Der Absorptionskoeffizient an der langwelligen Grenze

ß +
=
-
I
(2*r)»4wV
r
dk
ß+-
-
= (-^7)
4
1
2
/ g r a d V ' grad
(65>
j
(68)
D a s zweite Integral hat nach (13) und (15) den
Wert
— (2
JF)3/2
^
i f grad Fy>
(66)
r»or,r, lsru • u
1, J
T x
,
7*
D a n n laßt sich auch das Integral über k auswerten:
/ - x -+
/ kq>*+ { k ) dk e~ * * • r = (2 jt) 3 / 2 i g r a d y ,
=
wobei
^ ^ e2 I n \2 2 Q
8mc2 \ m c / ^ 1
in der
letzten Zeile f ü r V speziell das Coulomb-Potential im Wasserstoffatom eingesetzt ist.
Setzt m a n d a n n noch
f ü r tp (0) den W e r t (24)7 ein,
so er„ibt sich
=
(69)
z
(67)
Dies ist von der G r ö ß e n o r d n u n g (61); der W e r t
(69) w u r d e im vorigen Abschnitt benutzt.
so daß
Der Absorptionskoeffizient
an der langwelligen Grenze des kontinuierlichen Röntgenspektrums
Von
GERHARD
ELWERT*
(Z. Naturforschg. 3 a, 477—481 [1948]; eingegangen am 27. August 1948)
In der A s t r o p h y s i k w i r d f ü r den A b s o r p t i o n s k o e f f i z i e n t e n am l a n g w e l l i g e n Rand
k o n t i n u i e r l i c h e n R ö n t g e n s p e k t r u m s t e i l s die k o r r e s p o n d e n z m ä ß i g - k l a s s i s c h e , teils
wellenmechanische F o r m e l v e r w e n d e t . Im f o l g e n d e n w i r d im A n s c h l u ß an A r b e i t e n
S o m m e r f e l d ein A u s d r u c k a b g e l e i t e t , der diese beiden F o r m e l n als G r e n z f ä l l e
hält und damit ihren Z u s a m m e n h a n g und ihren G ü l t i g k e i t s b e r e i c h k l ä r t .
B
ei der theoretischen B e h a n d l u n g verschiedener F r a g e n der Astrophysik ist die Kenntnis
der Grundvorgänge der Strahlungsemission und
-absorption von Bedeutung. Zum Beispiel kommt
das Gleichgewicht der Sternatmosphären durch
das Zusammenwirken von Gravitation, Gas- und
Strahlungsdruck zustande. Z u r Berechnung des
letzteren benötigt man den Wirkungsquerschnitt
f ü r Strahlungsemission bzw. -absorption, insbesondere f ü r den Grundvorgang eines Strahlungsü b e r g a n g s im kontinuierlichen Spektrum 1 .
Neuerdings spielt derselbe atomphysikalische
P r o z e ß auch in der Theorie der kosmischen K u r z wellenstrahlung eine Rolle. Diese geht von spektroskopischen Beobachtungen aus, nach denen sich in
der Milchstraße ein interstellares Gas befindet, das
hauptsächlich aus ionisiertem Wasserstoff besteht.
* A n s c h r i f t : T ü b i n g e n , L i n s e n b e r g s t r . 40.
1 V g l . A. U n s ö 1 d , P h y s i k der S t e r n a t m o s p h ä r e n ,
mit b e s o n d e r e r B e r ü c k s i c h t i g u n g der Sonne, 1938.
des
eine
von
ent-
Beim Zusammenstoß der freien Elektronen mit
den Atomkernen m u ß sich dann derselbe Grundvorgang abspielen: Die Elektronen werden im
Feld der Atomkerne abgelenkt und gebremst, es
entsteht das k o n t i n u i e r l i c h e R ö n t g e n s p e k t r u m .
Seine Frequenzen sind nach unten hin nicht begrenzt. Bei der kosmischen Kurzwellenstrahlung
beobachtet man n u n den Frequenzbereich, der im
Gebiet der Radiowellen liegt. Z u r Berechnung der
Energie der S t r a h l u n g braucht man, neben der
Geschwindigkeitsverteilung der Elektronen, wieder den W i r k u n g s q u e r s c h n i t t f ü r Emission bzw.
Absorption 2 .
Dieser W i r k u n g s q u e r s c h n i t t ^ ist schon vor
Aufstellung der Quantentheorie von K r a m e r s 3
auf G r u n d des Korrespondenzprinzips aus der
2 L . G. H e n y e y u. P . C . K e e n a n ,
Astrophysic.
J. 91, 625 [1940]; A . U n s ö 1 d , N a t u r w i s s . 33, 37 [19461
u. 34, 184 [1947].
3 H. A . K r a m e r s , P h i l o s . Mag. J. Sei. 46, 836 [1923].
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A u s s t r a h l u n g auf klassischen Hyperbelbahnen berechnet worden. E s ergab sich
n
4
1 1 , ,
- -_ ^ 2„.
— — 9 0\>)»
3 Y'd m h c v3
C1)
£|iliro//«(1r„)if;<:'(«-r„),
(2)
m
worin
,(7o)
=
mit
2
x v Ze2
r3
1 v
2 v9 '
v9
(3)
Dabei ist v die Grenzfrequenz und v x die Ionisationsfrequenz der K-Schale, also
1
hvg=-mv2,
2 ?t2 Z2 e4 m
p
•
h vK
...
(4)
F ü r kleine W e r t e von y 0 erhält man
/B
C7o
(5)
In f = C = Eulersche Konstante.
Andererseits fand G a u n t 4
Wellenmechanik
9 —
ln
Jl
V
gegen ist der Logarithmus f ü r die Theorie der
kosmischen Kurzwellenstrahlung von Interesse.
E s ist deshalb wünschenswert, den g - F a k t o r gen a u zu kennen, d. h. zwischen (5) und (6) zu entscheiden 9 . In der wellenmechanischen Formel fehlt
unter dem Logarithmus im wesentlichen der F a k tor
Ze2
Y l ü
v vg — Kv — ß '
E r wTird im Grenzfall h — 0, in dem die wellenmechanische Formel in die klassische übergehen
müßte, gerade groß. Z u r Klärung der Frage, ob
(6) tatsächlich in höherer wellenmechanischer
N ä h e r u n g herauskommt, wurde das Problem noch
einmal aufgegriffen. Dabei braucht man n u r von
S o m m e r f e l d s A r b e i t 7 und anschließenden
Arbeiten von S o m m e r f e l d und M a u e 1 0 und
von E 1 w e r t 1 1 auszugehen.
Nach S o m m e r f e l d ist nämlich der Absorptionskoeffizient f ü r den Übergang zwischen
zwei kontinuierlichen Zuständen 1 2
später nach der
(6)
Derselbe A u s d r u c k läßt sich auch aus einer
Arbeit von O p p e n h e i m e r 5 ableiten, obwohl er
in höherer N ä h e r u n g rechnet als Gaunt. M a u e ®
hat die k o r r e s p o n d e n z m ä ß i g e u n d die wellenmechanische R e c h n u n g u n t e r Z u g r u n d e l e g u n g
von S o m m e r f e l d s 7 Arbeit über die Beugung
und Bremsung der Elektronen verglichen. E r
mußte aber bei einem G r e n z ü b e r g a n g auf eine genaue Berechnung frequenzunabhängiger F a k t o r e n
unter dem Logarithmus verzichten und fand dann
ebenfalls das Ergebnis (6). Von verschiedenen
Autoren wird teils der eine, teils der andere gf-Faktor verwendet. In der Theorie des S t e r n a u f b a u s ist
der genaue F u n k t i ö n s v e r l a u f i n f o l g e der Ungenauigkeit der astrophysikalischen Daten heute
auch noch nicht wesentlich; g k a n n in erster
Näherung als konstant betrachtet werden 8 . Hin4 I. A. G a u n t ,
Proc. Roy. Soc. [London], Ser. A,
126, 654 [1930],
s i R O p p e n h e i m e r , Z. P h y s i k 55, 725 [1929].
« A.-W. M a u e , Ann. P h y s i k 13, 161 [19321.
- A. So m
raerfeld,
Ann. P h y s i k 11, 257 [1931].
8 V g l auch die A b l e i t u n g von n in S o m m e r f e l d ,
Atombau und Spektrallinien Bd. II [1939], S. 558, bei
der durch die A r t der Näherung von dem (/-Faktor
abgesehen werden mußte.
H =
3c
N\2 I
IWcto-
(7)
N\2 enthält die Normierungsfaktoren der Wellenfunktionen, 9Ji ist das Matrixelement des Elementarprozesses, bei dem das Elektron unter Emission eines Lichtquants in eine bestimmte Richtung
wegfliegt. D a s Integral bedeutet die Summation
über die Austrittsrichtungen des Elektrons, dessen
Wellenzahlen beim Ein- und Austritt mit k1 und k2
bezeichnet sind. Die Integration läßt sich exakt
a u s f ü h r e n und ergibt 1 3
8 TO I A i 2
d
(8)
mit
n2 xl
—2 | w,|
und
F— F ( — , —n2, !,«<>)>
(9)
(10)
9 Die A n r e g u n g zu der vorliegenden Untersuchung
verdanke ich Hrn. Prof. U n s ö l d .
10 A. S o m m e r f e i d u. A.-W. M a u e , Ann. P h y s i k
23 589 [1935]
" " G E l w e r t , Ann. P h y s i k 34. 178 [1939].
" A . S o m r a e r f e l d 8 , Kap. V I , 5, Gl. (27) u . (28).
Der Einfachheit halber wird hier, wie im folgenden,
nicht auf die Originalarbeiten, sondern auf die zusammenfassende D a r s t e l l u n g des Sommerfeldschen
Buches
.
i» A. B
S eoz u
mgmgenommen.
e r f e 1 d 8, Kap. V I I , o, Gl. (3) u. (11)-
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wobei F die gewöhnliche hypergeometrische F u n k tion mit den Argumenten
aZ
Tfa
«1
aZ
n-i — -7-3- .
« P'2
4LL
= — 77
7-»=(kx — £2)2 (11)
ist. D a nach dem Energiesatz
2 =
x02 U 6
4 m4 h2 v4
I»! — W g | < l
Ä 1'
(12)
(21)
vorausgesetzt wird. Da aber u n t e r Verwendung
von V o r a u s s e t z u n g I
«i — n2=-n1-
2 m
(22)
i/ a (v/v p ),
so lautet diese
Voraussetzung II:
ist, k a n n man auch schreiben
A\* =
Eine wesentliche Vereinfachung wird erzielt,
wenn noch
Vi ( v / V I
2 JT n,
(13)
1< 1
oder
i/ a (v/v^)
< 1 . (23)
P
Sie ist identisch mit der Kramersschen Bedingung
F ü r den F a k t o r j JVI2 erhält man 1 4
\ N \
2
Vo<l.
Z2e4
=
2 nh*k2
1
'
Man erhält n u n f ü r das Integral (8) mit (13),
(18) u n d (19)
(14)
Die Variable
ist eine F u n k t i o n des Wellenzahlverhältnisses k2/k1; dieses hängt n u r von der
auf die Grenzfrequenz v^ bezogenen F r e q u e n z v
ab. Nach (12) ist
,
V/Vg - 1 — (Ar2/^)2 oder
= / l — ( v / ^ ) . (15)
,
,.
,
ist n u n die emittierte bzw. absorbierte F r e q u e n z v
klein gegenüber der Grenzfrequenz
, d. h. gilt die
(16)
V o r a u s s e t z u n g I: v/2 vg < 1 ,
ajti2«*»-
n4
(1 — e - ^ i - ' O C i - e - ^ l « . ! )
jWl __
„
(2n)'2m4vi
— w21 cos2 (p/2).
• {sin <p — |
(24)
Indem man diesen A
d ir uui^is.
c k in
^ «u "s u
i n (7) einsetzt,
einsetzt,, (14)
verwendet und wieder von der V o r a u s s e t z u n g I I
Gebrauch macht, erhält man die Formel f ü r den
Wirkungsquerschnitt
2 ji
3c
fi
Z2e6
m2 h
1 1
so erhält man
• {sin cp — \nt — n2j cos2 <p/2j.
x
2
o = — (4 vg/v) ,
(17)
wobei
E s handelt sich jetzt n u r noch u m die Bestimmung
von qp. H i e r z u braucht man das Argument der TFunktion
|«ö| > 1 •
D a n n ergibt sich nach E l w e r t 1 1 [Gl. (21) ]
arg l\nx
— n2) = arg r ( i \ t h _
n . 2 \),
wobei I W j - ^ l < 1 ist. E s gilt n u n 1 5
dxo
XQ
("1—n2f]
e~i(p I
— Re
nx «2
(18)
arg (
V + %2
*
+
e
J ,
1
XQ
mit tg on= yjn < 1 und C = Eulersche Konstante.
mit
IG12 = —
—
Sin ]nx \ n Sin \ n%\7i
n\—
w2
Sin|w! — n2\ n
Es
1
ergibt
gich
gomit
>
und
a r g r ( w i —w 2 ) = — | W l _ W a | C — — .
cp — _ l n (—a;0) \n1—n2\ — 2 arg
14
,
1
K)
1
"2)
(~n2)
(20)
Andererseits ist unter V o r a u s s e t z u n g I I
A. S o m m e r f e l d 8 , Kap. VII, 8, Gl. (17). Die
Normierungsfaktoren müssen aber streng v e r w e n d e t
11, y, (Ö2J zurückgeht,
F
°rmeln
VI
' 5'
(5b)
Imd
(26)
= f ( % ) l \ ~ » 1 ) [1 +
15
Vgl. z.B. J a h n k e - E m d e ,
1933- D i e
F o r m e l
l u n g der T-Funktion.
direkt
<™s
n2) v(—Wl)]
,
Funktionentafeln
Produktdarstel-'
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wobei
v
W
F ü r den Absorptionskoeffizienten erhält man also
den Ausdruck
F (x)
TiTi''
{
'
=
also
/x = —
4 Z2 e6 1 1 (
v
}
—^
5- In f-C + ÄevC»!«!!)},
v 1
3 m2 Ii c v 1>3 { 4 v
'J
(32)
argr(wi) r ( — w 2 )=arg {l — j% — ns | Jm v (»' l%|)
und f ü r den p-Faktor
+ »|»i — n2\Re v(»|»il)} • ( 2 7 )
Den Real- und Imaginärteil der ^-Funktion rein
imaginären Arguments kann man leicht aus der
Produktdarstellung der T-Funktion entnehmen.
Differenziert man
9" = ~
~ {in
T^+Ilnin'
y
,,, (~\ — _ C — — 4- V
n i
a Z
, ,
^ i
TTT
Voraussetzung I I I : 1 ^x I = —^—
^
\
) =
-C
+
]r
n=i
(33b)
die korrespondenzmäßig-klassische Formel von
Kramers als Grenzfälle. E s ist nämlich unter der
weiteren
,
n=1
i\
+ ln^]-
Diese Formel enthält nun die bisherige wellenmechanische Formel nach Gaunt und Maue und
00
e v {
(33 a)
»=i
. ,
,..u
logarithmisch, so erhalt man
R
1 % ])}.
Verwendet man (28 a), so kann man auch schreiben
_
oo
^
1
C ^ n + z _z/n
— z e Ii
e
r(z)
i
n
woraus folgt:
+ C+ Ä^
(28»)
y-g
-
9—
oo
1
-^-i
||«!|
nx|
l»,l)=-j^j+2j^+|n1|
n= 1
~4~vg
..
iIn
n diesem
diesem uGrenzfall
r e n z i a i i Kann
kann tue
die Voraussetzung
v oraussewung II^
s
Jmy(i
'
wegfallen, da sie aus I und I I I folgt. Die Formel
(6) von Gaunt und Maue gilt also bei kleinen
Damit ergibt sich zunächst, daß
Kernladungen und großen Geschwindigkeiten, sofern sie im Gültigkeitsgebiet der nichtrelativisti— «21 J m W (* I % i)
sehen Rechnung liegen.
^
Die klassische Formel muß f ü r große Werte von
v
IV
1*11 . ^
a Z / ß herauskommen. Aus dem asymptotischen
=
~2 ^g + 'Ux ~~ 1
n2 + | nx | 2
' Verhalten der T - Funktion entnimmt man, daß
dann gilt:
nach Voraussetzung I und II. Also wird in unserer
w (i \ % |) = In i | w, |,
Näherung
also
/OQVk
(
}
jWil) = ln |«ij .
Rey(i
argr(«i)P(—m 2 ) = \nx — n2\ i 2 e v ( » | » i | ) » (29)
Somit ergibt sich aus (33 a) unter der weiteren
und mit (17), (26) und (29)
Voraussetzung IV:
"
1
4
'
'
(30)
v, =
•>
i«i! =
_OL1„(
JT
'
\ 4 V
> 1 ?
C-ü^),
-
ß
I
Nach Voraussetzung II wird nun
sin®— n i — « o cos-Tr
2
I
-
- 2 l » i - » . 1 In _
"
(31)
,
, „
,.,1x1
+ C + Ä « V (. I«11)} •
wobei ln £ = C.
In diesem Fall wird Voraussetzung I überflüs—.. .
gig,
schärfere Einschränkung
g, da II und IV eine sc]
fi dü r v/v
v/v, ergeben als I. Die klassische Formel gilt
a l g o u J t e r d e r Bedingung
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1
v
aZ
von Kramers,wenn noch—— > 1 vorausgesetzt wird.
Mauesche Formel, sondern die klassische zu verwenden. Hierauf wird in einer Berichtigung zu
Unsölds Arbeiten über die Theorie der Radiofrequenzstrahlung 1 6 n ä h e r eingegangen.
Z u r Darstellung des F u n k t i o n s v e r l a u f s von g"
in Abhängigkeit von a Z / ß spalten wir (33) auf in
1 / 3
f
1
wobei
v
)
9
'
<P(|«i|) = <P (-—-) - C + R 6 y> (i |%|)
(35)
_ V^
1»! I 2
« (W2 -j- j % I 2)
Man kann leicht einige W e r t e von $ berechnen
und erhält dann die in Abb. 1 wiedergegebene
Kurve. Zum Vergleich ist die entsprechende klassische Kurve
,
^
,
«Z
«I»' = C + In ——
p
mit eingezeichnet. Man erkennt beispielsweise, daß
die klassische Formel noch bis zu ziemlich kleinen Werten von a Z / ß praktisch gültig ist; die
Abweichungen sind f ü r a Z / ß = l noch kaum
merklich. Dieser W e r t entspricht etwa der Strahlung der Milchstraße. Man hat bei ihrer Berechnung also konsequenterweise nicht die Gaunt-
gestrichelte K u r v e
= In a Z / ß + C.
D i e v o r s t e h e n d e n R e c h n u n g e n sind im A n s c h l u ß an
G e h e i m r a t S o m m e r f e l d s A r b e i t e n über das kontinuierliche R ö n t g e n s p e k t r u m entstanden. D e r V e r f . erlaubt sich daher, sie seinem v e r e h r t e n L e h r e r in dankb a r e r E r i n n e r u n g an seine Münchener S t u d i e n z e i t zum
80. G e b u r t s t a g e z u widmen.
16 G. B u r k h a r d t , G . E h v e r t
Z. A s t r o p h y s i k , im E r s c h e i n e n .
u. A . U n s ö 1 d ,
Die Innentemperaturen der überdichten Zwerge und das Auftreten
von Bose-Entartung
Von
LUDWIG
BIERMANN
A u s dem M a x - P l a n c k - I n s t i t u t f ü r P h y s i k , G ö t t i n g e n
(Z. Naturforschg. 3 a, 481—485 [1948]; eingegangen am 4. August 1948)
D i e T e m p e r a t u r des Inneren der überdichten S t e r n e u n t e r h a l b der H a u p t r e i h e im
F a r b e n h e l l i g k e i t s d i a g r a m m w i r d mit den Mitteln der T h e o r i e des S t e r n a u f b a u s u n t e r sucht. F ü r die S t e r n e sehr g e r i n g e r L e u c h t k r a f t ( < 10— 1 d e r j e n i g e n der Sonne) finden
sich W e r t e u m 1 Million Grad. Im V e r e i n mit der ü b e r a u s hohen D i c h t e b e w i r k t dies Enta r t u n g (im Sinne der statistischen Mechanik) nicht nur der f r e i e n E l e k t r o n e n , sondern
auch der l e i c h t e s t e n A t o m k e r n e .
B
is vor etwa zehn J a h r e n waren n u r wenige
überdichte Sterne bekannt, die damals als
„weiße Zwerge" bezeichnet wurden, da sämtliche
untersuchten Exemplare eine Oberflächentemperat u r von etwa 8000° oder mehr aufwiesen. Inzwischen 1 hat man aber unter den Sternen großer
Eigenbewegung eine größere A n z a h l absolut sehr
lichtschwacher Sterne aller F a r b e n gefunden, so
daß die f r ü h e r e Bezeichnung offenbar nicht mehr
anwendbar ist. D a i h r wesentliches Charakteristi1 S. B e r i c h t in der H i m m e l s w e l t 55, 80 [1947] (nach
L u y t e n , Monthly A s t r o n o m . N e w s l e t t e r s 3 1 ) .
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