Inhaltsverzeichnis

Beispielsammlung ET1 VO
Inhaltsverzeichnis
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Elektrisches Feld
Filter . . . . . .
Gleichspannung .
Helmholtz . . . .
KnotenspannungLeistung . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
& Maschenstromanalyse
. . . . . . . . . . . . . .
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Erläuterungen zur Klausur
• Dauer: 90 min
• 3-4 Beispiele, keine Kategorie doppelt.
• Hilfsmittel:
– Formelsammlung: 2 A4 Blätter vorne und hinten handbeschrieben (KEINE Kopie)
Darf enthalten:
∗ Formeln (z.B.: Ohmsches Gesetz, Coulombsches Gesetz)
∗ Strom- und Spannungsteiler
∗ Konstanten (z.B.: Dielektrizitätskonstante)
Darf NICHT enthalten:
∗ Durchgerechnete Beispiele
– Taschenrechner: Erlaubt
– Geodreieck
1
2
6
23
35
40
48
Beispielsammlung ET1 VO
1.1
Stand: 21.09.2016
Elektrisches Feld
1. Elektrisches Feld (25 Punkte)
Gegeben sind die Positionen der vier Punktladungen Q1 , Q2 , Q3 und Q4 mit ~r1 = (1, 2),
~r2 = (5, 2), ~r3 = (3, 4) und ~r4 = (3, 8).
y
10
9
Q4
8
7
6
5
Q3
4
3
2
Q1
Q2
1
1
2
3
4
5
6
7
x
(a) Bestimmen Sie für Q1 = Q die Ladung Q2 und Q4 damit keine Kraft auf Q3 wirkt.
Lösung:
Q2 = Q
Ausgleich in x Richtung
~ey
Q
Q4
√ −
~ey = 0
E3y = 2
2
4πǫ|~r13 | 2 4πǫ|~r43 |2
√
2Q 0.042
2Q|~r43 |2 2
4
√ =√ Q
=
⇒Q4 =
2
|~r13 |
2 0.022 2
2
(b) Bestimmen Sie Q3 damit auf Q4 keine Kraft wirkt. Nehmen Sie an, dass Q1 = Q und
Q2 aus Punkt (a).
Lösung:
6 ~ey
Q
Q3
√ +
~ey = 0
2
4πǫ|~r14 | 40 4πǫ|~r34 |2
2Q 16 10−4 6
24
2Q|~r34 |2 6
√ =−
√ =− √ Q
⇒Q3 = −
2
−4
|~r14 | 40
40 10
40
5 40
E4y = 2
2
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
~ 2 an der Ladung Q2 .
(c) Bestimmen Sie graphisch das elektrische Feld E
~ 2 . Verwenden Sie den MaßHinweis: Berechnen Sie die einzelnen Komponenten von E
~
stab |E12 | , 2cm und die Länge der Komponenten zu bestimmen. Verwenden Sie die
Ladungsgrößen aus den Punkten (a) und (b).
Falls Sie die obigen Punkte nicht lösen konnten, verwenden Sie Q1 = Q, Q2 = 12 Q,
Q3 = 23 Q und Q4 = −4Q.
Lösung:
Q1
Q
=
= 2cm
4πǫ 0.042
4πǫ 0.042
Q
= 2 0.042 cm
⇒
4πǫ
24
− 5√
Q
Q3
40
=
=
4πǫ 2 0.022
4πǫ 2 0.022
24
24
48
24 16
Q
= 2 0.042 √
⇒ √
cm = √ cm = 1.5179cm
cm = √
2
2
4πǫ
5 40 2 0.02
5 40 2 0.02
5 40 8
5 40
√4 Q
Q4
2
=
=
4πǫ (0.022 + 0.062 )
4πǫ (0.022 + 0.062 )
4
4
8 16
16
Q
= 2 0.042 √
⇒√
cm = √
cm = √ cm = 2.2627cm
2(0.022 + 0.062 ) 4πǫ
2 (0.022 + 0.062 )
2 40
25
~ 12 =
E
~ 32
E
~ 42
E
y
10
9
Q4
8
7
6
5
4
Q3
3
~ 32
E
~ 12
E
2
Q1
1
~2
E
1
2
3
4
5
E
6~ 43
7
x
2. Elektrisches Feld (25 Punkte)
Zwei Kugeln mit vernachlässigbar kleinem Durchmesser sind, gemäß der nachstehenden Ab3
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
bildung, im Punkt P0 (0/0) an gewichtslosen Seilen der Länge l = 1 m aufgehängt. Die beiden
Kugeln besitzen die gleiche Ladung Q1 = Q2 = Q (mit Q > 0) und haben jeweils eine Masse
von m = 1 g. Weiters wird angenommen, dass sich die Anordnung im Vakuum befindet, d.h.
ǫr = 1 (ǫ0 = 8, 854 · 10−12 As/Vm).
~ die im Punkt P1 herrscht, in
(a) Bestimmen Sie allgemein die elektrische Feldstärke E
Abhängigkeit vom Winkel α. Bringen Sie das Ergebnis auf folgende Form:
~ = A ~ex + C ~ey .
E
B
D
Hinweise:
• A, B, C und D dürfen keine Brüche enthalten.
• Der Winkel α beschreibt die Auslenkung der Kugeln an gestreckten Seilen aus der
Senkrechten.
Lösung:
~1 =
E
2Q
~ey .
4πǫ(l cos(α) − 1)2
(b) Welche Ladung Q müssen beide Kugeln haben, damit sie im Abstand d = 4 cm zur Ruhe
kommen.
Hinweise:
• Beachten Sie, dass auf die Kugeln sowohl die Coulombsche Kraft F~E als auch die
Gravitationskraft F~G mit |F~G | = mg und g = 9.81 m/s2 wirkt (siehe nachstehende
Abbildung).
• Für kleine Winkel gilt: tan(α) = sin(α).
4
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:
Q=
r
2πǫd3 mg
= 5, 91 · 10−9 C.
l
3. Elektrisches Feld (25 Punkte)
Gegeben ist die in der nachstehenden Abbildung dargestellte Anordnung, bestehend aus 3
Punktladungen Q1 , Q2 und Q3 . Die Punktladung Q1 befindet sich im Ursprung des kartesischen Koordinatensystems, die Punktladung Q2 ist an der Postition x = 0, y = −d platziert
und die Punktladung Q3 liegt auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius d. Die exakte
Position von Q3 wird durch den Winkel ϕ beschrieben.
(a) Bestimmen Sie die vektorielle Kraft F~1 auf die Punktladung Q1 und formen Sie das
Ergebnis auf folgende Form um:
A
C
F~1 = ~ex + ~ey .
B
D
Hinweise:
• A, B, C und D dürfen keine Brüche enthalten.
• Verwenden Sie den Zusammenhang (cos ϕ)2 + (sin ϕ)2 = 1.
Lösung:
Q1 (Q2 − Q3 sin ϕ)
−Q1 Q3 cos ϕ
~ex +
~ey .
F~1 =
2
4πǫd
4πǫd2
(b) Bestimmen Sie für den Fall Q3 = Q2 die Winkel ϕ1 und ϕ2 so, dass |F~2 | auf Q1 infolge
von Q2 alleine (Q3 = 0) gleich groß ist, wie |F~1 | auf Q1 infolge von Q2 und Q3 .
Hinweis: Verwenden Sie den Zusammenhang (cos ϕ)2 + (sin ϕ)2 = 1.
Lösung:
ϕ1 =
5π
π
(=
b 30◦ ) und ϕ2 =
(=
b 150◦ ).
6
6
5
Beispielsammlung ET1 VO
1.2
Stand: 21.09.2016
Filter
1. Wechselstrom (25 Punkte)
Der kleine Maxi hat aus alten Bauelementen folgende Schaltung gebaut:
U N etz bezeichnet die Spannung des Stromnetzes (U N etz = 230 V, f = 50 Hz).
Hin- und Rückleitung sind jeweils 200 m lang, haben eine Querschnitt von 1, 5 mm2 und sind
2
aus Kupfer (ρ = 0.01721 Ωmm
m ). Der Stromkreis ist mit 13 A abgesichert.
R1 ist ein Metallschichtwiderstand mit 100 MΩ und einer max. Verlustleistung von 0.1 W.
R2 sind Leistungswiderstände mit je 25 Ω und einer max. Verlustleistung von je 100 W.
C1 = 100 µF, C2 = 400 µF, L1 = 20 mH
Was passiert wenn er die Schaltung an der Steckdose ansteckt?
(a) Berechnen sie zuerst die Leitungswiderstände
i. Berechnen Sie den Widerstand der Leitung RHin und RRück .
ii. Stellen Sie die Einheitengleichung für die in i.) verwendete Formel auf.
iii. Zeichnen Sie die obige Schaltung und ersetzen Sie dabei die Leitung(en) durch Widerstände.
Lösung:
RHin = RRück =
ρ·l
0.01721 · 200 m
=
= 2.2947 Ω
A
1.5 mm2
(b) Leistungberechnung (Für den eingeschwungenen Zustand!)
Konnten sie (a) nicht Lösen verwenden sie RHin = RRück = 1 Ω.
i. Überprüfen Sie ob die Schaltung mehr als 13 A Stom vom Netz bezieht d.h. ob der
Leitungschutzschalter abschalten würde. (I ges > 13 A)
ii. Überprüfen Sie ob Widerstand R1 unter seine max. Verlustleistung liegt. (PR1 <
0.1 W)
iii. Überprüfen Sie ob die Widerstände R2 unter ihrer max. Verlustleistung liegen.
(PR2 < 100 W)
iv. Falls R2 überlastet zeichnen sie für den grau hinterlegten Zweig eine Ersatzschaltung die folgende Bedingungen erfüllt:
• Das verhalten der Schaltung wird nicht verändert (RZweig = 50 Ω).
• Die Ersatzschaltung hält die auftretende Verlustleistung aus.
Verwenden Sie dazu eine geeignete Anzahl an Widerständen vom Typ R2 die Sie in
serie und/oder parallel schalten. (R2 = 25 Ω, 100 W)
6
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:
i.
Iges =
ii.
UN etz
230 V
=
= 2.7515 + j2.0055 = 3.4048 ∠36.0873◦ < 13 A
Zges
54.5893 − j39.7887 Ω
2
PR1 = IR
R1 = 0.4733 mW < 100 mW
1
iii.
2
P2R2 = IR
2R2 = (3.4048 A)2 · 50 Ω = 579.6448 W > 2 · 100 W
2
iv. Mind. 6 R2 Widerstände notwendig. Um Schaltung nicht zu ändern muss RErsatz =
50 Ω. D.h. 4xR2 in serie, parallel zu 4xR2 ist 25 · 4||25 · 4 = 100||100 = 50 Ω.
(c) Zeichnen Sie ein Zeigerdiagramm in dem alle in der Schaltung gegebenen Größen
enthalten sind (U N etz , I ges , I R1 , I R2 und U X ). Beginnen sie mit U X .
Die Zeigerlängen sind wie folgt (nicht gegebene Längen sind zu ermitteln!):
• U X = 6 cm
• U C1 +C2 = 4, 5 cm
• U Hin + U Rück = 0.5 cm
• I R2 = 4 cm
• I R1 = 0 cm (Er hat aber dennoch eine Richtung, zeichnen Sie diese ein!)
Lösung:
2. Filter (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung:
7
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(a) Zeichnen Sie die gegebene Schaltung so dass sie eindeutig als kaskadierter Spannungsteiler (zwei in Serie geschaltete Spannungsteiler) zu erkennen ist.
U
Berechnen Sie dann die Übertragungsfunktion T (Ω) = U a .
e
Hinweis:
• Berechnen Sie die Übertragungsfunktion zuerst allgemein mit ZL und ZC und setzen
1
Sie erst am Schluss jωL bzw. jωC
ein.
√
• Verwenden Sie für die normierte Kreisfrequenz Ω = ω LC.
• Im Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen.
Lösung:
Ua
1
=
4
Ue
2Ω − 4Ω2 + 1
(b) Zeichnen sie die Schaltung für ω = 0 und ω → ∞.
Geben sie die Übertragungsfunktion für beide Fälle an.
Ein Filter welcher Art (TP, BP, HP) stellt die Schaltung dar?
Lösung:
ω=0
ω→∞
T (ω = 0) = 1
T (ω → ∞) = 0
Ein Filter welcher Art stellt die Schaltung dar? Tiefpass
(c) Skizzieren Sie einen Tiefpass 3. Ordnung. Verwenden Sie hierfür ausschließlich ohmsche
Widerstände R und Induktivitäten L.
Lösung:
8
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(d) Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm, sodass Sie alle in der Schaltung gegebenen Größen
enthalten sind (U L1 , U L2 , U x , U e und I 1 . . . I 4 ).
Die Zeigerlängen sind wie folgt (nicht gegebene Längen sind zu ermitteln!):
•
•
•
•
•
•
U a = 7 cm
U L1 = 6 cm
U L2 = 4 cm
I 1 = 2 cm
I 3 = 1 cm
I 4 = 2 cm
Lösung:
Ux = Ua + UL2 = 3cm
I2 = I3 + I4 = 3cm
Ue = Ux + UL1 = 3cm
3. Wechselstrom (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung, wobei die Widerstände (R1 , . . . , R3 ), die Induktivitäten (L1 , L2 ), die Kapazität C und die Quellengrößen (Uq , Iq ) bekannt sind.
(a) Berechnen Sie die Ausgangsspannung U a unter Verwendung des Überlagerungssatzes
von Helmholtz und geben Sie die für die Berechnung notwendigen Schaltungen an. Im
Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen.
Hinweis: Das Ergebnis muss eine Funktion der Quellengrößen und der Bauteilwerte sein.
Lösung:
Ua =
Uq
I q (R2 + R3 )
+
.
1 + jωC(R2 + R3 ) 1 + jωC(R2 + R3 )
{z
} |
{z
}
|
U a,U
U a,I
q
9
q
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(b) Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm, sodass Sie I q einzeichnen können unter der Voraussetzung, dass nur I q wirksam ist. Die Zeigerlängen der fehlenden Spannungen und Ströme
sind 3 cm bzw. 2 cm.
Hinweis: Die Spannung U a,I q entspricht der Ausgangsspannung wenn nur I q wirksam ist.
Lösung:
4. Filter (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung:
(a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion T (ω) =
die Form T (ω) =
A+jB
C+jD .
U AB
Uq
und bringen Sie das Ergebnis auf
Im Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen.
Lösung:
A
B
z }| {
z }| {
2
−ω R3 LC +j (ωL)
.
T (ω) =
2
R1 − ω LC(R1 + R2 + R3 ) +j (ωL + ωCR1 R2 + ωCR1 R3 )
{z
}
{z
}
|
|
C
D
(b) Geben Sie Ersatzschaltungen für ω = 0 und ω → ∞ an und bestimmen Sie den Wert
der Übertragungsfunktion für diese Grenzfälle.
Lösung:
T (ω = 0) = 0,
T (ω → ∞) =
10
R3
.
R1 + R2 + R3
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(c) Ein Filter welcher Art stellt die Schaltung dar?
Lösung:
Hochpass
(d) Berechnen Sie den Betrag (in dB) und die Phase (in Grad) der Übertragungsfunktion
T (ω) für Ri = 1 kΩ (i = 1, . . . , 4), L = 1 mH, C = 1 nF und ω = 106 s−1 .
Lösung:
T ω = 106 s−1 = 8.13 dB,
arg T (ω = 106 s−1 ) = 11.3◦ .
11
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(e) Das Längenverhältnis zwischen den Spannungen U C und U R3 beträgt 5/8, das heißt
|U C |/|U R3 | = 5/8. Die Zeigerlänge der Spannung U AB beträgt 10 cm. Die Spannungen
U R1 und U R2 besitzen die Zeigerlängen 2 cm und 4 cm. Weiters haben die Ströme I R3
und I L eine Zeigerlänge von 6 cm.
• Bestimmen Sie den Phasenwinkel ϕ zwischen U R3 und U AB .
Lösung:
ϕU R − ϕU AB = 32◦ .
3
• Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm, sodass Sie U q einzeichnen können.
Lösung:
5. Filter (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung:
(a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion T (Ω). Verwenden Sie hierfür die normierte
R
1
und bringen Sie das Ergebnis auf die Form T (Ω) = A+jB
. Im
Kreisfrequenz Ω = ωL
Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen.
Lösung:
T (Ω) =
1
.
(1 − Ω ) −j |{z}
3Ω
| {z }
2
A
B
(b) Berechnen Sie die Grenzfrequenz ωg mit T max = T (ω → ∞).
Hinweise:
• Berechnen Sie zuerst Ωg und anschließend ωg .
• Die Lösung einer quadratischen Gleichung der Form x2 + px + q = 0 lautet:
r p
p 2
x1,2 = − ±
− q.
2
2
Lösung:
ωg =
12
R
.
0.37L
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(c) Welche Art von Filter stellt die obige Schaltung dar?
Lösung: Hochpass 2. Ordnung (aus T (Ω = 0) und T (Ω → ∞) ableitbar)
(d) Mit den Bauteilwerten R = 1 kΩ und L = 1 mH erhält man bei ω = 106 s−1 die Übertragungsfunktion T (ω) = 1/3 exp(jπ/2).
Berechnen
Sie die Ausgangsspannung ua (t) für eine gegebene Eingangsspannung ue (t) =
√
6 2V cos(ωt − π/4).
Lösung:
√
ue (t) = 2 2 cos(ωt + π/4).
(e) Welches Bauelement muss in der obigen Schaltung hinzugefügt werden um T (ω → ∞) =
3/4 zu erhalten?
Geben Sie den Typ (R, L oder C), den Wert (Vielfaches von R, L oder C) sowie die
Position in der ursprünglichen Schaltung an.
Lösung:
Auch andere Lösungen möglich!
13
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(f) Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm, sodass Sie U e einzeichnen können. Die Zeigerlängen
der Spannungen U a und U R3 sind gleich und die Zeigerlängen der Spannungen U L1 und
U R2 betragen 8 cm und 4 cm. Weiters besitzen die Ströme I L1 und I L2 eine Zeigerlänge
von 2 cm.
Lösung:
6. Filter (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung:
(a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion T (Ω). Verwenden Sie hierfür die normierte
A
Kreisfrequenz Ω = ωL
R und bringen Sie das Ergebnis auf die Form T (Ω) = B+jC . Im
Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen.
Lösung:
A
z}|{
A
−Ω2
T (Ω) =
=
C + jB
3Ω
(1 − Ω)2 +j |{z}
| {z }
B
C
(b) Berechnen Sie die 3 dB Grenzfrequenz Ωg mit |T max | = |T (Ω → ∞)|.
14
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Hinweis: Die Lösung der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 lautet:
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
.
2a
Lösung:
Ωg = 2.67
(c) Ein Filter welcher Art und welcher Ordnung stellt die Schaltung dar?
Lösung:
Hochpass 2. Ordnung
(d) Skizzieren Sie einen Tiefpass 3. Ordnung. Verwenden Sie hierfür ausschließlich ohmsche
Widerstände R und Induktivitäten L.
Lösung:
(e) Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm, sodass Sie U e einzeichnen können. Die Zeigerlängen
der Spannungen U L1 und U R1 betragen 8 cm und 4 cm. Der Phasenwinkel zwischen U L2
und U L1 beträgt π/3, d.h. ϕU L − ϕU L = π/3. Weiters besitzen die Ströme I L2 und I L1
2
1
die Zeigerlängen 4 cm und 2 cm.
Lösung:
15
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
7. Wechselstrom (25 Punkte)
Gegeben sei das dargestellte Netzwerk für Wechselstrom.
(a) Berechnen Sie die Innenimpedanz Z i der Ersatzquelle zwischen den Klemmen A und B.
Bringen Sie die Innenimpedanz in die Form Z i = a+jb
c+jd , wobei die Terme a, b, c und d
keine Brüche enthalten dürfen! (4 Punkte)
(b) Berechnen Sie die Ausgangsspannung U a,1 zufolge U q . In der Lösung dürfen keine Doppelbrüche vorkommen. (4 Punkte)
(c) Wie groß ist die Phasenverschiebung ϕ1 zwischen U a,1 und U q (ϕ1 = ϕU a,1 − ϕU q )?
(4 Punkte)
(d) Berechnen Sie die Ausgangsspannung U a,2 zufolge I q . In der Lösung dürfen keine Doppelbrüche vorkommen. (4 Punkte)
(e) Wie groß ist die Phasenverschiebung ϕ2 zwischen U a,2 und I q (ϕ2 = ϕU a,2 − ϕI q )?
(4 Punkte)
8. Filter (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung:
16
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion T (ω) =
die Form T (ω) =
A+jB
C+jD .
U AB
Uq
und bringen Sie das Ergebnis auf
Im Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen.
Lösung: Lösung:
T (ω) =
ωC (R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 ) −
ω3 L
ωR2 R3 C − jR2
2
2
2
1 L2 C + ωL1 + j (ω R1 L2 C − R1 + ω R2 L1 C + ω R3 L1 C +
(b) Ein Filter welcher Art stellt die Schaltung dar?
Lösung: Lösung:
Tiefpass 3. Ordnung (ω 3 )
17
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(c) Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm, sodass Sie U q einzeichnen können.
Die Zeigerlängen der Spannungen U R3 und U C sind gleich und die Zeigerlänge der Spannung U AB beträgt 10 cm.
Die Spannungen U L1 und U L2 haben eine Zeigerlänge von 4 cm und die Zeigerlänge von
U R1 ist 2 cm.
Weiters besitzen die Ströme I R2 und I C die Zeigerlängen 6 cm und 4 cm.
Lösung: Lösung:
9. Komplexer Spannungsteiler (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung, wobei die Kondensatoren (C1 , C2 ) und die
Quellenspannung U bekannt sind.
(a) Bestimmen Sie die Impedanz Z x damit U AB unabhängig von einer beliebigen Belastung
Z ist. Im Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen.
Durch welches Bauelement kann die Impedanz Z x realisiert werden? Welchen Wert hat
dieses Bauelement?
Hinweis: Das Ergebnis Z x → ∞ ist nicht gesucht.
Lösung:
Zx = j
18
1
ω(C1 + C2 )
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Bauelement: Spule
L=
ω 2 (C
1
1 + C2 )
(b) Wie groß ist die Spannung U AB unter der Annahme, dass U AB unabhängig von Z ist?
Lösung:
U AB = U
19
C1
C1 + C2
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(c) Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm, sodass Sie U einzeichnen können, unter der Annahme Zx = R und Z = 1/(jωC3 ).
Die Zeigerlängen der Spannungen U R und U C3 sind gleich und die Zeigerlängen der
Spannungen U C2 und U C1 betragen 8 cm und 4 cm. Weiters besitzen die Ströme I Z und
I C2 die Zeigerlängen 3 cm und 2 cm.
Hinweis: U R und U C3 (= U AB ) ist der Spannungsabfall an Z x = R und Z = 1/(jωC3 ).
Lösung:
I C1 = I C2 + I Z
U = U C1 + U C2
10. Komplexe Wechselstromrechnung (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung mit den Daten:
R1 = 45 Ω, R2 = 60 Ω, R3 = 20 Ω, ωL2 = 30 Ω und |U q | = 90 V
(a) Bestimmen Sie mithilfe des Zeigerdiagramms auf grafischem Wege das Verhältnis L1 /L2
so, dass die Spannung am Widerstand R2 in Phase mit der Quellenspannung ist.
Hinweis:
• Definieren Sie Ihre Startgröße selbst. Der Zeiger der Startgröße sollte die Länge von
5 cm nicht überschreiten. Der willkürlich gewählte Maßstab für Spannung und
Strom beträgt: MU = 6 V/cm, MI = 0, 2 A/cm
Lösung:
• I R3 = I R2 + I L2
• U R1 = U 2 + U R3
• I L1 = I R1 + I R3
20
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
• U q = U R1 + U L1 (die Länge von U L1 wird durch die Annahme, U 2 in Phase mit
U q , bestimmt).
(b) Bestimmen Sie zuerst den tatsächlichen Maßstab, indem Sie die Länge des Zeigers von
U q aus (a) mit der Angabe vergleichen. Berechnen Sie anschließend mit dem Ergebnis
aus (a) unter Zuhilfenahme des tatsächlichen Maßstabs den Strom iL2 (t) durch L2 .
Lösung:
(c) Bestimmen Sie mithilfe der komplexen Wechselstromrechnung das Verhältnis L1 /L2 so,
dass die Spannung am Widerstand R2 in Phase mit der Quellenspannung ist.
Lösung:
11. Komplexe Wechselstromrechnung (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung, wobei die Widerstände (R1 , R2 , R3 ), die Induktivität L2 (L1 ist unbekannt) sowie die Quellenspannung U q bekannt sind.
(a) Bestimmen Sie allgemein die Induktivität L1 so, dass die Spannung U 2 in Phase mit der
Quellenspannung U q ist.
Hinweise:
• Im Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen.
• Das Ergebnis ist eine Funktion von ω und den bekannten Bauteilwerten.
Lösung:
L1 =
ω2L
R1 R2 R3
.
2 (R1 + R2 + R3 )
(b) Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm so, dass Sie U q einzeichnen können unter der Annahme, dass die Spannung U 2 in Phase mit der Quellenspannung U q ist.
Die Zeigerlängen der Spannungen U 2 und U R3 betragen 5 cm und 4 cm. Weiters besitzen
die Ströme I R2 , I L2 und I R1 eine Zeigerlänge von 2 cm, 5 cm und 3 cm.
Lösung:
• I R3 = I R2 + I L2
• U R1 = U 2 + U R3
• I L1 = I R1 + I R3
21
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
• U q = U R1 + U L1 (die Länge von U L1 wird durch die Annahme, U 2 in Phase mit
U q , bestimmt).
22
Beispielsammlung ET1 VO
1.3
Stand: 21.09.2016
Gleichspannung
1. Ersatzwiderstand
(25 Punkte)
(a) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B. Im Ergebnis
dürfen keine || vorkommen.
Lösung:
RAB = 1||2||3||4||5||6 =
1
= 0, 4082 Ω
2, 45
(b) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B. Das Ergebnis soll
A+jB
haben und es dürfen keine || vorkommen.
die Form C+jD
Zeichnen sie das Zeigerdiagramm so dass sie alle Ströme und Spannungen einzeichnen
können. Folgende Zeigerlängen sind gegeben: UR = 7 cm, UC = 7 cm, IRC = 3.5 cm und
IL = 5 cm
Lösung:
RAB = (ZC + R) ||ZL || (ZC + R) =
23
R
1
−j
2
2ωC
||ZL =
L
2C
R
2
+ j ωRL
2
+ j ωL −
1
2ωC
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(c) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B. Führen sie die
Dreieck-Sternumwandlung durch und zreichnen Sie die resultierende Schaltung. Im Ergebnis dürfen z1 , z2 und z3 vorkommen, jedoch keine ||.
Hinweis: Verwenden Sie für die Dreieck-Sternumwandlung folgende Relation.
Schaltung
Stern-Dreieckumwandlung
Lösung:
24
Beispielsammlung ET1 VO
z1 =
Stand: 21.09.2016
L
ZL ZC
C
=
R + j (XL − XC )
R + j ωL −
R
−j ωC
RZC
=
R + j (XL − XC )
R + j ωL −
RZL
jωRL
z3 =
=
R + j (XL − XC )
R + j ωL −
z2 =
ZAB = z3 + (2z1 + z2 ) || (z1 + 2z2 ) = z3 +
2. Ersatzwiderstand
1
ωC
1
ωC
1
ωC
(2z1 + z2 ) (z1 + 2z2 )
3z1 + 3z2
(25 Punkte)
(a) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B. Im Ergebnis
dürfen keine || vorkommen.
Lösung:
RAB = [(R||2R + R) ||R + R] ||R =
13
R
21
(b) Berechnen Sie R, unter der Annahme, dass der Ersatzwiderstand bezüglich der Klemme
A und B mit RAB = 11 Ω gegeben ist. Im Ergebnis dürfen keine || vorkommen.
25
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:
RAB = R + R||R + R||R||R = R +
R R
6R + 3R + 2R
11R
+ =
=
= 11
2
3
6
6
R = 6Ω
(c) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B. Führen sie die
Dreieck-Sternumwandlung durch und zreichnen Sie die resultierende Schaltung. Im Ergebnis dürfen z1 , z2 und z3 vorkommen, jedoch keine ||.
Hinweis: Verwenden Sie für die Dreieck-Sternumwandlung folgende Relation.
Schaltung
Stern-Dreieckumwandlung
Lösung:
26
Beispielsammlung ET1 VO
z1 =
Stand: 21.09.2016
L
ZL ZC
C
=
R + j (XL − XC )
R + j ωL −
R
−j ωC
RZC
z2 =
=
R + j (XL − XC )
R + j ωL −
RZL
jωRL
z3 =
=
R + j (XL − XC )
R + j ωL −
ZAB = z3 + (2z1 + z2 ) || (z1 + 2z2 ) = z3 +
1
ωC
1
ωC
1
ωC
(2z1 + z2 ) (z1 + 2z2 )
3z1 + 3z2
3. Gleichspannungsanalyse eines R, L, C-Netzwerkes (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung mit den beiden Gleichspannungsquellen Uq /2:
(a) Vereinfachen Sie die obige Schaltung für den eingeschwungenen Zustand soweit, dass nur
mehr relevante Bauteile eingezeichnet sind.
Lösung:
(b) Berechnen Sie die eingezeichneten Ströme durch die Induktivitäten L1 und L2 .
Lösung:
Uq
3R
=0
I L1 =
I L2
(c) Berechnen Sie die eingezeichneten Spannungen an den Kapazitäten C1 , C2 ,C3 und C4 .
27
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:
U C1 = 0
U C2 = U q
2
3
Uq
3
Uq
=
6
U C3 =
U C4
(d) Berechnen Sie die eingezeichnete Spannung UR .
Lösung:
UR =
Uq
12
4. Kondensatornetzwerk (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung mit C1 = C2 = C3 = C und R1 = R2 = R, wobei der
Kapazitätswert C und der Widerstandswert R bekannt sind. Zum Zeitpunkt t = 0 sind die
Kondensatoren C2 und C3 ungeladen und die Stellungen des Schalters S1 sind wie folgt:
•
t < 0:
Schalterstellung 0
•
0 ≤ t < t1 :
Schalterstellung 1
•
t1 ≤ t ≤ t2 :
Schalterstellung 2
•
t > t2 :
Schalterstellung 3
(a) Berechnen Sie die Ladung Q1 am Kondensator C1 für den eingeschwungenen Zustand
im Zeitintervall 0 ≤ t < t1 .
Lösung:
Q1 = Uq C1 = Uq C.
(b) Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der Spannung u1 (t) am Kondensator C1 für
das Zeitintervall t1 ≤ t ≤ t2 .
Hinweis: Achsenbeschriftung nicht vergessen.
28
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:
u1 (t) = Uq −
Iq
Iq
(t − t1 ) = Uq − (t − t1 ).
C1
C
(c) Berechnen Sie die Ladung am Kondensator C1 zum Zeitpunkt t2 , d.h. vor dem Umschalten auf Schalterstellung 3.
Lösung:
Q1 (t2 ) = u1 (t2 )C1 = (Uq −
Iq
(t2 − t1 ))C1 = Uq C1 − Iq (t2 − t1 ) = Uq C − Iq (t2 − t1 ).
C1
5. Schaltwerk mit drei Kondensatoren
(25 Punkte)
Gegeben ist ein Schaltnetzwerk bestehend aus 4 unterschiedlichen Schaltern, welches mit drei
Kondensatoren, wie in der untenstehenden Abbildung dargestellt, beschalten ist. Die Schalter
werden immer synchron (dh.: gleichzeitig) zwischen den Stellungen 1 und 2 umgeschaltet.
1
2
C1
C3
1
2
1
2
UA
U
C2
1
2
(a) Am Beginn sind alle Schalter in Stellung 1 und der Kondensator C3 ist auf die Spannung UAn aufgeladen. Berechnen Sie die Spannung UAn+1 , die sich am Kondensator C3
einstellt, nachdem die Schalter gleichzeitig in Stellung 2 gebracht werden. Zeichnen Sie
das Ersatzschaltbild, welches sich nach dem Umschalten ergibt, wobei in diesem keine
Schalter mehr vorkommen dürfen. (11 Punkte)
Lösung:
29
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
U
C1
C3
U
UA
C2
Lösung:
UAn = 2U1
C1 C3 + C2 C3
C1 C2
+ UAn−1
C1 C2 + C1 C3 + C2 C3
C1 C2 + C1 C3 + C2 C3
(b) Leiten Sie die Spannungsteilerregel für eine Serienschaltung von zwei Kondensatoren C1
und C2 für den allgemeinen Fall her. Verwenden Sie als Ausgangspunkt die Ladungen
Q1 und Q2 der Kondensatoren. (5 Punkte)
6. Widerstands- und Kondensatornetzwerk (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung, die mit einer Spannungsquelle von Uq = 5 V versorgt wird.
Die Widerstandswerte betragen: Ri = 1, 8 kΩ, R1 = 1 kΩ, R2 = 2, 2 kΩ. Weiters ist der Wert
des Kondensators CV = 47 nF bekannt.
Der Kondensator Cm wird durch einen Füllstandssensor gebildet.
Der Füllstandssensor wird durch einen Plattenkondensator, wie er in obiger Abbildung dargestellt ist, gebildet. Die Abmasse der Platten des Kondensators sind: h = 1, 5 m, b = 1, 5 m. Die
Platten sind in einer Entfernung von d = 1 cm in die Flüssigkeit gestellt. In dieser Anwendung
wird der Wasserstand gemessen (Wasser: εr = 80).
(a) Wie hoch muss der Wasserstand sein, damit das Amperemeter 0 A anzeigt?
Lösung:
Wasserstand = 0.185 m
30
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(b) Bestimmen Sie die maximalen Ströme ICv ,max und ICm ,max , die sich kurzzeitig beim Laden der Kondensatoren aus Bsp. a) ergeben.
Lösung:
ICv ,max = 2.78 mA
ICm ,max = 2.78 mA
7. Kondensatornetzwerk (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung, wobei alle Kondensatoren zu Beginn der Betrachtung ungeladen sind.
(a) Berechnen Sie die Parameter der Ersatzspannungsquelle von Generator 1 und formen
Sie diese dann in eine Ersatzstromquelle um. Skizzieren Sie die Ersatzstromquelle.
Hinweis: Verwenden Sie k für die Parallelschaltung. Diese müssen in Ihrer Lösung nicht
ersetzt werden.
Lösung:
UL = U1 (
R4
R5
−
)
R2 + R4 R3 + R5
Ri = R6 + R2 kR4 + R3 kR5
IK
31
=
UL
Ri
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(b) Die Ersatzstromquelle liefert den unten gezeichneten Stromverlauf ia an Klemme a.
Beschreiben Sie den dargestellten Signalverlauf mathematisch und zeichnen Sie anschließend den Spannungsverlauf uC1 und uC2 an den Kondensatoren C1 = 10 µF und
C2 = 20 µF.
Hinweise:
• Die Spannungsfestigkeit der Kondensatoren beträgt 50 V mit einer Ausnahme: C1
hat eine Spannungsfestigkeit von 6, 3 V. Werden die Spannungen an den Kondensatoren größer, als deren Spannungsfestigkeit, werden diese zerstört und erzeugen
einen Kurzschluss. Tritt dieser Fall ein, berechnen Sie den Zeitpunkt.
• Achsenbeschriftung nicht vergessen!
Lösung:


0,
t≤0







Ia

0 ≤ t < 10

2·10 ms · t,




Ia
ia =
10 ms ≤ t < 20
2,





Ia
Ia



2 − 2·10 ms · (t − 20 ms), 20 ms ≤ t < 30





 0,
t ≥ 30
32
ms
ms
ms
ms
ms
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
uC1 (t) = uC1 (10 ms) +
1 Ia
· [τ ]|t10
C1 2
ms
= 6, 3 V
10.10−3 A
· (t − 10.10−3 )s = 6, 3 V
2
uC1 (t) = 2, 5 V +
1
10.10−6
uC1 (t) = 2, 5 V +
1
2.10−3
uC1 (t) = 2, 5 V +
1V
10 V
·t−
= 6, 3 V
2.10−3 s
2
As
V
s
V
·
(t − 10.10−3 )s = 6, 3 V
t = (6, 3 V − 2, 5 V + 5 V).2.10−3
s
V
t = 17, 6 ms
(c) Eine 12 V Autobatterie dient in Generator 2 als Versorgung. Zum Zeitpunkt tB = 100 ms
befindet sich Generator 2 im eingeschwungenen Zustand. Berechnen Sie die Spannung
ucd (t ≥ 100 ms), die zwischen den Klemmen c und d anliegt.
Lösung:
Ucd = UBatt = 12 V
8. Kondensatornetzwerk (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung mit den Bauteilwerten:
Cu = 1 µF: C0 = Cu , C1 = 0, 25 Cu , C2 = Cu , C3 = Cu ,
C4 = 3 Cu
Die Wechselstromquelle liefert: i(t) = î · sin(ωt + ϕ), wobei Ieff = 2 mA beträgt und keine
Phasenverschiebung vorhanden ist. Weiters wird die Stromquelle mit f = 100 Hz betrieben.
Zu Beginn befindet sich der Schalter S1 in Neutralstellung n und alle Kondensatoren sind
entladen.
(a) Welche Kapazität messen Sie, wenn Sie zwischen der Klemme 1 und der Klemme 0 ein
Kapazitätsmessgerät schalten? Lösung:
(b) Ausgehend von der Neutralstellung n wird der Schalter bei der positiven Halbwelle von
i(t) in die Position a gebracht und bei der negativen Halbwelle in die Position b.
33
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Welche Spannung messen Sie zum Zeitpunkt t = 22 ms zwischen Klemme 2 und
Klemme 0?
Lösung:
(c) Skizzieren Sie den Verlauf von U10 für 0 ≤ t < ∞. Geben Sie dabei auch das Maximum
an, das U10 erreichen kann!
Lösung:
9. Kondensatornetzwerk (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung, wobei sich die Schaltung zum Zeitpunkt der Betrachtung im
eingeschwungenen Zustand befindet.
(a) Berechnen Sie die Spannung UAB in Abhängigkeit von Iq .
Lösung:
UAB = U2 − U4 = Iq R2 (
C1
C3
−
)
C1 + C2 C3 + C4
(b) Welche Bedingung muss für die Kapazitäten erfüllt sein, damit UAB = 0 V erreicht werden kann?
Lösung:
C1
C3
=
C2
C4
34
Beispielsammlung ET1 VO
1.4
Stand: 21.09.2016
Helmholtz
1. Überlagerungssatz von Helmholtz (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung, wobei die Quellenspannungen Uq1 und Uq2 , der Quellenstrom
Iq sowie die Widerstände R bekannt sind.
(a) Berechnen Sie die Spannung UC für den eingeschwungenen Zustand unter Verwendung
des Überlagerungssatzes von Helmholtz. Geben Sie die für die Berechnung notwendigen
Schaltungen an.
Hinweis:
• Das Ergebnis muss ein Funktion der Bauteilwerte und der Quellgrößen sein.
• Im Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche und ||-Symbole vorkommen.
Lösung:
UC =
2
R
2
R
2
Uq1 + (− Uq2 ) + (−Iq ) = (Uq1 − Uq2 ) − Iq .
3
|3 {z } | 3{z } | {z 3 } 3
UC,Uq1
UC,Uq2
UC,Iq
2. Überlagerungssatz von Helmholtz (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung, wobei die Quellenspannungen Uq1 , Uq2 und Uq3 bekannt sind.
Und die Widerstandswerte (R1 , . . . , R5 ) wie folgt gegeben sind:
R1 = R2 = 4R
R3 = R4 = 2R
R5 = 1R
Hinweis: Strom bzw. Spannungsquellen dürfen nur in äquivalente Spannungs- bzw. Stromquellen umgewandelt werden wenn dies gefordert ist, siehe Punkt (b).
35
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(a) Berechnen Sie für die gesamte Schaltung den Widerstand RAB bezüglich der Klemmen
A und B, verwenden Sie für das Ergebnis die gegebenen Bauteilwerte.
Hinweis: Im Ergebnis dürfen weder Doppelbrüche noch ||-Symbole vorkommen.
Lösung:
RAB = R1 ||R2 || [R5 + (R3 ||R4 )]
[(R3 + R4 ) R5 + R3 R4 ] R1 R2
=
= 1R
R1 R2 (R3 + R4 ) + (R1 + R2 ) [(R3 + R4 ) R5 + R3 R4 ]
(b) Berechnen Sie für den grau schattierten Teil die Ersatzstromsquelle (Iq , Ri ) bezüglich
der Klemmen A und B. Geben Sie die für die Berechnung notwendige(n) Schaltung(en)
an.
Hinweis: Die Ergebnisse müssen Funktionen von Uq1 , Uq2 und den Bauteilwerten sein
und dürfen keine Doppelbrüche enthalten.
Lösung:
Uq1 Uq2
Uq1 + Uq2
+
=
,
R1
R2
4R
Ri = R1 ||R2 = 2R.
Iq =
(c) Ersetzen Sie nun den grau schattierten Teil mit einer Ersatzstromquelle (Iq , Ri ) und
zeichnen Sie die resultierende Schaltung.
(d) Berechnen Sie den Strom IR4 unter Verwendung des Überlagerungssatzes von Helmholtz.
Verwenden Sie für den grau schattierten Teil die in Punkt (b) berechnete Ersatzstromquelle (Iq , Ri ).
Hinweise:
• Das Ergebnis muss eine Funktion von Uq1 , Uq2 , Uq3 und den Bauteilwerten sein.
• Im Ergebnis dürfen weder Doppelbrüche noch ||-Symbole vorkommen.
• Falls Sie Punkt (b) nicht lösen können muss das Ergebnis eine Funktion von Uq3 ,
Iq , Ri und den Bauteilwerten sein.1
Lösung:
Uq1 + Uq2 + 3Uq3
1
3
I R4 = I q +
Uq3 =
,
4
16R
16R
R3 Ri Iq + R4 (Ri + R5 ) Uq3
.
I R4 =
R3 R4 + (R3 + R4 ) (Ri + R5 )
3. Überlagerungssatz von Helmholtz (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung, wobei die Widerstände (R1 , . . . , R4 ), die Kapazitäten (C1 , C2 ),
die Induktivitäten (L1 , . . . , L3 ), der Quellenstrom (Iq ) und die Quellenspannungen (Uq1 , Uq2 ,
Uq3 ) bekannt sind.
1
Diese Werte entsprechen NICHT der Lösung von Punkt (b)!
36
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(a) Berechnen Sie die Spannung UC2 für den eingeschwungenen Zustand unter Verwendung
des Überlagerungssatzes von Helmholtz. Geben Sie die für die Berechnung notwendigen
Schaltungen an.
Hinweise:
• Im Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen und k darf im Ergebnis nicht
für die Paralleschaltung verwendet werden.
• Das Ergebnis muss eine Funktion von
Lösung:
U C2
R2 kR3
R1 kR3
R1 kR2
= |{z}
0 + −Uq1
+ −Uq2
+ −Uq3
.
R1 + R2 kR3
R2 + R1 kR3
R3 + R1 kR2
UC2 ,Iq
{z
} |
{z
} |
{z
}
|
UC2 ,Uq1
UC2 ,Uq2
UC2 ,Uq3
4. Überlagerungssatz von Helmholtz (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung, wobei alle Widerstandswerte (R1 , . . . , R6 ), die Quellenspannung Uq1 sowie der Quellenstrom Iq2 bekannt sind.
Uq1 = 1 V, Iq2 = 0, 5 A
R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 1 Ω, R4 = 5 Ω, R5 = 1 Ω, R6 = 3 Ω
Berechnen Sie den Strom I4 unter Verwendung des Überlagerungssatzes von Helmholtz.
Hinweis:
37
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
• Umwandlungen von Quellen sind erlaubt!
Lösung:
I4 = I4,1 + I4,2 = 92, 3 mA − 61, 7 mA = 30, 6 mA
5. Überlagerungssatz von Helmholtz (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung, wobei der Widerstandswert R und die Quellenspannungen
(Uq1 , Uq2 ) bekannt sind.
(a) Berechnen Sie die Leerlaufspannung UL und den Kurzschlussstrom IK unter Verwendung des Überlagerungssatzes von Helmholtz bezüglich der Klemmen A und B.
Geben Sie die für die Berechnung notwendigen Schaltungen an und vereinfachen Sie das
Ergebnis soweit wie möglich.
Hinweise:
• Der Zusammenhang Ri = UIKL darf nicht verwendet werden.
• Das Ergebnis muss eine Funktion von Uq1 , Uq2 und R sein.
Lösung:
Uq1 3Uq2
+
,
8
8
Uq1 Uq2
+
.
IK =
6R
2R
UL =
(b) Berechnen Sie den Innenwiderstand Ri bezüglich der Klemmen A und B. Geben Sie
die für die Berechnung notwendigen Schaltungen an und vereinfachen Sie das Ergebnis
soweit wie möglich.
Hinweise:
• Der Zusammenhang Ri = UIKL darf nicht verwendet werden.
• Das Ergebnis muss eine Funktion von R sein.
Lösung:
3
Ri = R.
4
6. Überlagerungssatz von Helmholtz (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung, wobei die Widerstände (R1 , . . . , R4 ) der Quellenstrom Iq
sowie die Quellenspannung Uq1 bekannt sind.
38
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(a) Berechnen Sie allgemein den Strom I3 unter Verwendung des Überlagerungssatzes
von Helmholtz. Geben Sie die für die Berechnung notwendigen Schaltungen an.
Hinweise:
• Verwenden Sie k für die Parallelschaltung. Diese müssen am Ende nicht ersetzt
werden.
• Das Ergebnis muss eine Funktion von Uq1 , Iq und den Bauteilwerten sein.
Lösung: TODO
7. Überlagerungssatz von Helmholtz (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung, wobei die Widerstandswerte R1 , . . . , R5 , der Quellenstrom
Iq , sowie die Quellenspannung Uq bekannt sind.
(a) Berechnen Sie den Strom IR2 , der durch den Widerstand R2 fließt. Verwenden Sie zur
Lösung des Beispiels den Überlagerungssatz von Helmholtz.
Hinweise:
• Das Ergebnis muss eine Funktion der bekannten Werte R1 , . . . , R5 , Iq und Uq sein
und darf keine Doppelbrüche enthalten.
• Verwenden Sie k für die Parallelschaltung. Diese müssen am Ende nicht ersetzt werden.
Lösung:
I R2 = −
Uq
R4 k(R2 + R3 )
R1 kR4
·
− Iq
R2 + R3 R1 + [R4 k(R2 + R3 )]
(R1 kR4 ) + (R2 + R3 )
39
Beispielsammlung ET1 VO
1.5
Stand: 21.09.2016
Knotenspannung- & Maschenstromanalyse
1. Maschenstromanalyse (25 Punkte)
Gegeben ist ein Gleichungssystem, das mit Hilfe der Maschenstromanalyse aufgestellt wurde.



































R1 +
1
jωC1
1
− jωC
1
1
− jωC
1
1
jωC1
0
+ jωL1 + R3
−R3
1
jωC2
0
−R3
0
−jωL1
0
0
0
1
− jωC
2
0
−jωL1
0
0
1
− jωC
2
+ jωL2 + R3
1
jωC3
1
− jωC
3
+ jωL1
1
− jωC
3

0
1
jωC2
+
1
jωC3
+R


















 ·














2


I M1  U q1 
I
I
I
I
 

 
 
 
 
 
 

M2 
 
 
 
 
 
 
 

M3 
 =
 
 
 
 
 

M4 
 
 
 
 
 
 
 

M5 
 































(a) Skizzieren Sie die zum obigen Gleichungssystem gehörende Schaltung und bezeichnen
Sie alle Bauelemente. Zeichnen Sie alle Maschenströme (I M1 , . . . , I M5 ) vorzeichenrichtig
zueinander ein.
Lösung:
2. Knotenspannungsverfahren (25 Punkte)
Hinweis: Punkt (a) und (b) können getrennt berechnet werden.
40
0
0
0
0
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(a) Geben Sie das Gleichungssystem für die Knotenspannungsanalyse in Matrixschreibweise
an und berechnen Sie die einzelnen Knotenspannungen. Beachten sie dazu:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
K0 ist der Bezugsknoten.
Verschieben Sie die ideale Spannungsquelle Uq1 über den Knoten K1 .
Verschieben Sie Uq2 nicht.
Geben Sie das Gleichungssystem in Matrixschreibweise an.
Berechnen Sie die einzelnen Knotenspannungen.
Lösung:
• Verschieben Uq1 über K1 :
• Umwandeln in Stomquelle
Iq1 =
Uq1
R
• Gleichungssystem in Matrixschreibweise und Knotenspannungen
U
−Iq1
3G −G
· 20 =
U30
−Uq2
0
1
U30 = −Uq2
Uq1
R
−Uq1 − Uq2
R
· =
3
3
3G · U20 − G (−Uq2 ) = −
U20 = −
Uq1 + Uq2
R
• Wiederherstellen von Knoten K2
41
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
U10 = Uq1 + U20
−Uq1 − Uq2
2Uq1 − Uq2
U10 = Uq1 +
=
3
3
(b) Berechnen sie die Ströme I1 . . . I6 . Die in Punkt (a) definierten Knotenspannungen sind
als gegeben anzunehmen und müssen nicht explizit berechnet werden (Lösung aus (a)
nicht einsetzen).
2Uq1 − Uq2
U10
=
R
3R
=0
−Uq1 − Uq2
U20
=
=
R
3R
−Uq1 − 4Uq2
U20 − U30
=
=
R
3R
Uq3
−U30
=
=
R
R
I1 =
I2
I3
I4
I5 = I6
3. Knotenspannungsanalyse (25 Punkte)
Gegeben ist die folgende Gleichstromschaltung, wobei die Widerstände (R1 , . . . , R8 ), die Quellenspannungen Uq und der Quellenstrom Iq bekannt sind.
42
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(a) Geben Sie die Anzahl der Zweige z, der Knoten k und der unabhängigen Maschen m an.
Lösung:
z=8
k=5
m=4
(b) Bereiten Sie das Netzwerk auf die Knotenspannungsanalyse vor, indem Sie, wenn möglich,
Quellen entsprechend umwandeln und Widerstände zusammenfassen. Die Bezeichnung
der Knoten ist entsprechend der obigen Schaltung zu wählen, wobei K0 dem Bezugsknoten entspricht. Geben Sie anschließend das Gleichungssystem der Knotenspannungsanalyse in Matrixschreibweise an.
Lösung:

 

Iq
U10
G3 + G4 + G8
−G3
−G4
0
 U20   0 

−G3
G2 + G3 + G6
0
−G2

 


 U30  =  0 

−G4
0
G1 + G4 + G5
−G1
U q G7
U40
0
−G2
−G1
G1 + G2 + G7

4. Knotenspannungsanalyse (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung:
Iq
(a) Geben Sie das Gleichungssystem für die Knotenspannungsanalyse in Matrixschreibweise
an. Beachten Sie dazu:
i. Als Bezugsknoten ist K0 zu wählen.
ii. Die Spannungsquelle Uq1 darf nicht über Knoten K1 verschoben werden.
iii. Die Spannungsquelle Uq2 darf nicht über Knoten K2 verschoben werden.
43
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:
Iq


G1 + G2 + G3 + G4 + G5
−G1 − G2 − G4 − G5
−G1 − G2 − G4 − G5
G1 + G2 + G4 + G5 + G6
mit:
Iq1 =
Iq2 =
Iq3 =
Iq5 =
Iq6 =
44
Uq1
R1
Uq1 + Uq2
R2
Uq1
R3
Uq2
R5
Uq2
R6
 
·
U10
U20


=
−Iq1 − Iq2 − Iq5 − Iq3 − Iq
Iq1 + Iq2 + Iq5 + Iq6


Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(b) Geben Sie mit Hilfe der in Punkt (a) definierten Knotenspannungen, die Gleichungen
für die Berechnung der Ströme IR1 bis IR6 an (Strompfeile in der Angabeschaltung
einzeichnen). Die Knotenspannungen aus (a) sind als gegeben anzunehmen und müssen
nicht explizit berechnet werden (Gleichungssystem aus (a) nicht lösen).
Lösung:
Iq
IR1 =
IR2 =
IR3 =
IR4 =
IR5 =
IR6 =
U40 − U20
R1
U40 − U30
R2
U40
R3
U20 − U10
R4
U30 − U10
R5
U30
R6
mit:
U40 = Uq1 + U10
U30 = U20 − Uq2
45
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(c) Wählen Sie nun den Bezugsknoten so, dass Sie mit einer minimalen Anzahl an Verschiebungen der Spannungsquellen auskommen. Zeichnen Sie diese Schaltung (inkl. ihrer gewählten Knotenbezeichnungen soweit auf, bis eine Umwandlung in Stromquellen
möglich ist (Aufstellen des Gleichungssystems nicht notwendig).
Lösung:
Iq
Es gibt auch noch eine weitere Lösung!
5. Maschenstromanalyse (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung und der dazugehörige gerichtete Netzwerkgraph mit vollständigem Baum:
Die Nummerierung der Zweige im Netzwerkgraph stimmt mit den Indizes der Elemente des
Netzwerkes überein. Die Widerstände (R1 , . . . , R8 ), die Quellenspannung Uq sowie der Quellenstrom Iq sind bekannt.
(a) Geben Sie das Gleichungssystem für die Maschenstromanalyse in Matrixschreibweise an.
In der Matrix und dem Vektor auf der rechten Seite des Gleichungssystems dürfen nur
bekannte Größen stehen. Definieren Sie die Maschenströme im Uhrzeigersinn, beginnend
mit dem Maschenstrom Im1 und zeichnen Sie diese in den Netzwerkgraphen und in die
ursprüngliche Schaltung ein.
46
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:

 
 
−Uq
Im1
R1 + R5 + R7
−R5
0
−R7
 Im2   Iq R8 

−R5
R4 + R5 + R8
−R8
0

 
·

 Im3  = −Iq R8 

0
−R8
R3 + R6 + R8
−R6
Uq
Im4
−R7
0
−R6
R2 + R6 + R7

(b) Bestimmen Sie die Spannung UAB mit Hilfe der in (a) definierten Maschenströme. Diese
sind als gegeben anzunehmen und müssen nicht explizit berechnet werden (Gleichungssystem nicht lösen).
Hinweis:
• Das Ergebnis muss eine Funktion der Maschenströme und den Bauteilwerten sein.
Lösung:
UAB = U5 − U6 = I5 R5 − I5 6R6 = (Im2 − Im1 )R5 − (Im4 − Im3 )R6 .
(c) Annahme: R7 = 0 Ω; R8 → ∞ Ω (ideale Quellen) und Iq = 0 A
Wie muss der Widerstand R1 gewählt werden, damit kein Strom über die Widerstände
R3 und R4 fließt.
Hinweis:
• In diesem Fall sind alle Widerstände, mit Ausnahme von R1 , bekannt.
Lösung:
R1 =
47
R2 R5
.
R6
Beispielsammlung ET1 VO
1.6
Stand: 21.09.2016
Leistung
1. Leistungsberechnung (25 Punkte)
√
An einem Kondensator der Kapazität C wird der Stromverlauf i(t) = I 2 cos(ωt) festgestellt.
(a) Berechnen Sie im Zeitbereich den Spannungsverlauf u(t) und den Leistungsverlauf p(t).
Schreiben Sie die Ergebnisse mit Cosinus Funktionen an und skizzieren Sie diese im
nachstehenden Diagram.
Nehmen Sie für die Darstellung an, dass |U |cm = |I|cm und |P |cm = |I|2cm , und beschriften
Sie die Zeitverläufe und tragen Sie die Amplitudenwerte auf der Ordinate ein.
Lösung:
i, u, p
√ I √
I 2, ωC 2
i(t)
2
I
ωC
1
2
3
4
5
6
7
t
p(t)
u(t)
Z
1 √
1 √
π
I 2 sin(ωt) =
I 2 cos(ωt − )
ωC
ωC
2
1
π
p(t) = u(t) i(t) = I 2
cos(2ωt − )
ωC
2
u(t) =
1
C
i(t)dt + u0 =
• Hilfreiche Gleichungen:
Z
sin(x)dx = − cos(x) ,
Z
cos(x)dx = sin(x)
d cos(x)
d sin(x)
= cos(x) ,
= − sin(x)
dx
dx
1
sin(x) sin(y) = (cos(x − y) − cos(x + y))
2
1
cos(x) cos(y) = (cos(x − y) + cos(x + y))
2
1
sin(x) cos(y) = (sin(x − y) + sin(x + y))
2
(b) Stellen Sie den Strom als komplexen Zeiger dar, und berechnen sie die Zeiger der Spannung und der Leistung. Zeigen Sie durch Transformation des Spannungszeigers in den
Zeitbereich die Gleichheit zu den berechneten Größen aus a).
Hinweis: Geben Sie die Umwandlungen zwischen Zeitbereich und Zeigerdarstellung vollständig
an.
48
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:
i(t) =
√
n
o √
2 Re I ejφi ejωt = 2 Re I ejωt
⇒ I = I ejφi = I
π
1
1
I=
I e−j 2
ωC
ωC
1 2
∗
S = U I = −j
I
ωC
U = Z C I = −j
u(t) =
√
n
o √ 1
π
2 Re U ejφu ejωt = 2
I cos(ωt − )
ωC
2
⇒ gleich zu Ergebnis is a)
(c) Wie groß muss ein Serienwiderstand R gewählt werden, um bei gegebenen ω und C einen
Leistungsfaktor von cos(φ) = √12 zu erzielen?
Lösung:
R = ωC
2. Leistung (25 Punkte)
An die Spannungsversorgung einer Hütte (U = 230 V, f = 50 Hz) sind eine Pumpe und ein
Elektroofen mit folgenden Kennwerten angeschlossen:
• Pumpe: (Mech.) Pumpleistung PP = 1 kW, ηp = 0.8, IP = 7 A
• Elektroofen: Heizleistung PO = 2 kW, ηO = 1, cos ϕO = 1
(a) Berechnen Sie cos ϕH des Verbrauchers “Hütte”.
Lösung:
cos ϕH = 0.955
(b) Stellen Sie die Wirk-, Blind-, und Scheinleistung von Pumpe, Elektroofen und Hütte
maßstabsgetreu in der komplexen Ebene dar und zeichnen Sie den in Punkt (a) berechneten Winkel ϕH in ihre Skizze ein.
Hinweis: 1 kW =
b 4 cm; 1 kvar =
b 4 cm; 1 kVA =
b 4 cm.
Lösung:
(c) Wieviele Glühlampen mit einer Wirkleistung pro Lampe von PGl = 100 W müssen mindestens parallel zur Pumpe und zum Elektroofen geschaltet werden, um beim Verbraucher “Hütte” ein cos ϕH > 0.96 zu erreichen?
49
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:
n=3
3. Blindleistungskompensation (25 Punkte)
Bei einem Halogentrafo mit den Daten U = 230 V , f = 50 Hz, I = 1.5 A und cos ϕ = 0.35 soll
eine Blindleistungskompensation mit einem Parallelkondensator Cp durchgeführt werden.
(a) Berechnen Sie den Wert von Cp um einen Leistungsfaktor cos ϕk = 0.9 zu erreichen.
Lösung:
S = U ∗ I = 230V ∗ 1, 5A = 345V A
P = U ∗ I ∗ cos φ = S ∗ cos φ = 345V A ∗ 0, 35 = 120, 75W
φ = acos(0, 35) = +69, 51◦ (induktiv daher+)
Q = U ∗ I ∗ sin φ = S ∗ sin φ = 323, 18var
cos φk = 0, 9 → φk = 25, 84◦
Wirkleistung bleibt gleich (Spannung bleibt gleich da Parallelkondensator)
P
P = U ∗ Ik ∗ cos φk → Ik =
= 0, 5833A
U ∗ cos φk
Qk = U ∗ Ik ∗ sin φk = 58, 5var
Qc = Q − Qk = 323, 18var − 58, 5var = 264, 7var
Qc =
U2
Qc
= U2 ∗ ω ∗ C ⇒ C =
= 15, 9µF Cp
Xc
ω ∗ U2
= 15.9 µF.
(b) Stellen Sie alle relevanten Leistungen mit und ohne Kompensation grafisch (winkelrichtig) in der komplexen Ebene dar und geben Sie den dafür verwendeten Maßstab an.
Lösung:
(c) Der in Punkt (a) berechnete Kondensator Cp wird fälschlicherweise in Serie zum Halogentrafo geschaltet. Berechnen Sie die Wirkleistung P dieser Anordnung.
Hinweis: Sollten Sie Punkt (a) nicht lösen können, verwenden Sie Cp = 10 µF.
Lösung:
50
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
|U | j(φ) 230V j69,5◦
◦
e
=
e
= 153, 3Ωej69,5 = 53, 7 + j143, 6
|I|
1, 5A
1
1
◦
= 53, 7Ω + j(143, 6 −
) = 53, 7 − j56, 2 = 77, 7Ωe−j46,3
= Zs − j
ωC
ωC
230V
U
= 2, 96A
=
=
Z2 |C=15,9µF
77, 7Ω
pi
= U ∗ I ∗ cos φ2 = 230V ∗ 2, 96A ∗ cos −46, 3◦ ∗
= 470.3 W.
180
Zs =
Z2 |C=15,9µF
I2 |C=15,9µF
P |Cp =15.9 µF
Z2 |C=10µF = 53, 7 − j174, 7 = 182, 8Ωe−j72,9
230V
= 1, 26A
I2 |C=10µF =
182, 8Ω
◦
P |Cp =10 µF = U ∗ I ∗ cos φ2 = 230V ∗ 1, 26A ∗ cos −72, 9, 3◦ ∗
π
= 85.2 W.
180
Zusatz:
Q|Cp =15,9 µF = U ∗ I ∗ sin φ2 = −492, 2var
Q|Cp =10 µF = −285, 8var
4. Blindleistungskompensation
Gegeben ist folgende Schaltung:
(25 Punkte)
Die beiden Motoren M1 und M2 mit den Daten:
• Motor 1 (M1 ): P1 = 460 W, cos ϕ1 =
√1
2
• Motor 2 (M2 ): Rp2 = 105, 8 Ω, Lp2 = 500 mH (Werte der Parallelersatzschaltung)
werden parallel am Netz (U = 230 V, f = 50 Hz) betrieben und mittels
Kondensator CK = 39 µF wird die Blindleistung kompensiert.
(a) Berechnen Sie die Blindleistung Q1 des Motors M1 , sowie die Wirkleistung P2 , die Blindleistung Q2 und cos ϕ2 des Motors M2 .
51
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:
Q1 = 460 var
P2 = 500 W
Q2 = 336, 77 var
cos ϕ2 = 0, 83
(b) Welche Scheinleistung SM wird von beiden Motoren in Summe aufgenommen und wie
groß ist cos ϕM der beiden Motoren (CK nicht berücksichtigen).
Lösung:
SM = 1247, 6 VA
cos ϕM = 0, 77
(c) Ermitteln Sie SM graphisch mit dem Maßstab 100 W =
b 1 cm, 100 VA =
b 1 cm, 100 var =
b 1 cm.
52
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:
(d) Berechnen Sie cos ϕ des kompensierten Gesamtsystems.
Lösung:
cos ϕ = 0, 99
(e) Die Klemmen am Kondensator CK bewirken ohmsche Verluste. Diese Verluste werden
mit einem Serienwiderstand RCK = 80 Ω beschrieben. Welcher cos ϕKR der Gesamtschaltung ergibt sich aufgrund dieser Verluste an CK ?
Lösung:
cos ϕKR = 0, 94
5. Zeigerdiagramm/Blindleistungskompensation
(a) Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung:
53
(25 Punkte)
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm, sodass Sie U q einzeichnen können.
Die Zeigerlängen der Sröme I R und I L2 sind gleich und die Zeigerlänge des Stromes I
beträgt 6 cm. Weiters besitzen die Spannungen U L2 , U R und U L1 die Zeigerlängen 6 cm,
4 cm und 2 cm. (6 Punkte)
Lösung:
(b) Von einer komplexen Wechselstromschaltung wurde folgende Parallelersatzschaltung berechnet.
Ausgehend von dieser Parallelersatzschaltung soll eine Blindleistungskompensation mit
einem Parallelkondensator Cp durchgeführt werden.
Berechnen Sie den Wert von Cp , um cos ϕ = 0.95 zu erreichen, unter der Annahme
Rp = 100 Ω, Lp = 100 mH und f = 500
π Hz. (10 Punkte)
Lösung:
Cp = 6.7µF.
6. Leistungsanpassung (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung, wobei |U q | = 5 V, f = 50 Hz, Ri = 8 Ω und
Ra = 40 Ω bekannt sind:
(a) Wie muss die Induktivität La dimensioniert werden, damit in Ri und Ra die gleichen
Wirkleistungen umgesetzt werden?
54
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
Lösung:
La = 63, 7 mH
(b) Wie groß sind die Wirkleistungen in Ri und Ra , wenn außerdem noch XCi = −4 Ω?
Lösung:
Pi = 0, 5 W,
Pa = 0, 5 W
(c) Welchen Wert muss La haben, wenn in Z a maximale Wirkleistung umgesetzt werden
soll? Wie groß ist in diesem Fall die Leistung der Spannungsquelle?
Lösung:
La = 12, 7 mH,
Pq = 1, 56 W
7. Leistung in Wechselstromschaltungen (25 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung, wobei Ri = 4 Ω und UG = 22 V bekannt sind. Weiters ist
der Leistungsfaktor cosϕ = 0, 7 des unkompensierten Systems bekannt.
S1
Mittels Oszilloskop werden die Verläufe iW und uW des kompensierten Systems gemessen.
Nachdem der Schalter S1 in Position b gebracht wurde, zeigt das Oszilloskop folgendes Bild:
(a) Geben Sie uW und iW mathematisch an:
Lösung: uw = 100 V · sin((2π100 Hz) · t)
55
iw = 2 A · sin((2π100 Hz) · t −
π
15 )
Beispielsammlung ET1 VO
Stand: 21.09.2016
(b) Berechnen Sie den Betrag der Motorimpedanz.
Lösung:
|Z M | =
70, 71 V
|U |
=
= 35, 9 Ω
|I|
1, 97 A
(c) Bestimmen Sie ohne Rechnung den Winkel ϕZM (in Grad) der Motorimpedanz und
begründen Sie ihr Ergebnis textuell.
Lösung:
ϕZM = arccos ϕ = arccos(0, 7)
Begründung Der Winkel im Leistungsfaktor cosϕ = 0, 7 ist gleichzeitig der Winkel
zwischen Spannung U und Strom I im unkompensierten System.
(d) Schalter S1 befindet sich in Position a. Berechnen Sie den Gleichstrom IG .
Hinweis:
• Nehmen Sie an, dass der Kondensator CK zum Zeitpunkt der Betrachtung voll
geladen ist.
Lösung:
IG =
22 V
UG
=
= 0, 755 A
RM + R i
(25, 13 + 4) Ω
8. Leistung in Wechselstromschaltungen (25 Punkte)
Durch Blindleistungskompensation eines Motors mit einem Parallelkondensator Cp = 10 µF,
ergibt sich ein Gesamtstrom Ik = 2 A bei einer Spannung U = 230 V und einer Frequenz
f = 50 Hz. Der Leistungsfaktor beträgt cos ϕk = 0.9.
(a) Berechnen Sie die Scheinleistung S des nicht kompensierten Motors.
Lösung: TODO
(b) Berechnen Sie die Bauelemente (Rp , Lp ) der Parallelersatzschaltung des nicht kompensierten Motors.
Lösung: TODO
(c) Skizzieren Sie qualitativ die Ortskurven des kompensierten Motors (Parallelschaltung
Rp , Lp und Cp ) in der Z- und Y -Ebene.
Hinweis: Achsenbeschriftung, charakteristische Punkte und Frequenzinformationen nicht
vergessen.
Lösung: TODO
56