Ubungen zu Fana1 SS16, 4. ¨Ubung

Übungen zu Fana1 SS16, 4. Übung
1. Sei (X, k.k) ein Banachraum. Dann ist die Mächtigkeit einer algebraischen Basis
von X als C-Vektorraum entweder endlich oder überabzählbar.
Hinweis: Zeige, dass ein linearer Teilraum Y ( X keinen inneren Punkt hat, und
verwende den Satz von Baire.
2. Sei (X, k.k) ein Banachraum und sei [., .] : X × X → C eine Sesquilinearform.
Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Banach-Steinhaus bzw. seinem Korollar,
dass [., .] genau dann beschränkt ist, dh. ∃C ≥ 0 : ∀x, y ∈ X, |[x, y]| ≤ Ckxk kyk,
wenn für jedes feste x sowohl die Linearform y 7→ [x, y] als auch die Linearform
y 7→ [y, x] stetig ist, dh. in X 0 liegt.
3. Sei (X, k.k) ein Banachraum mit X , {0}. Zeigen Sie, dass die Menge c(N, X) aller
Folgen (sn )n∈N aus X, die in X konvergieren, einen abgeschlossenen Teilraum von
B(N, X) (= `∞ (N, X)) (Banachraum aller beschränkter Abbildungen von N nach
X versehen mit k.k∞ ) abgibt. (Hinweis: limn→∞ limk→∞ = limk→∞ limn→∞ gilt
unter welchen Umständen?)
Zeigen Sie, dass dabei die Abbildung L : c(N, X) → X definiert durch
L((sn )n∈N ) = limn→∞ sn linear ist und kLk = 1 erfüllt.
Schließlich beweise man, dass für eine Folge Xn , n ∈ N von abgeschlossenen
linearen Unterräumen von X und für beschränkte lineare Abbildungen Pmn :
Xm → Xn , m, n ∈ N, m > n,
c(N, X, (Xn ), (Pmn )) :=
{(sn )n∈N ∈ c(N, X) : sn ∈ Xn für alle n ∈ N, Pmn sm = sn für alle m > n}
ein abgeschlossener Teilraum von B(N, X) (und daher von c(N, X)) ist.
4. Eine Folge (en )n∈N aus einem Banachraum X sei eine Schauderbasis von X, dh.
für jedes x ∈ X gibt es genau eine Folge von Skalaren (λn (x))n∈N aus C, sodass
P
PN
x = ∞
n=1 λn (x)en := limN→∞ n=1 λn (x)en (Insbesondere wird vorausgesetzt,
dass diese Folge gegen x konvergiert! Die en ’s sind zwar linear unabhängig aber
bilden keine algebraische Basis im Sinne der Linearen Algebra!).
Warum sind dann die Teilräume Xn := span{e1 , . . . , en }, n ∈ N abgeschlossen
in X und für m > n die Projektionen Pmn : Xm → Xn mit Pmn (Xm ) = Xn und
ker Pmn = span{en+1 , . . . , em } beschränkt ?
Nun zeige man, dass L : c(N, X, (Xn ), (Pmn )) → X (Notation aus dem vorherigen
Beispiel) bijektiv ist.
Schließlich wende man auf diese Abbildung den Satz von der offenen Abbildung
P
an, um nachzuweisen, dass Pn : X → Xn , x 7→ nj=1 λn (x)en und infolge auch
X 3 x 7→ λn (x) ∈ C beschränkt und linear ist.
Anmerkung: In Hilberträumen sind alle abzählbaren ONB’s auch Schauderbasen. Weitere Beispiele sind etwa ` p (N, C) für p ∈ [1, +∞) mit der Schauderbasis
(en ) mit en = (δkn )k∈N . Auch C[0, 1] hat eine Schauderbasis. Aber es gibt auch
Banachräume, die keine Schauderbasis haben (’basis problem’).
5. Der Satz von Baire wird oft dazu benützt, um die Existenz pathologischer Objekte zu beweisen.
Betrachte die Menge C[0, 1] aller stetigen Funktionen f : [0, 1] → R versehen
mit der Supremumsnorm. Sei Xn ⊆ C[0, 1] die Menge jener Funktionen f , für
die gilt:
Es gibt ein t ∈ [0, 1], sodass | f (s) − f (t)| ≤ n|s − t| für alle s ∈ [0, 1].
Zeigen Sie, dass Xn abgeschlossen in C[0, 1] ist und dass Xn in C[0, 1] leeres
Inneres hat, und folgere durch Betrachtung von Xnc , dass es eine stetige Funktion
gibt, die nirgends differenzierbar ist.
Hinweis: Bemerke, dass eine stetige Funktion auf [0, 1] gleichmäßig durch Polygonzüge mit sehr steilen Anstiegen approximiert werden kann.
6. Seien X, Y normierte Räume und R : X → Y linear. Zeigen Sie, dass folgende
Aussagen äquivalent ist:
(i) R ist injektiv und R−1 als Abbildung von R(X) nach Y ist beschränkt.
(ii) Es gibt ein c > 0, sodass ckxk ≤ kR(x)k für alle x ∈ X.
Nehmen Sie nun an, dass R beschränkt ist und dass (i) bzw. (ii) zutrifft. Führen
Sie dann den Beweis dafür aus, dass X genau dann ein Banachraum ist, wenn
R(X) mit der von Y auf R(X) induzierten Norm ein Banachraum (und daher abgeschlossen in Y) ist.
7. Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum mit einem σ-endlichen Maß µ. Weiters sei h : Ω → C
messbar. Sei Dh := { f ∈ L2 (Ω, A, µ, C) : h · f ∈ L2 (Ω, A, µ, C)}, und Mh : Dh →
L2 (Ω, A, µ, C) definiert durch Mh f := h · f .
Man zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) h ∈ L∞ (Ω, A, µ, C),
(ii) Dh = L2 (Ω, A, µ, C) und Mh ist beschränkt,
(iii) Dh = L2 (Ω, A, µ, C).
Hinweis: Aus der L2 -Konvergenz folgt die Konvergenz einer Teilfolge fast überall!
8. Sei (H, (., .)) ein Hilbertraum und sei S : H → H linear und symmetrisch; letzteres bedeutet (S x, y) = (x, S y) für alle x, y ∈ H. Zwigen Sie, dass S dann automatisch beschränkt ist!
9. Man zeige, dass ein topologischer Vektorraum (X, T ) genau dann normierbar
ist, dh. es gibt eine Norm k.k auf X, sodass T = Tk.k , wenn es eine (im Sinne
von topologischer Vektorraum) beschränkte und konvexe Nullumgebung bzgl.
T gibt.