1 Donsker-Klassen - Ruhr

Pascal Kaczmarek
1
1.1
3/10.5.2016
Donsker-Klassen
Konvergenz in Verteilung
Definition
Sei (S, B, P) ein Ergebnisraum, X1 , X2 , . . . iid mit Verteilung P. Das empirische Maß ist definiert als
Pn (A) :=
n
n
i=1
i=1
X
1X
δXi (A) =
1A (Xi )
n
und der empirische Prozess durch:
νn :=
√
n(Pn − P)
Bemerkung
Jedes νn ist endliches signiertes Maß und für n → ∞ und A ∈ B gilt:
D
νn (A) −
→ N (0, P(A)(1 − P(A))
Definition
2
Sei GP ein Gaußprozess indiziert
durch
R
R L (P)R mit Erwartungswert 0 und
Kovarianz EGP (f )GP (g) = (f g)dP − (f )dP (g)dP.
Die Kovarianz in Bezug auf P definiert eine Pseudometrik auf L 2 (P) durch
1
ρP (f, g) := (E(GP (f ) − GP (g))2 ) /2
Definition
Eine Klasse F ⊂ L 2 heißt prägauß, falls auf einem W-Raum ein GP -Prozess
(f, ω) 7→ GP (f )(ω) definiert werden kann, so dass ∀ω : f 7→ GP (f )(ω)
beschränkt und gleichmäßig stetig in Bezug auf ρP : F → R ist.
Definition
Sei (X, S , µ) Maßraum, g reellwertig, nicht notwendig messbar. Dann ist
das obere Integral definiert als:
Z ∗
Z
gdµ := inf{ hdµ : h ≥ g, h messbar und R-wertig},
R
was undefiniert bleibt, falls ein messbares h ≥ gR existiert mit hdµ =
∞ − ∞, außer es
R ∗existiert ein messbares f ≥ g mit f dµ = −∞. In diesem
Fall setzen wir
gdµ = −∞.v
Definition
Eine Funktion von einem W-Raum in einen metrischen Raum, welche nicht
messbar sein muss, heißt zufälliges Element.
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Definition
Sei (S,d) ein metrischer Raum, (Ωn , An , Pn ) ein W-Raum für n=0,1,2,...,
und Yn , n ≥ 0, eine Funktion von Ωn → S. Angenommen Y0 liegt in einer
separablen Teilmenge von S und ist messbar für alle Borelmengen im Bildbereich. Dann sagen wir Yn konvergiert gegen Y0 in Verteilung (Schreibweise:
Yn ⇒ Y0 ), falls für jede beschränkte, stetige und reellwertige Funktion g auf
S gilt:
Z
Z
∗
g(Yn )dPn →
g(Y0 )dP0 für n → ∞.
Definition
Sei (Ω, A , P) ein W-Raum und F ⊂ L 2 (P). Dann heißt F Donsker-Klasse
für P, oder P-Donsker-Klasse, falls F prägauß für P und νn ⇒ GP in
l∞ (F ). (Man sagt auch, F erfüllt den Zentralen Grenzwertsatz für empirische Maße.)
1.2
Messbare Überdeckungsfunktionen
Definition
Für eine Menge I ⊂ L 0 (Ω, A , P, R), heißt f ∈ L 0 essentielles Infimum
von I (f := ess.inf I ) genau dann, wenn ∀j ∈ I , f ≤ j f.s., und für jedes
g ∈ L 0 , mit g ≤ j f.s. ∀j ∈ I , gilt: g ≤ f f.s.
Satz (3.2.1)
Für jeden W-Raum (Ω, A , P) und jede Klasse I ⊂ L 0 (Ω, A , P, R) existiert
ein essentielles Infimum von I . Haben wir für f : Ω → R eine Menge I =
{j ∈ L 0 : j ≥ f überall}, dann kannR f ∗ := ess.inf I so gewählt
werden,
R∗
f dP definiert
dass f ∗ ≥ f überall. Außerdem sind (f ∗ )dP und E∗ f :=
und gleich, falls beide wohldefiniert sind.
Wir nennen f ∗ die messbare Überdeckungsfunktion von f.
Lemma (3.2.2)
Für zwei Funktionen f, g : Ω → (−∞, ∞] gilt:
a)(f + g)∗ ≤ f ∗ + g ∗ f.s.
b)(f − g)∗ ≥ f ∗ − g ∗ f.s., wenn beide Seiten definiert sind.
Lemma (3.2.3)
Sei S ein Vektorraum mit Seminorm k . k. Dann gilt für zwei Funktionen
X,Y von Ω nach S,
k X + Y k∗ ≤ (k X k + k Y k)∗ ≤k X k∗ + k Y k∗ f.s. und
k cX k∗ =| c |k X k∗ f.s.
für jedes c ∈ R.
Definition
2
R
R
Analog zum oberen Integral heißt ∗ (f )dP := sup{ gdP : g messbar, g ≤ f }
unteres integral. f∗ sei das essentielle Supremum aller messbaren Funktionen
g ≤ f.
Bemerkung
Wie
auch Rfür f ∗ kann man zeigen, dass f∗ wohldefiniert ist und es gilt:
R
(f∗ R)dP, wenn beide
∗ f dP =
R ∗ Seiten existieren. Man sieht leicht: f∗ =
−((−f )∗ ) und ∗ f dP = −( (−f )dP).
Satz (einseitiger Tonelli-Fubini) (3.2.7)
Sei (X, A , P)×(Y, B, Q) Produkt zweier W-Räume. Für reellwertiges
f ≥0
R∗
∗
∗
auf X × Y definiere f auf P × Q. ∀x ∈ X sei (E2 f )(x) :=
f (x, y)dQ(y).
Dann gilt
Z
E∗1 E∗2 f ≤
f ∗ (x, y)d(P × Q)(x, y)
mit E∗1 = E∗ in Bezug auf P
P.
R
Ist Q abzählbar, so dass j Q(yj ) = 1, für yj ∈ Y , und E2 (.) := (.)dQ,
dann gilt:
E∗1 E2 f ≤ E∗ f = E2 E∗1 f
Satz (einseitige monotone Konvergenz) (3.2.11)
Sei (Ω, A , P) ein W-Raum und fj reellwertig auf Ω, mit fj % f . Falls
E∗ f1 > −∞, dann folgt E∗ fj % E∗ f für j → ∞.
Satz (Fatou mit *) (3.2.12)
Sei (Ω, A , P) ein W-Raum und fj : Ω → R nicht-negativ. Dann gilt:
E∗ (lim inf fj ) ≤ lim inf E∗ fj
j→∞
1.3
j→∞
Fast uniforme Konvergenz und Konvergenz in äußerer
Wahrscheinlichkeit
Definition
Sei (Ω, A , P) ein W-Raum, (S,d) metrischer Raum, fn : Ω → S.
i)fn konvergiert in äußerer Wahrscheinlichkeit gegen f0 , falls
d(fn , f0 )∗ −
→ 0, für n → ∞
P
ii)fn konvergiert fast uniform (f.u.) gegen f0 , falls für n → ∞ gilt:
d(fn , f0 )∗ → 0 f.s.
Proposition (3.3.2)
3
Sei (Ω, A , P) ein W-Raum, (S,d) metrischer Raum, fn : Ω → S, n=0,1,2,...
Dann sind ⇔:
A) fn → f0 f.u.
B) ∀ε ≥ 0 : P∗ (supn≥m d(fn , f0 ) > ε) & 0 für n → ∞.
C) ∀δ > 0 existiert ein B ∈ A mit P(B) > 1 − δ, so dass fn auf B gleichmäßig gegen f0 konvergiert.
D) Es existiert ein messbares hn ≥ d(fn , f0 ) mit hn → 0 f.s.
Proposition (3.3.3)
Seien (S,d), (Y,e) zwei metrische Räume und (Ω, A , P) ein W-Raum. Seien
n→∞
fn : Ω → S, n=1,2,... Funktionen, mit fn −−−→ f0 in äußerer Wahrscheinlichkeit. Angenommen f0 hat separablen Bildbereich und ist messbar. Für
g : S → Y stetig gilt dann: g(fn ) → g(f0 ) in äußerer Wahrscheinlichkeit.
Lemma (3.3.4)
Sei (Ω, A , P) ein W-Raum und (gn )n∈N eine Folge von gleichmäßig beschränkten
Funktionen von Ω → R, mit g0 messbar. Falls gn → g0 in äußerer Wahrscheinlichkeit, dann gilt:
Z
Z
∗
lim sup
n→∞
gn dP ≤
g0 dP
Korollar (3.3.5)
Seien fn Funktionen aus einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen metrischen
Raum, fn → f0 in äußerer Wahrscheinlichkeit und f0 ist messbar mit separablem Bildbereich. Dann gilt: fn ⇒ f0 .
1.4
Perfekte Funktionen
Satz (3.4.1)
Sei (X, A , P) ein W-Raum, (Y, B) messbarer Raum und g : X → Y messbar. Sei Q die Einschränkung von P ◦ g −1 auf B. Für jede reelle Funktion
f auf Y definiere f ∗ auf Q. Dann sind äquivalent:
a) ∀A ∈ A ∃B ∈ B mit B ⊂ g[A] und Q(B) ≥ P(A);
b) ∀A ∈ A mit P(A) > 0 existiert ein B ∈ B mit B ⊂ g[A] und Q(B) > 0;
c) für jedes reelle f auf Y gilt : (f ◦ g)∗ = f ∗ ◦ g f.s.;
d) ∀D ⊂ Y, (1D ◦ g)∗ = 1∗D ◦ g f.s.
Definition
Eine Funktion g, welche eine der vier Bedingungen des Satzes oben erfüllt,
heißt perfekt oder P-perfekt.
Proposition (3.4.2)
Angenommen A = X × Y , P Produktmaß ν × µ, und g ist die natürliche
Projektion von A nach Y. Dann ist g P-perfekt.
Definition
Ein metrischer Raum (S,d) heißt universell messbar (u.m.), falls für jede
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Verteilung P auf dem Abschluss von S gilt: S ist messbar auf der Vervollständigung von P.
Satz (3.4.5)
Sei (S,d) ein u.m. separabler metrischer Raum. Sei P ein W-Maß auf B(S).
Dann ist jede messbare Funktion g : S → Y , Y separabler metrischer Raum,
P-perfekt.
1.5
Fast sicher konvergente Realisierungen
Satz (3.5.1)
Sei (S,d) ein metrischer Raum, (Xn , An , Qn ) ein W-Raum und fn : Xn →
S, n = 0, 1, .... Angenommen f0 habe ein separables Bild S0 und sei messbar.
Dann gilt: (fn ⇒ f0 ) ⇔ ein W-Raum (Ω, A , Q) und perfekte messbare
Funktionen gn : (Ω, S) → (Xn , An ), n = 0, 1, ..., existieren, so dass Q ◦ gn−1 =
n→∞
Qn auf An ∀n und fn ◦ gn −−−→ f0 ◦ g0 f.u.
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