve [4] und
P. Whittle [34], verwendet wurde hier auch [33].
Sei X = (Xt )0≤t≤T der zu kontrollierende diskrete Prozeß, der sich zu Beginn in einem bestimmten Zustand x0 befindet und über eine diskrete Zeitperiode von 0 bis T < ∞, bestehend aus T Schritten, betrachtet wird. Basierend auf dem Zustand, in dem sich der Prozeß
zu einem Zeitpunkt t befindet, muß eine Entscheidung getroffen werden, die den Prozeß in
den nächsten Zustand transferiert. Wird die Ft -Meßbarkeit der Entscheidungen Yt gefordert,
wobei Ft = σ(Xt , Zt ) ist, dann existiert eine zeitabhängige Funktion ht : X × Z → Y mit
ht (Xt , Zt ) = Yt ∀t. Das heißt die Entscheidung Yt ∈ Y Ω mit Y ⊂ R hängt in jeder Periode
nur vom aktuellen Zustand Xt ∈ X Ω mit X ⊂ R und der zur Zeit t bekannten Zufallsvariablen Zt ∈ Z Ω mit Z ⊂ R ab. (Zt ) ist ein Markov-Prozeß mit Übergangsverteilungsfunktion
Q(z 0 , z) = Ws(Zt+1 ≤ z 0 | Zt = z), wobei der Anfangswert z0 gegeben ist. Im t-ten Schritt
führt die Entscheidung Yt und die Variable Zt+1 den Prozess X vom Zustand Xt in den neuen
Zustand Xt+1 über. Dieser Übergang wird durch eine Zustandsfunktion gt beschrieben, und der
neue Zustand ist bestimmt durch Xt+1 = gt (Xt , Yt , Zt+1 ). Insgesamt konvertiert die Entscheidungssequenz Y = (Y0 , . . . , YT ) den Prozeß von den gegebenen Anfangszuständen X0 = x0 und
Z0 = z0 in den Endzustand XT .
Die Zielfunktion ist definiert durch
" T
#
X
FT (x0 , z0 , Y ) = E0
β t f (Xt , ht (Xt , Zt )) ,
t=0
wobei die Auszahlungsfunktion f zum Zeitpunkt t von der Zustandsvariablen Xt = xt und
der Entscheidung Yt = yt abhängt und Et [Xt+1 ] := E[Xt+1 | Zt = zt ] bezüglich Q definiert
ist. Die Auszahlungsfunktion wird durch den Faktor β ∈ (0, 1) diskontiert. Die Abwesenheit
von Nachwirkungen wird vorausgesetzt, d.h. die Entscheidungen Yt dürfen nur den Zustand
Xt des Prozesses zum Zeitpunkt t beeinflussen. Gilt dies für jede Zeit t = 0, . . . , T , wird die
Entscheidungssequenz Y Markov-Strategie genannt.
Das Problem besteht darin, Y so zu wählen, daß die Zielfunktion FT (x0 , z0 , Y ) bezüglich Q
maximiert wird, also ein F ∗ = supY F zu finden.
3.1. Stochastic Dynamic Programming
46
Die Existenz einer Lösung vorausgesetzt1 , sei mit
( "
V0 (x0 ) = sup E0 f (x0 , y0 ) +
Y
T
X
#)
β t ft (Xt , Yt )
t=1
die Wertfunktion zum Zeitpunkt 0 bezeichnet. Das Stochastic Dynamic Programming Optimierungsproblem kann in eine Anzahl von Schritten unterteilt und jeweils ein Schritt pro Zeit
optimiert werden. Durch das Gesetz des iterierten Erwartungswertes, E0 [Xt ] = E0 [E1 [Xt ]], für
t ≥ 1, gilt
( "
" T
##)
X
V0 (x0 ) = sup E0 f (x0 , y0 ) + E1
β t f (Xt , Yt )
.
Y
t=1
Das Supremum kann nun aufgeteilt werden, da allgemein Ys nur die Dynamik des Zustands
t = s beeinflußt, nicht aber die Zustände t < s:
( "
" T
##)
X
V0 (x0 ) = sup E0 f (x0 , y0 ) + ess.supY1 ,...,YT E1
β t f (Xt , Yt )
Y0
t=1
T
hX
i t−1
.
= sup E0 f (x0 , y0 ) + β ess.supY1 ,...,YT E1
β f (Xt , Yt )
Y0
t=1
|
{z
FT −1 (X1 ,Z1 ,(Y1 ,...,YT ))
}
Unter Verwendung der Definition für V1 (in Analogie zu V0 ) und der Additivität des Erwartungswertes erhält man
V0 (x0 ) = sup{f (x0 , y0 ) + βE0 [V1 (X1 )]}.
Y0
Dieses Resultates wird für den Fall verallgemeinert, daß noch s Perioden übrig sind, indem
sukzessive die Zustandsgleichung in die Wertfunktion der nächsten Periode eingesetzt wird
und die Definition des bedingten Erwartungswertes ET −s benutzt wird. Dadurch ergibt sich
eine Herleitung der Bellman-Gleichung für Stochastic Dynamic Programming mit endlichem
Zeithorizont:
(a) VT −s (XT −s ) = supYT −s f (XT −s , YT −s )
Z
+β
VT −s+1 (gs (XT −s , YT −s , ZT −s+1 ))dQ(zT −s+1 , zT −s )
Z
= sup {f (XT −s , YT −s ) + βE [VT −s+1 (XT −s+1 ) | zT −s ]} ,
YT −s
beginnend mit
1
Sei Y(Xt , Zt ) ⊂ Y die Menge der Entscheidungen, die Yt bei gegebenen Werten von Xt und Zt annehmen
kann, d.h. das Bild von ht . Angenommen Y(Xt , Zt ) ist nicht leer, kompakt und stetig, f ist stetig und beschränkt,
und g ist stetig, dann existiert eine Lösung zu obigem Problem.
3.2. Bewertung von Installment Optionen nach H. Ben-Ameur, M. Breton und P. François 47
(b) VT (XT ) = supYT f (XT , YT ).
Dieser rekursive Ansatz (auch als Rückwärtsinduktion bezeichnet) wird Dynamic Programming
genannt. Die Hauptaufgabe des Dynamic Programming Ansatzes ist die Wertfunktion VT −s
rekursiv zu identifizieren, indem das Maximierungsproblem in (a) und (b), beginnend bei s =
0, gelöst wird und dies rückwärts in der Zeit s = 1, . . . , T fortgeführt wird. Die optimale
Entscheidung YT∗ = h∗T (XT , ZT ), die vom Wert XT und der Realisation von ZT abhängt, wird
durch Lösung des statischen Problems in (b) gefunden.
Eine Konsequenz der Bellman-Gleichung ist das sogenannte Optimalitätsprinzip von Bellman:
Wenn Y ∗ = (Y0∗ , . . . , YT∗ ) die Entscheidungssequenz ist, die FT (x0 , z0 , Y ) maximiert, dann maximiert (YT∗−s , . . . , YT∗ ) auch die Zielfunktion nach s Perioden, d.h.
FT −s (XT −s , ZT −s , (YT −s , . . . , YT )).
3.2
Bewertung von Installment Optionen nach H. BenAmeur, M. Breton und P. François
Zur Bewertung von Installment Optionen wurden bereits einige Möglichkeiten vorgestellt. In
diesem Abschnitt wird das Dynamic Programming mit finitem Zeithorizont T beschrieben, eine
Methode zur Bewertung von Optionen, für die es keine geschlossene Lösung gibt. Voraussetzung ist, daß die Option nur eine begrenzte Anzahl von Entscheidungen Yt zu bestimmten
Terminen t0 = 0, t1 , . . . , T , während der Laufzeit T der Option vom Halter fordert. Der Wert
einer Installment Option zur Zeit t ist gegeben durch die Snell Envelope2 des diskontierten Auszahlungsprozesses, welcher im Folgenden durch die Dynamic Programming Methode berechnet
wird (siehe (DP) auf Seite 48) .
Im Falle der Installment Option muß der Halter sukzessive die Entscheidung treffen, die Option zu halten oder die Option zu terminieren, sowie zum Laufzeitende die Option auszuüben
oder verfallen zu lassen. Die Übergangsfunktion wird durch die Gleichung (1.2) und durch
die Entscheidungen bestimmt. Die additive Zielfunktion F wird als Funktion der erwarteten
Auszahlung der Installment Option interpretiert. Die indirekte Zielfunktion V entspricht der
Wertfunktion der Installment Option, die wie in Abschnitt 1.6 rekursiv definiert werden kann.
In dem Artikel [3] von H. Ben-Ameur, M. Breton und P. François werden die in Bemerkung
(1.2) erwähnten Installment Optionen mit dem zusätzlichen Ausübungsrecht betrachtet. Bei
2
Der Prozeß, der durch die Rekursion UT := HT , Ut := Ht ∨ E[Ut+1 | Ft ] für t = T − 1, . . . , 0 definiert ist,
wobei Ht die Auszahlung der Option zur Zeit t bezeichnet, ist die diskrete Snell Envelope von H bzgl P.
3.2. Bewertung von Installment Optionen nach H. Ben-Ameur, M. Breton und P. François 48
dieser Auffassung erfordert der Kontrakt der Installment Option Entscheidungen bezüglich
zwischenzeitlicher Ausübung, Terminierung oder Fortführung.
Dieser Algorithmus wird nun bezüglich der in dieser Arbeit verwendeten Definition (1.1) der
Installment Option betrachtet. Der Unterschied zu Bemerkung 1.2 besteht darin, daß die Option kein zwischenzeitliches Ausübungsrecht zu den Installmentterminen beinhaltet und dieser
ändert den Algorithmus nicht prinzipiell.
3.2.1
Beschreibung des Modells
Der Algorithmus von H. Ben-Ameur, M. Breton und P. François approximiert den Preis der
Installment Option im Black-Scholes Modell, also die im voraus geleistete Zahlung P zum
Zeitpunkt t0 , um in den Kontrakt einzusteigen.
Wie in Abschnitt 1.6 erläutert, ist der Ausübungspreis (”Exercise Value”) der Installment Option zum Ausübungszeitpunkt tn gegeben durch Vne (s) := max[0, φn (s − kn )] und zu den früheren
Zeitpunkten 0. Der Preis der Standard-Option zur Zeit tn−1 ist Vn−1 (s) = e−rd ∆t E[Vne (s) |
Stn−1 = s]. Üblicherweise ist der ”Exercise Value” der Wert einer Option, wenn angenommen
wird, daß sie instantan ausgeübt wird. Im Gegensatz zum ”Exercise Value” ist der ”Holding
Value” (nach dem risikoneutralen Prinzip) der Wert der Option, wenn diese nicht ausgeübt
wird, sondern für mindestens eine weitere Periode gehalten wird und der Optionshalter einer
optimalen Ausübungsstrategie folgt. Zu einem beliebigen Zeitpunkt ti ist der ”Holding Value”
Vih (s) = e−rd ∆t E[Vi+1 (Sti+1 ) | Sti = s] für i = 0, . . . , n − 1,
(3.1)
wobei

h

 V0 (s)
Vi (s) =
max[0, Vih (s) − ki ]

 e
Vn (s)
für i = 0,
für i = 1, . . . , n − 1,
für i = n.
(DP)
Die Funktion Vih (s) − ki wird ”Net Holding Value” bei ti genannt, für i = 1, . . . , n − 1.
Der Optionswert ist der ”Holding Value” oder der ”Exercise Value”, je nachdem, welcher größer
ist. Die Wertfunktion Vi , für i = 0, . . . , n − 1, ist nicht bekannt und muß approximiert werden.
Hier wird eine Approximationsmethode vorgeschlagen, die die obige Dynamic Programming
(DP) -Gleichung in einer geschlossenen Form für alle s und i löst.
3.2.2
Algorithmus zur Bewertung von Installment Optionen
Die Idee von H. Ben-Ameur, M. Breton und P. François ist die positive reelle Achse in Intervalle zu partitionieren, um dann den Optionswert durch stückweise lineare Interpolation zu
3.2. Bewertung von Installment Optionen nach H. Ben-Ameur, M. Breton und P. François 49
approximieren. Dazu benötigt der Algorithmus als Eingabe approximierte Werte der Option
zum Laufzeitende tn . Diese Lösung ist eine geschlossene Lösung der Dynamic Programming
-Gleichung (DP).
Seien a0 = 0 < a1 < . . . < ap < ap+1 = +∞ Punkte in R+
0 ∪ {∞} und (aj , aj+1 ] für j = 0, . . . , p
+
eine Partition von R0 in (p+1) Intervalle.
Gegeben seien Approximationen Ṽi des Optionswertes Vi an den Stützstellen aj im i-ten Schritt
(anfangs, bei T , erfüllt durch die eingegebenen Werte). Diese Funktion wird stückweise linear
interpoliert
p
X
(αji + βji s)I{aj <s≤aj+1 } ,
(3.2)
V̂i (s) =
i=0
wobei I die Indikatorfunktion ist. Die lokalen Koeffizienten dieser Interpolation im Schritt i, also
die y-Achsenabschnitte αji und die Steigungen βji , erhält man durch Lösen folgender linearer
Gleichungen
Ṽi (aj ) = V̂i (aj ) für j = 0, . . . , p − 1.
Für j = p, wählt man
i
i
αpi = αp−1
und βpi = βp−1
.
Nun sei angenommen, daß V̂i+1 bekannt ist. Das ist im Gesamtkontext des Verfahrens berechtigt,
da dann die Werte V̂i+1 aus dem Schritt zuvor bekannt sind. Aus (3.1) errechnet man den
Erwartungswert im Schritt i
Ṽih (ak )
=
(3.2)
=
e−rd ∆t E[V̂i+1 (Sti+1 )|Sti = ak ]
p
X
i+1
−rd ∆t
n
o
e
αj E I aj <eµ∆t+σ√∆tz ≤ aj+1
ak
j=0
+
βji+1 ak E
ak
√
µ∆t+σ ∆tz n
o
√
e
I aj <eµ∆t+σ ∆tz ≤ aj+1 ,
ak
(3.3)
ak
wobei µ := rd − rf − σ 2 /2 und Ṽih den approximierten ”Holding Value” der Installment Option
bezeichnet.
Definiert man
a
ln akj − µ∆t
√
,
(3.4)
xk,j :=
σ ∆t
so können für k = 1, . . . , p und j = 0, . . . , p erstere Erwartungswerte in (3.3)
Ak,j := E In aj <eµ∆t+σ√∆tz ≤ aj+1 o
ak
ak
(3.5)
3.2. Bewertung von Installment Optionen nach H. Ben-Ameur, M. Breton und P. François 50
ausgedrückt werden durch
Z
(3.5)
∞
=
−∞
∞
I ln(aj /ak )−µ∆t
√
σ ∆t
<z<
ln(aj+1 /ak )−µ∆t
√
σ ∆t
n(z)dz
Z
(3.4)
=
I{xk,j <z≤xk,j+1 } n(z)dz
−∞
Z xk,j
Z xk,j+1
n(z)dz −
=
n(z)dz
−∞
−∞


 N (xk,1 )
N (xk,j+1 ) − N (xk,j )


1 − N (xk,p )
=
für j = 0,
für 1 ≤ j ≤ p − 1,
für j = p,
(3.6)
und letztere in (3.3)
Bk,j
√
µ∆t+σ ∆tz n
o
:= E ak e
I aj <eµ∆t+σ√∆tz ≤ aj+1
ak
gleichermaßen durch
Z ∞
√
(3.7) = ak
eµ∆t+σ ∆tz I ln(aj /ak )−µ∆t
(3.4)
=
√
σ ∆t
−∞
∞
Z
eµ∆t+σ
√
<z<
(3.7)
ak
ln(aj+1 /ak )−µ∆t
√
σ ∆t
n(z)dz
∆tz
I{xk,j <z≤xk,j+1 } n(z)dz
Z xk,j
√
√
µ∆t+σ ∆tz
ak
e
n(z)dz − ak
eµ∆t+σ ∆tz n(z)dz
−∞
−∞
Z xk,j+1
√
1
2
2
√ e−1/2(σ ∆t+2σ ∆tz+z ) dz
ak e(rd −rf )∆t
2π
−∞
Z xk,j
1 −1/2(σ2 ∆t+2σ√∆tz+z2 )
√ e
−
dz
2π
−∞
Z xk,j+1
Z xk,j
1 −1/2(z+σ√∆t)2
1 −1/2(z+σ√∆t)2
(rd −rf )∆t
√ e
√ e
ak e
dz −
dz
2π
2π
−∞
−∞
!
√
√
Z
Z
ak
Z−∞
xk,j+1
=
=
=
=
ak e(rd −rf )∆t
n(z)dz −
−∞
=
xk,j −σ ∆t
xk,j+1 −σ ∆t
n(z)dz
−∞

√
(rd −rf )∆t

 ak N (xk,1 − σ ∆t)e
√
√
ak [N (xk,j+1 − σ ∆t) − N (xk,j − σ ∆t)]e(rd −rf )∆t
√


ak [1 − N (xk,p − σ ∆t)]e(rd −rf )∆t
für j = 0,
für 1 ≤ j ≤ p − 1,
für j = p,
(3.8)
z2
wobei n(z) := √12π e− 2 und N für die kumulative Normalverteilungsfunktion von z steht.
In der vereinfachenden Schreibweise (3.6) und (3.8) können die ai (i = 1, . . . , p) als Quantile der
3.3. Cody-Algorithmus
51
Lognormalverteilung aufgefaßt werden. Diese werden nicht direkt gewählt, sondern als Quantile von (z.B. äquidistanten) Wahrscheinlichkeiten der Lognormalverteilung berechnet. Dadurch
liegen die Stützstellen dichter beieinander, in Bereichen, in denen die Änderung der Verteilungsfunktion groß ist. Das ak in (3.4) ist dabei der gegebene Wechselkurs zum Zeitpunkt ti und
deswegen konstant. In der praktischen Anwendung bedarf es somit einer möglichst effizienten
Methode zur Berechnung der inversen Normalverteilungsfunktion. Eine Möglichkeit dafür ist
der hier verwendete Cody-Algorithmus.
3.3
Cody-Algorithmus
Eine Darstellung der Normalverteilungsfunktion ist durch die
Rz 2
erf(z) = √22π 0 e−t dt gegeben,
Z x
x
1
1
−t2 /2
1 + erf √
.
N (x) = √
e
dt =
2
2π −∞
2
Fehlerfunktion
Weder N (x) noch die Funktion erf(z) können durch endlich viele Rechenschritte exakt berechnet
werden und müssen daher numerisch approximiert werden. Ein Algorithmus zur Approximation
der Funktion erf und damit auch zur Approximation von N ist von W. J. Cody entwickelt
worden. Aus seinem Verfahren läßt sich auch ein Algorithmus zur Berechnung der inversen
Normalverteilungsfunktion mit einer sehr hohen Genauigkeit herleiten. Der absolute Wert des
relativen Fehlers ist weniger als 1.15 · 10−9 im gesamten Wertebereich, für den in dieser Arbeit
implementierten Cody Algorithmus.
Dieser Algorithmus benutzt zwei verschiedene rationale Minimax-Approximationen. Eine rationale Approximation wird auf die zentrale Region (x ∈ [0.02425, 0.97575]) und eine andere
auf die ”Tails” der Normalverteilungsfunktion angewendet. In der zentralen Region wird direkt
eine rationale Minimax-Approximation eingesetzt. Auf den ”Tails” der Funktion (x < 0.02425
oder x > 0.97575) wird das Argument der Funktion zuerst nicht-linear transformiert bevor eine
rationale Minimax-Approximation angewendet wird.
Sei R(x) die gewünschte rationale Funktion mit Zähler vom Grad m und Nenner vom Grad k,
um die Funktion N −1 (x) im Intervall a ≤ x ≤ b zu approximieren. Dann soll gelten
R(x) ≡
p0 + p1 x + . . . + pm xm
≈ N −1 (x) für a ≤ x ≤ b.
1 + q1 x + . . . + qk x k
Die unbekannten Größen, die es zu finden gilt, sind p0 , . . . , pm und q1 , . . . , qk , d.h. m + k + 1
unbekannte Parameter. Sei r(x) die Abweichung von R(x) zu N −1 (x), und sei r der absolute
Wert der maximalen Abweichung,
r(x) ≡ R(x) − N −1 (x),
r ≡ max |r(x)|.
a≤x≤b
3.4. Algorithmus von H. Ben-Ameur, M. Breton und P. François im Pseudocode
52
Die optimale Minimax-Lösung entspricht der Wahl von pi (i = 0, . . . , m) und qj (j = 1, . . . , k)
die r minimieren. Offensichtlich existiert eine Minimax-Lösung, da r von unten durch 0 begrenzt
ist. Die verwendeten rationalen Chebyshev Funktionen zur Approximation von N −1 (x) sind in
[6] aufgeführt, und das Verfahren der rationalen Chebyshev Approximation ist in Kapitel 5.13
in W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling [26] beschrieben.
Die Implementation des Cody Algorithmus in Visual C++ findet sich unter [7].
3.4
Algorithmus von H. Ben-Ameur, M. Breton und P.
François im Pseudocode
Zum besseren Verständnis wird die beschriebene Vorgehensweise aus 3.2.2 in diesem Abschnitt
in Form eines Algorithmus skizziert. Der Algorithmus arbeitet gemäß des Dynamic Programming Prinzips rückwärts in der Zeit, ausgehend von Werten der Ausübungsfunktion der Installment Option zum Laufzeitende T an vorher ausgewählten Stützstellen aj . Durch Verbinden
dieser Punkte durch Geraden entsteht eine lineare Approximation der Ausübungsfunktion. Die
Ausübungsfunktion zum Laufzeitende ist die Payoff-Funktion der Vanilla Option, welche bis
zum Strikepreis K konstant und dann linear ist. Die lineare Approximation zum Zeitpunkt T
ist also exakt, ausgenommen dem Intervall K ∈ (al , al+1 ), falls K nicht einer dieser Stützstellen entspricht. Damit wird der ”Holding Value” dieser linearen Approximation mit Hilfe der
Ak,j und Bk,j aus Abschnitt 3.2.2 berechnet. Die Übergangsparameter Ak,i und Bk,i , können
vor der ersten Iteration berechnet werden, denn für ihre Berechnung benötigt man nur bereits
am Anfang bekannte Werte. Der Vorteil dabei ist, daß der ”Holding Value” nur an den Stützstellen aj berechnet werden muß und wegen der Linearität Funktionswerte für alle s erhalten
werden. Die Werte des ”Holding Value” an den aj werden nun wieder als Approximation der
Ausübungswerte im Zeitpunkt tn−1 verwendet, und es wird wie zu Anfang fortgefahren. Das
Ergebnis des Algorithmus ist der Wert der Installment Option zum Zeitpunkt t0 . Es folgt eine
Beschreibung im Pseudocode.
Zuerst werden die ak als Quantile der Verteilung des Preises zum Laufzeitende des Wechselkurses ST erzeugt und können zum Beispiel durch das vorgestellte Cody Verfahren approximiert
werden:
1. Berechne die q1 , . . . , qp -Quantile der Standardnormalverteilung mittels der inversen Verteilungsfunktion.
2. Berechne die a1 , . . . , ap -Quantile der Lognormalverteilung mit Erwartungswert log S0 −µT
3.4. Algorithmus von H. Ben-Ameur, M. Breton und P. François im Pseudocode
53
√
und Varianz σ T durch
√
exp(qi σ T + log S0 + µT ) = ai .
Im Pseudocode sieht die Implementation der theoretischen Überlegung aus Abschnitt 3.2.2
folgendermaßen aus (Das Prinzip der Rückwärtsrekursion wurde hier als for-Schleife realisiert,
die von n − 1 bis 0 läuft.):
1. Berechne V̂n (s) für alle s, indem (3.2) benutzt wird, d.h. berechne alle αin , βin für i =
0, . . . , p
2. Für j = n bis 1
h
a. Berechne Ṽj−1
(ak ) für ak (k = 1, . . . , p) in geschlossener Form, indem (3.3) benutzt
wird.
h
h
(ak ) benutzt
(ak ) für Vj−1
b. Berechne Ṽj−1 (ak ) für k = 1, . . . , p, indem (DP ) mit Ṽj−1
wird.
c. Berechne V̂j−1 (s) für alle s > 0, indem (3.2) benutzt wird, d.h. berechne alle αij−1 ,
βij−1 für i = 1, . . . , k. Es sei denn, j − 1 ist schon gleich 0, dann berechne V̂j−1 (s) für
s = S0 und beende den Algorithmus.
d. Ersetze j ← j − 1.
Wiederhole diese Schritte bis V̂0 (S0 ), der Preis der Installment Option zum Zeitpunkt 0, berechnet ist. Bemerke, daß die optimalen Entscheidungen (Fortführung oder Abbruch der Option)
im Schritt b. durch die Maximumsfunktion einbezogen ist.
Dieser Algorithmus arbeitet nur mit äquidistanten Installmentterminen, konstanter Volatilität
und konstanten Zinsraten. Konstante Volatilität und Zinsraten sind Voraussetzung für das
hier verwendete Black-Scholes Modell, der Algorithmus wäre aber für Volatilitäts-bzw. Zinsratenfunktionen in Form von Treppenfunktionen mit Sprungstellen an den Installmentterminen
erweiterbar. Das ∆t in der Berechnung kann einfach in jeder Periode durch beliebige ti+1 − ti
ersetzt werden. Weiterhin könnte die Laufzeit des Algorithmus verringert werden, indem bei
der Berechnung die kleineren Stützstellen weggelassen werden, sobald eine bei der Maximumsfunktion Nullwerte erzeugt.
3.5. Auswertungen der Ergebnisse
3.5
54
Auswertungen der Ergebnisse
Tabelle 3.1 zeigt die Haupteigenschaften des Ansatzes zur Bewertung von Installment Option
mit dem beschriebenen Algorithmus. Die Konvergenz gegen den Wert, der mit der in Kapitel 4 entwickelten geschlossenen Formel (Seite 77) errechnet wird (für den Fall n = 1 ist dies
die BS-Formel), ist schnell (linke Abbildung 3.1). Eine recht gute Approximation des Installment Optionspreises wird schon mit 125 Stützstellen erhalten. Eine Genauigkeit bis zur zweiten
Nachkommastelle wird mit 250 Stützstellen erreicht, hingegen mit 1000 Stützstellen eine Genauigkeit bis zur vierten Nachkommastelle. Die Berechnungszeit erhöht sich nur leicht, wenn
die Anzahl der Installments erhöht wird. Die Berechnungszeit setzt sich aus einer konstanten
Komponente zur Berechnung der Ak,j , Bk,j und der Stützstellen und einer visuell annäherend
linearen Komponente (rechte Abbildung 3.1) zusammen. Die Konvergenz gegen den mittels
(4.20) errechneten Preis ist monoton. Dies ermöglicht es, Extrapolationsmethoden, die die Berechnungszeit erheblich reduzieren, für die gewünschte Genauigkeit anzuwenden.
Abbildung 3.1: Links: Preise für die aus Tabelle 3.1 aufgeführte Standard-Option. Die horizontale Linie stellt den BS-Wert dar. Rechts: Berechnungszeiten für die n-Installment Option mit
2000 und 1000 Stützstellen
Tabelle 3.2 zeigt die Werte der Installment Optionen mit zusätzlicher Ausübungsmöglichkeit,
so wie sie in Bemerkung 1.2 beschrieben wurde, mit den gleichen Parametern wie in Tabelle
3.1. Die Werte der Vanilla Option (1-Installment Option) der ersten Zeile bleiben unverändert,
da die zusätzliche Ausübungsmöglichkeit nicht existiert und daher keinen Einfluß haben kann.
Mit dieser Wahl der Parameter ist bei der Compound Option keine Wertdifferenz zu erkennen, die gegebenenfalls durch den Unterschied einer Ausübungsmöglichkeit zustande kommen
könnte. Die 3-Installment Option ohne zwischenzeitliche Ausübungsmöglichkeit hat bei 2000
Stützstellen einen 1% kleineren Wert als jene mit Ausübungsmöglichkeit. Die zunehmenden
3.6. Theoretische Eigenschaften
55
# Installments
1
2
3
4
5
# Stützstellen aj
500
125
250
13,34694114
11,49251804
9,728856008
8,043437842
6,448204723
13,34655154
11,49229931
9,729932031
8,048565230
6,461100832
13,34649642
11,49220388
9,730259945
8,050500708
6,466794246
1000
2000
13,34648089
11,49217972
9,730345828
8,051271717
6,469358329
13,34647596
11,49217385
9,730371971
8,051576340
6,470536402
Tabelle 3.1: Werte von Installment Optionen ohne zusätzlicher Ausübungsmöglichkeit mit Parametern: S0 = 100, K = 95, σ = 0.2, rd = 0.05, rf = 0, T = 1, ki = 2
Entscheidungsmöglichkeiten bei den 4- und 5-Installment Optionen bewirken einen Wertanstieg von 7.5% und 20.5% bei 2000 Stützstellen.
# Installments
1
2
3
4
5
# Stützstellen aj
500
125
250
13,34694114
11,49251804
9,856146987
8,652675611
7,798622276
13,34655154
11,49229931
9,855812294
8,652221902
7,798311609
13,34649642
11,49220388
9,855734964
8,652123592
7,798226034
1000
2000
13,34648089
11,49217972
9,855703496
8,652105453
7,798208753
13,34647596
11,49217385
9,855696856
8,652098901
7,798203934
Tabelle 3.2: Werte von Installment Optionen mit zusätzlicher Ausübungsmöglichkeit: S0 = 100,
K = 95, σ = 0.2, rd = 0.05, rf = 0, T = 1, ki = 2
3.6
Theoretische Eigenschaften
In diesem Abschnitt werden einige theoretische Eigenschaften bezüglich der Ausgestaltung
von Installment Call-Optionen behandelt. Symmetrische Ergebnisse werden für Installment
Put-Optionen hergeleitet. Weitere Ergebnisse für die Installment Option mit zusätzlichem
Ausübungsrecht werden in H. Ben-Ameur, M. Breton, P. François [3] aufgeführt.
Proposition 3.1 (a) Der ”Net Holding Value” der Installment Call-Option zur Zeit ti ,
Vih (s) − ki (i = 0, . . . , n − 1) als Funktion von s > 0, ist
(i) stetig,
3.6. Theoretische Eigenschaften
56
(ii) konvex und
(iii) monoton mit einer positiven Steigung, die kleiner als 1 ist.
(b) Die Wertfunktion ist Null in der ”Stopping Region” (0, bi ) und gleich dem ”Net Holding
Value” in der ”Holding Region” [bi , ∞), wobei bi ein Schwellenwert für jeden Zeitpunkt ti
ist, der von den Parametern der Installment Option abhängt.
Beweis: Der Beweis wird mit endlicher Induktion durchgeführt. Bei tn−1 , ist der ”Holding
Value” für s > 0
h
Vn−1
(s) = e−rd ∆t E[Vne (Stn )|Stn−1 = s]
Z
+∞
=
e−rd ∆t [seµ∆t+σ
√
∆tz
− kn ]+ n(z)dz.
−∞
Offensichtlich, ist die Funktion immer strikt positiv, da es mindestens ein s gibt, so daß die
Maximumsfunktion positiv ist. Nach dem Satz von der dominierten Konvergenz von Lebesgue
gilt für den ”Holding Value”, der stetig für alle s > 0 ist,
h
lim Vn−1
(s) = 0,
s→0
denn n(z) ist beschränkt und für s → 0 ist die obige Maximumsfunktion ebenfalls beschränkt.
Diese Funktion ist eine konvexe Funktion von s > 0, da sie eine Konvexkombination von
konvexen (stückweise linearen) Funktionen von s > 0 ist, also aus dem Teil der Funktion, der
konstant −kn−1 ist und dem anderen Teil, der linear in s größer als der Strikepreis ist. Sie ist
monoton, da sie ein Integral einer wachsenden Funktion von s > 0 ist. Für s2 > s1 > 0 erhält
man
h
h
Vn−1
(s2 ) − Vn−1
(s1 )
Z +∞ √
√
= e−rd ∆t
[s2 eµ∆t+σ ∆tz − kn ]+ − [s1 eµ∆t+σ ∆tz − kn ]+ n(z)dz
−∞
Z +∞ √
2
− σ2 ∆t
≤ (s2 − s1 )e
eσ ∆tz n(z)dz
(3.9)
(3.10)
−∞
= s2 − s1
h
h
Vn−1
(s2 ) − Vn−1
(s1 )
⇒
≤ 1,
s2 − s1
wobei (3.9) ≤ (3.10) gilt, da e−rf ∆t ≤ 1 und durch Weglassen der Maximumsfunktionen (3.9)
vergrößert wird, wegen s2 > s1 > 0. Die Steigung des ”Holding Values” bei tn−1 ist also kleiner
3.7. Monte Carlo Simulation
57
Abbildung 3.2: : Der ”Holding Value” kurz
vor t3 bei einer Installment Option mit 4
Raten entspricht der durchgezogenen Linie.
Der ”Net Holding Value” ist durch die gestrichelte Linie dargestellt. Die Wertfunktion
ist Null bis bm und gleich dem ”Net Holding
Value” danach.
oder gleich Eins. Nimmt man an, daß die Eigenschaften bei Schritt m + 1 gelten, so sind die
gleichen Argumente für Schritt m anzuwenden.
In Abbildung 3.2 zeigt die gestrichelte Kurve den ”Net Holding Value” einer Installment CallOption Vmh (s) − km für einen Entscheidungszeitpunkt m. Diese Kurve schneidet die x-Achse
in dem Punkt, der die ”Stopping Region” und die ”Holding Region” voneinander trennt. Die
durchgezogene Linie zeigt den ”Holding Value” der Installment Option. Die Steigung dieser
Funktion ist kleiner als Eins. In Kapitel 2 wurde die Installment Option bezüglich ihrer optimalen Stoppzeiten betrachtet. In dem folgenden Abschnitt wird zunächst die Erzeugung von
zufälligen Pfaden der Spotfunktion St beschrieben, und anschließend werden die ”Stopping”bzw ”Holding Regionen” der Installment Option zusammen mit der jeweiligen Stoppzeit für
diese erzeugten Pfade betrachtet.
3.7
Monte Carlo Simulation
Die Basis der Monte Carlo Simulation ist das starke Gesetz der großen Zahlen. Da die Bestimmung des Optionspreises die Berechnung des abgezinsten Erwartungswertes der Auszahlung
bezüglich des äquivalenten Martingalmaßes beinhaltet, liegt die folgende Vorgehensweise nahe:
Bestimmung des Preises einer Option durch Monte Carlo Simulation
1. Simulation n unabhängiger Realisierungen Pi der Auszahlung P .
P
2. Wahl von e−rd T n1 ni=1 Pi als Approximation des Optionspreises e−rd T E[P ].
Das im zweiten Schritt berechnete arithmetische Mittel stellt dabei einen erwartungstreuen und
(wegen des starken Gesetzes der großen Zahlen) stark konsistenten Schätzer für den Optionspreis dar. Der erste Schritt, die Erzeugung der Realisierungen von P , läßt sich nur näherungsweise durchführen.
3.8. Simulationsanalyse
58
Simulation der Auszahlung P
Es wird davon ausgegangen, daß die Auszahlung P = P (St , t ∈ [0, T ]) ein Funktional des
1 2
Preisprozesses St = S0 e(rd −rf − 2 σ )t+σWt (t ∈ [0, T ]) ist. Um P zu simulieren, wird zunächst
ein Pfad St des Preisprozesses bzgl. des äquivalenten Martingalmaßes simuliert. Da ein solcher
Pfad durch überabzählbar viele Werte gegeben ist, kann er nur approximativ simuliert werden.
Hierzu wird folgendermaßen vorgegangen:
1. Teilung des Intervalls [0, T ] in N 1 äquidistante Teilintervalle ∆t =
T
.
N
2. Erzeugung von N N (0, 1)-verteilten, unabhängigen Zufallszahlen Zi .
3. Erzeugung eines (approximativen) Pfades von St ,
1
S0 als Startwert , Sj∆t = S(j−1)∆t e(rd −rf − 2 σ
2 )∆t+σ
√
∆tZj
, j = 1, . . . , N,
und lineare Approximation von St ,
St = S(j−1)∆t + (t − (j − 1)∆t)
Sj∆t − S(j−1)∆t
, t ∈ [(j − 1)∆t, j∆t] .
∆t
4. Berechnung der Näherung der Auszahlung P mit Hilfe des simulierten Pfades des Preisprozesses
Im Wesentlichen besteht die Erzeugung von zufälligen Pfaden von St also in der Erzeugung
von standardnormalverteilten Zufallszahlen Zi , die auf die Normalverteilung der Inkremente
der Brownschen Bewegung zurückzuführen sind.
Dies wird unter anderem in P. Glasserman [16] ausführlich behandelt. Grundlage dieses Abschnitts ist R. Korn und E. Korn [23].
Durch Monte Carlo Simulation können exotische Optionen mittels Computerprogrammen und
dessen Pseudo-Zufallszahlenerzeugung approximiert werden. Die Simulation der Pfade von St
durch die Monte Carlo Methode wird nun verwendet, um eine empirische Verteilung der optimalen Stoppzeiten von Installment Optionen zu erzeugen.
3.8
Simulationsanalyse
Zur Erstellung der folgenden Abbildungen wurde eine Monte Carlo Simulation aus 3.7 mit
1000 Wiederholungen für eine Installment Option mit vier Installmentraten durchgeführt. Die
Installment Option wird terminiert, sobald der ”Holding Value” kleiner als die jeweilige Installmentrate ist. Die ersten drei Graphiken zeigen die Häufigkeiten der Stoppzeiten, wenn die
3.8. Simulationsanalyse
59
Installmentraten ki = 1, 2.3, 3 sind. Ist die Installmentrate niedrig, wird die Installment Option
am häufigsten bis zum Laufzeitende gehalten. In den Abbildungen 3.3 entspricht dieser Fall
der Stoppzeit 5. Das heißt, die ”Holding Region” der Funktion V h − k ist größer als bei den
anderen beiden Installment Optionen. Die mittlere Abbildung zeigt, daß die Installmentraten
k2,3,4 = 2.3 eine ausgewogenere Stoppzeitenhäufigkeit bewirkt. Die Häufigkeiten der Stoppzeiten 2, 3, 4 ändern sich nicht wesentlich. Die rechte Graphik zeigt, daß eine hohe Installmentrate
dazu führt, daß die Installment Option tendenziell früh terminiert wird. Das zeigt die rechte
Abbildung mit Stoppzeit 1 als häufigster Stoppzeit. In diesem Fall ist die ”Stopping Region”
größer als in den Fällen zuvor.
Abbildung 3.3: Häufigkeiten der Stoppzeiten für verschiedene Installmentprämien mit Parametern: S0 = 100, K = 95, σ = 0.2, rd = 0.05, rf = 0, T = 1, ki = 1, 2.3, 3
In Abbildung 3.4 wurde untersucht, wie sich die Änderung von S0 auf die Stoppzeiten der
Installment Option auswirkt. S0 wurde zwischen 90 und 108 gewählt. Die Säulen in der Graphik
stellen die Häufigkeiten der Stoppzeiten für die verschiedenen Werte von S0 dar. Bei jeder
Stoppzeit steht der Balken ganz links für die relative Häufigkeit der Stoppzeit mit S0 = 90, der
Balken ganz rechts mit S0 = 108. Die Abbildung zeigt, daß bei niedrigem anfänglichem Spotwert
eine Terminierung zum Zeitpunkt 1 am häufigsten ist. Dagegen ist bei einem Anfangsspot S0
in der Nähe von 108 ein Halten der Installment Option bis zum Ende am häufigsten. Die
Häufigkeiten der mittleren Stoppzeiten verändern sich kaum.
3.8. Simulationsanalyse
60
Abbildung 3.4: Häufigkeiten der Stoppzeiten für verschiedene Anfangswerte S0 = 90, . . . , 108
des Spotpreises und Parametern: K = 95, σ = 0.2, rd = 0.05, rf = 0, T = 1, ki = 2
Kapitel 4
Herleitung der geschlossenen
Bewertungsformel für Installment
Optionen
Die Intention dieses Kapitels ist eine geschlossene Bewertungsformel für die n-variate Installment Option n ≥ 3 im BS-Modell zu gewinnen. Für die Fälle n = 1 und n = 2 ist solch
eine Formel schon bekannt, nämlich als BS-Formel und Compound-Formel (1.1). Das Problem
liegt insbesondere darin, eine spezielle Beziehung zwischen multivariaten Normalverteilungen
zu finden. Die Herleitung erfolgt zunächst am Beispiel einer 3-fach Call-Option.
4.1
Bivariate und multivariate Normalverteilung
In diesem Abschnitt wird die bivariate und die multivariate Normalverteilung und eine ihrer
wichtigen Eigenschaften vorgestellt. Die aufgeführten Definitionen und Ergebnisse werden in
den folgenden Abschnitten verwendet.
Definition 4.1 Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) hat eine bivariate Normalverteilung, wenn die gemeinsame Verteilungsdichte die folgende Form hat
f (x, y) =
1
p
e−Q(x,y)/2 , −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞,
2πσ1 σ2 1 − ρ2
wobei σ1 > 0, σ2 > 0, |ρ| < 1, und Q ist die positiv definite quadratische Form
"
2
2 #
1
x − µ1
(x − µ1 )(y − µ2 )
y − µ2
Q(x, y) =
− 2ρ
+
.
1 − ρ2
σ1
σ1 σ2
σ2
61
4.1. Bivariate und multivariate Normalverteilung
62
f (x, y) mit µi = 0 und σi = 1 für i = 1, 2 heißt bivariate Standardnormalverteilungsdichte und
wird mit n(x, y) bezeichnet.
Die univariate bzw. bivariate Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung an der Stelle
x bzw. (x, y) sei bezeichnet mit
Z x Z y
Z x
n(t) dt bzw. N2 (x, y; ρ) :=
n(u, v) du dv.
(4.1)
N (x) :=
−∞
−∞
−∞
Für sie gibt es keine geschlossenen Formel, approximierte Werte lassen sich für beliebige Parameter in Statistikprogrammen berechnen. Hier wurde ρ in das Argument der Funktion N2
einbezogen, da später eine geeignete Wahl für ρ getroffen werden muß.
Die bedingten Normalverteilungsdichten f (y | x) und f (x | y) sind wieder univariate Normalverteilungen:
Definition 4.2 Die bedingte Verteilungsdichte f (y | x) ist gegeben durch
f (x, y)
f (x, y)
=
f (x)
f (x, ỹ)dỹ
"
#
−(y − µ2 + ρ σσ21 (x − µ1 ))2
1
p
,
√ exp
2σ22 (1 − ρ2 )
σ2 1 − ρ2 2π
f (y | x) := R
=
wobei
f (x) =
σ1
1
√
"
1
exp −
2
2π
x − µ1
σ1
2 #
, −∞ < x < ∞
die univariate Verteilungsdichte mit Varianz σ1 und Erwartungswert µ1 ist. Die Varianz und
der Erwartungswert der bedingten Verteilungsdichte ist σ22 (1 − ρ2 ) respektive µ2 − ρ σσ12 (x − µ1 ).
n(y | x) ist die bedingte Standardnormalverteilungsdichte, also f (y | x) mit µi = 0 und σi = 1.
Als nächstes betrachte man die multivariate Normalverteilungsfunktion mit Dimension n, n ≥
2. Sei Σ eine n × n reelle, nichtsinguläre Matrix. Bezeichne x den n × 1 Spaltenvektor mit
0
0
reellen Einträgen (x1 , . . . , xn ) und µ den Spaltenvektor (µ1 , . . . , µn ) ∈ Rn .
Definition 4.3 Die nichtnegative Funktion
0
(x − µ) Σ(x − µ)
f (x) = c exp −
, −∞ < xi < ∞, i = 1, . . . , n
2
0
definiert die gemeinsame Verteilungsdichte eines zufälligen Vektors X = (X1 , . . . , Xn ) mit


σ11 · · · σ1n
 .

. . . ..
Parametern Erwartungswertvektor µ und Kovarianzmatrix Σ =  ..
 mit den
.
σn1 · · · σnn
−n/2
−1/2
Einträgen σij := Cov(Xi , Xj ) und Konstante c = (2π)
(det Σ)
.
4.2. Bewertung von trivariaten Installment Optionen
63
Die bivariate Normalverteilung ist also ein Spezialfall der multivariaten Normalverteilung für
n = 2. Analog zu (4.1) sei die n-variate Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung Nn
definiert.
Theorem 4.1 Seien Z1 , . . . , Zn , Y multivariat normalverteilte Zufallsvariablen und X1 , . . . , Xn
lineare Funktionen der Zj , Y (j = 1, . . . , n). Dann sind die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn multivariat normalverteilt.
Theorem 4.1 wird in diesem Kapitel in dieser Form angewendet. Für eine allgemeine Form
mit Beweis des Theorems siehe V.K. Rohatgi [29]. Im folgenden Abschnitt wird mit Hilfe der
Normalverteilung eine Bewertungsformel für n-Installment Optionen mit n = 3 hergeleitet.
4.2
Bewertung von trivariaten Installment Optionen
Eine trivariate Installment Option VT V = V0 gibt dem Käufer das Recht, zu einem bestimmten
Zeitpunkt t1 eine Compound Option VCp zu einem bestimmten Preis k1 zu kaufen bzw. zu
verkaufen. Die zugrunde liegende Compound Option gibt dem Käufer bei Ausübung von VCp =
V1 nun wiederum das Recht eine Standard-Option VStd zu einem bestimmten Zeitpunkt t2 und
einem bestimmten Preis k2 zu kaufen bzw. zu verkaufen. Diese Standard-Option VStd = V2 gibt
dem Käufer das Recht eine Währung zu einem bestimmten Zeitpunkt t3 und einem Strike-Preis
k3 zu kaufen bzw. zu verkaufen.
Die Payoff-Funktion der trivariaten Installment Option ist also abhängig vom Optionstyp der
Installment Option selbst, der zugrunde liegenden Compound Option und der zuunterst liegenden Standard-Option, den Ausübungspreisen k1 , k2 und k3 , den Ausübungszeitpunkten t0 , t1
und t2 , sowie vom Wert der letztendlich zugrunde liegenden Währung.
Die Payoff-Funktion der trivariaten Installment Option läßt sich also nach Abschnitt 1.6 analog
zu Compound Optionen folgendermaßen schreiben:
[φ1 (VCp (St1 , M, k2 , k3 , t3 − t1 , t2 − t1 , φ2 , φ3 ) − k1 )]+ ,
wobei hier und im Folgenden die als konstant angenommenen Marktdaten σ, rd , rf mit M
bezeichnet sind.
Aus der obigen Payoff-Funktion läßt sich mit Hilfe der Formel für Compound Optionen eine
allgemeine Formel zur Bewertung von trivariaten Installment Optionen herleiten. Dies funktioniert ähnlich wie die Herleitung der Bewertungsformel von Compound Optionen, und es müssen
insbesondere die Annahmen des Black-Scholes Modells gelten.
4.2. Bewertung von trivariaten Installment Optionen
64
Wie bei der Berechnung der Formel für Compound Optionen berechnet man auch hier ganz analog den bedingten Erwartungswert unter risikoneutralem Wahrscheinlichkeitsmaß der Payofffunktion.
Zunächst der Fall φi = 1 für i = 1, 2, 3, um die Vorgehensweise deutlich zu machen.
4.2.1
Berechnung einer ”Call-auf-Call-auf-Call” Option
Jedes Modell zur Bestimmung eines theoretischen Optionswertes muß zunächst Annahmen über
den Preisprozeß des Basisobjekts treffen. Black und Scholes spezifizieren diesen stochastischen
Prozeß (1.2) durch eine geometrische Brownsche Bewegung.
Um die Berechnungen und deren Ergebnisse übersichtlicher zu gestalten, werden folgende
Abkürzungen und Notationen verwendet
1
µ(±) = rd − rf ± σ 2
r 2
t2 − t
ρ(t) =
.
t3 − t
(4.2)
Der Payoff der Compound Option ist genau dann ungleich Null, wenn St > S2∗ ist, wobei S2∗ der
Wert von St ist, für den VStd (St , k2 , t3 − t) − k3 = 0 gilt. Diese Gleichung läßt sich numerisch
lösen, z.B. durch den Newton-Raphson Algorithmus, und mit Hilfe von W. H. Press, B. P.
Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling [26] implementieren.
Der Wert einer Compound Call-Option zu jedem Zeitpunkt t1 ≤ t ≤ t2 ist gegeben durch
VCp (St , M, k2 , k3 , t3 − t, t2 − t, 1, 1)
" St
#
ln S ∗ + µ(+) (t2 − t) ln kSt + µ(+) (t3 − t)
2
3
√
√
= e−rf (t3 −t) St N2
,
; ρ(t)
σ t2 − t
σ t3 − t
" St
#
ln S ∗ + µ(−) (t2 − t) ln kSt + µ(−) (t3 − t)
3
2
√
√
−e−rd (t3 −t) k3 N2
,
; ρ(t)
σ t2 − t
σ t3 − t
!
ln SS∗t + µ(−) (t2 − t)
2
√
,
−e−rd (t2 −t) k2 N
σ t2 − t
siehe D. M. Chance [5]. Der Wert der trivariaten Installment Option (”Call-auf-Call-auf-Call”)
zur Zeit 0 ist deshalb der diskontierte Erwartungswert des Payoffs der entsprechenden Compound Call-Option und des Strikepreises k1 , wobei
√
St1 = S0 exp(σ t1 z + µ(−) t1 )
nach (1.2) und z ∼ N (0, 1) standardnormalverteilt ist:
(4.3)
4.2. Bewertung von trivariaten Installment Optionen
65
VT V (S0 , M, k1 , k2 , k3 , t1 , t2 , t3 , 1, 1, 1)
= e−rd t1 E[[VCp (St1 , k2 , k3 , t3 − t1 , t2 − t1 , σ, rd , rf , 1, 1) − k1 ]+ ]



S
Z
ln St∗1 + µ(+) (t2 − t1 ) ln Skt1 + µ(+) (t3 − t1 )
2
3
√
√
= e−rd t1 e−rf (t3 −t1 ) St1 N2 
,
; ρ(t1 )
σ t2 − t1
σ t3 − t1
R

ln
St1
S2∗
ln
St1
S2∗
−e−rd (t3 −t1 ) k3 N2 

−e−rd (t2 −t1 ) k2 N 

+ µ(−) (t2 − t1 ) ln Skt1 + µ(−) (t3 − t1 )
3
√
√
,
; ρ(t1 )
σ t2 − t1
σ t3 − t1
(−)

+
+ µ (t2 − t1 )
 − k1  n(z)dz.
√
σ t2 − t1
ln
(4.4)
∗
S1
−µ(−) t1
S0
√
, wobei S1∗ derjenige SpotUm die Maximums-Funktion aufzulösen, setzt man g =
σ t1
preis St ist, für den der Payoff der trivariaten Installment Option gleich Null ist. Um das
Integral (4.4) zu berechnen, wird es in vier Teile geteilt. Für die Berechnung der Teile I, II und
III werden zwei Hilfsresultate benötigt, während das Ergebnis von Teil IV direkt ersichtlich ist.
(4.4) = e−rd t1 −rf (t3 −t1 )+(rd −rf )t1 S0


St1
St1
Z ∞
(+)
(+)
+
µ
(t
−
t
)
ln
√
ln k3 + µ (t3 − t1 )
2
1
1 2 1 2
1
S2∗
√ eσ t1 z− 2 z − 2 σ t1 N2 
√
√
,
; ρ(t1 ) dz
σ t2 − t1
σ t3 − t1
2π
g
{z
}
|
I


S
Z ∞
ln St∗1 + µ(−) (t2 − t1 ) ln Skt1 + µ(−) (t3 − t1 )
2
3
√
√
N2 
−e−rd (t3 −t1 )−rd t1 k3
,
; ρ(t1 ) n(z)dz
σ
t
−
t
σ
t
−
t
2
1
3
1
g
{z
}
|
II


S
Z ∞
ln St∗1 + µ(−) (t2 − t1 )
2
 n(z)dz
√
−e−rd (t2 −t1 )−rd t1 k2
N
σ t2 − t1
g
|
{z
}
III
Z ∞
−e−rd t1 k1
n(z)dz
g
|
{z
}
IV
Um Teil III zu berechnen, benötigt man eine Beziehung zwischen dem Integral des Produktes
der univariaten Verteilungsfunktion mit der Dichte der Standard-Normalverteilung und der
bivariaten Verteilungsfunktion.
Allgemein gilt: Wenn n(x) die Dichte einer Normalverteilung ist mit Erwartungswert µ und
4.2. Bewertung von trivariaten Installment Optionen
Varianz ν, dann gilt für Konstanten a, b, c
Z ∞
c
n(x)N (bx + c)dx = N2 −a, √
; ρ0
1 + b2
a
66
(4.5)
b
mit ρ0 = √1+b
2 . Dieses Hilfsresultat wurde schon bei der Berechnung der Compound Formel
verwendet, siehe [5] und den allgemeineren Fall (4.6), der in Abschnitt 4.5 auch bewiesen wird.
Zur Lösung der Teile I und II ist die Herleitung eines entsprechenden höherdimensionalen
Hilfsresultates notwendig, nämlich
"
#
Z ∞
c
h
0
N2 [bx + c, gx + h; ρ23 ]n(x)dx = N3 −a, √
,p
; {ρij } ,
(4.6)
1 + b2
1 + g2
a
mit Konstanten a, b, c, g, h und Korrelationskoeffizienten {ρij } für i < j und i, j = 1, . . . , 3. Die
Korrelationskoeffizienten sind dabei wie folgt definiert
q
q
g
b
0
2
√
p
, ρ13 =
, ρ23 = ρ23 1 − ρ12 1 − ρ213 + ρ12 ρ13 .
ρ12 =
1 + b2
1 + g2
0
Dabei ist ρ23 der Korrelationskoeffizient der bivariaten Verteilungsfunktion N2 der linken Seite
der Gleichung (4.6) und entspricht hier ρ(t1 ) aus (4.2). Denn ρ(t1 ) entsteht aus ρ0 von (4.5).
Die Compound Option, die der trivariaten Installment Option unterliegt,
läuft von t1 bis t2
q
und die entsprechende Standard-Option von t2 bis t3 . Dann ist ρ0 = tt23 , und in Abhängigkeit
von t betrachtet: ρ(t).
Die ausführliche Herleitung des Hilfsresultates (4.6) wird in Abschnitt 4.4 beschrieben.
Mit Hilfe von (4.3), (4.5) und (4.6) ergibt sich nun
Z ∞
−rd t1
IV = e
k1
n(z)dz
g
=
e−rd t1 k1 N [−g],
III = e−rd t2 k2
Z
∞

N
ln
St1
S2∗
g
= e−rd t2 k2
Z
g
∞
√

+ µ(−) (t2 − t1 )
 n(z)dz
√
σ t2 − t1
#
ln SS0∗ + µ(−) t2
t1
2
√
z+
N √
n(z)dz
t2 − t1
σ t2 − t1
"
4.2. Bewertung von trivariaten Installment Optionen
"
=
e−rd t2 k2 N2
Z
II = e−rd t3 k3
ln SS0∗ + µ(−) t2
2
√
−g,
;
σ t2

∞
ln
N2 
St1
S2∗
g
"
e−rd t3 k3 N3
=
67
r #
t1
,
t2
(−)
+ µ (t2 − t1 ) ln
√
,
σ t2 − t1
St1
k3
(−)

+ µ (t3 − t1 )
√
; ρ(t1 ) n(z)dz
σ t3 − t1
#
ln SS0∗ + µ(−) t2 ln Sk 0 + µ(−) t3
2
3
√
√
−g,
,
; {ρij } ,
σ t2
σ t3
I = e−rd t1 −rf (t3 −t1 )+t1 (rd −rf ) S0


St1
St1
Z ∞
(+)
(+)
ln
+
µ
(t
−
t
)
√
∗
ln
+
µ
(t
−
t
)
2
1
1 2 1 2
3
1
1
S2
k3
√ eσ t1 z− 2 z − 2 σ t1 N2 
√
√
,
; ρ(t1 ) dz
σ t2 − t1
σ t3 − t1
2π
g


S
Z ∞
ln St∗1 + µ(+) (t2 − t1 ) ln Skt1 + µ(+) (t3 − t1 )
√
2
3
√
√
,
; ρ(t1 ) dz
= e−rf t3 S0
n(z − σ t1 )N2 
σ t2 − t1
σ t3 − t1
g
"
−rf t3
=
e
S 0 N3
#
ln SS0∗ + µ(+) t2 ln Sk 0 + µ(+) t3
2
3
√
√
,
; {ρij }
−g + σ t1 ,
σ t2
σ t3
√
√
mit ρij = √tti für i, j = 1, 2, 3 und i < j und ρ(t1 ) gemäß (4.2).
j
Der Wert einer trivariaten Installment Call-Option zum Zeitpunkt t0 = 0 ist somit
VT V (S0 , M, k1 , k2 , k3 , t1 , t2 , t3 , 1, 1, 1)
= I − II − III − IV
"
r r r #
ln SS0∗ + µ(+) t2 ln Sk 0 + µ(+) t3 t1
t1
t2
3
2
√
√
= e−rf t3 S0 N3 −g + σ t1 ,
,
;
,
,
t2
t3
t3
σ t2
σ t3
"
r r r #
ln SS0∗ + µ(−) t2 ln Sk 0 + µ(−) t3 t1
t1
t2
3
2
√
√
−e−rd t3 k3 N3 −g,
,
;
,
,
t2
t3
t3
σ t2
σ t3
"
r #
ln SS0∗ + µ(−) t2
t1
2
√
;
−e−rd t2 k2 N2 −g,
t2
σ t2
√
4.2. Bewertung von trivariaten Installment Optionen
68
−e−rd t1 k1 N [−g].
4.2.2
Allgemeine Formel für trivariate Installment Optionen
Die Ergebnisse des vorherigen Abschnitts kann man nun auf die allgemeine Payoff-Funktion
anwenden und erhält die Gleichung
VT V (S0 , M, k1 , k2 , k3 , t1 , t2 , t3 , φ1 , φ2 , φ3 )
= e−rd t1 E [φ1 (VCp (S0 , M, k2 , k3 , t3 − t1 , t2 − t1 , φ2 , φ3 ) − k1 )]+ .
Zur Lösung dieser Gleichung, spaltet man sie wieder in vier Teile und berechnet diese einzeln.
Insgesamt ergibt sich dann die allgemeine Lösung
VT V (S0 , M, k1 , k2 , k3 , t1 , t2 , t3 , φ1 , φ2 , φ3 )
"
r r r #
ln SS0∗ + µ(+) t2 ln Sk 0 + µ(+) t3 t1
√
t1
t2
2
3
√
√
,
;
,
,
= e−rf t3 S0 φ1 φ2 φ3 N3 −g + σ t1 ,
t2
t3
t3
σ t2
σ t3
"
r r r #
ln SS0∗ + µ(−) t2 ln Sk 0 + µ(−) t3 t1
t1
t2
2
3
√
√
−e−rd t3 k3 φ1 φ2 φ3 N3 −g,
,
,
,
;
t2
t3
t3
σ t2
σ t3
"
r #
ln SS0∗ + µ(−) t2
t1
2
√
−e−rd t2 k2 φ1 φ2 N2 −g,
;
t2
σ t2
−e−rd t1 k1 φ1 N [−g].
Die Formel enthält die trivariate Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N3 , da
der Optionswert von der gemeinsamen Verteilung des Assetpreises zu den Laufzeitenden t1
(der trivariaten Installment Option), t2 (der Compound Option) und t3 (der Standard-Option)
abhängt. Man bemerke: Je höher die zweite und dritte optionale Zahlung (d.h. die Strikepreise
k2 und k1 ) desto niedriger ist die anfängliche obligatorische Zahlung (d.h. die Prämie für die
trivariate Installment Option VT V ). Insbesondere gilt für die Strikepreise k2 = 0 und k1 =
0, d.h., daß der Optionshalter erhält ohne Prämienzahlungen die jeweiligen unterliegenden
Optionen, daß die trivariate Installment Option äquivalent zur zugrunde liegenden StandardOption ist.
Der Wert einer dreifachen Installment Option zu einem beliebigen Zeitpunkt t, 0 ≤ t ≤ t1 ,
wird durch den bedingten Erwartungswert, bezüglich St , des Assetpreises zum Zeitpunkt t,
berechnet. Dieser entspricht dem Wert der Option bei t0 = 0 abzüglich der Wertveränderung
4.2. Bewertung von trivariaten Installment Optionen
69
der Option von 0 bis t (Stationarität):
VT V (S0 , M, k1 , k2 , k3 , t3 − t, t2 − t, t1 − t, φ1 , φ2 , φ3 )
"
#
ln SS∗t + µ(+) (t2 − t) ln kSt + µ(+) (t3 − t)
p
−rf (t3 −t)
3
2
p
p
= e
S0 φ1 φ2 φ3 N3 −g + σ (t1 − t),
,
; {ρij }
σ (t2 − t)
σ (t3 − t)
#
"
ln SS∗t + µ(−) (t2 − t) ln kSt + µ(−) (t3 − t)
2
3
p
p
,
; {ρij }
−e−rd (t3 −t) k3 φ1 φ2 φ3 N3 −g,
σ (t2 − t)
σ (t3 − t)
s
"
#
ln SS∗t + µ(−) (t2 − t)
(t
−
t)
1
2
p
−e−rd (t2 −t) k2 φ1 φ2 N2 −g,
;
(t2 − t)
σ (t2 − t)
−e−rd (t1 −t) k1 φ1 N [−g]
q
mit ρij = ttji −t
für i, j = 1, 2, 3 und i 6= j.
−t
4.2.3
Implementation der Bewertungsformel
Die Implementation der hergeleiteten Bewertungsformel hängt im Wesentlichen von der Berechnung der trivariaten bzw. allgemein der multivariaten Normalverteilung ab. Eine multivariate Normalverteilung ist durch einen Erwartungswertvektor µ und eine Kovarianzmatrix
Σ spezifiziert. Wegen der Eigenschaft der linearen Transformation X ∼ N (µ, Σ) ⇒ AX ∼
N (Aµ, AΣA> ), für jeden d-Vektor µ, d × d Matrix Σ und jede k × d Matrix A (k ≥ 1),
gilt X ∼ N (µ, AA> ), wenn Z ∼ N (0, I) und X = µ + AZ ist. Sei Z ∼ N (0, I), dann reduziert sich das Problem ein Stichprobe X der multivariaten Normalverteilung N (µ, Σ) zu
ermitteln, auf die Suche einer Matrix A für die AA> = Σ gilt. Ein üblicher Ansatz dafür ist
die Cholesky-Zerlegung, die auch das hier verwendete Paket MASS (Funktion mvrnorm) des
Statistik-Programms R verwendet:
Es sei Σ ∈ Rd×d eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix. Dann existiert
eine Zerlegung der Form Σ = AA> , wobei A untere Dreiecksmatrix ist. Wenn Σ
positiv definit ist, ist die Matrix A bis auf Vorzeichen eindeutig.
Diese Form ist besonders einfach zu berechnen und benötigt nur wenige Multiplikationen und
Additionen. Andere Methoden zur Erzeugung von multivariaten normalverteilten Zufallsvariablen sind die Methode der bedingten Dichten, die Eigenvektor-Faktorisierung und Principal
Components Methode, dargestellt in P. Glasserman [16] und in B. D. Ripley [27].
4.3. Vergleich der Bewertungsmethoden
Numerische Methode
Trivariate Formel
Numerische Integration der
Compound Formel in Mathematica
ABF-Algorithmus aus Kapitel 3 mit p = 4000
Numerische Integration
(50000-Punkt Gauß-Legendre Integration)
Binomialbaumverfahren CRR mit n = 4000
70
Wert VT V
Berechnungszeit
0, 0137335
1, 69092
< 1 Sek
0, 0137339
1, 69091
47 Sek
0, 0137332
1, 69084
168 Sek
0, 0137339
1, 69087
176 Sek
0, 0137299
1, 69053
1109 Sek
Tabelle 4.1: Numerische Berechnung der Werte zum Zeitpunkt t0 = 0 zweier trivariater Installment Optionen. Erste Installment Option: S0 = 1.15, k1 = 1.15, k2,3 = 0.02, σ = 10%, rd = 1%,
rf = 2%, T = 1, ∆t = 1/3, φ1,2,3 = 1. Zweite Installment Option: S0 = 100, k1 = 100, k2,3 = 3,
σ = 20%, rd = 10%, rf = 15%, T = 1, ∆t = 1/3, φ1,2,3 = 1.
4.3
Vergleich der Bewertungsmethoden
Zur Berechnung eines Preises einer konkreten trivariaten Installment Option können verschiedene Methoden verwendet werden. Implementiert wurde das Binomialbaumverfahren, eine numerische Integration mittels Gaußscher Integration (50000 Stützstellen), der in Kapitel 3 vorgestellte Algorithmus von H. Ben-Ameur, M. Breton, P. François, ein rekursiver Algorithmus
in Mathematica zur Berechnung von n-variaten Installment Optionen und die im Abschnitt
4.2.2 entwickelte Formel für trivariate Installment Optionen. In Tabelle 4.1 sind die Ergebnisse und Berechnungszeiten dieser fünf Methoden für zwei Beispiele von Installment Optionen
dargestellt. Die Berechnungszeiten lagen bei jedem Verfahren für beide Beispiele sehr nahe
beieinander.
Die Erfahrungen mit der Anwendung dieser Verfahren zeigt:
• Die Ergebnisse des Binomialbaumverfahrens oszillieren selbst mit sehr hoher Baumtiefe
noch sehr stark, wie in den Abbildungen 4.1 zu sehen ist. Links in Abbildung 4.1 ist
die Baumtiefe gegen den Preis der zweiten trivariaten Installment Option aus Tabelle 4.1
abgetragen. Es sind Schwankungen von bis zu 0.0025 im Bereich einer Baumtiefe zwischen
990 und 1060 erkennbar. Rechts in Abbildung 4.1 wird die Konvergenz des Verfahrens
deutlich, die Amplitude der Schwankungen nimmt mit zunehmender Baumtiefe ab; bei
Baumtiefe 7000 treten Schwankungen nur noch in der vierten Nachkommastelle auf.
• Die trivariate Formel ist unter den hier verglichenen Verfahren die schnellste Methode.
4.4. Herleitung des Hilfsresultates (4.6)
71
Ihre Genauigkeit und Berechnungszeit hängt im Wesentlichen nur von der Güte der Nullstellensuche und der Berechnung der multivariaten Normalverteilung ab.
• Die Verfahren, die auf numerischer Integration beruhen, sowie der Dynamic Programming
Ansatz von Ameur, Breton und François liegen im Mittelfeld der insgesamt beobachteten
Berechnungszeiten.
Abbildung 4.1: Links: Ergebnisse VT V des Binomialbaumverfahrens (CRR) mit einer Baumtiefe
zwischen 990 und 1060. Rechts: Entwicklung der Ergebnisse VT V mit Binomialbäumen (CRR)
mit hoher Baumtiefe
4.4
Herleitung des Hilfsresultates (4.6)
Zur Berechung der Wertfunktion für trivariate Installment Optionen wurde in (4.6) eine Beziehung zwischen dem dreifachen Integral
Z a
Z bx+c
Z δx+ey+f
n(x)
n(y)
n(z) dz dy dx
(4.7)
−∞
−∞
−∞
und der dreidimensionalen Normalverteilungsfunktion N3 hergestellt. Diese wird nun hergeleitet. Durch Substitution in (4.7) von z durch
(w − ρ023 y)
z := p
1 − ρ02
23
0
und durch die Festlegung von ρ23 durch
q
0
0 = −ey 1 − ρ02
23 + ρ23 y
⇔
ρ023 = √
e
,
1 + e2
4.4. Herleitung des Hilfsresultates (4.6)
72
so daß die Integrationsvariable y aus der Integralgrenze eliminiert wird, erhält man
!
Z bx+c
Z √ δ x+ √ f
Z a
1
w − ρ023 y
1+e2
1+e2
p
n(x)
n(y)
(4.7) =
n p
dw dy dx
1 − ρ02
1 − ρ02
−∞
−∞
−∞
23
23
Z bx+c Z gx+h
Z a
n(y)n(w|y) dw dy dx
(4.8)
n(x)
=
−∞
−∞
Z
−∞
a
n(x)N2 [bx + c, gx + h; ρ023 ],
=
(4.9)
−∞
δ
√ f
wobei zwecks Übersichtlichkeit g = √1+e
gewählt wurde.
2 und h =
1+e2
Um das Produkt von Normalverteilungsdichte und bivariater Normalverteilungsfunktion aus
(4.9) in die Dichte der trivariaten Normalverteilung zu transformieren, wird zunächst y aus
(4.8) substituiert durch
v − ρ12 x
y := p
1 − ρ212
und der Korrelationskoeffizient ρ12 von x und y gesetzt durch
b
ρ12 = √
,
1 + b2
so daß die Grenze des äußeren Integrals von N2 nicht mehr die Intergrationsvariable x enthält
und die Dichte n(x) mit diesem Integral vertauscht werden darf. Es gilt
!
Z a
Z √ c Z gx+h
v−ρ x
2
1+b
12
(4.9) =
n(x)
n(v | x)n w p
dw dv dx
1 − ρ212
−∞
−∞
−∞
!
Z a Z √c
Z gx+h
v−ρ x
1+b2
12
n(v | x)n w p
=
n(x)
dw dv dx.
(4.10)
1 − ρ212
−∞ −∞
−∞
Die nächste Umformung ergibt sich ebenfalls durch eine entsprechende Substitution von w,
u − ρ13 x
w := p
,
1 − ρ213
und Korrelationskoeffizienten
g
ρ13 = p
1 + g2
Aus (4.10) wird daher
Z
Z a Z √c
1+b2
n(x)
(4.10) =
−∞
Z
a
=
−∞
−∞
Z
√
c
1+b2
−∞
.
!
v−ρ x
12
p
n(v | x)n
du dv dx
p
1 − ρ212
1 − ρ213
−∞
!
Z √h
1
u − ρ13 x v − ρ12 x
1+g 2
p
n(x)n(v | x)n p
du dv dx.
p
1 − ρ213
1 − ρ213 1 − ρ212
−∞
(4.11)
√
h
1+g 2
1
u−ρ x
p 13
1 − ρ213
4.4. Herleitung des Hilfsresultates (4.6)
73
Das Produkt der Normalverteilungsdichten, d.h. der Integrand in der Gleichung (4.11), ist
!
u − ρ13 x v − ρ12 x
1
p
n(x)n(v | x)n p
p
1 − ρ213
1 − ρ213 1 − ρ212
=
1
1
p
p
√
p
2
3
( 2π)
1 − ρ13 1 − ρ212 1 − ρ02
23


1
1
1
exp − x2 +
(x − ρ12 v)2 +
2
2
1 − ρ12
1 − ρ02
23
u−ρ x
v−ρ x
p 13 − ρ023 p 12
1 − ρ213
1 − ρ212
!2 
 .
(4.12)
Das Argument der Exp-Funktion in (4.12), läßt sich umformen zu
0
0
0
0
x2 (1−ρ232 )+v 2 (1−ρ213 )+u2 (1−ρ212 )+2(−ρ12 +ρ13 ρ23 )xv+2(−ρ23 +ρ12 ρ13 )vu+2(−ρ13 +ρ12 ρ23 )ux.
0
12 ρ13
√
Zusammen mit ρ23 = √ ρ23 −ρ
2
a
Z
Z
√
(4.11) =
−∞
c
1+b2
−∞
Z
√
folgt daraus, daß
1−ρ213
1−ρ12
h
1+g 2
−∞
1
1
√
p
( 2π)3 1 − ρ212 − ρ213 − ρ223 + 2ρ12 ρ13 ρ23
1
1
(1 − ρ223 )x2 + 2(−ρ12 + ρ13 ρ23 )xv
2
2
2
2 1 − ρ12 − ρ13 − ρ23 + 2ρ12 ρ13 ρ23
2
2
2
2
+(1 − ρ13 )y + 2(−ρ23 + ρ12 ρ13 )vu + (1 − ρ12 )z + 2(−ρ13 + ρ12 ρ23 )xu du dv dx
exp −
(4.13)
a
Z
=
−∞
"
= N3
Z
√
c
1+b2
−∞
Z
√
h
1+g 2
f (x, v, u) du dv dx
−∞
#
c
h
a, √
,p
; {ρij } .
1 + b2
1 + g2
Damit ist das Hilfsresultat nun gezeigt. Es gilt also
"
Z
a
0
N2 [bx + c, gx + h; ρ23 ]n(x)dx = N3
−∞
#
h
c
,p
; {ρij }
a, √
1 + b2
1 + g2
(4.14)
#
c
h
−a, √
; {ρij } ,
,p
1 + b2
1 + g2
(4.15)
und aus Symmetriegründen
Z
∞
"
0
N2 [bx + c, gx + h; ρ23 ]n(x)dx = N3
a
4.5. Das Resultat von Curnow und Dunnett
wobei ρ12 =
Umformung
Z −a
√ b
,
1+b2
ρ13 = √ g
1+g 2
und ρ023 =
0
N2 [Bx + c, Gx + h; ρ23 ]n(x)dx
74
√ e
1+e2
x=−t
=
−∞
(4.14)
=
12 ρ13
√
mit ρ023 = √ ρ23 −ρ
2
1−ρ12
Z
1−ρ213
. (4.15) folgt aus der
∞
0
N2 [−Bt + c, −Gt + h; ρ23 ]n(t)dt
a
c
h
N3 −a, √
,√
; {ρij } .
1 + B2
1 + G2
Um (4.15) zu erhalten, setze b := −B und g := −G. Die obigen Umformungen bleiben weiterhin
gültig, da −B und −G in den Grenzen quadriert werden. ρ12 und ρ13 werden zwar negativ,
bleiben aber durch Multiplikation von −t in der Dichte der trivariaten Normalverteilung (4.13)
oder durch Quadrierung unverändert.
Wenn µ 6= 0 ist, entspricht dies einer Verschiebung der Normalverteilungsfunktion in µ, und
das Hilfsresultat hat dann die folgende Form
#
"
Z ∞
bµ + c gµ + h
0
,p
; {ρij } .
N2 [bx + c, gx + h; ρ23 ]n(x)dx = N3 −a + µ, √
1 + b2
1 + g2
a+µ
4.5
Das Resultat von Curnow und Dunnett
Nach dem Artikel [9] von R. N. Curnow und C. W. Dunnett gilt für das Hilfsresultat (4.6)
sogar die allgemeine n-variate Formel. Im Folgenden wird nun dieses Resultat hergeleitet,
indem n multinormalverteile Zufallsvariablen so transformiert werden, daß diese zusammen
mit einer zusätzlichen normalverteilten Zufallsvariablen wieder n normalverteilte Zufallsvariablen beschreiben. Dann wird eine Fallunterscheidung nach dem Zusammenhang zwischen der
zusätzlichen Zufallsvariablen und den n multinormalverteilten Zufallsvariablen vorgenommen.
Dadurch entstehen zwei Beziehungen, eine der beiden ist die n-dimensionale Formel, die im
vorherigen Abschnitt für n = 3 hergeleitet wurde.
Seien Z1 , . . . , Zn standardisierte normalverteilte Zufallsvariablen mit Korrelationskoeffizienten
ρij und sei f (x1 , . . . , xn ) ihre gemeinsame Dichtefunktion.
Die kumulative Verteilungsfunktion ist definiert als
Z h1
Z hn
Ws{Zi < hi ; i = 1, . . . , n} = Nn (hi ; {ρij }1≤j≤n,i<j ) =
...
n(x1 , . . . , xn )dxn . . . dx1 .
−∞
−∞
(4.16)
Es wird angenommen, daß die Matrix {ρij } nicht singulär ist (d.h. det({ρij }1≤j ≤n,i<j ) 6= 0) und
daß keine Teilfamilie der Zufallsvariablen unabhängig von den anderen ist. (Anderenfalls ließe
4.5. Das Resultat von Curnow und Dunnett
75
sich das n-fache Integral in ein Produkt von Integralen mit geringerer Anzahl von Schachtelungen zerlegen, und die Dimension dieses Problems wäre reduziert.)
Man betrachte die Substitution der Zi ’s,
1
Xi = (Zi − δi Y )/(1 − δi2 ) 2 ,
(4.17)
wobei Zi wie in (4.16) definiert sei und Y eine standardnormalverteilte Zufallsvariable mit
Cov(Zi , Y ) = δi sei, wenn −1 < δi < 1. Für δi = ±1 sei Zi = Y . Dann sind gemäß Theorem
4.1 X1 , . . . , Xn normalverteilt, mit Erwartungswert 0 und Varianz 1, denn Var(Zi − δi Y )=1 −
2δi Cov(Zi , Y ) + δi2 Var(Y )=1 − δi2 . Außerdem sind die X1 , . . . , Xn unabhängig von Y und
Cov(Xi , Xj ) =
ρij − δi δj
1
1
(1 − δi2 ) 2 (1 − δj2 ) 2
= ρ∗ij
für i < j; j = 1, . . . , n.
(4.18)
Man unterscheidet zwei Fälle.
Der erste Fall ist δi 6= 1 für jedes i, und der zweite Fall ist δi = 1 für ein i = k. Diese beiden Fälle
führen zu einer Integraldarstellung mit Grenzen −∞ und ∞ bzw. zu einer Integraldarstellung
mit nur einer Grenze, die unendlich ist.
(1) Zunächst wird der Fall δi 6= 1 (für jedes i) betrachtet.
Mit Gleichung (4.17) für Xi wird (4.16) zu
(
)
hi − δi Y
Nn (hi ; {ρij }1≤j≤n,i<j ) = Ws Xi <
.
1 ; i = 1, . . . , n
(1 − δi2 ) 2
p
Da die Verteilungsfunktion der Xi dann Nn ((hi − δi y)/( 1 − δi2 ); {ρ∗ij }) ist und alle Xi
unabhängig von Y sind, kann ihre gemeinsame Dichte als Produkt mit n(y) ausdrückt
werden, wobei über alle y integriert wird,
!
Z ∞
hi − δi y
Nn (hi ; {ρij }1≤j≤n,i<j ) =
Nn
; {ρ∗ij } n(y)dy i < j, 1 ≤ j ≤ n.
2 12
(1
−
δ
)
−∞
i
ρ∗ij ist wie in (4.18) definiert.
(2) Nun zum zweiten Fall, δk = 1 für ein k (Der Fall δk = −1 geht analog). O.B.d.A. sei
δ1 = 1, so daß Y = Z1 und Cov(Zi , Z1 ) = δi = ρi1 , für i = 2, . . . , n ist. Es existiert also
kein X1 , deswegen verringert sich die gemeinsame Verteilungsdichte um eine Dimension,
und Y = Z1 nimmt nur Werte zwischen −∞ und h1 an. Dadurch erhält man das folgende
Resultat,
!
Z h1
hi − ρi1 y
; {ρij∗1 } n(y)dy, i = 2, . . . , n, (4.19)
Nn (hi ; {ρij }) =
Nn−1
2 12
(1 − δi1
)
−∞
4.6. Allgemeine Formel der n-variaten Installment Option
wobei ρij∗1 =
ρij −ρi1 ρj1
1
1
2 ) 2 (1−δ 2 ) 2
(1−δi1
j1
76
(für i, j 6= 1 und j 6= i) ist. Hier wurde die gemeinsame
Dichtefunktion n(x1 , . . . , xn ) durch das Produkt der marginalen Dichten, n(x2 , . . . , xn ) ·
n(x1 ), ausgedrückt.
Entsprechend, verringert sich die gemeinsame Verteilungsdichte um jeweils eine Dimension, wenn mehrere Kovarianzen gleich 1 sind.
Jede multivariate kumulative Normalverteilungsfunktion kann in einer der beiden Formen geschrieben werden.
4.6
Allgemeine Formel der n-variaten Installment Option
Als Spezialfall der Formel (4.19) ergibt sich für n = 2 sofort das bivariate Normalverteilungsintegral
!
Z h1
h2 − ρy
n(y)dy.
N2 (h1 , h2 ; ρ) =
N
1
(1 − ρ2 ) 2
−∞
Dieser Ausdruck wurde schon zur Bewertung von Compound Optionen in Abschnitt 4.2 benutzt.
√
Die Ersetztungen b := − √ ρ 2 und c := √h2 2 machen dies deutlicher: Dann ist ρ = b/ 1 + b2
1−ρ
1−ρ
√
2
und h2 = c/ 1 + b und der obige Ausdruck nimmt die aus dem Anfang dieses Kapitels bekannte Form der Formel (4.5) an.
Für n = 3 erhält man aus (4.19) die Beziehung
!
Z h1
h2 − ρ12 y h3 − ρ13 y
N3 (h1 , h2 , h3 ; {ρ12 , ρ13 , ρ23 , }) =
N2
,
; ρ23∗1 n(y)dy.
2 12
2 12
(1 − δ12
) (1 − δ13
)
−∞
Die Substitutionen b := − √ρ12 2 , c := √ h2
1−δ12
2
1−δ12
, g := − √ρ13 2 und h := √ h3
1−δ13
2
1−δ13
bestätigen
das Hilfsresultat, das zur Berechnung von trivariaten Installment Optionen in Abschnitt 4.2
hergeleitet wurde (Es gilt δij = ρij , da die Varianzen gleich Eins sind.). Betrachtet man diese
Herleitung in umgekehrter Reihenfolge, also vom Endergebnis N3 zum Anfang der Rechnung
Ra
n(x)N2 dx, so werden zwei Integrationsvariablen gemäß der Substitutionsregel (4.17) von
−∞
Curnow und Dunett transformiert und die Dritte wird nicht verändert (also Z1 = Y ). Somit
entspricht diese Herleitung dem Fall (2) auf Seite 75 und erlaubt es damit auch, die n-variate
Formel zur Berechung von Installment Optionen anzuwenden.
Mit Hilfe der n-variaten Formel von Curnow und Dunnett ist es nun möglich, die Wertfunktion
für n-variate Installment Optionen, bestehend aus geschachtelten bedingten Erwartungswerten,
4.6. Allgemeine Formel der n-variaten Installment Option
77
durch eine n-variate Standardnormalverteilungsfunktion auszudrücken:
~ = e−rf tn S0 φ1 · . . . · φn
Vn (S0 , M, ~k, ~t, φ)
" S0
#
ln S ∗ + µ(+) t1 ln SS0∗ + µ(+) t2
ln SS∗0 + µ(+) tn
n
1
2
√
√
√
Nn
,
,...,
; {ρij }
σ t1
σ t2
σ tn
− e−rd tn kn φ1 · . . . · φn
" S0
#
ln S ∗ + µ(−) t1 ln SS0∗ + µ(−) t2
ln SS∗0 + µ(−) tn
n
1
2
√
√
√
Nn
,
,...,
; {ρij }
σ t1
σ t2
σ tn
− e−rd tn−1 kn−1 φ1 · . . . · φn−1
" S0
#
ln SS∗ 0 + µ(−) tn−1
ln S ∗ + µ(−) t1 ln SS0∗ + µ(−) t2
n−1
1
2
√
√
√
Nn−1
; {ρij }
,
,...,
σ tn−1
σ t1
σ t2
..
.
ln SS0∗ + µ(−) t1 ln SS0∗ + µ(−) t2
−rd t2
1
2
√
√
− e
,
; ρ12
k2 φ1 φ2 N2
σ t1
σ t2
" S0
#
ln S ∗ + µ(−) t1
1
√
− e−rd t1 k1 φ1 N
,
σ t1
"
#
(4.20)
wobei ~k = (k1 , . . . , kn ) die Strikepreise, ~t = (t1 , . . . , tn ) die Ausübungszeitpunkte der n-variaten
~ = (φ1 , . . . , φn ) die Binäroperatoren der n Optionen darstellen (letzInstallment Option und φ
tere nehmen die Werte +1 und −1 an, je nach dem, ob die i-te Option ein Call oder ein Put
ist). In (4.20) ist Si∗ (i = 1, . . . , n) derjenige Spotpreis St , für den der Payoff der i-Installment
Option (i = 1, . . . , n) gleich Null ist.
Die Korrelationskoeffizienten der n-variaten Normalverteilungsfunktion lassen sich durch die
Ausübungszeitpunkte ti ausdrücken,
q
ρij = ti /tj für i, j = 1, . . . , n und i < j.
Die Korrelationskoeffizienten ρij entstehen durch Überlappungen der Inkremente der Brownschen Bewegung, die den Preisprozeß des Underlyings St an den jeweiligen Terminen ti und tj
modelliert. Die Kovarianz von Wti , Wtj einer Brownschen Bewegung Wt , mit tj > ti , beträgt
Cov(Wti , Wtj ) = ti .
Deswegen ist die Korrelation des Underlyings St an zwei Terminen ti und tj
s
ti
ti
Corr(Wti , Wtj ) = √ √ =
.
tj
ti tj
Anhang A
Quellcode
Im Folgenden ist ein Teil der in dieser Arbeit verwendeten C-Programme zur Berechnung von
Installment Optionen aufgeführt. Die zur Berechnung von Installment Optionen verwendete
Gauß-Legendre Integration und die in der n-variaten Installment Optionsformel und auch die
bei der Berechnung der identischen Prämie benötigte Nullstellensuche in C wurden dem Buch
von Press et al., Numerical Recipes in C [26] entnommen. Die Funktion zur Berechnung der inversen Normalverteilungsfunktion ist auf der Internetseite [7] zu finden. Das Statistik Programm
R wurde zur Berechnung der multivariaten Normalverteilung verwendet und die in Kapitel 3
gebrauchte Monte Carlo Simulation wurde nach [23] durchgeführt. Auszüge des Quellcodes
des in Kapitel 3 beschriebenen Algorithmus von Ben-Ameur, Breton und François sind hieran
aufgeführt.
/ / Mainprogramm
#d e f i n e
#i n c l u d e
#i n c l u d e
#i n c l u d e
#i n c l u d e
#i n c l u d e
#i n c l u d e
#i n c l u d e
#i n c l u d e
UNICODE
<math . h>
< i o s t r e a m . h>
< f s t r e a m . h>
” s p r e a d p r i c i n g . h”
” k o n s t . h”
” normal . h”
< iomanip . h>
< time . h>
void
main ( i n t a rg c , c h a r ∗∗ a r g v )
{
d o u b l e spot , v o l ;
d o u b l e rd , r f ;
i n t j , f , n , phi ;
d o u b l e K, d e l t a t , pi , q ;
double r e s u l t ;
l o n g s t a r t , end ;
d o u b l e ∗ a i=new d o u b l e [ p + 2 ] ;
d o u b l e ∗ v a i=new d o u b l e [ p + 2 ] ;
c o u t << ” I n s t a l l m e n t O p t i o n ” << e n d l ;
i f s t r e a m inputdata (” i n s t a l l m e n t i n p u t . txt ” ) ;
// E i n l e s e n d e r Parameter
78
79
inputdata
inputdata
inputdata
inputdata
inputdata
inputdata
inputdata
inputdata
inputdata
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
spot ;
vol ;
rd ;
rf ;
K;
deltat ;
phi ;
pi ;
n;
ofstream outputdata (” i ns ta l lm en t ou t pu t . x l s ” ) ;
time (& s t a r t ) ;
// Stoppen d e r R e c h e n z e i t
f o r ( j =0; j <=(p +1); j ++){
q=j ∗ ( 1 . 0 / ( p + 2 ) ) ;
// Erzeugung d e r S t u e t z s t e l l e n
// a i [ j ]= exp ( ltqnorm ( q ) ∗ v o l ∗ s q r t ( d e l t a t )+ l o g ( s p o t )+( rd−r f −0 .5 ∗( v o l ∗ v o l ) ) ∗ d e l t a t ) ;
a i [ j ]= exp ( cndev ( q ) ∗ v o l ∗ s q r t ( d e l t a t )+ l o g ( s p o t )+( rd−r f −0 .5 ∗( v o l ∗ v o l ) ) ∗ d e l t a t ) ;
}
f o r ( f =0; f <=(p +1); f ++){
v a i [ f ]=max( a i [ f ]−K, 0 ) ;
}
r e s u l t=IO ( spot , K, v o l , rd , r f , d e l t a t , phi , a i , v a i , n , p i ) ;
time (&end ) ;
// A u f r u f d e r H a u p t f u n k t i o n
c o u t << s e t p r e c i s i o n (10) < < r e s u l t << e n d l ;
c o u t << end−s t a r t << e n d l ;
o u t p u t d a t a << r e s u l t << e n d l ;
delete [ ] ai ;
delete [ ] vai ;
}
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
#i n c l u d e
#i n c l u d e
#i n c l u d e
#i n c l u d e
<math . h>
” normal . h”
” i o s t r e a m . h”
” k o n s t . h”
/ / H a u p t f u n k t i o n : I n s t a l l m e n t Option P r e i s nach Ben−Ameur , Breton , F r a n c o i s
d o u b l e IO ( d o u b l e spot , d o u b l e T s t r i k e , d o u b l e v o l , d o u b l e rd , d o u b l e r f ,
d o u b l e d e l t a t , i n t phi , d o u b l e ∗ a i , d o u b l e ∗ v a i , i n t n , d o u b l e p i ) {
d o u b l e r e s u l t =0;
i n t j , i , k , l ,m;
d o u b l e ∗ vhak=new d o u b l e [ p + 1 ] ;
d o u b l e ∗ a l p h a=new d o u b l e [ p + 1 ] ;
d o u b l e ∗ b e t a=new d o u b l e [ p + 1 ] ;
d o u b l e ∗ v i d a c h=new d o u b l e ;
f o r ( i =(n);( −1) < i ; i −−){
v i d a c h=f u n c v d a c h ( v a i , a i ) ;
// Wiederholung d e r S c h r i t t e a.−d . i n A b s c h n i t t 3 . 4
f o r ( j =0; j <=(p ) ; j ++){
// Berechnung d e r alpha ’ s und beta ’ s
a l p h a [ j ]= v i d a c h [ j ] ;
b e t a [ j ]= v i d a c h [ p+1+j ] ;
}
i f ( i ==0){
// Suche zw . w e l c h e n S t u e t z s t e l l e n A n f a n g s s p o t l i e g t
f o r ( l = 0 ; l <=(p − 1 ) ; l ++){
i f ( a i [ l ]< s p o t && s po t<=a i [ l +1]){
m=l ;
80
}
}
r e s u l t=a l p h a [m]+ b e t a [m] ∗ s p o t ;
// Z e i t p u n k t 0 ( i ==0): Berechnung d e s E r g e b n i s s e s
// b z g l . d e r e n t s p r e c h e n d e n l i n e a r e n Approximation
}
i f ( i !=0){
// R e k u r s i o n
// Berechnung d e s H o l d i n g V a l u e s an den S t e l l e n a k
f o r ( k =1;k<=(p ) ; k++){
vhak [ k]= funcvh ( v o l , rd , r f , d e l t a t , p , a i [ k ] , a i , alpha , b e t a ) ;
}
// Berechnung d e r Approximationen d e s O p t i o n s w e r t e s
f o r ( k =1;k<=(p ) ; k++){
v a i [ k]= f u n c v s c h l a n g e ( vhak [ k ] , T s t r i k e , phi , a i [ k ] , i −1 , p i ) ;
}
}
}
return r e s u l t ;
d e l e t e [ ] vhak ;
d e l e t e [ ] alpha ;
d e l e t e [ ] beta ;
d e l e t e [ ] vidach ;
}
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
// Funktion : Berechnung d e r A( k , i ) s und B( k , i ) s
d o u b l e funcA ( d o u b l e v o l , d o u b l e rd , d o u b l e r f , d o u b l e d e l t a t , d o u b l e a i g ,
double aik , double ai , i n t i , i n t p){
d o u b l e A;
double x , y ;
d o u b l e mu ;
mu=rd−r f −v o l ∗ v o l ∗ 0 . 5 ;
x = ( l o g ( a i k / a i )−mu∗ d e l t a t ) / ( v o l ∗ s q r t ( d e l t a t ) ) ;
//wenn i =0 wird x n i c h t verwendet
y = ( l o g ( a i g / a i )−mu∗ d e l t a t ) / ( v o l ∗ s q r t ( d e l t a t ) ) ;
i f ( i ==0){
A=nc ( y ) ;
}
i f (1<= i ) {
i f ( i <=(p −1)){
A=nc ( y)−nc ( x ) ;
}
}
i f ( i ==(p ) ) {
A=1−nc ( x ) ;
}
r e t u r n A;
}
d o u b l e funcB ( d o u b l e v o l , d o u b l e rd , d o u b l e r f , d o u b l e d e l t a t ,
double aig , double aik , double ai , i n t i , i n t p){
double B;
double x , y ;
d o u b l e mu ;
mu=rd−r f −v o l ∗ v o l ∗ 0 . 5 ;
x = ( l o g ( a i k / a i )−mu∗ d e l t a t ) / ( v o l ∗ s q r t ( d e l t a t ) ) ;
y = ( l o g ( a i g / a i )−mu∗ d e l t a t ) / ( v o l ∗ s q r t ( d e l t a t ) ) ;
i f ( i ==0){
81
B=a i ∗ nc ( y−v o l ∗ s q r t ( d e l t a t ) ) ∗ exp ( ( rd−r f ) ∗ d e l t a t ) ;
}
i f (1<= i ) {
i f ( i <=(p −1)){
B=a i ∗ ( nc ( y−v o l ∗ s q r t ( d e l t a t )) − nc ( x−v o l ∗ s q r t ( d e l t a t ) ) ) ∗ exp ( ( rd−r f ) ∗ d e l t a t ) ;
}
}
i f ( i==p ) {
B=a i ∗(1− nc ( x−v o l ∗ s q r t ( d e l t a t ) ) ) ∗ exp ( ( rd−r f ) ∗ d e l t a t ) ;
}
return B;
}
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
// Funktion : Berechnung von vˆ n ( s )
d o u b l e ab [ 2 ∗ ( p + 1 ) ] ;
double ∗ funcvdach ( double ∗ vai , double ∗ a i ){
d o u b l e ∗ r e s u l=new d o u b l e ;
i n t i =1;
f o r ( i =0; i <=(p ) ; i ++){
ab [ i ]= f u n c a l p h a ( v a i [ i + 1 ] , v a i [ i ] , a i [ i + 1 ] , a i [ i ] ) ;
ab [ p+1+ i ]= f u n c b e t a ( v a i [ i + 1 ] , v a i [ i ] , a i [ i + 1 ] , a i [ i ] ) ;
}
ab [ p]= ab [ p − 1 ] ;
ab [ p+1+p]= ab [ p+1+p − 1 ] ;
r e s u l=ab ;
return resul ;
delete [ ] resul ;
}
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
// Funktion : Berechnung von a l p h a und b e t a
d o u b l e f u n c b e t a ( d o u b l e vg , d o u b l e vk , d o u b l e a i g , d o u b l e a i k ) {
double beta ;
b e t a =(vg−vk ) / ( a i g −a i k ) ;
return beta ;
}
d o u b l e f u n c a l p h a ( d o u b l e vg , d o u b l e vk , d o u b l e a i g , d o u b l e a i k ) {
double alpha ;
a l p h a = vg −(( vg−vk ) / ( a i g −a i k ) ) ∗ a i g ;
return
alpha ;
}
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
// Funktion : Berechnung von v˜ h n −1(ak )
d o u b l e funcvh ( d o u b l e v o l , d o u b l e rd , d o u b l e r f , d o u b l e d e l t a t , i n t p , d o u b l e ak ,
d o u b l e ∗ a i , d o u b l e ∗ alpha , d o u b l e ∗ b e t a ) {
double A, B;
d o u b l e summe , vh ;
summe=0;
f o r ( i n t i =0; i <=(p ) ; i ++){
A=funcA ( v o l , rd , r f , d e l t a t , a i [ i + 1 ] , a i [ i ] , ak , i , p ) ;
B=funcB ( v o l , rd , r f , d e l t a t , a i [ i + 1 ] , a i [ i ] , ak , i , p ) ;
82
summe=summe+( a l p h a [ i ] ∗A+b e t a [ i ] ∗B ) ;
}
vh=exp ( −( rd ) ∗ d e l t a t ) ∗summe ;
r e t u r n vh ;
}
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
// Funktion : Berechnung von v˜ n −1(ak )
d o u b l e f u n c v s c h l a n g e ( d o u b l e vhold , d o u b l e K, i n t phi , d o u b l e ak , i n t n , d o u b l e p i ) {
double resu ;
double a , b ;
i f ( n==0){
resu = vhold ;
}
i f (1<=n ) {
a=f u n c e x e r c i s e ( ak , phi , K) ;
b=v h o l d ;
// r e s u=max( a , ( b−p i ) ) ;
r e s u=max ( 0 , ( b−p i ) ) ;
}
return resu ;
}
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
// Funktion : Berechnung von v˜ n −1(ak )
d o u b l e f u n c e x e r c i s e ( d o u b l e s , d o u b l e phi , d o u b l e K) {
double r e s ;
r e s=max ( 0 , p h i ∗ ( s−K ) ) ;
return res ;
}
Anhang B
Ein real gehandelter Kontrakt
Abbildung B.1: Kontrakt Seite 1
83
84
Abbildung B.2: Kontrakt Seite 2
85
Abbildung B.3: Kontrakt Seite 3
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Ehrenwörtliche Erklärung
89
Ehrenwörtliche Erklärung
Hiermit versichere ich, daß ich die vorliegende Arbeit selbständig verfaßt und keine anderen als
die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe, daß alle Stellen der Arbeit, die wörtlich
oder sinngemäß aus anderen Quellen übernommen wurden, als solche kenntlich gemacht sind
und daß diese Arbeit in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegt
wurde.
Frankfurt am Main, im Juli 2004

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