schriftliche prüfung zum eintritt in die qualifikationsphase der

SCHRIFTLICHE PRÜFUNG
ZUM EINTRITT IN DIE QUALIFIKATIONSPHASE
DER GYMNASIALEN OBERSTUFE
UND
ZENTRALE KLASSENARBEIT
AN DEUTSCHEN SCHULEN IM AUSLAND
2013
MATHEMATIK
5. März 2013
Prüfungsregion WEST
Arbeitszeit: 135 Minuten
Hinweise für die Prüfungsteilnehmerinnen und -teilnehmer:
Alle Aufgaben sind zu bearbeiten. Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen muss
deutlich erkennbar und in gut lesbarer Form dargestellt werden.
Erlaubte Hilfsmittel sind:
- Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung,
- Taschenrechner (nicht-programmierbar, nicht-graphikfähig),
- Tafelwerk,
- Zeichengeräte.
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Aufgabe 1
1.1 Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC.
a. Berechnen Sie die fehlenden Winkelgrößen
α und β.
[Zur Kontrolle: β = 63,4°]
(Skizze nicht maßstäblich)
b. Bestimmen Sie die Länge der Seite c in
Abhängigkeit von a.
c.
Zeichnen Sie die Höhe h c in das Dreieck ein.
Berechnen Sie die Länge der Höhe h c für a = 5 cm.
1.2
a. Zeichnen Sie einen Einheitskreis [1 LE =ˆ 3 cm] .
Zeichnen Sie dort einen Winkel α = 40° ein.
Markieren Sie in der Zeichnung, wo man sin(α), cos(α) und tan(α) ablesen kann.
b. Bestimmen Sie rechnerisch eine Lösung für α.
tan(α) = 2 · sin(α)
c.
Zeigen Sie, dass gilt: cos( α ) =
1
1 + tan 2 ( α )
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1.3 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =
1
2
· sin(x)
a. Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [ - π ; 3π ] in das unten stehende
Koordinatensystem ein.
b. Zeichnen Sie die Gerade g mit der Gleichung y = 0,25 ebenfalls in das
Koordinatensystem ein.
c.
Geben Sie die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen im gezeichneten
Intervall an.
Berechnen Sie die Koordinaten eines Schnittpunktes der beiden Graphen.
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Aufgabe 2
Bild: Wikipedia (Golden Gate Bridge) vom 13.6.2012
Die Biegekurve der Stahlseile im mittleren Brückenabschnitt kann man näherungsweise
durch eine Parabel zweiter Ordnung beschreiben.
Die Straße teilt die Höhe der großen Stützpfeiler (etwa) im Verhältnis 2:1.
a. Wählen Sie ein Koordinatensystem und zeichnen Sie dieses in das Bild oben ein.
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung für die Biegekurve.
23
⋅ x2 ]
[Zur Kontrolle: Eine mögliche Lösung ist p(x) =
61440
Die Straße ist durch vertikal verlaufende Stahlseile am Parabelbogen aufgehängt.
b. Eines dieser Stahlseile ist 100 m vom rechten Pfeiler entfernt angebracht.
Berechnen Sie die Länge dieses Stahlseils.
c. Ein anderes Stahlseil ist genau 80 m lang.
Berechnen Sie die Entfernung dieses Stahlseils vom rechten Pfeiler.
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Aufgabe 3
h
Eine Baufirma lagert angelieferten Schotter mit einem
Förderband ab. Dadurch entsteht ein Schüttkegel. Der
Umfang des Grundkreises dieses geraden Kreiskegels
beträgt 9,00 m. Der Schüttwinkel α beträgt 40,0° (vgl.
Abb.1). Die Höhe dieses Kegels sei h, sein
Grundkreisradius r.
α
a. Weisen Sie nach, dass die Höhe h dieses
Schüttkegels ca. 1,20 m beträgt.
b. Der Schotterhaufen soll als Schutz vor Regen mit
Planen abgedeckt werden.
r
(Skizze nicht maßstäblich)
Abb.1
Berechnen Sie, wie viele Quadratmeter Planen mindestens erforderlich sind.
c. Der Schotter soll vollständig mit einem Transporter abgefahren werden. Der
quaderförmige Laderaum ist 2,00 m lang und 1,50 m breit.
Ermitteln Sie die Füllhöhe des Laderaums. Nehmen Sie an, dass der Schotter dort
überall gleich hoch liegt.
Schüttkegel aus Schotter besitzen unabhängig vom Volumen fast immer den gleichen
Schüttwinkel.
d. Tim behauptet, dass solch ein Kegel mit doppelter Höhe auch die doppelte Grundfläche
bedecken müsste.
Untersuchen Sie die Richtigkeit dieser Aussage.
e. Die Baufirma lagert am folgenden Tag weiteren Schotter auf den bereits vorhandenen
Schüttkegel ab. Die Höhe des dadurch entstehenden Kegels mit gleichem
Schüttwinkel vergrößert sich um die Hälfte der ursprünglichen Höhe h.
Ermitteln Sie eine Gleichung, mit der sich das Volumen des neuen Schüttkegels
aus r und h berechnen lässt.
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