Light-Cone Expansion of the Dirac Sea with Light Cone Integrals

arXiv:funct-an/9707003v1 13 Jul 1997
Light-Cone Expansion of the Dirac Sea with Light Cone
Integrals
Felix Finster
July 1997
Abstract
The Dirac sea is calculated in an expansion around the light cone. The method is to
analyze the perturbation expansion for the Dirac sea in position space. This leads to
integrals over expressions containing distributions which are singular on the light cone.
We derive asymptotic formulas for these “light cone integrals” in terms of line integrals
over the external potential and its partial derivatives.
The calculations are based on the perturbation expansion for the Dirac sea in the
preprint gr-qc/9606040 and yield the formulas listed in the appendix of this preprint.
The results can be obtained easier with a combination of calculations in position and
momentum space (see the corresponding preprints on the hep-th server). Therefore the
calculations are preliminary and will remain unpublished; they are intended as reference
for people who encounter similar mathematical problems.
Contents
0.1
Einige vorbereitende Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Störungsrechnung für k0 im Ortsraum
A.1 Lichtkegelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Einige Bezeichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Störungsrechnung für das elektromagnetische Feld
A.4 Störungsrechnung für das Gravitationsfeld . . . . .
A.5 Skalare Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Bilineare Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7 Differentialstörung durch Vektorpotential . . . . .
A.8 Bilineare Differentialstörung durch Vektorpotential
3
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5
6
23
26
32
38
39
41
42
B Störungsrechnung für km im Ortsraum
B.1 Innere Lichtkegelintegrale . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Störungsrechnung für das elektromagnetische Feld .
B.3 Störungsrechnung für das Gravitationsfeld . . . . . .
B.4 Axiale Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.5 Skalare Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.6 Pseudoskalare Störung . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.7 Bilineare Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.8 Differentialstörung durch Vektorpotential . . . . . .
B.9 Differentialstörung durch axiales Potential . . . . . .
B.10 Bilineare Differentialstörung durch Vektorpotential .
B.11 Bilineare Differentialstörung durch axiales Potential
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63
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69
70
72
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79
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112
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. 121
C Störungsrechnung für p0 im Ortsraum
C.1 Verallgemeinerte Lichtkegelintegrale . . . . . . . .
C.2 Störungsrechnung für das elektromagnetische Feld
C.3 Störungsrechnung für das Gravitationsfeld . . . . .
C.4 Skalare Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.5 Bilineare Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.6 Differentialstörung durch Vektorpotential . . . . .
C.7 Bilineare Differentialstörung durch Vektorpotential
D Störungsrechnung für pm im Ortsraum
D.1 Störungsrechnung für das elektromagnetische Feld
D.2 Störungsrechnung für das Gravitationsfeld . . . . .
D.3 Axiale Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.4 Skalare Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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D.5 Pseudoskalare Störung . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.6 Bilineare Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.7 Differentialstörung durch Vektorpotential . . . . . .
D.8 Differentialstörung durch axiales Potential . . . . . .
D.9 Bilineare Differentialstörung durch Vektorpotential .
D.10 Bilineare Differentialstörung durch axiales Potential
E Störungsrechnung höherer Ordnung
E.1 Eichterme/Pseudoeichterme . . . . . . . . . . . .
E.1.1 Kommutative Eichpotentiale . . . . . . .
E.1.2 Nichtabelsche Eichpotentiale . . . . . . .
E.1.3 Störungsrechnung mit Massenasymmetrie
E.1.4 Zusätzliche freie Asymmetrie von P . . .
E.1.5 Zusätzliche skalare/pseudoskalare Störung
E.2 Massenterme ∼ m2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2.1 Störungsrechnung mit Massenasymmetrie
E.2.2 Zusätzliche skalare/pseudoskalare Störung
Referenzen
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. 147
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. 156
. 156
. 160
162
2
0.1
Einige vorbereitende Formeln
In dieser Arbeit werden die Bezeichungen von [3] verwendet. Dort werden die hier aufgelisteten Formeln auch genauer abgeleitet und erklärt.
Die Distributionen
Z
d4 k
δ(k2 − m2 ) e−ikx
(2π)4
√

2 Y ( m 2 x2 )
m

1


√
für x2 > 0

2 x2
8π 2
m
√
=

m2 K1 ( −m2 x2 )



√
für x2 < 0
4π 3
−m2 x2
Z
d4 k
Km2 (x) =
δ(k2 − m2 ) ǫ(k0 ) e−ikx
(2π)4
√
im2 J1 ( m2 x2 )
i
2
0
√
Θ(x2 ) ǫ(x0 )
= − 2 δ(x ) ǫ(x ) +
4π
8π 2
m 2 x2
Pm2 (x) =
(1)
(2)
(3)
sind Lösungen der Klein-Gordon Gleichung. Wir verwenden die Greensfunktion
Z
1 X
1
d4 k
e−ikx
4
2
2 ±
(2π) k − m2 ± iεk0
√
m2 J1 ( m2 x2 )
1
2
√
Θ(x2 )
δ(x ) +
= −
4π
8π
m 2 x2
Sm2 (x) =
.
(4)
Für den Diracoperator (i∂/ − m) erhält man die entsprechenden Größen durch Differentiation,
|m|
(i∂/ + m) Pm2 (x)
m
|m|
km (x) =
(i∂/ + m) Km2 (x)
m
.
sm (x) = (i∂/ + m) Sm2 (x)
(5)
pm (x) =
(6)
(7)
Die Störungsrechnung wird für den Diracoperator
i∂/ + B
(8)
durchgeführt. In erster Ordnung erhält man für die Eigenräume p̃m , k̃m des Diracoperators
p̃m = pm − pm B sm − sm B pm + O(B 2 )
2
k̃m = km − km B sm − sm B km + O(B )
(9)
.
(10)
Für die Störungsrechnung höherer Ordnung braucht man die avancierte und retardierte
Greensfunktion
s∨
m = sm + iπ km
s∧
m
= sm − iπ km
(11)
.
(12)
Die formale Störungsrechnung kann mit der unitären Transformation
U =
Z
dm
IR∪iIR
∞
X
l=0
3
(−sm B)l pm
(13)
durchgeführt werden. Allerdings treten bei dieser Störungsrechnung nichtlokale Linienintegrale auf; um sie zu vermeiden, muss man mit der nichtunitären Störtransformation
V
Z
=
dm
IR∪iIR
∞
X
X
(−1)l
l=0
Q ∈ P(l),
#Q gerade
(#Q − 1)!!
(iπ)#Q
#Q/2
(#Q/2)! · 2
× Cm (Q, 1) B Cm (Q, 2) · · · Cm (Q, l − 1) B Cm (Q, l) B pm
(14)
arbeiten, dabei ist
Cm (Q, n) =
(
km falls n ∈ Q
sm falls n 6∈ Q
Q ⊂ IN
,
.
(Zur Vollständigkeit sei erwähnt, dass in der Arbeit hep-th/9705006 eine etwas andere
Störtransformation verwendet wird. Für die Rechnungen in dieser Arbeit spielt dieser
Unterschied aber keine Rolle, weil die Störungsrechnung direkt mit (13) durchgeführt
wird.) Die gestörten Eigenräume sind dann durch
p̃m = V pm V ∗
(15)
∗
(16)
k̃m = V km V
definiert. Für die gestörten Greensfunktionen hat man
s̃∨
m =
∞
X
k=0
−s∨
mB
k
s∨
m ,
s̃∧
m =
∞
X
k=0
−s∧
mB
k
s∧
m
.
(17)
Der Eigenraum k̃m läßt sich auch direkt mit den gestörten Greensfunktionen ausdrücken,
k̃m =
1
∧
s̃∨
m − s̃m
2πi
.
(18)
Schließlich hat k̃ auch die explizitere Form
V km V
∗
=
∞
X
l1 ,l2 =0
l1 +l2
(−1)
X
Q1 ∈ P(l1 ),
#Q1 gerade
X
#Q1 +#Q2
(iπ)
Q2 ∈ P(l2 ),
#Q2 gerade
#Q1
c
2
× Cm (Q1 , 1) B · · · B Cm (Q1 , l1 ) B km B Cm (Q2 , 1) B · · · B Cm (Q2 , l2 )
4
#Q2
c
2
.
(19)
Appendix A
Störungsrechnung für k0 im
Ortsraum
In diesem Kapitel werden wir die Distribution k̃0 für verschiedene Störungen des Diracoperators perturbativ in erster Ordnung berechnen.
Die Distribution k̃m ist in erster Ordnung durch (10) gegeben, dabei ist B die Störung
des Diracoperators (8). Im Impulsraum können wir diese Gleichung mit Hilfe von (6), (7)
direkt auswerten
k̃m (p, q) =
|m|
(p/ + m) δ(p2 − m2 )ǫ(p0 ) δ4 (p − q)
m
1
|m|
(p/ + m) δ(p2 − m2 ) ǫ(p0 ) Bp,q
−λ
m
q/ − m
1
2
2
0
Bp,q (q/ + m) δ(q − m ) ǫ(q )
+
p/ − m
.
(A.1)
Das ist für unsere Zwecke aber nicht ausreichend, wir müssen eine explizite Formel für k̃m
im Ortsraum ableiten. Dazu könnten wir die Fouriertransformation von (A.1) berechnen,
was aber recht aufwendig und schwierig ist. Etwas bequemer ist es, die Störungsrechnung
direkt im Ortsraum durchzuführen. Darum wollen wir diesen Rechenweg wählen.
Nach (3), (4) und (6), (7) haben wir im Spezialfall m = 0
K0 (x) =
=
S0 (x) =
=
(k0 Bs0 + s0 Bk0 )(x, y) =
Z
d4 k
δ(k2 ) ǫ(k0 ) e−ikx
(2π)4
i
− 2 δ(x2 ) ǫ(x0 )
4π
Z
d4 k 1 −ikx
e
(2π)4 k2
1
δ(x2 )
−
4π
(i∂/x ) (K0 BS0 + S0 BK0 )(x, y) (i∂/y )
(A.2)
(A.3)
.
(A.4)
Damit treten Ausdrücke der Form
(K0 BS0 + S0 BK0 )(x, y)
5
(A.5)
sowie Ableitungen von (A.5) nach x und y auf. Ist B eine Funktion, so muß in (A.5) ein
Integral über den Schnitt der Lichtkegel um die Punkte x und y ausgewertet werden:
i
16π 3
(K0 f S0 + S0 f K0 )(x, y) =
Z
d4 z δ((x − z)2 ) δ((z − y)2 )
f (z) ǫ(x0 − z 0 ) + ǫ(z 0 − y 0 )
Zur technischen Vorbereitung werden wir zunächst solche sogenannten Lichtkegelintegrale
untersuchen:
A.1
Lichtkegelintegrale
In diesem Abschnitt gehen wir recht “elementar” vor, berechnen also vieles explizit in
speziellen Koordinatensytemen. Das ist aus mathematischer Sicht sicher nicht der eleganteste Zugang, wir kommen so aber direkter ans Ziel. Für eine systematische Behandlung
von Randwertproblemen der Wellengleichung siehe [1].
Wir bezeichnen im folgenden den Minkowski-Raum mit M und den Rand bzw. das
Inneren und Äußere des Lichtkegels mit
L = {y ∈ M | <y, y> = 0}
ℑ = {y ∈ M | <y, y> > 0}
ℜ = {y ∈ M | <y, y> < 0}
.
Für den oberen und unteren Lichtkegel verwenden wir die Schreibweise
L∨ = y ∈ L | y 0 > 0 ℑ∨ = y ∈ ℑ | y 0 > 0
L∧ = y ∈ L | y 0 < 0 ℑ∧ = y ∈ ℑ | y 0 < 0
,
,
.
Def. A.1.1 Definiere die gemäßigten Distributionen l∨ und l∧ durch
l∨ (y) = δ(y 2 ) Θ(y 0 )
l∧ (y) = δ(y 2 ) Θ(−y 0 )
.
Wir wollen das Lichtkegelintegral einer Funktion f als das Integral von f über den
Schnitt des nach oben geöffneten Lichtkegels um den Ursprung mit dem nach unten
geöffneten Lichtkegel um y eingeführen, also in symbolischer Schreibweise
Z
( 3 f )(y) =
Z
d4 z l∧ (z − y) l∨ (z) f (z)
.
R
Da zunächst nicht klar ist, ob dieses Integral punktweise existiert, soll 3 f als Distribution
definiert werden.
Für f ∈ Cc∞ (M ) ist l∨ f eine Distribution mit kompaktem Träger, und wir können
Z
3 f = l∨ ∗ (f l∨ )
(A.6)
setzen1 .
1
Die Faltung einer Distribution a mit einer Distribution b, die kompakten Träger besitzt, ist definiert
durch
(a ∗ b)(g) = a(b̂ ∗ g) ,
g ∈ Cc∞ (M ) ,
wobei b̂(x) = b(−x). Diese Definition ist sinnvoll, weil b̂ ∗ g ∈ Cc∞ (M ) ist.
6
Falls f keinen kompakten Träger besitzt, müssen wir eine etwas andere Definition
verwenden: Wähle eine Funktion η ∈ Cc∞ (IR) mit
0≤η≤1
η|[−0.5,0.5] = 1
supp η ⊂ [−1, 1]
,
(A.7)
und setze (für beliebiges ε > 0)
t−r
)
ε
ηε (x) = η(
.
(A.8)
Für g ∈ Cc∞ (M ) ist die Funktion
h(z) = (fˆˆ
l∨ ) ∗ g(z)
=
Z
d4 y f (y − z) l∨ (y − z) g(y)
∈ C ∞ (M )
im Halbraum t ≥ 0 lediglich auf einer beschränkten
Menge von Null verschieden. Daher
R
besitzt h ηε kompakten Träger, und man kann 3 f durch
Z
( 3 f )(g) = l∨ (h ηε )
sinnvoll definieren. Beachte, daß diese Definition für f ∈ Cc∞ (M ) mit (A.6) übereinstimmt.
In diesem Fall ist nämlich der Träger von h kompakt, aus supp l∨ = L∨ und ηε|L∨ ≡ 1
folgt
l∨ (ηε h) = l∨ (h) = l∨ ∗ (f l∨ ) (g)
.
Als abkürzende Schreibweise verwenden wir (A.6) auch für allgemeines f ∈ C ∞ (M ).
Def. A.1.2 Für f ∈ C ∞ (M ) heißt die Distribution
Z
( 3 f )(y) = l∨ ∗ (f l∨ )(y)
(A.9)
das Lichtkegelintegral von f .
R
Satz A.1.3 3 f ist eine Funktion, die außerhalb von ℑ∨ verschwindet. Auf ℑ∨ ist
glatt und harmonisch,
Z
für y ∈ ℑ∨ .
2y (3 f )(y) = 0
Für z ∈ L∨ gilt
Z
π
2
lim ( 3 f )(y) =
∨
ℑ ∋y→z
R
Z
R
3f
1
f (αz) dα
.
(A.10)
0
Das Verhalten von 3 f kann also in der Nähe des Lichtkegels durch ein Linienintegral
beschrieben werden.
Beweis: Für g ∈ Cc∞ (M ) hat man nach Definition von
Z
( 3 f )(g) =
=
Z
Z
d4 z l∨ (z)
d4 z l∨ (z)
Z
Z
7
R
3
f:
d4 y l∨ (y − z) f (y − z) g(y)
(A.11)
d4 y l∨ (y) f (y) g(y + z)
(A.12)
In (A.12) geht nur der Funktionswert g(y
+ z) mit y, z ∈ L∨ ein. Aus y, z ∈ L∨ folgt
R
(y + z) ∈ ℑ∨ ∪ L∨ , daher verschwindet 3 f außerhalb von ℑ∨ ∪ L∨ .
Sei nun supp g ⊂ ℑ∨ . In (A.11) kann das Integral über z für festes y ∈ supp g
ausgeführt werden, es führt auf das Integral von f über ein zweidimensionales Ellipsoid2 .
Da dieses Integral gleichmäßig in y beschränkt ist, kann man die y- und z-Integration
vertauschen:
Z
Z
Z
( 3 f )(g) =
d4 z ( 3 f )(y) g(y)
mit
Z
Z
( 3 f )(y) =
d4 z l∧ (z − y) l∨ (z) f (z)
Z
=
R
d4 z δ((z − y)2 ) δ(z 2 ) f (z)
(A.14)
.
Also ist die Distribution 3 f auf ℑ∨ eine Funktion.
Da das Ellipsoid,
über das in (A.14) integriert werden muß, differenzierbar von y
R
abhängt, ist 3 f auf ℑ∨ glatt.
Es bleibt noch zu zeigen:
1.
R
3
f ist auf ℑ∨ eine harmonische Funktion:
Beachte zunächst, daß
2l∨ (y) = 2l∧ (y) = 2πδ4 (y)
im Distributionssinne
.
Wähle g ∈ Cc∞ (ℑ∨ ). Es gilt
Z
( 3 f )(2g) = (l∨ ∗ f l∨ )(2g) = (f l∨ ∗ l∨ )(2g)
Z
=
d4 z l∨ (z) f (z)
= 2π
= 2π
Z
Z
4
∨
Z
d4 y l∧ (z − y) (2g(y))
d z l (z) f (z)
Z
d4 y δ4 (z − y) g(y)
d4 y l∨ (y) f (y) g(y) = 0
,
(A.15)
da g auf dem Träger von l∨ verschwindet.
2
R
R
Weil (3 f ) auf ℑ∨ glatt ist, folgt 2(3 f )(y) = 0 punktweise.
Um die Normierungsfaktoren zu bestimmen, kann man den Fall y 0 = t0 , y α = 0 betrachten:
Z
( 3 f )(y)
:=
=
=
Z
Z
Z
d4 z l∨ (y − z) l∨ (z) f (z)
d4 z δ((y − z)2 ) δ(z 2 ) Θ(y 0 − z 0 ) Θ(z 0 ) f (z)
∞
−∞
dt
Z
∞
r 2 dr
Z
dω δ((t0 − t)2 − r 2 ) δ(t2 − r 2 ) Θ(t0 − t) Θ(t) f (t, r, ω)
,
S2
0
wobei ω die üblichen Winkelkoordinaten (ϑ, ϕ) bezeichnet.
=
Z
∞
dt
−∞
=
1
8
Z
S2
Z
dω
S2
dω f (
|t|
δ(−2t0 t + t20 ) f (t, |t|, ω)
2
t0 |t0 |
,
, ω)
2 2
R
Die Normierung wurde also so gewählt, daß (31)(y) = π/2 für y ∈ ℑ∨ .
8
(A.13)
2. Es gilt
Z
Z
π 1
f (αv)dα
:
ℑ ∋y→v
2 0
Diese Gleichung kann man anschaulich leicht einsehen: Nähert sich y dem Lichtkegel
an, so wird das Ellipsoid, über das in (A.14) integriert werden muß, immer schmaler,
so daß (A.14) immer besser durch ein Linienintegral approximiert werden kann. Für
den Beweis müssen wir die Differenz zwischen dem Lichtkegel- und dem Linienintegral geeignet abschätzen.
lim ( 3 f )(y) =
∨
Sei v ∈ L∨ , erweitere v zu einer Basis (v, w, a, b) von M mit
<a, a> = <b, b> = −1
<v, w> = 1
,
alle anderen Skalarprodukte zwischen den Basisvektoren sollen verschwinden.
Wähle für z ∈ ℑ∨ die Basisdarstellung
z = µv + α1 w + α2 a + α3 b
.
(A.16)
Im folgenden bezeichnen µ, αj stets die Komponenten von z in dieser Basis. Definiere
die Funktion f˜ durch
f˜(z) = f (µv)
.
Gehe nun in zwei Schritten vor:
Z
π
(a) ∨lim ( 3 f˜)(y) =
ℑ ∋y→v
2
Für y ∈ ℑ∨ gilt:
Z
( 3 f˜)(y) =
=
Z
Z
Z
1
f (αv)dα
d4 z δ((y − z)2 ) δ(z 2 ) f˜(z)
∞
dµ f (µv)
−∞
∞
=
Z
dλ f (λv)
−∞
∞
=
Z
dλ f (λv)
−∞
∞
=
:
0
Z
Z
Z
∞
dα1
−∞
Z
Z
∞
−∞
dα2
Z
∞
−∞
dα3 δ((y − z)2 ) δ(z 2 )
4
d z δ(µ − λ) δ((y − z)2 ) δ(z 2 )
d4 z δ(<z, w> − λ) δ((y − z)2 ) δ(z 2 )
dλ f (<y, w>λv)
−∞
Z
d4 z δ
<z, w>
−λ
<y, w>
δ((y − z)2 ) δ(y 2 )
Wir wenden Lemma A.1.4 an, daß im Anschluß an diesen Satz bewiesen wird.
=
π
2
Z
1
f (<y, w>αv) dα
0
Im Grenzfall y → v hat man <y, w> → 1 und somit
Z
π
( 3 f )(y) →
2
(b)
lim
∨
ℑ ∋y→v
Z
3 |f − f˜|
= 0
Z
1
f (αv) dα
.
0
:
Sei ε > 0 vorgegeben, y ∈ ℑ∨ . Es gibt es ein δ > 0, so daß
|f (µv + α1 w + α2 a + α3 b) − f (µv)| <
9
2ε
π
,
(A.17)
falls |µ| < 2, |α1 |, α22 , α23 < δ. Wir wollen nun in der Gleichung
Z
3 |f − f˜| (y) =
Z
d4 z δ((y − z)2 ) δ(z 2 ) |f (z) − f˜(z)|
(A.18)
die Differenz |f (z) − f˜(z)| abschätzen.
In (A.18) geht nur der Funktionswert von f − f˜ an den Punkten z mit
z2 = 0
(y − z)2 = 0
(A.19)
ein. In einer Basisdarstellung von z, y in der Form (A.16) bzw.
y = τ v + β1 w + β2 a + β3 b
(A.20)
haben die Bedingungen (A.19) die Form
2µα1 − α22 − α23 = 0
2
2
2(τ − µ)(β1 − α1 ) − (β2 − α2 ) − (β3 − α3 )
= 0
(A.21)
.
(A.22)
Da wir den Grenzfall y → v betrachten wollen, kann man
1
<τ <2
2
(A.23)
annehmen.
Aus (A.21), (A.22) und (A.23) folgt 0 ≤ µ ≤ τ , α1 ≥ 0. Dies ist auch direkt einsichtig, weil sich die Lichtkegel nur in dem Bereich zwischen den NullHyperebenen µ = 0, µ = τ schneiden.
Auflösen von (A.21) nach α1 und Einsetzen in (A.22) liefert
2(τ − µ)β1 −
τ 2
(α + α23 ) − β22 + 2β2 α2 − β32 + 2β3 α3 = 0
µ 2
Mit Hilfe der Ungleichung
2βj αj ≤
2µ 2
τ 2
βj +
α
τ
2µ j
, j = 1, 2
erhält man
2µ
τ
(α22 + α23 ) +
− 1 (β22 + β32 )
2µ
τ
1 2
(α + α23 )
≤ 4(β1 + β22 + β32 ) −
4µ 2
1
≤ 4(β1 + β22 + β32 ) − (α22 + α23 )
8
0 ≤ 2(τ − µ)β1 −
und nach Einsetzen in (A.21)
α1 ≤ 8(β1 + β22 + β32 )
.
Wählt man y so dicht an v, daß in der Basisdarstellung (A.20)
β1 , β22 , β32 <
10
δ
32
,
(A.24)
so folgt also
|α1 |, α22 , α23 < δ
.
Nun kann man (A.18) unter Verwendung von (A.17) weiter abschätzen:
Z
3 |f − f˜| (y) ≤
3.
R
Z
2ε
( 3 1)(y) = ε
π
f ist eine Funktion:
Definiere die Funktion h durch
3
( R
(3 f )(y) für y ∈ ℑ∨
0
sonst
h(y) =
R
Offensichtlich
stimmen 3 f und h auf M \ L∨ überein. Wir wollen zeigen, daß sogar
R
3 f = h im Distributionssinne.
Sei dazu g ∈ Cc∞ (M ) vorgegeben. Da h auf ℑ∨ glatt und auf L∨ lokal beschränkt
ist, ist das Integral
Z
h(z) g(z) d4 z
wohldefiniert und endlich. Wähle ηε wie in (A.8) mit ε > 0. In einer Umgebung von
L∨ ist ηε ≡ 1. Daher gilt:
Z
( 3 f )(g) −
Z
Z
hg = ( 3 f )(gηε ) −
Wegen
lim
ε→0
genügt es zu zeigen, daß
R
denn dann folgt (3 f )(g) =
tung.
R
Z
Z
h(gηε )
h(gηǫ ) = 0
Z
( 3 f )(ηε g) → 0
,
hg für beliebiges g ∈ Cc∞ (M ) und somit die Behaup-
Forme dazu (A.12) weiter um:
Z
( 3 f )(ηε g) =
Z
d3 ~z
2|~z |
Z
d3 ~y
f (y) (ηε g)(y + z)
2|~y |
mit y = (|~y |, ~y ), z = (|~z |, ~z).
Da g kompakten Träger besitzt, gibt es R > 0 (unabhängig von ε), so daß
Z
Z
( 3 f )(ηε g) ≤
BR (0)
3
d ~z
Z
d3 ~y
BR (0)
1
|f (y) (ηε g)(y + z)|
4 |~z | |~y |
.
Da die einzelnen Integrale über y, z fast überall existieren und bezüglich der jeweils
anderen Variablen integrierbar sind, erhält man nach dem Satz von Fubini
=
Z
BR (0)×BR (0)
d3 ~y d3 ~z
1
|f (y) (ηε g)(y + z)|
4 |~z | |~y |
11
.
Im Grenzfall ε → 0 hat man (ηε g) → 0 auf IR6 \ {(~y , ~z) | y = λz, λ ∈ IR}, also
(ηε g) → 0 fast überall.
Nach Lebesgues monotonem Konvergenzsatz folgt
lim
ε→0
Z
1
|f (y) (ηε g)(y + z)| = 0
4 |~z| |~y |
d3 ~y d3 ~z
BR (0)×BR (0)
,
was den Beweis abschließt.
2
Es bleibt noch das folgende kleine Lemma nachzutragen:
Lemma A.1.4 Sei y ∈ ℑ∨ und w ∈ L∨ . Dann ist für die Distribution
<z, w>
−λ
f (z) = δ
<y, w>
der Ausdruck
R
3f
sinnvoll definiert, und es gilt
(
Z
( 3 f )(y) =
π
2
für 0 < λ < 1
für λ < 0 ∨ λ > 1
0
.
(A.25)
Gleichung (A.25) ist das Integral über den Schnitt der Lichtkegel um die Punkte 0, y mit
der Null-Hyperebene <z, w> = λ <y, w>.
Beweis: Wähle ein Bezugssystem3 , so daß y 0 = t, y α = 0, w0 = w1 = w, w2 = w3 = 0.
Nach (A.13) gilt:
Z
<z, w>
−λ
3δ
<y, w>
1
8
=
|y
Z
<z, w>
dω δ
−λ
<y, w>
S2
Z
Z
2π
1
1 1
dϕ δ
d cos ϑ
(1 − cos ϑ) − λ
8 −1
2
0
Z
π 1
d cos ϑ δ(1 − 2λ − cos ϑ)
2 −1
=
=
Hieraus folgt unmittelbar die Behauptung.
Die Funktion
R
3
2
f kann nach ihrer Definitionsgleichung
Z
( 3 f )(g) =
Z
Z
d4 y ( 3 f )(y) g(y)
, g ∈ Cc∞ (M )
R
auf einer Nullmenge beliebig abgeändert werden. Auf ℑ ∪ ℜ ∪ L∧ kann 3 f stetig gewählt
werden, wodurch die Definition eindeutig wird. Auf L∨ verwenden wir die Konvention
Z
π
( 3 f )(y) =
2
Dadurch ist
R
3
Z
1
f (αy) dα
0
f auf ℑ∨ ∪ L∨ stetig.
Wir wollen nun für die partiellen Ableitungen von
erster Schritt ist das folgende Lemma.
3
, y ∈ L∨
R
3
(A.26)
f explizite Formeln abgeleiten. Ein
Ein Bezugssystem ist ein Koordinatensystem mit gij = ηij .
12
.
Lemma A.1.5 Für y ∈ ℑ∨ gilt
Z
∂j ( 3 f )(y) =
mit
(y)
hj (z) = ∂j f|z + 2
Z
(y)
3 hj
(y)
(A.27)
(y − 2z)j
zj (z − y)l
∂l f|z − 2
f|z
2
y
y2
.
(A.28)
Beweis: Nehme zunächst an, daß y in der tx-Ebene liegt, also y = (t0 , x0 , 0, 0), weiterhin
sei t0 > 0.
Nach einer Lorentztransformation in der t- und x-Koordinaten gemäß
1
(t − βx)
γ
1
(x − βt)
γ
t̃ =
x̃ =
p
mit β = x0 /t0 , γ = 1 − β 2 hat man y = (2τ, 0, 0, 0) mit τ = γt0 /2. Wir bezeichnen die
Funktion f in den gestrichenen Koordinaten mit f˜. Eine Rechnung in Polarkoordinaten
gemäß (A.13) liefert
Z
1
( 3 f )(y) =
8
Z
S2
dω f˜ (τ, τ cos ϑ, τ sin ϑ cos ϕ, τ sin ϑ sin ϕ)
oder in den ungestrichenen Koordinaten
1
=
8
Z
S2
dω f
1
1
(τ + βτ cos ϑ), (τ cos ϑ + βτ ), τ sin ϑ cos ϕ, τ sin ϑ sin ϕ
γ
γ
.
Nun können wir die partiellen Ableitungen nach t0 , x0 an der Stelle x0 = 0 direkt ausrechnen. In Polarkoordinaten (t, r, ϑ, ϕ) erhält man
Z
Z
∂
( 3 f )(y)|x0 =0 =
∂t0
Z
∂
( 3 f )(y)|x0 =0 =
∂x0
1
dω (∂t + ∂r )f (τ, τ, ω)
16 S 2
Z
1
dω (cos ϑ ∂t + ∂x )f (τ, τ, ω)
16 S 2
(A.29)
.
(A.30)
Wir wollen Gleichung (A.30) weiter umformen. Dabei nutzen wir aus, daß die zu S 2
tangentiale Komponente der Ableitung partiell integriert werden kann: Wir haben
Z
S2
dω ∂x f
Z
Z
!
x ∂
1 − α2 ∂
=
dϕ
+
dα
f
r ∂r
r ∂α
0
−1
Z
2x
x ∂
+ 2 f
=
dω
r ∂r
r
S2
2π
1
und somit
Z
∂
( 3 f )(y) =
∂x0
=
Z
x
2x
1
dω 2∂x + cos ϑ ∂t − ∂r − 2 f (τ, τ, ω)
16 S 2
r
r
Z
2x
x
1
dω 2∂x + (∂t − ∂r ) − 2 f (τ, τ, ω)
16 S 2
r
r
.
(A.31)
Schreibt man die Gleichungen (A.29) und (A.31) in koordinateninvarianter Form, so erhält
man gerade (A.27).
13
Damit ist auch das Lemma bewiesen, denn durch geeignete Wahl des Bezugssystems
kann man immer erreichen, daß der Vektor y in t-Richtung zeigt sowie die Ableitungsrichtung in der tx-Ebene liegt.
2
Wir können auch die Gleichungen (A.29) und (A.30) kovariant in der Form (A.27) schreiben
mit
zj (z − y)l − (z − y)j z l
1
(y)
∂l f
.
(A.32)
hj = ∂j f +
2
y2
Natürlich ist (A.32) äquivalent zu (A.28), für das weitere Vorgehen ist jedoch (A.28)
günstiger.
(y)
Es ist unschön an Gleichung (A.27), daß die Funktion hj
wäre eine Gleichung der Form
Z
Z
von y abhängt. Wünschenswert
∂j ( 3 f ) = ( 3 hj )
(A.33)
mit geeigneten Funktionen hj . Eine solche Relation scheint auf den ersten Blick sinnvoll
zu sein, weil in (A.33) sowohl die linke Seite (als partielle Ableitung einer harmonischen
Funktion) als auch die rechte Seite harmonisch sind.
Der wesentliche Vorteil von (A.33) gegenüber (A.27) besteht darin, daß (A.33) leicht
iteriert
werden kann, wodurch man unmittelbar auch Formeln für die höheren Ableitungen
R
von 3 f erhält.
Die folgenden drei Lemmata A.1.6, A.1.8, A.1.9 dienen als Vorbereitung für die Konstruktion der Funktionen hj in Satz A.1.10.
Lemma A.1.6 Für y ∈ ℑ∨ und die Funktion
Z
h(z) =
b
αn f (αz) dα
a
∞
(mit a, b ∈ IR+
0 , n ∈ IN0 , f ∈ C (M )) gilt
Z
( 3 h)(y) =
Z
b
a
n
Z
α ( 3 f )|αy dα
.
Beweis:
Z
( 3 f )(y) =
=
Z
Z
d4 z l∧ (z − y) l∨ (z)
b
dα αn
a
b
=
Z
a
b
=
Z
a
n
dα α
n
Z
Z
Z
b
dα αn f (αz)
a
d4 z l∧ (z − y) l∨ (z) f (αz)
d4 z l∧ (z − αy) l∨ (z) f (z)
α ( 3 f )|αy dα
wobei die Beziehung δ(λx) = δ(x)/λ verwendet wurde.
14
Z
,
2
Def. A.1.7 Bei den bisherigen Definitionen war der Lichtkegel um den Ursprung ausgezeichnet. Wir bezeichnen die durch Parallelverschiebung um x ∈ M entstehenden Mengen und Distributionen durch einen zusätzlichen Index x, also z.B. Lx , ℑx , ℜx für den
Lichtkegel um den Punkt x, entsprechend
lx∨ (y) := l∨ (y − x)
lx∧ (y) := l∧ (y − x)
.
Schreibe für das verschobene Lichtkegelintegral
Z
y
= lx∨ ∗ (f lx∨ )(y)
3 f
x
Z
=
d4 z ly∧ (z) lx∨ (z) f (z)
.
(A.34)
Wenn die Integrationsvariable angegeben werden soll, verwenden wir für (A.34) auch die
Schreibweise
Z y
.
3 f (z) dz
x
Die bisherigen Ergebnisse übertragen sich unmittelbar auf diesen etwas allgemeineren Fall.
Lemma A.1.8 Für die Distributionsableitung von
Z
y
3 ∂j f =
x
∂
∂
+ j
j
∂y
∂x
R
3f
Z
gilt
y
3 f
.
(A.35)
x
Für (y − x) ∈ ℑ∨ gilt (A.35) sogar punktweise.
Beweis: Die zweite Aussage folgt unmittelbar aus der ersten, da die linke Seite von (A.35)
für (y − x) ∈ ℑ∨ eine glatte Funktion ist.
Für g ∈ Cc∞ (M ) hat man nach Definition der Distributionsableitung
Z
( 3 ∂j f )(g) =
x
Z
= −
−
=
Z
+
4
∨
d z l (z − x) ∂j f (z)
Z
Z
d4 z
4
∨
d z
Z
Z
4
d y
∂ ∨
l (z − x) f (z)
∂xj
d4 z l∨ (z − x) f (z)
Z
d4 y l∨ (y − z) g(y)
∂ ∨
l (z − x) f (z)
∂z j
d z l (z − x) f (z)
4
Z
Z
Z
Z
d4 y
Z
d4 y l∨ (y − z) g(y)
!
∂ ∨
l (y − z) g(y)
∂zj
d4 y l∨ (y − z) g(y)
!
∂ ∨
l (y − z) g(y)
∂yj
∂
=
( 3 f )(g) − ( 3 f )(∂j g)
∂xj x
x
Z y Z
∂
∂
4
=
d y g(y)
+
3 f
∂xj
∂y j
x
.
2
15
Zwei Spezialfälle von Ableitungen der Lichtkegelintegrale können wir durch Einsetzen
in (A.27) und (A.35) direkt ausrechnen:
Z
y
∂
f
3
∂y j x
Z y
∂
(y − x)j j 3 f
∂x
x
(y − x)j
Z
=
y
3 (z − x)j ∂j f (z) dz
(A.36)
3 (y − z)j ∂j f (z) dz
(A.37)
x
Z y
=
x
Lemma A.1.9 Für (y − x) ∈ ℑ∨ gilt
Z
y
4
∂ ∂
3 (2f ) =
(y − x)j (y − x)k
3
|y − x|
∂y j ∂xk
x
Z
y
|y − x| 3 f
x
(A.38)
Beweis: Beachte, daß in (A.38) nur Ableitungen in Richtung des Vektors (y − x) auftreten.
Man kann annehmen, daß (y − x) in t-Richtung zeigt. Durch eine anschließende Verschiebung des Koordinatensystems kann man zusätzlich erreichen, daß x = (x0 , 0, 0, 0),
y = (y 0 , 0, 0, 0) mit y 0 > x0 > 0.
Rechne nun in Polarkoordinaten und wende (A.13) an:
Z
y
3 2f
=
1
8
=
1
8
x
Z
S2
Z
S2
dω 2f
∂t2
dω
y 0 + x0 y 0 + x0
,
,ω
2
2
!
1
− 2 ∂r (r 2 ∂r ) − ∆s f
r
y 0 + x0 y 0 + x0
,
,ω
2
2
!
Das Integral über ∆s f verschwindet nach dem Satz von Gauß:
1
=
8
Z
S2
dω
2
∂t2 − ∂r2 − ∂r f
r
y 0 + x0 y 0 + x0
,
,ω
2
2
!
Nach Lemma A.1.5 und Lemma A.1.8 gilt weiterhin
Z
y
∂
(y − x)
3
=
∂y j x
Z y
∂ ∂
(y − x)j (y − x)k j k 3 =
∂y ∂x
x
Z y
∂
∂
− j 3 f =
(y − x)j
∂y j
∂x
x
j
=
Z
1
1 0
(y − x0 )
dω (∂t + ∂r ) f
8
2
S2
Z
1 2
1 0
(y − x0 )2
dω
∂t − ∂r2 f
8
4
S2
Z
1 0
(y − x0 )
dω ∂r f
8
S2
Z
1 0
1
(y − x0 )2
∂r f
,
dω
8
2r
S2
also insgesamt
Z
y
3 2f
=
x
=
Z
∂ ∂
∂
∂
4
(y − x)j (y − x)k j k − (y − x)j ( j − j )
(y − x)2
∂y ∂x
∂y
∂x
Z y 4
∂
j
k ∂
.
(y − x) (y − x)
|y − x| 3 f
|y − x|3
∂y j ∂xk
x
y
3 f
x
2
16
R
Satz A.1.10 Für die partiellen Ableitungen von
Z
3f
Z
auf ℑ∨ gilt
∂j 3 f = 3 hj
mit
hj [f ](y) = ∂j f (y) −
1
2
Z
(A.39)
1
α 2z (zj f (z))|z=αy dα
0
.
(A.40)
Beweis: Schreibe zur Abkürzung bj (z) = zj f (z). Nach Lemma A.1.6 gilt für (y − x) ∈ ℑ∨
Z
Z
y
3 dz
1
dα α 2bj (αz + (1 − α)x) =
0
x
Z
Z
1
0
αy+(1−α)x
dα α 3
.
2bj
x
Setze ỹ = αy + (1 − α)x, x̃ = x und fasse die Variablen x, y (für festes α) als von x̃, ỹ
abhängige Variablen auf. Lemma A.1.9 liefert
=
Z
1
0
4
∂ ∂
dα α
(ỹ − x̃)k (ỹ − x̃)l k l
|ỹ − x̃|3
∂ x̃ ∂ ỹ
Z
ỹ
|ỹ − x̃| 3 bj
x̃
.
Um diese Relation in den Variablen x und y auszudrücken, setzen wir die Beziehungen
|ỹ − x̃| = α |y − x|
∂
∂
1−α ∂
=
−
k
k
∂ x̃
∂x
α ∂y k
∂
1 ∂
=
l
∂ ỹ
α ∂y l
ein und erhalten
=
4
(y − x)2
Z
1
0
Z
∂
∂y l
=
4
(y − x)2
=
(y − x)l
|y − x|
αy+(1−α)x
|y − x| 3
bj
x
Z
1
0
dα (y − x)k
Z
∂
∂y l
4
(y − x)2
dα (y − x)k
αy+(1−α)x
bj
x
1
k
dα (y − x)
0
!
1−α ∂
∂
−
k
∂x
α ∂y k
∂
1−α ∂
−
∂xk
α ∂y k
|y − x| 3
Z
!
∂
1−α ∂
−
k
∂x
α ∂y k
(y − x)l
|y − x|
d
dα
Z
α 3
αy+(1−α)x
x
bj
!
.
(A.41)
Nun kann in α partiell integriert werden. Für die Randwerte bei α = 1 erhält man
Z
y
4
k ∂
bj
(y
−
x)
3
(y − x)2
∂xk x
.
Bei den Randwerten für α = 0 muß man etwas aufpassen. Beachte dazu, daß
α→0
=
Z
lim α 3
α→0
Z
αy+(1−α)x
∂
bj
3
∂xk x
lim α (y − x)k
αy+(1−α)x
x
dz (y − z)k ∂k bj (z) = 0
17
(A.42)
Z
αy+(1−α)x
∂
lim (1 − α) (y − x)
bj
3
α→0
∂y k x
k
Z
αy+(1−α)x
lim (1 − α) 3
=
α→0
x
Z
dz (z − x)k ∂k bj (z)
αy+(1−α)x
dz (z − x)k ∂k bj (αz + (1 − α)x) = 0 ,
lim (1 − α)α 3
=
α→0
x
(A.43)
wobei (A.36), (A.37) angewendet und ausgenutzt wurde, daß das Lichtkegelintegral eine
beschränkte Funktion ist. Man erhält also
Z
Z
y
3 dz
x
=
1
dα α 2bj (αz + (1 − α)x)
0
Z
y
4
∂
4
(y − x)k k 3 bj −
(y − x)k
2
(y − x)
∂x
(y − x)2
x
Z
1
dα
0
Z
αy−(1−α)x
1 ∂
bj .
3
k
α ∂y x
Setze nun die spezielle Form von bj ein, wende wiederum Lemma A.1.6 an
=
Z
y
4
k ∂
dz zj f (z)
(y
−
x)
3
(y − x)2
∂xk x
Z 1
Z y
4
k ∂
f (αz)dα
−
dz
z
(y
−
x)
3
j
(y − x)2
∂y k x
0
und verwende die Beziehungen (A.36) und (A.37)
=
Z
y
4
k
j
dz
(y
−
z)
∂
z
f
(z)
3
k
(y − x)2 x
Z 1
Z y
4
k
f
(αz)dα
−
dz
(z
−
x)
∂
z
3
j
k
(y − x)2 x
0
.
(A.44)
Betrachte jetzt den Spezialfall x = 0. Im zweiten Summanden von (A.44) kann die Umformung
Z
y
3 dz z k ∂k zj
0
Z
1
f (αz)dα
0
=
=
Z
y
3 dz zj
Z0y
Z
0
1
1+α
d
f (αz)dα
dα
3 dz zj f (z)
0
angewendet werden, es ergibt sich insgesamt
Z
y
3 dz
0
Z
0
1
Z
4 y
dα α 2bj (αz) = 2 3 dz (y − 2z)j f (z) + zj (y − z)k ∂k f (z)
.
y 0
Nun kann man (A.39) unter Verwendung von Lemma A.1.5 verifizieren:
Z
( 3 hj )(y) =
=
Z
y
3 dz
0
Z
y
3 dz
0
= ∂j
Z
Z
1 1
dα α 2bj (αz)
2 0
!
(y − 2z)j
zj (z − y)l
∂l f − 2
f
∂j f + 2
y2
y2
∂j f (z) −
3 f (y)
2
18
R
Korollar A.1.11 Mit Konvention
(A.26) ist 3 f ∈ C ∞ (ℑ∨ ∪L∨ ). Die partiellen AbleitunR
gen beliebiger Ordnung von 3 f in ℑ∨ sind also stetig auf ℑ∨ ∪ L∨ fortsetzbar.
Beweis: Nach Satz A.1.10 und Satz A.1.3 sind die ersten Ableitungen auf ℑ∨ ∪ L∨ stetig
fortsetzbar.
Für die höheren Ableitungen folgt die Behauptung durch Induktion; beachte dazu, daß
hj nach (A.40) eine glatte Funktion ist.
2
Wir wollen nun durch Iteration von (A.39) einen expliziten Ausdruck für die zweiten
Ableitungen der Lichtkegelintegrale ableiten. Als Vorbereitung benötigen wir folgendes
Lemma, mit dem sich geschachtelte Linienintegrale vereinfachen lassen:
Lemma A.1.12 Sei f ∈ C ∞ ([0, 1]). Dann gilt für n, m ≥ 0
Z
1
m
dα α
Z
1
0
0
Z
1
dβ β f (α β) = −
m−n
n
1
0
dα (αm − αn ) f (α)
.
Beweis: Durch partielle Integration und Anwendung der Beziehung α∂α f (αβ) = β∂β f (αβ)
erhält man
(n + 1)
=
Z
Z
Z
Z
Z
1
dβ β n f (αβ) =
0
dα αm f (α) −
1
0
=
dα αm
0
1
0
=
1
1
0
dα αm f (α) −
Z
1
dα αm
0
Z
1
dβ β n
Z
Z
Z
1
0
1
1
0
1
dβ f (αβ)
0
dα αm+1
dα (αm − αn ) f (α) + (m + 1)
Z
Z
1
d n+1
β
dβ
∂
f (αβ)
∂β
∂
f (αβ)
∂α
dβ β n+1
0
0
dα αm
dβ β n
Z
1
dα αm f (αβ)
.
0
0
2
R
Als kleine Anwendung berechnen wir die Randwerte von ∂j 3 f auf dem Lichtkegel:
Lemma A.1.13
lim
ℑ∨ ∋y→z∈L
∂j
∨
Z
3 f (y) =
π
2
Z
0
1
α ∂j f (αz) dα +
π
4
Z
1
0
(α2 − α) yj (2f )|αy dα (A.45)
Beweis:
Z
Z
Z
π 1
=
3dβ
f (y) = ∨ lim ∨ 3 hj
lim
h∂j (βz)
j
ℑ ∋y→z∈L
ℑ∨ ∋y→z∈L
2 0 ∨
Z 1
π
π
=
∂j f (βz) dβ −
2 0
2
Z
π 1
α ∂j f (αz) dα +
=
2 0
(y)
Z
0
π
4
1
dβ
Z
0
1
Z
1
0
π
dα α ∂j f|αβy −
4
Z
0
1
dβ
Z
0
1
dα α2 yj 2f|αβy
(α2 − α) yj (2f )|αy dα
2
19
Satz A.1.14 Auf ℑ∨ gilt
Z
Z
∂jk 3 f = 3 hjk
mit
hjk [f ](y) = ∂jk f (y) −
−
−
Z
1
0
Z
1
0
Z
0
1
1
2α ∂jk f|αy + (2α2 − α) gjk (2f )|αy dα
2
2
1
(2α3 − α2 ) yk (2∂j f )|αy + yj (2∂k f )|αy dα
2
1 4
(α − α3 ) yj yk (22 f )|αy dα
.
4
Beweis: Nach Satz A.1.10 gilt auf ℑ∨
Z
Z
(A.46)
Z
∂jk 3 f = ∂j 3 hk = 3 hjk
mit
Z
1
1
α ∂k f|αy + α2 yk (2f )|αy dα
2
0
Z 1
1 2
hjk (y) = ∂j hk (y) −
β ∂j hk|βy + β yk (2hk )|βy dβ
2
0
hk (y) = ∂k f (y) −
(A.47)
.
(A.48)
Hieraus kann hjk direkt bestimmt werden:
Z
1
1
1
α2 ∂jk f|αy + α2 gjk (2f )|αy + α3 yk (2∂j f )|αy dα
2
2
0
Z 1
1 2
2
∂j hk (βy) = ∂jk f|βy −
α ∂jk f|αβy + α gjk (2f )|αβy dα
2
0
Z 1
1
−
α3 β yk (2∂j f )|αβy dα
2 0
Z 1
1 4
2
3
2hk (βy) = 2∂k f|βy −
2α 2∂k f|αβy + α β yk 2 f|αβy dα
2
0
∂j hk (y) = ∂jk f|y −
Wir wenden die Integralumformungen von Lemma A.1.12 an
Z
1
0
Z
0
1
β 2 (2hk )|βy
Z
1
1
α2 ∂jk f|αy + (α2 − α) gjk (2f )|αy dα
2
0
Z 1
1
(α3 − α2 ) yk (2∂j f )|αy dα
+
2 0
Z 1
1 4
3
2
3
2
(2α − α ) (2∂k f )|αy + (α − α ) yk (2 f )|αy dα .
dβ =
2
0
β (∂j hk )|βy dβ =
und setzen in (A.48) ein.
2
Abschließend leiten wir Formeln für die Distributionsableitungen von
Satz A.1.15 Für die ersten Ableitungen von
Z
Z
R
3f
hj (y) = (∂j f )(y) −
1
2
Z
0
Z
1
f (αy) dα
(A.49)
0
1
α 2z (zj f (z))|z=αy dα
20
f ab:
gilt (im Distributionssinne)
∂j ( 3 f )(y) = ( 3 hj )(y) + π yj l∨ (y)
mit
R
3
.
Gleichung (A.49) läßt sich anhand einer
formalen Rechnung leicht einsehen: Dazu nimmt
R
man an, daß die glatte Funktion (3 f )|ℑ∨ auf ganz M glatt fortgesetzt werden kann, es
also eine Funktion γ ∈ C ∞ (M ) gibt mit
Z
γ|ℑ∨ = ( 3 f )|ℑ∨
.
Nach Satz A.1.3 und Satz A.1.10 hat man
Z
π
2Z
γ(y) =
1
y ∈ L∨
f (αy) dα ,
0
y ∈ ℑ∨
∂j γ(y) = ( 3 hj )(y) ,
Z
(A.50)
( 3 f )(y) = γ(y) Θ(y 2 ) Θ(y 0 )
(A.51)
.
(A.52)
Formales Ableiten von (A.52) liefert
Z
∂j ( 3 f )(y) = ∂j γ(y) Θ(y 2 ) Θ(y 0 ) + 2 yj γ(y) δ(y 2 ) Θ(y 0 )
+ γ(y) Θ(y 2 ) gj0 δ(y 0 )
.
Im ersten Summanden kann man (A.50), im zweiten (A.51) einsetzen, der dritte Summand
verschwindet. Auf diese Weise erhält man (A.49) und kann leicht die Vorfaktoren und
Vorzeichen verifizieren.
Die technischen
Probleme dieser Herleitung kann man folgendermaßen umgehen:
R
Beweis: Da 3 f außerhalb von ℑ∨ ∪ L∨ verschwindet, hat man für g ∈ Cc∞ (M )
Z
( 3 f )(g) =
Z
ℑ∨ ∪L∨
Z
( 3 f )(y) g(y) d4 y
Bei der Berechnung der schwachen Ableitung von
wenden4
Z
( 3 f )(∂j g) =
=
Z
Zℑ
∨ ∪L∨
L∨
Z
R
3
.
f kann man den Satz von Gauß an-
( 3 f )|y ∂j g|y d4 y
Z
(−yj ) ( 3 f )|y g|y dµ −
Z
ℑ∨ ∪L∨
Z
(∂j 3 f )|y g|y d4 y
,
wobei dµ das kanonische Maß d3 ~x/|~x| auf L∨ bezeichnet.
Einsetzen von (A.39) und (A.26) liefert
= −
= −
Z
L∨
Z
M
yj
Z
π
2
Z
0
1
f (αy) dα
g(y) dµ −
( 3 hj )(y) + π yj l∨ (y)
Z
1
0
Z
ℑ∨ ∪L∨
Z
( 3 hj )|y g|y d4 y
f (αy) dα g(y) d4 y
.
2
Die zweiten Ableitungen erhält man wiederum durch Iteration:
4
R
Beachte, daß 3f aufgrund von Konvention (A.26) bis an den Rand des Integrationsgebietes stetig ist.
21
Satz A.1.16 Für die zweiten Ableitungen von
Z
Z
∂jk ( 3 f )(y) = 2π
1
R
3f
Z
gjk l∨ (y)
f (αy) dα
Z
1
0
π
+
2
1
0
+π
yj yk m∨ (y)
f (αy) dα
0
+π
gilt (im Distributionssinne)
Z
0
Z
l∨ (y)
α yj ∂k f|αy + yk ∂j f|αy dα
1
2
(α − α)(2f )|αy dα
+( 3 hjk )(y)
yj yk l∨ (y)
,
(A.53)
wobei hjk die Funktion (A.46) und m∨ die Distribution
m∨ (y) = δ′ (y 2 ) Θ(y 0 )
(A.54)
bezeichnet.
Beweis: Nach Satz A.1.15 gilt
Z
Z
∂k ( 3 hj )(y) = ( 3 hjk )(y) + π yk l∨ (y)
Z
1
0
hj (αy) dα
.
Einsetzen der Umformung
Z
0
Z
1
hj (αy) dα =
0
∂j f|αy dα −
1
− yj
2
Z
=
0
Z
1
1
Z
1
α dα
0
1
dα
0
1
Z
0
Z
0
1
β dβ ∂j f|αβy
β 2 dβ (2f )|αβy
1
α ∂j f|αy + (α2 − α) yj (2f )|αy dα
2
führt auf
Z
Z
π
∂k ( 3 hj )(y) = ( 3 hjk )(y) +
2
+π
Z
0
1
Z
1
2
(α − α) (2f )|αy dα
0
α yk ∂j f|αy dα
l∨ (y)
yj yk l∨ (y)
.
(A.55)
Weiterhin hat man wegen ∂k l∨ (y) = 2yk m∨ (y)
∂k yj l∨ (y)
Z
1
f (αy) dα
0
= gjk l∨ (y)
+2 yj yk
Z
1
f (αy) dα + l∨ (y)
0
Z
0
1
Z
1
0
f (αy) dα m∨ (y)
α yj ∂k f|αy dα
.
(A.56)
Partielles Ableiten von (A.49) nach y k sowie Einsetzen von (A.55) und (A.56) liefert (A.53).
2
22
Bemerkung A.1.17 Aus Rechnung (A.15) folgt die Beziehung
Z
2 3 f = 2πf l∨
.
(A.57)
Zur besseren Kontrolle der abgeleiteten Formeln kann man (A.57) auch aus (A.53) durch
Überschieben mit der Metrik ableiten: R
Aus (A.46) erhält man unmittelbar 3 hjk gjk = 0. Beachte dazu, daß Terme, die y 2
enthalten, auf L∨ verschwinden. Außerdem gilt y j ∂j (2f )(αy) = (d/dα)(2f )(αy), so daß
man partiell integrieren kann.
Daher liefert Gleichung (A.53) unter Verwendung von y 2 l∨ (y) = 0
Z
2 ( 3 f )(y) = π
Z
+4π
1
0
f (αy) dα y j ∂j l∨ (y)
Z
1
f (αy) dα
0
Z
+2π
1
0
l∨ (y)
d
α
f (αy) dα
dα
l∨ (y)
.
Anwendung der Identität5
y j ∂j l∨ (y) = −2l∨
(A.58)
und partielle Integration im dritten Summanden führt auf (A.57).
∆
Mit Hilfe der Formeln (A.49) und (A.53) für die Ableitungen von Lichtkegelintegralen
kann man die Störungsrechnung für k0 relativ direkt durchführen. Es ist günstig, vorher
die Notation etwas zu vereinfachen:
A.2
Einige Bezeichungen
Für die Störungsrechnung im Ortsraum werden oft Integrale längs der Verbindungsstrecke
zweier Punkte in M benötigt. Wir wollen eine Kurzschreibweise vereinbaren:
5
Das sieht man folgendermaßen:
Z
j
∨
4
g(y) y ∂j l (y) d y
Gehe nun in Polarkoordinaten
Z
= −
S2
dω
Z
=
−
=
−
0
∞
Z
Z
r
dr
2
und integriere partiell
=
−
Z
S2
dω
Z
0
∞
l∨ (y) (4 + y j ∂j )g(y) d4 y
d3 ~
y
(4 + y j ∂j )g|y=(|~y|,~y) d4 y
2|~
y|
4+r
r
dr 2g(r, r, ω) = −2
2
23
∂
g(r, r, ω)
∂r
Z
l∨ (y) g(y) d4 y
.
Def. A.2.1 Schreibe für das Linienintegral zwischen den Punkten x, y ∈ M
Z
y
f :=
x
Z
1
f (αy + (1 − α)x) dα
0
.
Als Integrationsvariable soll dabei stets α verwendet werden, also
Z
y
αn f :=
Z
0
x
1
αn f (αy + (1 − α)x) dα
.
Wenn wir Distributionen pm , sm , km , p̃m , k̃m , . . . nach m entwickeln, lassen wir zur
besseren Übersicht oft den Index m weg. Den Beitrag ∼ mk dieser Ausdrücke bezeichnen
wir durch einen zusätzlichen Index (k) . Insbesondere haben wir
p(0) (x, y) = p0 (x, y) = −
i ξ/
2π 3 ξ 4
(A.59)
1 1
4π 3 ξ 2
i ξ/
− 3 2
8π ξ
1
(ln(|ξ 2 |) + Ce )
16π 3
i
ξ/ (ln(|ξ 2 |) + Ce )
64π 3
1
k0 (x, y) =
ξ/ m∨ (ξ) − m∧ (ξ)
2
2π
i
l∨ (ξ) − l∧ (ξ)
2
4π
1
− 2 ξ/ (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
8π
i
Θ(ξ 2 ) ǫ(ξ 0 )
−
16π 2
1
ξ/ Θ(ξ 2 ) ǫ(ξ 0 )
,
64π 2
p(1) (x, y) = −
(A.60)
p(2) (x, y) =
(A.61)
p(3) (x, y) =
p(4) (x, y) =
k(0) (x, y) =
k(1) (x, y) =
k(2) (x, y) =
k(3) (x, y) =
k(4) (x, y) =
(A.62)
(A.63)
(A.64)
(A.65)
(A.66)
(A.67)
(A.68)
dabei ist Ce die Eulersche Konstante.
Bei zusammengesetzten Termen muß der gesamte Ausdruck in Potenzen von m entwickelt werden, also beispielsweise
(sA
/p)(1) = s(0) A
/ p(1) + s(1) A
/ p(0)
.
Oftmals genügt es, das Verhalten einzelner Beiträge der Störungsrechnung nur in der
Nähe des Lichtkegels zu untersuchen. In diesem Fall führen wir eine Entwicklung um den
Lichtkegel durch: Wir nennen eine Funktion f (y), y ∈ M , von der Ordnung y 2n , n ∈ IN0 ,
falls
für alle z ∈ L.
lim y −2n f (y) < ∞
ℑ∋y→z
Entsprechend heißt eine Funktion f (x, y) von der Ordnung (y −x)2n , falls fx (ξ) := f (x, x+
ξ) für jedes x ∈ M von der Ordnung ξ 2n ist. Möchte man die Beiträge der Ordnung
(y − x)2n berechnen, so muß man die Randwerte der Ableitungen bis zur n-ten Ordnung
auf dem Lichtkegel bestimmen. Das ist unmittelbar einleuchtend, wir wollen es aber
trotzdem exemplarisch für eine Entwicklung bis zur Ordnung y 4 beweisen:
24
Lemma A.2.2 Sei f ∈ C ∞ (L∨ ∪ ℑ∨ ) und gelte
lim
ℑ∨ ∋y→z
f (y) =
lim
ℑ∨ ∋y→z
für alle z ∈ L∨ .
∂j f (y) = 0
Dann ist f (y) von der Ordnung y 4 .
Beweis: Nach Voraussetzung sind f und dessen partielle Ableitungen auf ℑ∨ ∪ L∨ stetig
fortsetzbar. Bezeichne für den Beweis der Einfachheit halber den Grenzwert auf dem
Lichtkegel durch den entsprechenden Funktionswert, also6
f (z) :=
lim
ℑ∨ ∋y→z
f (y),
∂j f (z) :=
lim
ℑ∨ ∋y→z
∂j f (y), u.s.w..
Betrachte eine Folge ℑ∨ ∋ (yn ) → z ∈ L∨ . Wähle einen zeitartigen Vektor mit <v, v> = 1,
v 0 > 0. Die Folgenglieder yn können eindeutig in der Form
zn ∈ L∨ , τn > 0
yn = zn + τn v ,
dargestellt werden. Im Grenzfall n → ∞ hat man zn → z, τn → 0.
Es müssen zwei Fälle getrennt betrachtet werden:
1. z 6= 0:
Man kann eine Umgebung U ⊂ L∨ von z und Konstanten c1 , c2 > 0 wählen, so daß
i j
v v ∂ij f (x)
< c1
<x, v> > c2
für alle x ∈ U . Für genügend großes n ist zn ∈ U und somit
|f (yn )|
1 2 i j
j
= f (zn ) + τn v ∂j f (zn ) + τn v v ∂ij f (zn ) + O(τn3 )
2
1
c1 τ 2 + O(τn3 )
2 n
= 2τn <zn , v> + τn2 <v, v>
≤
yn2
yn4 ≥ 4c22 τn2 + O(τn3 )
Es folgt
.
lim yn−4 f (yn ) < ∞
n→∞
2. z = 0:
Wegen ∂k f|L∨ = 0 folgt für alle v ∈ L∨
.
v j ∂jk f (0) = 0
i j
v v ∂ijk f (0) = 0
(A.69)
.
(A.70)
Aus (A.69) erhält man ∂jk f (0) = 0. Aus (A.70) folgt zunächst
∂ijk f (0) = gij wk
6
Diese Bezeichnung wird ansonsten bewußt vermieden, weil sie zu Verwechslungen zwischen der Distributionsableitung (∂j f )(z), z ∈ L∨ und dem Grenzwert der partiellen Ableitung (∂j f )(y) bei ℑ∨ ∋ y →
z ∈ L∨ führen kann.
25
für einen geeignetes w ∈ M und wegen der Symmetrie in den Indizes i, j und k sogar
∂ijk f (0) = 0
.
Die partiellen Ableitungen von f verschwinden also am Ursprung bis zur dritten
Ordnung. Man kann eine Umgebung U ⊂ L∨ von z und eine Konstante c3 > 0
wählen, so daß für alle x ∈ U die Ungleichungen
|∂jk f (x)| =
1 l m
x x ∂jklm f (0) + O(x3 )
2
≤ c3 <x, v>2 + O(<x, v>3 )
|∂ijk f (x)| = xl ∂ijkl f (0) + O(x2 )
≤ c3 |<x, v>| + O(<x, v>2 )
gelten. Setze κn = <zn , v> ≥ 0. Man hat yn2 = 2τn κn + τn2 . Für genügend großes n
ist z ∈ U und somit
1
1
|f (yn )| = τn2 v i v j ∂ij f (zn ) + τn3 v i v j v k ∂ijk f (zn ) + O(τn4 )
2
3!
≤ c4 τn2 κ2n + τn3 κn + O(τn4 + τn2 κ3n + τn3 κ2n )
yn4 = 4 τn2 κ2n + τn3 κn + τn4
Es folgt
lim yn−4 fn (yn ) < ∞
n→∞
A.3
.
.
2
Störungsrechnung für das elektromagnetische Feld
Wir betrachten die Störung des freien Diracoperators durch ein äußeres elektromagnetisches Feld
G = i∂/ + eA
/
.
(A.71)
In erster Ordnung Störungstheorie hat man nach (10) und (A.4)
k̃0 = k0 + ∆k0
mit
∆k0 (x, y) = −e (k0 A
/s0 + s0 A
/k0 )(x, y)
(A.72)
= −e (i∂/)x (K0 A
/S0 + S0 A
/K0 ) (x, y) (i∂/)y
.
Die Gleichungen (A.2) und (A.3) kann man unter Verwendung der Distributionen l∨ und
l∧ schreiben als
i
l∨ (x − y) − l∧ (x − y)
2
4π
1 ∨
S0 (x, y) = −
l (x − y) + l∧ (x − y)
4π
K0 (x, y) = −
26
.
Folglich gilt
(K0 A
/S0 + S0 A
/K0 )(x, y)
Z
i
4
∨
∧
∨
∧
d
z
l
(x
−
z)
−
l
(x
−
z)
A
/(z)
l
(z
−
y)
+
l
(z
−
y)
=
16π 3
Z
i
+
d4 z l∨ (x − z) + l∧ (x − z) A
/(z) l∨ (z − y) − l∧ (z − y)
3
16π
Z
i
d4 z l∨ (x − z) A
/(z) l∨ (z − y) − l∧ (x − z) A
/(z) l∧ (z − y)
=
3
8π
Z
i
4
∧
∨
∧
∨
d
z
l
(z)
l
(z)
−
l
(z)
l
(z)
A
/(z)
=
x
y
y
x
8π 3 Z y
Z x i
= − 3 3 A
/ − 3 A
/
.
8π
x
y
(A.73)
Den zu berechnenden Operator ∆k0 kann man also mit Lichtkegelintegralen ausdrücken7 :
∆k0 (x, y) =
=
Z
Z
y
x
ie
3
(i∂
/
)
A
/
−
3
A
/ (i∂/)y
x
8π 3
x
y
Z y
Z x ie i j k ∂ ∂
γγ γ
3 Aj − 3 Aj
8π 3
∂xi ∂y k
y
x
(A.74)
(A.75)
Die Ableitungen können nun mit Hilfe von Satz A.1.15 und Satz A.1.16 ausgewertet werden.
Theorem A.3.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆k0 (x, y) = −ie
y
x
Aj
Z
ξ j k0 (x, y)
(A.76)
y
ie
l∨ (ξ) − l∧ (ξ)
(α2 − α) ξ/ ξ k jk
2
8π
Zxy
ie
l∨ (ξ) − l∧ (ξ)
(2α − 1) ξ j γ k Fkj
− 2
8π
x
Z
y
e
ijkl
+
l∨ (ξ) − l∧ (ξ)
ε
F
ξ
ργ
ij
k
l
2
16π
Zx y Z x Z z
ie
(α4 − α3 ) ζ/ ζk 2j k
3 − 3 dz
−
16π 3
x
y
x
Z y Z x Z z
ie
+
(4α3 − 3α2 ) ζ j γ k 2Fkj
3 − 3 dz
16π 3
y
x
x
Z y Z x Z z
e
−
α2 εijkl (2Fij ) ζk ργl
3 − 3 dz
32π 3
y
x
x
Z y Z x Z z
ie
(2α2 − α) γ k jk
,
+ 3 3 − 3 dz
4π
x
y
x
+
7
Z
Ry
Rx
(A.77)
(A.78)
(A.79)
(A.80)
(A.81)
(A.82)
(A.83)
Beachte wegen der Vorzeichen, daß für den Operator B(x, y) = 3x A
/ − 3y A
/ und eine Wellenfunktion Ψ
gilt:
((i∂/) B (i∂/) Ψ) (x)
=
Z
=
−
d4 y (i∂/)x B(x, y)(i∂/)y Ψ(y)
Z
d4 y
27
(i∂/)x
i
∂
∂y j
B(x, y) γ j
Ψ(y)
wobei Fjk = ∂j Ak − ∂k Aj den elektromagnetischen Feldstärketensor und j k = ∂l F kl den
Maxwell-Strom bezeichnet. Zur Abkürzung wurde ξ = y − x und ζ = z − x gesetzt.
Beweis:R Betrachte zunächst den Fall ξ 0 > 0:
Da 3yx A
/ außerhalb von ξ ∈ ℑ∧ ∪ L∧ verschwindet, vereinfacht sich (A.75) unter Verwendung von Lemma A.1.8 zu
Z
y
ie i j k ∂ ∂
γγ γ
3 Aj
3
i
k
8π
∂x ∂y x
!
Z y
Z y
ie i j k
∂2
∂
= − 3γγ γ
3 Aj − k 3 ∂i Aj
8π
∂y i ∂y k x
∂y x
∆k0 (x, y) =
.
(A.84)
Berechne nun nacheinander die einzelnen Terme:
γiγj γk
Z
y
∂2
Aj
3
∂y i ∂y k x
=
γiγj + γj γi γk
Z
Z
Z
y
y
∂2
j
= 2γ
3
A
−
2
3
A
/
y
∂y j ∂y k x
x
k
Z
y
y
∂2
∂2
j i k
A
−
γ
γ
γ
Aj
3
3
j
∂y i ∂y k x
∂y i ∂y k x
,
wobei die Symmetrie der zweiten partiellen Ableitungen ausgenutzt wurde.
Wende nun Satz A.1.16 und (A.57) an:
Z
Z
= 2 3 hjk [Aj ] γ k + 4π (
−2πl∨ (ξ) A
/(y) −
+πl∨ (ξ)
Z
y
x
Z
y
y
x
+ 2πl∨ (ξ)
A
/
x
Aj ) ξj ξ/ m∨ (ξ)
(α2 − α) ξ/ξj 2Aj
Z
(A.85)
y
x
α ξj ∂/Aj + ξ/ ∂j Aj
(A.86)
(A.87)
Führe in (A.87) die Ersetzung
ξj 2Aj = ξ j ∂j ∂k Ak − ξ k jk
durch. Die Ableitung in Richtung des Vektors ξ kann wieder in eine Ableitung nach der
Variablen α umgewandelt und partiell integriert werden.
Auf analoge Weise kann man im zweiten Summanden von (A.86) den Ausdruck
ξj ∂/Aj = ξ j ∂j A
/ + ξ j γ k Fkj
behandeln. Die nun bei der partiellen Integration auftretenden Terme kompensieren gerade
den ersten Summanden in (A.86).
Man erhält auf diese Weise den Ausdruck
Z
y
∂2
γγ γ
Aj
3
∂y i ∂y k x
i j k
Z
j
= 2 3 hjk [A ] γ
∨
+2πl (ξ)
+πl∨ (ξ)
Z
Z
y
x
y
x
k
Z
y
+ 4π (
x
j k
Aj ) ξ j ξ/ m∨ (ξ)
∨
α ξ γ Fkj − πl (ξ)
ξ/ ∂j Aj
28
.
Z
y
x
2
k
(α − α) ξ/ξ jk
Weiterhin gilt
Z
y
∂
3
∂i Aj
γγ γ
∂y k x
i j k
i j k
= γγ γ
i j k
= γγ γ
Z
y
i j
3 hk [∂i Aj ]
x
y
+πl∨ (ξ)
+ π γ γ ξ/ l (ξ)
Z
π
+ l∨ (ξ)
2
3 hk [∂i Aj ]
Zxy
x
∨
ξ/ ∂j Aj
Z
Z
y
x
y
x
∂i Aj
i j
Fij γ γ ξ/
.
Man kann die Identität
Fij γ i γ j ξ/ = 2γ i Fij ξ j − i εijkl Fij ξk ργl
(A.88)
anwenden und erhält nach Einsetzen in (A.84) insgesamt:
Z
Z
y
y
ie ∨
ie
(
l (ξ)
(2α − 1)ξ j γ k Fkj
Aj ) ξ j ξ/ m∨ (ξ) −
2
2
2π
8π
x
x
Z y
ie
+ 2 l∨ (ξ)
(α2 − α) ξ/ξ k jk
8π
x
Z
y
e ∨
ijkl
l
(ξ)
ε
F
ξ
ργ
+
ij k
l
16π 2
x
Z y
ie
1
− 3 3 γ j hjk [Ak ] − γ i γ j γ k hk [∂i Aj ]
4π x
2
∆k0 (x, y) = −
(A.89)
(A.90)
(A.91)
(A.92)
Beachtet man, daß für ξ 0 > 0
k0 (x, y) = (i∂/)x K0 (x, y) =
1
ξ/ m∨ (ξ)
2π 2
gilt, so sieht man, daß die Summanden in den Zeilen (A.89) bis (A.91) mit den Ausdrücken (A.76) bis (A.79) übereinstimmen.
Es soll nun gezeigt werden, daß auch die verbleibenden Terme von k̃0 korrekt sind, also
insbesondere, daß (A.92) mit den Summanden (A.79) bis (A.83) übereinstimmt:
Aus (A.46) erhält man
j
k
k
γ hjk [A ]|z = ∂/∂k A −
Z
Z
z
x
k
1 z
(2α3 − α2 ) ζk 2∂/Ak + ζ/ 2∂k Ak
2 x
Z
1 z 4
(α − α3 )ζ/ ζk 22 Ak
.
−
4 x
−
1
/
2α ∂/∂k A + (2α2 − α) 2A
2
2
(A.93)
(A.94)
(A.95)
Führe in (A.94) bzw. (A.95) die Ersetzungen
ζk 2∂/Ak = ζ k ∂k 2A
/ + ζ k γ j 2Fjk
ζk 22 Ak = ζ k ∂k 2∂j Aj − ζ k 2jk
durch, schreibe die Ableitung in Richtung des Vektors ζ als Ableitung nach α und integriere
partiell. Man erhält dann
γ j hjk [Aj ]|z =
1
4
Z
z
x
(α4 − α3 )ζ/ ζ k 2jk
29
−
1
2
−
Z
Z
z
(2α3 − α2 )ζ k γ j 2Fjk
x
z
2
Z
k
2α ∂/∂k A +
x
z
x
1
1
+∂/∂k Ak − 2A
/−
2
4
Z
α
)2A
/
2
(2α2 −
z
x
α2 ζ/ 2∂k Ak
.
Nach (A.40) gilt weiterhin:
i j k
i j k
γ γ γ hk [∂i Aj ]|z = γ γ γ
∂ik Aj (z) −
= 2 ∂/∂k Ak − 2A
/−
1
−
2
= −
Z
Z
x
z
x
1
−
2
z
Z
z
x
Z
Z
z
x
2
z
1
α ∂ik Aj + α2 ζk 2∂i Aj
2
x
2α ∂/∂k Ak − α 2A
/
α (2∂i Aj ) γ i γ j ζ/
2α ∂/∂k Ak − α 2A
/
α2 ζ j γ k 2Fkj +
1
+2 ∂/∂k Ak − 2A
/−
2
Insgesamt ergibt sich
Z
z
x
i
4
Z
z
x
α2 εijkl (2Fij ) ζk ργl
α2 ζ/ 2∂k Ak
1
γ j hjk [Ak ]|z − γ i γ j γ k hk [∂i Aj ]|z
2
Z
Z
z
z
3
(α3 − α2 ) ζ j γ k 2Fkj
4
x
x
Z
Z z
i
1 z 4
(α − α3 ) ζ/ ζk 2j k −
α2 εijkl (2Fij ) ζk ργl
+
4 x
8 x
= −
(2α2 − α) γ k jk −
.
(A.96)
Durch Einsetzen in (A.92) erhält man gerade die Terme (A.80) bis (A.83). Damit ist der
Fall ξ 0 > 0 bewiesen.
Den Fall ξ 0 < 0 kann man durch Punktspiegelung des Minkowski-Raumes am Ursprung
auf den Fall ξ 0 > 0 zurückführen: Beachte dazu zunächst, daß8
Z
Z
y
−x
3 f = 3
fˆ
(A.97)
−y
x
und, nach Einsetzen in (A.75),
∆k0 (x, y) = −∆k0 [Â](−x, −y)
(A.98)
gilt. Dabei bedeutet die eckige Klammer [Â], daß das elektromagnetische Potential A in
der Definitionsgleichung von ∆k0 durch Â zu ersetzen ist. Auf der rechten Seite von (A.98)
kann man die Gleichung (A.76) bis (A.83) anwenden und erhält die Aussage des Theorems
für ξ 0 < 0. Verwende dabei die Identitäten (A.97) und
Fij [Â] = −F̂ij
8
Z
jk [Â] = ̂k
−y
αn fˆ =
−x
Dabei bezeichnet fˆ die Funktion fˆ(x) = f (−x).
Z
30
y
x
αn f
.
Um den Fall ξ 0 = 0 zu behandeln, genügt die Feststellung, daß im bisherigen Beweis die
Distributionen
−
Z
y
ie i j k ∂ ∂
Aj
γ
γ
γ
3
8π 3
∂xi ∂y k x
Z x
ie i j k ∂ ∂
γγ γ
3 Aj
8π 3
∂xi ∂y k y
vollständig (also ohne die Einschränkungen ξ 0 > 0 bzw. ξ 0 < 0) berechnet wurden und
daß ∆k0 nach (A.75) die Summe dieser Operatoren ist. Wir haben also alle Beiträge zu
k̃0 gefunden, es gibt keine zusätzlichen Terme, die für ξ 0 = 0 beitragen.
2
Wir wollen die gewonnene Gleichung für k̃0 kurz diskutieren:
Zunächst einmal fällt auf, daß k̃0 (x, y) für raumartiges ξ verschwindet, was die Kausalität
widerspiegelt.
Die Summanden (A.76) bis (A.79) tragen nur auf dem Lichtkegel (also für ξ ∈ L)
bei und werden daher die auf dem Lichtkegel lokalisierten Terme genannt. Die Summanden (A.80) bis (A.83) führen dagegen zu einem Beitrag im Innern des Lichtkegels (also für
ξ ∈ ℑ) und heißen delokalisierte Terme.
Wir wollen nun den Spezialfall betrachten, daß k̃0 durch eine Eichtransformation aus
k0 hervorgeht, also daß
eA
/ = ∂/Λ
für eine geeignete reelle Funktion Λ. Da diese Eichtransformation der Phasentransformation
Ψ(x) → eiΛ(x) Ψ(x)
der Wellenfunktionen entspricht, kann man k̃0 sehr einfach exakt angeben:
k̃0 (x, y) = eiΛ(x) k0 (x, y) e−iΛ(y)
= eiΛ(x) (i∂/)x K0 (x, y) e−iΛ(y)
= eiΛ(x)−iΛ(y) k0 (x, y)
(A.99)
Auf der anderen Seite kann man k̃0 (x, y) mit Hilfe von Theorem A.3.1 berechnen. Da
Fij = jk = 0 ist, verschwinden die Summanden (A.77) bis (A.83). Man erhält
k̃0 (x, y) = k0 (x, y) − i
Z
y
x
Z 1
∂j Λ
ξ j k0 (x, y)
d
Λ(αy + (1 − α)x) k0 (x, y)
dα
0
= k0 (x, y) + i (Λ(x) − Λ(y)) k0 (x, y)
,
= k0 (x, y) − i
dα
was in erster Ordnung in Λ mit (A.99) übereinstimmt. Man sieht auf diese Weise, daß der
Summand (A.76) für das richtige Eichtransformationsverhalten von k̃0 verantwortlich ist.
Er wird daher Eichterm genannt.
Aus Satz A.1.3 folgt, daß k̃0 (x, y) für y − x ∈ ℑ eine glatte Funktion ist. Darüber
hinaus kann man den Grenzfall untersuchen, daß sich y − x dem Lichtkegel annähert:
31
Satz A.3.2 Für y − x ∈ L gilt
Z
y
ie
0
ǫ(ξ
)
(α4 − 2α3 + α2 ) ξ/ ξk 2j k
lim k̃0 (x, u) = +
ℑx ∋u→y
64π 2
x
Z y
ie
0
−
ǫ(ξ )
(4α3 − 6α2 + 2α) ξ j γ k (2Fkj )
64π 2
Zxy
e
0
ǫ(ξ )
(α2 − α) εijkl (2Fij ) ξk ργl
+
64π 2
Z yx
ie
0
− 2 ǫ(ξ )
(α2 − α) γ k jk
,
8π
x
(A.100)
(A.101)
(A.102)
(A.103)
wobei wieder ξ = y − x gesetzt wurde.
Beweis: Die Behauptung folgt mit Hilfe von (A.10) durch eine direkte Rechnung. Dabei
wendet man die folgenden Integralumformungen von Lemma A.1.12 an:
Z
y
dz
x
Z
z
x
4
3
(α − α ) ζ/ ζk 2j
k
=
Z
1
dβ
0
Z
Z
0
1
dα (α4 − α3 ) β 2 ξ/ ξk (2j k )(αβy + (1−αβ)x)
1 y 4
(α − 2α3 + α2 ) ξ/ ξk 2j k
= −
2 x
Z y
Z z
Z
1 y
dz
(4α3 − 3α2 ) ζ j γ k (2Fkj ) = −
(4α3 − 6α2 + 2α) ξ j γ k (2Fkj )
2
x
x
x
Z
y
dz
x
Z
Z
z
x
y
x
α2 εijkl (2Fij ) ζk ργl =
dz
Z
z
x
(2α2 − α) γ k jk =
Z
y
Zxy
x
(α − α2 ) εijkl (2Fij ) ξk ργl
(α − α2 ) γ k jk
(Die Integrationsvariable α bezieht sich immer auf das innere Linienintegral.)
2
Nun kann das Verhalten der einzelnen Summanden (A.76) bis (A.83) in der Nähe des
Lichtkegels untersucht werden. Bei den delokalisierten Termen betrachten wir zur Einfachheit nur die Näherungsausdrücke (A.100) bis (A.103). Die Summanden (A.77) und (A.80)
sind (als 4×4-Matrizen bei festem x, y) proportional zu ξ/ und heißen radiale Beiträge. Aufgrund der Antisymmetrie des elektromagnetischen Feldstärketensors sind die Terme (A.78),
(A.79), (A.81) und (A.82) senkrecht zu ξ/ und werden daher orthogonale Beiträge genannt.
Die Summanden (A.77), (A.83) enthalten den Maxwellstrom. Sie spielen für die Feldgleichungen eine entscheidende Rolle und werden Stromterme genannt.
A.4
Störungsrechnung für das Gravitationsfeld
Der Diracoperator im Gravitationsfeld wird in [2] ausführlich behandelt. Es wird dort insbesondere gezeigt, daß die Diracmatrizen γ j bei Einführung des Gravitationsfeldes durch
dynamische Matrixfelder Gj (x) zu ersetzen sind, die mit der Lorentzmetrik über die Antikommutatorrelation
1 n j ko
gjk =
G ,G
(A.104)
2
verknüpft sind. Der Diracoperator nimmt in allgemeinen Eichungen die Form
G = iGj ∂j + Gj Ej
32
(A.105)
an, wobei die Matrizen Ej , die sogenannten eichfixierenden Terme, von Gj abhängige
Matrixfelder sind:
i
i
i
Ej = ρρ,j − Tr (Gm Gn ;j ) Gm Gn + Tr (ρGj Gm ;m ) ρ
2
16
8
(A.106)
Die Störungsrechnung für das elektromagnetische Feld wurde im vorigen Abschnitt ohne
Wahl einer speziellen Eichung (z.B. Lorentzeichnung) durchgeführt. Dadurch bot das
Eichverhalten der verschiedenen Terme bei den Rechnungen eine wichtige Kontrollmöglichkeit.
Um den Rechenaufwand so gering wie möglich zu halten, soll in diesem Abschnitt hingegen
eine günstige Eichung gewählt werden: Zunächst einmal kann man die Matrixfelder Gj
durch eine geeignete Eichtransformation in die Form9
Gj (x) = γ j +
3
X
hja (x) γa
a=0
bringen. Die Funktionen hja beschreiben dabei die Störung durch das Gravitationsfeld10 .
Da die Störungsrechnung für k0 in erster Ordnung durchgeführt werden soll, genügt es im
folgenden, die linearen Terme in hja mitzunehmen.
Bei einer Eichtransfomation
Ψ̃(x) = (1 + i akl (x) σ kl + O(a2 )) Ψ(x)
verhalten sich die Matrixfelder Gj wie
j
G̃
j
= γ +
= γj +
3
X
a=0
3
X
a=0
h
i
hja γa + i akl σ kl , γ j + O(a2 , ha)
(hja + 4aja ) γa + O(a2 , ha)
.
Man kann also durch Wahl der Eichung erreichen, daß hja symmetrisch ist, also hja = haj .
Eine solche Eichung wird symmetrische Eichung genannt. Wir werden im folgenden
stets in symmetrischer Eichung arbeiten und auch das Ergebnis der Störungsrechnung nur
in symmetrischer Eichung angeben.
Die Funktionen hja sollen von nun an formal wie ein Tensorfeld behandelt werden.
Wie in der linearisierten Gravitationstheorie üblich11 , soll das Heben und Senken von
Tensorindizes mit der Minkowski-Metrik ηjk durchgeführt werden.
9
Das sieht man folgendermaßen: Nach Definition des Diracoperators im Gravitationsfeld (siehe [2])
gibt es zu jedem Raum-Zeit-Punkt x eine spezielle Eichung und ein spezielles Koordinatensystem, so daß
Gj (x) = γ j . In dieser Eichung hat man in beliebigen Koordinaten
Gj (x) =
3
X
kja γa
(A.107)
a=0
mit geeigneten Koeffizienten kja . Da Gj (x) nur von der Eichung im Punkte x abhängt, kann man durch
eine geeignete Eichtransformation erreichen, daß (A.107) sogar auf dem ganzen Definitionsbereich der
Karte mit glatten Funktionen kja (x) gilt.
10
Beachte, daß hja kein Tensorfeld ist, sondern sich unter Koordinatentransformationen gemäß
h̃ja =
∂ x̃j ka
h
∂xk
transformiert.
11
Siehe z.B. Landau/Lifshitz [4], Band 2, §105.
33
Für die Metrik erhält man nach (A.104)
gjk = η jk + 2hjk
gjk = ηjk − 2hjk
.
Insbesondere sieht man, daß die hjk durch die Lorentzmetrik eindeutig bestimmt sind.
Man hat nun noch die Freiheit, kleine Koordinatentransformationen x̃j = xj + κj (x)
durchzuführen. Diese Willkür kann man ausnutzen, um die Zusatzbedingung
hjk ,k =
1
h,j
2
h = hkk
mit
(A.108)
zu erfüllen12 . Man hat dann
q
Γijk = −hij ,k −hik ,j +hjk ,i
| det g| = 1 − h
Rjk = −2hjk
i
Ej = − Tr(Gm Gn ;j ) Gm Gn
16
i
=
(hjn ,m −hjm ,n ) γ m γ n
4
i
hjn ,m γ j γ m γ n − hjm ,n γ j γ m γ n
Gj Ej =
4
i j =
γ hjk ,k −h,j
2
i
= − γ j h,j
.
4
Durch Einsetzen in (A.105) erhält man13
G = i∂/ + iγj hjk
i
∂
− (∂/h)
k
∂x
4
.
(A.109)
Bei der Durchführung der Störungsrechnung tritt eine kleine Schwierigkeit auf: Das Gravitationsfeld führt nicht nur zu einer Störung des Diracoperators in der Form (A.109),
√
sondern auch zu einer Änderung des Integrationsmaßes −g d4 x. Gleichung (10) kann
jedoch nur angewendet werden, wenn das Integrationsmaß unverändert bleibt.
Der einfachste Ausweg besteht darin, auf ein System mit dem Maß d4 x zu transformieren, die Störungsrechnung in diesem System durchzuführen und anschließend auf
√
das Maß −g d4 x zurückzutransformieren. Beachte dazu, daß sich eine Wellenfunktion
Ψ, der Diracoperator G und ein Integraloperator A(x, y) beim Übergang von dem Maß
a(x) d4 x zu b(x) d4 x mit 0 < a, b ∈ C ∞ (M ) gemäß
Ψ
(a)
(x) =
s
b(x) (b)
Ψ (x)
a(x)
12
Siehe Landau/Lifshitz [4], Band 2, §107.
Durch partielle Integration kann man direkt überprüfen, daß G hermitesch ist, also (in erster Ordnung
in hjk ) die Gleichung
Z
Z
13
p
(GΨ)Φ
erfüllt.
|g|d4 x =
34
Ψ GΦ
p
|g|d4 x
(a)
G
s
=
s
A(a) (x, y) =
b (b)
G
a
r
b(x)
a(x)
b(y) (b)
A (x, y)
a(y)
s
a
b
(A.110)
transformieren, also insbesondere
h
G 1+
=
2
i
∂
= i∂/ + iγj hjk k + (∂/h)
∂x
4
h
1−
2
(d4 x)
G
.
Aus (10) folgt nun
(d4 x)
∆k0
= −i k0 γ
j
1
1
+ h,j ) s0 + s0 γ j (hkj ∂k + h,j ) k0
4
4
(hkj ∂k
und nach (A.110)
k̃0 (x, y) =
1+
h(x)
2
1+
h(y)
2
(d4 x)
k̃0
(x, y)
∂ j k
j k
k
γ
h
s
+
s
γ
h
k
0
0
j 0
j 0 (x, y)
∂y k
1
1
− (k0 (i∂/h) s0 + s0 (i∂/h) k0 ) (x, y) + (h(x) + h(y)) k0 (x, y)
4
2
= k0 (x, y) + i
.
Einsetzen der Beziehung14
(k0 (i∂/h) s0 + s0 (i∂/h) k0 ) (x, y) = (h(x) − h(y)) k0 (x, y)
liefert
k̃0 (x, y) = k0 (x, y) +
+i
1
3
h(x) + h(y)
4
4
k0 (x, y)
∂ j k
j k
(x, y)
k
γ
h
s
+
s
γ
h
k
0
0
0
0
j
j
∂y k
.
Ein Vergleich mit (A.72) zeigt, daß man die Rechnungen zum Teil auf die Ergebnisse des
vorigen Abschnittes zurückführen kann:
= k0 (x, y) +
1
3
h(x) + h(y)
4
4
k0 (x, y) −
i ∂
∆k0 [γ j hkj ](x, y)
e ∂y k
(A.111)
Dabei bezeichnet ∆k0 [γ j hkj ] den Beitrag der Störung durch das elektromagnetische Potential Aj = hkj .
Mit Hilfe von Theorem A.3.1 kann man den letzten Summanden in (A.111) direkt
auswerten und erhält auf diese Weise:
14
Dies folgt aus
k0 (i∂/h) s0
=
k0 [i∂/, h] s0 = (i∂/k0 ) h s0 − k0 h (i∂/s0 )
=
−k0 h
,
wobei h als Multiplikationsoperator aufgefaßt wird.
35
Theorem A.4.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt in symmetrischer Eichung
∆k0 (x, y) = −
Z
Z
y
x
hkj
ξj
∂
k0 (x, y)
∂y k
(A.112)
y
1
(2α − 1) γ i ξ j ξ k (hjk ,i −hik ,j ) (m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
4π 2
x
Z y
i
ijlm
k
ε
(hjk ,i −hik ,j ) ξ ξl ργm (m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
+ 2
8π
x
Z y
1
2
j k
+
(α − α) ξ ξ Rjk k0 (x, y)
2 x
Z y
1
4
3
2
j k
(α − 2α + α ) ξ/ ξ ξ 2Rjk (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
+
32π 2
x
Z y
1
2
−
(6α − 6α + 1) ξ/ R (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
32π 2
x
Z y
1
3
2
j k l
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
(4α − 6α + 2α) ξ ξ γ Rj[k ,l]
+
32π 2
x
Z y
i
2
ijlm
k
−
(α − α) ε
Rki ,j ξ ξl ργm (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
16π 2
x
Z y
1
2
j k
(α − α) ξ γ Gjk (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
− 2
8π
x
+O(ξ 0 )
,
−
(A.113)
(A.114)
(A.115)
(A.116)
(A.117)
(A.118)
(A.119)
(A.120)
wobei Rjk den Ricci- und Gjk = Rjk − 21 R gjk den Einstein-Tensor bezeichnet.
(m∨ , m∧ sind die Distributionen m∨ (y) = δ′ (y 2 ) Θ(y 0 ), m∧ (y) = δ′ (y 2 ) Θ(−y 0 ), ferner
wurde ξ = y − x gesetzt.)
Beweis: Setzt man in Theorem A.3.1 das elektromagnetische Potential Aj = hkj ein, so
ergibt sich für den elektromagnetischen Feldstärketensor und den Maxwellstrom
Fij
= hkj ,i −hki ,j
ji = hkj ,ij −2hki =
1 k
h, −2hki
2 i
,
wobei (A.108) angewendet wurde. Bei der Berechnung von
−
i ∂
∆k0 [γ j hkj ](x, y)
e ∂y k
führen die Summanden (A.76) bis (A.83) zu folgenden Beiträgen:
Z
y
1
1
(A.76) : (A.112) − h(y) k0 (x, y) −
h k0 (x, y)
2
2 x
Z y 1
1
h k0 (x, y)
(A.77) : (A.115) − (h(y) + h(x)) k0 (x, y) +
4
2 x
Z y
1
1
+ 2
(α2 − α) ξ j γ k (Rjk + R gjk ) (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
8π
2
x
Z
y
1
(2α − 1) (∂/h) (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
−
16π 2
x
Z y
1
(2α
−
1)
(∂
/
h)
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
(A.78) : (A.113) −
16π 2
x
(A.79) : (A.114)
36
Bei der Ableitung der Summanden (A.80) bis (A.83) kann man Satz A.1.15 anwenden. Da
wir die delokalisierten Terme (also diejenigen Terme, die für y ∈ ℑx beitragen und in einer
Umgebung von Lx beschränkt sind) nicht berechnen wollen, braucht man nur den zweiten
Summanden in (A.49) zu betrachten. Man kann sich die Rechenarbeit erleichtern, wenn
man beachtet, daß die dabei auftretenden Linienintegrale bereits im Beweis von Satz A.3.2
bestimmt wurden. Man erhält als Beiträge:
(A.80) : (A.116) + (A.117)
(A.81) : (A.118)
(A.82) : (A.119)
Z y
1
2
j k
(α − α) ξ γ Rjk (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
(A.83) : − 2
4π
x
Z y
1
+ 2
(2α − 1) (∂/h) (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
8π
x
Aufsummieren aller Terme und Einsetzen in (A.111) liefert die Behauptung.
2
Die abgeleitete Formel für k̃0 soll noch kurz diskutiert werden:
Wir wollen dazu zunächst den Spezialfall untersuchen, daß die Störung durch eine Koordinatentransformation x̃i = xi + κi (x) hervorgerufen wird, wobei κ als kleines Vektorfeld
angenommen wird. Aus dem Transformationsverhalten von Integraloperatoren erhält man
unmittelbar in erster Ordnung in κ:
k̃0 (x, y) = k0 (x−κ(x), y−κ(y))
∂
∂
= k0 (x, y) − κi (x) i k0 (x, y) − κi (y) i k0 (x, y)
∂x
∂y
(A.121)
Man kann überprüfen, daß Theorem A.4.1 auf das gleiche Resultat führt: Für die Störung
der Metrik erhält man
1
.
hij = (κi ,j +κj ,i )
2
Die Krümmungsgrößen Rjk , Gjk , R verschwinden, so daß nur die Terme (A.112) bis (A.114)
ausgewertet müssen, also
k̃0 (x, y) = k0 (x, y) −
Z
1
2
Z
y
x
(κk,j + κj , k ) ξ j
∂
k0 (x, y)
∂y k
y
1
(2α − 1) γ i ξ j ξ k (κj,ki − κi,kj ) (m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
− 2
8π x
Z y
i
εijlm (κj,ki − κi,kj ) ξ k ξl ργm (m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
+
16π 2 x
∂
∂
= k0 (x, y) − κi (x) i k0 (x, y) − κi (y) i k0 (x, y)
∂x
∂y
Z y
∂
1
k0 (x, y)
κ[j,k] ξj
−
2
∂y k
x
1
− 2 ξ i γ k (κ[j,k] (y) + κ[j,k] (x)) (m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
8π Z
y
1
j k
κ[j,k] ξ γ
(m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
+ 2
4π
x
i
−
εjklm (κ[j,k] (y) − κ[j,k] (x)) ξl ργm (m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
16π 2
37
= k0 (x, y) − κi (x)
∂
∂
k0 (x, y) − κi (y) i k0 (x, y)
∂xi
∂y
1 j k
ξ γ (κ[j ,k] (x) + κ[j ,k] (y)) (m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
2
8π
i jklm
(m∨ (ξ) − m∧ (ξ)) , (A.122)
ε
(κ
,
(x)
−
κ
,
(y))
ξ
ργ
+
m
l
[j
k]
[j
k]
16π 2
−
denn es gilt
Z
y
[j,k]
κ
x
∂
ξj
k0 (x, y) =
∂y k
=
Z
y
1
∂
ξ/ (m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
κ[j,k] ξj
2
2π
∂y k
x
Z y
1
κ[j,k] ξ j γ k (m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
2π 2
x
.
Führt man nun die Eichtransformation Ψ̃(x) = U (x) Ψ(x) mit
U (x) = 1 +
1
κ , (x) γ j γ k + O(κ2 )
8 [j k]
durch, so erhält man aus (A.122) gerade (A.121).
Man sieht also, daß die Summanden (A.112) bis (A.114) für das richtige Verhalten
bei Koordinatentransformationen verantwortlich sind. Sie haben Ähnlichkeit mit dem
Eichterm (A.76) bei einer elektromagnetischen Störung, der auf das korrekte Verhalten
bei U (1)-Eichtransformationen führt.
Die Summanden (A.115) bis (A.117) sind tangentiale Terme, (A.118) und (A.119)
orthogonale Terme. Die entscheidende Rolle spielen die Summanden (A.115) und (A.120).
Sie werden Krümmungsterme genannt. Falls y − x klein wird, sind sie proportional zum
Ricci- bzw. Einstein-Tensor.
A.5
Skalare Störung
Wir betrachten die Störung durch ein skalares Potential
G = i∂/ + Ξ
.
(A.123)
Für ∆k0 hat man in erster Ordnung in Ξ
∆k0 = − (s0 Ξ k0 + k0 Ξ s0 )
.
Theorem A.5.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
1
∆k0 (x, y) = − (Ξ(y) + Ξ(x)) k(1) (x, y)
2
Z y
1
(∂j Ξ) ξk σ jk
+ 2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
8π
x
Z y Z x Z
z
1
−
3 − 3 dz
α2 (∂j 2Ξ) ζk σ jk
3
16π
x
y
x
Z y Z x
i
3 − 3 2Ξ
.
+
16π 3
x
y
38
(A.124)
(A.125)
(A.126)
(A.127)
Beweis: Es genügt wieder, den Fall ξ 0 > 0 zu betrachten.
Z
Z
Z
y
y
y
i
i
i
∂
/
∂
/
3
γ
∂
/
3
Ξ
=
∂
Ξ
−
2
3
Ξ
∆k0 (x, y) =
i
y
x
y
y
8π 3
8π 3
x
x
x
Z y
i
i ∨
= − 2 Ξ(y) l∨ (ξ) +
(∂/Ξ) ξ/
l (ξ)
4π
8π 2
x
Z z
Z y
Z
1 z 2
i
α 2Ξ −
α (∂/2Ξ) ζ/
+ 3 3 dz 2Ξ −
8π x
2 x
x
Z y
i ∨
1 ∨
= − 2 l (ξ) (Ξ(y) + Ξ(x)) + 2 l (ξ)
(∂j Ξ) ξk σ jk
8π
8π
x
Z z
Z y
Z y
i
1
2
jk
α
(∂
2Ξ)
ζ
σ
+
dz
3
3 2Ξ
−
j
k
16π 3 x
16π 3 x
x
(A.128)
2
Für die Randwerte auf dem Lichtkegel hat man
Satz A.5.2 Für y − x ∈ L gilt
lim
ℑx ∋u→y
∆k0 (x, u) =
Z
y
1
0
ǫ(ξ
)
(α2 − α) (∂j 2Ξ) ξk σ jk
32π 2
x
Z y
i
0
ǫ(ξ )
2Ξ + O(ξ 2 )
.
+
32π 2
x
Beweis: Folgt direkt mit Hilfe von (A.10) und den Integralumformungen A.1.12.
A.6
2
Bilineare Störung
Wir betrachten die Störung durch ein bilineares Potential, also
G = i∂/ + Bjk σ jk
(A.129)
mit einem antisymmetrischen Tensorfeld Bjk = −Bkj . Für ∆k0 hat man in erster Ordnung
in B
.
(A.130)
∆k0 = − s0 Bjk σ jk k0 + k0 Bjk σ jk s0
Theorem A.6.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆k0 (x, y) = −
i
8π 2
i
+ 2
2π
1
+ 2
4π
i
− 2
4π
−
i
(m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
π2
Z
y
x
Bij ξ i ξk σ jk
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Bjk (y) + Bjk (x)) σ jk
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
Z
y
Zxy
Zxy
x
(A.131)
(A.132)
Bjk σ jk
(A.133)
ξj B jk,k
(A.134)
(2α − 1) (ξ k Bjk,i + ξi Bjk,k ) σ ij
(A.135)
39
Z
y
i
(α2 − α) (2Bij ) ξ i ξk σ jk
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
2
4π
x
Z y
i
εijkl Bij,k ξl ρ
+ 2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
8π
x
+O(ξ 0 )
.
−
(A.136)
(A.137)
Beweis: Es genügt wieder, den Fall ξ 0 > 0 zu betrachten.
∆k0 (x, y) =
Z
Z
y
y
i
1 ∂ ∂
jk
B
=
−
γ a γ j γ k γ b Bjk
∂
/
σ
∂
/
3
3
jk
y
8π 3 x
8π 3 ∂xa ∂y b x
x
Wir setzen die Relation
γ a γ j γ k γ b Bjk = 2B ab − iBjk σ jk gab − 2i (B aj σ jb + B bj σ ja ) − iρ εijab Bij
ein und erhalten
1
4π 3
i
+ 3
8π
i
+ 3
4π
i
+ 3
8π
∆k0 (x, y) = −
∂ ∂
∂xj ∂y k
∂ ∂
∂xa ∂ya
∂ ∂
∂xa ∂y b
ijab
ρε
Z
(A.138)
y
3 B jk
x
y
Z
3 Bjk σ jk
Z
x
y
3 (B aj σ jb + B bj σ ja )
x
Z
y
∂ ∂
Bij
3
∂xa ∂y b x
.
Mit Hilfe von Satz A.1.15 und Satz A.1.16 berechnen wir nun die auftretenden Terme
nacheinander, wobei wir alle Beiträge der Ordnung ξ 0 weglassen.
Z
Z
Z
y
y
y
∂
∂2
∂ ∂
jk
jk
3
3
3
B
=
∂
B
−
B jk
j
∂xj ∂y k x
∂y k x
∂y j ∂y k x
Z y
Z y
∂
jk
∨
ξj B jk,k + O(ξ 0 )
= − j 3 B ,k = −π l (ξ)
∂y x
x
Z y
Z y
Z y
∂ ∂
∂
a
3 Bjk =
3 ∂ Bjk − 2y 3 Bjk
∂xa ∂ya x
∂y a x
x
∨
= π l (ξ)
Z
y
x
ξ a Bjk,a − 2π l∨ (ξ) Bjk (y) + O(ξ 0 )
= −π l∨ (ξ) (Bjk (y) + Bjk (x)) + O(ξ 0 )
Z y
∂ ∂
ja
jb
b
a
3
σ
σ
+
B
B
j
j
∂xa ∂y b x
Z y
Z y
∂
∂2
a
jb
b
ja
=
∂
B
σ
+
∂
B
σ
−
2
3
3 B aj σ jb
a
a
j
j
∂y b x
∂y a ∂y b x
= −4π m∨ (ξ)
∨
−π l (ξ)
−π l∨ (ξ)
Z
Z
Z
y
Zxy
x
y
y
x
Baj ξ a ξb σ jb + 2π l∨ (ξ)
2
a
(α − α) (2Baj ) ξ ξb σ
y
x
Bjk σ jk
jb
(2α − 1) ξ a Baj,b + ξb Baj,a
Z
Z
σ jb + O(ξ 0 )
Z
y
y
∂2
∂
∂ ∂
ijab
B
=
ε
∂
B
−
Bij
3
3
3
ε
ij
a
ij
∂xa ∂y b x
∂y b x
∂y a ∂y b x
Z y
Z y
∂
εijkl Bij,k ξl + O(ξ 0 )
= εijkl l 3 ∂k Bij = π l∨ (ξ)
∂y x
x
ijab
40
!
2
A.7
Differentialstörung durch Vektorpotential
Wir betrachten jetzt die Störung des Diracoperators
G = i∂/ + i Lj ∂j +
i j
L
2 ,j
(A.139)
mit einem reellen Vektorfeld L. Für ∆k0 hat man in erster Ordnung in L
∆k0 (x, y) = −i s0 Lj ∂j k0 + k0 Lj ∂j s0 (x, y) −
i
s0 Lj,j k0 + k0 Lj,j s0 (x, y)
2
i
∂ j
j
j
j
(x,
y)
−
(x, y)
s
L
k
+
k
L
s
s
L
k
+
k
L
s
0
0
0
0
0
0
0
0
,j
,j
∂y j
2
∂
i
= −i j ∆k0 [Lj ](x, y) + ∆k0 [Lj,j ](x, y)
.
(A.140)
∂y
2
= i
Damit können wir die Rechnung zum Teil auf diejenige für skalare Störungen, Theorem A.5.1, zurückführen.
Theorem A.7.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
1
(m∨ (ξ) − m∧ (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξj
4π 2
Z y
i
∨
∧
− 2 (m (ξ) − m (ξ))
Lm,j ξ m ξk σ jk
4π
x
1
∨
∧
(l (ξ) − l (ξ)) (Lj,j (y) − Lj,j (x))
−
16π 2
Z y
i
∨
∧
−
(2α − 1) Lm,mj ξk σ jk
(l (ξ) − l (ξ))
16π 2
x
Z y
i
∨
∧
Lk,j σ jk
− 2 (l (ξ) − l (ξ))
8π
x
Z y
i
∨
∧
−
(α2 − α) (2Lm,j ) ξ m ξk σ jk
(l (ξ) − l (ξ))
16π 2
Zxy
1
∨
∧
(2Lj ) ξ j
(l (ξ) − l (ξ))
+
16π 2
x
+O(ξ 0 )
.
∆k0 (x, y) = −
(A.141)
(A.142)
(A.143)
(A.144)
(A.145)
(A.146)
(A.147)
Beweis: Nach Theorem A.5.1 hat man
−i
∂
1
∆k0 [Lj ](x, y) = − 2
j
∂y
4π
1
− 2
8π
i
− 2
4π
i
− 2
8π
(m∨ (ξ) − m∧ (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξj
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) Lj,j (y)
∨
∧
(m (ξ) − m (ξ))
∨
∧
(l (ξ) − l (ξ))
41
Z
Z
y
x
y
x
(∂j Lm ) ξ m ξk σ jk
(α (∂jm Lm ) ξk + (∂j Lk )) σ jk
Z
y
i
(α2 − α) (2Lm,j ) ξ m ξk σ jk
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
2
16π
x
Z y
1
∨
∧
+
(2Lj ) ξ j + O(ξ 0 )
(l
(ξ)
−
l
(ξ))
16π 2
x
1
i
j
j
∨
∧
∆k0 [Lj,j ](x, y) =
(l
(ξ)
−
l
(ξ))
L
(y)
+
L
(x)
,j
,j
2
16π 2 Z
y
i
+
(∂jm Lm ) ξk σ jk + O(ξ 0 )
,
16π 2 x
−
setze nun in (A.140) ein.
A.8
2
Bilineare Differentialstörung durch Vektorpotential
Wir betrachten jetzt die Störung des Diracoperators
G = i∂/ + iLj σ jk ∂k +
i
Lj,k σ jk
2
(A.148)
mit einem reellen Vektorfeld L. Für ∆k0 hat man in erster Ordnung in L
∆k0 (x, y) = −i s0 Lj σ jk ∂k k0 + k0 Lj σ jk ∂k s0 (x, y)
−
i
s0 Lj,k σ jk k0 + k0 Ljk σ jk s0 (x, y)
2
Wir setzen die Relation
Lj σ jk ∂k = −iLj ∂j + L/ (i∂/)
(A.149)
ein und erhalten
i
∆k0 (x, y) = −i∆k0 iL ∂j + Lj,j (x, y) − ik0 (x, y) L/(y)
2
i
1
+ ∆k0 [Lj,k σ jk ](x, y) − ∆k0 [Lj,j ](x, y)
.
2
2
j
(A.150)
Damit können wir die Rechnung zum Teil auf diejenige für Differentialstörungen, bilineare
Störungen und skalare Störungen zurückführen.
Theorem A.8.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆k0 (x, y) =
1
(m∨ (ξ) − m∧ (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξk σ jk
4π 2
i
− 2 (m∨ (ξ) − m∧ (ξ)) (Lj (y) − Lj (x)) ξ j
4π
i
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lk,k (y) + Lk,k (x))
16π 2
Z y
1
∨
∧
Lm,mj ξk σ jk + O(ξ 0 ) ,
−
(l (ξ) − l (ξ))
16π 2
x
42
(A.151)
(A.152)
(A.153)
(A.154)
Beweis: Aus Theorem A.6.1 erhält man durch partielle Integration
Z
y
1
i
∨
∧
∆k0 [Lj,k σ jk ](x, y) =
(m
(ξ)
−
m
(ξ))
Li,j ξ i ξk σ jk
2
4π 2
x
1
∨
∧
− 2 (m (ξ) − m (ξ)) (Lj (y) − Lj (x)) ξk σ jk
4π
1
+
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Li,j (y) + Li,j (x)) σ ij
16π 2
Z y
1
− 2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
Li,j σ ij
4π
x
Z y
i
∨
∧
(2Lj ) ξ j
(l
(ξ)
−
l
(ξ))
+
16π 2
x
i
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lk,k (y) − Lk,k (x))
−
16π 2
1
+
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj,i (y) + Lj,i (x)) σ ij
16π 2
Z y
1
∨
∧
Lj,i σ ij
− 2 (l (ξ) − l (ξ))
8π
x
Z y
1
∨
∧
+
(2α − 1) ξi (2Lj ) σ ij
(l (ξ) − l (ξ))
16π 2
x
Z y
1
∨
∧
(2α − 1) ξi Lk,jk σ ij
(l (ξ) − l (ξ))
−
16π 2
Zxy
1
∨
∧
+
(α2 − α) 2(Li,j ) ξ i ξk σ jk
(l (ξ) − l (ξ))
16π 2
Zxy
1
∨
∧
(l (ξ) − l (ξ))
(2α − 1) (2Lj ) ξk σ jk + O(ξ 0 )
+
16π 2
x
.
Durch Vergleich mit Theorem A.7.1 erhält man
−i∆k0 iLj ∂j +
=
i j
i
L (x, y) − ik0 (x, y) L/(y) + ∆k0 [Lj,k σ jk ](x, y)
2 ,j
2
1
(m∨ (ξ) − m∧ (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξk σ jk
4π 2
i
− 2 (m∨ (ξ) − m∧ (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξ j + O(ξ 0 )
4π
Die Behauptung folgt mit (A.150) und Theorem A.5.1.
43
.
2
Appendix B
Störungsrechnung für km im
Ortsraum
In diesem Kapitel werden wir die Störungsrechnung für km durchführen. Dabei werden
wir ähnlich wie im Fall m = 0 in Anhang A vorgehen und Gleichung (10) im Ortsraum
auswerten.
Der Einfachheit halber nehmen wir m > 0 an, den allgemeinen Fall erhält man durch
eine PCT-Transformation1 . Man hat dann
km (x) = (i∂/ + m) Km2 (x)
(B.1)
sm (x) = (i∂/ + m) Sm2 (x)
(B.2)
mit
Z
d4 k
δ(k2 − m2 ) ǫ(k0 ) e−ikx
(2π)4
J1 (mτ )
i
Θ(x2 ) ǫ(x0 )
(B.3)
= − 2 δ(x2 ) − m2
4π
2mτ
Z
d4 k
1
Sm2 (x) =
e−ikx
4
2
(2π) k − m2
J1 (mτ )
1
Θ(x2 )
.
(B.4)
δ(x2 ) − m2
= −
4π
2mτ
√
Dabei wurde τ = x2 gesetzt, J1 ist eine Besselfunktion erster Art.
Im Unterschied zu (A.2), (A.3) tritt im Innern des Lichtkegels ein zusätzlicher Beitrag
auf, der für großes τ asymptotisch wie
Km2 (x) =
3
3
Km2 (x), Sm2 (x) ∼ τ − 2 cos( π − mτ )
4
1
Für eine Störung durch ein elektromagnetisches Feld oder ein Gravitationsfeld hat man insbesondere
ρBρ = −B
und wegen k−m = ρkm ρ, s−m = −ρsm ρ
k̃−m
=
k−m − λk−m Bs−m − λs−m Bk−m
=
ρkm ρ + λ(ρkm ρ)B(ρsm ρ) + λ(ρsm ρ)B(ρkm ρ)
=
ρk̃m ρ
.
44
abfällt und in der Nähe des Lichtkegels mit
i
lim Km2 (x) = − 2
ℑ∋x→y∈L
4π
m2
−
4
m2
−
4
1
lim Sm2 (x) = −
ℑ∋x→y∈L
4π
!
ǫ(y 0 )
!
beschränkt ist.
Durch Einsetzen von (B.3), (B.4) in (B.1), (B.2) erhält man unter Verwendung von
d
dx
J1 (x)
x
= −
J2 (x)
x
für die Distributionen km , sm 2
i 2
i
m x/ K0 (x) − 2 Υ(x) ǫ(x0 )
2
4π
1
i 2
Υ(x)
sm (x) = s0 (x) + m − m x/ S0 (x) −
2
4π
km (x) = k0 (x) + m −
(B.5)
(B.6)
mit
1
J1 (mτ )
i
J2 (mτ )
Υ(x) = − m3
Θ(x2 ) + m4 x/
Θ(x2 )
2
mτ
2
m2 τ 2
Für die Randwerte von Υ auf dem Lichtkegel hat man
1
i
Υ(x) = − m3 + m4 y/
ℑ∋x→y∈L
4
16
lim
.
(B.7)
.
Für das weitere Vorgehen wollen wir (B.5), (B.6) in (10) einsetzen und explizit ausrechnen.
Zusätzlich zu den Lichtkegelintegralen von Abschnitt A.1 tritt dabei ein weiterer Typ von
Integralen auf, beispielsweise das Integral
Z
d4 z lx∨ (z) Θ((y − z)2 ) f (z)
der Funktion f über den Schnitt des Lichtkegels um den Punkt x mit dem Inneren des
Lichtkegels um den Punkt y.
Es ist hilfreich, solche sogenannten inneren Lichtkegelintegrale zunächst allgemeiner
zu untersuchen:
2
Um die Gleichungen (B.5) und (B.6) auf Vorzeichen und Vorfaktoren zu verifizieren, kann man direkt
nachrechnen, daß für y 6= 0 tatsächlich (i∂/ − m)km (y) = (i∂/ − m)sm (y) = 0 gilt. Dazu verwendet man die
Relation
,
∂/y y/l∨ (y) = 2l∨ (y)
die man durch
∂/y y/δ(y 2 )
=
4δ(y 2 ) + 2y/y/δ ′ (y 2 )
=
4δ(y 2 ) + 2y 2 δ ′ (y 2 ) = 2δ(y 2 )
herleiten kann, sowie die Beziehungen zwischen Besselfunktionen
d
dx
J2 (x)
x2
xJ1 (x) + xJ3 (x)
J3 (x)
x2
=
−
=
4J2 (x)
45
.
B.1
Innere Lichtkegelintegrale
Def. B.1.1 Setze
Θ∨ (y) = Θ(y 2 ) Θ(y 0 )
Θ∧ (y) = Θ(y 2 ) Θ(−y 0 )
∨
∧
∧
sowie Θ∨
x (y) = Θ (y − x), Θx (y) = Θ (y − x).
∞
Definiere für f ∈ C (M ) die inneren Lichtkegelintegrale durch
Z
Z
▽ f (y) =
Z
Z
△ f (y) =
Z
Z
⊙ f (y) =
d4 z l∨ (z) Θ∧
y (z) f (z)
(B.8)
d4 z Θ∨ (z) ly∧ (z) f (z)
(B.9)
d4 z Θ∨ (z) Θ∧
y (z) f (z)
.
(B.10)
Offensichtlich sind die Integrale (B.8) bis (B.10) wohldefiniert und endlich. Auf y ∈ ℑ∨
sind sie glatte Funktionen. Für y 6∈ L∨ ∪ ℑ∨ verschwinden die inneren Lichtkegelintegrale,
weil sich die entsprechenden Lichtkegel um den Ursprung und den Punkt y dann nicht
schneiden.
Die Bezeichungen von Definition A.1.7 werden in analoger Weise auch für die inneren
Lichtkegelintegrale verwendet.
Die inneren Lichtkegelintegrale können auch durch gewöhnliche Lichtkegelintegrale
ausgedrückt werden:
Lemma B.1.2 Es gilt:
Z
▽ f (y) = y 2
Z
△ f (y) = y
Z
2
⊙ f (y) = y 4
Z
Z
1
1
(B.11)
Z
y
dα (1 − α) 3 f
0
Z
f
0
0
Z
αy
dα α 3
1
dα
Z
αy
1
α
0
(B.12)
Z
dβ (β − α)2 3
βy
f
(B.13)
αy
Beweis: Man hat
y
2
Z
0
Z
1
αy
dα α 3
f = y
2
Z
0
0
1
dα α
Z
d4 z l∨ (z) l∧ (z − αy) f (z)
.
Nach Satz A.1.3 existiert das innere Integral und ist in α stetig, man kann also die beiden
Integrale vertauschen:
= y
2
= y2
Z
Z
4
∨
d zf (z)l (z)
d4 zf (z)l∨ (z)
Z
Z
1
0
1
0
dα α δ((z − αy)2 ) Θ(αy 0 − z 0 )
dα α δ(−2α<y, z> + α2 y 2 ) Θ(αy 0 − z 0 )
.
Die Integration über α kann ausgeführt werden. Man erhält einen Beitrag bei α =
2 y −2 <y, z> falls z ∈ ℑ∧
y , genauer
=
Z
d4 z f (z) l∨ (z) Θ∧
y (z) =
46
Z
▽ f (y)
.
Gleichung (B.12) erhält man ganz analog. Weiterhin gilt
y
4
Z
1
dα
0
= y4
Z
Z
1
2
Z
βy
dβ (β − α) 3
0
1
dα
Z
0
0
f
αy
1
dβ (β − α)2
Z
d4 z l∨ (z − αy) l∧ (z − βy) f (z)
.
Die Integration über α, β kann ausgeführt werden und liefert Beiträge bei
q
1
<z,
y>
−
<z, y>2 − z 2 y 2
y2
q
1
2 − z2y2
<z,
y>
+
<z,
y>
y2
α =
β =
falls z ∈ ℑ∨ ∩ ℑ∧
y . Man erhält so gerade (B.13).
R
R
2
R
Korollar B.1.3 Es gilt ▽ f, △ f, ⊙ f ∈ C ∞ (ℑ∨ ∪ L∨ ).
Die partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung der inneren Lichtkegelintegrale sind also
stetig auf L∨ ∪ ℑ∨ fortsetzbar.
Beweis: Nach Lemma A.1.6 gilt
Z
2
Z
y
( ▽ f )(y) = y 3 dz
0
Z
1
αf (αz) dα
.
0
Nach Korollar A.1.11 ist das Lichtkegelintegral, und somit auch der ganze Ausdruck, in
C ∞ (ℑ∨ ∪ L∨ ).
Die Randwerte der partiellen Ableitungen kann man direkt ausrechen: Nach Satz A.1.10
folgt für y ∈ ℑ∨
∂j
Z
Z
y
▽ f (y) = 2 yj 3 dz
0
Z
1
0
Z
y
β f (βz) dβ + y 2 3 hj
0
Z
1
βf (βz)dβ
0
und nach Satz A.1.3 und A.1.12
lim
ℑ∨ ∋y→z∈L
Z
∂j ( ▽ f )(y) = π zj
∨
= π zj
Für die inneren Lichtkegelintegrale
man erhält explizit
lim
ℑ∨ ∋y→z∈L
lim
R
△
f und
Z
R
⊙
Z
1
dα
0
Z
0
ℑ∨ ∋y→z∈L∨
1
dβ β f (αβz)
0
1
(1 − α) f (αz) dα
.
(B.14)
f kann man ganz analog argumentieren,
∂j ( △ f )(y) = π zj
∨
Z
Z
∂j ( ⊙ f )(y) = 0
Z
1
αf (αz) dα
(B.15)
.
(B.16)
0
2
Die Gleichungen (B.14)-(B.16) werden später noch benötigt.
Mit Hilfe von Lemma B.1.2 kann man in Analogie zu Satz A.1.3 das Verhalten der
inneren Lichtkegelintegrale in der Nähe des Lichtkegels L∨ untersuchen.
47
Satz B.1.4 Für y ∈ L∨ gilt
Z
Z
π 1
(1 − α) f (αy) dα
2 0
Z
π 1
α f (αy) dα
2 0
Z
π 1
(α − α2 ) f (αy) dα
4 0
1
lim
▽ f (x) =
∨
ℑ ∋x→y x2
Z 1
△ f (x) =
lim
ℑ∨ ∋x→y x2
Z 1
lim
⊙ f (x) =
ℑ∨ ∋x→y x4
(B.17)
(B.18)
(B.19)
Beweis: Nach Lemma B.1.2 und Lemma A.1.6 gilt
1
x2
Z
Z
▽ f (x) =
Z
1
Z
αx
dα α 3
0
x
f = 3 dz
0
0
Z
1
dα αf (αz)
,
0
nach Satz A.1.3 folgt hieraus
ℑ
1
∋x→y x2
lim
∨
Z
Z
Z
1
π 1
dβ
dα αf (αβy)
2 0
0
Z
π 1
dα (1 − α)f (αy)
2 0
▽ f (x) =
=
,
wobei die Integralumformungen A.1.12 angewendet wurden. Gleichung (B.18) erhält man
ganz analog.
Weiterhin hat man nach Lemma A.1.6
1
x4
Z
Z
⊙ f (x) =
1
dα
1
2
Z
x
3 dz
0
Z
Z
dβ (β − α) 3
α
0
=
Z
1
dα
f
αx
Z
1
α
0
βx
dβ (β − α)2 f (αx + (β − α)z)
und nach Satz A.1.3
ℑ
1
∋x→y x4
lim
∨
Z
π
2
⊙ f (x) =
Z
1
dλ
0
Z
1
dα
Z
1
α
0
dβ (β − α)2 f (αy + (β − α)λy)
.
Führe die Variablentransformation β̃ = (β − α)/(1 − α) durch
π
=
2
Z
1
0
Z
3
dα (1 − α)
1
dλ
0
Z
1
0
dβ̃ β̃ 2 f (αy + λβ̃(1 − α)y)
und wende die Integralumformung A.1.12 in λ, β̃ an
π
4
=
Z
0
1
dα (1 − α)3
Z
1
0
dβ (1 − β 2 ) f (αy + β(1 − α)y)
.
In den neuen Koordinaten α̃ = 1 − α, β̃ = 1 − β
π
=
4
Z
0
1
3
dα̃ α̃
Z
0
1
dβ̃ (2β̃ − β̃ 2 ) f (y − α̃β̃y)
kann man wieder A.1.12 anwenden und erhält
π
=
4
Z
0
1
π
dα (α − α ) f ((1 − α)y) =
4
2
Z
0
1
dα (α − α2 ) f (αy)
.
2
Es werden noch einfache Formeln für die Ableitungen der inneren Lichtkegelintegrale
benötigt.
48
Lemma B.1.5 Es gilt im Distributionssinne:
∂
∂y j
∂
∂xj
∂
∂xj
∂
∂y j
Z
Z
y
y
▽ f
= 2 3 dz (y − z)j f (z)
△ f
= −2 3 dz f (z) (z − x)j
▽ f
=
△ f
=
x
y
(B.20)
x
Z
x
y
Z
y
x
Z
x
y
Z
Z
Z
y
y
▽ ∂j f − 2 3 dz (y − z)j f (z)
(B.22)
△ ∂j f + 2 3 dz f (z) (z − x)j
(B.23)
Z
x
y
Z
x
y
x
x
x
(B.21)
Für (y − x) 6∈ L∨ gelten diese Gleichungen sogar punktweise.
Beweis: Berechne zunächst die Distributionsableitungen:
−
Z
4
d y (∂j g(y))
Z
y
▽ f
x
= −
Z
4
d y (∂j g(y))
Z
d4 z lx∨ (z) Θ∧
y (z) f (z)
Man kann die beiden Integrationen vertauschen, weil die einzelnen Integrale existieren und
bezüglich der anderen Variablen stetig sind:
= −
Z
4
d z
lx∨ (z)
f (z)
Z
ℑ∨
z
d4 y (∂j g)(y)
Jetzt kann man partiell integrieren
=
Z
d4 z lx∨ (z) f (z)
Z
d4 y g(y) 2(y − z)j lz∨ (y)
und nach Satz A.1.3 wiederum die Integrale vertauschen
=
Z
4
Z
y
d y g(y) 3 dz 2(y − x)j f (z)
.
x
Gleichung (B.21) zeigt man auf die gleiche Weise. (B.22) und (B.23) folgen daraus analog
zum Beweis von Lemma A.1.8.
Da die inneren Lichtkegelintegrale für (y − x) 6∈ L∨ glatte Funktionen sind, gelten die
abgeleiteten Gleichungen dort sogar punktweise.
2
B.2
Störungsrechnung für das elektromagnetische Feld
Betrachte nun speziell die Störung (A.71) durch ein elektromagnetisches Feld. In erster
Ordnung Störungstheorie hat man
k̃m = km + ∆km
mit
∆km = −e (km A
/ sm + sm A
/ km )
.
(B.24)
Schreibt man (B.5) und (B.6) in der Form
i
i
(i∂/ + m − m2 x/)(l∨ (x) − l∧ (x)) + Υ(x)(Θ∨ (x) − Θ∧ (x))
2
4π
2
1
i 2
sm (x) = −
(i∂/ + m − m x/)(l∨ (x) + l∧ (x)) + Υ(x)(Θ∨ (x) + Θ∧ (x))
4π
2
km (x) = −
49
und setzt in (B.24) ein, ergibt sich
Z
i
d z i∂/x + m − m2 (x − z)j γj ×
2
l∨ (x − z)l∨ (z − y) − l∧ (x − z)l∧ (z − y) A
/(z) ×
i
i∂/y + m − m2 (z − y)j γj
2
i 2
j
+ i∂/x + m − m (x − z) γj ×
2
l∨ (x − z)Θ∨ (z − y) − l∧ (x − z)Θ∧ (z − y) A
/(z)Υ(z − y)
ie
∆km (x, y) = − 3
8π
4
+ Υ(x − z) Θ∨ (x − z)l∨ (z − y) − Θ∧ (x − z)l∧ (z − y) A
/(z) ×
i
i∂/y + m − m2 (z − y)j γj
2
+ Υ(x − z)(Θ∨ (x − z)Θ∨ (z − y)
ie
=
8π 3
ie
+ 3
8π
ie
+ 3
8π
ie
+ 3
8π
ie
+ 3
8π
ie
+ 3
8π
ie
+ 3
8π
ie
+ 3
8π
ie
+ 3
8π
(i∂/x + m)
Z
y
−Θ∧ (x − z)Θ∧ (z − y))A
/(z)Υ(z − y)
Z
x
/
/− 3 A
3 A
y
x
Z
i∂/y + m
Z
x
y
i
/(z) (z − y)j γj
− m2 (i∂/x + m) ( 3 − 3 )dz A
2
y
x
Z y Z x
i
/(z) i∂/y + m
− m2
( 3 − 3 )dz (x − z)j γj A
2
y
x
Z y Z x
1 4
/(z) (z − y)j γj
− m
( 3 − 3 )dz (x − z)j γj A
4
y
x
Z
y
Z
x
(i∂/x + m) ( ▽ − △ )dz A
/(z) Υ(z − y)
Z
y
Z
x
y
x
( △ − ▽ )dz Υ(x − z) A
/(z)
x
y
Z
Z
i∂/y + m
x
y
i
/(z) Υ(z − y)
− m2
( ▽ − △ )dz (x − z)j γj A
2
y
x
Z y
Z x
i 2
j
/(z) (z − y) γj
− m
( △ − ▽ )dz Υ(x − z) A
2
y
x
Z
y
Z
x
/(z) Υ(z − y)
( ⊙ − ⊙ )dz Υ(x − z) A
x
y
.
(B.25)
In unseren Anwendungen sind in k̃m (x, y) Terme der Ordnung (y − x)4 vernachlässigbar.
Daher führen wir eine Entwicklung um den Lichtkegel durch:
Theorem B.2.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆km (x, y) = ∆k0 (x, y)
−ie
Z
y
x
(B.26)
Aj ξ j (km − k0 )(x, y)
Z
Z y
x
ie
m 3 −3
Fij σ ij
3
16π
x
y
Z y Z x
Z z
e
+ 3 m 3 − 3 dz
α2 jk ζ k
8π
x
y
x
+
50
(B.27)
(B.28)
(B.29)
Z Z
x
y
ie
m2 3 − 3 dz Fij γ i (2z − x − y)j
3
16π
y
x
Z y Z x
e
2
m
3 − 3 εijkl Fij ξk ργl
−
32π 3
y
x
Z y Z x
Z z
ie
2
+
α2 jk ζ k ξ/
m
3 − 3 dz
16π 3
y
x
x
Z y
ie
ij
3
−
F
σ
Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ) ξ 2
m
ij
2
128π
Z yx
e
2
k
3
(α − α) jk ξ
Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ) ξ 2
m
+
2
64π
x
Z
y
e
ijkl
4
+
Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ) ξ 2
ε
Fij ξk ργl
m
2
512π
Zxy
ie
4
i j
m
(1 − 2α) Fij γ ξ
Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ) ξ 2
+
2
256π
Zxy
ie
2
k
4
+
Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ) ξ 2
(α − α) jk ξ ξ/
m
2
256π
x
4
+O(ξ )
,
+
(B.30)
(B.31)
(B.32)
(B.33)
(B.34)
(B.35)
(B.36)
(B.37)
wobei ξ = y − x, ζ = z − x gesetzt wurde.
Beweis: Es soll nur der Fall ξ 0 > 0 betrachtet werden, die Formel für allgemeines ξ erhält
man genau wie im Beweis von Theorem A.3.1 durch Punktspiegelung des MinkowskiRaumes.
Betrachte in (B.25) die Terme verschiedener Ordnung in m nacheinander. Beachte
dabei, daß Υ nach (B.7) erst ab dritter Ordnung in m beiträgt.
1. Terme ∼ m0 :
Führt auf die Störungsrechnung für m = 0, vergleiche (A.74).
2. Terme ∼ m:
Man hat den Beitrag
e
− 3 m ∂/x
8π
Z
y
3 A
/
x
+
Z
y
3 A
/ ∂/y
x
.
(B.38)
Forme unter Verwendung von Lemma A.1.8 und Satz A.1.15 weiter um3 :
∂/x
Z
y
/
3 A
x
=
Z
y
+
Z
y
/ ∂/y
3 A
x
3 (∂/A
/) − 2
x
= −2πl∨ (ξ)
Z
y
Z
+2 3 dz
x
Z
y
Z
y
∂
(γ j A
/+A
/γ j )
3
/) −
= 3 (∂/A
∂y j x
x
y
∂
3
Aj
∂y j x
x
z
x
Z
Z
Z
y
Z
y
Z xy
α ∂j Aj + 3 dz
x
Z
z
x
x
α2 (2Aj ) ζ j
Ersetze nun 2Aj = −jj + ∂j ∂k Ak , integriere in α partiell
∨
= −2πl (ξ)
3
i j
Dabei ist ∂/A
/ = γ γ (∂i Aj ).
Z
y
x
y
/) − 2 3 (∂j Aj )
Aj ξ j + 3 (∂/A
Z
y
Aj ξ j − 3 dz
x
51
Z
z
x
Z
y
/ − ∂j Aj )
α2 jk ζ k + 3 (∂/A
x
und wende die Beziehung Fij γ i γ j = −iFij σ ij an
∨
= −2πl (ξ)
Z
y
Z
j
y
Aj ξ − 3 dz
x
x
Z
z
x
Z
i y
α jk ζ − 3 Fij σ ij .
2 x
2
k
(B.39)
Bei Einsetzen in (B.38) liefert der erste Summand von (B.39) den Term erster Ordnung in m von (B.27); der zweite und dritte Summand führt auf (B.29) bzw. (B.28).
3. Terme ∼ m2 :
Man hat die Beiträge
ie
m2
8π 3
Z
y
1
/ + ∂/x
3 A
2
x
1
+
2
Z
Z
y
j
/(z) (z − y) γj
3 dz A
x
y
j
/(z) ∂/y
3 dz (x − z) γj A
x
.
(B.40)
Forme zunächst um:
∂/x
Z
y
/(z) (z − y)j γj
3 dz A
x
Z
y
Z
y
3 (∂/A
/) (z − y)j γj − ∂/y 3 dz A
/(z) (z − y)j γj
=
x
y
x
Z
Z
y
∂
/) (z − y)j γj − 2 k 3 dz Ak (z) (z − y)j γj
3 (∂/A
∂y x
x
Z y
∂
+ k 3 dz A
/(z) γ k (z − y)j γj
∂y x
Z y
Z y
Z y
∂
/ ,
/) (z − y)j γj − 2 k 3 dz Ak (z) (z − y)j γj − 2 3 A
3 (∂/A
∂y x
x
x
=
=
(B.41)
wobei Lemma B.2.2 angewendet wurde. Auf analoge Weise erhält man
Z
y
j
3 dz (x − z) γj A
/(z) ∂/y
x
=
Z
y
/) − 2
3 dz (x − z)j γj (∂/A
x
Z
Z
y
y
∂
j
k
A
/
dz
(x
−
z)
γ
A
(z)
−
2
3
3
j
∂y k x
x
(B.42)
und somit insgesamt
1
∂/
2 x
=
Z
y
3 dz A
/(z) (z − y)j γj +
x
1
2
Z
y
Z
y
3 dz (x − z)j γj A
/(z) ∂/y + 3 A
/
x
x
Z
Z y
Z y
∂
1 y
j
j
k
3 dz (∂/A
/) (z − y) γj + (x − z) γj (∂/A
/) + k 3 A ξ/ − 3 A
/ .
2 x
∂y x
x
Satz A.1.15 liefert
= πl∨ (ξ)
Z
y
Z
− 3 dz
x
Z
y
x
z
x
Z
y
Aj ξ j ξ/ + 3 (∂j Aj ) ξ/
x
Z
1 y
α ∂j A ξ/ − 3 dz
2 x
j
Z
z
x
α2 (2Aj ) ζ j ξ/
Z
1 y
/) (z − y)j γj + (x − z)j γj (∂/A
/)
+ 3 dz (∂/A
2 x
52
.
Setze nun wieder 2Aj = −jj + ∂j ∂k Ak und integriere partiell, ersetze außerdem
∂/A
/ = ∂j Aj + 12 Fij γ i γ j
Z
= πl∨ (ξ)
y
x
Aj ξ j ξ/ +
Z
Z
Z
Z
1 y
3 dz
2 x
z
x
α2 jk ζ k ξ/
Z
1 y
+ 3 dz Fjk γ j γ k (z − y)l γl + (x − z)l γl Fjk γ j γ k
4 x
und wende (A.88) an:
∨
= πl (ξ)
Z
y
Aj
x
Z
1 y
ξ ξ/ + 3 dz
2 x
j
z
x
α2 jk ζ k ξ/
Z
i y
1 y
+ 3 dz γ i Fij (2z − x − y)j + 3 dz εijkl Fij ξk ργl
2 x
4 x
Bei Einsetzen in (B.40) liefert der erste Summand den Term zweiter Ordnung in m
von (B.27); die restlichen Summanden führen auf (B.30) bis (B.32).
4. Terme ∼ m3 :
Durch Taylorentwicklung der Funktion Υ nach m erhält man den Beitrag
Z
e
1 y
− 3 m3 − 3 dz (x − z)j γj A
/(z) + A
/(z) (z − y)j γj
8π
2 x
Z y Z y 1
1
− ∂/x ▽ A
/ −
/ ∂/y
.
△ A
4
4
x
x
(B.43)
Setzt man die Umformungen nach Lemma B.1.5
∂/x
Z
Z
y
▽ A
/
x
y
Z
Z
y
y
▽ ∂/A
/ + 2 3 dz (z − y)j γj A
/(z)
=
x
Z
x
y
Z
(B.44)
y
/(z) (x − z)j γj
/)γ j + 2 3 dz A
/ ∂/y = − △ (∂j A
△ A
x
(B.45)
x
x
ein, erhält man
(B.43) = −
e
m3
8π 3
Z
y
3 Aj ξ j −
x
Z
Z
y
1 y
1
/ + △ (∂j A
/)γ j
▽ ∂/A
4 x
4 x
.
(B.46)
In nullter Ordnung in ξ fällt der zweite und dritte Summand von (B.46) nach
Satz B.1.4 weg, für den ersten Summanden kann man (A.10) einsetzen und erhält
= −
e
m3
16π 2
Z
y
x
Aj ξ j Θ∨ (ξ)
in der Ordnung ξ 0 .
(B.47)
Dies ist auch das richtige Ergebnis, denn (B.47) stimmt gerade mit dem Term ∼ m3
von (B.28) überein, während (B.33) und (B.34) in der Ordnung ξ 0 verschwinden.
Nach Lemma A.2.2 bleibt zu überprüfen, daß die Grenzwerte der ersten Ableitungen
∨
für ℑ∨
x ∋ y → ȳ ∈ Lx von (B.46) und (B.47) + (B.33) + (B.34) übereinstimmen, also
daß
∂
.
lim ∨ k ((B.46) − (B.47) − (B.33) − (B.34)) = 0
ℑ∨
∋y→ȳ∈L
∂y
x
x
53
Offensichtlich hat man
lim
∨
ℑ∨
x ∋y→ȳ∈Lx
∂
((B.33) + (B.34))
∂y k
Z
ȳ
ie
3
Fij σ ij ξ̄k
m
64π 2
x
Z ȳ
e
3
−
m
(α − α2 ) jm ξ¯m ξ¯k ,
32π 2
x
= −
(B.48)
wobei zur Abkürzung ξ¯ = ȳ − x gesetzt wurde. Unter Anwendung von (A.45), (B.14)
und (B.15) erhält man
∂
((B.46) − (B.47))
∂y k
Z
e
1 ȳ
3
= −
m
−
(α − α2 ) (2Aj ) ξ̄ j ξ¯k
16π 2
2 x
Z
Z
1 ȳ
1 ȳ
−
(1 − α) (∂/A
/) ξ¯k +
α (∂j A
/)γ j ξ̄k
2 x
2 x
Z ȳ
1
e
m3 −
(α − α2 ) (2Aj ) ξ̄ j ξ¯k
= −
16π 2
2 x
Z
Z
1 ȳ
1 ȳ
−
(1 − 2α) (∂j Aj ) ξ̄k −
Fij γ i γ j ξ̄k
2 x
4 x
lim
∨
ℑ∨
x ∋y→ȳ∈Lx
.
Ersetzt man nun wieder Fij γ i γ j = −iFij σ ij , 2Aj = −jj + ∂jk Ak und integriert
partiell, erhält man gerade (B.48).
5. Terme ∼ m4 : Man hat den Beitrag
Z
ie 4
1 y
m
3 dz (x − z)j γj A
−
/(z) (z − y)k γk
8π 3
4 x
Z y
1
j
/(z) (z − y) γj
− ∂/x ▽ dz A
16
Z y x
1
j
−
△ dz (x − z) γj A
/(z) ∂/y
16
x
Z y
Z y
1
1
/− △ A
/
.
− ▽ A
4 x
4 x
(B.49)
Führe zunächst die Ersetzungen
∂/x
Z
y
/(z) (z − y)j γ j
▽ dz A
x
Z
y
Z
Z
y
y
/(z) (z − y)j γj
/γj − ∂/y ▽ dz A
/)(z) (z − y)j γj + ▽ γ j A
▽ dz (∂/A
=
x
Zxy
Z
x
y
/
/)(z) (z − y)j γj − 2 ▽ A
▽ dz (∂/A
=
x
Z
Z
x
y
/(z) (z − y)k γk
+2 3 dz (z − y) γj A
x
y
j
△ dz (x − z)j γj A
/(z) ∂/y = −
x
Z
y
Z
y
∂
△
dz (x − z)j γj A
/(z) γ k
∂y k x
Z
y
/
/)γ k − 2 △ A
= − △ dz (x − z)j γj (∂k A
x
x
54
(B.50)
Z
Z
y
/(z) (x − z)k γk
+2 3 dz (x − z)j γj A
y
/(z)( x − z)k γk
3 dz (x − z)j γj A
x
(B.51)
x
Z
y
Z
y
/(z) (x − z)2
= 2 3 dz (x − z) Aj (z) (x − z) γk − 3 dz A
Z
j
k
j
k
x
Zxy
= 2 3 dz (x − z) Aj (z) (x − z) γk
y
x
(B.52)
Z
y
3 dz (z − y)j γj A
/(z) (z − y)k γk = 2 3 dz (z − y)j Aj (z) (z − y)k γk (B.53)
x
x
durch:
(B.49) =
Z
ie 4
1 y
3 dz (x − z)j Aj (z) (x − z)k γk
m
−
8π 3
4 x
Z
1 y
− 3 dz (z − y)j Aj (z) (z − y)k γk
4 x
Z
1 y
/(z) (z − y)k γk
− 3 dz (x − z)j γj A
4 x
Z y
1
−
/)(z) (z − y)j γj
▽ dz (∂/A
16 x
Z y
1
+
/)(z) γ k
△ dz (x − z)j γj (∂k A
16 x
Z y
Z
1 y
1
/− △ A
/
− ▽ A
8 x
8 x
In nullter Ordnung in ξ tragen nur die Lichtkegelintegrale
man
Z
R
3
(B.55)
bei; nach (A.10) erhält
y
ie
m4
α2 + (1 − α)2 + 2α (1 − α) Aj ξ j ξ/ Θ∨ (ξ)
2
64π
Zxy
ie
4
Aj ξ j ξ/ Θ∨ (ξ)
in der Ordnung ξ 0 .
m
= −
64π 2
x
= −
(B.54)
(B.56)
Dies ist erwartungsgemäß der Beitrag ∼ m4 von (B.27); beachte, daß (B.35) und
(B.36) in nullter Ordnung in ξ nicht beitragen.
Nun kann man ganz analog wie unter 4. vorgehen: Es ist zu überprüfen, daß
lim
∨
ℑ∨
x ∋y→ȳ∈Lx
∂
((B.54) + (B.55) − (B.56) − (B.35) − (B.36) − (B.37)) = 0
∂y k
.
Offensichtlich hat man
lim
∨
ℑ∨
x ∋y→ȳ∈Lx
=
∂
((B.35) + (B.36) + (B.37))
∂y k
Z
y
e
εijkl Fij ξ̄k ργl
m4 ξ̄k
2
256π
x
Z y
ie
i j
4 ¯
+
(1
−
2α)
F
γ
ξ̄
m
ξ
ij
k
128π 2
Zxy
ie
2
k
4 ¯
(α
−
α
)
j
ξ̄
ξ̄
/
−
m
ξ
k
k
128π 2
x
55
,
(B.57)
wobei wiederum ξ̄ = ȳ − x gesetzt wurde. Nach (B.14) und (B.15) folgt außerdem:
∂
(B.55)
k
∨
ℑ∨
x ∋y→ȳ∈Lx ∂y
Z
Z
Z
1 ȳ
ie 4
1 ȳ 2
1 ȳ
2
k
=
m ξ̄k
(1 − α) (∂/A
/) ξ̄/ −
α ξ̄/ (∂k A
/)γ −
A
/
8π 2
16 x
16 x
8 x
Z ȳ
Z ȳ
1
1
ie 4
(1 − 2α)(∂j Aj ) ξ̄/ −
A
/
m ξ̄k
=
2
8π
16 x
8 x
Z ȳ
Z
1
1 ȳ 2
2
i j ¯
i j
+
(1 − α) Fij γ γ ξ/ +
α ξ̄/ Fij γ γ
(B.58)
.
32 x
32 x
lim
Mit Hilfe von (A.45) und A.1.12 kann man berechnen:
∂
((B.54) − (B.56))
∂y k
Z ȳ
ie 4
3
(α − α2 ) A
/
m
ξ̄
k
2
8π
4 x
Z
1 ȳ
+
(α − α2 ) (2Aj ) ξ̄ j ξ/¯
16 x
Z
1 ȳ
(−α + 3α2 − 2α3 ) ξ¯j (∂/Aj )
+
8 x
Z
1 ȳ
(α − 2α2 + α3 ) Fij γ i γ j ξ̄/
+
16 x
Z
1 ȳ 2
+
(α − α3 ) ξ/¯ Fij γ i γ j
16 x
lim
∨
ℑ∨
x ∋y→ȳ∈Lx
=
(B.59)
Ersetze wieder ∂/Aj = γ i Fij + ∂j A
/, 2Aj = −jj + ∂jk Ak und integriere jeweils partiell:
(B.59) =
ie 4
m ξ̄k
8π 2
Z
1 ȳ
−
(α − α2 ) jj ξ̄ j ξ/¯
16 x
Z
1 ȳ
(1 − 2α) (∂j Aj ) ξ̄/
−
16 x
Z
1 ȳ
+
(−α + 3α2 − 2α3 ) Fij γ i ξ¯j
8 x
Z
1 ȳ
A
/
+
8 x
Z ȳ
1
(α − 2α2 + α3 ) Fij γ i γ j ξ̄/
+
16 x
Z
1 ȳ 2
3
i j
(α − α ) ξ̄/ Fij γ γ
+
16 x
(B.60)
Addiert man die Beiträge (B.58) und (B.60) auf, so fallen alle von der Eichung
abhängigen Terme weg, und es ergibt sich
∂
((B.54) + (B.55) − (B.56))
∂y k
Z
ie 4
1 ȳ
(α − α2 ) jj ξ̄ j ξ/¯
m
ξ̄
−
k
8π 2
16 x
Z
1 ȳ
(−α + 3α2 − 2α3 ) Fij γ i ξ̄ j
+
8 x
lim
∨
ℑ∨
x ∋y→ȳ∈Lx
=
56
Z
1 ȳ
(1 − 3α2 + 2α3 ) Fij γ i γ j ξ/¯
32 x
Z
1 ȳ
(3α2 − 2α3 ) ξ/¯ Fij γ i γ j
+
32 x
+
.
Bei Anwendung von (A.88) ergibt sich gerade (B.57).
6. Alle höheren Terme in m von k̃m sind von der Ordnung ξ 4 und brauchen daher nicht
berechnet zu werden.
2
Es muß noch folgendes Lemma bewiesen werden:
Lemma B.2.2 Es gilt im Distributionssinne
Z
y
∂/y 3 dz f (z) (z − y)j γj =
x
Z
Z
y
∂
dz f (z) (z − y)j γj γ k
3
∂y k x
y
∂
dz f (z) (z − y)k =
3
=
∂y k x
Z y
∂
∂/x 3 dz (x − z)j γj f (z) =
∂xk
x
Z y
∂
=
3 dz (x − z)k f (z) =
∂y k x
Z
y
−2 3 f
Z
(B.61)
x
y
3 dz (x − z)j γj γ k f (z)
x
Z
y
23 f
.
(B.62)
x
Beweis: Nach Definition des Lichtkegelintegrals hat man für g ∈ Cc∞ (M )
Z
y
∂/y 3 dz f (z) (z − y)j γj (g)
x
= −
= −
= −
Z
Z
Z
= −2
Z
d4 z f (z) lx∨ (z)
d4 z f (z) lx∨ (z)
d4 z f (z) lx∨ (z)
Z
Z
Z
d4 z f (z) lx∨ (z)
Z
d4 y l∨ (y − z) γ k (z − y)j γj
d4 y
d4 y
∂
g(y)
∂y k
4l∨ (y − z) + 2m∨ (y − z) (y − z)2
4l∨ (y − z) + (y − z)j
∂ ∨
l (y − z)
∂y j
Z
y
d4 y l∨ (y − z) g(y) = −2( 3 f )(g)
g(y)
g(y)
,
x
wobei die Bezeichung (A.54) und Relation (A.58) verwendet wurden.
Die anderen Gleichungen folgen analog.
2
Das Ergebnis der Störungsrechnung soll nun wieder kurz diskutiert werden:
Der Summand (B.27) ist der Eichterm, er führt zu einer Phasenverschiebung von
km (x, y).
Allgemein sieht man, daß die Beiträge ungerader Ordnung in m proportional zu den
skalaren und bilinearen Kovarianten 11, σ ij sind; die Beiträge gerader Ordnung in m sind
dagegen ∼ γ j , ργ j .
Die Summanden (B.28) bis (B.32) sind in der Umgebung des Lichtkegels beschränkt.
Für die Randwerte auf dem Lichtkegel hat man
57
Satz B.2.3 Für (y − x) ∈ L gilt
lim
ℑx ∋u→y
(∆km (x, u) − ∆k0 (x, u))
Z
y
ie
0
Fij σ ij
m
ǫ(ξ
)
=
32π 2
x
Z y
e
0
(α2 − α) jk ξ k
−
m
ǫ(ξ
)
16π 2
x
Z y
ie
2
0
+
m
ǫ(ξ
)
(2α − 1) γ i Fij ξ j
32π 2
x
Z y
e
2
0
m ǫ(ξ )
εijkl Fij ξk ργl
−
64π 2
x
Z y
ie
2
0
(α2 − α) jk ξ k ξ/ + O(m3 )
m ǫ(ξ )
−
32π 2
x
.
Beweis: Die Behauptung folgt unmittelbar mit Hilfe von (A.10) und A.1.12.
2
In unseren Anwendungen spielen die Stromterme (B.29) und (B.32) eine wichtige Rolle.
Die Summanden (B.28), (B.30), (B.31) fallen werden wegfallen, (B.33) bis (B.37) werden
vernachlässigbar sein.
B.3
Störungsrechnung für das Gravitationsfeld
Wie in Abschnitt A.4 arbeiten wir mit der linearisierten Gravitationstheorie in symmetrischer Eichung. Das Koordinatensystem wählen wir wieder so, daß die Bedingung
(A.108) erfüllt ist. Die Störung des Diracoperators (A.109) führt auf ein ∆km der Form
∂ j k
j k
k
γ
h
s
+
s
γ
h
k
m
m
j m
j m (x, y)
∂y k
1
1
− (km (i∂/h) sm + sm (i∂/h) km ) (x, y) + (h(x) + h(y)) km (x, y)
2
4
1
3
i ∂
=
h(x) + h(y) km (x, y) −
∆km [γ j hkj ](x, y)
. (B.63)
4
4
e ∂y k
∆km (x, y) = i
Dabei haben wir die Umformungen
km (i∂/h) sm = km [(i∂/ − m), h] sm = −km h
sm (i∂/h) km = h km
eingesetzt. Gleichung (B.63) ermöglicht es, die Rechnung wieder zum Teil auf diejenige
für das elektromagnetische Feld, Theorem B.2.1, zurückzuführen.
Theorem B.3.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆km (x, y) = ∆k0 (x, y)
Z y ∂
(km (x, y) − k0 (x, y))
hkj ξ j
−
∂y k
x
Z y
i
+ m
hki,j ξ k σ ij k(1) (x, y)
2
x
58
(B.64)
(B.65)
(B.66)
Z
y
i
(α2 − α) Rjk ξ j ξ k
m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
2
8π
x
Z y Z x Z z
i
(2α2 − α) R
m
3 − 3 dz
−
16π 3
y
x
x
Z y Z x
Z z
i
j k
+
(α4 − α3 ) (R ,jk − 2 2Rjk )
−
3
dz
ζ
ζ
m
3
32π 3
y
x
x
Z y Z x
Z z
1
m 3 − 3 dz ζ k
α2 Rki,j σ ij
−
16π 3
x
y
x
Z y
1
2 ∨
∧
m (l (ξ) − l (ξ))
(2α − 1) (hjk,i − hik,j ) γ i ξ j ξ k
+
16π 2
x
Z y
i
2 ∨
∧
+
m (l (ξ) − l (ξ))
εijlm hjk,i ξ k ξl ργm
16π 2
x
Z y
1
2 ∨
∧
m (l (ξ) − l (ξ))
(α2 − α) Rjk ξ j ξ k ξ/
−
16π 2
x
Z y Z x
Z z
1
j
2
α2 Rjk γ k
dz
ζ
−
3
m
3
−
16π 3
x
y
x
Z y Z x Z z
1
+
(2α2 − α) R ξ/
m2 3 − 3 dz
32π 3
x
y
x
Z y Z x
Z z
1
2
j k
−
(α4 − α3 ) (R ,jk − 2 2Rjk ) ξ/
−
3
m
dz
ζ
ζ
3
64π 3
y
x
x
Z y Z x
Z z
1
j
2
α2 (Rjk,i − Rik,j ) (2αζ k − ξ k ) γ i
−
3
dz
ζ
m
3
+
32π 3
y
x
x
Z y Z x
Z z
i
2
k
+
m
3
−
3
dz
ζ
α2 εijlm Rjk,i ξl ργm
32π 3
x
y
x
+
+O(m3 )
(B.67)
(B.68)
(B.69)
(B.70)
(B.71)
(B.72)
(B.73)
(B.74)
(B.75)
(B.76)
(B.77)
(B.78)
.
Beweis: Unter Verwendung von Theorem B.2.1 berechnen wir zunächst
−
i ∂
km [γ j hkj ](x, y)
e ∂y k
.
Der Eichterm (B.27) führt dabei auf den Ausdruck
−
Z
y
x
hkj
∂
1
ξ
km (x, y) − h(y) km (x, y) −
k
∂y
2
j
Z
y
x
h
km (x, y)
.
Für die restlichen Beiträge betrachten wir die Terme verschiedener Ordnung in m nacheinander:
1. Terme ∼ m: Die Summanden (B.27) und (B.28) ergeben die Beiträge
(B.28) : (B.66) + (B.70)
Z
1
1 y
(B.29) : − (h(y) + h(x)) km (x, y) +
h km (x, y)
4
2 x
+(B.67) + (B.68) + (B.69)
.
2. Terme ∼ m2 : Die Summanden (B.30) bis (B.32) führen auf
1
(B.30) : − 3 m2
8π
Z
y
Z x
3 −3
x
dz ζ j
y
59
Z
z
x
α2 Rjk γ k + (B.72) + (B.77)
Z
Z Z
Z Z
z
x
x
y
y
1
1
α ∂/h
m2 3 − 3 ∂/h +
m2 3 − 3 dz
3
3
32π
16π
x
y
y
x
x
(B.31) : (B.73) + (B.78)
Z
1
1 y
h km (x, y)
(B.32) : − (h(y) + h(x)) km (x, y) +
4
2 x
Z y Z x
Z y Z x Z z
1
1
2
2
α ∂/h
−
3
∂
/
h
−
+
m
m
3
3 − 3 dz
32π 3
16π 3
y
y
x
x
x
Z y Z x
Z z
1
j
2
+
α2 Rjk γ k
−
3
dz
ζ
m
3
16π 3
y
x
x
+(B.75) + (B.76) + (B.73)
.
−
Setzen wir diese Gleichungen in (B.63) ein, folgt die Behauptung.
B.4
2
Axiale Störung
Wir betrachten jetzt die Störung durch ein axiales Potential
G = i∂/ + e ρA
/
.
(B.79)
Für ∆km hat man in Störungstheorie erster Ordnung
∆km (x, y) = −e (sm ρA
/ pm + pm ρA
/ sm ) (x, y)
.
Diesen Beitrag erhält man auch, wenn man in Gleichung (B.25) das elektromagnetische
Potential A
/ durch ρA
/ ersetzt.
Theorem B.4.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆km (x, y) = −ρ ∆km [A
/](x, y)
Z y
e
ρA
/ ξ/
+ 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
4π
x
Z y Z x
Z y
e
α2 jk ζ k ρ
+ 3 m 3 − 3 dz
8π
x
y
x
Z y Z x
e
k
+ 3 m 3 − 3 ∂k A ρ
8π
y
x
Z y Z x
ie
+ 3 m 3 − 3 hj [Ak ] ρσ jk
4π
y
x
Z y Z x
ie
+ 3 m2 3 − 3 ρA
/
4π
y
x
Z y Z x
e
/ ξ/
− 3 m3 3 − 3 ρA
8π
x
y
Z y
Z x
e
3
−
m △ − △ (∂j A
/) γ j
16π 3
x
y
Z y
Z y
Z x
Z x
ie
4
m ▽ + △ − ▽ − △
−
ρA
/
16π 3
x
x
y
y
+O(m5 )
.
60
(B.80)
(B.81)
(B.82)
(B.83)
(B.84)
(B.85)
(B.86)
(B.87)
(B.88)
Beweis: Es genügt wieder, den Fall ξ 0 > 0 zu betrachten. Untersuche die Beiträge verschiedener Ordnung in m nacheinander:
1. Terme ∼ m0 :
∆km = −e (s0 ρA
/ p0 + p0 ρA
/ s0 )
= ρ e (s0 A
/ p0 + p0 A
/ s0 ) = −ρ ∆km [A
/]
2. Terme ∼ m:
e
∆km (x, y) = − 3 m ∂/x
8π
Z
y
/ +
3 ρA
x
Z
y
/ ∂/y
3 ρA
x
Z
(B.89)
y
em
∂
A
/ γj
ρ
3
4π 3 ∂y j x
Z y
Z y
em
em ∨
ρA
/ ξ/ + 3 ρ 3 hj [A
/] γ j (B.90)
= −ρ ∆km [A
/](x, y) + 2 l (ξ)
4π
4π
x
x
= −ρ ∆km [A
/](x, y) +
Setze nun noch die Umformungen
hj [A
/] γ j
= hj [Aj ] + ihj [Ak ] σ jk
Z
z
1
α ∂j Aj − ζj
hj [Aj ](z) = ∂j Aj (z) −
2
x
Z z
1
1
α2 j k
∂k Ak (z) + ζk
=
2
2
x
Z
(B.91)
z
x
α2 2Aj
(B.92)
ein.
3. Terme ∼ m2 :
∆km (x, y) =
ie
m2
8π 3
Z
y
1
/ + ∂/x
3 ρA
2
x
1
+
2
Z
y
y
/(z) (z − y)j γj
3 dz ρA
x
/(z) ∂/y
3 dz (x − z)j γj ρA
x
= −ρ ∆km [A
/](x, y) +
4. Terme ∼ m3 :
Z
Z
y
ie
m2 3 ρA
/
3
4π
x
Z
1 y e
/(z) + ρA
/(z) (z − y)j γj
m3 − 3 dz (x − z)j γj ρA
3
8π
2
Z xy
Z y
1
1
− ∂/x ▽ ρA
/ −
/ ∂/y
△ ρA
4
4
x
x
= −ρ ∆km [A
/](x, y)
Z y
Z y 1
e
/(z) (z − y)j γj +
/ ∂/y
△ A
+ 3 m3 ρ 3 dz A
8π
2
x
x
∆km (x, y) = −
Forme mit (B.45) weiter um
Z
y
1
/(z) (z − y) γj +
3 dz A
2
x
j
Z
y
/ ∂/y
△ A
x
61
Z
y
Z
1 y
/ ξ/ − △ (∂j A
/) γ j
= −3 A
2 x
x
.
5. Terme ∼ m4 :
Z
1 y
ie 4
/(z) (z − y)k γk
m − 3 dz (x − z)j γj ρA
3
8π
4 x
Z y
1
− ∂/x ▽ dz ρA
/(z) (z − y)j γj
16
Z y x
1
/(z) ∂/y
△ dz (x − z)j γj ρA
−
16
x
Z y
Z
1
1 y
− ▽ ρA
/ − △ ρA
/
4 x
4 x
Z y
Z y
ie
4
+
△
ρA
/
m
▽
= −ρ ∆km [A
/](x, y) −
16π 3
x
x
∆km (x, y) =
2
Wir kommen nun zur Interpretation der abgeleiteten Formel: An die Stelle der Eichterme
bei elektromagnetischen Störungen treten nun die Beiträge
ie
ie
Z
Z
y
y
x
ρ
x
ρ Aj ξ j km (x, y)
1
[ξ/, A
/] km (x, y)
2
gerade Ordnung in m
(B.93)
ungerade Ordnung in m,
(B.94)
die man durch Addition der Eichterme von (B.80) mit (B.81) und (B.86) erhält. Wir nennen diese Terme Pseudoeichterme. Sie führen nicht nur zu einer Phasenverschiebung
von km , was die Tatsache widerspiegelt, daß axiale Störungen nicht lokal durch Eichtransformationen kompensiert werden können.
Die Summanden (B.82) bis (B.84) sind Korrekturen zu den Stromtermen. Die Beiträge
(B.85), (B.86), (B.88) heißen Massenterme; sie führen auf die Ruhemasse der W − und
Z−Eichbosonen.
Für die Randwerte auf dem Lichtkegel hat man
Satz B.4.2 Für y − x ∈ L gilt
lim (∆km (x, u) − ∆k0 (x, u))
ℑx ∋u→y
=
Z
y
ie
0
(2α − 1) Fjk ρσ jk
m
ǫ(ξ
)
32π 2
x
Z y
e
0
∂k Ak ρ
+
m
ǫ(ξ
)
16π 2
x
Z y
ie
0
−
m
ǫ(ξ
)
(α2 − α) 2Aj ξk ρσ jk
16π 2
x
Z y
ie
2
0
ρA
/
+ 2 m ǫ(ξ )
8π
x
Z
y
ie
2
0
(2α − 1) Fij ξ j ργ i
m
ǫ(ξ
)
−
32π 2
x
Z y
e
2
0
+
εijkl Fij ξk γl
m
ǫ(ξ
)
64π 2
Zxy
ie
2
0
m ǫ(ξ )
(α2 − α) jk ξ k ρξ/
+
32π 2
x
+O(m3 )
.
62
Beweis: Folgt direkt mit Hilfe von (A.10), A.1.12 und Satz B.2.3.
B.5
2
Skalare Störung
Wir betrachten wieder die skalare Störung (A.123). Für ∆km hat man in erster Ordnung
in Ξ
∆km = − (sm Ξ km + km Ξ sm )
.
Theorem B.5.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆km (x, y) = ∆k0 (x, y)
−2m
Z
y
Ξ
x
Z
(B.95)
k(2) (x, y)
(B.96)
Z x
Z
z
y
1
α (∂/Ξ)
dz
(∂
/
Ξ)(z)
−
2
−
3
m
3
8π 3
x
y
x
Z y Z x
Z z
1
− 3 m 3 − 3 dz ζ/
α2 (2Ξ)
8π
y
x
x
Z y Z x
3i
2
+ 3 m 3 −3 Ξ
8π
y
x
Z y Z x
i
m2 3 − 3 dz (∂j Ξ) (2ζ j − ξ j )
+
16π 3
x
y
Z y Z x
1
−
m2 3 − 3 dz (∂j Ξ) ξk σ jk
16π 3
x
y
Z y Z x
1
− 3 m3 3 − 3 Ξ ξ/
8π
y
x
Z y
Z x
Z x
Z y
1
3
+
m ▽ − △ + ▽ − △ ∂/Ξ
32π 3
y
y
x
x
+
+O(m4 )
(B.97)
(B.98)
(B.99)
(B.100)
(B.101)
(B.102)
(B.103)
.
Beweis: Es genügt, den Fall ξ 0 > 0 zu betrachten. Untersuche die Terme verschiedener
Ordnung in m nacheinander:
1. Terme ∼ m:
Z
Z
y
y
1
Ξ)∂/y
Ξ)
+
(
3
m
∂
/
(
3
x
8π 3
x
Z y x
Z y 1
= − 3 m 3 (∂/Ξ) − 2∂/y 3 Ξ
8π
x
Z xy
m ∨
=
Ξ ξ/
l (ξ)
4π 2
Z z
Z z
Z y x m
2
α (2Ξ)
α (∂/Ξ) − ζ/
+ 3 3 dz (∂/Ξ)(z) − 2
8π x
x
x
∆km (x, y) = −
2. Terme ∼ m2 :
∆km (x, y) =
i
m2
8π 3
Z
y
3 Ξ+
x
1
+
2
63
1
∂/
2 x
Z
y
Z
y
3 dz Ξ(z) (z − y)j γj
x
3 dz (x − z)j γj Ξ(z) ∂/y
x
Unter Verwendung von Lemma B.2.2 kann man den zweiten und dritten Summanden
umformen
∂/x
Z
Z
y
j
3 dz Ξ(z) (z − y) γj
x
y
j
Z
y
Z
j
y
3 dz (∂/Ξ)(z) (z − y) γj + 2 3 Ξ
=
x
x
Z
y
j
Z
y
3 dz (x − z) γj Ξ(z) ∂/y = − 3 dz (x − z) γj (∂/Ξ)(z) + 2 3 Ξ
x
x
x
und erhält insgesamt
Z
y
3i
2
Ξ
m
3
∆km (x, y) =
8π 3
x
Z y
i
2
j
j
+
m
3
dz
(∂
/
Ξ)(z)
(z
−
y)
γ
−
(x
−
z)
γ
(∂
/
Ξ)(z)
j
j
16π 3
x
3. Terme ∼ m3 :
1
∆km (x, y) = − 3 m3
8π
Z
y
1
1
ξ/ 3 Ξ − ∂/x
2
4
x
Z
y
1
▽ Ξ −
4
x
Z
y
.
△ Ξ ∂/y
x
Setze nun die Umformungen
∂/x
Z
Z
y
▽ Ξ
x
y
=
Z
y
Z
y
▽ ∂/Ξ − 2 3 dz (y − z)j γj Ξ(z)
x
Z
x
y
Z
y
△ Ξ ∂/y = − △ ∂/Ξ − 2 3 dz (z − x)j γj Ξ(z)
x
x
(B.104)
(B.105)
x
ein.
2
Bei der Berechnung der Randwerte auf dem Lichtkegel kann man in (B.100) partiell integrieren, so daß sich die Gleichung vereinfacht:
Satz B.5.2 Für (y − x) ∈ L gilt
lim
ℑx ∋u→y
(∆km (x, u) − ∆k0 (x, u))
Z
y
1
0
m
ǫ(ξ
)
(2α − 1) (∂/Ξ)
=
16π 2
x
Z y
1
+
m ǫ(ξ 0 )
(α2 − α) (2Ξ) ξ/
16π 2
x
i
2
0
m ǫ(ξ ) (Ξ(y) + Ξ(x))
+
32π 2
Z y
i
2
0
+ 2 m ǫ(ξ )
Ξ
8π
x
Z y
1
(∂j Ξ) ξk σ jk
m2 ǫ(ξ 0 )
−
32π 2
Zxy
1
3
0
−
Ξ ξ/
m ǫ(ξ )
16π 2
x
+O(m4 )
.
Beweis: Die Behauptung folgt unmittelbar mit Hilfe von (A.10) und A.1.12.
64
2
B.6
Pseudoskalare Störung
Wir betrachten die Störung durch ein pseudoskalares Potential
G = i∂/ + iρΞ
.
(B.106)
Für ∆km hat man in erster Ordnung in Ξ
∆km = −i (sm ρΞ km + km ρΞ sm )
.
Theorem B.6.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆km (x, y) = −iρ ∆k0 [Ξ](x, y)
Z y Z x
i
+ 3 m ρ 3 − 3 ∂/Ξ
8π
y
x
Z y Z x
1
+ 3 m2 3 − 3 Ξ ρ
8π
y
x
Z y Z x
1
2
m 3 − 3 dz (∂j Ξ) (2ζ j − ξ j ) ρ
+
16π 3
y
x
Z y Z x
i
+
m2 3 − 3 dz (∂j Ξ) ξk ρσ jk
16π 3
y
x
Z y
Z y
Z x
Z x
i
3
m
▽
+
△
−
▽
−
△ ρ(∂/Ξ)
−
32π 3
x
x
y
y
+O(m4 )
(B.107)
(B.108)
(B.109)
(B.110)
(B.111)
(B.112)
.
Beweis: Es genügt, den Fall ξ 0 > 0 zu betrachten. Untersuche die Terme verschiedener
Ordnung in m nacheinander:
1. Terme ∼ m:
Z
Z
y
y
i
∆km (x, y) = − 3 m ∂/x ( 3 ρΞ) + ( 3 ρΞ)∂/y
8π
x
x
Z y Z y
i
=
m ρ ∂/x ( 3 Ξ) + ∂/y ( 3 Ξ)
8π 3
x
x
Z y
i
m ρ 3 ∂/Ξ
=
8π 3
x
2. Terme ∼ m2 :
∆km (x, y) = −
1
m2
8π 3
Z
y
1
∂/
2 x
3 ρΞ +
x
1
+
2
Z
y
3 dz ρΞ(z) (z − y)j γj
x
3 dz (x − z)j γj ρΞ(z) ∂/y
= −iρ ∆km [Ξ](x, y) −
65
y
Z
x
Z
y
m2
ρ
3
Ξ
4π 3
x
3. Terme ∼ m3 :
Z
1 y i
∆km (x, y) = − 3 m3 − 3 dz (x − z)j γj ρΞ(z) + ρΞ(z) (z − y)j γj
8π
2 x
Z y
Z y
1
1
△ ρΞ ∂/y
− ∂/x ▽ ρΞ −
4
4
x
x
Z y
iρ
1
= − 3 m3
3 dz (y − 2z + x)j γj Ξ(z)
8π
2 x
Z y Z y 1
1
△ Ξ ∂/y
+ ∂/x ▽ Ξ −
4
4
x
x
Setze nun die Umformungen (B.104), (B.105) ein.
2
B.7
Bilineare Störung
Wir betrachten wieder die bilineare Störung (A.129). Für ∆km hat man in erster Ordnung
in B
.
(B.113)
∆km = − sm Bjk σ jk km + km Bjk σ jk sm
Theorem B.7.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆km (x, y) = ∆k0 (x, y)
Z y
1
εijkl Bij ξk ργl
+ 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
4π
x
Z y Z x
i
+ 3 m 3 − 3 Bjk,k γ j
4π
y
x
Z y Z x
Z z
1
+ 3 m 3 − 3 dz εijkl Bij,k (z) − 2
α Bij,k ργl
8π
y
x
x
Z y Z x
Z z
1
α2 (2Bjk ) ργl
− 3 m 3 − 3 dz εijkl ζi
8π
x
y
x
Z y
i
+ 2 m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
Bij ξ i ξk σ jk
4π
x
i
m2 Θ(ξ 2 ) ǫ(ξ 0 ) (Bjk (y) + Bjk (x)) σ jk
+
32π 2
Z y
1
2
2
0
−
m
Θ(ξ
)
ǫ(ξ
)
ξj B jk,k
16π 2
x
Z y
i
2
2
0
+
(2α − 1) (ξ k Bjk,i + ξi Bjk,k ) σ ij
m Θ(ξ ) ǫ(ξ )
16π 2
x
Z y
i
2
2
0
(α2 − α) (2Bij ) ξ i ξk σ jk
m Θ(ξ ) ǫ(ξ )
+
16π 2
x
Z y
i
2
2
0
m Θ(ξ ) ǫ(ξ )
εijkl Bij,k ξl ρ
−
32π 2
Zxy
1
3
2
0
−
m Θ(ξ ) ǫ(ξ )
εijkl Bij ξk ργl
16π 2
x
+O(ξ 2 ) + O(m4 )
.
66
(B.114)
(B.115)
(B.116)
(B.117)
(B.118)
(B.119)
(B.120)
(B.121)
(B.122)
(B.123)
(B.124)
(B.125)
Beweis: Es genügt, den Fall ξ 0 > 0 zu betrachten. Untersuche die Beiträge verschiedener
Ordnung in m nacheinander:
1. Terme ∼ m:
1
∆km (x, y) = − 3 m
8π
Z
y
Z
jk
y
jk
∂/x ( 3 Bjk σ ) + ( 3 Bjk σ )∂/y
x
x
Wir setzen die Relationen
γ i σ jk = i (gij γ k − gik γ j ) + εijkl ργl
σ
jk
γ
i
ij
k
ik
j
ijkl
= −i (g γ − g γ ) + ε
(B.126)
ργl
(B.127)
ein und erhalten
Z
Z
y
y
∂
m
im ∂
3 B jk γk − 3 εijkl
3 Bjk ργl
3
j
i
4π ∂x x
8π
∂x x
Z y
Z y
m
im ∂
jk
ijkl ∂
B
γ
+
3
ε
3 Bjk ργl
− 3
k
4π ∂y j x
8π 3
∂y i x
Z
Z y
Z y
im y
m
m
∂
= − 3 3 Bjk,j γ k − 3 εijkl 3 Bij,k ργl + 3 εijkl i 3 Bjk ργl
4π x
8π
4π
∂y x
x
Z y
Z y
im
m ∨
3 B k γj +
l (ξ)
=
εijkl Bij ξk ργl
4π 3 x jk,
4π 2
x
Z z
Z
m ijkl y
α Bij,k ργl
3 dz Bij,k (z) − 2
+ 3ε
8π
x
Z z
Zx
m ijkl y
2
α (2Bjk ) ργl
.
3 dz ζi
− 3ε
8π
x
x
= −
2. Terme ∼ m2 :
∆km (x, y) =
i
m2
8π 3
Z
y
3 Bjk σ jk +
x
1
+
2
Z
1
∂/
2 x
y
Z
y
3 dz Bjk (z) σ jk (z − y)m γm
x
3 dz (x − z)m γm Bjk (z) σ jk ∂/y
x
(B.128)
Wir berechnen nun den zweiten und dritten Summanden. Dazu lösen wir zunächst
das Produkt der Dirac-Matrizen mit Hilfe von (A.138) auf. Anschließend berechnen
wir die Ableitungen und führen eine Entwicklung um den Lichtkegel durch, wobei wir
alle Terme der Ordnung ξ 2 weglassen. Am einfachsten berechnet man die Randwerte
der Ableitungen der Lichtkegelintegrale direkt mit (A.45). Beachte, daß sich die
Terme
Z y
Z y
∂
∂
jk
m
,
3 Bjk σ (z − y)
3 (x − z)m Bjk σ jk
∂y m x
∂xm x
mit Hilfe von Lemma B.2.2 auswerten lassen. Man erhält auf diese Weise
∂/x
Z
Z
y
∂
dz B jk (z) (z − y)k
3
j
∂x
x
x
Z y
Z y
∂
∂
jk
m
+ m 3 dz Bjk (z) σ (z − y) + 2 j 3 dz B jk (z) σkm (z − y)m
∂x
∂x x
x
Z y
Z y
∂
∂
+2 j 3 dz Bmk (z) σ kj (z − y)m +
3 dz εijkl Bij (z) (z − y)l ρ
∂x x
∂xk x
y
3 Bjk σ jk (z − y)i γi
= 2i
67
= −4π l∨ (ξ)
π
2
Z
−π
Z
Z
y
x
(α − 1) Bjk ξ j ξm σ km
Z
y
d
(2α − 1) Bjk σ jk
Bjk σ jk + π
dα
x
x
Z y
Z
π y
jk
−iπ
(α − 1) ξj B ,k +
(α − 1) εijkl Bij,k ξl ρ
2 x
x
+
Z
−π
y
y
(α − 1)
y
(α3 − 2α2 + α) (2Bjk ) ξ j ξm σ km
Zxy
(2α2 − 3α + 1) (Bjk,j ξm + Bjk,m ξ j ) σ km
x
x
Z
y
∂
3 dz (x − z)j B jk (z)
k
∂y x
Z y
Z y
∂
∂
− m 3 dz (x − z)m Bjk (z) σ jk − 2 j 3 dz (x − z)m B jk (z) σkm
∂y
∂y x
x
Z y
Z y
∂
∂
−2 j 3 dz (x − z)m Bmk (z) σ kj −
3 dz εijkl Bij (z) (x − z)k ρ
∂y x
∂y l x
3 (x − z)i γi Bjk σ jk ∂/y = −2i
= 4π l∨ (ξ)
π
+
2
Z
+π
Z
Z
y
x
α Bjk ξ j ξm σ km
Z
y
d
(2α − 1) Bjk σ jk
Bjk σ jk − π
dα
Zx y
Z x
π y
jk
α ξj B ,k −
+iπ
α εijkl Bij,k ξl ρ
2 x
x
+π
y
α
y
(α3 − α2 ) (2Bjk ) ξ j ξm σ km
Zxy
(2α2 − α) (Bjk,j ξm + Bjk,m ξ j ) σ km
x
und durch Einsetzen in (B.113) die Behauptung.
3. Terme ∼ m3 :
Z
1
1 y ∆km (x, y) = − 3 m3 − 3 dz (x − z)j γj Bkl (z) σ kl
8π
2 x
Z y
Z y
1
1
kl
kl
kl
j
△ Bkl σ
−
∂/y
+Bkl (z) σ (z − y) γj − ∂/x ▽ Bkl σ
4
4
x
x
Mit den Relationen
∂/x
Z
Z
y
▽ Bkl σ
x
y
△ Bkl σ
x
kl
kl
Z
y
= 2 3 dz (z − y)j γj Bkl (z) σ kl + O(ξ 2 )
x
y
Z
∂/y = 2 3 dz Bkl (z) σ kl (x − z)j γj + O(ξ 2 )
x
vereinfacht sich der Beitrag zu
Z
y
1
kl
kl
3
ξ
/
B
σ
+
B
σ
ξ
/
+ O(ξ 2 )
m
3
∆km (x, y) = −
kl
kl
16π 3
x
Z y
1
3
= − 3 m 3 εijkl Bij ξk ργl + O(ξ 2 )
8π
x
Z y
1
3 ∨
= −
εijkl Bij ξk ργl + O(ξ 2 )
m
Θ
(ξ)
16π 2
x
68
.
2
B.8
Differentialstörung durch Vektorpotential
Wir betrachten wieder die Störung des Diracoperators (A.139). Für ∆km hat man in
erster Ordnung in L
∆km (x, y) = −i sm Lj ∂j km + km Lj ∂j sm (x, y) −
= −i
i
sm Lj,j km + km Lj,j sm (x, y)
2
i
∂
∆km [Lj ](x, y) + ∆km [Lj,j ](x, y)
j
∂y
2
,
(B.129)
so daß wir die Rechnung teilweise auf das Ergebnis für skalare Störungen, Theorem B.5.1,
zurückführen können.
Theorem B.8.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆km (x, y) = ∆k0 (x, y)
−im
Z
y
x
Lj
(B.130)
ξ j k0 (x, y)
(B.131)
Z
(B.132)
y
i
∨
∧
(2α − 1) (Lj,j ξ/ + (∂/Lj ) ξ j )
m
(l
(ξ)
−
l
(ξ))
8π 2
x
Z y
i
L/
− 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
4π
Zxy
i
− 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
(α2 − α) (2Lj ) ξ j ξ/
8π
x
1
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξ j
+
16π 2
Z y
1
+ 2 m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
Lj ξ j
4π
x
Z y
i
2 ∨
∧
+
m
(l
(ξ)
−
l
(ξ))
(∂j Lm ) ξ m ξk σ jk
16π 2
x
+O(ξ 0 ) + O(m3 )
.
−
Beweis: Nach Theorem B.5.1 hat man
−i
∂
∂
∆km [Lj ](x, y) = −i j ∆k0 [Lj ](x, y)
∂y j
∂y
Z y
i
Lj ξ j
− 2 m (m∨ (ξ) − m∧ (ξ)) ξ/
2π
Z y x
i
∨
∧
(α Lj,j ξ/ + L/)
− 2 m (l (ξ) − l (ξ))
4π
x
Z y
i
− 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
(2α − 1) (∂/Lj ) ξ j
8π
x
Z y
i
∨
∧
(α2 − α) (2Lj ) ξ j ξ/
− 2 m (l (ξ) − l (ξ))
8π
x
1
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξ j
+
16π 2
69
(B.133)
(B.134)
(B.135)
(B.136)
(B.137)
Z
y
1
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
Lj ξ j
2
4π
x
Z y
i
2 ∨
∧
+
(∂j Lm ) ξ m ξk σ jk
m
(l
(ξ)
−
l
(ξ))
16π 2
x
+O(ξ 0 ) + O(m3 )
Z y
i
i
i
∨
∧
∆km [Lj.j ](x, y) =
∆k0 [Lj,j ](x, y) +
m
(l
(ξ)
−
l
(ξ))
Lj,j ξ/
2
2
8π 2
x
+O(ξ 0 ) + O(m3 )
.
+
Setze nun in (B.129) ein.
2
Wir berechnen nun den Beitrag ∼ m3 bis zur Ordnung O(ξ 2 ):
Satz B.8.2 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆k(3) (x, y) =
i
16π 2
i
+
32π 2
i
+
32π 2
i
+
32π 2
+
i
(l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
8π 2
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
Z
y
Zxy
Zxy
Zxy
x
Z
y
x
Lj ξ j ξ/
(B.138)
L/
(B.139)
(2α − 1) Lj,j ξ/
(B.140)
(2α − 1) (∂/Lj ) ξ j
(B.141)
(α2 − α) (2Lj ) ξ j ξ/ + O(ξ 2 ) .
(B.142)
Beweis: Nach Theorem B.5.1, Lemma B.1.5 und (A.45) hat man für ξ 0 > 0
Z
Z
y
∂
i
i
∂
∆k(3) [Lj ](x, y) =
3 L/ +
ξ/ j 3 Lj
j
3
3
∂y
8π x
8π
∂y
Z y
Z y
i
j
j
−
2
3
dz
(y
−
z)
(∂
/
L
)
−
2
3
dz
(z
−
x)
(∂
/
L
)
+ O(ξ 2 )
j
j
32π 3
x
x
Z y
Z y
Z y
i ∨
i
i
j
∨
∨
L
/
+
L
ξ
ξ
/
+
α Lj,j ξ/
Θ
(ξ)
l
(ξ)
Θ
(ξ)
=
j
16π 2
8π 2
16π 2
x
x
x
Z y
i
∨
+
Θ
(ξ)
(α2 − α) (2Lj )ξ j ξ/
32π 2
x
Z y
i
∨
(2α − 1) (∂/Lj )ξ j + O(ξ 2 )
Θ (ξ)
+
32π 2
x
Z y
i
i
(3) j
∨
Lj,j ξ/ + O(ξ 2 )
.
∆k [L ,j ](x, y) = −
Θ (ξ)
2
2
32π
x
−i
B.9
2
Differentialstörung durch axiales Potential
Wir betrachten jetzt die Störung des Diracoperators
G = i∂/ + ρLj ∂j +
70
1
ρLj,j
2
(B.143)
mit einem reellen Vektorfeld L. Für ∆km hat man in erster Ordnung in L
∆km (x, y) = i
i
∂
∆km [iρLj ](x, y) − ∆km [iρLj,j ]
j
∂y
2
,
(B.144)
so daß wir die Rechnung teilweise auf das Ergebnis für pseudoskalare Störungen, Theorem B.6.1, zurückführen können.
Theorem B.9.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆km (x, y) = iρ ∆k0
i
iL ∂j + Lj,j (x, y)
2
j
(B.145)
Z
y
1
∨
∧
(∂/Lj ) ξ j
m
ρ
(l
(ξ)
−
l
(ξ))
8π 2
x
i
2 ∨
∧
m (l (ξ) − l (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξ j ρ
+
16π 2
Z y
1
2 ∨
∧
−
(∂j Lm ) ξ m ξk ρσ jk
m (l (ξ) − l (ξ))
16π 2
x
+O(ξ 0 ) + O(m3 )
−
(B.146)
(B.147)
(B.148)
Beweis: Nach Theorem B.6.1 hat man
i
∂
∂
∆km [iρLj ](x, y) = ρ j ∆k0 [Lj ](x, y)
j
∂y
∂y
Z y
1
(∂/Lj ) ξ j
− 2 m ρ (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
8π
x
i
2 ∨
∧
m (l (ξ) − l (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξ j ρ
+
16π 2
Z y
1
2 ∨
∧
−
m (l (ξ) − l (ξ))
(∂j Lm ) ξ m ξk ρσ jk
16π 2
x
+O(ξ 0 ) + O(m3 )
i
i
− ∆km [ρLj,j ](x, y) = − ρ ∆k0 [Lj,j ](x, y) + O(ξ 0 )
.
2
2
2
Wir berechnen nun den Beitrag ∼ m3 bis zur Ordnung O(ξ 2 ):
Satz B.9.2 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆k(3) (x, y) =
1
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
32π 2
Z
y
x
ρ(∂/Lj )ξ j + O(ξ 2 )
.
Beweis: Nach Theorem B.6.1 und (A.45) hat man für ξ 0 > 0
∂
∆k(3) [iρLj ](x, y)
∂y j
Z y
Z y
ρ
j
j
=
2
3
dz
(y
−
z)
(∂
/
L
)
+
2
3
dz
(z
−
x)
(∂
/
L
)
+ O(ξ 2 )
j
j
32π 3
x
x
Z y
ρ
∨
(∂/Lj )ξ j + O(ξ 2 )
Θ (ξ)
=
32π 2
x
i
.
− ∆k(3) [iρLj,j ](x, y) = O(ξ 2 )
2
i
71
(B.149)
2
B.10
Bilineare Differentialstörung durch Vektorpotential
Wir betrachten wieder die Störung des Diracoperators (A.148). Mit Hilfe der Umformung
∆km [L/(i∂/)] = −sm L/ (i∂/) km − km L/ (i∂/) sm
= m ∆km [L/] − km L/
und (A.149) können wir Gleichung (A.149) auf den Fall m 6= 0 übertragen:
i
h
i
∆km (x, y) = −i∆km iLj ∂j (x, y) + i∆km [L/(i∂/)] (x, y) + ∆km [Lj,k σ jk ](x, y)
2
i j
i
j
= −i∆km iL ∂j + L ,j (x, y) + ∆km [Lj,k σ jk ](x, y)
2
2
1
+im ∆km [L/](x, y) − ikm (x, y) L/(y) − ∆km [Lj,j ]
. (B.150)
2
Damit läßt sich die Rechnung teilweise auf diejenige für skalare, bilineare und elektromagnetische Störungen sowie Differentialstörungen zurückführen.
Theorem B.10.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆km (x, y) = ∆k0 (x, y)
1
+ 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (L/(y) − L/(x))
8π
1
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξk σ jk
−
16π 2
Z y
1
− 2 m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
Lj,j ξ/
8π
x
i
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj (y) − Lj (x)) ξ j
+
16π 2
+O(ξ 0 ) + O(m3 )
.
Beweis: Wir erhalten aus Theorem B.7.1 und Theorem A.3.1
i
i
∆km [Li,j σ ij ](x, y) = ∆k0 [Li,j σ ij ](x, y)
2
2 Z
y
i
+ 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
εijkl Li,j ξk ργl
8π
x
Z y
1
2 ∨
∧
Li,j ξ i ξk σ jk
m (l (ξ) − l (ξ))
−
2
16π
x
1
2 ∨
∧
+
m (l (ξ) − l (ξ)) (Lj (y) − Lj (x)) ξk σ jk + O(ξ 0 ) + O(m3 )
16π 2
Z y
1
∨
∧
Lj ξ j ξ/
m (m (ξ) − m (ξ))
im ∆km [L/](x, y) =
2π 2
x
Z y
1
∨
∧
+ 2 m (l (ξ) − l (ξ))
(2α − 1) Li,i ξ/
8π
x
72
(B.151)
(B.152)
(B.153)
(B.154)
(B.155)
Z
y
1
m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
(α2 − α) (2Lk ) ξ k ξ/
2
8π
x
Z y
1
+ 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
(2α − 1) (∂/Lj ) ξ j
8π
x
1
− 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (L/(y) + L/(x))
8π
Z y
1
L/
+ 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
4π
x
Z y
i
− 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
εijkl Li,j ξk ργl
8π
x
Z y
i
Lj ξ j + O(ξ 0 ) + O(m3 )
+ 2 m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
4π
x
−ikm (x, y) L/(y) = −ik0 (x, y) L/(y)
1
+ 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) L/(y)
4π
i
+ 2 m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) Lj (y) ξ j
8π
1
.
+ 2 m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) ξj Lk (y) σ jk + O(m3 )
8π
+
Durch Vergleich mit Theorem B.8.1 folgt
i j
i
L ,j (x, y) + ∆(km − k0 )[Li,j σ ij ](x, y)
2
2
+ im ∆km [L/](x, y) − i(km − k0 )(x, y) L/(y)
−i∆(km − k0 ) iLj ∂j +
=
1
m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (L/(y) − L/(x))
8π 2
1
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξk σ jk
−
16π 2
i
+
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj (y) − Lj (x)) ξ j + O(ξ 0 ) + O(m3 )
16π 2
.
Man erhält die Behauptung mit (B.150) und Theorem B.5.1.
2
Wir berechnen nun den Beitrag ∼ m3 bis zur Ordnung O(ξ 2 ):
Satz B.10.2 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
1
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ)) (L/(y) − L/(x))
32π 2
Z y
1
∨
∧
+
Lj,j ξ/ + O(ξ 2 )
(Θ
(ξ)
−
Θ
(ξ))
32π 2
x
∆k(3) (x, y) = −
(B.156)
.
(B.157)
Beweis: Nach Theorem B.7.1 und Theorem B.2.1 hat man für ξ 0 > 0
Z
y
i
i
∨
∧
εijkl Li,j ξk ργl + O(ξ 2 )
∆k(3) [Lj,k σ jk ](x, y) = −
(Θ
(ξ)
−
Θ
(ξ))
2
32π 2
x
Z y
1
∨
∧
(2)
Lj ξ j ξ/
i∆k [L/](x, y) = − 2 (l (ξ) − l (ξ))
8π
x
Z y
1
∨
∧
(2α − 1) (∂/Lj )ξ j
−
(Θ
(ξ)
−
Θ
(ξ))
32π 2
x
73
1
32π 2
1
−
16π 2
i
+
32π 2
1
−
32π 2
1
−
32π 2
1
−ik(3) (x, y) L/(y) = −
16π 2
+
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ)) (L/(y) + L/(x))
∨
∧
(Θ (ξ) − Θ (ξ))
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
∨
∧
∨
∧
(Θ (ξ) − Θ (ξ))
(Θ (ξ) − Θ (ξ))
Z
y
L/
Zxy
Zxy
Zxy
x
εijkl Li,j ξk ργl
(2α − 1) Lj,j ξ/
(α2 − α) (2Lj )ξ j ξ/ + O(ξ 2 )
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ)) L/(y) + O(ξ 2 )
Durch Vergleich mit Satz B.8.2 folgt
i
i
−i∆k
iL ∂j + Lj,j (x, y) + ∆k(3) [Li,j σ ij ](x, y)
2
2
(2)
+ i∆k [L/](x, y) − ik(3) (x, y) L/(y)
1
= −
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ)) (L/(y) − L/(x)) + O(ξ 2 )
32π 2
(3)
j
.
Man erhält die Behauptung mit (B.150) und Theorem B.5.1.
B.11
2
Bilineare Differentialstörung durch axiales Potential
Wir betrachten jetzt die Störung des Diracoperators
G = i∂/ + ρLj σ jk
ρ
∂
+ Lj,k σ jk
k
∂x
2
(B.158)
mit einem reellen Vektorfeld L. Mit Hilfe der Umformung
∆km [ρL/(i∂/)] = −sm ρL/ (i∂/) km − km ρL/ (i∂/) sm
= m ∆km [ρL/] − km ρL/
und (A.149) können wir die Rechnung zum Teil auf diejenige für pseudoskalare, bilineare
und axiale Störungen sowie auf Differentialstörungen zurückführen:
i
h
1
∆km (x, y) = −i∆km ρLj ∂j (x, y) + ∆km [ρL/(i∂/)] (x, y) + ∆km [ρLj,k σ jk ](x, y)
2
ρ j
1
j
= −i∆km ρL ∂j + L ,j (x, y) + ∆km [ρLj,k σ jk ](x, y)
2
2
1
−km (x, y) ρL/(y) + m ∆km [ρL/](x, y) + ∆km [iρLj,j ] .
(B.159)
2
Theorem B.11.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆km (x, y) = iρ ∆k0 iLj σ jk ∂k +
74
i
Lj,k σ jk (x, y)
2
(B.160)
Z
y
i
Lj ξ j ρξ/
m (m∨ (ξ) − m∧ (ξ))
2
2π
x
i
− 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) ρ(L/(y) + L/(x))
4π
Z y
i
∨
∧
+ 2 m (l (ξ) − l (ξ))
ρL/
4π
Zxy
i
(2α − 1) Li,i ρξ/
+ 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
8π
Zxy
i
∨
∧
+ 2 m (l (ξ) − l (ξ))
(α2 − α) (2Lk ) ξ k ρξ/
8π
Zxy
i
∨
∧
(2α − 1) ρ(∂/Lj ) ξ j
+ 2 m (l (ξ) − l (ξ))
8π
x
Z y
1
+ 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
εijkl Li,j ξk γl
8π
x
Z y
i
2 ∨
∧
Lj ξk ρσ jk
− 2 m (l (ξ) − l (ξ))
4π
x
i
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξk ρσ jk
−
16π 2
1
−
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj (y) − Lj (x))ξ j ρ
16π 2
+O(ξ 0 ) + O(m3 )
.
+
(B.161)
(B.162)
(B.163)
(B.164)
(B.165)
(B.166)
(B.167)
(B.168)
(B.169)
(B.170)
Beweis: Mit den Relationen
ρ σ ij
εijkl Li,j εklmn
i ijkl
ε
σkl
2
= −2(Lm,n − Ln,m )
=
εijkl Li,j ξk ξ m εlmno σ no = 2(Li,j − Lj,i ) ξ i ξk σ jk + (Li,j − Lj,i ) σ ij ξ 2
erhält man aus Theorem B.7.1
h
i
1
i
∆(km − k0 )[ρLi,j σ ij ](x, y) = ∆(km − k0 ) εijkl Li,j σkl (x, y)
2
Z y4
i
=
εijkl Li,j εklmn ξ m ργ n
m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
16π 2
x
Z y
1
2 ∨
∧
εijkl Li,j ξk ξ m σlm + O(ξ 0 ) + O(m3 )
m (l (ξ) − l (ξ))
−
16π 2
x
Z y
i
∨
∧
= − 2 m (l (ξ) − l (ξ))
(Li,j − Lj,i )ξ i ργ j
8π
x
Z y
i
2 ∨
∧
εijkl Li,j ξk ξ m εlmno ρσ no + O(ξ 0 ) + O(m3 )
m
(l
(ξ)
−
l
(ξ))
−
32π 2
Z yx
i
∨
∧
(Li,j − Lj,i )ξ i ργ j
= − 2 m (l (ξ) − l (ξ))
8π
x
Z y
i
2 ∨
∧
−
m
(l
(ξ)
−
l
(ξ))
(Li,j − Lj,i ) ξ i ξk ρσ jk + O(ξ 0 ) + O(m3 )
16π 2
x
Z y
i
ρ (∂/Li )ξ i ργ j
= − 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
8π
x
i
+ 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) ρ (L/(y) − L/(x))
8π
Z y
i
2 ∨
∧
Li,j ξ i ξk ρσ jk
m
(l
(ξ)
−
l
(ξ))
−
16π 2
x
75
+
i
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj (y) − Lj (x)) ξk ρσ jk + O(ξ 0 ) + O(m3 ) .
16π 2
Zusätzlich haben wir
i
m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) ρL/(y)
4π 2
1
− 2 m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) Lj (y)ξ j ρ
8π
i
+ 2 m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) ξj Lk (y) ρσ jk + O(m3 ) .
8π
−(km − k0 )(x, y) ρL/(y) = −
Durch Vergleich mit Theorem B.9.1 folgt
1
ρ j
L ,j (x, y) + ∆(km − k0 )[ρLj,k σ jk ](x, y)
2
2
− (km − k0 )(x, y) ρL/(y)
−i∆(km − k0 ) ρLj ∂j +
i
m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) ρ(L/(y) + L/(x))
8π 2
1
−
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj (y) − Lj (x))ξ j ρ
16π 2
i
m2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) (Lj (y) + Lj (x)) ξk ρσ jk + O(ξ 0 ) + O(m3 ) .
−
16π 2
= −
Außerdem haben wir nach Theorem A.3.1 und Theorem B.2.1
Z
y
i
∨
∧
Lj ξ j ρξ/
m ∆km [ρL/](x, y) =
m
(m
(ξ)
−
m
(ξ))
2π 2
x
Z y
i
∨
∧
+ 2 m (l (ξ) − l (ξ))
(2α − 1) Li,i ρξ/
8π
Zxy
i
∨
∧
(α2 − α) (2Lk ) ξ k ρξ/
+ 2 m (l (ξ) − l (ξ))
8π
Zxy
i
∨
∧
(2α − 1) ρ(∂/Lj ) ξ j
+ 2 m (l (ξ) − l (ξ))
8π
x
i
− 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) ρ(L/(y) + L/(x))
8π
Z y
i
∨
∧
ρL/
+ 2 m (l (ξ) − l (ξ))
4π
Zxy
1
+ 2 m (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
εijkl Li,j ξk γl
8π
Zx y
i
2 ∨
∧
Lj ξk ρσ jk + O(ξ 0 ) + O(m3 )
− 2 m (l (ξ) − l (ξ))
4π
x
Die Behauptung folgt nun mit (B.159) und Theorem B.6.1.
.
2
Wir berechnen nun den Beitrag ∼ m3 bis zur Ordnung O(ξ 2 ):
Satz B.11.2 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
Z
y
i
∆k (x, y) = − 2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
Lj ξ j ρξ/
8π
x
i
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ)) ρ(L/(y) + L/(x))
+
16π 2
(3)
76
(B.171)
(B.172)
i
16π 2
i
−
32π 2
i
−
32π 2
i
−
32π 2
1
−
32π 2
+
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
Z
y
Zxy
Zxy
Zxy
Zxy
x
ρL/
(B.173)
(2α − 1) ρ(∂/Lj )ξ j
(B.174)
(2α − 1) Lj,j ρξ/
(B.175)
(α2 − α) (2Lj )ξ j ρξ/
(B.176)
εijkl Li,j ξk γl + O(ξ 2 )
.
Beweis: Nach Theorem B.7.1 und Theorem B.4.1 hat man für ξ 0 > 0
i
1
∆k(3) [ρLi,j σ ij ](x, y) = ∆k(3) [εijkl Li,j σkl ]
2
4 Z
y
i
∨
∧
= −
εijkl Li,j εklmn ξ m ργ n + O(ξ 2 )
(Θ
(ξ)
−
Θ
(ξ))
64π 2
Z yx
i
∨
∧
(Θ (ξ) − Θ (ξ))
(Li,j − Lj,i ) ξ i ργ j + O(ξ 2 )
=
32π 2
Zxy
i
∨
∧
ρ(∂/Lj )ξ j
(Θ (ξ) − Θ (ξ))
=
32π 2
x
i
−
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ)) ρ(L/(y) − L/(x)) + O(ξ 2 )
32π 2
i
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ)) ρL/(y) + O(ξ 2 )
.
−k(3) (x, y) ρL/(y) =
16π 2
Durch Vergleich mit Satz B.9.2 folgt
−i∆k(3) ρLj ∂j +
=
1
ρ j
L (x, y) + ∆k(3) [ρLj,k σ jk ](x, y)
2 ,j
2
− k(3) (x, y) ρL/(y)
i
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ)) ρ(L/(y) + L/(x)) + O(ξ 2 )
32π 2
.
Außerdem haben wir nach Theorem B.4.1 und Theorem B.6.1
Z
y
i
∆k [ρL/](x, y) = − 2 (l∨ (ξ) − l∧ (ξ))
Lj ξ j ρξ/
8π
x
Z y
i
∨
∧
ρL/
+ 2 (Θ (ξ) − Θ (ξ))
8π
x
Z
y
i
∨
∧
−
(2α − 1) ρ(∂/Lj )ξ j
(Θ
(ξ)
−
Θ
(ξ))
32π 2
x
i
∨
∧
(Θ (ξ) − Θ (ξ)) ρ(L/(y) + L/(x))
+
32π 2
Z y
i
∨
∧
−
(Θ (ξ) − Θ (ξ))
ρL/
16π 2
Zxy
1
(Θ∨ (ξ) − Θ∧ (ξ))
εijkl Li,j ξk γl
−
32π 2
x
Z y
i
∨
∧
(2α − 1) Lj,j ρξ/
−
(Θ (ξ) − Θ (ξ))
32π 2
Zxy
i
∨
∧
(α2 − α) (2Lj )ξ j ρξ/ + O(ξ 2 )
(Θ (ξ) − Θ (ξ))
−
32π 2
x
(2)
77
(B.177)
1
∆k(3) [iρLj,j ](x, y) = O(ξ 2 )
2
.
2
78
Appendix C
Störungsrechnung für p0 im
Ortsraum
In diesem Kapitel werden wir die Distribution p̃0 für verschiedene Störungen des Diracoperators im Ortsraum in erster Ordnung berechnen.
Nach (9) müssen wir die Gleichung
p̃0 = p0 − p0 Bs0 − s0 Bp0
auswerten. Wir haben
(p0 B s0 + s0 B p0 )(x, y) = (i∂/x ) (P0 B S0 + S0 B P0 ) (x, y) (i∂/y ),
dabei ist S0 die Distribution (A.3), P0 ist im Ortsraum durch
P0 (x) =
Z
1 1
d4 k
δ(k2 ) e−ikx = − 3 2
(2π)4
4π x
(C.1)
gegeben. Der Pol auf dem Lichtkegel ist als Hauptwert zu behandeln, also für g ∈ Cc∞ (M )
P0 (g)
Z
1
1
− d4 x 2 g(x)
3
4π
x
Z
1
1
1
1
4
+
:= − 3 lim
d x
g(x)
4π 06=ε→0 2
x2 + iε x2 − iε
=
−
.
(C.2)
Für die Störungsrechnung muß man Ausdrücke der Form
(P0 f S0 + S0 f P0 )(x, y)
und deren partielle Ableitungen nach x, y berechnen. Als technisches Hilfsmittel werden
dazu allgemeinere Lichtkegelintegrale benötigt:
C.1
Verallgemeinerte Lichtkegelintegrale
Zunächst müssen wir Funktionen eingeführen, die ein bestimmtes Abfallverhalten im Unendlichen zeigen.
79
Def. C.1.1 (i) Eine Funktion f ∈ C ∞ (M ) heißt zur p-ten Potenz abfallend, p > 0,
falls es zu jedem Punkt 0 6= y ∈ M eine Umgebung U ⊂ M und Konstanten λ0 , c
gibt mit
|λp f (λz)| ≤ c
∀λ > λ0 , z ∈ U
.
Die zur ersten und zweiten Potenz abfallenden Funktionen werden auch linear und
quadratisch abfallend genannt.
(ii) Eine Funktion f ∈ C ∞ (M ) heißt gleichmäßig zur p-ten Potenz abfallend, p > 0,
falls die partiellen Ableitungen der Ordnung q von f , q ≥ 0, zur (p + q)-ten Potenz
abfallen.
Die Menge der gleichmäßig zur p-ten Potenz abfallenden Funktionen wird mit Cp∞ (M )
bezeichnet.
∞ .
Offensichtlich folgt aus f ∈ Cp∞ und g ∈ Cq∞ , daß f g ∈ Cp+q
Für f ∈ C2∞ (M ) soll nun das Integral
Z
( × f )(y) := −
Z
d4 z (ly∨ (z) − ly∧ (z)) (l∨ (z) − l∧ (z)) f (z)
(C.3)
als Distribution definiert werden. Dazu wird folgendes kleine Lemma benötigt:
Lemma C.1.2 (i) Für g ∈ Cc∞ (M ) ist
h(z) =
Z
d4 y (l∨ (z − y) − l∧ (z − y)) g(y)
eine linear abfallende Funktion.
(ii) Fällt f zur dritten Potenz ab, so sind die Integrale
Z
4
∨
d z l (z) f (z)
,
Z
d4 z l∧ (z) f (z)
wohldefiniert und endlich.
Beweis:
(i) Sei 0 6= y ∈ M . Wähle ein Bezugssystem mit ~y 6= 0, setze κ = |~y |/2. Da g kompakten
Träger besitzt, gibt es R > 0 mit supp g ⊂ IR × BR (~0). Außerdem ist g beschränkt,
|g| ≤ c.
Wähle U = IR × Bκ (~y ). Für z ∈ U , λ > 2R/κ hat man
λ |h(λz)| ≤ λ
Z
Z
d4 y (l∨ (λz − y) + l∧ (λz − y)) |g(y)|
λ
[|g( (−|~x|, ~x) + λz)| + |g( (|~x|, ~x) + λz)|]
2|~x|
Z
λc
≤
d3 ~x
χ
(~x)
.
|~x| BR (λ~z)
=
d3 ~x
Für ~x ∈ BR (λ~z) gilt |~x| ≥ |λ~z | − R ≥ λκ − R ≥ 21 λκ und somit
c
λ |h(λz)| ≤ 2
κ
Z
d3 ~x χBR (λ~z) (~x) =
80
8 c 3
π R
3 κ
.
(ii) In Polarkoordinaten (t, r, ω) hat man
Z
4
∨
d z l (z) f (z) =
1
2
Z
∞
r dr
0
Z
S2
dω f (r, r, ω)
.
(C.4)
Nach Voraussetzung fällt f zur dritten Potenz ab, also
c
r3
|f (r, r, ω)| ≤
,
und das Integral (C.4) ist endlich.
2
Def. C.1.3 Definiere für f ∈ C2∞ (M ) die Distribution
Z
( × f )(g) = −
Z
h(z) = f (z)
d4 z (l∨ (z) − l∧ (z)) h(z)
Z
R
×f
durch
mit
d4 y (l∨ (z − y) − l∧ (z − y)) g(y)
(C.5)
, g ∈ Cc∞ (M ).
Nach Lemma C.1.2, (i) ist h ∈ C3∞ (M ), somit ist (C.5) nach Lemma C.1.2, (ii) sinnvoll
definiert.
R
Die Bezeichnungen von Definition A.1.7 werden in analoger Weise auch für × f verwendet, also
Z
×f
=
× f
=
Z
y
y
Z
Z
y
× f = ( × f )(y)
Z
x
× f
y
x
= −
Z
d4 z (l∨ (z − y) − l∧ (z − y)) (l∨ (z − x) − l∧ (z − x)) f (z)
.
Für alle noch folgenden Lichtkegelintegrale werden wir ebenfalls die allgemeinere Notation
von Definition A.1.7 verwenden,
ohne darauf jedesmal
im Einzelnen hinzuweisen.
R
R
Für y ∈ ℑ∨ stimmt × f offensichtlich mit 3 f überein, für y ∈ ℜ reduziert sich (C.3)
auf das Integral von f über ein zweidimensionales Hyperboloid.
R
Viele der Resultate,
die in Anhang A für das Lichtkegelintegral 3 bewiesen wurden,
R
lassen sich auf × f übertragen. Insbesondere haben wir in Analogie zu Satz A.1.3 das
folgende Ergebnis:
R
Satz C.1.4 × f ist
harmonisch (im Distributionssinne).
R
Außerdem ist × f eine Funktion, die auf ℑ ∪ ℜ glatt ist. Für z ∈ L gilt
Z
lim ( × f )(y) =
ℑ∋y→z
Z
π
2
lim ( × f )(y) = −
ℜ∋y→z
Z
1
f (λz) dλ
π
2
Z
f (λz) dλ
(C.7)
IR\[0,1]
Beweis: Verläuft ganz ähnlich wie der Beweis von Satz A.1.3.
81
(C.6)
0
2
Satz C.1.5 Für die Ableitung von
Z
Z
∂j ( × f )(y) = ( ×
(y)
Für hj
R
×f
gilt (im Distributionssinne)
(y)
hj )(y)
+ π yj l(y)
Z
∞
f (λy) dλ
.
(C.8)
−∞
kann man eine der Funktionen
1
zj y l − yj z l
∂j f (z) −
∂l f
2
y2

Z 1

 ∂ f (z) − 1 2 (z

f (αz) dα) falls y ∈ ℑ
z j
 j
2
(y)
0
hj (z) =
Z ∞

1


 ∂j f (z) + 2z (zj
f (αz) dα) falls y ∈ ℜ
2
1
(y)
hj
=
(C.9)
(C.10)
setzen.
(y)
Falls f sogar in C3∞ (M ), kann man für hj auch
zj (z − y)l
(y − 2z)j
∂l f − 2
f
2
y
y2
(y − z)j z l
(y − 2z)j
(y)
f
(z)
+
2
∂l f (z)
hj (z) = 2
y2
y2
(y)
hj (z) = ∂j f (z) + 2
oder
(C.11)
(C.12)
setzen.
Beweis: Man kann ganz ähnlich wie in Anhang A vorgehen. Daher soll der Beweis nur
skizziert werden:
Zunächst betrachtet man den Fall, daß f kompakten Träger besitzt.
R
Lemma A.1.5 überträgt sich direkt auf das Lichtkegelintegral × f und führt auf
(C.9),
R
(C.11) und (C.12). Die Lemmata A.1.6, A.1.8 und A.1.9 gelten wörtlich auch für × f . Zum
Beweis wählt man an Stelle von Polarkoordinaten jeweils hyperbolische Koordinaten. R
BeiR Satz A.1.10 muß man etwas aufpassen. Ersetzt man das Lichtkegelintegral 3 f
durch × f und betrachtet den Fall y ∈ ℜ, so verschwindet in (A.41) bei partieller IntegraR
tion in α der Randwert bei α = 0 nicht. (Gleichung (A.43) gilt nicht mehr, weil ×xỹ für
R1
ℜ ∋ ỹ →Rx divergiert.) Ersetzt man in (A.40) jedoch den Term 0 α 2z (zj f (z))|z=αy dα
durch − 1∞ α 2z (zj f (z))|z=αy dα, so erhält man bei der Umformung von (A.41) nur den
gewünschten Randterm bei α = 1. Auf diese Weise kann man (C.10) herleiten.
Den Beitrag ∼ l(y) in (C.8) erhält man aus (C.6) und (C.7) genau wie im Beweis von
Satz A.1.15.
Die Voraussetzung f ∈ Cc∞ (M ) kann man durch Approximation abschwächen. Dabei
(y)
verwendet man, daß für f ∈ C2∞ (M ) auch hj gemäß (C.9), (C.10) gleichmäßig quadratisch
(y)
abfällt. Damit hj nach (C.11), (C.12) gleichmäßig quadratisch abfällt, braucht man die
2
stärkere Voraussetzung f ∈ C3∞ (M ).
(y)
Beachte, daß die Funktion hj
in (C.10) für y ∈ ℜ einen Pol am Ursprung besitzt. Dies
R
(y)
bereitet für die Definition von (3 hj )(y) jedoch keine Probleme, weil das Hyperboloid,
über das in (C.3) für festes y ∈ ℑ∪ℜ integriert werden muß, den Ursprung nicht schneidet.
(y)
Daher kann man hj in einer kleinen Umgebung des Ursprungs beliebig abändern und den
Pol beseitigen.
82
Wir werden nun weitere Lichtkegelintegrale einführen: Sei f ∈ C2∞ (M ), g ∈ Cc∞ (M ), setze
für z 6= 0
Z
d4 y δ(<z, y>) g(y)
h(z) =
.
(C.13)
Das Integral ist endlich und hängt stetig von z ab, wegen
h(λz) =
Z
=
1
λ
d4 y δ(<λz, y>) g(y)
Z
d4 y δ(<z, y>) g(y)
,λ>0
ist h eine eine linear abfallende Funktion. Nach Lemma C.1.2, (ii) ist daher das Integral
Z
d4 z l(z) f (z) h(z)
wohldefiniert und endlich. Man kann also setzen:
Def. C.1.6 Definiere für f ∈ C2∞ (M ) die Distribution
Z
( ⊙ f )(g) =
1
2
Z
R
⊙f
durch
d4 z l(z) f (z) h(z)
mit h gemäß (C.13).
Formal ist
R
⊙
f durch das Integral
Z
( ⊙ f )(y) =
1
2
Z
d4 z l(z) δ(<z, y>) f (z)
(C.14)
gegeben. Offensichtlich hat man
Z
Z
1
( ⊙ f )(λy) =
( ⊙ f )(y)
|λ|
.
(C.15)
Es gilt ferner
R
Satz C.1.7 ⊙ f ist eine Funktion, die auf ℑ identisch verschwindet und auf ℜ glatt ist.
Für z ∈ L hat man
Z
Z
π ∞
lim ( ⊙ f )(y) =
f (λz) dλ
ℜ∋y→z
2 −∞
Beweis: Verläuft ähnlich wie der Beweis von Satz A.1.3.
2
R
R
Das Lichtkegelintegral ⊙ f kann man auch als Grenzfall des Lichtkegelintegrals × f darstellen:
Satz C.1.8 Es gilt im Distributionssinne
Z
Z
( ⊙ f )(y) = − lim |λ|( × f )(λy)
06=λ→0
.
(C.16)
Beweis: Man hat für λ 6= 0
Z
( × f )(λy) = −
= −
Z
Z
d4 z δ(z 2 ) δ((z − λy)2 ) ǫ(z 0 ) ǫ(z 0 − λy 0 ) f (z)
d4 z δ(z 2 ) δ(−2λ<z, y> + λ2 y 2 ) ǫ(z 0 ) ǫ(z 0 − λy 0 ) f (z)
83
,
also
−|λ|
Z
=
Z
4
d y ( × f )(λy) g(y)
1
2
Z
4
2
0
d z δ(z )ǫ(z ) f (z)
Z
λ 2
y ) ǫ(z 0 − λy 0 ) g(y)
2
d4 y δ(<z, y> −
.
Im Grenzfall λ → 0 konvergiert das innere Integral gleichmäßig in z gegen
Z
d4 y δ(<z, y>) ǫ(z 0 ) g(y)
,
woraus die Behauptung folgt.
2
Für y ∈ ℜ muß die Funktion f in (C.14) über einen zweidimensionalen Kegel integriert
werden. Die Ableitungen von f in radialer Richtung liegen tangential zu diesem Kegel
und können partiell integriert werden:
Lemma C.1.9 Es gilt für y ∈ ℜ und die Funktion g(z) = z l ∂l f (z)
Z
Z
( ⊙ g)(y) = −( ⊙ f )(y)
.
(C.17)
Beweis: Wähle Zylinderkoordinaten (t, x, r, ϕ)1 , ohne Einschränkung der Allgemeinheit
kann man y = (0, x0 , 0, 0) annehmen.
Z
( ⊙ g)(y) =
1
2
Z
∞
−∞
dt
Z
∞
dx
−∞
Z
∞
r dr
Z
2π
0
0
dϕ δ(t2 − r 2 − x2 ) δ(x x0 )
∂
∂
∂
× t +x
+r
f (t, r, r, ϕ)
∂t
∂x
∂r
Z ∞
Z 2π
1
d
=
dt t f (t, 0, |t|, ϕ)
dϕ
4|x0 | 0
dt
−∞
Z 2π
Z ∞
Z
1
dϕ
= − 0
dt f (t, 0, |t|, ϕ) = −( ⊙ f )(y)
4|x | 0
−∞
2
Für die partiellen Ableitungen von
R
⊙
f hat man
Lemma C.1.10 Es gilt im Distributionssinne
Z
Z
(y)
∂j ( ⊙ f )(y) = ( ⊙ lj )(y)
mit
(y)
lj (z) = −
zj y l
yj
∂l f (z) − 2 f (z)
2
y
y
(C.18)
.
Dies kann man auch schreiben als
Z
∂j ( ⊙ f )(y) = − lim |λ|
1
06=λ→0
Also y = r cos ϕ, z = r sin ϕ
84
Z
∂
( × f )(λy)
∂y j
.
(C.19)
Beweis: Für eine Funktion g ∈ Cc∞ (M ) hat man
Z
Z
Z
1
∂j ( ⊙ f )(g) = −
d4 z l(z) f (z) d4 y δ(<z, y>) ∂j g(y)
2
Z
Z
1
d4 z l(z) f (z) d4 y δ′ (<z, y>) zj g(y)
=
2
Z
Z
l
∂
1
4 y
4
δ(<z, y>) g(y)
d
y
d z l(z) f (z) zj
=
2
∂z l
y2
.
Integriere nun partiell
Z
Z
l
1
∂
4 y
= −
(z
l(z)
f
(z))
d
y
δ(<z, y>) g(y)
d4 z
j
2
∂z l
y2
Z
Z
yl
1
d4 z (−gjl f (z) − zj ∂l f ) d4 y 2 δ(<z, y>) g(y)
=
2
y
Z
Z
1
− d4 z l′ (z) f (z) d4 y 2 <z, y> δ(<z, y>) g(y)
y
.
Im letzten Summanden verschwindet das innere Integral, und es ergibt sich
=
Z
4
Z
(y)
d y ( ⊙ lj )(y) g(y)
.
(y)
Um Gleichung (C.19) zu beweisen, wendet man Satz C.1.5 mit hj
|λ|
Z
Z
∂
(λy)
( × f )(λy) = |λ| λ( × hj )(λy)
∂y j
Z
= |λ| λ × dz
λy
Z
gemäß (C.9) an
!
1
zj λyl − λyj z l
∂j f (z) −
∂l f (z)
2
λ2 y 2
!
zj y l − yj z l
1
λ ∂j f (z) −
∂l f (z)
2
y2
= |λ| × dz
λy
.
Satz C.1.8 liefert
Z
Z
∂
zj y l − yj z l
∂l f
− lim |λ| j ( × f )(λy) = ⊙ −
06=λ→0
∂y
y2
y
und nach Einsetzen von (C.17) die Behauptung.
2
Gleichung (C.19) ist leicht einsichtig, man erhält sie aus (C.16) durch formales Ableiten.
R
R
Nun können wir das Lichtkegelintegral (⊗ f )(y) definieren, das für y ∈ ℑ∨ mit (3 f )(y)
übereinstimmt und auch auf dem Lichtkegel (mit Ausnahme des Ursprungs) stetig ist:
Def. C.1.11 Definiere für f ∈ C2∞ (M ) die Distribution
Z
Z
Z
⊗f = ×f + ⊙f
85
R
⊗f
.
durch
Satz C.1.12
R
ist eine Funktion, die auf M \ {0} stetig ist. Für 0 6= z ∈ L gilt
⊗f
Z
π
lim ⊗ f =
y→z
2
Am Ursprung ist
R
⊗f
Z
1
f (αz) dα
.
(C.20)
0
jedoch im allgemeinen nicht stetig. Für y ∈ ℑ hat man
Z
lim ( ⊗ f )(λy) =
0<λ→0
für y ∈ ℜ dagegen
Z
lim ( ⊗ f )(λy) =
0<λ→0
π
f (0)
2
Z
,
1
π
f (0) − ( ⊙ y j ∂j f )(y)
2
2
(C.21)
.
(C.22)
R
Beweis: Aus Satz C.1.4 und C.1.7 folgt unmittelbar, daß ⊗ f eine auf M \ {0} stetige
Funktion
ist, die
(C.20) erfüllt. Außerdem ist klar, daß für y ∈ ℑ∨ die Lichtkegelintegrale
R
R
(⊗ f )(y) und (3 f )(y) übereinstimmen. Gleichung (C.21) folgt für y ∈ ℑ∨ somit aus
Satz A.1.3, den Fall y ∈ ℑ∧ erhält man durch Punktspiegelung am Ursprung.
Es bleibt also noch (C.22) abzuleiten. Man kann ein Bezugssystem wählen mit y =
(0, x0 , 0, 0). In Zylinderkoordinaten (t, x, r, ϕ) erhält man
Z
Z
Z
Z
∞
∞
2π
1
dt
r dr
dϕ δ(t2 − r 2 ) f (t, 0, r, ϕ)
2 |x0 | −∞
0
0
Z 2π
Z ∞
1
dϕ
dt f (t, 0, |t|, ϕ)
4 |x0 | 0
−∞
Z ∞
Z 2π
1
dt f (t, 0, |t|, ϕ)
dϕ
4 |λx0 | 0
−∞
Z 2π
Z ∞
Z ∞
1
1
1
dϕ δ(t2 − r 2 − λ2 x20 ) f (t, λx0 , r, ϕ)
r dr
dt
−
2 |λx0 | −∞
4
2
0
0
Z 2π Z
1
1
dt f (t, λx0 , r(t), ϕ)
−
4 |λx0 | 0
2
IR\[−λα,λα]
( ⊙ f )(y) =
=
Z
( ⊙ f )(λy) =
Z
( × f )(λy) =
=
1
mit r(t) = (t2 − α2 λ2 ) 2 , α = |x0 |/2. Somit gilt
Z
( ⊗ f )(λy) =
Z
Z
2π
1
1
dϕ
dt f (t, 0, |t|, ϕ) − f (t, λx0 , r(t), ϕ)
4 |λx0 | 0
2
IR\[−λα,λα]
Z λα
Z 2π
1
+
dt f (t, 0, |t|, ϕ)
.
dϕ
4 |λx0 | 0
−λα
Eine Taylorentwicklung in λ liefert
x0 1
= −
2 4 |x0 |
Z
und somit
2π
dϕ
0
Z
∞
dt
−∞
Z
∂
1
f (t, 0, |t|, ϕ) +
λ|x0 | 2πf (0) + O(λ)
∂x
4 |λx0 |
lim ( ⊗ f )(λy) = −
0<λ→0
x0
2
Z
⊙
π
∂
f (y) + f (0)
∂x
2
,
was, koordinateninvariant geschrieben, mit (C.22) übereinstimmt.
Für die partiellen Ableitungen von
R
⊗
f erhält man eine einfache Formel:
86
2
Satz C.1.13 Es gilt im Distributionssinne
Z
Z
∂j ( ⊗ f )(y) = ( × hj )(y)
mit
Z
1
hj (z) = ∂j f (z) − 2z zj
2
(C.23)
1
f (αz) dα
0
.
Beweis: Für y ∈ ℑ hat man nach Satz C.1.7 und Satz C.1.5
Z
Z
Z
∂j ( ⊗ f )(y) = ∂j ( × f )(y) = ( × hj )(y)
Für y ∈ ℜ gilt nach (C.19) und (C.8)
Z
Z
Z
∂j ( ⊗ f )(y) = ∂j ( × f )(y) + ∂j ( ⊙ f )(y)
Z
.
Z
= ∂j ( × f )(y) − lim |λ| ∂j ( × f )(λy)
Z
06=λ→0
Z
× (hj + gj ) − lim |λ| λ × (hj + gj )
=
06=λ→0
y
(C.24)
λy
mit
1
2z zj
2
gj (z) =
Z
=
∞
Z
∞
f (αz) dα
0
Z
1
α ∂j f (αz)dα + zj
2
0
∞
α2 (2f )(αz) dα
.
0
Mit Hilfe der Relation
gj (λz) =
=
erhält man
Z
∞
α ∂j f (λαz) dα +
0
1
λzj
2
1
gj (z)
|λ| λ
Z
Z
∞
α2 (2f )(λαz) dα
0
Z
Z
|λ| λ × gj (z) dz = |λ| λ × gj (λz) dz = × gj
λy
y
y
und nach Einsetzen in (C.24)
Z
Z
Z
∂j ( ⊗ f )(y) = ( × hj )(y) − lim |λ| λ( × hj )(λy)
06=λ→0
.
Die Funktion hj ist in C2∞ (M ). Nach Satz C.1.8 verschwindet der zweite Summand und
man erhält (C.23).
Es bleibt zu zeigen, daß (C.23) im Distributionssinne gilt. Für g ∈ Cc∞ (M ) hat man
Z
∂j ( ⊗ f )(g) = −
= −
Z
Z
ℑ
Z
d4 y ( ⊗ f )(y) ∂j g(y)
4
Z
d y ( ⊗ f )(y) ∂j g(y) −
87
Z
ℜ
4
Z
d y ( ⊗ f )(y) ∂j g(y)
.
R
Da
⊗ f auf ℑ ∪ ℜ glatt ist, kann man partiell integrieren. Die Randterme fallen weg, weil
R
⊗ f auf dem Lichtkegel stetig ist
=
=
Z
d y ∂j ( ⊗ f )(y) g(y)
Zℑ∪ℜ
R
×
Z
4
Z
d y ( × hj )(y) g(y) = ( × hj )(g)
ℑ∪ℜ
da
Z
4
,
hj eine Funktion ist.
2
R
Man beachte, daß ∂j ⊗ f nach (C.23) auf dem Lichtkegel im allgemeinen nicht stetig ist.
Als letztes Lichtkegelintegral soll nun die Distribution
Z
( ∨ f )(y) =
Z
d4 z
1
l(z) f (z)
(y − z)2
eingeführt werden. Dazu braucht man folgendes Lemma:
Lemma C.1.14 Für g ∈ Cc∞ (M ) ist
h(z) =
Z
d4 y
1
g(y)
(y − z)2
(C.25)
eine linear abfallende Funktion. (Das Integral ist als Hauptwert definiert.)
Beweis: Sei 0 6= y ∈ M . Wähle ein Bezugssystem mit ~y 6= 0, setze κ = |~y |/2. Da g
kompakten Träger besitzt, gibt es R > 0 mit supp g ⊂ IR × BR (~0).
Wähle U = IR × Bκ (~y ). Für z ∈ U , λ > 2R/κ hat man
λ h(λz) = λ
Z
d4 y
Z
∞
= λ −
1
g(y)
(y − λz)2
dt
−∞
Z
BR (~0)
d3 ~x
(t −
λz 0 )2
1
g(t, ~x)
− (~x − λ~z )2
Eine Partialbruchzerlegung liefert
=
Z
Z
∞
1
d ~x − dt
2a
BR (~0)
−∞
3
1
1
−
0
t − λz − λa t − λz 0 + λa
g(t, ~x)
(C.26)
mit a = a(λ, ~x) = |~z − ~x/λ|. Wegen
a(λ, ~x) ≥ |~z | −
R
κ
|~x|
≥κ− ≥
λ
λ
2
hat man
λ |h(λz)| ≤
1
κ
Z
BR (~0)
Z
d3 ~x −
∞
−∞
1
1
−
t − λz 0 − λa t − λz 0 + λa
g(t, ~x)
.
(C.27)
In (C.27) ist das innere Integral, und somit auch der ganze Ausdruck, in λ und z glm.
beschränkt.
2
88
Def. C.1.15 Definiere für f ∈ C2∞ (M ) die Distribution
Z
( ∨ f )(g) =
Z
d4 z l(z) h(z) f (z)
R
∨f
durch
, g ∈ Cc∞ (M )
mit h gemäß (C.25).
Diese Definition ist sinnvoll, weil h nach Lemma C.1.14 eine linear abfallende Funktion
ist.
R
Satz C.1.16 ∨ f Rist harmonisch (im Distributionssinne).
Außerdem
ist ∨ f eine Funktion, die auf ℑ ∪ ℜ glatt ist. In der Nähe des Lichtkegels
R
besitzt ∨ f eine logarithmische Divergenz, also für z ∈ L
Z
lim ( ∨ f )(y) −
y→z
Z
∞
π
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) f (λy)
2
−∞
< ∞
.
Beweis: Verläuft ähnlich wie der Beweis von Satz A.1.3.
R
2
R
R
Es ist günstig, das Lichtkegelintegral ∨ f mit Hilfe von × f , ⊗ f auszudrücken. Dadurch
wirdR es möglich sein, ohne großen Aufwand auch Formeln für die partiellen Ableitungen
von ∨ f abzuleiten.
Lemma C.1.17 Es gilt im Distributionssinne
Z
( ∨ f )(y) =
Z
Z
∞
|λ|
( × f )(λy)
− dλ
1
−λ
−∞
.
(C.28)
Beweis: Rechne für g ∈ Cc∞ (M ):
Z
∞
|λ|
− dλ
1−λ
−∞
Z
∞
= − −
Z
4
Z
d y ( × f )(λy) g(y)
dλ
−∞
|λ|
1−λ
Z
d4 z (l∨ (z) − l∧ (z)) f (z)
Z
d4 y (l∨ (z − λy) − l∧ (z − λy)) g(y)
Für y ∈ ℑ tragen die Terme l∨ (z) l∧ (z − λy), l∧ (z) l∨ (z − λy) bei, für y ∈ ℜ dagegen die
Terme l∨ (z) l∨ (z − λy), l∧ (z) l∧ (z − λy). Dies führt zu einem relativen Minuszeichen für
die Fälle y ∈ ℑ, y ∈ ℜ und man kann schreiben
Z
∞
|λ|
= − dλ
1−λ
−∞
Z
4
d z l(z) f (z)
Z
d4 y l(z − λy) ǫ(y 2 ) g(y)
.
Da die inneren Integrale stetig von λ abhängen, kann man die λ-Integration ausführen
und erhält einen Beitrag bei λ = 2<z, y>/y 2
=
=
Z
Z
4
d z l(z) f (z)
4
d z l(z) f (z)
Z
Z
2<z, y> y2
1
ǫ(y 2 ) g(y)
d y y2
(y 2 − 2<z, y>) |2<z, y>|
4
d4 y
1
g(y)
(y − z)2
,
wobei im Integral nach y wie gewünscht der Hauptwert auftritt.
2
Wir werden nun der Einfachheit halber annehmen, daß f gleichmäßig zur dritten
Potenz abfällt.
89
Satz C.1.18 Für f ∈ C3∞ (M ) gilt im Distributionssinne
Z
Z
Z
Z
∞ dλ
2
⊗ dz zj f (z)
∂j ( ∨ f )(y) = ( ∨ hj )(y) + 2 −
y
−∞ |λ|
λy
mit
hj (z) = ∂j f (z) −
1
2z zj
2
Z
1
f (αz) dα
0
(C.29)
.
Beweis: Nach (C.28) gilt
Z
( ∨ f )(y) =
=
Z
Z
∞
|λ|
− dλ
× f
1 − λ λy
−∞
Z ∞
Z
Z ∞
Z
ǫ(λ)
− dλ
× f − − dλ ǫ(λ) × f
1 − λ λy
−∞
−∞
λy
.
(C.30)
Aufgrund der Beziehung
Z
−
∞
dλ
−∞
Z
Z
Z
∞
1
ǫ(λ)
⊙ f = − dλ
⊙f = 0
1 − λ λy
λ(1 − λ) y
−∞
kann man im ersten Summanden von (C.30) das Lichtkegelintegral
Z
Z
∞
( ∨ f )(y) = −
dλ
−∞
Z
Z
Z
R
×
∞
ǫ(λ)
⊗ f − − dλ ǫ(λ) × f
1 − λ λy
−∞
λy
R
f durch ⊗ f ersetzen
.
Durch Differentiation erhält man unter Verwendung von (C.23) und (C.28) die Gleichung
Z
Z
Z
∞
∂j ( ∨ f )(y) = ( ∨ hj )(y) − −
dλ ǫ(λ)
−∞
Z
∂
( × f )(λy)
∂y j
.
(C.31)
Im zweiten Sumanden von (C.31) kann man durch geschickte partielle Integration die
Ableitung beseitigen:
(y)
Da f gleichmäßig zur dritten Potenz abfällt, kann man Satz C.1.5 mit hj in der
Form (C.12) anwenden.
Z
∞
Z
Z
Z
∞
∂
(λy)
− dλ ǫ(λ) j × f = − dλ |λ| × hj
∂y
−∞
−∞
λy
λy
Z
Z ∞
2(λy − z)j l
2(λy − 2z)j
f
(z)
+
z
∂
f
(z)
= − dλ |λ| × dz
l
λ2 y 2
λ2 y 2
−∞
λy
Z ∞
Z
1
1
2
l ∂
− dλ ǫ(λ) × dz z
(y − z)j f (z) + (y − z)j f (z)
=
y 2 −∞
∂z l
λ
λ
λy
Z
Z ∞
Z
2
2
d
1
=
− dλ ǫ(λ) × dz (y − z)j f (z) + λ
× dz (y − z)j f (z)
y 2 −∞
λ
dλ λy
λ
λy
Z ∞
Z
Z
d
1
2
−
×
×
dz
z
f
(z)
+
dz
(λy
−
z)
f
(z)
(C.32)
dλ
ǫ(λ)
−
=
j
j
y 2 −∞
λ λy
dλ λy
An dieser Stelle tritt ein kleines Problem auf. Man kann nämlich in (C.32) nicht ohne
weiteres partiell integrieren, weil die Randterme bei λ = 0R für raumartiges y nicht verschwinden. Denn nach Satz C.1.4 besitzt das Lichtintegral ×λy dz (λy − z)j f (z) für y ∈ ℜ
bei λ = 0 einen Pol.
90
Wir werden nun zunächst zeigen, daß man die Lichtkegelintegrale
ersetzen kann. Nach (C.15) folgt
Z
Z
∞
R
×
R
in (C.32) durch ⊗
d
− dλ ǫ(λ)
⊙ dz (λy − z)j f (z)
dλ λy
−∞
Z
Z
Z ∞
d
1
⊙ dz zj f (z)
ǫ(λ) ⊙ dz yj f (z) −
= − dλ ǫ(λ)
dλ
|λ| y
−∞
y
Z
Z
Z ∞
Z ∞
dλ
1 1
⊙ dz zj f (z) = − −
⊙ dz zj f (z)
= − − dλ ǫ(λ)
λ |λ| y
λy
−∞ |λ|
−∞
und nach Addieren zu (C.32)
Z
∞
−
Z
∂
( × f )(λy)
∂y j
Z ∞
Z
Z
d
1
2
−
⊗
⊗
dz
z
f
(z)
+
dz
(λy
−
z)
f
(z)
dλ
ǫ(λ)
−
j
j
y 2 −∞
λ λy
dλ λy
dλ ǫ(λ)
−∞
=
.
Nun kann man problemlos partiell integrieren. Die Randwerte im Unendlichen verschwinden,
weil f gleichmäßig zur dritten Potenz abfällt. Für y ∈ ℑ fallen auch die Randwerte für
λ = 0 weg. Falls y ∈ ℜ, hat man nach (C.22)
lim
0<λ→0
Z
⊗ dz (λy − z)j f (z) = − lim
0<λ→0
λy
Z
Z
⊗ dz zj f (z)
λy
Z
1
∂
⊙ dz (y l l )(z j f (z)) = − lim ⊗ dz (λy − z)j f (z)
0>λ→0 λy
2 y
∂z
=
,
so daß sich die Randwerte für λ = ±0 wegheben.
Man erhält also
Z
Z
∞
Z
Z
∞ dλ
2
∂
− dλ ǫ(λ)
(
×
f
)(λy)
=
−
−
⊗ dz zj f (z)
∂y j
y 2 −∞ |λ| λy
−∞
und nach Einsetzen in (C.31) die Behauptung.
2
Für Funktionen, die gleichmäßig zur vierten Potenz abfallen, kann man auch eine Formel
für die zweiten Ableitungen herleiten:
Satz C.1.19 Für f ∈ C4∞ (M ) gilt im Distributionssinne
Z
Z
Z
Z
∞
8
− 4 −
y
−∞
Z
∞ dλ
1
−
⊗ dz zj zk 2f (z)
2
y
−∞ |λ|
λy
Z
Z
1
dλ 1
l
⊗ dz zj zk f (z) + ⊙ dz (y ∂l )(zj zk f (z))
|λ| λ λy
2 λy
∂jk ( ∨ f )(y) = ( ∨ hjk )(y) −
(C.33)
mit hjk gemäß (A.46).
Dabei ist mit 1/y 2 wiederum der Hauptwert gemeint. Die Distribution 1/y 4 bezeichnet
die Ableitung des Hauptwertes, also für g ∈ Cc∞ (M )
Z
Z
d
1
1
1
1
d4 y
+ 2
d z 4 g(y) := − lim
g(y)
2
2
06=ε→0 2
y
d(y ) y + iε y − iε
Z
1
1
1
+ 2
g(y)
=
lim
d4 y
2
2
06=ε→0 2
(y + iε)
(y − iε)2
4
91
. (C.34)
Beweis: Aus Satz C.1.18 folgt
Z
Z
Z
Z
∞ dλ
2
⊗ dz zj f (z)
( ∨ hj )(y) + 2 −
∂jk ( ∨ f )(y) =
y
−∞ |λ| λy
Z ∞
Z
Z
dλ
2
⊗ dz zk hj (z)
= ( ∨ hjk )(y) + 2 −
y
−∞ |λ| λy
Z ∞
Z
2
dλ
∂
−
⊗
dz
z
f
(z)
.
+ k
j
∂y
y 2 −∞ |λ| λy
∂
∂y k
(C.35)
(C.36)
Den zweiten Summanden in (C.35) kann man folgendermaßen umformen:
Z
Z
∞
dλ
⊗ dz zk hj (z)
−∞ |λ| λy
Z ∞
Z 1
Z
Z 1
dλ
1
2
= −
α 2f (αz) dα
α ∂j f (αz) dα − zj
⊗ dz zk ∂j f (z) −
2
−∞ |λ| λy
0
0
Z
Z
Z 1
Z
dλ
1
=
⊗ dz zk ∂j f (z) −
dα ⊗ dz zk ∂j f (z) + zj zk 2f (z)
|λ|
2
λy
0
αλy
−
Mit den Integralumformungen A.1.12 erhält man
= −
Z
Z
1 ∞ dλ
−
⊗ dz zj zk 2f (z)
2 −∞ |λ| λy
.
Durch Einsetzen in (C.35) ergibt sich gerade der zweiten Summand in (C.33).
Es bleibt somit zu zeigen, daß
Z
Z
∞ dλ
2
⊗ dz zj f (z)
−
2
y
−∞ |λ| λy
Z
Z ∞
Z
8
dλ 1
1
l
= − 4 −
⊗ dz zj zk f (z) + ⊙ dz (y ∂l )(zj zk f (z))
y
λ λy
2 λy
−∞ |λ|
∂
∂y k
.
Hierzu sind zunächst eine Reihe von Umformungen nötig: Nach Lemma C.1.10 und (C.15)
hat man
Z
Z
zk l
yk
ǫ(λ)
1 ∂
⊙ dz zj f (z) = − 2 ⊙ dz
y ∂l + 2 (zj f (z)
2
λ ∂y k λy
λ
y
y
y
Z
ǫ(λ)
= − 2 ⊙ dz (y l ∂l )(zj zk f (z))
λ
y
Z
1
= − 2 ⊙ dz (y l ∂l )(zj zk f (z))
λy
λy
Z
2 1
= − 2 ⊙ dz (y l ∂l )(zj zk f (z))
y λ λy
Z
1 d
⊙ dz y l ∂l (zj zk f (z))
.
− 2
y dλ λy
(C.37)
Da f ∈ C4∞ (M ), fällt die Funktion zj f (z) gleichmäßig zur dritten Potenz ab. Anwen(y)
dung von Satz C.1.5 mit hj in der Form (C.12) liefert
Z
1 ∂
× dz zj f (z)
λ ∂y k λy
92
=
=
=
Z
2
1
2
× dz (z − z)k + (y − z)k z l ∂l (zj f (z))
2
λy
λ
λ
λy
Z
1
1
2
l
× dz z ∂l (y − z)k zj f (z) + (y − z)k zj f (z)
λy 2 λy
λ
λ
Z
Z
2 d
2 1
1
2
× dz (y − z)k zj f (z) + 2
× dz (y − z)k zj f (z)
2
y dλ λy
λ
y λ λy
λ
.(C.38)
Ähnlich
wie im Beweis von Satz C.1.18 kann man in (C.38) das Lichtkegelintegral
R
⊗ ersetzen, weil
Z
R
×
1
d
⊙ dz (y − z)k zj f (z)
dλ λy
λ
Z
Z
ǫ(λ)
d
1
⊙ dz yk zj f (z) − 2 ⊙ dz zk zj f (z)
=
dλ |λ| y
λ
y
Z
Z
ǫ(λ)
ǫ(λ)
= − 2 ⊙ dz yk zj f (z) + 2 3 ⊙ dz zk zj f (z)
λ
λ
y
y
Z
1
2
.
= − ⊙ dz (y − z)k zj f (z)
λ λy
λ
durch
(C.39)
Durch Addition von (C.37), (C.38), (C.39) und Integration über λ erhält man
Z
∞
Z
dλ
−
−∞ |λ|
2
=
y2
∂
⊗ dz zj f (z)
∂y k λy
Z
Z ∞
Z
dλ
2
−
⊗ dz (y − z)k zj f (z) − ⊙ dz (y l ∂l )(zj zk f (z))
λ
λy
−∞ |λ|
λy
Z
Z
Z ∞
d
1
2
1
l
+ 2 − dλ ǫ(λ)
⊗ dz (y − z)k zj f (z) − ⊙ dz (y ∂l )(zj zk f (z)) .
y
dλ
λ
2 λy
−∞
λy
Bei der partiellen Integration muß man etwas aufpassen. Die Randwerte im Unendlichen
verschwinden, weil f gleichmäßig zur vierten Potenz abfällt. Für y ∈ ℑ fallen die Randwerte bei λ = 0 wegen (C.21) weg. Der Fall y ∈ ℜ muß sorgfältig untersucht werden. Setze
zur Abkürzung
Z
g(λ) = ⊗ dz (y −
λy
Z
1
1
z)k zj f (z) − ⊙ dz (y l ∂l )(zj zk f (z))
λ
2 λy
.
Mit Hilfe von (C.22) folgt
lim λ g(λ) = 0
.
λ→0
Man erhält mit den Regeln von de l’Hopital
lim g(λ) =
0<λ→0
d
(λ g(λ))
0<λ→0 dλ
lim
= − lim
0<λ→0
Z
Z
d
⊗ dz yk zj f (z) −
⊗ dz zj zk f (z)
dλ λy
λy
und mit Hilfe von Satz C.1.13, (C.22) und (C.16)
= − lim
0<λ→0
=
Z
Z
Z
⊗ dz yk zj f (z) − λ × hj [zj zk f (z)]
Z
λy
1
⊙ dz (y l ∂l )(yk zj f (z)) + ⊙ hj [zj zk f (z)]
2 y
y
93
.
,
Der Grenzwert ist also endlich. Ganz analog erhält man
lim g(λ) = −
0>λ→0
Z
Z
1
⊙ dz (y l ∂l )(yk zj f (z)) − ⊙ hj [zj zk f (z)]
2 y
y
,
so daß sich die Randwerte bei λ = ±0 wegheben.
Wir erhalten also die Gleichung
Z
∞
dλ
−
−∞ |λ|
2
=
y2
Z
∂
⊗ dz zj f (z)
∂y k λy
Z
Z ∞
Z
dλ
2
−
⊗ dz (y − z)k zj f (z) − ⊙ dz (y l ∂l )(zj zk f (z))
λ
−∞ |λ|
λy
λy
und somit insgesamt
Z
Z
∞ dλ
2
−
⊗ dz zj f (z)
y 2 −∞ |λ| λy
Z
Z ∞
Z ∞
Z
dλ
dλ ∂
2
4
⊗ dz zj f (z) + 2 −
⊗ dz zj f (z)
= − 4 yk −
k
y
y
−∞ |λ| λy
−∞ |λ| ∂y
λy
Z
Z ∞
Z
dλ 1
1
8
⊗ dz zj zk f (z) + ⊙ dz (y l ∂l )(zj zk f (z))
= − 4 −
y
λ λy
2 λy
−∞ |λ|
∂
∂y k
,
was den Beweis abschließt.
2
R
Für y ∈ ℑ kann man die erhaltenen Formeln für die partiellen Ableitungen von (∨ f )(y)
noch vereinfachen:
Z
Z
Z
Z
∞ dλ
2
× dz zj f (z)
−
2
y
−∞ |λ| λy
Z
Z ∞
Z
2
dλ ǫ(λ) f (λz)
= ( ∨ hj )(y) + 2 × dz zj
y
y
−∞
Z ∞
Z
Z
Z
dλ
1
× dz zj zk 2f (z)
∂jk ( ∨ f )(y) = ( ∨ hjk )(y) − 2 −
y
−∞ |λ| λy
Z ∞
Z
ǫ(λ)
8
− 4 − dλ 2 × dz zj zk f (z)
y
λ
λy
−∞
Z
Z ∞
Z
1
= ( ∨ hjk )(y) − 2 × dz zj zk
dλ |λ| 2f (λz)
y
y
−∞
Z
Z ∞
8
dλ ǫ(λ) f (λz)
.
− 4 × dz zj zk
y
−∞
y
∂j ( ∨ f )(y) = ( ∨ hj )(y) +
R
Die Ableitungen von (∨ f )(y) lassen sich also mit Lichtkegelintegralen geeigneter, von y
unabhängiger Funktionen darstellen. Beachte, daß die dabei auftretenden Integranden
zj
zj zj
Z
∞
−∞
Z ∞
−∞
dλ ǫ(λ) f (λz)
(C.40)
dλ |λ| 2f (λz)
(C.41)
homogen vom Grade 0 sind; die Funktion
zj zk
Z
∞
dλ ǫ(λ) f (λz)
−∞
94
(C.42)
ist homogen vom Grade 1. Diese Homogenitätseigenschaften übertragen sich auch auf die
Lichtkegelintegrale, was die späteren Rechnungen
vereinfachen wird.
R
Im Fall y ∈ ℜ tritt das Problem auf, daß in ×y über ein Hyperboloid integriert werden
muß, das Integrationsgebiet also nicht mehr kompakt ist. Insbesondere divergieren die
Lichtkegelintegrale über die Funktionen (C.40) bis (C.42). Wegen dieser zusätzlichen
Schwierigkeit sind die allgemeinen Formeln etwas komplizierter, man kann die Integrale
nur im Sinne eines Hauptwertes definieren.
Es günstig, die Notation zu vereinfachen:
R
Def. C.1.20 Definiere für f ∈ C2∞ (M ) die Distribution s f durch
Z
Z
Z
Z
1
( u f )(y) = ( × f )(y) + ( ⊙ f )(y) + ( ⊙ y j ∂j f )(y)
2
.
R
Satz C.1.21 s f ist eine stetige Funktion auf M , für z ∈ L gilt
Z
Z
π
u
lim ( f )(y) =
2
y→z
1
f (αz) dα
.
0
R
Beweis: Nach Satz C.1.4, Satz C.1.7 ist s f eine Funktion. Für 0 6= z ∈ L folgt nach
Satz C.1.12 und Satz C.1.7
Z
lim ( u f )(y) =
ℑ∋y→z
Z
lim ( u f )(y) =
ℜ∋y→z
=
Z
π 1
f (αz) dα
2 0
Z 1
Z
π ∞ j
π
f (αz) dα +
z ∂j f (αz) dα
2 0
4 −∞
Z
π 1
f (αz) dα
,
2 0
(C.43)
denn der zweite Summand in (C.43) fällt durch partielle Integration weg.
Für y ∈ ℑ hat man nach (C.21)
Z
π
lim ( u f )(λy) =
f (0)
2
0<λ→0
und für y ∈ ℜ nach (C.22)
Z
lim ( u f )(λy) =
Z
Z
1
lim ( ⊗ f )(λy) + ( ⊙ y j ∂j f )(y)
0<λ→0
2
π
=
f (0)
,
2
0<λ→0
R
so daß s f auch am Ursprung stetig ist.
2
R
Mit dem Lichtkegelintegral s kann man die Ergebnisse von Satz C.1.18 und Satz C.1.19
in der Form
Z
Z
Z
Z
∞ dλ
2
−
⊗ dz zj f (z)
2
y
−∞ |λ| λy
Z
Z
Z
Z ∞
1
dλ
∂jk ( ∨ f )(y) = ( ∨ hjk )(y) − 2 −
⊗ dz zj zk 2f (z)
y
−∞ |λ| λy
Z ∞
Z
ǫ(λ)
8
− 4 − dλ 2 u dz zj zk f (z)
y
λ
−∞
λy
∂j ( ∨ f )(y) = ( ∨ hj )(y) +
95
(C.44)
(C.45)
schreiben.
Für die Anwendungen im nächsten Abschnitt müssen wir noch asymptotische Näherungsformeln
für die einzelnen darin auftretenden Terme ableiten. Für diese Entwicklung um den
Lichtkegel werden drei Lemmata benötigt:
Lemma C.1.22 Es gilt im Distributionssinne
Z
Z
⊙ dz zk (2f )(z) = ⊙ dz
y
y
yk y l
yl ym
zk 2 ∂lm f + 2 ∂l f − ∂k f
y
y
!
.
(C.46)
Beweis: Man hat (im Distributionssinne)
Z
yl ym
2 − 2 ∂lm
y
⊙ dz zk
y
1
= −
2
Z
!
f (z)
yl ym
glm − 2
y
d4 z l(z) δ(<z, y>) zk
!
∂lm f
.
Integriere nun partiell
=
1
2
Z
1
+
2
1
+
2
4
d z m(z) δ(<z, y>) 2zl zk
Z
Z
4
′
d z l(z) δ (<z, y>) yl zk
4
d z l(z) δ(<z, y>)
g
km
g
lm
yl ym
− 2
y
g
lm
yl ym
− 2
y
yk ym
−
y2
!
!
!
∂m f
(C.47)
∂m f
(C.48)
∂m f
.
(C.49)
Der Summand (C.48) verschwindet, (C.47) läßt sich schreiben als
Z
d4 z m(z) δ(<z, y>) zk z m ∂m f
.
Die Ableitung von f verläuft in radialer Richtung und kann wie in Lemma C.1.9 partiell
integriert werden, dabei fällt (C.47) weg. Man erhält somit
Z
⊙ dz zk
y
ylym
2 − 2 ∂lm
y
!
Z
f = − ⊙
g
km
y
yk ym
−
y2
!
∂m f
.
2
Lemma C.1.23 Sei f ∈ C2∞ (M ) und f (0) = 0. Dann gilt
Z
Z
Z
Z
∞ dλ
∂
1 ∞
−
⊗ f = − − dλ ǫ(λ) × dz zj 2f (z)
j
∂y −∞ |λ| λy
2 −∞
λy
.
(C.50)
Unter der zusätzlichen Voraussetzung ∂k f (0) = 0 hat man
Z
Z
Z
Z
∞
∞ dλ
ǫ(λ) u
∂
−
⊗ dz
f
=
−
dλ
∂y j −∞
λ2 λy
−∞ |λ| λy
96
1
1
∂j f (z) − zj 2f (z)
2
4
.
(C.51)
Beweis: Man beachte zunächst, daß die Bedingungen f (0) = 0, ∂k f (0) = 0 notwendig
sind, damit die Integrale auf der linken Seite von (C.50) und (C.51) existieren.
Nach (C.15) und Satz C.1.13 gilt
Z
Z
Z
Z
∞ dλ
∞
∂
−
⊗
f
=
−
dλ ǫ(λ) × hj [f ]
∂y j −∞ |λ| λy
−∞
λy
Z
Z
Z
Z
1
1
dα α2 (2f )(αz)
zj
2
0
0
−∞
λy
Z
Z
Z 1
Z ∞
1
dα α × dz (∂j f + zj 2f (z))
= − dλ ǫ(λ) × ∂j f −
2
0
−∞
αλy
λy
Z ∞
Z
Z ∞
Z 1
Z
1
= − dλ ǫ(λ) × ∂j f − − dλ ǫ(λ)
dα α × dz (∂j f + zj 2f (z))
2
−∞
λy
−∞
0
αλy
Z
Z ∞
1
.
= − − dλ ǫ(λ) × dz zj 2f (z)
2 −∞
λy
∞
dλ ǫ(λ) × dz
−
=
∂j f −
1
dα α ∂j f (αz) −
Beim Beweis von (C.51) tritt die Schwierigkeit auf, daß von einzelnen, in Zwischenrechnungen auftretenden Integralen der Hauptwert sowie
das uneigentliche
Integral nicht exR
R∞
istieren. Fasse daher im Folgenden das Symbol −−∞ auf als [−ε−1 ,−ε]∪[ε,ε−1] mit festem
ε > 0. Dadurch sind alle Ausdrücke wohldefiniert, in der Endformel kann dann der
Grenzübergang ε → 0 durchgeführt werden.
Z
Z
∞
ǫ(λ)
∂
−
dλ 2 u f
j
∂y
λ
λy
−∞
Z
∞
−
=
dλ
−∞
Z
Z
Z
1 ∞ dλ ∂
ǫ(λ) ∂
⊗
−
⊙ y l ∂l f
f
+
λ2 ∂y j λy
2 −∞ |λ| ∂y j λy
Wende nun Satz C.1.13 und Lemma C.1.10 an
Z
∞
−
=
−∞
+
Z
dλ
× dz
|λ| λy
Z
∞
Z
∂j f (z) −
Z
1
dα α ∂j f (αz) −
0
1
zj
2
yl
ylym
1
dλ
yj
−
⊙ dz ∂j f − zj
∂lm f − 2 ∂l f
2 −∞ |λ| λy
y2
y
Z
1
dα α2 (2f )(αz)
0
!
.
Lemma C.1.22 liefert
=
Z
∞
Z
Z
Z
Z
∞ dλ
1
dλ
× ∂j f − −
dα α × dz
−∞ |λ| λy
−∞ |λ| 0
αλy
Z ∞
Z
dλ
1
⊙ dz zj (2f )(z)
.
− −
2 −∞ |λ| λy
−
∂j f (z) +
1
zj 2f (z)
2
(C.52)
(C.53)
Beachte, daß an dieser Stelle im zweiten Summanden von (C.52) die Variablentransformation λ′ = αλ mit anschließende Ausintegration von α nicht durchgeführt werden
darf. Dabei würde sich nämlich der oben eingeführte Parameter ε im Hauptwertintegral
verändern. Wir müssen daher anders vorgehen:
Z
Z
Z
Z
Z
1
∞ dλ
1
dλ
dα α ⊗ dz ∂j f (z) + zj (2f )(z) (C.54)
⊗ ∂j f − −
= −
2
αλy
−∞ |λ| 0
−∞ |λ| λy
Z ∞
Z
dλ
1
− −
⊙ dz ∂j f (z) + zj (2f )(z)
(C.55)
2
−∞ |λ| λy
Z ∞
Z
Z
dλ 1
1
+ −
.
(C.56)
dα α ⊙ dz ∂j f (z) + zj (2f )(z)
2
−∞ |λ| 0
αλy
∞
97
In (C.56) kann man unter Verwendung von (C.15) die Integration über α ausführen, (C.55)
und (C.56) heben sich dabei weg.
In den beiden Summanden von (C.54) ist der Hauptwert wegen (C.21), (C.22) und der
Voraussetzung f (0) = ∂k f (0) = 0 jeweils sinnvoll definiert2 . Daher können wir jetzt im
zweiten Summanden die Variablentransformation durchführen und die Integration über α
ausführen:
Z
∞
−
=
−∞
Z
dλ
⊗ dz
|λ| λy
1
1
∂j f − zj 2f (z)
2
4
2
Lemma C.1.24 Sei 0 6= ȳ ∈ L, f ∈ C2∞ (M ). Bei (C.57) sei die zusätzliche Voraussetzung f (0) = ∂k f (0) = 0, bei (C.58) die Bedingung f (0) = 0 erfüllt. Dann gilt
Z
Z
∞
ǫ(λ)
lim − dλ 2 u f
y→ȳ −∞
λ
λy
Z
Z ∞
dλ
lim −
⊗ f
y→ȳ −∞ |λ| λy
Z
π ∞
ǫ(λ)
− dλ 2 f (λȳ)
4 −∞
λ
Z ∞
dλ
π
−
f (λȳ)
2 −∞ |λ|
=
=
(C.57)
(C.58)
und
lim
y→ȳ
Z
Z
∞
Z
∞
π
− dλ ǫ(λ) × f + ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) f (λy)
2
−∞
λy
−∞
< ∞
.
(C.59)
Beweis: Die Bedingungen f (0) = 0, ∂k f (0) = 0 sind wiederum notwendig, damit die
Integrale existieren.
Aufgrund der in λ, y gleichmäßigen Abschätzung
Z
u f ≤ const(f )
λy
und
Z
π
lim u f =
y→ȳ λy
2
Z
1
f (αλy) dα
0
∀λ 6= 0
folgt nach Lebesgues dominiertem Konvergenzsatz
Z
Z
ǫ(λ)
π
lim
dλ 2 u f =
y→ȳ IR\[−ε,ε]
λ
2
λy
Im Grenzfall ε → 0 erhält man
Z
∞
lim −
y→ȳ
dλ
−∞
Z
ǫ(λ) u
f
λ2 λy
=
=
=
2
Die Lichtkegelintegrale
R
⊗
λy
Z
ǫ(λ)
dλ 2
λ
IR\[−ε,ε]
π
2
π
2
π
4
Z
∞
Z
1
dα f (αλȳ)
0
Z
ǫ(λ) 1
dα f (αλȳ)
λ2 0
−∞
Z ∞
Z 1
ǫ(λ)
dα α
− dλ 2 f (λȳ)
λ
−∞
0
Z ∞
dλ
− dλ 2 f (λȳ)
.
λ
−∞
−
dλ
verhalten sich für kleine λ jeweils ∼ const ǫ(λ) + O(λ).
98
.
Gleichung (C.58) folgt ganz analog. Um (C.59) abzuleiten, formt man folgendermaßen
um:
Z
Z
∞
−
−∞
dλ ǫ(λ) × f
λy
Z
Z
Z
Z
∞
ǫ(λ)
|λ|
× f + − dλ
× f
1
−
λ
1
− λ λy
−∞
λy
−∞
Z y
Z ∞
Z
ǫ(λ)
= − ∨ f + − dλ
× f
1 − λ λy
−∞
∞
= − −
dλ
Nach dominierter Konvergenz besitzt der zweite Summand für y → ȳ einen endlichen
Grenzwert. Das logarithmische Divergenzverhalten auf dem Lichtkegel erhält man nun
aus Satz C.1.16.
2
Jetzt können wir die Entwicklung um den Lichtkegel durchführen:
Satz C.1.25 Für f ∈ C2∞ (M ), f (0) = 0 gilt
Z
−
∞
−∞
Z
dλ
⊗ f
|λ| λy
=
Z
π ∞ dλ
−
f (λy)
2 −∞ |λ|
Z ∞
π 2
2
+ y ln(|y |) − dλ |λ| (2f )(λy)
8
−∞
+O(y 2 )
.
(C.60)
Unter der zusätzlichen Bedingung ∂k f (0) = 0 hat man
Z
∞
Z
ǫ(λ)
− dλ 2 u f
λ
λy
−∞
Z
π ∞
ǫ(λ)
− dλ 2 f (λy)
=
4 −∞
λ
Z ∞
π
− y 2 − dλ ǫ(λ) (2f )(λy)
16
−∞
Z ∞
π 4
2
−
y ln(|y |) − dλ ǫ(λ) λ2 (22 f )(λy)
128
−∞
+O(y 4 )
.
(C.61)
Beweis: Man muß zeigen, daß3
a) die Randwerte auf L der Ableitungen nullter und erster Ordnung der linken und rechten
Seite von (C.60) übereinstimmen.
b) die Randwerte auf L der Ableitungen nullter bis zweiter Ordnung der linken und
rechten Seite von (C.61) übereinstimmen.
Die partiellen Ableitungen kann man mit Lemma C.1.23, die Randwerte auf dem Lichtkegel
mit Lemma C.1.24 direkt berechnen.
2
C.2
Störungsrechnung für das elektromagnetische Feld
Betrachte nun die Störung (A.71) durch ein elektromagnetisches Feld. In erster Ordnung
Störungstheorie hat man
p̃0 = p0 + ∆p0
3
Vergleiche auch Lemma A.2.2.
99
mit
∆p0 (x, y) = −e(p0 A
/ s0 + s0 A
/ p0 )(x, y)
.
(C.62)
Wir werden im folgenden der Einfachheit halber annehmen, daß A gleichmäßig zur vierten
Potenz abfällt.
Zunächst wollen wir eine Formel für (s0 A
/p0 )(x, y) ableiten. Zur besseren Übersichtlichkeit
werden wir den Fall x = 0 betrachten, den allgemeinen Fall erhält man daraus durch eine
Parallelverschiebung.
Lemma C.2.1 Es gilt:
Z
Z
∞
ǫ(λ)
1 1
dλ 2 u dz z/ z k Ak (z)
−
(s0 A
/ p0 )(0, y) =
π 4 y 4 −∞
λ
λy
Z ∞
Z
dλ
1 1
⊗ dz z/ zk j k (z)
− 4 2 −
8π y
−∞ |λ| λy
Z
Z ∞
dλ
1 1
⊗ dz γ i γ j Fij (z) z/
−
+
16π 4 y 2 −∞ |λ| λy
Z y
1
1 i j k
k
j
− 4 ∨ γ hjk [A ] − γ γ γ hk [∂i Aj ]
8π
2
(C.63)
(C.64)
(C.65)
(C.66)
Beweis:
Unter Verwendung von (A.3) und (C.1) kann man s0 A
/p0 mit dem LichtkegelinR
tegral ∨ ausdrücken
(s0 A
/ p0 )(x, y) = −∂/x (S0 A
/P0 )(x, y)∂/y
Z y
1
= −
/)∂/y
∂/ ( ∨ A
16π 4 x x
Z y
1 i j k ∂ ∂
γγ γ
∨ Aj
=
16π 4
∂xi ∂y k x
)
(
Z y
Z y
1 i j k
∂
∂2
=
γγ γ
∨ ∂i Aj − i k ∨ Aj
16π 4
∂y k x
∂y ∂y x
Z
(C.67)
Z
y
y
1
1 k ∂2
i j k ∂
=
γ
γ
γ
∨
γ
∨
∂
A
−
Aj
i
j
16π 4
∂y k x
8π 4
∂y j ∂y k x
Z y
1
/
.
2y ∨ A
+
16π 4
x
Setze nun x = 0 und wende Satz C.1.16 sowie (C.44), (C.45) an:
Z
y
1
1
(p0 A
/ s0 )(0, y) = − 4 ∨ γ k hjk [Aj ] − γ i γ j γ k hk [∂i Aj ]
8π x
2
Z ∞
Z
dλ
1 1
+ 4 2 −
⊗ dz γ i γ j ∂i Aj (z) z/
8π y
−∞ |λ| λy
Z
Z ∞
dλ
1 1
⊗ dz z/ zk 2Ak (z)
+ 4 2 −
8π y
|λ|
λy
−∞
Z ∞
Z
ǫ(λ) u
1 1
dz z/ zk Ak (z)
+ 4 4 − dλ 2
π y
λ
−∞
λy
Führt man nun die Ersetzung 2Ak = −jk + ∂kl Al durch und setzt die Umformung
Z
−
∞
−∞
Z
dλ
⊗ dz z/ z k ∂jk Aj (z) =
|λ| λy
Z
∞
Z
dλ 2 d 1
λ
⊗ dz z/ ∂j Aj (z)
−
dλ λ λy
−∞ |λ|
Z ∞
Z
dλ
= − −
⊗ dz z/ ∂j Aj (z)
−∞ |λ| λy
100
ein, ergibt sich die Behauptung.
2
Beachte, daß man (C.66) durch Einsetzen von (A.96) mit Hilfe des Feldstärketensors und
dessen partiellen Ableitungen eichinvariant schreiben kann.
Wir wollen nun überprüfen, daß die in Lemma C.2.1 abgeleitete Gleichung das richtige
Verhalten unter Eichtransformationen zeigt. Für ein elektromagnetisches Potential der
Form
eA
/ = ∂/Λ
, Λ ∈ C3∞ (M )
fallen die Summanden (C.64) bis (C.66) weg. Man erhält
Z
∞
1 1
dλ
−
eπ 4 y 4 −∞
Z ∞
1 1
− dλ
=
eπ 4 y 4 −∞
2 1
1
= − 4 4 lim
λ→0
eπ y
λ
(s0 A
/ p0 )(0, y) =
Z
ǫ(λ) u
dz z/ z k ∂k Λ(z)
λ2 λy
Z
ǫ(λ) 2 d 1 u
λ
dz z/ Λ(z)
λ2
dλ λ λy
Z
u dz z/ Λ(z)
,
λy
und unter Verwendung der Regeln von de l’Hopital4
= −
2 1 π
1
y/ Λ(0) =
Λ(0) p0 (0, y)
4
4
eπ y 4
ie
.
Dies ist das richtige Resultat, wie man an der Rechnung
1
s0 [i∂/, Λ] p0 =
ie
1
1
1
(i∂/ s0 ) Λ p0 − s0 Λ (i∂/ p0 ) =
Λ p0
ie
ie
ie
sieht.
Der Summand (C.63) ist also für das richtige Transformationsverhalten bei Eichtransformationen verantwortlich. Man beachte jedoch folgende Schwierigkeit: Im Gegensatz zu
den Eichtermen, die in den Anhängen A und B auftreten, führt (C.63) bei allgemeinen
Störungen nicht nur zu einer Phasenverschiebung von p0 (0, y). In einem eichinvarianten
Funktional, das p̃0 enthält, fällt daher der Beitrag von (C.63) im allgemeinen nicht weg,
wir müssen ihn noch berechnen.
Dazu führen wir eine Entwicklung um den Lichtkegel durch:
Satz C.2.2 Es gilt:
4
(s0 A
/ p0 )(0, y)
Z ∞
1 y/
− dλ ǫ(λ) Ak (λy) y k
=
4π 3 y 4 −∞
Z ∞
1 y/
+
− dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) jk y k
16π 3 y 2 −∞
Z ∞
1 1
− dλ ǫ(λ) (2λ − 1) Fjk γ j y k
−
16π 3 y 2 −∞
Beachte wegen der Vorzeichen, daß
p0 (0, y) = (i∂/ P0 )(0, y) = −i∂/y P0 (0, y) = −
101
2i y/
4π 3 y 4
.
Z
∞
i 1
− dλ ǫ(λ) εijkl Fij yk ργl
3
2
32π y
−∞
Z ∞
1
2
ln(|y
|)
− dλ ǫ(λ) (λ4 − 2λ3 + λ2 ) 2jk y k y/
+
128π 3
−∞
Z ∞
1
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (4λ3 − 6λ2 + 2λ) 2Fjk γ j y k
−
128π 3
−∞
Z ∞
i
2
−
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) εijkl 2Fij yk ργl
128π 3
−∞
Z ∞
1
2
−
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) γ k jk
16π 3
−∞
+O(y 0 )
.
−
Beweis: Die asymptotischen Entwicklungen von Satz C.1.25 liefern:
Z
Z
∞
ǫ(λ)
1 1
dλ 2 u dz z/ z k Ak (z)
−
π 4 y 4 −∞
λ
λy
Z ∞
1 y/
− dλ ǫ(λ) Ak y k
=
4π 3 y 4 −∞
Z ∞
1 1
2
k
j k
−
dλ
ǫ(λ)
−λ
y
/
y
j
+
2λF
γ
y
−
k
jk
16π 3 y 2 −∞
Z ∞
1
2
dλ
ǫ(λ)
2λ2 γ k jk − 2λ3 y k ∂/jk
ln(|y
|)
−
−
128π 3
−∞
+2λ3 2Fjk γ j y k − λ4 y/ y k 2jk
+O(y 0 )
Z ∞
Z
dλ
1 1
⊗ dz z/ zk j k (z)
− 4 2 −
8π y
−∞ |λ| λy
Z ∞
1 y/
− dλ |λ| jk y k
= −
16π 3 y 2 −∞
Z ∞
1
k
2 k
3
k
2
−
dλ
ǫ(λ)
2λ
γ
j
+
2λ
y
∂
/
j
+
λ
y
/
y
2j
ln(|y
|)
−
k
k
k
64π 3
−∞
+O(y 0 )
Z ∞
Z
dλ
1 1
−
⊗ dz γ i γ j Fij (z) z/
16π 4 y 2 −∞ |λ| λy
Z ∞
1 1
− dλ ǫ(λ) γ i γ j Fij y/
=
32π 3 y 2 −∞
Z ∞
1
2
2 i j
k
ln(|y
|)
−
dλ
ǫ(λ)
λ
γ
γ
2F
y
/
+
4λ
γ
j
+ O(y 0 )
+
ij
k
128π 3
−∞
Z y
1
1 i j k
k
j
− 4 ∨ γ hjk [A ] − γ γ γ hk [∂i Aj ]
8π
2
Z ∞
1
2
= −
ln(|y
|)
−
dλ
ǫ(λ)
2λ 2Fjk γ j y k
128π 3
−∞
−λ2 2jk y k y/ − iλ εijkl 2Fij yk ργl
+ O(y 0 )
Die Integranden sind dabei jeweils an der Stelle λy auszuwerten.
Störend sind die Terme der Form y k ∂/jk . Beachte dazu, daß
y k ∂/jk = y k γ j (∂jkl Al − 2∂j Ak )
102
2Fjk γ j y k = y k γ j (2∂j Ak − 2∂k Aj )
,
also
y k ∂/jk = −2Fjk γ j y k + γ l y k ∂k jl
.
Setzt man diese Beziehung in die asymptotischen Formeln ein, ersetzt die radiale Ableitung
y j ∂k jl durch die Ableitung nach λ und integriert partiell, so folgt die Behauptung.
2
Nun können wir nach (C.62) auch direkt die Formel für p̃0 angeben:
Theorem C.2.3 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆p0 (x, y) = −ie
Z
y
x
Z
Aj
ξ j p0 (x, y)
(C.68)
y
1
e
(α2 − α) ξ/ ξ k jk
3
8π
ξ2
x
Z y
e
1
+ 3
(2α − 1) ξ j γ k Fkj
8π
ξ2
x
Z y
ie
1
+
εijkl Fij ξk ργl
3
16π
ξ2
x
Z y
e
−
(α4 − 2α3 + α2 ) ξ/ ξk 2j k ln(|ξ 2 |)
64π 3 x
Z y
e
(4α3 − 6α2 + 2α) ξ j γ k (2Fkj ) ln(|ξ 2 |)
+
64π 3 x
Z y
ie
(α2 − α) εijkl (2Fij ) ξk ργl ln(|ξ 2 |)
+
64π 3 x
Z y
e
+ 3
(α2 − α) γ k jk ln(|ξ 2 |)
8π x
+O(ξ 0 )
.
−
(C.69)
(C.70)
(C.71)
(C.72)
(C.73)
(C.74)
(C.75)
Beweis: Folgt direkt aus Satz C.2.2 durch Translation und Vertauschung von x und y. 2
Auffallend ist die Ähnlichkeit zu Theorem A.3.1 und Satz A.3.2. Ein Beitrag ∼ l(ξ) in k̃0
entspricht in p̃0 einem Pol ∼ ξ −2 . An Stelle der in der Nähe des Lichtkegels beschränkten
Terme in k̃0 treten nun logarithmisch divergente Beiträge auf.
Beachte, daß wir bei der Entwicklung von ∆p0 in Theorem C.2.3 die Terme der Ordnung
ξ 0 nicht berechnet haben. Es zeigt sich, daß sie nicht mit einem Linienintegral ausgedrückt
werden können, sondern daß dabei auch die Störung außerhalb der Verbindungsgeraden
durch x und y beiträgt. Daher sind diese Terme schwieriger zu behandeln. Eine Entwicklung um den Lichtkegel ist nicht ausreichend, wir müssen geeignete Umformungen für die
/p0 (0, y), y/}.
Lichtkegelintegrale finden. Unser Ziel ist ein einfacher Ausdruck für 21 {s0 A
Zunächst wird ein Lemma benötigt:
Lemma C.2.4 Es gilt
Z
Z
∂
× F k = × dz z k jk (z)
∂y k λy j
λy
Z y
Z y
∂
y j k ∨ Fj k = ∨ dz z k jk (z)
∂y
yj
103
(C.76)
.
(C.77)
Beweis: Nach Lemma C.1.10 hat man
Z
Z
∂
⊙ dz z k F jk (z) =
j
∂y
λy
⊙ dz
λy
= −
!
yj
zj
− 2 y l ∂l (z k Fjk (z)) − 2 z k Fjk (z)
y
y
Z
1
j k
j k
⊙
dz
z
y
+
y
z
Fjk (z) = 0
y 2 λy
.
(C.78)
Weiterhin gilt
Z
!
Z
y j (λy − z)k l
y j (λy − 2z)k
∂
k
×
+
2
z ∂l Fjk (z)
F
=
λ
×
dz
2
y
∂y k λy j
λ2 y 2
λ2 y 2
λy
Z
Z
4
2
= − 2 × dz y j z k Fjk (z) − 2 × dz y j z k z l ∂l Fjk (z)
λy
λy
λy
λy
Z
2
= − 2 × dz y j (1 + z l ∂l )(z k Fjk (z))
λy
λy
Z
1 ∂
× dz z k F jk (z)
,
(C.79)
= −
λ ∂y j λy
j
wobei in der ersten und letzten Zeile jeweils Satz C.1.5 mit hj gemäß (C.12) angewendet
wurde. Durch Kombination von (C.78) und (C.79) erhält man nach Satz C.1.13
yj
Z
Z
1 ∂
∂
× F k = −
⊗ dz z k F jk (z)
∂y k λy j
λ ∂y j λy
Z
= − × dz
=
Z
λy
∂j (z
F jk (z))
k
× dz z k jk (z)
1
− 2z z j z k
2
Z
0
1
α Fjk (αz) dα
.
λy
Gleichung (C.77) folgt hieraus mit Hilfe von Lemma C.1.17:
yj
Z
Z
Z
y
∞
∂
|λ|
∂
× F k
∨ Fj k = y j k − dλ
k
∂y
∂y
1 − λ λy j
−∞
Z
Z ∞
|λ|
× dz z k jk (z)
= − dλ
1 − λ λy
−∞
=
Z
y
∨ dz z k jk (z)
2
Satz C.2.5 Es gilt
1
{(s0 A
/p0 )(0, y), y/} =
2
Z
Z
∞ dλ
1 1
⊗ dz z k Ak (z)
−
(C.80)
2π 4 y 2 −∞ |λ| λy
Z y
Z 1
1
dα α2 jk (αz)
(C.81)
+ 4 ∨ dz z k
8π
0
Z y
Z y
i
1
k
k
ij
−
∨
dz
z
∂
F
+
y
∂
∨
F
. (C.82)
i
k ij
jk σ
16π 4 2
104
Beweis: Wir gehen zurück zu Gleichung (C.67).
1
{(s0 A
/p0 )(0, y), y/}
2
Z y
Z y
1 n i j k o
γ γ γ , y/ ∂k ∨ ∂i Aj − ∂ik ∨ Aj
=
32π 4
Z y
Z y
1 i j k
i j k
i j k
=
γ γ y −γ y γ +y γ γ
∂k ∨ ∂i Aj − ∂ik ∨ Aj
16π 4
Z
Z y
y
1 ij k
ik j
jk i
g y −g y +g y
∂k ∨ ∂i Aj − ∂ik ∨ Aj
=
16π 4
Z y
Z y
i ij k
ik j
jk i
−
σ y −σ y +σ y
∂k ∨ ∂i Aj − ∂ik ∨ Aj
16π 4
Z y
Z y
Z y
1
j
k
j
k
j
k
y ∂j ∨ ∂k A + y ∂k ∨ Fj − 2 y ∂jk ∨ A
=
16π 4
Z y
Z y
1 k
i
k
y ∂k ∨ Fij − y ∂i ∨ Fkj σ ij
.
−
16π 4 2
(C.83)
(C.84)
(C.84) stimmt mit (C.82) überein, wir müssen also noch die einzelnen Terme in (C.83)
umformen. Dabei nutzen wir aus, daß die partielle Ableitung in Richtung von y leicht
ausgeführt werden kann:
Z
j
y
k
y ∂j ∨ ∂k A
Z
Z
y
∨ dz z j ∂jk Ak (z)
=
y
∂
∂y k
y j ∂jk ∨ Ak =
Z
y
Z
Z
y
y
y j ∂j ∨ Ak − ∂k ∨ Ak = ∂k ∨ dz (z j ∂j − 1) Ak (z)
Wende nun (C.44) an:
=
Z
Z
Z
∞ dλ
y
2
j
k
−
⊗
dz
z
(z
∂
−
1)A
(z)
+
∨
dz hk [(z j ∂j − 1)Ak (z)] (C.85)
j
k
y 2 −∞ |λ| λy
Der erste Summand läßt sich noch vereinfachen
Z
∞
−
−∞
Z
Z
Z
∞ dλ
dλ
⊗ dz zk (z j ∂j − 1) Ak (z) = −
⊗ dz (z j ∂j − 2) zk Ak (z)
|λ| λy
|λ|
−∞
λy
Z
Z ∞
dλ
d
= −
− 2 ⊗ dz zk Ak (z)
λ
dλ
−∞ |λ|
λy
Z
Z ∞
dλ
⊗ dz z k Ak (z) .
= −2 −
−∞ |λ| λy
(C.86)
(C.87)
Beachte, daß bei der partiellen Integration von (C.86) die Randwerte bei λ = ±0 nach
(C.21), (C.22) und (C.15) wegfallen.
Wir berechnen nun die Funktion hk in (C.85):
hk [(z j ∂j − 1)Ak (z)]
= z j ∂jk Ak −
Z
1
0
dα α2 z j ∂jk Ak (αz) −
1
zk
2
1
= z j ∂jk Ak (z) − ∂k Ak (z) − zk 2Ak (z) + 2
2
+zk
Z
0
1
dα α2 2Ak (αz)
105
Z
1
0
Z
1
0
dα α2 (α z j ∂j + 1) 2Ak (αz)
dα α ∂k Ak (αz)
Ersetze 2Ak = −jk + ∂kl Al und integriere partiell:
= −zk
Z
1
dα α2 j k (αz) +
0
1
1
zk j k (z) + z j ∂jk Ak (z)
2
2
(C.88)
Nun setzen wir (C.87) und (C.88) in (C.85) ein und erhalten
Z
Z
Z
∞ dλ
4
−
⊗ dz z k Ak (z)
2
y
|λ|
−∞
λy
Z
Z 1
1 y
k
2 k
+ ∨ dz zk j (z) − 2
dα α j (αz)
2
0
Z y
1
+ ∨ dz z j ∂jk Ak (z)
.
2
y
y j ∂jk ∨ Ak = −
Den zweiten Summanden in (C.83) kann man schließlich mit Hilfe von Lemma C.2.4
berechnen.
2
C.3
Störungsrechnung für das Gravitationsfeld
Wie in Abschnitt A.4 arbeiten wir mit der linearisierten Gravitationstheorie in symmetrischer Eichung und der Koordinatenbedingung (A.108). Der Diracoperator ist durch
(A.109) gegeben, für ∆p0 erhält man ganz analog wie in Abschnitt A.4
∆p0 (x, y) =
3
1
h(x) + h(y)
4
4
p0 (x, y) −
i ∂
∆p0 [γ j hkj ](x, y)
e ∂y k
.
(C.89)
Mit dieser Gleichung können wir die Rechnung zum Teil auf diejenige für das elektromagnetische Feld, Theorem C.2.3, zurückführen.
Theorem C.3.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt in symmetrischer Eichung
∆p0 (x, y) = −
Z
y
x
hkj
ξj
Z
∂
p0 (x, y)
∂y k
(C.90)
y
i 1
(2α − 1) γ i ξ j ξ k (hjk ,i −hik ,j )
4π 3 ξ 4
x
Z y
1 1
ijlm
k
+ 3 4
ε
(hjk ,i −hik ,j ) ξ ξl ργm
8π ξ
x
Z y
1
2
j k
+
(α − α) ξ ξ Rjk p0 (x, y)
2 x
Z y
i
1
4
3
2
j k
+
(α − 2α + α ) ξ/ ξ ξ 2Rjk
32π 3 ξ 2 x
Z y
i
1
2
−
(6α − 6α + 1) ξ/ R
32π 3 ξ 2 x
Z y
1
i
3
2
j k l
(4α − 6α + 2α) ξ ξ γ Rj[k ,l]
+
32π 3 ξ 2 x
Z y
1 1
2
ijlm
k
+
(α − α) ε
Rki ,j ξ ξl ργm
16π 3 ξ 2 x
Z y
i 1
− 3 2
(α2 − α) ξ j γ k Gjk
8π ξ
x
2
+O(ln(|ξ |))
.
+
106
(C.91)
(C.92)
(C.93)
(C.94)
(C.95)
(C.96)
(C.97)
(C.98)
Beweis: Bei der Störungsrechnung für das elektromagnetische Feld in Abschnitt C.2 und
A.3 hatten wir gesehen, daß die asymptotischen Entwicklungsformeln von ∆k0 und ∆p0
bis zur Ordnung ξ 0 bzw. ln(|ξ 2 |) durch die Ersetzungen
k0 −→ p0
1
iπ (m∨ (ξ) − m∧ (ξ)) −→
ξ4
1
−iπ (l∨ (ξ) − l∧ (ξ)) −→
ξ2
− iπ Θ(ξ 2 ) ǫ(ξ 0 ) −→ ln(|ξ 2 |)
(C.99)
ineinander übergehen. Diese Ersetzungen werden durch das Berechnen partieller Ableitungen nach y nicht zerstört (es spielt also keine Rolle, ob man zuerst die Ersetzungen
durchführt und dann nach y ableitet oder umgekehrt). Durch Vergleich von (A.111) und
(C.89) sieht man daher, daß sich die Ersetzungen auch für das Gravitationsfeld übertragen.
Damit folgt die Behauptung direkt aus Theorem A.4.1.
2
C.4
Skalare Störung
Wir betrachten wieder die skalare Störung (A.123). Für ∆p0 hat man in erster Ordnung
in Ξ
∆p0 = −(s0 Ξ p0 + p0 Ξ s0 )
.
(C.100)
Theorem C.4.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
1
∆p0 (x, y) = − (Ξ(y) + Ξ(x)) p(1) (x, y)
2
Z
i 1 y
+ 3 2
(∂j Ξ) ξk σ jk
8π ξ x
Z y
i
2
(α2 − α) (∂j 2Ξ) ξk σ jk
+
ln(|ξ
|)
32π 3
x
Z y
1
2
2Ξ
ln(|ξ |)
−
32π 3
x
+ O(ξ 0 )
.
(C.101)
(C.102)
(C.103)
(C.104)
Beweis: Es gilt
Z
Z
Z
y
y
y
1
1
∂/x ∨ Ξ ∂/y |y=0 = −
∨ (∂/Ξ) ∂/y + 2y ∨ Ξ
4
4
16π
16π
x
Z ∞
Z
dλ
1 1
−
⊗ dz (∂/Ξ) z/
=
8π 4 y 2 −∞ |λ| λy
Z
Z y
Z 1
1
1 1
2
+
dα α (∂/2Ξ)(αz) z/
dα α (2Ξ)(αz) −
∨ dz (2Ξ)(z) −
16π 4
2 0
0
Z ∞
Z
dλ
1 1
j
jk
−
⊗
dz
z
∂
Ξ
−
i
(∂
Ξ)
z
σ
=
j
j
k
8π 4 y 2 −∞ |λ| λy
Z y
Z 1
1
2
jk
+
∨
dα
α
(∂
2Ξ)(αz)
z
σ
.
dz
(2Ξ)(z)
+
i
j
k
32π 4
0
(s0 Ξ p0 )(0, y) = −
107
Nach Satz C.1.16 und Satz C.1.25 hat man die asymptotischen Entwicklungen
Z ∞
Z
dλ
−
⊗ dz z j ∂j Ξ − i (∂j Ξ) zk σ jk
−∞ |λ| λy
Z
iπ ∞
− dλ ǫ(λ) (∂j Ξ)(λy) yk σ jk
= −π Ξ(0) −
2 −∞
Z ∞
iπ
− y 2 ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) λ2 (∂j 2Ξ)(λy) yk σ jk + O(y 2 )
8
−∞
Z
y
∨ dz (2Ξ)(z) + i
=
und somit
Z
Z
1
0
2
dα α (∂j 2Ξ)(αz) zk σ
jk
∞
π
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (2Ξ)(λy) + iλ (∂j 2Ξ)(λy) yk σ jk + O(y 0 )
2
−∞
(s0 Ξ p0 )(0, y) = −
Z
1 1
Ξ(0)
8π 3 y 2
∞
i 1
dλ ǫ(λ) (∂j Ξ)(λy) yk σ jk
−
−
16π 3 y 2 −∞
Z ∞
i
2
−
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) (∂j 2Ξ)(λy) yk σ jk
64π 3
−∞
Z ∞
1
2
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) (2Ξ)(λy) + O(y 0 )
.
(C.105)
+
64π 3
−∞
Durch Translation um x und Vertauschung von x, y erhält man hieraus Formeln für
(s0 Ξ p0 )(x, y) und (p0 Ξ s0 )(x, y). Setze nun in (C.100) ein.
2
C.5
Bilineare Störung
Wir betrachten wieder die bilineare Störung (A.129). In erster Ordnung in B hat man
∆p0 = −(s0 Bjk σ jk p0 + p0 Bjk σ jk s0 )
.
Theorem C.5.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
Z
1 1 y
∆p0 (x, y) = − 3 4
Bij ξ i ξk σ jk
π ξ x
1 1
+ 3 2 (Bjk (y) + Bjk (x)) σ jk
8π ξ
Z
1 1 y
− 3 2
Bjk σ jk
2π ξ x
Z
i 1 y
+ 3 2
ξj B jk,k
4π ξ x
Z
1 1 y
(2α − 1) (ξ k Bjk,i + ξi Bjk,k ) σ ij
+ 3 2
4π ξ x
Z
1 1 y 2
(α − α) (2Bij ) ξ i ξk σ jk
+ 3 2
4π ξ x
Z
1 1 y ijkl
− 3 2
ε
Bij,k ξl ρ
8π ξ x
+O(ln(|ξ 2 |)
.
108
(C.106)
(C.107)
(C.108)
(C.109)
(C.110)
(C.111)
(C.112)
(C.113)
Beweis: Unter Verwendung von (A.138) erhält man
Z
Z
y
y
1
i
∂ ∂
jk
(s0 Bjk σ p0 )(x, y) =
B
=
γ a γ j γ k γ b Bjk
∂
/
σ
∂
/
∨
∨
jk
x
y
4 ∂xa ∂y b
16π 4
16π
x
x
Z y
Z y
1
∂ ∂
∂
∂
i
∨ B jk +
∨ Bjk σ jk
=
8π 4 ∂xj ∂y k x
16π 4 ∂xa ∂ya x
Z y
Z y
1 ∂ ∂
1
∂
ijab ∂
a
jb
b
ja
+ 4
∨ (B j σ + B j σ ) +
ρε
∨ Bij . (C.114)
8π ∂xa ∂y b x
16π 4
∂xa ∂y b x
jk
Berechne nun mit Hilfe von (C.44) und (C.45) die auftretenden Terme nacheinander.
Unter Verwendung von Satz C.1.16 und Satz C.1.25 führen wir eine Entwicklung um den
Lichtkegel durch, dabei lassen wir alle Beiträge der Ordnung ln(|ξ 2 |) weg. Um die Notation
zu vereinfachen, setzen wir x = 0.
Z
Z
Z
Z
y
y
y
y
∂
∂2
∂
∂ ∂
jk
jk
jk
B
=
∨
∨
∨
∨
∂
B
−
B
=
−
B jk,k
j
|x=0
j
k
k
j
k
j
∂x ∂y x
∂y
∂y ∂y
∂y
Z
Z ∞
Z y
2
dλ
= − 2 −
⊗ dz zj B jk,k − ∨ hj [B jk,k ]
y
−∞ |λ| λy
Z ∞
π
= − 2 − dλ ǫ(λ) yj B jk,k (λy) + O(ln(|y 2 |))
y
−∞
Z y
Z y
Z y
Z y
∂ ∂
∂
∂
a
∨
∨
∨ ∂ a Bjk
∂
B
−
2
∨
B
=
B
=
y
jk
jk
∂xa ∂ya x jk |x=0
∂y a
∂y a
Z ∞
Z
Z y
dλ
2
a
−
⊗
dz
z
∂
B
+
∨ ha [∂ a Bjk ]
=
a jk
y 2 −∞ |λ| λy
Z ∞
2π
π
− dλ ǫ(λ) y a ∂a Bjk (λy) + O(ln(|y 2 |) = − 2 Bjk (0) + O(ln(|y 2 |))
=
y 2 −∞
y
Z y
∂ ∂
∨ (B aj σ jb + B bj σ ja )|x=0
∂xa ∂y b x
Z y
Z y
∂
∂2
a
jb
b
ja
=
∨
∨ B aj σ jb
(∂
B
σ
+
∂
B
σ
)
−
2
a
a
j
j
∂y b
∂y a ∂y b
Z
Z
16 ∞
ǫ(λ) u
=
dλ
−
dz B aj za zb σ jb
y 4 −∞
λ2 λy
Z ∞
Z
Z y
dλ
2
a
jb
⊗ dz (2B j ) za zb σ − 2 ∨ hab [B aj ] σ jb
+ 2 −
y
−∞ |λ| λy
Z
Z ∞
dλ
2
+ 2 −
⊗ dz zb (∂a B aj σ jb + ∂a B bj σ ja )
y
−∞ |λ| λy
Z
y
+ ∨ hb [∂a B aj σ jb + ∂a B bj j σ ja ]
Z
∞
4π
dλ ǫ(λ) Baj (λy) y a yb σ jb
−
=
y 4 −∞
Z ∞
2π
+ 2 − dλ ǫ(λ) Bjk (λy) σ jk
y
−∞
Z ∞
π
− 2 − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) (2Baj )(λy) y a yb σ jb
y
−∞
Z ∞
π
− 2 − dλ ǫ(λ) (2λ − 1) (y a Baj,b (λy) + yb Baj,a (λy)) σ jb + O(ln(|y 2 |))
y
−∞
ijab
ε
Z
y
∂ ∂
B
= εijab
∨
∂xa ∂y b x ij |x=0
Z
Z
y
y
∂
∂2
∨
∨
∂
B
−
Bij
a
ij
∂y b
∂y a ∂y b
109
!
= εijab
=
Z
Z
Z
Z
Z
y
∞ dλ
y
2
∂
∨ ∂a Bij = 2 εijab −
⊗ dz zb ∂a Bij + εijab ∨ hb [∂a Bij ]
b
∂y
y
−∞ |λ| λy
∞
π
dλ ǫ(λ) ǫijkl Bij,k (λy) yl + O(ln(|y 2 |))
−
y 2 −∞
Wir setzen in (C.114) ein:
Z
∞
1 1
(s0 Bjk σ po )(0, y) =
dλ ǫ(λ) Bij (λy) y i yk σ jk
−
2π 3 y 4 −∞
Z ∞
i 1
− 3 2 − dλ ǫ(λ) yj B jk,k (λy)
8π y
−∞
1 1
− 3 2 Bjk (0) σ jk
8π y
Z ∞
1 1
+ 3 2 − dλ ǫ(λ) Bjk (λy) σ jk
4π y
−∞
Z ∞
1 1
− 3 2 − dλ ǫ(λ) (2λ − 1) (y k Bjk,i(λy) + yi Bjk,k (λy)) σ ij
8π y
−∞
Z ∞
1 1
− 3 2 − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) (2Bij )(λy) y i yk σ jk
8π y
−∞
Z ∞
1 1
+
− dλ ǫ(λ) εijkl Bij,k (λy) yl ρ + O(ln(|ξ 2 |))
16π 3 y 2 −∞
jk
Durch Translation um x und Vertauschung von x, y erhält man eine entsprechende Formel
für (p0 Bij σ ij s0 )(x, y). Setze nun in (C.106) ein.
2
C.6
Differentialstörung durch Vektorpotential
Wir betrachten wieder die Störung des Diracoperators (A.139). Für ∆p0 hat man in erster
Ordnung in L
∆p0 (x, y) = −i
∂
i
∆p0 [Lj ](x, y) + ∆p0 [Lj,j ](x, y)
j
∂y
2
.
Theorem C.6.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
i 1
(Lj (y) + Lj (x)) ξj
4π 3 ξ 4
Z
1 1 y
Lm,j ξ m ξk σ jk
− 3 4
4π ξ x
i 1
−
(Lj,j (y) − Lj,j (x))
16π 3 ξ 2
Z
1 1 y
+
(2α − 1) Lm,mj ξk σ jk
16π 3 ξ 2 x
Z
1 1 y
Lk,j σ jk
+ 3 2
8π ξ x
Z
1 1 y 2
(α − α) (2Lm,j ) ξ m ξk σ jk
+
16π 3 ξ 2 x
∆p0 (x, y) = +
110
(C.115)
(C.116)
(C.117)
(C.118)
(C.119)
(C.120)
Z
i 1 y
(2Lj ) ξ j
16π 3 ξ 2 x
+O(ln(|ξ 2 |))
.
+
(C.121)
Beweis: Man kann genau wie im Beweis von Theorem C.3.1 argumentieren. Durch Vergleich von Theorem A.5.1 und Theorem C.4.1 folgt die Behauptung aus Theorem A.7.1
durch die formalen Ersetzungen (C.99).
2
C.7
Bilineare Differentialstörung durch Vektorpotential
Wir betrachten wieder die Störung des Diracoperators (A.148). Für ∆p0 hat man in erster
Ordnung in L
i j
L (x, y) − ip0 (x, y) L/(y)
2 ,j
i
1
+ ∆p0 [Lj,k σ jk ](x, y) − ∆p0 [Lj,j ](x, y)
.
2
2
∆p0 (x, y) = −i∆p0 iLj ∂j +
Theorem C.7.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
i 1
(Lj (y) + Lj (x)) ξk σ jk
4π 3 ξ 4
1 1
− 3 4 (Lj (y) − Lj (x)) ξ j
4π ξ
1 1
−
(Lk,k (y) + Lk,k (x))
16π 3 ξ 2
Z y
i
1
Lm ξk σ jk + O(ln(|ξ 2 |)) .
−
16π 3 ξ 2 x ,mj
∆k0 (x, y) = −
(C.122)
(C.123)
(C.124)
(C.125)
Beweis: Man kann genau wie im Beweis von Theorem C.3.1 argumentieren. Durch Vergleich von Theorem A.5.1 und Theorem C.4.1 folgt die Behauptung aus Theorem A.8.1
durch die formalen Ersetzungen (C.99).
2
111
Appendix D
Störungsrechnung für pm im
Ortsraum
Wie in Anhang B werden wir m > 0 annehmen, außerdem werden wir die Rechnung nur
bis zur Ordnung m2 durchführen. Man hat
pm (x) = (i∂/ + m) Pm2 (x)
(D.1)
mit
Pm2 (x) =
=
p
Z





d4 k
δ(k2 − m2 ) e−ikx
(2π)4
m2 Y1 (mτ )
,x ∈ ℑ
8π 2 mτ


m2 K1 (mτ )


4π 3
mτ
,
,x ∈ ℜ
wobei τ = |x2 | gesetzt wurde; Y1 , K1 sind Besselfunktionen zweiter Art.
Die Entwicklung von (D.1) und (B.6) nach m liefert
i
pm (x) =
i∂/ + m − m2 x/ P0 (x) + O(m3 )
2
i 2
sm (x) =
i∂/ + m − m x/ S0 (x) + O(m3 )
2
D.1
.
Störungsrechnung für das elektromagnetische Feld
Betrachte nun speziell die Störung (A.71) durch ein elektromagnetisches Feld. In erster
Ordnung Störungstheorie hat man
p̃m = pm + ∆pm
mit
∆pm = −e (pm A
/ sm + sm A
/ pm )
.
(D.2)
Zunächst wollen wir eine Gleichung für (sm A
/ pm )(x, y) ableiten; der Einfachheit halber
setzen wir x = 0.
112
Lemma D.1.1 Es gilt
(sm A
/ pm )(0, y) = (s0 A
/ p0 )(0, y)
Z ∞
Z
dλ
i 1
⊗ dz Aj (z) z j
−m 4 2 −
4π y
−∞ |λ| λy
Z y
Z 1
i
k
−m
∨
dz
z
dα α2 jk (αz)
16π 4
0
Z y
1
ij
∨ Fij σ
+m
32π 4
Z
Z ∞
1 y/
dλ
+m2 4 2 −
⊗ dz Aj (z) z j
8π y
−∞ |λ| λy
Z y
i
∨ dz εijkl Fij (z) yk ργl
+m2
64π 4 Z
y
1
+m2
∨
dz Fij γ i (2z − y)j
32π 4
Z y
Z 1
1
k
dα α2 jk (αz) y/
∨
dz
z
+m2
32π 4
0
+O(m3 )
.
Beweis: Betrachte die Beiträge verschiedener Ordnung in m nacheinander:
1. Terme ∼ m0 :
Führt auf die Störungsrechnung für m = 0, vergleiche Lemma C.2.1.
2. Terme ∼ m:
Man hat den Beitrag
m ((i∂/) S0 A
/P0 + S0 A
/P0 (i∂/)) (x, y)
Z y
Z y
im
/)∂/y
/) + ( ∨ A
∂/x ( ∨ A
=
16π 4
x
x
Z y
Z y
Z y
im
∂
j
=
∨ ∂/A
/)γ
/ − ∂/y ( ∨ A
/) − j ( ∨ A
16π 4
∂y
x
x
x
Z y
Z y
∂
im
∨ ∂/A
.
/ − 2 j ( ∨ Aj )
=
4
16π
∂y
x
x
(D.3)
(D.4)
Setze nun x = 0 und wende (C.44) an:
m ((i∂/) S0 A
/P0 + S0 A
/P0 (i∂/)) (0, y)
Z ∞
Z
im 1
dλ
= − 4 2 −
⊗ dz Aj (λz) zj
4π y
|λ|
λy
−∞
Z y
im
j
∨
−2h
[A
]
+
∂
/
A
/
.
+
j
16π 4
Führe nun noch die Ersetzungen
∂/A
/ = ∂j Aj −
i
Fij σ ij
2
hj [Aj ](z) = ∂j Aj (z) −
=
durch.
1
2
Z
0
1
Z
0
1
,
dα α ∂j Aj (αz) −
(D.5)
1
zj
2
1
dα α2 jk (αz) z k + ∂j Aj (z)
2
113
Z
1
dα α2 (2Aj )(αz)
0
(D.6)
3. Terme ∼ m2 :
Man hat den Beitrag
m2
16π 4
Z
Z
y
1
/(z) (z − y)j γ j
/ + ∂/x ∨ dz A
∨ A
2
x
x
Z
1 y
j
+ ∨ dz (x − z)j γ A
/(z) ∂/y
2 x
y
.
(D.7)
Beachte für f ∈ C3∞ zunächst die Beziehungen
Z
y
∂/y ∨ dz f (z) (z − y)j γ
x
= −2
Z
y
Z
d4 z
j
= ∂/y
Z
d4 z
(z − y)j γ j
l(z) f (z)
(y − z)2
Z
y
1
l(z)
f
(z)
=
−2
∨
f
(y − z)2
x
∂/y ∨ dz (x − z)j γj f (z)
x
= ∂/x
Z
(D.8)
Z
y
1
f
f
(z)
=
2
∨
d z (x − z) γj l(z)
(y − z)2
x
4
j
.
(D.9)
Mit (D.8) kann man den zweiten Summanden in (D.7) umformen
Z
y
∂/x ∨ dz A
/(z) (z − y)j γ j
x
=
Z
x
y
=
Z
y
y
∨ dz (∂/A
/)(z) (z − y)j γ j − ∂/y ∨ dz A
/(z) (z − y)j γ j
x
Z
Z
Z
Z
Z
y
y
∂
/)(z) (z − y)j γ − 2 k ∨ dz Ak (z) (z − y)j γ j − 2 ∨ A
∨ dz (∂/A
/ , (D.10)
∂y x
x
x
j
aus (D.9) erhält man ganz analog
Z
y
∨ dz (x − z)j γ j A
/(z) ∂/y
x
=
Z
y
y
∂
/
/)(z) − 2 k ∨ dz (x − z)j γ j Ak (z) − 2 ∨ A
∨ dz (x − z)j γ (∂/A
∂y x
x
x
y
j
(D.11)
.
Setzt man dies in (D.7) ein und setzt x = 0, so erhält man für den Beitrag der
Ordnung m2 den Ausdruck
m2
16π 4
Z
1 y
∨ dz (∂/A
/)(z) (z − y)j γ j − zj γ j (∂/A
/)(z)
2
Z y
Z y ∂
+ k ∨ dz Ak (z) y/ − ∨ A
/
.
∂y
Wende nun (C.44) an und setze die Gleichungen (D.6) sowie
(∂/A
/) (z − y)j γ j − zj y j (∂/A
/)
= −∂k Ak y/ + Fij γ i (2z − y)j +
i ijkl
ε
Fij yk ργl
2
ein.
2
Nun führen wir wieder eine Entwicklung um den Lichtkegel durch:
114
Satz D.1.2 Es gilt
(sm A
/ pm )(0, y) = (s0 A
/ p0 )(0, y)
Z ∞
i 1
−m 3 2 − dλ ǫ(λ) Aj (λy) y j
8π y
−∞
Z ∞
1
2
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) Fij (λy) σ ij
+m
64π 3
−∞
Z ∞
i
+m
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) jk (λy) y k
32π 3
−∞
Z ∞
y
/
1
− dλ ǫ(λ) Aj (λy) y j
+m2
16π 3 y 2 −∞
Z ∞
1
2
+m2
ln(|y
)|
− dλ ǫ(λ) (2λ − 1) Fjk (λy) γ j y k
64π 3
−∞
Z ∞
i
+m2
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) εijkl Fij (λy) yk ργl
128π 3
−∞
Z ∞
1
−m2
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) jk (λy) y k y/
64π 3
−∞
3
0
+O(m ) + O(y )
.
Beweis: Folgt unmittelbar aus Lemma D.1.1 und Satz C.1.25.
2
Theorem D.1.3 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆pm (x, y) = ∆p0 (x, y)
−ie
Z
y
x
Aj ξ j (pm − p0 )(x, y)
Z
y
e
Fij σ ij
m ln(|ξ 2 |)
3
32π
x
Z y
ie
2
(α2 − α) jk ξ k
m
ln(|ξ
|)
−
16π 3
x
Z y
e
2
2
(2α − 1) γ i Fij ξ j
m ln(|ξ |)
−
32π 3
x
Z y
ie
2
2
−
m ln(|ξ |)
εijkl Fij ξk ργl
64π 3
x
Z y
e
2
2
(α2 − α) jk ξ k ξ/
m
ln(|ξ
|)
+
32π 3
x
+O(m3 ) + O(ξ 0 )
.
−
Beweis: Folgt direkt aus Satz D.1.2.
D.2
(D.12)
(D.13)
(D.14)
(D.15)
(D.16)
(D.17)
2
Störungsrechnung für das Gravitationsfeld
Wie in Abschnitt A.4 arbeiten wir mit der linearisierten Gravitationstheorie in symmetrischer Eichung und der Koordinatenbedingung (A.108). Die Störung des Diracop115
erators (A.109) führt analog wie in Abschnitt B.3 auf
∆pm =
3
1
h(x) + h(y)
4
4
pm (x, y) −
i ∂
∆pm [γ j hkj ](x, y)
e ∂y k
.
(D.18)
Damit können wir die Rechnung zum Teil auf Lemma D.1.1 und Theorem D.1.3 zurückführen.
Theorem D.2.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆pm (x, y) = ∆p0 (x, y)
−
Z
y
x
hkj
Z
(D.19)
∂
(pm (x, y) − p0 (x, y))
ξj
∂y k
(D.20)
y
i
hki,j ξ k σ ij p(1) (x, y)
+ m
2
x
Z y
1
+ m
(α2 − α) Rjk ξ j ξ k p(1) (x, y)
2
x
Z y
1
1
2
+
m ln(|ξ |)
(α2 − α + ) R
3
16π
4
Zxy
1
−
(α4 − 2α3 + α2 ) (2Rjk ) ξ j ξ k
m ln(|ξ 2 |)
64π 3
x
Z y
i
2
m
ln(|ξ
|)
(α2 − α) Rki,j ξ k σ ij
+
32π 3
Z y x
i
2 1
(2α − 1) (hjk,i − hik,j ) γ i ξ j ξ k
m 2
+
16π 3
ξ x
Z y
1
2 1
−
εijlm hjk,i ξ k ξl ργm
m
16π 3
ξ2 x
Z y
i
2 1
−
(α2 − α) Rjk ξ j ξ k ξ/
m
16π 3
ξ2 x
+O(ξ 0 ) + m2 O(ln(|ξ 2 |)) + O(m3 )
.
(D.21)
(D.22)
(D.23)
(D.24)
(D.25)
(D.26)
(D.27)
(D.28)
Beweis: Für diejenigen Summanden, die auf dem Lichtkegel wie ξ −2 oder ξ −4 divergieren,
können wir genau wie im Beweis von Theorem C.3.1 argumentieren: Die asymptotischen
Entwicklungsformeln für ∆pm [A
/] und ∆km [A
/], Theorem D.1.3 und Theorem B.2.1, gehen
durch die formalen Ersetzungen (C.99) ineinander über. Durch Vergleich von (D.18) und
(B.63) überträgt sich daher auch das Ergebnis von Theorem B.3.1 durch diese Ersetzungen
auf die Störungsrechnung für ∆pm .
Beachte, daß man bei den Termen der Ordnung ln(|ξ 2 |) anders vorgehen muß. Für ihre
Berechnung ist nach (D.18) nämlich auch der Beitrag von ∆pm [A
/] der Ordnung ξ 2 ln(|ξ 2 |)
wichtig, den wir in Theorem D.1.3 jedoch nicht berücksichtigt haben.
Da wir die in ξ 2 logarithmisch divergenten Terme nur in erster Ordnung in m bestimmen wollen, müssen wir nur noch ∆p(1) untersuchen. Nach (D.5), (C.44) und (C.45) hat
man
i
Z
Z
y
y
1
∂
∂
∂
(s γ j hkj p)(1) (0, y) = −
∨ (∂/hkj ) γ j − 2 j ∨ hjk
k
4
k
∂y
16π ∂y
∂y
Z ∞
Z
ǫ(λ)
1 1
= − 4 4 − dλ 2 u dz z j z k hjk
π y
λ
−∞
λy
Z ∞
Z
dλ
1 1
⊗ dz z j z k 2hjk
− 4 2 −
8π y
−∞ |λ| λy
116
(D.29)
(D.30)
Z
Z
∞ dλ
1 1
−
⊗ dz zk (∂/hkj ) γ j
4
2
8π y
|λ|
−∞
λy
Z y
1
k
∨ hk [(∂/hj )] γ j
−
16π 4Z
y
1
+ 4 ∨ hjk [hjk ]
.
8π
−
(D.31)
(D.32)
(D.33)
Nun führen wir mit Hilfe von Satz C.1.16 und Satz C.1.25 eine Entwicklung um den
Lichtkegel durch. Für die einzelnen Summanden (D.29) bis (D.33) erhält man:
(D.29) =
(D.30) =
(D.31) =
(D.32) =
(D.33) =
Z
∞
1 1
− 3 4 − dλ ǫ(λ) hjk (λy) y j y k
4π y
−∞
Z ∞
1 1
− dλ ǫ(λ) λ2 Rjk (λy) y j y k
−
16π 3 y 2 −∞
Z ∞
1
2
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) λ2 R(λy)
+
32π 3
−∞
Z ∞
1
−
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) λ4 (2Rjk )(λy) y j y k + O(y 0 )
128π 3
−∞
Z ∞
1 1
− dλ |λ| Rjk (λy) y j y k
16π 3 y 2 −∞
Z ∞
1
2
ln(|y |) − dλ |λ| R(λy)
−
32π 3
−∞
Z ∞
1
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) λ3 (2Rjk )(λy) y j y k + O(y 0 )
+
64π 3
−∞
Z ∞
1 1
i 1
h(0)
+
− dλ ǫ(λ) y k hjk,i (λy) σ ij
16π 3 y 2
16π 3 y 2 −∞
Z ∞
i
2
−
ln(|y
|)
− dλ ǫ(λ) λ2 Rjk,i(λy) σ ij + O(y 0 )
64π 3
−∞
Z ∞
1
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) R(λy)
128π 3
−∞
Z ∞
i
+
ln(|y 2 |) − dλ |λ| y k Rjk,i (λy) σ ij + O(y 0 )
64π 3
−∞
Z ∞
1
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) λ2 (2Rjk )(λy) y j y k + O(y 0 )
−
128π 2
−∞
Aufsummieren dieser Terme liefert
i
Z
∞
∂
1 1
j k
(1)
dλ ǫ(λ) hjk (λy) y j y k
(s
γ
h
p)
(0,
y)
=
−
−
j
∂y k
4π 3 y 4 −∞
Z ∞
i 1
+
− dλ ǫ(λ) y k hjk,i (λy) σ ij
16π 3 y 2 −∞
Z ∞
1 1
−
− dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) Rjk (λy) y j y k
16π 3 y 2 −∞
Z ∞
1
1
2
+
ln(|y
|)
− dλ ǫ(λ) (λ2 − λ + ) R(λy)
3
32π
4
−∞
Z ∞
1
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (λ4 − 2λ3 + λ2 ) (2Rjk )(λy) y j y k
−
128π 3
−∞
Z ∞
i
−
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) Rjk,i(λy) σ ij
64π 3
−∞
117
1
− h(0) p(1) (0, y) + O(y 0 )
4
.
Durch Translation erhält man eine Gleichung für i∂k (s γ j hkj p)(1) (x, y). Die entsprechende
Formel, bei der sm und pm vertauscht sind, leitet man daraus wieder ab, indem man x
durch y ersetzt und umgekehrt1 :
i
∂
∂
(pm γ j hkj sm )(x, y) = i k (sm γ j hkj pm )(y, x)∗
∂y k
∂y
∂
= i(sm γ j hjk,k pm )(y, x)∗ − i k (sm γ j hkj pm )(y, x)∗
∂x
∂
1
∗
(sm (i∂/h) pm )(y, x) − i k (sm γ j hkj pm )(y, x)∗
=
2
∂x
∂
1
h(y) pm (x, y) − i k (sm γ j hkj pm )(y, x)∗
.
=
2
∂x
Durch Einsetzen in (D.2) und (D.18) folgt die Behauptung.
D.3
2
Axiale Störung
Wir betrachten die axiale Störung (B.79). Für die Auswirkung der Störung auf pm hat
man in erster Ordnung
∆pm = −e (pm ρA
/ sm + sm ρA
/ pm )
.
(D.34)
Wir berechnen zunächst sm ρA
/ pm :
Lemma D.3.1 Es gilt
(sm ρA
/ pm )(0, y) = −ρ (sm A
/ pm )(0, y)
Z ∞
Z
im 1
dλ
− 4 2 −
⊗ dz ρA
/ z/
4π y
−∞ |λ| λy
Z y
Z 1
im
−
∨
dα α2 jk (αz) z k ρ
dz
16π 4
0
Z y
im
∨ ∂j Aj ρ
−
16π 4Z
y
m
+ 4 ∨ hj [Ak ] ρσ jk
8π
Z
m2 y
/
+ 4 ∨ ρA
8π
+O(m3 )
.
Beweis: Wir betrachten die Beiträge verschiedener Ordnung in m nacheinander:
1. Terme ∼ m0 :
1
(s0 ρA
/ p0 )(0, y) = −ρ (s0 A
/ p0 )(0, y)
A∗ bezeichnet die Adjungierte der 4 × 4-Matrix A bzgl. des Spinskalarproduktes.
118
(D.35)
(D.36)
(D.37)
(D.38)
(D.39)
(D.40)
2. Terme ∼ m:
im
(sm ρA
/ pm )(0, y) =
16π 4
Z
Z
y
y
∂/x ( ∨ ρA
/) + ( ∨ ρA
/)∂/y
x
x
Z
(D.41)
|x=0
y
im ∂
∨ ρA
/ γj
4
j
8π ∂y
Z ∞
Z
Z y
dλ
im
im 1
⊗ dz ρA
/] γ j
/ z/ − 4 ρ ∨ hj [A
= −ρ (sm A
/ pm )(0, y) − 4 2 −
4π y
|λ|
8π
−∞
λy
= −ρ (sm A
/ pm )(0, y) −
Setze nun noch (B.91), (B.92) ein.
3. Terme ∼ m2 :
m2
16π 4
Z
Z
y
y
1
(sm ρA
/ pm )(x, y) =
∨ ρA
/ + ∂/x ∨ dz ρA
/(z) (z − y)j γ j
2
x
Z y x
1
j
/(z) ∂/y
∨ dz (x − z)j γ ρA
+
2
x
Z y
m2
= −ρ (sm A
/ pm )(x, y) + 4 ∨ ρA
/
8π x
2
Nun führen wir wieder eine Entwicklung um den Lichtkegel durch:
Lemma D.3.2 Es gilt
(sm ρA
/ pm )(0, y) = −ρ (sm A
/ pm )(0, y)
Z ∞
im 1
− 3 2 − dλ ǫ(λ) ρA
/(λy) y/
8π y
−∞
Z ∞
im
2
+
ln(|y
|)
− dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) jk (λy) y k ρ
32π 3
−∞
Z ∞
im
2
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) ∂j Aj (λy) ρ
−
32π 3
−∞
Z ∞
m
2
+
ln(|y |) − dλ |λ| Fjk (λy) ρσ jk
32π 3
−∞
Z ∞
m
2
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) 2Aj (λy) yk ρσ jk
−
32π 3
−∞
Z ∞
2
m
+
/(λy)
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) ρA
16π 3
−∞
+O(m3 ) + O(y 0 )
.
Beweis: Die asymptotischen Enwicklungen von Satz C.1.25 und C.1.16 liefern:
Z
Z
Z
∞ dλ
∞
1
π 1
dλ ǫ(λ) A
/(λy) y/
⊗
−
−
dz
A
/
z
/
=
y 2 −∞ |λ| λy
2 y 2 −∞
Z ∞
π
+ ln(|y 2 |) − dλ |λ| 2z Aj z j
|z=λy
8
−∞
Z ∞
iπ
−
ln(|y 2 |) − dλ |λ| 2z (Aj zk )|z=λy σ jk + O(y 0 )
8
−∞
Z ∞
π 1
=
/(λy) y/
− dλ ǫ(λ) A
2 y 2 −∞
119
Z
∞
π
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) λ2 jk (λy) y k
8
−∞
Z ∞
iπ
+
ln(|y 2 |) − dλ |λ| Fjk (λy) σ jk
8
−∞
Z ∞
iπ
−
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) λ2 2Aj (λy) yk σ jk + O(y 0 )
8
−∞
−
Z
y
∨ dz
Z
0
1
dα α2 jk (αz) z k
Z
Z
1
∞
π
dα α2 jk (αλy) λy k + O(y 0 )
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ)
=
2
0
−∞
Z ∞
π
2
=
ln(|y |) − dλ |λ| jk (λy) y k + O(y 0 )
2
−∞
Z y
Z 1
Z ∞
π
∨ hj [Ak ] =
dα α ∂j Ak (αλy)
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) ∂j Ak (λy) −
2
0
−∞
Z 1
1
− λyj
dα α2 2Ak (αλy) + O(y 0 )
2
0
Z ∞
π
2
= − ln(|y |) − dλ |λ| yj (2Ak )(λy) + O(y 0 )
4
−∞
2
Theorem D.3.3 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆pm (x, y) = −ρ ∆p0 [A
/](x, y)
Z
ie
1 y 1
− 3m 2
/]
ρ [ξ/, A
4π
ξ x 2
Z y
e
2
−
(2α − 1) Fjk ρσ jk
m
ln(|ξ
|)
32π 3
x
Z y
ie
2
+
∂j Aj ρ
m ln(|ξ |)
16π 3
x
Z y
e
2
m ln(|ξ |)
(α2 − α) 2Aj ξk ρσ jk
+
16π 3
x
Z y
e
2 1
Aj ξ j ρξ/
+ 3m 2
8π
ξ x
Z y
e
ρA
/
− 3 m2 ln(|ξ 2 |)
8π
x
Z y
e
2
2
(2α − 1) Fjk ξ k ργ j
m
ln(|ξ
|)
+
32π 3
x
Z y
ie
2
2
+
m ln(|ξ |)
εijkl Fij ξk γl
64π 3
x
Z y
e
2
2
m ln(|ξ |)
(α2 − α) jk ξ k ρξ/
−
32π 3
x
Z y
1
ie
3
2
ρ [ξ/, A
/]
m
ln(|ξ
|)
+
16π 3
2
x
+O(m4 ) + O(ξ 0 )
.
(D.42)
(D.43)
(D.44)
(D.45)
(D.46)
(D.47)
(D.48)
(D.49)
(D.50)
(D.51)
(D.52)
Beweis: Wir setzen das Ergebnis von Satz D.1.2 in D.3.2 ein. Die Beiträge ∼ m0 , m2
erhält man unter Verwendung von (D.34) direkt durch Translation und Vertauschung von
120
x und y. Für die Ordnung ∼ m beachte man das Zwischenresultat
(sm ρA
/ pm )(0, y) = −ρ (s0 A
/ p0 )(0, y)
Z ∞
1
im 1
/(λy)]
+ 3 2 − dλ ǫ(λ) ρ [ξ/, A
8π y
2
−∞
Z ∞
m
+
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (2λ − 1) Fjk (λy) ρσ jk
64π 3
−∞
Z ∞
im
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) ∂j Aj (λy) ρ
−
32π 3
−∞
Z ∞
m
−
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) (2Aj )(λy) yk ρσ jk
32π 3
−∞
2
0
+O(m ) + O(ξ )
.
Der Beitrag ∼ m3 folgt direkt aus der Form der Pseudoeichterme (B.94) (die bei pm die
gleiche Gestalt haben wie bei km ); die Stomterme ∼ m3 sind bereits von der Ordnung ξ 0 .
2
Die Summanden (D.43), (D.47) und (D.52) sind Pseudoeichterme, (D.48) ist der Massenterm.
Beachte, daß der Stromterm (D.46) anstelle des Maxwellstromes den Ausdruck 2Aj
enthält. Man sieht daran, daß bei axialen Störungen keine lokale Eichinvarianz vorhanden
ist.
D.4
Skalare Störung
Wir betrachten wieder die skalare Störung (A.123). Für ∆pm hat man in erster Ordnung
in Ξ
∆pm = − (sm Ξ pm + pm Ξ sm )
.
(D.53)
Theorem D.4.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆pm (x, y) = ∆p0 (x, y)
−2m
Z
y
Ξ
x
(D.54)
p(2) (x, y)
(D.55)
Z
(D.56)
y
i
2
(2α − 1) (∂/Ξ)
m
ln(|ξ
|)
16π 3
Zxy
i
+
m ln(|ξ 2 |)
(α2 − α) (2Ξ) ξ/
16π 3
x
1
m2 ln(|ξ 2 |) (Ξ(y) + Ξ(x))
−
32π 3
Z y
1
− 3 m2 ln(|ξ 2 |)
Ξ
8π
x
Z y
i
2
2
−
m
ln(|ξ
|)
(∂j Ξ) ξk σ jk
32π 3
x
+O(m3 ) + O(ξ 0 )
.
+
Beweis: Untersuche die Terme verschiedener Ordnung in m nacheinander.
121
(D.57)
(D.58)
(D.59)
(D.60)
1. Terme ∼ m: Unter Verwendung von (C.44) und den asymptotischen Entwicklungen
von Satz C.1.25 hat man
Z y
Z y
i
Ξ)∂
/
Ξ)
+
(
∨
∂
/
(
∨
(s Ξ p)(1) (0, y) =
y
x
16π 4
x
x
|x=0
Z y
Z y i
∨ (∂/Ξ) − 2 ∂/y ∨ Ξ
=
16π 4
Z
Z ∞
Z y
dλ
i
i 1
j
⊗ dz z/ Ξ(z) +
∨
(∂
/
Ξ)
−
2
γ
h
[Ξ]
= − 4 2 −
j
4π y
16π 4
−∞ |λ| λy
Z ∞
i 1
= − 3 2 − dλ y/ Ξ(λy)
8π y
−∞
Z ∞
i
2
−
ln(|ξ
|)
− dλ ǫ(λ) (2λ − 1) (∂/Ξ)(λy)
32π 3
−∞
Z ∞
i
−
ln(|ξ 2 |) − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) (2Ξ)(λy) ξ/ + O(y 0 )
.
32π 3
−∞
2. Terme ∼ m2 :
1
16π 4
(s Ξ p)(2) (x, y) =
Z
y
1
∂/
2 x
∨ Ξ+
x
1
+
2
Z
y
Z
y
∨ dz Ξ(z) (z − y)j γj
x
∨ dz (x − z)j γj Ξ(z)
x
∂/y
Mit Hilfe von (D.8) und (D.9) erhält man die Umformungen
∂/x
Z
Z
y
∨ dz Ξ(z) (z − y)j γj
x
y
j
∨ dz (x − z) γj Ξ(z)
x
und somit
=
Z
Z
y
x
Z
x
y
j
Z
y
∂/y = − ∨ dz (x − z) γj (∂/Ξ)(z) + 2 ∨ Ξ
x
x
Z
y
3
(s Ξ p) (0, y) =
∨
Ξ
16π 4
Z y
1
j
j
+
∨
dz
(∂
/
Ξ)(z)
(z
−
y)
γ
−
(x
−
z)
γ
(∂
/
Ξ)(z)
j
j
32π 4
Z ∞
1
2
ln(|y
|)
− dλ ǫ(λ) Ξ(λy)
=
32π 3
−∞
Z ∞
1
2
ln(|y
|)
− dλ ǫ(λ) (2λ − 1) (∂j Ξ)(λz) y j
+
64π 3
−∞
Z ∞
i
2
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) (∂j Ξ)(λy) yk σ jk + O(y 0 )
+
64π 3
−∞
1
2
=
ln(|y |) Ξ(0)
32π 3
Z ∞
1
2
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) Ξ(λy)
+
16π 3
−∞
Z ∞
i
+
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (∂j Ξ)(λy) yk σ jk + O(y 0 )
64π 3
−∞
(2)
y
∨ dz (∂/Ξ)(z) (z − y)j γj + 2 ∨ Ξ
.
Durch Translation um x und Vertauschung von x, y erhält man Gleichungen für (sm Ξpm )(x, y)
und (pm Ξ sm )(x, y). Setze nun in (D.53) ein.
2
122
D.5
Pseudoskalare Störung
Wir betrachten wieder die pseudoskalare Störung (B.106). Für ∆pm hat man in erster
Ordnung in Ξ
∆pm = −i (sm ρΞ pm + pm ρΞ sm )
.
(D.61)
Theorem D.5.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆pm (x, y) = −iρ ∆p0 [Ξ](x, y)
Z y
1
2
(∂/Ξ)
m
ρ
ln(|ξ
|)
−
16π 3
x
i
m2 ln(|ξ 2 |) (Ξ(y) + Ξ(x)) ρ
+
32π 3
Z y
1
2
2
−
(∂j Ξ) ξk ρσ jk
m ln(|ξ |)
32π 3
x
+O(m3 ) + O(ξ 0 )
.
(D.62)
(D.63)
(D.64)
(D.65)
Beweis: Untersuche die Terme verschiedener Ordnung in m nacheinander.
1. Terme ∼ m: Unter Verwendung von (C.44) und den asymptotischen Entwicklungen
von Satz C.1.25 hat man
(1)
(s ρΞ p)
=
=
2. Terme ∼ m2 :
(2)
(s ρΞ p)
1
(0, y) = −
16π 4
Z
y
Z
y
Z
x
y
Z
x
|x=0
|x=0
y
1
∨ ρΞ + ∂/x ∨ dz ρΞ(z) (z − y)j γj
(x, y) =
2
x
x
Z y
1
j
+
∨ dz (x − z) γj ρΞ(z) ∂/y
2
x
Z y
i
(2)
= −iρ (s Ξ p) (x, y) + 4 ρ ∨ Ξ
8π
x
i
16π 4
y
y
∂/x ( ∨ ρΞ) + ( ∨ ρΞ)∂/y
1
ρ ∂/x ( ∨ ρΞ) + ∂/y ( ∨ ρΞ)
16π 4
x
x
Z y
1
ρ ∨ (∂/Ξ)
.
16π 4
Z
Z
Durch Translation um x und Vertauschung von x, y erhält man Gleichungen für (sm ρΞpm )(x, y)
und (pm ρΞ sm )(x, y). Setze nun in (D.61) ein.
2
D.6
Bilineare Störung
Wir betrachten wieder die bilineare Störung (A.129). Für ∆pm hat man in erster Ordnung
in B
.
(D.66)
∆pm = − sm Bjk σ jk pm + pm Bjk σ jk sm
123
Theorem D.6.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆pm (x, y) = ∆p0 (x, y)
Z
1 y ijkl
i
+ 3m 2
ε
Bij ξk ργl
4π
ξ x
Z y
1
Bjk,k γ j
− 3 m ln(|ξ 2 |)
8π
x
Z y
i
2
(2α − 1) εijkl Bij,k ργl
m ln(|ξ |)
+
16π 3
x
Z y
i
2
+
m ln(|ξ |)
(α2 − α) εijkl (2Bij ) ξk ργl
16π 3
x
Z y
1
2 1
Bij ξ i ξk σ jk
− 3m 2
4π
ξ x
1
−
m2 ln(|ξ 2 |) (Bjk (y) + Bjk (x)) σ jk
32π 3
Z y
i
2
2
ξj B jk,k
m ln(|ξ |)
−
16π 3
x
Z y
1
2
2
−
(2α − 1) (ξ k Bjk,i + ξi Bjk,k ) σ ij
m ln(|ξ |)
16π 3
x
Z y
1
2
2
m
ln(|ξ
|)
(α2 − α) (2Bij ) ξ i ξk σ jk
−
16π 3
Zxy
1
2
2
+
m ln(|ξ |)
εijkl Bij,k ξl ρ
32π 3
x
+O(ξ 0 ) + O(m3 )
.
(D.67)
(D.68)
(D.69)
(D.70)
(D.71)
(D.72)
(D.73)
(D.74)
(D.75)
(D.76)
(D.77)
Beweis: Wir betrachten die Beiträge verschiedener Ordnung in m nacheinander:
1. Terme ∼ m:
(sm Bjk σ jk pm )(x, y) =
Z
Z
y
y
im
∂/x ( ∨ Bjk σ jk ) + ( ∨ Bjk σ jk )∂/y
4
16π
x
x
Setze (B.126) und (B.127) ein
m
8π 4
m
− 4
8π
m
= − 4
8π
= −
Z
Z
y
y
∂
im ijkl ∂
jk
∨
ε
∨
B
γ
+
Bjk ργl
k
∂xj x
16π 4
∂xi x
Z y
Z y
∂
im ijkl ∂
jk
B
γ
−
∨
ε
∨ Bjk ργl
k
∂y j x
16π 4
∂y i x
Z y
Z
Z y
im ijkl y
im ijkl ∂
B
ργ
−
∨ B jk,j γk +
ε
∨
ε
∨ Bjk ργl .
ij,k
l
16π 4
8π 4
∂y i x
x
x
Jetzt wenden wir (C.44) an und führen mit Satz C.1.16 und C.1.25 eine Entwicklung
um den Lichtkegel durch. Setze der Einfachheit halber x = 0.
(sm Bjk σ jk pm )(x, y) =
Z
Z
Z
y
m
∨
B jk,k γj
8π 4
∞ dλ
im 1
⊗ dz εijkl zi Bjk ργl
− 4 2 −
4π y
−∞ |λ| λy
Z
Z z
im ijkl y
ε
∨
dz
B
(z)
−
2
−
α
B
ργl
ij,k
ij,k
16π 4
124
Z
Z
z
im ijkl y
ε
∨ dz ζi
α2 (2Bjk ) ργl
4
16π
Z ∞
im 1
= − 3 2 − dλ ǫ(λ) εijkl Bij (λy) ξk ργl
8π y
−∞
Z ∞
m
2
+
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) Bjk,k (λy) γ j
16π 3
−∞
Z ∞
im
−
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (2λ − 1) εijkl Bij,k (λy) ργl
32π 3
−∞
Z ∞
im
−
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) εijkl (2Bij (λy) ξk ργl + O(ξ 0 )
32π 3
−∞
+
2. Terme ∼ m2 :
(sm Bjk σ
jk
Z
y
1
2
Bjk σ jk
m
3
pm )(0, y) =
16π 4
x
Z y
m2
jk
m
+
∂/
3 dz Bjk (z) σ (z − y) γm
32π 4 x
x
Z y
2
m
m
jk
dz
(x
−
z)
γ
B
(z)
σ
∂/y
3
+
m jk
32π 4
x
(D.78)
Wir berechnen nun den zweiten und dritten Summanden. Dazu lösen wir das Produkt der Diracmatrizen mit Hilfe von (A.138) auf, berechnen mit (C.44) die Ableitungen und führen mit Satz C.1.16 und C.1.25 eine Entwicklung um den Lichtkegel
durch. Setze wieder x = 0 und beachte die Identitäten
Z
y
∂
dz Bjk σ jk (z − y)m
∨
∂y m x
Z y
Z
m
∂
jk
4 (z − y)
=
l(z
−
x)
B
(z)
σ
=
−2
∨ Bjk σ jk
d
z
jk
∂y m
(y − z)2
x
Z y
∂
∨ dz (x − z)m Bjk (z) σ jk
∂xm x
Z y
Z
∂
1
jk
4
m
=
B
(z)
σ
=
2
∨ Bjk σ jk
d
z
(x
−
z)
l(z
−
x)
jk
∂xm
(y − z)2
x
.
Man erhält auf diese Weise
Z
Z
y
∂
∂/x ∨ dz Bjk (z) σ (z − y) γm
= 2i j ∨ dz B jk (z) (z − y)k
∂x x
x
|x=0
Z y
Z y
∂
∂
+ m ∨ dz Bjk (z) σ jk (z − y)m + 2 j ∨ dz B jk (z) σkm (z − y)m
∂x
∂x x
x
Z y
Z y
∂
∂
+2 j ∨ dz Bmk (z) σ kj (z − y)m +
∨ εijkl Bij (z) (z − y)l ρ |x=0
∂x x
∂xk x
Z ∞
4π
= − 2 − dλ ε(λ) (λ − 1) B jk (λy) yj y m σkm
y
−∞
Z ∞
d
π
Bjk (λy) σ jk
+ ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (λ − 1)
2
dλ
−∞
y
jk
Z
+π ln(|y 2 |) −
∞
−∞
Z ∞
−iπ ln(|y 2 |) −
m
dλ ǫ(λ) (2λ − 1) Bjk (λy) σ jk
−∞
dλ ǫ(λ) (λ − 1) B jk,k (λy) yj
125
+
Z
∞
π
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (λ − 1) εijkl Bij,k (λy) yl ρ
2
−∞
Z
∞
−π ln(|y 2 |) −
Z
−∞
Z ∞
−π ln(|y 2 |) −
−∞
y
dλ ǫ(λ) (2λ2 − 3λ + 1) (Bjk,j ym + Bjk,m y j ) σ km
dλ ǫ(λ) (λ3 − 2λ2 + λ) (2B jk )(λy) yj y m σkm + O(y 0 )
∨ dz (x − z)m γm Bjk (z) σ jk
x
Z
∂/y
|x=0
= −2i
y
∂
∨ dz (x − z)m Bjk (z) σ jk − 2
m
∂y
Z y
∂
−2 j ∨ dz (x − z)m Bmk (z) σ kj −
∂y
Z ∞
4π
− dλ |λ| B jk (λy) yj y m σkm
=
y 2 −∞
Z ∞
d
π
2
Bjk (λy) σ jk
+ ln(|y |) − dλ |λ|
2
dλ
−∞
−
2
Z
∞
−π ln(|y |) −
2
−∞
∞
Z
+iπ ln(|y |) −
Z
Z
y
∂
∨ dz (x − z)j B jk (z)
k
∂y
Z
y
∂
∨ dz (x − z)m B jk (z) σkm
j
∂y
Z y
∂
∨ εijkl Bij (z) (x − z)k ρ
∂y l
dλ ǫ(λ) (2λ − 1) Bjk (λy) σ jk
−∞
dλ |λ| B jk,k (λy) yj
∞
π
− ln(|y 2 |) − dλ |λ| εijkl Bij,k (λy) yl ρ
2
−∞
Z
+π ln(|y 2 |) −
2
∞
−∞
∞
Z
+π ln(|y |) −
−∞
dλ ǫ(λ) (2λ2 − λ) (Bjk,j ym + Bjk,m y j ) σ km
dλ ǫ(λ) (λ3 − λ2 ) (2B jk )(λy) yj y m σkm + O(y 0 )
und somit
(sm Bjk σ jk pm )(0, y)
Z ∞
m2 1
=
− dλ ǫ(λ) Bjk (λy) y j ym σ km
8π 3 y 2 −∞
m2
+
ln(|y 2 |) Bjk (0) σ jk
32π 3
Z ∞
im2
2
ln(|y |) − dλ ǫ(λ) B jk,k (λy) yj
+
3
32π
−∞
Z ∞
m2
−
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) εijkl Bij,k (λy) yl ρ
64π 3
−∞
Z ∞
m2
+
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (2λ − 1) (Bjk,k y m + Bjk,m y j ) σ km
32π 3
−∞
Z ∞
2
m
ln(|y 2 |) − dλ ǫ(λ) (λ2 − λ) (2B jk )(λy) yj y m σkm
+
32π 3
−∞
+O(y 0 )
.
Durch Translation um x und Vertauschung von x, y erhält man hieraus Formeln für
(sm Bjk σ jk pm )(x, y) und (pm Bjk σ jk sm )(x, y). Setze nun in (D.66) ein.
2
126
D.7
Differentialstörung durch Vektorpotential
Wir betrachten wieder die Störung des Diracoperators (A.139). Für ∆pm hat man in
erster Ordnung in L
∆pm (x, y) = −i
∂
i
∆pm [Lj ](x, y) + ∆pm [Lj,j ](x, y)
∂y j
2
.
Theorem D.7.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆pm (x, y) = ∆p0 (x, y)
−im
Z
y
x
Lj
Z
(D.79)
ξ j p0 (x, y)
(D.80)
y
1 1
(2α − 1) (Lj,j ξ/ + (∂/Lj ) ξ j )
m
8π 3 ξ 2
x
Z y
1 1
+ 3 2m
L/
4π ξ
x
Z y
1 1
(α2 − α) (2Lj ) ξ j ξ/
+ 3 2m
8π ξ
x
i 1 2
m (Lj (y) + Lj (x)) ξ j
+
16π 3 ξ 2
Z
i 1 2 y
Lj ξ j
+ 3 2m
4π ξ
x
Z
1 1 2 y
−
m
∂j Lm ξ m ξk σ jk
16π 3 ξ 2
x
+O(ln(|ξ 2 |)) + O(m3 )
.
+
(D.81)
(D.82)
(D.83)
(D.84)
(D.85)
(D.86)
Beweis: Wir können genau wie im Beweis von Theorem C.3.1 argumentieren. Durch Vergleich von Theorem B.5.1 und Theorem D.4.1 folgt die Behauptung aus Theorem B.8.1
durch die formalen Ersetzungen (C.99).
2
D.8
Differentialstörung durch axiales Potential
Wir betrachten wieder die Störung des Diracoperators (B.143). Für ∆pm hat man in
erster Ordnung in L
∆pm (x, y) = −i
i
∂
∆pm [iρLj ](x, y) + ∆pm [iρLj,j ]
∂y j
2
.
Theorem D.8.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
i
∆pm (x, y) = iρ ∆p0 iLj ∂j + Lj,j (x, y)
2
127
(D.87)
Z
y
i 1
(2α − 1)(∂/Lj )ξ j
mρ
3
2
8π ξ
x
1 1 2
m (Lj (y) + Lj (x)) ξ j ρ
−
16π 3 ξ 2
Z
i 1 2 y
(∂j Lm ) ξ m ξk ρσ jk
m
−
16π 3 ξ 2
x
+O(ln(|ξ 2 |)) + O(m3 )
.
−
(D.88)
(D.89)
(D.90)
Beweis: Wir können genau wie im Beweis von Theorem C.3.1 argumentieren. Durch Vergleich von Theorem B.6.1 und Theorem D.5.1 folgt die Behauptung aus Theorem B.9.1
durch die formalen Ersetzungen (C.99).
2
D.9
Bilineare Differentialstörung durch Vektorpotential
Wir betrachten wieder die Störung des Diracoperators (A.148). Für ∆pm hat man in
erster Ordnung in L
i
i
∆pm (x, y) = −i∆pm iL ∂j + Lj,j (x, y) + ∆pm [Li,j σ ij ](x, y)
2
2
1
+im ∆pm [L/](x, y) − ipm (x, y) L/(y) − ∆pm [Lj,j ]
2
j
.
Theorem D.9.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆pm (x, y) = ∆p0 (x, y)
i
1
+ 3 m 2 (L/(y) − L/(x))
8π
ξ
Z y
i
2 1
Lj ξ/
− 3m 2
8π
ξ x ,j
i
1
−
m2 2 (Lj (y) + Lj (x)) ξk σ jk
3
16π
ξ
1
1
m2 2 (Lj (y) − Lj (x)) ξ j
−
3
16π
ξ
+O(ln(|ξ 2 |)) + O(m3 )
.
(D.91)
(D.92)
(D.93)
(D.94)
(D.95)
Beweis: Wir können genau wie im Beweis von Theorem C.3.1 argumentieren. Durch Vergleich von Theorem B.5.1 und Theorem D.4.1 folgt die Behauptung aus Theorem B.10.1
durch die formalen Ersetzungen (C.99).
2
D.10
Bilineare Differentialstörung durch axiales Potential
Wir betrachten wieder die Störung des Diracoperators (B.158). Für ∆pm hat man in
erster Ordnung in L
∆km (x, y) = −i∆pm ρLj ∂j +
i
ρ j
L ,j (x, y) + ∆pm [ρLi,j σ ij ](x, y)
2
2
128
−pm (x, y) ρL/(y) + m ∆pm [ρL/](x, y) +
1
∆pm [iρLj,j ]
2
.
Theorem D.10.1 In erster Ordnung Störungstheorie gilt
∆pm (x, y) = ∆p0 (x, y)
Z
1
1 y
+ 3m 4
Lj ξ j ρξ/
2π
ξ x
Z
1
1 y
− 3m 2
(2α − 1) Li,i ρξ/
8π
ξ x
Z
1 y 2
1
(α − α) (2Lk ) ξ k ρξ/
− 3m 2
8π
ξ x
Z
1 y
1
(2α − 1) ρ(∂/Lj ) ξ j
− 3m 2
8π
ξ x
1
1
+ 3 m 2 ρ(L/(y) + L/(x))
4π
ξ
Z
1 y
1
ρL/
− 3m 2
4π
ξ x
Z
i
1 y ijkl
+ 3m 2
ε
Li,j ξk γl
8π
ξ x
Z
1 y
1
Lj ξk ρσ jk
+ 3 m2 2
4π
ξ x
i
1
−
m2 2 (Lj (y) − Lj (x))ξ j ρ
16π 3
ξ
1
1
+
m2 2 (Lj (y) + Lj (x)) ξk ρσ jk
16π 3
ξ
+O(ln(|ξ 2 |)) + O(m3 )
.
(D.96)
(D.97)
(D.98)
(D.99)
(D.100)
(D.101)
(D.102)
(D.103)
(D.104)
(D.105)
(D.106)
Beweis: Wir können genau wie im Beweis von Theorem C.3.1 argumentieren. Durch Vergleich von Theorem B.5.1 und Theorem D.4.1 folgt die Behauptung aus Theorem B.11.1
durch die formalen Ersetzungen (C.99).
2
129
Appendix E
Störungsrechnung höherer
Ordnung
In diesem Kapitel werden wir die Distribution P (x, y) für endliche Störungen des Diracoperators untersuchen. Dazu werden wir die Beiträge jeder Ordnung Störungstheorie
asymptotisch um den Lichtkegel entwickeln und anschließend alle Beiträge explizit aufsummieren. Als Ergebnis erhalten wir asymptotische Entwicklungsformeln für P (x, y),
die nicht-perturbativ gültig sind.
Als Vorbereitung betrachten wir eine allgemeine Störung des Diracoperators durch ein
lokales Potential, also
G = i∂/ + B
(E.1)
mit einer matrixwertigen Funktion B(x). Zur Einfachheit nehmen wir an, daß B im
Unendlichen glm. zur vierten Potenz abfällt. Die Spindimension sei 4n.
Bei der formalen Störungsentwicklung treten Operatorprodukte der Form
A1 B A2 B · · · B Al−1 B Al
(E.2)
auf, wobei Aj für Faktoren pm , km oder sm steht.
Lemma E.0.2 Das Operatorprodukt (E.2) ist als Operator auf den Schwartzfunktionen
wohldefiniert.
Beweis: Wir führen den Beweis im Impulsraum durch. Beachte zunächst, daß die Fouriertransformierte von B ∈ C4∞ stetig ist und im Unendlichen stärker als polynomial abfällt
sup |pα B̃(p)| ≤ ∞
p
für alle Multi-Indizes α.
Für eine gegebene Schwartzfunktion ist f ebenfalls stetig und fällt im Unendlichen stärker
als polynomial ab. Folglich ist das Faltungsprodukt
(Bg
Al f ) = B̃ ∗ Ãl f˜
stetig und fällt im Unendlichen stärker als polynomial ab. Nun können wir induktiv mit
Al−1 , . . . , A1 multiplizieren und nach jedem Schritt mit B̃ falten. Man erhält als Ergebnis
im Impulsraum eine Distribution, die im Unendlichen stärker als polynomial abfällt. Im
Ortsraum ist dies eine glatte Funktion.
2
Damit sind die Beiträge jeder Ordnung Störungstheorie wohldefiniert und endlich.
130
Wir entwickeln nun (E.2) nach Potenzen von m und ordnen die Beiträge außerdem
nach der Anzahl der auftretenden partiellen Ableitungen des Potentials B an. Für diese
Terme kann man das singuläre Verhalten auf dem Lichtkegel genau beschreiben:
Lemma E.0.3 Der Beitrag ∼ mp von (E.2), bei dem q Faktoren des Potentials B partiell
abgeleitet sind, verhält sich auf dem Lichtkegel wie

O(ξ/ ξ −4+p+q ) für p + q = 0, 2




−3+p+q )

für p + q = 1
 O(ξ
O(ln(|ξ 2 |))



O(ξ/ ln(|ξ 2 |))



0
O(ξ )
für p + q = 3
für p + q = 4
für p + q > 4
.
(E.3)
Falls das Störpotential einen skalaren/pseudoskalaren Anteil enthält, können wir diese
Abschätzung noch verbessern:
Lemma E.0.4 Für das Potential
B = B0 − mΦ − imρΨ
mit B0 , Φ, Ψ ∈ C4∞ (M, IR4n×4n ) und
Φ(x) = 114 ⊗ (Φij )i,j=1,···,4n ,
Ψ(x) = 114 ⊗ (Ψij )i,j=1,···,4n
verhält sich der Beitrag ∼ mp von (E.2), bei dem q Faktoren des Potentials B partiell
abgeleitet sind, auf dem Lichtkegel wie (E.3).
Man beachte, daß in Lemma E.0.4 im Gegensatz zu Lemma E.1.1 auch das Potential B
nach m entwickelt wird.
Nach Lemma E.1.1 und Lemma E.0.4 wird die Singularität auf dem Lichtkegel bei
den Beiträgen höherer Ordnung in der Masse und höherer Ordnung in den Ableitungen
der Potentiale schwächer. Zu vorgegebener Ordnung O(lnα (|ξ 2 |) ξ 2β ) auf dem Lichtkegel
tragen damit nur ganz bestimmte Terme der Störungsentwicklung bei, was die Rechnungen
in diesem Kapitel wesentlich erleichtert.
E.1
Eichterme/Pseudoeichterme
Wir wollen nun für den Diracoperator
i∂/ + χL A
/ R + χR A
/L
(E.4)
die Eichterme und Pseudoeichterme in beliebiger Ordnung in A
/L/R zu berechnen, dabei
1
5
bezeichnet χL/R = 2 (1 ∓ γ ) die chiralen Projektoren. Im allgemeinen Fall ist die Spindimension 4n, n ≥ 1 und
A
/L/R = γj (AjL/R ab )a,b=1,···,n
.
Wir führen eine Entwicklung sowohl nach m als auch nach dem singulären Verhalten auf
dem Lichtkegel durch. In diesem Abschnitt berücksichtigen wir in P (x, y) die Beiträge
der Ordnung O(m2 ) + O(ln(|ξ 2 |)), in Abschnitt E.2 werden die Beiträge ∼ m2 bis zur
Ordnung O(ξ 0 ) behandelt. Da alle Beiträge der Ordnung O(m3 ) auf dem Lichtkegel
höchstens logarithmisch singulär sind, haben wir dann die Eich- und Pseudoeichterme für
endliche Störungen bis zur Ordnung O(ln(|ξ 2 |)) vollständig berechnet.
131
Es treten zwei Schwierigkeiten auf: Zum einen müssen wir nichtlokale Linienintegrale
studieren, außerdem brauchen die Potentiale nicht miteinander zu kommutieren:
h
i
AjL/R (x), AkL/R (y) 6= 0
Wir gehen das Problem schrittweise an und beginnen mit einem Spezialfall, bei dem diese
Komplikationen noch nicht auftreten:
E.1.1
Kommutative Eichpotentiale
Der Diracoperator habe die Form
G = i∂/ + χL (∂/ΛR ) + χR (∂/ΛL )
(E.5)
mit reellen Funktionen ΛL , ΛR . Die Störung des Diracoperators hat Ähnlichkeit mit
den bei U (1)-Eichtransformationen auftretenden Potentialen. Dadurch, daß wir für die
links- und rechtshändige Komponente unterschiedliche Potentiale zulassen, können wir
die Störung (E.5) aber nicht global wegeichen.
Wir berechnen zunächst einzelne Operatorprodukte:
Lemma E.1.1 Für A
/ = (∂/Λ), Λ ∈ C ∞ (IR4 ) gilt
k0 A
/ p0 = k(1) A
/ p0 + k0 A
/ p(1) = 0
(E.6)
s0 A
/ s0 = −iΛ s0 + is0 Λ
(E.7)
s0 A
/ k0 = −iΛ k0
(E.9)
s0 A
/ p0 = −iΛ p0
(E.8)
.
Beweis: Durch Entwicklung von
km A
/ pm = −ikm [i∂/, Λ] pm = 0
nach m erhält man (E.6). Die Gleichungen (E.7), (E.8) und (E.9) folgen aus
s0 A
/ s0 = −is0 [i∂/, Λ] s0 = −iΛ s0 + is0 Λ
s0 A
/ p0 = −is0 [i∂/, Λ] p0 = iΛ p0
s0 A
/ k0 = −is0 [i∂/, Λ] k0 = iΛ k0
.
2
Bei einigen Operatorprodukten läßt sich die Anzahl der Faktoren s0 , p0 stark reduzieren:
Lemma E.1.2 Mit A
/ = (∂/Λ), B
/ = (∂/φ) gilt für m, n ≥ 1
(−iΛ)n
p0
n!
(−iΛ)n−1
p0
= s(1) A
/
(n − 1)!
(s0 A
/)n p0 =
s(1) A
/ (s0 A
/)n−1 p0
(s0 A
/)n p(1) =
(E.10)
(E.11)
n−1
X
(iΛ)n−p−1
(−iΛ)p
s0
A
/ p(1)
p!
(n − p − 1)!
(E.12)
n−1
X
(iΛ)n−p−1
(−iφ)m−1
(−iΛ)p
s0
A
/ s(1) B
/
p0 .
p!
(n − p − 1)!
(m − 1)!
(E.13)
p=0
(s0 A
/)n s(1) B
/ (s0 B
/)m−1 p0
=
p=0
132
Beweis: Nach (E.8) gilt
(s0 A
/)n−1 s0 A
/ p0 = −i(s0 A
/)n−2 A
/Λ p0
(−iΛ)n
i
/)n−2 s0 ∂/(Λ2 ) p0 = · · · =
p0
= − (s0 A
2
n!
.
Daraus erhält man (E.10) und (E.11). Zur Berechnung von (E.12) wenden wir (E.7)
iterativ von links nach rechts an, also
(s0 A
/)n p(1) = −iΛ (s0 A
/)n−1 p(1) +
i
s0 ∂/(Λ2 ) (s0 A
/)n−2 p(1) = · · ·
2
.
Nach n − 1 Schritten erhalten wir Terme der Form
c(p) Λp s0 Λn−p−1 A
/ p(1)
.
(E.14)
Wir müssen noch die Konstanten c(p) bestimmen. Dazu ist es günstig, zunächst bei dem
p-ten Faktor A
/ Relation (E.7) anzuwenden
(s0 A
/)n p(1) = −i(s0 A
/)p−1 Λ (s0 A
/)n−p p(1)
i
/)p−1 s0 ∂/(Λ2 ) (s0 A
/)n−p−1 p(1)
+ (s0 A
2
.
Wir brauchen dabei nur den ersten Summanden zu berücksichtigen, denn im zweiten
Summanden stehen der p-te und (p+1)-te Faktor Λ direkt nebeneinander, was bei weiterer
Anwendung von Lemma E.1.1 nicht zu einem Term der Form (E.14) führen kann. Durch
iterative Anwendung dieses Argumentes erhalten wir als einzigen Beitrag zu (E.14) den
Ausdruck
(−iΛ)p
(s0 A
/)n−p p(1)
.
p!
Jetzt wenden wir das gleiche Argument bei den verbleibenden Faktoren A
/ von links nach
rechts an und erhalten für (E.14) den Ausdruck
(iΛ)n−p−1
(−iΛ)p
s0
A
/ p(1)
p!
(n − p − 1)!
und damit die Behauptung (E.12).
Zum Beweis von (E.13) können wir bei den rechten m − 1 Faktoren B
/ iterativ (E.8)
anwenden, bei den Faktoren A
/ geht man genau vor wie bei der Herleitung von (E.12). 2
Wir wollen nun den Operator V pm mit V gemäß (14) nach Potenzen von m entwickeln
und für den Störpoperator
B = χL A
/R + χR A
/L
(E.15)
bis zur Ordnung O(m2 ) berechnen.
Zur Ordnung ∼ m0 haben die Summanden in (14) die Form
C0 (1, Q) B C0 (2, Q) · · · C0 (l − 1, Q) B C0 (l, Q) B p0
.
Bei Einsetzen von (E.15) können wir die Projektoren χL/R unter Verwendung der Antikommutatorrelationen {χL/R , C0 } = {χL/R , A
/L/R } = 0 nach vorne bringen und erhalten
= χL C0 (1, Q) A
/L C0 (2, Q) A
/L · · · A
/L C0 (l, Q) A
/L p0
+χR C0 (1, Q) A
/R C0 (2, Q) A
/R · · · A
/R C0 (l, Q) A
/R p0
133
.
(E.16)
Zur Ordnung ∼ m ist bei dem Operatorprodukt in (14) genau ein Faktor der lineare Term
in m, wie z.B. in
C0 (1, Q) B C0 (2, Q) · · · B C (1) (p, Q) B · · · C0 (l, Q) B p0
,1 < p < l .
Unter Verwendung von [χL/R , C (1) ] = 0 können wir diesen Ausdruck in der Form
= χL C0 (1, Q) A
/L C0 (2, Q) · · · A
/L C (1) (p, Q) A
/R · · · C0 (l, Q) A
/R p0
+χR C0 (1, Q) A
/R C0 (2, Q) · · · A
/R C (1) (p, Q) A
/L · · · C0 (l, Q) A
/ L p0
umschreiben.
Wir brauchen nur diejenigen Summanden zu berücksichtigen, die auch bei der unitären
Transformation (13) auftreten:
Lemma E.1.3 Für die Störung (E.15) des Diracoperators gilt
U pm = V pm + O(m2 )
mit U, V gemäß (13), (14).
Beweis: Wir müssen zeigen, daß alle Terme in (14), in denen ein Faktor km vorkommt,
bis zur Ordnung O(m2 ) verschwinden.
Zur Ordnung ∼ m0 haben diese Terme die Form
· · · k0 B (s0 B)n p0
, n≥0
,
wobei die Pünktchen ¨‘· · ·¨’ für einen beliebigen Vorfaktor stehen. Nach Umschreiben gemäß
(E.16) enthält jeder der beiden Summanden einen Faktor
k0 A
/ (s0 A
/)n p0
(E.17)
mit A
/=A
/L/R , der nach mehrfacher Anwendung von (E.8) und (E.6) verschwindet:
"
(−iΛ)n+1
(−iΛ)n
p0 = k0 i∂/,
= k0 A
/
n!
(n + 1)!
#
p0 = 0
Wir kommen zu den Summanden ∼ m in (14). Da die Anzahl der Faktoren km immer
gerade ist, genügt es, den Fall #Q ≥ 2 zu betrachten. Damit bleibt zu zeigen, daß die
Produkte
n
· · · k0 B (s0 B)n p0
(E.18)
p
(1)
q
(E.19)
p
(1)
q
(E.20)
· · · k0 B (s0 B) k0 (s0 B) s
· · · k0 B (s0 B) k
B (s0 B) p0
B (s0 B) p0
null sind. Die Ausdrücke (E.18) und (E.19) enthalten den Faktor (E.17) bzw.
"
(−iΛ)n+1
i∂/,
(n + 1)!
n
k0 A
/ (s0 A
/) k0 = k0
#
k0 = 0
und fallen weg. Bei (E.20) verwendet man die Umformungen
p
k0 B (s0 B) k
(1)
q
B (s0 B) p0 = k0
"
= −k0
(iΛ)p+1
i∂/,
(p + 1)!
#
k
(1)
"
(−iΛ)q+1
i∂/,
(q + 1)!
#
(−iΛ)q+1
(iΛ)p+1
(i∂/) k(1) (i∂/)
p0
(p + 1)!
(q + 1)!
134
p0
und (i∂/) k(1) (i∂/) = i∂/ k0 = 0.
2
Lemma E.1.4 Für den Störoperator (E.15) gilt
χL V pm = χL eiΛL p0
iΛL
+ m χL 1 − e
−iΛL
s0 e
(E.21)
A
/L p
(1)
(E.22)
/L s(1) A
− m χL 1 − eiΛL s0 e−iΛL A
/R eiΛR p0 + O(m2 ) .
(E.23)
Für die rechtshändige Komponente gilt die analoge Gleichung, wenn man die Indizes L, R
vertauscht.
Beweis: Wir betrachten nur die linkshändige Komponente, die rechtshändige folgt analog.
Nach Lemma E.1.3 genügt es, den Operator U gemäß (13) zu berechnen. Zur Ordnung
∼ m0 haben wir nach (E.10)
χL U p 0 = χL
∞
X
l=0
= χL
(−s0 B)l p0 = χL
∞
X
(iΛL )l
l!
l=0
∞
X
(−s0 A
/L )l p0
l=0
p0 = χL eiΛL p0
.
Den Beitrag ∼ m können wir in der Form
(χL U pm )(1) = χL
∞
X
l=0
(−s0 B)l p(1) + χL
= χL p(1) + χL
∞
X
∞
X
(−s0 B)n (−s(1) B) (−s0 B)m p0
m,n=0
(−s0 A
/L )n p(1)
n=1
+ χL
+ χL
∞
X
(−s(1) A
/R ) (−s0 A
/R )m p0
m=0
∞
X
(−s0 A
/L )n (−s(1) A
/R ) (−s0 A
/R )m−1 p0
n,m=1
umschreiben und erhalten mit (E.12), (E.10)
= χL p(1) − χL
− χL
+ χL
∞
X
∞ n−1
X
X (iΛL )p
n=1 p=0
s(1) A
/R
n=0
∞ n−1
X
X
n,m=1 p=0
p!
s0
(−iΛL )n−p−1
A
/ p(1)
(n − p − 1)! L
(iΛR )n
p0
n!
(iΛR )m−1
(−iΛL )n−p−1
(iΛL )p
s0
A
/L s(1) A
/R
p0
p!
(n − p − 1)!
(m − 1)!
Durch Umordnen der Reihen folgt die Behauptung.
Nach diesen Vorbereitungen können wir auch p̃m , k̃m berechnen:
135
.
2
Satz E.1.5 Für p̃m , k̃m gilt mit der symbolischen Ersetzung Cm = pm oder Cm = km
χL C̃m = χL eiΛL C0 e−iΛL
/L C (1) 1 − A
+m χL 1 − eiΛL s0 e−iΛL A
/R eiΛR s0 e−iΛR
/L s(1) A
/R eiΛR C0 e−iΛR
−m χL 1 − eiΛL s0 e−iΛL A
−m χL eiΛL C0 e−iΛL A
/L s(1) 1 − A
/R eiΛR s0 e−iΛR
+ O(m2 ) .
(E.24)
Für die rechtshändige Komponente gilt die analoge Gleichung, wenn man die Indizes L,
R vertauscht.
Beweis: Nach Lemma E.1.3 und (13) gilt
C̃m = V Cm V ∗ =
∞
X
(−sm B)p Cm (−B sm )q + O(m2 )
.
(E.25)
p,q=0
Bei der Entwicklung dieser Gleichung nach m können wir den Beitrag ∼ m0 direkt aus
(E.21) zusammensetzen.
Zur Ordnung ∼ m treten drei verschiedene Beiträge auf: Wenn für einen der ersten
p Faktoren s in (E.25) der Operator s(1) eingesetzt wird, haben wir für V den Ausdruck
(E.23), für V ∗ dagegen (E.21) zu verwenden. Falls einer der letzten q Faktoren s linear in
m ist, erhalten wir entsprechend für V (E.21) und für V ∗ (E.23). Im Fall, daß in (E.25)
der Operator C (1) auftritt, müssen wir sowohl für V als auch für V ∗ den Term (E.22)
benutzen.
2
Um Gleichung (E.24) besser interpretieren zu können, wollen wir eine Entwicklung um
den Lichtkegel durchführen.
Lemma E.1.6 Es sei E(x) ein beliebiges Matrixfeld und A
/ = (∂/Λ), B
/ = (∂/φ). Mit der
symbolischen Ersetzung Cm = pm oder Cm = km gilt
s
(1)
E C0 (x, y) =
s0 E C (1) (x, y) =
s0 B
/ s(1) A
/ C0 (x, y) =
1
−
4
Z
∞
−∞
dλ ǫ(λ) (φ(z) A
/(z) + Λ(z)B
/(z)) ξ/ C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
C0 B
/ s(1) A
/ s0 (x, y) =
1
−
4
Z
∞
−∞
Z
1
4
Z
∞
−∞
∞
−∞
1
φ(x)
4
(E.28)
dλ ǫ(1 − λ) B
/(z) ξ/ C (1) (x, y) Λ(y)
dλ ǫ(1 − λ) (φ(z) A
/(z) + Λ(z)B
/(z)) ξ/ C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
s0 B
/ C (1) A
/ s0 (x, y) =
1
+
4
Z
i ∞
dλ ǫ(λ) E ξ/ C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
(E.26)
4 −∞
Z ∞
i
dλ ǫ(λ) ξ/ E(z) C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |)) (E.27)
4 −∞
Z ∞
1
φ(x)
dλ ǫ(λ) A
/(z) ξ/ C (1) (x, y)
4
−∞
Z
∞
−∞
dλ ǫ(1 − λ) A
/(z) ξ/ C (1) (x, y)
dλ ǫ(λ) B
/(z)) ξ/ p(1) (x, y) Λ(y) + O(ln(|ξ 2 |))
wobei zur Abkürzung z = λy + (1 − λ)x gesetzt wurde.
136
(E.29)
,
(E.30)
Beweis: Nach (D.3), (C.29), (C.60) und (A.60) haben wir
s(1) E p0 (x, y) = (S0 E χ0 (i∂/)) (x, y)
= −
Z
i
4
=
Z
y
∂
i
∨ Eγ j
4
j
16π ∂y x
∞
−∞
dλ ǫ(λ) E(z) ξ/ p(1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
.
Damit folgt (E.26) für Cm = pm , Gleichung (E.27) folgt analog.
Nach (A.2), (A.3) und (C.3) gilt
Z
i
16π 3
(S0 E K0 )(x, y) =
d4 z l(z) (ly∨ (z) − ly∧ (z)) E(z) =
Z
y
i
× Ê
3
16π
x
mit Ê(z) = ǫ(z 0 − x0 ) A(z). Unter Verwendung von (C.8), (A.65) erhält man
s(1) E k0 (x, y) = (S0 E K0 (i∂/)) (x, y)
Z
∞
1
dλ Ê(z) ξ/ + O(ξ 0 )
= −
l(ξ)
16π 2
−∞
Z ∞
1
0
dλ ǫ(λ) E(z) ξ/ + O(ξ 0 )
l(ξ) ǫ(ξ )
= −
16π 2
−∞
Z ∞
i
=
dλ ǫ(λ) E(z) ξ/ k(1) (x, y) + O(ξ 0 )
.
4 −∞
Das ist (E.26) für den Fall Cm = km , Gleichung (E.27) kann man genauso ableiten.
Zum Beweis von (E.28) wenden wir nacheinander (E.26) und (E.27) an:
s0 B
/s
=
(1)
i
4
= −
A
/ C0 (x, y) =
Z
Z
d4 u s0 (x, u) B
/(u)
1
16
Z
+ O(ln(|ξ 2 |))
∞
dβ ǫ(β)
−∞
Z
d4 u s0 (x, u) B
/(u) (s(1) A
/ C0 )(u, y)
Z
∞
−∞
dα ǫ(α) A
/(αy + (1 − α)u) (y/ − u/) C (1) (u, y)
∞
−∞
dα ǫ(α) ξ/ B
/(βy + (1 − β)x)
×A
/((α + (1 − α)β)y + (1 − α)(1 − β)x) (1 − β) ξ/ C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
Nach der Variablentransformation α → α + (1 − α)β erhält man
1
= −
16
Z
∞
dβ ǫ(β)
−∞
Z
∞
−∞
dα ǫ(α − β) ξ/ B
/(βy + (1 − β)x)
×A
/(αy + (1 − α)x) ξ/ C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
.
Wir setzen die Relation
ξ/ v/w/ ξ/ = 2 vj ξ j w/ξ/ − 2 wj ξ j v/ξ/ + O(ξ 2 )
ein und integrieren jeweils in einer der Variablen α, β partiell:
= −
1
8
Z
∞
−∞
dβ
Z
∞
−∞
dα ǫ(β) ǫ(α − β)
d
φ(βy + (1 − β)x))
dβ
137
(E.31)
×A
/(αy + (1 − α)x) ξ/ C (1) (x, y)
Z ∞
d
1 ∞
Λ(αy + (1 − α)x))
dβ
dα ǫ(β) ǫ(α − β)
+
8 −∞
dα
−∞
Z
Z
×B
/(βy + (1 − β)x) ξ/ C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
1 ∞
dα ǫ(α) φ(αy + (1 − α)x) A
/(αy + (1 − α)x) ξ/ C (1) (x, y)
4 −∞
Z
1 ∞
dα ǫ(α) φ(x) A
/(αy + (1 − α)x) ξ/ C (1) (x, y)
+
4 −∞
Z
1 ∞
dβ ǫ(β) Λ(βy + (1 − β)x) B
/(βy + (1 − β)x) ξ/ C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
−
4 −∞
= −
Gleichung (E.29) folgt aus (E.28) durch Bildung der Adjungierten. Der Beweis von (E.30)
verläuft ähnlich wie die Herleitung von (E.28)
Z
s0 B
/ C (1) A
/ p0 (x, y) =
=
i
4
Z
1
= −
16
4
d4 u s0 (x, u) B
/(u) (C (1) A
/ s0 )(u, y)
d u s0 (x, u) B
/(u)
+ O(ln(|ξ 2 |))
Z
∞
dβ ǫ(β)
−∞
Z
Z
∞
−∞
dα ǫ(α) A
/(αu + (1 − α)y) (y/ − u/) C (1) (u, y)
∞
−∞
dα ǫ(α) ξ/ B
/(βy + (1 − β)x)
×A
/((1 − α + αβ)y + (α − αβ)x) (1 − β) ξ/ C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |)) .
Wir führen die Variablentransformation α → 1 − α + αβ durch, setzen (E.31) ein und
integrieren partiell:
1
= −
16
=
Z
∞
dβ ǫ(β)
−∞
Z
Z
∞
−∞
dα ǫ(1 − α) ξ/ B
/(βy + (1 − β)x)
×A
/(αy + (1 − α)x) ξ/ C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
∞
1
dα ǫ(1 − α) A
/(αy + (1 − α)x) ξ/ C (1) (x, y)
φ(x)
4
−∞
Z ∞
1
dβ ǫ(β) B
/(βy + (1 − β)x) ξ/ C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
+ Λ(y)
4
−∞
.
2
Satz E.1.7 Für p̃m , k̃m gilt mit der symbolischen Ersetzung Cm = km oder Cm = pm
C̃m (x, y) = χL eiΛL (x)−iΛL (y) Cm (x, y) + χR eiΛR (x)−iΛR (y) Cm (x, y)
Z y
m
iΛL (x)−iΛR (y)
− χL e
∂/ e−iΛL +iΛR ξ/ C (1) (x, y)
2
Zxy m
iΛR (x)−iΛL (y)
∂/ e−iΛR +iΛL ξ/ C (1) (x, y)
− χR e
2
x
+ O(ln(|ξ 2 |)) + O(m2 )
.
(E.32)
(E.33)
(E.34)
Beweis: Es genügt wieder, die linkshändige Komponente zu betrachten, die rechtshändige
folgt durch Vertauschung der Indizes L, R. Durch Ausmultiplizieren von (E.24) erhält
138
man
χL C̃m = χL eiΛL C0 e−iΛL + m χL C (1)
− m χL eiΛL
s0 A
/L e−iΛL C (1) + C0 A
/L e−iΛL s(1)
/R eiΛR s0
/L e−iΛL s(1) A
/R eiΛR s0 + C0 A
s0 A
/L e−iΛL C (1) A
/R s0 + s(1) eiΛR A
/R C0 e−iΛR
− m χL C (1) eiΛR A
+ m χL eiΛL
+s0 A
/L e−iΛL s(1) A
/R eiΛR C0 e−iΛR + O(ln(|ξ 2 |)) + O(m2 ) .
(E.35)
Nach Einsetzen der asymptotischen Entwicklungen von Lemma E.1.6 folgt
χL C̃m (x, y) = χL eiΛL (x)−iΛL (y) C0 (x, y) + m χL C (1) (x, y)
Z y
im
χL eiΛL (x)
ξ/ A
/L e−iΛL C (1) (x, y)
−
2
x
Z
y
im
−iΛR (y)
−
A
/R ξ/ eiΛR C (1) (x, y)
χL e
2
x
Z y
im
χL eiΛL (x)−iΛR (y)
/R − A
/L ) ξ/ C (1) (x, y)
e−iΛL +iΛR (A
−
2
x
Z y
im
+
A
/R ξ/ eiΛR C (1) (x, y)
χL e−iΛR (x)
2
Z yx
im
A
/L ξ/ e−iΛL C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
χL eiΛL (x)
−
2
x
und somit die Behauptung.
2
Dieses Ergebnis kann man auch direkt einsehen: Der Beitrag (E.32) beschreibt eine
Phasentransformation der Distribution Cm (x, y), die Summanden (E.33), (E.34) modifizieren das Transformationsverhalten von C (1) . Im Spezialfall ΛL = ΛR verschwinden
(E.33), (E.34); aus (E.32) erhalten wir das übliche Verhalten bei U (1)-Phasentransformationen der Elektrodynamik.
Im allgemeineren Fall ΛL 6= ΛR führt (E.32) zusätzlich zu einer relativen Phasenverschiebung der links- und rechtshändigen Komponente. Um zu verstehen, warum nun die
Beiträge (E.33), (E.34) benötigt werden, berechnen wir die Adjungierte von (E.32):
χL eiΛL Cm e−iΛL + χR eiΛR Cm e−iΛR
=
∗
(x, y)
eiΛL Cm e−iΛL χR + eiΛR Cm e−iΛR χL (x, y)
= χL eiΛL (x)−iΛL (y) C0 (x, y) + χR eiΛR (x)−iΛR (y) C0 (x, y)
+ m χL eiΛR (x)−iΛR (y) C (1) (x, y) + m χR eiΛL (x)−iΛL (y) C (1) (x, y)
+ O(m2 )
(E.36)
Bei dem in m linearen Beitrag hat sich die links- und rechtshändige Komponente gerade
vertauscht. Wir sehen also, so daß (E.32) allein nicht hermitesch ist. Mit Hilfe der
Relationen
Z
y
x
Z
y
x
∂/ e−iΛL +iΛR ξ/ = −
= −
Z
y
x
Z
y
x
ξ/ ∂/ e−iΛL +iΛR + 2
Z
y
x
ξ j ∂j e−iΛL +iΛR
ξ/ ∂/ e−iΛL +iΛR + 2e−iΛL (y)+iΛR (y) − 2e−iΛL (x)+iΛR (x)
∂/ e−iΛR +iΛL ξ/ = −
Z
y
x
(E.37)
ξ/ ∂/ e−iΛR +iΛL + 2e−iΛR (y)+iΛL (y) − 2e−iΛR (x)+iΛL (x)
139
können wir C̃m umformen:
C̃m (x, y) = χL eiΛL (x)−iΛL (y) C0 (x, y) + χR eiΛR (x)−iΛR (y) C0 (x, y)
iΛR (x)−iΛR (y)
(1)
iΛL (x)−iΛL (y)
+ m χL e
C (x, y) + m χR e
Z y m
iΛL (x)−iΛR (y)
ξ/ ∂/ e−iΛL +iΛR C (1) (x, y)
χL e
+
2
Zxy m
iΛR (x)−iΛL (y)
ξ/ ∂/ e−iΛR +iΛL C (1) (x, y)
χR e
+
2
x
+ O(ln(|ξ 2 |)) + O(m2 )
C
(1)
(x, y)
(E.38)
(E.39)
(E.40)
(E.41)
Der Beitrag (E.36) stimmt mit (E.38)+(E.39) überein, die Adjungierten von (E.40) und
(E.41) sind gerade (E.34) bzw. (E.33). Unser Ausdruck für C̃m wird also erst durch die
Beiträge (E.33), (E.34) hermitesch. Mit dieser Überlegung können wir auch alle Vorzeichen
und Vorfaktoren in E.1.7 kontrollieren.
E.1.2
Nichtabelsche Eichpotentiale
Wir wollen nun die Ergebnisse von Satz E.1.7 auf den allgemeineren Operator (E.4) erweitern. Im Gegensatz zum vorigen Abschnitt arbeiten wir hier nicht mit der Transformation
V , sondern berechnen zunächst s̃∨
m gemäß (17). Daraus erhalten wir mit Hilfe von (18)
k̃m und mit einem Analogieargument auch p̃m .
Der Grund für dieses Vorgehen liegt darin, daß im Operator V nichtlokale Linienintegrale auftreten. Auf die damit verbundenen Probleme werden wir erst in Abschnitt E.1.3
eingehen.
Im folgenden bezeichne A
/ bei einer Spindimension von 4n stets ein Matrixfeld der Form
A
/(x) = γj (Ajab )a,b=1,...,n
.
Lemma E.1.8 Es gelten die asymptotischen Entwicklungen
(s∨
0
A
/ s∨
0 )(x, y)
= i
Z
y
x
Aj ξ j s∨
0 (x, y)
(E.42)
Z
y
1
(2α − 1) ξ j γ k Fkj s∨
(1) (x, y)
2 x
Z y
1
−
(α2 − α) ξ/ξ k jk s∨
(1) (x, y)
2 x
Z y
i
0
εijkl Fij ξk ργl s∨
+
(1) (x, y) + O(ξ )
4 x
Z
i y
∨
0
(s∨
A
/
s
)(x,
y)
=
ξ/A
/ s∨
0
(1)
(1) (x, y) + O(ξ )
2 x
Z
i y
0
∨
A
/ ξ/ s∨
(s∨
A
/
s
)(x,
y)
=
0
(1) (x, y) + O(ξ )
(1)
2 x
+
mit Fjk = ∂j Ak − ∂k Aj , j k = F jk
,l .
(Zur übersichtlicheren Notation schreiben wir bei s∨ den Index
Konvention nach unten.)
140
(1)
(E.43)
(E.44)
(E.45)
(E.46)
(E.47)
entgegen der sonstigen
Beweis: Nach (11) und (3), (4) gilt
i
1
i∂/x l∨ (y − x) =
ξ/ m∨ (ξ)
2π
π
1 ∨
s∨
l (y − x)
(1) (x, y) = −
2π
s∨
0 (x, y) = −
und somit
(s∨
0
Z
1
= − 2 ∂/x
d4 z l∨ (z − x) A
/(z) l∨ (y − z) ∂/y
4π
Z y
1 i j k ∂ ∂
.
γγ γ
3 Aj
=
4π 2
∂xi ∂y k x
A
/ s∨
0 )(x, y)
Das stimmt bis auf einen Faktor 2π / ie mit (A.84) überein. Aus (A.89)-(A.92) folgt
Gleichung (E.42)-(E.45). Zum Beweis von (E.46) wenden wir Satz A.1.15 an
(s∨
0
A
/ s∨
(1) )(x, y)
Z
y
i
=
∂
/
3
A
/
4π 2 x x
Z y
i
ξ/A
/ l∨ (ξ) + O(ξ 0 )
= −
4π x
,
(E.47) folgt analog.
2
Bei der iterativen Anwendung dieser Formeln treten zeitgeordnete Linienintegrale auf:
Def. E.1.9 Wir definieren
T
Z
y
x
Texp
Z
n
Aj (y − x)j
y
x
Aj (y − x)j
=
Z
y
dz1
x
Z
z1
x
dz2 · · ·
Z
zn−1
x
jn
dzn
× Ajn (zn ) (zn − x) · · · Aj1 (z1 ) (z1 − x)j1
=
∞
X
T
n=0
Z
y
x
Aj (y − x)j
n
.
(E.48)
(E.49)
Wir stellen die wichtigsten Eigenschaften der zeitgeordneten Integrale zusammen:
Lemma E.1.10 Die Reihe (E.49) konvergiert absolut. Es gelten die Differentialgleichungen
Z
Z
n−1
n
y
y
∂
j
j
ξ
Ak (y) ξ k , n ≥ 1
A
ξ
=
T
A
ξ
T
j
j
∂y k
x
x
Z y
Z y
k ∂
j
j
ξ
Aj ξ
Ak (y) ξ j
Aj ξ
= Texp
Texp
∂y k
x
x
k
(E.50)
(E.51)
mit den Randbedingungen
T
Z
x
j
Aj (x − x)
x
Texp
Z
x
x
(
n
=
j
= 1
Aj (x − x)
141
1 für n = 0
0 sonst
.
(E.52)
(E.53)
Durch (E.50)-(E.53) sind die zeitgeordneten Integrale vollständig charakterisiert. Für drei
Punkte x, y, z, die auf einer Geraden liegen, gilt
Texp
Z
z
j
Aj (z − x)
x
· Texp
Z
y
k
Ak (y − z)
z
= Texp
Z
y
j
Aj (y − x)
x
.
(E.54)
Für die Adjungierten (der Matrizen) hat man
Z
y
Aj (y − x)j )n
T(
x
Z
y
j
∗
∗
Aj (y − x) )
Texp(
x
= T −
Z
x
y
= Texp −
Aj (x − y)j
Z
x
y
n
j
Aj (x − y)
(E.55)
.
(E.56)
Beweis: Nach Wahl einer Parametrisierung zj = λj y + (1 − λj )x gilt
T
Z
y
x
Aj ξ
j
n
Z
=
1
0
dλ1
Z
λ1
0
dλ2 · · ·
Z
λn−1
0
dλn Ajn (zn ) ξ jn · · · Aj1 (z1 ) ξ j1
.
Damit haben wir die zeitgeordneten Integrale auf die Dysonreihe zurückgeführt; der einzige
Unterschied bei unserer Definition besteht darin, daß die ¨‘späteste¨’ Matrix A(z1 ) ganz
rechts (und nicht ganz links) steht. Die Konvergenz von (E.49) folgt mit der Abschätzung
Z
T(
y
x
1
Aj ξ ) ≤ n!
j n
n
sup Aj (λy + (1 − λ)y) ξ j λ∈[0,1]
.
(E.57)
Die Differentialgleichungen (E.50), (E.51) sowie (E.52), (E.53) erhält man nach der Umformung
ξk
∂
T
∂y k
Z
y
x
Aj ξ j
n
=
d
ds |s=1
Z
s
dλ1
0
Z
λ1
0
dλ2 · · ·
Z
λn−1
0
dλn Ajn (zn ) ξ jn · · · Aj1 (z1 ) ξ j1
genau wie bei der Dysonreihe, (E.54) ist eine Konsequenz von (E.51), (E.53). Zum Beweis
von (E.55) muß man eine Variablentransformation durchführen, wir betrachten exemplarisch den Fall n = 2. Wir haben
Z
y
T(
x
Aj (y − x)j )2
∗
=
Z
1
dλ1
0
=
Z
0
1
dλ̄1
mit z̄j = λ̄j y + (1 − λ̄j )x und somit
=
Z
1
0
dλ̄2
Z
λ̄2
0
Z
Z
λ1
0
1
λ̄1
dλ2 A∗j1 (z1 ) A∗j2 (z2 ) ξ j1 ξ j2
dλ̄2 A∗j1 (z̄1 ) A∗j2 (z̄2 ) ξ j1 ξ j2
dλ̄1 A∗j1 (z̄1 ) A∗j2 (z̄2 ) ξ j1 ξ j2 = T −
Z
y
x
Aj (x − y)j
2
Gleichung (E.56) folgt aus (E.55) durch Summation über n.
.
2
Durch Bildung der Adjungierten von (E.50), (E.51) erhält man die Differentialgleichungen
Z
Z
n−1
n
y
y
∂
j
k
j
A
ξ
=
−A
(x)
ξ
T
A
ξ
T
j
j
k
∂xk
x
x
Z y
Z y
∂
ξ k k Texp
Aj ξ j
Aj ξ j
= −Aj (x) ξ j Texp
∂x
x
x
ξk
142
,n ≥ 1
.
(E.58)
(E.59)
R
Für die Ableitung von Texp( xy Aj ξ j ) in Richtung des Vektors y−x gelten die einfachen
Regeln (E.51) und (E.59). Für partielle Ableitungen haben wir i.a. keine entsprechenden
einfachen Gleichungen, also insbesondere
Z
Z
y
y
∂
Aj ξ j Ak (y)
Aj ξ j
6= Texp
Texp
k
∂y
x
x
Z y
Z y
∂
j
j
A
ξ
A
ξ
6
=
−A
(x)
Texp
Texp
j
j
k
∂xk
x
x
.
Für eine übersichtliche Notation ist ein solcher “Ableitungsoperator” dennoch nützlich:
Def. E.1.11 Wir vereinbaren die Schreibweise
∂ˆ/y Texp
∂ˆ/x Texp
Z
y
Zxy
x
Aj ξ j
Aj ξ j
:= Texp
Z
y
x
Aj ξ j
:= −A
/(x) Texp
Z
y
x
A
/(y)
Aj ξ j
.
Auf alle anderen Funktionen wirkt ∂ˆ/ wie der Operator ∂/, also beispielsweise
∂ˆ/z Texp
Z
z
x
:= Texp
Aj (z − x)j
Z
z
x
f (z) Texp
Aj (z − x)j
Z
y
z
Bk (y − z)j
(A
/ f + (∂/f ) − f B
/)|z Texp
Z
z
y
Bk (y − z)k
.
Wir verwenden für das zeitgeordnete Exponential (E.49) auch die kürzere Schreibweise
Ry
Te
x
Aj ξ j
.
Lemma E.1.12 Es gilt die asymptotische Entwicklung
χL s̃∨
m (x, y) = χL Texp −i
Z
Z
y
x
AjL ξj
s∨
m (x, y)
Ry b
Rz a
y
1
− χL
dz (2α − 1) Te−i x AL (z−x)a ξj γk FLkj Te−i z AL (y−z)b s∨
(1) (x, y)
2
x
Z y
Ry b
Rz a
1
+ χL
dz (α2 − α) Te−i x AL (z−x)a ξ/ ξk jLk Te−i z AL (y−z)b s∨
(1) (x, y)
2
x
Z y
Ry b
Rz a
i
dz Te−i x AL (z−x)a εijkl FLij ξ k ργ l Te−i z AL (y−z)b s∨
− χL
(1) (x, y)
4
Zx y
Ry b
Rz a
m
/L (z) + iA
/R (z)) ξ/ Te−i z AR (y−z)b s∨
dz Te−i x AL (z−x)a (−iA
− χL
(1) (x, y)
2
x
+O(ξ 0 ) + O(m2 )
mit
FLjk = ∂ j AkL − ∂ k AjL − i[AjL , AkL ]
h
kl
jLk = gml ∂ m − iAm
L , FL
i
(E.60)
.
(E.61)
Für die rechtshändige Komponente hat man die analoge Gleichung, wenn man die Indizes
L, R vertauscht.
143
Beweis: Wir entwickeln die einzelnen Summanden der Gleichung
∞
X
χL s̃∨
m (x, y) = χL
−s∨
mB
n=0
n
s∨
m
(E.62)
nach Potenzen von m und wenden iterativ Lemma E.1.8 an. Zur Ordnung O(ln(|ξ 2 |))
brauchen wir nach Lemma E.0.3 nur die drei folgenden Fälle zu berücksichtigen:
∨ ∨
a) Alle Faktoren s∨ in (E.62) sind s∨
0 , und bei der asymptotischen Entwicklung von s0 .s0
tritt immer der führende Beitrag (E.42) auf.
∨ ∨
b) Alle Faktoren s∨ in (E.62) sind s∨
0 , und bei der asymptotischen Entwicklung von s0 .s0
tritt genau einmal der Beitrag (E.43)-(E.45) auf.
c) Genau ein Faktor s∨ in (E.62) ist m s(1) , und bei der asymptotischen Entwicklung von
∨
s∨
0 . s0 tritt immer der Beitrag (E.42) auf.
Wir betrachten diese Fälle nacheinander, mit ¨‘≍¨’ bezeichnen wir die jeweils auftretenden
Beiträge:
Zu a) Wir haben
n ∨
∨
χL (−s∨
/L )n s∨
0 B) s0 (x, y) = χL (−s0 A
0 (x, y)
Z
= −χL
≍ χL
Z
d4 z s∨
/L s∨
/L s∨
0 A
0 (x, z) −A
0
d4 z s∨
0 (x, z)
= · · · = χL
= χL T −i
Z
Z
−i
Z
z
x
AjL (z − x)j
d4 z s∨
0 (x, z) T −i
y
x
AjL ξj
n
Z
z
n−1
(z, y)
−A
/L s∨
0
AjL (z − x)j
x
s∨
0 (x, y)
n−1
p
(z, y)
−A
/L s∨
0
.
n−p
(z, y)
Nach Summation über n erhält man
χL s̃∨
m (x, y)
≍ χL Texp −i
Z
y
x
AjL ξj
s∨
0 (x, y)
.
(E.63)
Zu b) Wir nehmen an, daß mit n = p + q + 1, p, q ≥ 0 bei dem (p + 1)-ten Faktor B die
niedrigeren Entwicklungsterme (E.43)-(E.45) auftreten. Mit analogen Umformungen
wie unter a) erhält man den Ausdruck
χL
(−s∨
0
n
B)
s∨
0 (x, y)
≍ χL
Z
4
d z
s∨
0 (x, z)
× T −i
Z
T −i
y
z
Z
z
x
AjL
AkL (y − z)k
(z − x)j
q
p
A
/L (z)
s∨
0 (z, y)
.
Wir summieren über p, q
χL s̃∨
m (x, y)
≍ χL
Z
4
d z
s∨
0 (x, z)
Texp −i
× Texp −i
144
Z
z
y
Z
z
x
AjL
(z − x)j
AkL (y − z)k
A
/L (z)
s∨
0 (z, y)
(E.64)
und bestimmen die Entwicklungsterme (E.43)-(E.45). Bei der Berechnung von Fjk ,
j k muß man beachten, daß auch die zeitgeordneten Integrale in (E.64) differenziert
werden müssen. Diese Ableitungen können zunächst nicht ausgeführt werden, nach
Kontraktion mit ξ j ist aber (E.50) anwendbar, und es ergeben sich für Feldstärke
und Strom die Ausdrücke (E.60), (E.61).
Zu c) Für p, q ≥ 1 gilt
p ∨
∨ q
χL (−s∨
0 B) s(1) (−B s0 )
(x, y)
q
/L )p s∨
/R s∨
= χL (−s∨
0 A
0)
(1) (−A
≍ χL
Z
4
d z1
Z
4
d
z2 s∨
0 (x, z1 )
(x, y)
T −i
× s∨
/R (z2 ) T −i
(1) (z1 , z2 ) A
Z
Z
z1
x
y
z2
AjL
(z1 − x)j
AjL (y − z2 )j
p−1
q−1
A
/L (z1 )
s∨
0 (z2 , y)
.
Wenn p oder q verschwinden, haben wir eine analoge Gleichung. Summation über
p, q liefert
χL s̃∨
m (x, y) ≍ m χL
∞ X
p,q=0
= χL s ∨
(1) (x, y) − χL
−χL
+χL
Z
Z
4
q
/L )p s∨
(−s∨
/R s∨
(x, y)
0 A
0)
(1) (−A
d z
s∨
0 (x, z)
d4 z1
Z
Z
d4 z s∨
/R (z) Te−i
(1) (x, z) A
−i
Te
Rz
x
AjL (z−x)j
Z
z
AjR (y−z)j
s∨
0 (z, y)
A
/L (z) s∨
(1) (z, y)
d4 z2 s∨
0 (x, z1 ) Texp −i
× s∨
/R (z2 ) Texp −i
(1) (z1 , z2 ) A
Ry
y
z2
Z
z1
x
AjL (z1 − x)j
AkL (y − z2 )k
A
/L (z1 )
s∨
0 (z2 , y) .
(E.65)
Wir wenden nacheinander (E.46), (E.47) an und vereinfachen die Diracmatrizen mit
(E.31). Mit Hilfe von (E.51), (E.59) können wir die Faktoren A
/jL/R ξj als Ableitung
umschreiben und partiell integrieren.
2
Man beachte, daß man für Fij , j k jetzt der Ausdruck der nichtabelschen Eichtheorien
auftritt. Das ist natürlich kein Zufall, sondern war nach dem bekannten Eichtransformationsverhalten von s∨
m zu erwarten.
Nach der Definitionsgleichung (18) erhalten wir aus Lemma E.1.12 unmittelbar auch
eine asymptotische Entwicklung für k̃m . Um auch eine Gleichung für p̃m abzuleiten,
benötigen wir folgendes Lemma:
Lemma E.1.13 Es sei E(x) ein beliebiges Matrixfeld. Die asymptotischen Entwicklungsformeln bis zur Ordnung O(ln(|ξ 2 |) der Distributionen in jeder Zeile von
(k0 E p0 )(x, y)
(k(1) E p0 )(x, y)
(k0 E p(1) )(x, y)
(s0 E p0 )(x, y)
,
,
,
,
(k0 E k0 )(x, y)
(k(1) E k0 )(x, y)
(k0 E k(1) )(x, y)
(s0 E k0 )(x, y)
unterscheiden sich jeweils nur durch die symbolische Ersetzung p ↔ k.
145
Beweis: Nach (A.2), (A.3) und (C.1) haben wir die Gleichungen
Z
y
i
∨
Ê
(K0 E P0 )(x, y) = −
16π 5Z x
y
1
(S0 E P0 )(x, y) =
∨
E
16π 4 x
Z
y
1
E
×
16π 4 xZ
y
i
×
(S0 E K0 )(x, y) = −
Ê
16π 3 x
,
(K0 E K0 )(x, y) =
,
mit Ê(z) = ǫ(z 0 − x0 ) E(z). Die gesuchten Distributionen erhält man daraus durch Differentiation. Die Behauptung folgt aus der Analogie der Ableitungsregeln C.1.5, C.1.18 in
Verbindung mit den asymptotischen Entwicklungsformeln von Satz C.1.25.
2
Satz E.1.14 Für p̃m , k̃m gilt mit der symbolischen Ersetzung Cm = km oder Cm = pm
χL C̃m (x, y) = χL Texp −i
Z
Z
y
x
AjL ξj
Cm (x, y)
Ry b
Rz a
y
1
dz (2α − 1) Te−i x AL (z−x)a ξj γk FLkj Te−i z AL (y−z)b C (1) (x, y)
− χL
2
Zxy
Ry b
Rz a
1
+ χL
dz (α2 − α) Te−i x AL (z−x)a ξ/ ξk jLk Te−i z AL (y−z)b C (1) (x, y)
2
Zxy
Ry b
Rz a
i
dz Te−i x AL (z−x)a εijkl FLij ξ k ργ l Te−i z AL (y−z)b C (1) (x, y)
− χL
4
Zx y
Ry b
Rz a
m
−i
AL (z−x)a
−i
x
− χL
(−iA
/L (z) + iA
/R (z)) ξ/ Te z AR (y−z)b C (1) (x, y)
dz Te
2
x
+O(ln(|ξ 2 |)) + O(m2 )
(E.66)
mit FLij , jLk gemäß (E.60), (E.61). Für die rechtshändige Komponente hat man die analoge
Gleichung, wenn man die Indizes L, R vertauscht.
Beweis: Für Cm = km ist die Behauptung nach (18) klar.
Für den Fall Cm = pm vergleichen wir (15) und (16): Setzt man in diese Gleichungen
V gemäß (14) ein, ergibt sich für k̃m der Ausdruck (19) und für p̃m entsprechend
p̃m =
∞
X
(−1)l1 +l2
l1 ,l2 =0
X
Q1 ∈ P(l1 ),
#Q1 gerade
X
(iπ)#Q1 +#Q2 c(#Q1 /2) c(#Q2 /2)
Q2 ∈ P(l2 ),
#Q2 gerade
× Am (Q1 , 1) B · · · B Am (Q1 , l1 ) B pm B Am (Q2 , 1) B · · · B Am (Q2 , l2 ) .
(E.67)
Aus (19) erhält man Gleichung (E.66) für den Fall Cm = km , indem man jeden Summanden
iterativ bis zur Ordnung O(ln(|ξ 2 |)) entwickelt und die Summe ausführt. Die Summanden
in (E.67) unterscheiden sich von denjenigen in (19) lediglich dadurch, daß ein Operator
km durch pm ersetzt ist. Nach Lemma E.1.13 und (E.26), (E.27) entspricht das gerade
einer symbolischen Ersetzung von km durch pm in der Endformel.
2
Die abgeleiteten Gleichungen für p̃m , k̃m sind eine Verallgemeinerung von Satz E.1.7. Wir
können wieder explizit überprüfen, daß p̃m , k̃m hermitesch sind; dabei verwendet man
anstelle von (E.37) die Umformung
Z
y
x
dz Te−i
Rz
x
Aa
L (z−x)a
(−iAjL + iAjR ) ξj Te−i
146
Ry
z
AbR (y−z)b
=
Z
y
dz ξ j
x
∂
∂zj
= Texp −i
E.1.3
Z
y
x
Texp −i
AjL ξj
Z
z
x
AaL (z − x)a
− Texp −i
Z
y
x
Texp −i
AjR ξj
Z
z
y
AbR (y − z)b
.
Störungsrechnung mit Massenasymmetrie
Satz E.1.14 läßt sich direkt auf die Störungsrechnung mit Massenasymmetrie übertragen.
Satz E.1.15 Mit der symbolischen Ersetzung C = k oder C = p gilt
χL C̃(x, y) = χL Texp −i
Z
Z
y
x
AjL ξj
C(x, y)
Ry b
y
a
1
− χL
dz (2α − 1) Te−i x AL (z−x)a ξj γk FLkj Te−i z AL (y−z)b C (1) (x, y)
2
Zxy
Ry b
Rz a
1
+ χL
dz (α2 − α) Te−i x AL (z−x)a ξ/ ξk jLk Te−i z AL (y−z)b C (1) (x, y)
2
Zxy
Ry b
Rz a
i
dz Te−i x AL (z−x)a εijkl FLij ξ k ργ l Te−i z AL (y−z)b C (1) (x, y)
− χL
4
Z z
Zx y
m
a
/L (z) Y + iY A
/R (z)) ξ/
AL (z − x)a (−iA
dz Texp −i
− χL
2
x
x
Rz
× Texp −i
+O(ln(|ξ 2 |)) + O(m2 )
Z
z
y
AbR
(y − z)b
C (1) (x, y)
(E.68)
mit FLij , jLk gemäß (E.60), (E.61). Für die rechtshändige Komponente hat man die analoge
Gleichung, wenn man die Indizes L, R vertauscht.
Beweis: Der Beweis von Lemma E.1.12 gilt wörtlich auch mit Massensymmetrie, wenn
wir s∨
m durch
1
s∨ =
(k + s)
2πi
ersetzen. Wir haben
∨
2
s∨ = s∨
,
0 + m Y s(1) + O(m )
so daß sich alle Rechnungen und damit auch das Ergebnis von Lemma E.1.12 bis auf die
zusätzlich auftretende Massenmatrix Y übertragen. Die Behauptung folgt daraus genau
wie Satz E.1.14 mit Hilfe von Lemma E.1.13.
2
E.1.4
Zusätzliche freie Asymmetrie von P
Die Störung von P wird durch die Gleichung
P̃ = V P V ∗
(E.69)
mit V gemäß (14) beschrieben. Bisher haben wir außer in Abschnitt E.1.1 nicht mit dem
Operator V gearbeitet, sondern nur die Störungsrechnung für s∨ untersucht. Wenn P
eine freie Asymmetrie enthält (also, wenn der freie Projektor P die chirale Symmetrie
bricht oder wenn die Massenasymmetrie der Fermionen nicht in der Störungsrechnung
147
berücksichtigt wird) ist das nicht ausreichend, wir müssen den Operator V berechnen und
P̃ mit Hilfe von Gleichung (E.69) bestimmen.
Um die dabei auftretenden Schwierigkeiten zu erläutern, betrachten wir eine Entwicklung bis zur Ordnung O(ξ −2 ). Mit der Abkürzung z = λy + (1 − λ)x und Â(z) =
ǫ(z 0 − x0 ) A(z) gilt
(s0 A
/ p0 )(x, y) = −
=
(k0 A
/ p0 )(x, y) =
=
i
2
1
∂/
16π 4 x
Z
∞
−∞
Z
y
/ ∂/y
∨ A
x
dλ ǫ(λ) Aj (z) ξ j p0 (x, y) + O(ξ −2 )
Z
y
i
∂/x × Â
/ ∂/y
5
16π
x
Z ∞
1
dλ Aj (z) ξ j p0 (x, y) + O(ξ −2 )
2π −∞
.
Durch Iteration erhält man daraus nach einer Variablentransformation
n Z
i
2
((s0 A
/)n p0 ) =
1
2π
(k0 A
/ (s0 A
/)n p0 ) =
∞
dλ1 ǫ(λ1 )
−∞
n Z
i
2
Z
∞
dλ2 ǫ(λ2 − λ1 ) · · ·
−∞
j1
Z
∞
dλn ǫ(λn − λn−1 )
−∞
−2
× Aj1 (z1 ) ξ · · · Ajn ξ jn + O(ξ
Z
∞
dλ0
−∞
∞
dλ1 ǫ(λ1 − λ0 ) · · ·
−∞
Z
)
(E.70)
∞
dλn ǫ(λn − λn−1 )
−∞
−2
× Aj0 (z0 ) ξ j0 · · · Ajn ξ jn + O(ξ
)
(E.71)
mit zj = λj y + (1 − λj )x. Bei der Berechnung von V p0 nach (14) treten also geschachtelte
Integrale auf. Diese nichtlokalen Linienintegrale haben Ähnlichkeit mit den zeitgeordneten Integralen von Definition E.1.9, als wesentlicher Unterschied ist das Integrationsgebiet jetzt aber nicht beschränkt.
Daß in den bereits abgeleiteten Formeln für p̃m , k̃m keine nichtlokalen Linienintegrale
auftreten, hat folgenden Grund: wenn wir beispielsweise die Gleichungen
p̃0 (x, y) = (V p0 V ∗ )(x, y) ,
k̃0 (x, y) = (V k0 V ∗ )(x, y)
nach Potenzen von B entwickeln und die asymptotischen Formeln (E.70), (E.71) einsetzen,
heben sich alle Beiträge der Integrale außerhalb der Verbindungsstrecke xy weg, und man
erhält die zeitgeordneten Integrale (E.48).
Eine allgemeine mathematische Behandlung der nichtlokalen Linienintegrale ist aufwendig
und schwierig. Vor allem deswegen, weil bei der Reihe
∞ Z
X
n=0
∞
dλ1 ǫ(λ1 )
−∞
Z
∞
dλ2 ǫ(λ2 − λ1 ) · · ·
−∞
Z
∞
dλn ǫ(λn − λn−1 ) Aj1 (z1 ) ξ j1 · · · Ajn (zn ) ξ jn
−∞
(E.72)
Konvergenzprobleme auftreten. Die Abschätzung (E.57) für zeitgeordnete Integrale läßt
sich nicht auf (E.72) übertragen. Damit ist nicht klar, ob unsere Störungsentwicklung auch
dann noch im Distributionssinne konvergiert, wenn nichtlokale Linienintegrale auftreten.
Wie in [3] überlegt wurde, müssen die mit der Matrix X nicht kommutierenden Eichpotentiale bei einer Spindimension von 4n die Form
χL iUR (∂/UR−1 ) + χR iUL (∂/UL−1 )
148
(E.73)
mit Matrixfeldern UL/R (x) ∈ U (n) haben. Diese Annahme ist auch eine wesentliche technische Vereinfachung. Wir werden P̃ nur für diesen Spezialfall berechnen.
Im ersten Schritt wollen wir annehmen, daß (E.73) die einzige Störung des Diracoperators ist, also
G = i∂/ + χL iUR (∂/UR−1 ) + χR iUL (∂/UL−1 )
.
(E.74)
Bei vierkomponentigen Wellenfunktionen geht (E.74) in den Operator (E.5) mit
UL/R (x) = eiΛL/R (x)
über.
Satz E.1.16 Mit der symbolischen Ersetzung C = p oder C = k gilt
χL C̃(x, y) = χL UL (x) XL UL−1 (y) C0 (x, y)
+m χL UL (x) XL UL−1 (y) Y C (1) (x, y)
Z ∞
n
m
dλ ǫ(λ) ∂/(UL−1 (z) Y UR (z)) XR ξ/
− χL UL (x)
4
−∞
o
+ ǫ(1 − λ) XL ∂/((UL−1 (z) Y UR (z)) ξ/
+O(ln(|ξ 2 |))
,
UR−1 (y) C (1) (x, y)
wobei wir die Abkürzung z = λy + (1 − λ)x verwenden. Für die rechtshändige Komponente
hat man die analoge Gleichung, wenn man die Indizes L, R vertauscht.
Beweis: Für ein unitäres Matrixfeld U (x) ∈ U (n) erfüllt der Ausdruck U (x) U −1 (y) die
Differentialgleichung
ξj
∂
U (x) U −1 (y) = U (x) U −1 (y) (U (y) ∂j U −1 (y)) ξ j
∂y j
mit Anfangsbedingung U (x) U −1 (x) = 1. Durch Vergleich mit (E.51), (E.53) folgt
Texp
Z
y
x
U (∂j U −1 )
ξ j = U (x) U −1 (y)
.
Für den Diracoperator (E.74) verschwinden außerdem Feldstärke und Noetherstrom (E.60),
(E.61). Damit tragen in Lemma E.1.12 nur die Beiträge (E.63), (E.65) bei, also
∨ −1
χL s̃∨
m = χL UL s0 UL
−1
/UL−1 ) s∨
/UR ) s∨
+ m χL 1 − iUL s∨
+ O(m2 ) .
0 (∂
0 UR
(1) 1 + i(∂
Mit Hilfe von (18) und dem Analogieargument von Lemma E.1.13 folgt für p̃m , k̃m
χL C̃m = χL UL C0 UL−1 + m χL C (1)
− im χL UL s0 (∂/UL−1 ) C (1) + C0 (∂/UL−1 ) s(1)
+ im χL C (1) (∂/UR ) s0 + s(1) (∂/UR ) C0 UR−1
+ m χL UL s0 (∂/UL−1 ) C (1) (∂/UR ) s0 + C0 (∂/UL−1 ) s(1) (∂/UR ) s0
+s0 (∂/UL−1 ) s(1) (∂/UR ) C0 UR−1 + O(ln(|ξ 2 |))
149
.
(E.75)
Dabei muß man beachten, daß die Ausdrücke
k0 (∂/UL−1 ) C (1) (∂/UR ) k0 , C0 (∂/UL−1 ) k(1) (∂/UR ) k0 , k0 (∂/UL−1 ) k(1) (∂/UR ) C0
verschwinden, denn es gilt beispielsweise
k0 (∂/UL−1 ) C (1) (∂/UR ) k0 = −k0 [i∂/, UL−1 ] C (1) [i∂/, UR ] k0
= k0 UL−1 (i∂/)C (1) (i∂/) UR k0 = 0
.
Gleichung (E.75) ist eine unmittelbare Verallgemeinerung von (E.35) auf den nichtabelschen Fall. Wir können (E.75) in der Form
C̃m = V Cm V ∗
(E.76)
mit dem Operator V schreiben, der analog zu Lemma E.1.4 durch
χL V pm = χL UL p0 + m χL 1 − iUL s0 (∂/UL−1 ) p(1)
+ im χL 1 − iUL s0 (∂/UL−1 ) s(1) (∂/UR ) p0 + O(m2 )
(E.77)
gegeben ist, was man genau wie im Beweis von Satz E.1.5 direkt nachrechnen kann.
Der Operator V , (14), ist gerade so konstruiert, daß die Bedingung (E.76) erfüllt
ist. Deswegen ist klar, daß der durch (E.77) gegebene Operator tatsächlich mit (14)
übereinstimmt. Aus diesem Grund können wir Gleichung (E.75) auf die Störungsrechnung
mit Massenasymmetrie für p, k übertragen: die Massenasymmetrie berücksichtigen wir wie
in Satz E.1.15 durch die Ersetzung
s(1) −→ Y s(1)
,
(E.78)
die Asymmetrie in P nach Vergleich von (E.76), (E.69) durch die Ersetzungen
C (1) −→ Y C (1)
C0 −→ X C0 ,
.
(E.79)
Nun führen wir eine asymptotische Entwicklung um den Lichtkegel durch. Dabei können
wir Lemma E.1.6 anwenden, denn die dort abgeleiteten Formeln sind offensichtlich auch
dann gültig, wenn Aj , Bk miteinander nicht kommutierende Matrizen sind. Man erhält
χL C̃(x, y) = χL UL (x) XL UL−1 (y) C0 (x, y) + m χL Y C (1) (x, y)
Z ∞
m
dλ ξ/ ǫ(λ) (∂/UL−1 )(z) Y
+ χL UL (x)
4
−∞
−
m
χL
4
Z
+ ǫ(1 − λ) XL (∂/UL−1 )(z) Y
∞
−∞
dλ (ǫ(λ) Y (∂/UR )(z) XR
m
− χL UL (x)
4
−
m
χL UL (x)
4
Z
∞
Z
C (1) (x, y)
+ ǫ(1 − λ) Y (∂/UR )(z)) ξ/ C (1) (x, y)
dλ ǫ(λ)
−∞
−∞
(E.81)
(E.82)
(UL−1 )(z) Y (∂/UR )(z)
+ (∂/UL−1 )(z) Y UR (z) XR ξ/ UR−1 (y) C (1) (x, y)
∞
(E.80)
dλ ǫ(1 − λ) XL (UL−1 )(z) Y (∂/UR )(z)
150
(E.83)
+
m
χL
4
Z
+ (∂/UL−1 )(z) Y UR (z) ξ/ UR−1 (y) C (1) (x, y)
∞
dλ (ǫ(λ) Y (∂/UR )(z) XR
−∞
m
+ χL UL (x)
4
+O(ln(|ξ 2 ))
Z
(E.84)
+ ǫ(1 − λ) Y (∂/UR )(z)) ξ/ C (1) (x, y)
∞
−∞
(E.85)
dλ ǫ(λ) (∂/UL−1 )(z) Y
+ ǫ(1 − λ) XL (∂/UL−1 )(z) Y
.
ξ/ C (1) (x, y)
(E.86)
Die Terme (E.82) und (E.85) heben sich weg. Bei (E.81)+(E.86) kann man partiell integrieren, dabei fallen die Randwerte bei λ = ±∞ wegen U (z|λ=±∞ ) = 1 weg.
2
Wir wollen nun Satz E.1.16 auf den allgemeineren Diracoperator
/L )UL−1
G = χL UR (i∂/ + A
/R )UR−1 + χR UL (i∂/ + A
(E.87)
erweitern. Die links- und rechtshändigen Potentiale A
/L/R sollen mit X kommutieren, also
h
A
/L/R (x), X
i
für alle x ∈ M .
= 0
(E.88)
Im Spezialfall A
/L/R ≡ 0 geht (E.87) in den Diracoperator (E.74) über.
Lemma E.1.17 Mit der symbolischen Ersetzung Cm = pm oder Cm = km und der
Abkürzung z = λy + (1 − λ)x gilt die asymptotische Entwicklung
Z
∞
i
(s0 A
/ C0 )(x, y) =
dλ ǫ(λ) Aj (z) ξ j C0 (x, y)
2
−∞
Z ∞
1
j k
dλ (2λ − 1) ξ γ Fkj (z) C (1) (x, y)
+
4
−∞
Z ∞
1
2
k
−
dλ (λ − λ) ξ/ ξk j (z) C (1) (x, y)
4
−∞
Z ∞
i
ij
k
l
+
dλ εijkl F (z) ξ ργ C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |)
8
−∞
(E.89)
(E.90)
(E.91)
.
(E.92)
Beweis: Nach Lemma E.1.13 genügt es, die asymptotische Entwicklung für den Fall
Cm = pm zu beweisen. Die Behauptung ist damit ein Spezialfall von Satz C.2.2.
2
Satz E.1.18 Für den Diracoperator (E.87) gilt mit der symbolischen Ersetzung C = p
oder C = k
χL C̃(x, y) = χL UL (x) Texp −i
1
− χL UL (x) XL
2
Z
y
x
Z
y
x
AjL ξj
dz (2α − 1) Te−i
Rz
x
XL UL−1 (y) C0 (x, y)
Aa
L (z−x)a
× Te−i
151
Ry
z
(E.93)
ξj γk FLkj (z)
AbL (y−z)b
UL−1 (y) C (1) (x, y)
(E.94)
1
+ χL UL (x) XL
2
i
− χL UL (x) XL
4
Z
y
dz (α2 − α) Te−i
x
Z
y
dz Te−i
x
+m χL UL (x) Texp −i
−
m
χL UL (x)
4
Z
∞
y
x
x
Aa
L (z−x)a
−i
× Te
Rz
Aa
L
x
(z−x)a
AjL ξj
z
AbL (y−z)b
UL−1 (y) C (1) (x, y)
(E.95)
εijkl FLij (z) ξ k ργ l
−i
Ry
ξ/ ξk jLk (z)
× Te
Ry
z
AbL (y−z)b
UL−1 (y) C (1) (x, y)
(E.96)
XL UL−1 (y) Y C (1) (x, y)
(E.97)
dλ
−∞
ǫ(λ) ∂ˆ/z Te−i
×
Z
Rz
Rz
x
AjL (z−x)j
+ ǫ(1 − λ) XL ∂ˆ/z Te−i
Rz
x
UL−1 (z)
−i
Y UR (z) Te
AjL (z−x)j
UL−1 (z)
Ry
z
AkR (y−z)k
−i
Y UR (z) Te
× UR−1 (y) C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |)) + O(m2 )
Ry
z
XR ξ/
AkR (y−z)k
ξ/
(E.98)
mit FLij , jLk gemäß (E.60), (E.61). Zur Abkürzung wurde z = λy + (1 − λ)x gesetzt. Für
die rechtshändige Komponente gilt die analoge Gleichung, wenn man die Indizes L, R
vertauscht.
Beweis: Für das zeitgeordnete Integral der Potentiale hat man
Texp
Z
y
x
(−iU Aj U
−1
+ U (∂j U
−1
)) ξ
j
= U (x) Texp −i
Z
y
x
Aj ξ
j
U −1 (y) ,
wie man durch partielle Ableitung in Richtung ξ und Vergleich mit der Differentialgleichung (E.51) sowie (E.53) verifiziert.
Bei den Operatoren p0 , k0 , s∨
0 verwenden wir die Kurzschreibweise
( .̄ )L/R (x, y) := Texp −i
Z
y
x
AjL/R
ξ
j
( . )(x, y)
.
(E.99)
Wir betrachten nun die Fälle a) bis c) in Lemma E.1.12 nacheinander und untersuchen,
welche Beiträge sich jeweils für P̃ ergeben. Dazu schreiben wir die Formeln für p̃m , k̃m so
um, daß man die Gleichung für p, k wie beim Beweis von Satz E.1.16 durch die Ersetzungen
(E.78), (E.79) ableiten kann.
Zu a) Wir haben nach (E.63)
−1
∨
χL s̃∨
m ≍ χL UL s̄0,L UL
und damit für p̃m , k̃m
χL C̃m ≍ χL UL C̄0,L UL−1
.
Nach der Ersetzung (E.79) erhält man (E.93).
Zu b) Als Beitrag hat man nach (E.64) die Entwicklungsterme (E.43)-(E.45) von
−1
∨
χL s̃∨
/L + i(∂/UL−1 )UL s̄∨
m ≍ χL UL s̄0,L A
0,L UL
152
.
Für p̃m , k̃m erhält man folglich bei einer asymptotischen Entwicklung die Beiträge
(E.90)-(E.92) von
n
/L + i(∂/UL−1 )UL C̄0,L
χL C̃m ≍ χL UL s̄0,L A
/L + i(∂/UL−1 )UL s̄0,L
+ C̄0,L A
o
UL−1
.
Da die Feldstärke und der Strom (E.60), (E.61) des Potentials i(∂/UL−1 )UL verschwinden, ergeben sich nach den Ersetzungen (E.78), (E.79) die Summanden (E.94)(E.96).
Zu c) Wir haben nach (E.65)
∨
/L UL−1 + i(∂/UL−1 )) s∨
χL s̃∨
m ≍ m χL 1 − UL s̄0,L (A
(1)
−1
× 1 − (UR A
/R − i(∂/UR )) s̄∨
0,R UR
und somit für p̃m , k̃m
χL C̃m ≍ m χL C (1)
/L UL−1 + i(∂/UL−1 )) C (1) + C̄0,L (A
/L UL−1 + i(∂/UL−1 )) s(1)
−m χL UL s̄0,L (A
/R − i(∂/UR )) s̄0,R + s(1) (UR A
/R − i(∂/UR )) C̄0,R UR−1
+m χL C (1) (UR A
/R − i(∂/UR )) s̄0,L
/L UL−1 + i(∂/UL−1 )) C (1) (UR A
+M χL UL s̄0,L (A
+ C̄0,L (A
/L UL−1 + i(∂/UL−1 )) s(1) (UR A
/R − i(∂/UR )) s̄0,L
+ s̄0,L (A
/L UL−1 + i(∂/UL−1 )) s(1) (UR A
/R − i(∂/UR )) C̄0,L UR−1 .
Wir führen nun wieder die Ersetzungen (E.78), (E.79) durch. Wegen der Kommutatorbedingung (E.88) geht der Operator C̄0,L dabei auf sinnvolle Weise in
C̄0,L (x, y) −→ Texp −i
Z
y
x
AjL ξj
X C0 (x, y)
über. Nach asymptotischer Entwicklung mit den Formeln von Lemma E.1.6 erhält
man (E.97), (E.98).
2
E.1.5
Zusätzliche skalare/pseudoskalare Störung
Wir betrachten nun den Fall, daß der Diracoperator (E.87) eine zusätzliche skalare/pseudoskalare
Störung enthält, also
G = χL UR (i∂/ + A
/R )UR−1 + χR UL (i∂/ + A
/L )UL−1 − m Ξ − iρ m Φ
(E.100)
mit Matrixfeldern
Ξ(x) = (Ξab (x))a,b=1,...,n ,
Φ(x) = (Φab (x))a,b=1,...,n
153
.
Die Massenasymmetrie und die freie Asymmetrie des Projektors P berücksichtigen wir
wieder durch die Matrizen Y bzw. X. Wir verwenden die Schreibweise
YR (x) = Y + Ξ(x) − iΦ(x)
YL (x) = Y + Ξ(x) + iΦ(x)
,
(E.101)
haben also
Y + Ξ + iρΦ = χR YL + χL YR
.
Satz E.1.18 läßt sich leicht auf diese etwas allgemeinere Situation übertragen.
Theorem E.1.19 Für den Diracoperator (E.100) gilt mit der symbolischen Ersetzung
C = p oder C = k
χL C̃(x, y) = χL UL (x) Texp −i
1
− χL UL (x) XL
2
1
+ χL UL (x) XL
2
i
− χL UL (x) XL
4
Z
Z
Z
y
x
y
x
y
m
χL UL (x)
4
×
Z
x
AjL ξj
Rz
x
XL UL−1 (y) C0 (x, y)
Aa
L (z−x)a
× Te−i
dz (α2 − α) Te−i
dz Te−i
x
∞
y
dz (2α − 1) Te−i
+m χL UL (x) Texp −i
−
Z
Z
y
x
Rz
x
Rz
x
Ry
z
ξj γk FLkj (z)
AbL (y−z)b
UL−1 (y) C (1) (x, y) (E.103)
ξ/ ξk jLk (z)
AbL (y−z)b
UL−1 (y) C (1) (x, y) (E.104)
εijkl FLij (z) ξ k ργ l
−i
AjL ξj
z
Aa
L (z−x)a
× Te−i
Aa
L (z−x)a
Ry
(E.102)
× Te
Ry
z
AbL (y−z)b
UL−1 (y) C (1) (x, y) (E.105)
XL UL−1 (y) YL (y) C (1) (x, y)
(E.106)
dλ
−∞
ǫ(λ) ∂ˆ/z Te−i
Rz
x
AjL (z−x)j
+ ǫ(1 − λ) XL ∂ˆ/z Te−i
Rz
x
(UL−1
−i
YL UR )|z Te
AjL (z−x)j
(UL−1
Ry
z
AkR (y−z)k
−i
YL UR )|z Te
× UR−1 (y) C (1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |)) + O(m2 )
Ry
z
XR ξ/
AkR (y−z)k
ξ/
(E.107)
mit FLij , jLk gemäß (E.60), (E.61). Zur Abkürzung wurde z = λy + (1 − λ)x gesetzt. Für
die rechtshändige Komponente gilt die analoge Gleichung, wenn man die Indizes L, R
vertauscht.
Beweis: Wir verwenden für p0 , k0 , s∨
0 wieder die Schreibweise (E.99).
Zunächst überlegen wir uns, wie sich die zusätzliche Störung Ξ + iρΦ in der Formel
für s∨
m auswirkt. Nach Lemma E.0.3 und Theorem A.5.1, Theorem B.5.1 haben wir als
einzigen zusätzlichen Beitrag in Lemma E.1.12 den Fall zu betrachten, daß alle Faktoren
s∨ in (E.62) s∨
0 sind und bei den Faktoren B genau einmal die Störung Ξ + iρΦ auftritt.
Damit folgt
−1
−1
∨
∨
χL s̃∨
m ≍ χL m UL s̄0,L UL (Ξ + iρΦ) UR s̄0,R UR
−1
∨
−1
= χL m UL s̄∨
.
0,L UL (Ξ + iΦ) UR s̄0,R UR
154
Als Beitrag zu p̃m , k̃m erhält man
χL C̃m ≍ χL m UL s̄0,L UL−1 (Ξ + iΦ) UR C̄0,R
+C̄0,L UL−1 (Ξ + iΦ) UR s̄0,R UR−1 .
Die Gleichung für C̃ folgt genau wie im Beweis von Theorem E.1.18 durch die Ersetzung
C0 −→ XC0
χL C̃ ≍ χL m UL s̄0,L UL−1 (Ξ + iΦ) UR XR C̄0,R
+XL C̄0,L UL−1 (Ξ + iΦ) UR s̄0,R UR−1 .
Für C = p können wir mit Hilfe von Gleichung (C.105) eine asymptotische Entwicklung
durchführen
1
χL p̃(x, y) ≍ − χL m UL (x)
4
×
ǫ(λ) ∂/z Te−i
Rz
x
Z
∞
dλ
−∞
AjL (z−x)j
× UL−1 (z) (Ξ(z) + iΦ(z)) UR (z) Te−i
− ǫ(1 − λ) XL ξ/ ∂/z Te−i
Rz
x
AjL (z−x)j
z
AkR (y−z)k
XR ξ/
UL−1 (z)
× (Ξ(z) + iΦ(z)) UR (z) Te−i
× UR−1 (y) p(1) (x, y) + O(ln(|ξ 2 |))
Ry
.
Ry
z
AkR (y−z)k
Für k̃m folgt die Behauptung mit dem Analogieargument von Lemma E.1.13.
2
Theorem E.1.19 gibt die Eichterme und Pseudoeichterme von P bei allen für uns interessanten Störungen des Diracoperators an. Wir erhalten daraus sämtliche in Abschnitt
E.1 abgeleiteten Sätze als Grenzfall: Lassen wir die skalare/pseudoskalare Störung weg,
so erhalten wir Satz E.1.18. Wenn zusätzlich die dynamischen Eichpotentiale A
/L/R verschwinden, ergibt sich Satz E.1.16 und im Spezialfall vierkomponentiger Wellenfunktionen
Satz E.1.7.
Besitzt P auf der anderen Seite keine freie Asymmetrie (also X = 11), so ist die
Bedingung (E.88) in jedem Fall erfüllt. Es besteht dann keine Notwendigkeit, die Störung
des Diracoperators gemäß (E.87) in A
/L/R und UL/R aufzuspalten. Nach der Ersetzung
−1
−1
A
/L/R → UL/R A
/L/R UL/R
+ iUL/R (∂/UL/R
)
können wir annehmen, daß UL/R ≡ 1 ist. Außerdem lassen sich die nichtlokalen Linienintegrale in (E.98) nun zu dem konvexen Integral
Z
y
x
dλ ∂ˆ/z Te−i
Rz
x
AjL (z−x)j
Y Te−i
Ry
z
AkR (y−z)k
ξ/
zusammenfassen. Auf diese Weise erhält man Satz E.1.15. Ist zusätzlich Y = 11, so ergibt
sich Satz E.1.14.
155
Man sieht an der abgeleiteten Formel für C̃, daß Theorem E.1.18 nicht auf einfache
Weise weiter verallgemeinert werden kann. Bei einer Abschwächung von Bedingung (E.88)
ist beispielsweise die Matrix
UL (x) Texp −i
Z
y
x
AjL ξj
XL ξ/ UL−1 (y)
in (E.102) nicht mehr selbstadjungiert. Wir müßten sie durch einen Ausdruck
N (x) X N −1 (y)
ersetzen, wobei N eine unendliche Reihe nichtlokaler Linienintegrale der Form (E.72) ist.
E.2
Massenterme ∼ m2
In diesem Abschnitt wollen wir die Massenterme und Eichterme ∼ m2 berechnen. Wir
berücksichtigen dabei in den Distributionen p̃ und k̃ alle Beiträge bis zur Ordnung O(ξ 0 )
bzw. O(ξ 2 ).
E.2.1
Störungsrechnung mit Massenasymmetrie
Wir betrachten den Diracoperator (E.74). Im Projektor P lassen wir wieder eine Massenasymmetrie zu, die mit der Matrix Y beschrieben wird.
Zunächst betrachten wir die Störungsrechnung für s̃∨
(2) . Durch Entwicklung von (17)
nach m erhält man
∞
X
s̃∨
(2) =
p ∨
2
∨ q
(−s∨
0 B) s(2) Y (−B s0 )
p,q=0
∞
X
+
p,q,r=0
p ∨
∨ q
∨
∨ r
(−s∨
0 B) s(1) Y (−B s0 ) (−B s(1) Y ) (−B s0 )
,
also
χL s̃∨
(2) =
∞
X
p,q=0
+
∞
X
p,q,r=0
p ∨
2
∨ q
χL (−s∨
0 BL ) s(2) Y (−BL s0 )
(E.108)
p ∨
∨ q
∨
∨ r
χL (−s∨
0 BL ) s(1) Y (−BR s0 ) (−BR s(1) Y ) (−BL s0 )
(E.109)
mit
BL = iUL (∂/UL−1 )
BR = iUR (∂/UL−1 )
,
.
(E.110)
Wir wollen nun die Summen (E.108) und (E.109) vereinfachen, dabei rechnen wir bis auf
Terme der Ordnung O(ξ 2 ). Für die erste Summe hat man
∞
X
p ∨
2
∨ q
(−s∨
0 BL ) s(2) Y (−BL s0 ) (x, y)
p,q=0
−1
∨
2
∨ −1
= (1 − U s∨
0 UL BL ) s(2) Y (1 − BL UL s0 UL )
=
−1
2
1 − UL s∨
/, UL−1 s∨
1 + [i∂/, UL ] s∨
0 [i∂
0 UL
(2) Y
−1
−1
= UL s∨
/)s∨
/) Y 2 UL s∨
0 UL (i∂
0 UL
(2) (i∂
∨ −1
−1 ∨ 2
= UL s∨
0 UL s0 Y UL s0 UL
156
,
die zweite Summe kann man folgendermaßen umformen:
∞
X
p,q,r=0
=
=
p ∨
∨ q
∨
∨ r
(−s∨
0 BL ) s(1) Y (−BR s0 ) (−BR s(1) Y ) (−BL s0 )
∞
X
q=0
∞
X
−1
∨
∨ q
∨
∨ −1
(1 − UL s∨
0 UL BL ) s(1) Y (−BR s0 ) (−BR s(1) Y ) (1 − BL UL s0 UL )
−1
∨
∨ q
∨
∨ −1
UL s∨
0 UL Y s0 (−BR s0 ) (−BR ) s0 Y UL s0 UL
q=0
−1
∨
∨ −1
∨
∨ −1
= UL s∨
0 UL Y s0 (1 − BR UR s0 UR ) (−BR ) s0 Y UL s0 UL
−1
∨
∨ −1
∨ −1
= UL s∨
0 (UL Y UR ) s0 UR (−BR ) s0 Y UL s0 UL
−1
∨
∨ −1
= −UL s∨
/, UR−1 ] s∨
0 (UL Y UR ) s0 [i∂
0 Y UL s0 UL
−1 2 ∨
∨ −1
= −UL s∨
0 UL Y s0 UL s0 UL
−1
−1
∨
∨ −1
+UL s∨
0 (UL Y UR ) s0 (UR Y UL ) s0 UL
(E.111)
Insgesamt erhält man also
χL s̃∨
(2) (x, y)
−1
∨
−1
∨ −1
= χL UL s∨
(x, y) + O(ξ 2 ) . (E.112)
0 (UL Y UR ) s0 (UR Y UL ) s0 UL
Nun führen wir eine asymptotische Entwicklung um den Lichtkegel durch.
Lemma E.2.1 Für beliebige glatte (auch matrixwertige) Funktionen f, g gilt mit der Abkürzung z = αy + (1 − α)x
∨
∨
(s∨
0 f s0 g s0 )(x, y) =
Z
Z
y
x
dz f (z) g(z) s∨
(2) (x, y)
y
i
(α2 − α) 2(f g)|z ξ/ Θ∨ (ξ)
16π x
Z z
Z y
i
du (∂/f )(u) γ j (z − x)j (∂/g)(z) g(y) Θ∨ (ξ)
dz
+
16π x
x
Z y
i
+
(1 − α) ((∂/f ) g)|z Θ∨ (ξ)
8π x
Z y
i
α (f (∂/g))|z Θ∨ (ξ) + O(ξ 2 )
.
−
8π x
−
Beweis: Wir rechnen bis auf Terme der Ordnung O(ξ 2 ). Wir berechnen das Operatorprodukt schrittweise. Nach (A.128) haben wir
Z
Z
y
y
1
1
∂
/
∂
/
3
f
f
= − 2 ∂/x 3 f ∂/y =
4π
4π 2 x y x
Z yx
1
1
= −
f (y) l∨ (ξ) +
(∂/f ) ξ/ l∨ (ξ)
2π
4π x
Z
Z z
Z y
1 z 2
1
α (∂/f ) ζ/
α 2f −
+ 2 3 dz 2f −
4π x
2 x
x
Z y
1
1
= −
(∂/f ) ξ/ l∨ (ξ)
f (y) l∨ (ξ) +
2π
4π x
Z
Z y
1
1 y
α 2f Θ∨ (ξ) −
(α − α2 ) (∂/2f ) ξ/ Θ∨ (ξ) .
+
8π x
16π x
(s∨
0
s∨
0 )(x, y)
157
(E.113)
(E.114)
Wir wollen jetzt die einzelnen Summanden in (E.113), (E.114) mit dem Operator g s∨
0
multiplizieren und asymptotisch entwickeln. Mit “≍” bezeichnen wir die dabei jeweils
auftretenden Beiträge. Die Summanden (E.114) können wir mit der Umformung
(Θ∨ h s∨
0 )(x, y) = −
1
(Θ∨ h (i∂/) l∨ )(x, y)
2π
i ∂
i
= −
Θ∨ h l∨ (x, y) γ j + O(ξ 2 ) =
j
2π ∂x
2
Z
y
α h ξ/
x
behandeln, dabei ist h die glatte Funktion
h(y) =
Z
1
8π
y
x
1
16π
α 2f −
Z
y
x
(α − α2 ) (∂/2f ) ξ/
.
(E.115)
Der zweite Summand in (E.115) fällt dabei weg, und wir erhalten mit den konvexen
Kombinationen
z = αy + (1 − α)x ,
u = βy + (1 − β)x
den Beitrag
(E.114) ≍
i
16π
Z
1
dα
0
Z
α
dβ β (2f )(u) g(z) Θ∨ (ξ)
.
(E.116)
0
Den ersten Summanden in (E.113) können wir mit dem Lichtkegelintegral
Z
Z
R
3
umschreiben
y
y
i
1
3 f g (i∂/y ) = − 2 ∂/y 3 f g
2
4π
4π
x
x
Z y
Z y
i ∨
i
= −
l (ξ) ξ/
fg −
α ∂/(f g) Θ∨ (ξ)
4π
8π x
x
Z y
i
(α2 − α) 2(f g)(z) ξ/ Θ∨ (ξ)
−
16π x
1
f (y) l∨ (ξ) ≍
2π
−
=
Z
y
x
f g s∨
(2) (x, y)
(E.117)
Z
y
i
α ∂/(f g) Θ∨ (ξ)
8π x
Z y
i
(α2 − α) 2(f g)(z) ξ/ Θ∨ (ξ)
−
16π x
−
(E.118)
.
(E.119)
Den zweiten Summanden in (E.113) können wir mit der Abkürzung
hxj (y) =
Z
y
dz (∂j f (z)) g(y)
x
einfach umformen
1
4π
Z
y
x
x ∨
(∂/f ) ξ/ l∨ (ξ) ≍ i γ j (s∨
(2) hj s0 )(x, y)
= iγ
j
Z
= −iγ j
= i γj
=
x
/ z ) s∨
d4 z s∨
(1) (z, y)
(2) (x, z) hj (z) (i∂
Z
Z
h
i
x
∨
d4 z (i∂/z s∨
/z hxj (z)) s∨
(2) (x, z)) hj (z) + s(2) (x, z) (∂
(1) (z, y)
x ∨
∨
s∨
/hxj ) s∨
(1) hj s(1) − s(2) (i∂
(1) (x, y)
y
i
i
3 k =
2
4π x
8π
Z
y
k Θ∨ (ξ)
x
158
,
(E.120)
wobei k für die Funktion
k(y) = γ
j
1
+ ξ/ ∂/y hxj (y)
2
hxj (y)
steht. Bei der Berechnung von k erhält man die Zwischenergebnisse
Z
∂/y hxj (y) =
x
γ j ξ/ ∂/y hxj (y) = 2
−
Z
y
y
Z
α (∂j ∂/f )(z) g(y) +
y
α
x
Z
α (2f )(z) g(y) ξ/ +
x
Z
y
(∂j f )(z) (∂/g)(y)
x
d
∂/f (z) g(y)
dα
y
α (∂/f )(z) ξ/ (∂/g)(y)
x
= 2((∂/f ) g)|y − 2 γ j hxj (y)
−
Z
Z
y
α (2f )(z) g(y) ξ/ +
x
y
α (∂/f )(z) ξ/ (∂/g)(y)
x
und somit
k(y) = (∂/f ) g −
1
2
Z
y
α (2f )(z) g(y) ξ/ +
x
1
2
Z
y
α (∂/f )(z) ξ/ (∂/g)(y) .
x
Wir setzen in (E.120) ein und erhalten schließlich
1
4π
Z
y
x
(∂/f ) ξ/ l∨ (ξ) ≍
Z
Z
i
8π
Z
y
(∂/f ) g Θ∨ (ξ)
(E.121)
x
α
1
i
dβ β (2f )(u) g(z) ξ/ Θ∨ (ξ)
dα
16π 0
0
Z 1
Z α
i
+
dα
dβ (∂/f )(u) ξ/ (∂/g)(z) Θ∨ (ξ) .
16π 0
0
−
(E.122)
(E.123)
Beim Aufsummieren aller Beiträge heben sich (E.116), (E.122) weg. Der gesuchte Ausdruck ist damit gleich
(E.117) + (E.118) + (E.119) + (E.121) + (E.123)
.
2
Mit diesem Lemma können wir (E.112) weiter berechnen.
Lemma E.2.2 Für den Diracoperator (E.74) gilt
χL s̃∨
(2) (x, y)
= χL UL (x)
Z
Z
y
x
dz (UL−1 Y 2 UL )|z UL−1 (y) s∨
(2) (x, y)
y
i
(α2 − α) 2(UL−1 Y 2 UL )|z UL−1 (y) ξ/ Θ∨ (ξ)
UL (x)
−χL
16π
Zxy
Z z
i
UL (x)
dz
du ∂/(UL−1 Y UR )|u (z − x)j γj ∂/(UR−1 Y UL )|z
+χL
16π
x
x
×UL−1 (y) Θ∨ (ξ)
Z y
i
+χL
UL (x)
(1 − α) ∂/(UL−1 Y UR )|z (UR−1 Y UL )|z UL−1 (y) Θ∨ (ξ)
8π
Zxy
i
α (UL−1 Y UR )|z ∂/(UR−1 Y UL )|z UL−1 (y) Θ∨ (ξ) + O(ξ 2 )
UL (x)
−χL
8π
x
159
.
Beweis: Folgt durch Einsetzen von (E.112) in die Entwicklungsformel von Lemma E.2.1.
2
Satz E.2.3 Für den Diracoperator (E.74) gilt mit der symbolischen Ersetzung C = p oder
C=k
χL C̃ (2) (x, y) = χL UL (x)
Z
Z
y
x
dz (UL−1 Y 2 UL )|z UL−1 (y) C (2) (x, y)
y
i
(α2 − α) 2(UL−1 Y 2 UL )|z UL−1 (y) ξ/ C (3) (x, y)
− χL UL (x)
2
x
Z z
Z y
i
+ χL UL (x)
du ∂/(UL−1 Y UR )|u (z − x)j γj ∂/(UR−1 Y UL )|z
dz
2
x
x
×UL−1 (y) C (3) (x, y)
+i χL UL (x)
−i χL UL (x)
+
(
Z
y
Zxy
x
(1 − α) ∂/(UL−1 Y UR )|z (UR−1 Y UL )|z UL−1 (y) C (3) (x, y)
α (UL−1 Y UR )|z ∂/(UR−1 Y UL )|z UL−1 (y) C (3) (x, y)
O(ξ 2 ) für C = k
O(ξ 0 ) für C = p
.
Beweis: Für C = k folgt die Behauptung aus (18), für C = p verwendet man das Analogieargument von Lemma E.1.13.
2
E.2.2
Zusätzliche skalare/pseudoskalare Störung
Wir lassen nun im Diracoperator eine zusätzliche skalare/pseudoskalare Störung zu, also
G = χL UR (i∂/UR−1 ) + χR UL (i∂/UL−1 ) − m Ξ − iρ m Φ
.
(E.124)
Wir verwenden wieder die Schreibweise (E.101) und (E.110). Durch Entwicklung von (17)
erhält man
χL s̃∨
(2) = (E.108) + (E.109)
+
+
+
∞
X
p,q,r=0
∞
X
p,q,r=0
∞
X
p,q,r=0
p ∨
∨
q ∨
∨ r
χL (−s∨
0 BL ) s0 (Ξ + iΦ) (−s0 BR ) s(1) Y (−BL s0 )
p ∨
∨ q
∨
∨ r
χL (−s∨
0 BL ) s(1) Y (−BR s0 ) (Ξ − iΦ) s0 (−BL s0 )
p ∨
∨
∨ q
∨
∨ r
χL (−s∨
0 BL ) s0 (Ξ + iΦ) s0 (−BR s0 ) (Ξ − iΦ) s0 (−BL s0 )
Wir setzen die Umformung (E.112) ein und behandeln die anderen Summen analog
−1
−1
∨
∨ −1
= χL UL s∨
0 (UL Y UR ) s0 (UR Y UL ) s0 UL
−1
−1
∨ −1
∨
+χL UL s∨
0 UL (Ξ + iΦ) UR s0 (UR Y UL ) s0 UL
−1
∨ −1
∨ −1
+χL UL s∨
0 (UL Y UR ) s0 UR (Ξ − iΦ) UL s0 UL
∨ −1
∨
+χL UL s∨
0 (Ξ + iΦ) s0 (Ξ − iΦ) s0 UL
160
,
.
also
−1
−1
∨
∨
∨ −1
s̃∨
(x, y) + O(ξ 2 ) (E.125)
.
(2) (x, y) = χL UL s0 (UL YL UR ) s0 (UR YR UL ) s0 UL
Theorem E.2.4 Für den Diracoperator (E.124) gilt mit der symbolischen Ersetzung C =
p oder C = k
χL C̃ (2) (x, y) = χL UL (x)
Z
Z
y
x
dz (UL−1 YL YR UL )|z UL−1 (y) C (2) (x, y)
(E.126)
y
i
(α2 − α) 2(UL−1 YL YR UL )|z UL−1 (y) ξ/ C (3) (x, y)
(E.127)
− χL UL (x)
2
x
Z y
Z z
i
+ χL UL (x)
dz
du ∂/(UL−1 YL UR )|u (z − x)j γj ∂/(UR−1 YR UL )|z
2
x
x
(E.128)
×UL−1 (y) C (3) (x, y)
+i χL UL (x)
Z
−i χL UL (x)
Z
+
(
y
x
y
x
(1 − α) ∂/(UL−1 YL UR )|z (UR−1 YR UL )|z
×UL−1 (y) C (3) (x, y)
α (UL−1 YL UR )|z ∂/(UR−1 YR UL )|z UL−1 (y) C (3) (x, y)
O(ξ 2 ) für C = k
O(ξ 0 ) für C = p
(E.129)
(E.130)
.
Beweis: Folgt aus (E.125) genau wie Lemma E.2.2 und Satz E.2.3 mit Hilfe der asymptotischen Entwicklungsformel von Lemma E.2.1.
2
Die Beiträge (E.128)-(E.130) sind Massenterme; in erster Ordnung Störungstheorie stimmen sie mit (B.85), (D.47) überein.
Der Summand (E.126) beschreibt eine verallgemeinerte Phasenverschiebung von C (2) .
Er ist der Eichterm/Pseudoeichterm ∼ m2 .
161
Bibliography
[1] F. G. Friedlander Cambridge University Press, 1975
The Wave equation on a curved space-time
[2] F. Finster Diplomarbeit Physik, Universität Heidelberg, 1992
Eichfreiheiten bei Diracoperatoren
[3] F. Finster, Ableitung von Feldgleichungen aus dem Prinzip des Fermionischen Projektors, preprint gr-qc/9606040
[4] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Akademie-Verlag Berlin
Lehrbuch der Theoretischen Physik
Felix Finster
Harvard University, Dept. of Mathematics
Cambridge, MA 02138, USA
email: [email protected]
162

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