Dynamisches Arbeitsblatt: VerschiebungDreieck
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Vektorgeometrie Arbeitsauftr€ge f•r die dynamischen Experimentiervorlagen (GeoGebra) Benno Frei Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 1 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 4) GeoGebra Datei: Verschiebung_Dreieck Zeit: 10 Minuten Der Vektor (Pfeil) a PP ' verschiebt einen Punkt P in seinen Bildpunkt P’. Diese Verschiebung ist charakterisiert durch eine L•nge und eine Richtung. Schieberegler: L€nge der Verschiebung: Die L€nge a kann in den Grenzen von 0 bis 5 ver€ndert werden. Richtung der Verschiebung: Der Winkel kann von 00 bis 1800 ver€ndert werden. (zur Horizontalen im Gegenuhrzeigersinn) Das Dreieck ABC wird durch den Vektor a PP ' AA ' BB ' CC ' in sein Bilddreieck A 'B ' C ' verschoben. Die vier gezeichneten Pfeile haben alle die gleiche L€nge und Richtung. Jeder Pfeil ist ein Repr€sentant des Vektors a . Arbeitsauftr€ge: 1) Experimentiere mit der L€nge und der Richtung von a . Betrachte folgende Beispiele: a 4 ; 900 , a 3 ; 1270 usw. 2) Einstellung: a 5 ; 00 Ver€ndere die L€nge a von 5 auf 0 und wieder auf 5 zur•ck. Beobachte dabei das Bilddreieck A 'B ' C ' . Was beobachtest du f•r a = 0. 3) Gib dem speziellen Vektor a PP AA BB CC einen Namen und untersuche seine Richtung a 0 ; . Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 2 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 11) GeoGebra Datei: Vektoraddition_Verschiebung Zeit: 10 Minuten Vektoraddition Die Motivation f•r die nachfolgende Definition holen wir wieder bei den Verschiebungen. Gegeben sind zwei Vektoren a undb . Jeder von ihnen stellt eine Verschiebung dar. Diese Verschiebung f•hren wir nun hintereinander aus. Das heisst, wir verschieben zun€chst den Punkt A um den Vektor a AB nach B, den erhaltenen Punkt B um den Vektorb BC nach C. Durch die beiden Verschiebungen wird eine dritte Verschiebung definiert, die direkt den Punkt A auf den Endpunkt C verschoben h€tte. c a b A B B C AC B B weggelassen Der zugeh‚rige Pfeil AC stellt den Summenvektor der gegebenen Vektoren a undb dar. Schieberegler: a: Verschiebung von A nach B b: Verschiebung von B nach C c: Verschiebung von A nach C Arbeitsauftr€ge: 1) Stelle alle Schieberegler auf Null. Verschiebe nun A nach B, dann B nach C und A direkt nach C. 2) Mach dir folgende Definition klar: Der Vektorb wird zum Vektor a addiert, indem der Anfangspunkt von b an den Endpunkt von a verschoben wird. Der Summenvektor a b zeigt dann vom Anfangspunkt von a zum Endpunkt vonb . Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 3 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 11) GeoGebra Datei: Vektoraddition_Spezialf€lle Zeit: 10 Minuten Wir betrachten den Summenvektors c a b und studieren die L€nge c a b in Abh€ngigkeit des Zwischenwinkels der Vektoren a undb . Schieberegler: Winkel zwischen den Vektoren Der Winkel kann in den Grenzen von 00 bis 1800 ver€ndert werden. L€nge der Vektoren Die L€nge der Vektoren a undb kann von 0 bis 5 cm ver€ndert werden. Arbeitsauftr€ge: 1) Definiere den Zwischenwinkel zweier Vektoren a undb ! 2) Experimentiere mit dem Zwischenwinkel von a undb . Beobachte die L€nge des Summenvektors. Best€tige folgende Ungleichung: c a b 3) Berechne die L€nge c f•r folgende Einstellungen: a) a 4 ; b 3 ; 00 b) a 4 ; b 3 ; 900 c) a 4 ; b 3 ; 1800 d) a 5 ; b 5 ; 00 e) a 5 ; b 0 ; beliebig f) a 5 ; b 5 ; 1800 Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 4 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 15) GeoGebra Datei: Vektoraddition_Gesetze Zeit: 10 Minuten Die Vektoren lassen sich an den Anfangspunkten mit der Maus verschieben. Arbeitsauftr€ge: 1) Best€tige das Kommutativgesetz ( a b rot, b a gr•n) 2) Best€tige das Assoziativgesetz ( a b c rot, a b c gr•n) Die Vektoren a ,b und c lassen sich an den Punkten A, B und C mit der Maus in Richtung und L€nge ver€ndern. Hast Du Spezialf€lle, die du austesten m‚chtest? Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 5 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 16) GeoGebra Datei: Vektorkette Zeit: 10 Minuten Gegeben sind die f•nf Vektoren: a A1S1 , b A2 S2 , c A 3 S3 , d1 A 4 S4 , d2 AS . Du kannst die Vektoren jeweils im Anfangspunkt A mit der Maus verschieben (Mit der Maus jeweils auf den entsprechenden Anfangspunkt gehen und bei gedr•ckter Maustaste den Vektor verschieben) Arbeitsauftr€ge 1. Bilde graphisch die Vektorsumme der vier Vektoren: a b c d1 (Anfangspunkt A2 vom Vektor c an die Spitze S2 des Vektors b verschieben, usw.) vom Vektor b an die Spitze S1 des Vektors a verschieben, dann Anfangspunkt A3 Was stellst du fest? 2. Bilde graphisch die Vektorsumme der drei Vektoren: a b c und vergleiche den Summenvektor mit dem Vektor d2 . Was stellst du fest? Welcher Zusammenhang besteht zwischen d1 und d2 ? Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 6 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 21) GeoGebra Datei: Zerlegung_Kraft in der Ebene Zeit: 10 Minuten Gegeben sind die beiden Kr€fte Fa und Fb . Schieberegler: Mit dem Schieberegler a kann die Kraft Fa multipliziert werden: a Fa Mit dem Schieberegler b kann die Kraft Fb multipliziert werden: b Fb Arbeitsauftr€ge: 1) Zerlege die beiden Kr€fte F1 und F2 jeweils in die Komponenten Fa und Fb . F1 a Fa b Fb bzw. F2 a Fa b Fb . Bestimme jeweils die Zahlen a und b. 2) Beschreibe jeweils dein Vorgehen f•r die Zerlegung. ( ga Gerade parallel zu Fa ; gb Gerade parallel zu Fb ) 3) Welches sind die Voraussetzungen f•r die Kr€fte Fa und Fb damit die Kraft F zerlegt werden kann? L€sst sich jede Kraft F (im Raum) in die Komponenten von Fa und Fb zerlegen? Welches ist die Voraussetzung f•r die Kraft F , damit sie nach Fa und Fb zerlegt werden kann? Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 7 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 22) GeoGebra Datei: Schiefe Ebene Zerlegung_Gewichtskraft Zeit: 20 Minuten Beim Probleml‚sen in der Praxis ist es sinnvoll Kr€fte in Komponenten zu zerlegen, so dass sich die Behandlung des Problems vereinfacht. Ein einfaches Beispiel ist die Zerlegung der Gewichtskraft bei der schiefen Ebene. F•r die Analyse der Bewegung eines Klotzes auf der schiefen Ebene bringt die Aufteilung der Gewichtskraft G in eine Komponente parallel Gp und eine Komponente senkrecht Gs zur Unterlage grosse Vorteile. Es gilt die Vektoraddition: G Gp Gs . Die zwei Komponenten haben die gleiche Wirkung wie die Gewichtskraft. Lageplan: Gewichtskraft wird beim Klotz auf der schiefen Ebene eingezeichnet. Kr€fteplan: F•r die Berechnung der Komponenten wird die Gewichtskraft isoliert. Schieberegler: m: Masse des Klotzes (Die Gewichtskraft ist proportional zur Masse: G m g wobei g 10ms 2 die Erdbeschleunigung ist) Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 8 Fortsetzung Dynamisches Arbeitsblatt: Schiefe Ebene Zerlegung der Gewichtskraft (Zeit: 20 Minuten) (Seite 22) Arbeitsauftr€ge: 1) Die Punkte E und D lassen sich bewegen. Untersuche folgende zwei Spezialf€lle: a) Schiebe den Punkt D nach unten, so dass die Neigung der schiefen Ebene 00 wird. Beobachte dabei die Komponenten der Gewichtskraft. Wie gross sind Gp und Gs , wenn die Neigung 00 betr€gt. b) Schiebe den Punkt E mach rechts, so dass die Neigung der schiefen Ebene 00 wird. Beobachte dabei die Komponenten der Gewichtskraft. Wie gross sind Gp und Gs , wenn die Neigung 90 0 betr€gt. 2) W€hle f•r die Neigung der schiefen Ebene 30 0 und berechne die Betr€ge Gp und Gs , wenn die Gewichtskraft G bekannt ist. (Tipp: Verwende die Eigenschaften des 300 600 900 Dreiecks) Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: Berechne die Betr€ge Gp und Gs aus der Gewichtskraft G f•r einen beliebigen Winkel [ 00 ; 900 ] . ƒberpr•fe die im Punkt 1) erhaltenen Spezialf€lle, mit dem Resultat aus der Trigonometrie. Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 9 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 24) GeoGebra Datei: Horizontaler Wurf Zeit: 10 Minuten Eine Kugel wird horizontal auf der H‚he h = 20 mit der Geschwindigkeit v horizontal nach rechts geschossen. Verl€sst die Kugel die Kanone, so unterliegt sie dem freien Fall. Die Bewegung der Kugel, dessen Bahnkurve eine Parabel ist, kann in zwei Teilbewegungen aufgeteilt werden. Horizontal: Gleichf‚rmige Bewegung mit der Geschwindigkeit v horizontal (konstant). Vertikal: Freier Fall d.h. gleichm€ssig beschleunigte Bewegung aus der Ruhelage v vertikal . Die beiden Bewegungen •berlagern sich und es gilt: v v horizontal v vertikal . Schieberegler: Mit dem Schieberegler t (Zeit) kann der Verlauf der Bewegung simuliert werden. Die bewegten Punkte hinterlassen eine Spur. Im Menu Ansicht kann mit Ansichten auffrischen die Spur gel‚scht werden. Arbeitsauftr€ge: 1) Beobachte den Abstand der horizontalen und vertikalen Punkte. Was stellst du fest. Kannst du diesen Sachverhalt erkl€ren? 2) Kannst du die Bewegung mit Hilfe der Teilbewegungen berechnen? Wann schl€gt die Kugel am Boden auf? An welchem Ort schl€gt die Kugel am Boden auf? Wie gross ist die Geschwindigkeit beim Aufschlag. Welche Richtung hat sie? Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 10 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 25) GeoGebra Datei: Schiefer Wurf_Experiment Zeit: 20 Minuten Dynamisches Arbeitsblatt: Schiefer Wurf_Experiment 1 (Zeit: 10 Minuten) Experiment: Schuss auf eine Kugel Die Achse des Rohres einer Federkanone ist genau auf den Punkt P gerichtet, in welchem sich eine Kugel K befindet, die an einem Elektromagneten h€ngt. Das Geschoss verl€sst die M•ndung mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 und unterbricht gleichzeitig den Stromkreis des Elektromagneten, so dass die Kugel zu fallen beginnt. Auch das Geschoss beginnt in diesem Augenblick zu fallen, da es nicht mehr vom Rohr gef•hrt wird. Wenn die von der Erdanziehung herr•hrende Beschleunigung des Geschosses wirklich unabh€ngig ist von seinem Bewegungszustand, dann f€llt es in der Zeit t um dieselbe Strecke wie die Kugel, d.h. zu jeder Zeit liegt das Geschoss um h 21 g t 2 tiefer als die Gerade g, die der Bahn ohne Einwirkung der Erdanziehung entspricht. Es wird also immer die fallende Kugel treffen, unabh€ngig von seiner Anfangsgeschwindigkeit. Bei grosser Anfangsgeschwindigkeit trifft das Geschoss die Kugel nach einer kurzen Fallstrecke, bei kleiner Anfangsgeschwindigkeit nach einer grossen Fallstrecke. Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 11 Seite 2 :Fortsetzung Dynamisches Arbeitsblatt: Schiefer Wurf_Experiment 1 (Zeit: 10 Minuten) Schieberegler: Abschusswinkel (Richtung von v 0 ) Mit dem Schieberegler Abschusswinkel kann der Winkel (Winkel der Abschussgeschwindigkeit v 0 zur x – Achse) von 00 bis 90 0 eingestellt werden. Schieberegler v 0 (Betrag von v 0 ; Schnelligkeit) Mit dem Schieberegler v 0 kann die Schnelligkeit der Abschussgeschwindikeit des Geschosses eingestellt werden. Schieberegler Zeit t Mit dem Schieberegler t kann der Verlauf der Bewegung simuliert werden. Das Geschoss (Punkt G) hinterl€sst eine Spur. Im Menu Ansicht kann mit Ansichten auffrischen die Spur gel‚scht werden. Arbeitsauftr€ge: Schiefer Wurf 1) Der Geschwindigkeitsvektor v 0 wird in Komponenten in Richtung der Achsen zerlegt. Berechne die Komponenten in Abh€ngigkeit des Winkels . 2) Beobachte die Geschwindigkeitskomponenten v 0x und v 0y w€hrend der Bewegung (Schieberegler Zeit t). Was stellst du fest? 3) Was kannst du •ber den Geschwindigkeitsvektor (Richtung und Betrag) am h‚chsten Punk der Bahn aussagen? 4) Nach welcher Zeit und wo schl€gt die Kugel am Boden auf? Welcher Abschusswinkel liefert bei konstant gehaltener Schnelligkeit die maximale Wurfweite? Schuss auf die Kugel K 5) Verl€sst das Geschoss den Koordinatenursprung (0/0) so beginnt die Kugel K beim Punkt P zu fallen. Was sind die Voraussetzungen, dass das Geschoss die Kugel trifft? Untersuche deine Hypothesen. Experimentiere mit dem Geschwindigkeitsvektor, d.h. mit der Schnelligkeit und der Richtung. Unabh€ngigkeitsprinzip Da sich die Teilbewegungen unabh€ngig voneinander •berlagern [z.B. die Beschleunigung (g) ist vom Bewegungszustand ( v 0 ) des K‚rper unabh€ngig], k‚nnen wir die kinematischen Gr‚ssen (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) als Vektoren behandeln. Wir beschreiben den Ort zurzeit t des Geschosses bzw. der Kugel mit Hilfe der Ortsvektoren r Geschoss , r Kugel (Pfeile vom Koordinatenursprung zum Geschoss bzw. zur Kugel). Die Spitze des Ortsvektors durchl€uft die Bahn des Geschosses (Parabel) bzw. der Kugel (Gerade). Wir zeigen nun rechnerisch, dass es gen•gt die Kanone in Richtung der Kugel auszurichten, d.h. der Geschwindigkeitsvektor v 0 muss die Richtung des Ortsvektors r0 der Kugel haben. Arbeitsauftrag: Versuche mit Hilfe des Arbeitsblattes Schiefer Wurf_Experiment_2 die nachfolgende Vektorberechnung zu verstehen. Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 12 Seite 3 :Fortsetzung Dynamisches Arbeitsblatt: Schiefer Wurf_Experiment_2 (Zeit: 10 Minuten) Beschreibung der Bewegung mit Hilfe der Ortsvektoren. r Ortsvektor r Geschoss r Kugel Anfangsort 0 r0 Verschiebung durch Verschiebung durch Bewegung Freien Fall gleichf‚rmige 2 1 t v0 2 t g 1 t2 g 0 2 r Geschoss Bedingung f•r Zusammentreffen: t v0 t v0 1 t2 2 r0 g r0 1 t2 2 g / r Kugel 21 t 2 g Folgerungen aus der Vektorgleichung: 1) Richtung: v 0 muss die Richtung von r0 haben. 2) Betrag: t v0 r0 t r0 v0 Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 13 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 30) GeoGebra Datei: Gesetze_Multiplikation_Skalar Zeit: 10 Minuten F•r die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar gelten folgende Gesetze: k1 k 2 a k a b k a k b k1 k 2 a k1 a k 2 a k1 k 2 a (Distributivgesetz) (Distributivgesetz) (Assoziativgesetz) Schieberegler: k1 , k 2 , k : reelle Zahlen im Intervall 2 ; 3 Die Vektoren lassen sich am Anfangspunkt mit de Maus bewegen. Arbeitsauftr€ge: 1) Versuche die oben aufgef•hrten Gleichungen, graphisch zu verifizieren. Bei der Addition von Vektoren l€sst sich der Anfangspunkt des zweiten Vektors an die Spitze des ersten verschieben. Mache verschiedene Zahlenbeispiele, die Faktoren lassen sich mit den Schieberegler ver€ndern. 2) Mache auch einige Spezialf€lle z.B. ( k1 1 , k 2 1 ) Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 14 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 36) GeoGebra Datei: Linearkombination_trivialeNullsumme Zeit: 10 Minuten Gegeben sind die beiden nicht kollinearen Vektoren a undb und die Linearkombination n k a a kb b der beiden Vektoren. Schieberegler: k a : Koeffizient vom Vektor a k b : Koeffizient vom Vektor b Arbeitsauftr€ge: 1) Versuche durch die Wahl der Koeffizienten k a und k b mit der Linearkombination n k a a kb b den Nullvektor darzustellen. Wie viele Zahlenpaare( k a , k b ) gibt es? 2) Diskutiere: Es ist nicht m‚glich mit beliebigen Vektoren a undb eine Nullsumme darzustellen. Welche Eigenschaften m•ssen die Vektoren haben? 3) Bearbeite das folgende Arbeitsblatt: Dynamisches Arbeitsblatt: Linearkombination_Nullsumme (Zeit: 10 Min.) Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 15 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 36) GeoGebra Datei: Linearkombination_Nullsumme Zeit: 10 Minuten Gegeben sind die beiden kollinearen Vektoren a undb und die Linearkombination n k a a kb b der beiden Vektoren. Schieberegler: k a : Koeffizient vom Vektor a k b : Koeffizient vom Vektor b Arbeitsauftr€ge: 1) Versuche durch die Wahl der Koeffizienten k a und k b mit der Linearkombination n k a a kb b den Nullvektor darzustellen. Wie viele Zahlenpaare( k a , k b ) gibt es? 2) Diskutiere: Es ist nicht m‚glich mit beliebigen Vektoren a undb eine Nullsumme darzustellen. Welche Eigenschaften m•ssen die Vektoren haben? 3) Bearbeite das folgende Arbeitsblatt: Dynamisches Arbeitsblatt: Linearkombination_trivialeNullsumme (Zeit: 10 Min.) Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 16 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 43) GeoGebra Datei: Teilverh€ltnisse_Parallelogramm Zeit: 30 Minuten Schieberegler: Mit k1 kann der Vektor AD multipliziert werden. Mit k 2 kann der Vektor EB multipliziert werden. Das Teilverh€ltnis CE kann durch Bewegen des Punktes E mit der Maus ver€ndert CD werden. Fragestellung: In welchem Verh€ltnis teilt der Punkt F die Diagonale AD Arbeitsauftr€ge 1) L‚se das Problem mit Hilfe der Vektorgeometrie. Beschreibe dein Vorgehen. 2) Was kannst du anhand deiner Rechnung •ber die beiden Zahlen k1 und k 2 aussagen? 3) F•hre eine allgemeine Rechnung durch f•r ein beliebiges Verh€ltnis d.h. bestimme die beiden Zahlen k1 und k 2 in Abh€ngigkeit von x. 4) Mache einige Beispiele f•r x und •berpr•fe sie mit der dynamischen Konstruktion. CE x, CD Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 17 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 44) GeoGebra Datei: Winkelhalbierende Zeit: 10 Minuten Die Vektoren a auf b sind Vielfache der jeweiligen Einheitsvektoren a k e und AB b k e (mit gleichem Faktor k). Der Vektor w a b ist der Summenvektor. AC Arbeitsauftr€ge: 1) Welche Eigenschaften muss das Viereck AEGF haben, damit AG den Winkel bei A halbiert? Sind diese Eigenschaften durch die spezielle Wahl der Vektoren a , b und w erf•llt? 2) Gebe ein Verfahren an, wie du bei einem Dreieck ABC einen Vektor in Richtung der Winkelhalbierenden bekommst. (Gegeben sind die Koordinaten der drei Eckpunkte.) 3) Ver€ndere z.B. die Ecke A mit der Maus und beobachte die beiden Streckenverh€ltnisse AB BD und (oben links). Was stellst du fest? Formuliere AC CD einen Satz! Kannst du das Teilungsverh€ltnis berechnen? Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 18 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 48) GeoGebra Datei: Gerade in der Ebene Zeit: 10 Minuten Die Gerade durch die Punkte A und B wird beschrieben durch einen Ortsvektor rA (St•tzvektor der Geraden) und einen Richtungsvektor u AB . Der Richtungsvektor wird mit dem Parameter t ( t R , eine beliebige reelle Zahl) multipliziert, kann also beliebig gestreckt undgestaucht werden und auch in die Gegenrichtung von AB zeigen. r rA t u sind f•r t R Ortsvektoren zu den Punkten P, die alle auf der Geraden AB liegen. Wir k‚nnen den Punkt P z.B. als Auto betrachten, das sich auf der Geraden AB bewegt, wobei die Bewegung durch die Spitze des Ortsvektors r OP begleitet wird. Der Parameter t kann dann als Zeit interpretiert werden. Schieberegler: Der Parameter t kann von – 5 bis 5 ver€ndert werden. P hinterl€sst eine Spur, die gel‚scht werden kann (Menu: Ansicht / Ansicht auffrischen) Arbeitsauftr€ge: 1) Wir starten zum Zeitpunkt t = 0, wo befinden wir uns auf der Geraden? 2) Wo befinden wir uns zum Zeitpunkt t = 1? 3) Wie muss t gew€hlt werden, damit wir eine Entfernung von 4 AB von A haben? 4) Wie gelangen wir zu Punkten P, die unterhalb von A liegen? 5) Mach dir folgenden Sachverhalt klar: Alle Ortsvektoren r rA t u mit t R stellen eine Grade dar. Diese Darstellung nennen wir Parameterdarstellung der Geraden. Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 19 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 58) GeoGebra Datei: Polarform_Vektoren in der Ebene Zeit: 10 Minuten Vektoren in der Ebene k‚nnen durch die L€nge und den Winkel zur Horizontalen beschrieben werden (Polarform): a / a 5 : Winkel 00 ; 1800 im Gegenuhrzeigersinn b / b 5 : Winkel 00 ; 1800 im Uhrzeigersinn (negative Winkel) Schieberegler: Winkel 00 ; 1800 im Gegenuhrzeigersinn Winkel 00 ; 1800 im Uhrzeigersinn Arbeitsauftr€ge: 1) ƒberlege dir mit Hilfe der Trigonometrie, wie die Vektoren in Polarform in die Koordinatendarstellung umgerechnet werden k‚nnen. Fall 1 : a / a Fall 2: b / b ax a ay bx b by 2) Lass dir die trigonometrischen Funktionen vom Taschenrechner aufzeichnen und interpretiere die Werte (insbesondere das Vorzeichen). 0 0 Fall 1 : sin und cos f•r 0 ; 180 Fall 2 : sin und cos f•r 00 ; 1800 Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 20 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 63) GeoGebra Datei: Vektoraddition_Koordinatendarstellung Zeit: 10 Minuten ax bx a x b x a b a b y y y y Vektoraddition: c a b Vektoren in Koordinatendarstellung werden addiert, indem ihre Koordinaten addiert werden. Arbeitsauftr€ge: 1) ƒberpr•fe die oben gemachte Aussage anhand der Figur. c a b a x e1 a y e2 bx e1 by e2 a x b x e1 ay by e2 2) Die Punkte A, B und D lassen sich mit der Maus bewegen. Ver€ndere die Vektoren und •berpr•fe die Berechnungsregel. Mache auch einige Spezialf€lle, z.B. a, b kollinear (horizontal, vertikal) Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 21 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 63) GeoGebra: Koordinatendarstellung_Ortsvektor_freierVektor Zeit: 10 Minuten Auf dem Arbeitsblatt siehst du zwei Vektoren (Wie unterscheiden sich die beiden Vektoren?): einen Ortsvektor OP einen freien Vektor AB Die Koordinatendarstellung der Vektoren ist eine Kurzschreibweise einer Linearkombination der Basisvektoren e1 und e2 . Welche Eigenschaften haben die Basisvektoren e1 und e2 ? Die Punkte A, B und P k‚nnen mit der Maus bewegt werden. Arbeitsauftr€ge: 1) Verschiebe den Punkt P mit der Maus und beobachte die Koordinaten des Punktes P und die Koordinaten des Vektors OP . Was f€llt auf? 2) Ver€ndere die Position der Punkte A und B. Wie k‚nnen die Koordinaten des Vektors AB aus den Koordinaten der Punkte A und B berechnet werden? 3) OP kann als spezieller Repr€sentant (mit Anfangspunkt in O) des Vektors AB interpretiert werden. W€hle die Punkte A, B und P so, dass dies zutrifft. Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 22 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 64) GeoGebra: DifferenzOrtsvektoren_Koordinatendarstellung Zeit: 10 Minuten Die Punkte P und Q k‚nnen mit der Maus ver€ndert werden. Arbeitsauftr€ge: 1) ƒberpr•fe folgende Aussage: Der freie Vektor PQ kann als Differenz der Ortsvektoren OQ und OP berechnet werden. Interpretiere diesen Sachverhalt mit Hilfe einer Verschiebung (Umweg •ber O). 2) ƒberlege dir anhand der gezeichneten Vektoren folgende Grundaufgabe: Gegeben sind die Koordinaten der Punkte P xP / yP und Q x Q / y Q . Gesucht sind die Koordinaten des Vektors PQ . 3) W€hle neue Punkte P und Q (Beachte: W€hle die Position der Punkte in allen vier Quadranten) und berechne die Koordinaten des Vektors PQ . 4) Schreibe dir 5 Beispiele f•r P und Q heraus (samt L‚sung PQ ) und gebe die Koordinaten von P und Q als Aufgabe einer Mitsch•lerin oder einem Mitsch•ler. Korrigiere die Resultate und diskutiere auftretende Fehler! Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 23 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 65) GeoGebra Datei: Einheitsvektor_Koordinatendarstellung Zeit: 10 Minuten Der Anfangspunkt A und der Endpunkt B des Vektors AB lassen sich mit der Maus bewegen. Die Koordinaten des Vektors AB , sowie der Betrag und die Koordinaten des Einheitsvektors e werden automatisch berechnet. AB Arbeitsauftr€ge: 1) Stell dir einige Berechnungsbeispiele zusammen: Gegeben: Koordinaten von A und B Gesucht: Einheitsvektor e in Richtung AB (Verifiziere die L‚sung und schreibe sie AB dir auf!) Gebe die Beispiele an eine Mitsch•lerin oder einen Mitsch•ler weiter, oder l‚se deine Beispiele am darauf folgenden Tag als ƒbung selbst. 2) Mache auch einige Spezialf€lle z. B. AB parallel zur x – Achse. Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 24 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 71) GeoGebra Datei: Abstand_Punkt_Punkt_Betrag Zeit: 10 Minuten Welcher Punkt auf der x - Achse ist von den Punkten A(0/6) und B(10/12) gleich weit entfernt? 1. L‚sungsidee: Wir betrachten alle m‚glichen Punkte Px x / 0 auf der x – Achse. Der gesuchte Punkt P hat die Eigenschaft PA PB . Mit dem Ansatz Px x / 0 erhalten wir eine Bestimmungsgleichung f•r x: Px A PxB . Arbeitsblatt: Px x / 0 l€sst sich auf der x – Achse mit der Maus bewegen. Bewege ihn soweit nach rechts, bis Px A PxB 2. L‚sungsidee: Der Punkt P liegt auf der Geraden r OPm OM t nAB , Pm ist ein Punkt auf der Mittelsenkrechten, OM ist der Ortsvektor zum Mittelpunkt M der Strecke AB und nAB der Normalvektor zum Vektor AB . Pm liegt auf der x – Achse, wenn die y – Koordinate von OPm Null ist. So kann t rechnerisch bestimmt werden. Arbeitsblatt: Ver€ndere t (Schieberegler oben) bis Pm auf die x – Achse zu liegen kommt. Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 25 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 72) GeoGebra Datei: Normalvektor Zeit: 10 Minuten bx ax und b in Koordiantendarstellung. a b y y Gegeben sind die beiden Vektoren a Der Zwischenwinkel der beiden Vektoren l€sst sich durch den Schieberegler von 00 bis 1800 einstellen. Arbeitsauftr€ge: 1) Zeige, dass a b . 2) Stelle den Schieberegler 00 . Jetzt ist a b oder in Koordinatendarstellung ax b x . Was kannst du •ber die vier Zahlen a x ,a y , b x ,b y aussagen? ay b y 3) Stelle den Schieberegler auf 90 0 und beobachte dabei die …nderungen der Seiten des gelben Dreiecks. In welcher Beziehung stehen nun die Koordinaten a x ,a y , b x ,b y der zwei Vektoren? 4) Stelle den Schieberegler auf 1800 . Jetzt ist a b . ( b Gegenvektor von a ) Die Spitze B vom Vektor a kann mit der Maus bewegt werden, wobei a b erhalten bleibt. Stelle den Schieberegler auf 90 0 und ver€ndere die Position von B so, dass a b 5 . Wieviele M‚glichkeiten gibt es? Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 26 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 73) GeoGebra: Vektor in Richtung der Winkelhalbierenden Zeit: 10 Minuten Der Vektor w ea eb halbiert den Zwischenwinkel der beiden Einkeitsvektoren ea und eb . Der Vektor c a b a ea b eb ist eine Linearkombination der Einheitsvektoren. Schieberegler: 00 ; 1800 : Zwischenwinkel der Einheitsvektoren ea und eb a 5 ; 5 : Skalare Komponente von c in Richtung ea . b 5 ; 5 : Skalare Komponente von c in Richtung eb . Arbeitsauftr€ge 1) Welche Bedingung m•ssen die skalaren Komponenten a und b des Vektors c erf•llen, damit die Spitze S auf der Winkelhalbierenden liegt. 2) W€hle den Zwischenwinkel 90 0 und betrachte die Koordinatendarstellung der Vektoren ea , eb und w . Welche L€nge hat der Vektor w ? 3) Was l€sst sich •ber den Vektor w sagen, wenn der Zwischenwinkel 1800 wird? 4) W€hle eine der skalaren Komponenten des Vektors c z.B. a negativ. Was kannst du beobachten f•r a b ? Welche Richtung hat nun der Vektor c . Was kannst du •ber den Zwischenwinkel von c und w aussagen? Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 27 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 74) GeoGebra Datei: Gerade_Parameterdarstellung Zeit: 10 Minuten Gegeben ist die Strecke AB durch die Punkte A und B. M ist Mittelpunkt von AB ; f•r C gilt: BC 12 AB F•r D gilt: BD AB ; f•r E gilt: BE 32 AB F•r F gilt: AF AB ; f•r G gilt: AG 54 AB Schieberegler f•r den Parameter t : Arbeitsauftr€ge rP rA t AB 1) Bestimme jeweils den Parameter t f•r folgende Ortsvektoren rP : rM (P = M) ; rA (P = A) ; rB (P = B) ; rC (P = C) ; rD (P = D) ; rE (P = E) ; rF (P = F) ) ; rG (P = G) 2) Kontrolliere deine Werte mit Hilfe des Schiebereglers t. 3) Mach dir folgende Aussage klar: Die Punkte P mit dem Ortsvektor rP rA t AB ( t R ) liegen alle auf einer Geraden durch die beiden Punkte A und B. Wir nennen rP rA t AB die Parameterdarstellung der Geraden, welche durch die Punkte A und B gegeben ist. Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 28 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 76) GeoGebra Datei: Punkt auf einer Geraden Zeit: 10 Minuten Gegeben sind die beiden Vektoren ax bx a und b in ay by Koordiantendarstellung. Der Zwischenwinkel der beiden Vektoren l€sst sich durch den Schieberegler von 00 bis 1800 einstellen. Arbeitsauftr€ge: 1) Zeige, dass a b . 2) Stelle den Schieberegler 00 . Jetzt ist a b oder in Koordinatendarstellung ax b x . Was kannst du •ber die vier Zahlen a x ,a y , b x ,b y aussagen? ay b y 3) Stelle den Schieberegler auf 90 0 und beobachte dabei die …nderungen der Seiten des gelben Dreiecks. In welcher Beziehung stehen nun die Koordinaten a x ,a y , b x ,b y der zwei Vektoren? 4) Stelle den Schieberegler auf 1800 . Jetzt ist a b . ( b Gegenvektor von a ) Die Spitze B vom Vektor a kann mit der Maus bewegt werden, wobei a b erhalten bleibt. Stelle den Schieberegler auf 90 0 und ver€ndere die Position von B so, dass a b 5 . Wieviele M‚glichkeiten gibt es? Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 29 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 77) GeoGebra Datei: Schnittpunkt von zwei Geraden Zeit: 10 Minuten Gegeben sind zwei Geraden: g: rg rA t AB und h: rh rC s CD Die beiden Geraden sind jeweils gegeben durch zwei Punkte: Gerade g (A,B), Gerade h (C,D). Die vier Punkte lassen sich mit der Maus bewegen. Schieberegler f•r die beiden Parameter t und s f•r die beiden Geraden g und h. Arbeitsauftr€ge: 1) Der Schnittpunkt S liegt auf beiden Geraden, d.h. S kann als Ortsvektor von g und als Ortsvektor von h dargestellt werden. Wie lautet die vektorielle Bedingung f•r einen Schnittpunkt zweier Geraden? 2) F•r welche Werte de beiden Parameter t und s ergibt sich der Schnittpunkt S? 3) Entwickle ein allgemeines Vorgehen f•r die Ermittlung eines Schnittpunktes zweier Geraden in der Ebene. 4) Diskutiere die Lage zweier Geraden in der Ebene. Charakterisiere die verschiedenen F€lle durch die St•tzvektoren rA , rC und die beiden Richtungsvektoren AB und CD der beiden Geraden g und h. Stelle einige Beispiele in der dynamischen Konstruktion dar (Du kannst jeweils die Anfangspunkte A, C oder Endpunkte B, D der Richtungsvektoren mit der Maus ver€ndern). Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 30 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 78) GeoGebra Datei: Schwerpunkt_Dreick Zeit: 10 Minuten Gegeben: Ortsvektoren zu den Eckpunkten eines Dreiecks ABC: OA , OB , OC Gesucht: Ortsvektor des Schwerpunktes OS Die Eckpunkte A, B und C des Dreiecks lassen sich mit der Maus verschieben. Arbeitsauftr€ge: 1) Untersuche den folgenden Zusammenh€nge: OS 31 OA OB OC OMC 1 2 OA OB , OMa 1 2 OB OC , OMb 1 2 OA OC 2) Mache verschiedene Beispiele indem du die Ecken des Dreiecks ver€nderst. Wie m•ssen die Ecken ver€ndert werden, damit die Koordinaten des Schwerpunktes S ganzzahlig bleibt. 3) Verifiziere: Die Koordinaten des Schwerpunktes S kann aus den Koordinaten der Eckpunkten des Dreiecks A x A / y A , B xB / yB und C x C / y C berechnet y yB y C x A xB x C / A . 3 3 werden: S Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 31 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 82) GeoGebra Datei: Skalarprodukt_DefArbeit KraftmalWeg Zeit: 10 Minuten Skalarprodukt: W F s (Arbeit = Kraft mal Weg) Funktionsgraph von cos f•r die Zwischenwinkel 00 ; 1800 W F s F s cos Fs s als Rechtecksfl€che dargestellt. Fx sx W F s Fx s x Fy sy Skalarprodukt in Komponenten berechnet. Fy s y Schieberegler: : Zwischenwinkel des Kraftvektors F und des Verschiebungsvektors s . Arbeitsauftr€ge: 1) Ver€ndere den Zwischenwinkel der Kraft und des Verschiebungsvektors. Beobachte dabei die Projektion Fs des Kraftvektors F auf die Verschiebung s . 2) Diskutiere das Skalarprodukt (die physikalische Gr‚sse Arbeit) f•r folgende drei F€lle: 0 2 , 2 , 2 3) Interpretiere das Vorzeichen des Skalarprodukts F s F s cos mit Hilfe der Kosinusfunktion. Vektorgeometrie Arbeitsauftrag Vektorgeometrie Arfbeitsblatt Nr 32 Dynamisches Arbeitsblatt (Seite 82) GeoGebra Datei: Skalarprodukt_Mathematik Zeit: 10 Minuten Skalarprodukt: a b Funktionsgraph von cos f•r die Zwischenwinkel 00 ; 1800 a b a b cos b a a als Rechtecksfl€che dargestellt. a x bx a b a x bx a y b y Skalarprodukt in Komponenten berechnet. a y by Schieberegler: : Zwischenwinkel der Vektoren a und b . Arbeitsauftr€ge: 1) Ver€ndere den Zwischenwinkel der beiden Vektoren. Beobachte dabei die Projektion b a des Vektors b auf den Vektor a . 2) Diskutiere das Skalarprodukt f•r folgende drei F€lle: 0 2 , 2 , 2 3) Interpretiere das Vorzeichen des Skalarprodukts a b a b cos mit Hilfe der Kosinusfunktion.
