V - Max-Planck-Institut für Plasmaphysik

Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
1
Von der kinetischen zur Flüssigkeits-Beschreibung von Plasmen
f
v3 , x3
Wolfgang Suttrop, Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, Garching
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
2
Beschreibung von Plasmen
• Einzelteilchen-Beschreibung
– Bewegungsgleichung für einzelne Teilchen
– Exakt oder in Näherung (z. B. Driftnäherung) lösbar
– Rückwirkung auf ~E und ~B schwierig zu berechnen
• Kinetische Beschreibung
– Verteilungsfunktion (Dichte) im 6-dimensionalen Phasenraum (~x,~v)
– Beobachtbare Grössen (Ort, Geschwindigkeit) sind Momente der Verteilungsfunktion
– “Bewegungsgleichungen” im 6-D Phasenraum
• Flüssigkeitsbeschreibung
– Behalte Ortskoordinate, integriere über Geschwindigkeit
– Bewegungsgleichungen für Momente der Verteilungsfunktion: mittlere (Flüssigkeits-)
Geschwindigkeit, Temperatur, ...
– Separat für jede Spezies, oder als eine Flüssigkeit (Elektronen und Ionen gemeinsam)
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
Inhalt
1. Von Einzelteilchen zur Verteilungsfunktion
2. Momente der Verteilungsfunktion
3. “Bewegungsgleichungen” für die (6-D) Verteilungsfunktion
4. Momentengleichungen = Bewegungsgleichungen für die Momente
5. Das Schliessungsproblem - gelöst durch adiabatische Zustandsgleichungen
3
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Kinetische Beschreibung
N-Teilchen-Problem
Plasma mit N Teilchen (i = 1 . . . N). Bewegungsgleichung des i-ten Teilchens:
mi
d~vi
=
dt
∑
Fi, j ,
j=1...N, j6=i
mit Fi, j : Kraft des j-ten Teilchens auf das i-te Teilchen.
Problem der Ordnung N 2 !
Für die meisten Plasmen: ND ≫ 1010 .
1020 Operationen pro Zeitschritt (noch) nicht praktikabel.
→ nicht einmal die Debye-Kugel kann mit Einzelteilchen ohne Näherungen beschrieben
werden.
4
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
5
Teilchen im Phasenraum
Klassisches Teilchen: “Punkt” im Phasenraum mit definiertem Ort ~x und Geschwindigkeit ~v.
Phasenraumdichte des i-ten Teilchens (idealisiert für Atomradius null):
gi (~x,~v,t) = δ(~x −~xi (t)) δ(~v −~vi (t)),
⇒
Z Z Z Z Z Z
x
v
gi dv3 dx3 = 1
Viele Teilchen:
g(~x,~v,t) =
∑ δ(~x −~xi (t))
δ(~v −~vi (t))
“Exakte′′ Phasenraumdichte
i
g
v3, x3
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6
Particle In Cell-Methode
1. Berechne gemeinsame Felder
(z.B. auf Gitter in Ortskoordinaten, “cells”):
φ(~x) =
y
qi
1
, ~E = −∇φ
∑
4πε0 i |~x −~xi |
~A(~x) = µ0 ∑ qi~vi + ∇φ, ~B = ∇ × ~A
4π i |~x −~xi |
(Praxis: ρ = ∑ q und ~j = ∑~vq auf Gitter
akkumulieren, danach φ, ~A lösen)
x
2. Propagiere Teilchen im Feld:
q ~
E +~v × ~B dt
d~x =~vdt, d~v =
m
Benötige Ncell ≫ 1 Teilchen pro Gitterzelle!
Rechenaufwand:
Ordnung N Operationen + Feldberechnung
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Langreichweitige Felder vs. Kollisionen
v3
v3
x3
Langreichweitige Felder:
“Gleiche Kraft am gleichen Ort”
(im 6D-Phasenraum)
→ Teilchenzahlerhaltung in konvektiertem
Phasenraumvolumen
x3
Kurzreichweitige Stösse:
Streuung ins/aus dem Phasenraumvolumen
→ keine Teilchenzahlerhaltung
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Kinetische Beschreibung
Verteilungsfunktion
Betrachte kontinuierliche Teilchendichte f (~x,~v,t) im 6D Phasenraum
(anstelle von Einzelteilchen)
f
v3 , x3
“Gleitender Mittelwert” über Volumen mit Nv ≫ 1.
8
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Momente der Verteilungsfunktion
Makroskopische Grössen durch Mittelwertbildung:
< g(~x,~v) >=
Z
g(~x,~v) f (~x,~v,t)d3 xd3 v
Ortsabhängige Grössen:
Teilchendichte
mittlere Geschwindigkeit
kinetische Energiedichte
Drucktensor
n(~x,t) =
u(~x,t) =
w(~x,t) =
P(~x,t) =
Z
f (~x,~v,t) d3 v
v
1
n
Z
Z
v
Z
~v f (~x,~v,t) d3 v
v
1 2
mv f (~x,~v,t) d3 v
2
m (~v −~u) (~v −~u) f (~x,~v,t) d3 v
v
9
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10
Die Temperatur
Maxwell-Verteilung:
v2
exp −
f (~v) =
3/2
2
< v2 >
(π < v >)
n
m
=n
2πkB T
3/2
mv2
exp −
2kB T
Temperatur: kB T = 12 m < v2 >
Mit unterliegender Geschwindigkeit u: “Verschobene” Maxwell-Verteilung
3/2
2
m
m(~v −~u)
f (~v) = n
exp −
2πkB T
2kB T
“Temperatur” einer beliebigen Verteilungsfunktion:
m
kB T =
n
Z
(~v −~u) · (~v −~u) f (~x,~v,t) d3 v
v
Vgl. mit (skalarem) Druck:
p = nkB T
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“Bewegungsgleichung”
Suchen eine “Bewegungsgleichung” für Verteilungsfunktion f .
Nehmen langreichweitige Kräfte an.
Erhaltung der Teilchenzahl:
f (~x,~v,t) d3 x d3 v = f (~x′ ,~v′ ,t ′ ) d3 x′ d3 v′
Newton’sche Kraftgleichung
~F(~x,~v) = m d~v
dt
11
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12
1. Schritt: Zeitentwicklung des Phasenraumvolumens
Zeitentwicklung der Koordinaten t → t + δt
xr′
so dass
= xr + vr δt,
dxr′
dxr
= 1+
v′r
∂vr
δt,
∂xr
(δt → 0)
Fr
= vr + δt,
m
dv′r
dvr
= 1+
(r = x, y, z)
∂
∂vr
Fr
m
δt
Zusammenfassen (nur Terme 1. Ordnung in δt):
F
∂
∂v
r
r
δt + ∑
δt + O(δt 2 )
d3 x′ d3 v′ = d3 x d3 v 1 + ∑
m
r ∂vr
r ∂xr
Vektorschreibweise:
d3 x ′
d3 v′
d3 x d3 v
"
= 1 + (∇x ·~v) δt + ∇v ·
~F
m
! #
δt
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13
2. Schritt: Zeitentwicklung der Verteilungsfunktion
f = f (~x,~v,t), und ~v = d~x/dt
Kettenregel → “konvektive Ableitung”
∂f
∂f
d~v
d~x
d~v
df
=
=
+ (∇v f ) · + (∇x f ) ·
+
· ∇v
dt
∂t
dt
dt
∂t
dt
|{z}
≡~v
f + (~v · ∇x ) f
Kraft auf Teilchen im Phasenraumelement: ~F(~x,~v) = m d~v/dt
df
∂f
=
+
dt
∂t
~F
· ∇v
m
!
f + (~v · ∇x ) f
Bzw.
f
′
=
df
f + δt
dt
=
∂f
f+
δt +
∂t
~F
· ∇v
m
!
f δt + (~v · ∇x ) f δt
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Kinetische Beschreibung
14
Bewegungsgleichung
Einsetzen der vorherigen 2 Beziehungen in
d3 x′ d3 v′
f (~x,~v,t) = f (~x ,~v ,t ) 3 3
d xd v
′
′
′
ergibt:
"
∂f
f (t) = f (t) + dt +
∂t
~F
· ∇v
m
!
#"
f (t)dt + (~v · ∇x ) f (t)dt
In 1. Ordnung dt:
∂f
+ ∇x · (~v f ) + ∇v ·
∂t
~F
f
m
!
dt = 0
Formal: Kontinuitätsgleichung für f (im 6-D Phasenraum)!
Vgl. “echte” Kontinuitätsgleichung für Flüssigkeitsströmung:
∂ρ
+ ∇ · (~vρ) = 0
∂t
1 + (∇x ·~v) dt + ∇v ·
~F
m
! #
dt
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Kinetische Beschreibung
Vlasov-Gleichung
Betrachte ~F = q(~E +~v × ~B). Dann:
∇v ·
z.B. x-Koordinate:
~F
m
!
q
= ∇v · ~E +~v × ~B = 0
m
q ∂
(Ex + vy Bz − vz By ) = 0
m ∂vx
Ausserdem: ~x und ~v unabhängige Koordinaten, d.h. ∂vr /∂xr = 0.
⇒ Vlasov-Gleichung (Anatoly Vlasov, 1938):
∂f
q ~
E +~v × ~B · ∇v f = 0
+~v · ∇x f +
∂t
m
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Kinetische Beschreibung
Gyrokinetische Gleichung
Vlasov-Gleichung berücksichtigt kompletten dynamischen Pfad der Phasenraumelemente.
Betrachte Gleichung für Gyrozentrendichte (anstatt Teilchendichte)
f (~X, vk ,~V⊥ , ψ,t) (ψ: Phasenwinkel der Gyration)
Koordinatentransformation: ~X - Gyrozentrumsposition:
~B
~
v
×
~x = ~X −
,
ωc B
~v =~vk +~v⊥ +~vE ,
~v⊥ = v⊥ (~ex cos ψ −~ey sin ψ)
Ann. zur Vereinfachung: ∂~B/∂t = 0, und ~vE = ~E × ~B/B2 (el. Drift)
!
~
~
qE
~vE ·~v⊥ ∂ f
B
qE⊥ ·~v⊥ ∂ f
∂f
k ∂f
+ ωc 1 − 2
+ vk
· ∇X f +
=0
+
∂t
B
m ∂vk
mv⊥ ∂v⊥
∂ψ
v⊥
Mittelung über Gyrobewegung: ∂ < f > /∂ψ = 0, < ~E⊥ ·~v⊥ >= 0:
~B
∂< f >
+ vk +~vE
∂t
B
!
∂
q
· ∇X < f > + E k
< f >= 0
m ∂vk
16
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Boltzmann-Gleichung
Boltzmann-Gleichung berücksichtigt kurzreichweitige
Stösse
~
∂f
F
δf
+~v · ∇x f + · ∇v f =
∂t
m
δt c
| {z }
Stossoperator
dto. mit elektromagnetischer Kraft
δf
∂f
q ~
~
E +~v × B · ∇v f =
+~v · ∇x f +
∂t
m
δt c
Z.B. Krook’scher Stossoperator (ohne Beweis):
δf
= νn ( fn − f )
δt c
fn : Verteilungsfunktion der Spezies, an der gestreut wird.
Ludwig Boltzmann
(1844-1906)
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Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
18
Ein “einfaches” kinetisches Problem: Elektrostatische Wellen
Betrachten Elektronen, q = −e,
elektrostatisches Problem: B, Ḃ = 0, ~E = −∇φ
Stoßfreiheit → Vlasov-Gleichung
e
∂f
+~v · ∇x f + (∇φ) · ∇v f = 0
∂t
m
Haben zwei Unbekannte:
(Elektronenverteilung f , el. Potenzial φ)
→ Benötigen 2. Gleichung:
Poisson-Gleichung
Z ∞
e
ρ
= −
n0 −
f d3 v
∇2 φ = −
ε0
ε0
−∞
Linearisieren
( f0 , φ0 = const):
e
∂ f1
+~v · ∇x f1 + (∇φ1 ) · ∇v f0 = 0
∂t
m
Z
e ∞
2
∇ φ1 =
f 1 d3 v
ε0 −∞
Fourier-Ansatz (Vlasov, J.Phys.USSR ’45)
∂/∂t → −iω, ∇x → i~k
Wähle ~kk~ez :
∂ f0
e
= 0
−iω f1 + ikvz f1 + ik φ1
m ∂vz
e
2
k φ1 = −
m
Z ∞
−∞
f 1 d3 v
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Kinetische Beschreibung
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Elektrostatische Wellen (2)
Index “1” kann weggelassen werden:
e ∂ f0
= 0
−iω f + ikvz f + ik φ
m ∂vz
k2 φ = −
Z
e ∞
f d3 v
Nicht-triviale Lösung nur, wenn [ ] = 0
→ “Dispersionsrelation” für ω(k)
e2
D ≡ 1−
ε0 mk2
Z ∞
∂ f0 /∂vz
−∞
vz − ω/k
d3 v = 0
Über x− und y−Richtung kann integriert
m −∞
Vlasov-Gl. nach f auflösen und in Poisson-Gl. werden.
Def.: 1-D Verteilungsfunktion F0 (vz ) mit
einsetzen:
R
Z
F0 dvz = 1:
2
∞ ∂ f /∂v
e
0
z
k2 φ =
kφ
d3 v
Z ∞ Z ∞
1
ε0 m
kv
−
ω
−∞
z
F0 (vz ) ≡
f0 (~v) dvx dvy
n0 −∞ −∞
nach φ auflösen:
Außerdem: ω2p = n0 e2 /(ε0 m)
Z ∞
2
∂ f0 /∂vz 3
e
d v φ=0
1−
→ “1-D” Dispersionsrelation:
2
ε0 mk −∞ vz − ω/k
2 Z ∞
ω
∂F0 /∂vz
p
Phasengeschwindigkeit der Welle: vph = ω/k
dvz = 0
D = 1− 2
k −∞ vz − ω/k
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Kinetische Beschreibung
Elektrostatische Wellen (3)
“1-D” Dispersionsrelation:
ω2p Z ∞ ∂F0 /∂vz
D = 1− 2
dvz = 0
k −∞ vz − ω/k
R
Partielle Integration:
uv′
R ′
= [uv] − u v
Sonderfälle:
Stehende Welle, k = 0
Kaltes Plasma, vz = 0
→ ω = ωp
(Plasmaschwingungen)
Resonanz, vz = ω/k = vph
F0
F0
+
dvz Lösung existiert nur, wenn
dvz =
2
vz − ω/k −∞
−∞ vz − ω/k
−∞ (vz − ω/k)
F0 (ω/k) = 0 und
(∂F0 /∂vz ) (ω/k) = 0,
anwenden und mit k2 /ω2 multiplizieren:
d.h. keine Teilchen stehen in
Z ∞
2
ωp
F0 (vz )
Resonanz mit der Welle.
D = 1− 2
2 dvz = 0
ω −∞
1 − vωz k
Grundsätzliches Problem,
behandelt durch Lev Landau
→ “Landau-Dämpfung”
Z ∞
∂F0 /∂vz
∞
Z ∞
(wir kommen darauf zurück)
20
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
Elektrostatische Wellen (4):
21
Langmuir-Wellen
Betrachten jetzt nur hochfrequente Wellen: (ω/k) ≫ vz
bzw. x ≡ vz k/ω ≪ 1 (strenggenommen: vz,max )
Entwicklung des Integranden von D:
Für ~u = 0 (vorherige Annahme)
ist < v2z > ∼ kB T /m
(Temperatur als zweites Moment
der Geschwindigkeitsverteilung)
1
= 1 + 2x + 3x2 + . . .
1+x
so dass
ω2p Z ∞
D(k, ω) = 1− 2
ω −∞
Erinnern uns an die
Schallgeschwindigkeit
2 = γ k T /m mit γ = (l + 2)/l
c
B
s
"
#
2
vz k
vz k
(l: Zahl der Freiheitsgrade)
+3
1+2
+ . . . F0 (vz ) dvz
ω
ω
Ann: Es fließe kein stationärer Strom. Dann verschwindet
das Integral über den 2. Term.
Die Lösung bis zur 2. Ordnung lautet:
ω =
2
ω2p
1+3
k2
< v2z
ω2
>
Näherung der Dispersionrelation
für nicht zu hohes k:
ω2 = ω2p + 3k2 < v2z >
“Bohm-GrossDispersionsrelation”
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
22
Momentengleichungen
Oft kann die Verteilungsfunktion nicht geschlossen bestimmt werden.
→ Entwicklung nach Momenten der Geschwindigkeit.
k-tes Moment, Boltzmann-Gleichung:
Z
Z
Z
~
∂
f
F
~vk d3 v + ~vk+1 · ∇x f d3 v + ~vk · ∇v f d3 v = ~vk
∂t
m
v
v
v
v
verknüpft k-te und k + 1-te Potenz von ~v!
Z
δf
δt
d3 v
c
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
23
Null-tes Moment: Kontinuitätsgleichung
Boltzmann-Gleichung über ~v integrieren,
Stossterm (R.S.) verschwindet, da kurzreichweitige Stösse die Dichte nicht verändern:
Z
Z ~
Z Z
F
δf
∂f 3
3
3
d v + ~v · ∇x f d v +
· ∇v f d v =
d3 v
δt c
v
vm
v
v ∂t
|
{z
}
=0
Dritter Term (mit Satz von Gauss) verschwindet, wenn f für v → ∞ schnell abfällt:
Z Z
Z
3
3
~F f · dSv = 0
~F · ∇v f d v = ∇v ~F f d v =
v
S
v
⇒ Kontinuitätsgleichung für die betrachtete Spezies:
∂n
+ ∇ · (n u) = 0
∂t
Ladungserhaltung: ×q und über alle Spezies aufsummieren:
∂ρ
+ ∇ · ~j = 0
∂t
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
Erstes Moment
Boltzmann-Gleichung,
Z
R
v . . .:
v m~
Z
∂f 3
m ~v d v + m ~v (~v · ∇x f ) d3 v +
v
v ∂t
L.S., Erstes Integral:
Z δf
3
~
~v F · ∇v f d v = m ~v
d3 v
δt c
v
v
Z
Z
∂
∂
∂f 3
3
m ~v f d v = (mn~u)
m ~v d v =
∂t
∂t
∂t
v
v
Z
L.S., Zweites Integral:
Z
Z
Z
m ~v (~v · ∇x f ) d3 v = ∇ · m ~v ~v f d3 v − m f (∇ ·~v ~v) d3 v
v
v
}
| v {z
→0,v→∞
Umschreiben mit ~v ~v = (~v −~u) (~v −~u) +~u ~v +~v ~u −~u ~u:
Z
m ~v ~v f d3 v = m
v
Z
(~v −~u) (~v −~u) f d3 v + mn~u ~u = P + mn~u ~u
v
24
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
25
Erstes Moment: Kraftgleichung
L.S., Drittes Integral (Ann.: F sei Lorentz-Kraft, ∇v F = 0)
Z
Z
Z 3
3
3
~v ~F · ∇v f d v = ~v · ∇v ~F f d v = − ~F f d v = −qn ~E +~u × ~B
v
v
v
R.S., Kollisionsterm: Impulsübertrag pro Volumen und Zeit durch Stösse
Z
δc f 3
δc p
m ~v
d v=
δt
δt
v
Alles zusammenfassen und geeignet umformen:
i
h
∂~u
∂
(mn~u) + ∇ · (mn~u~u) = mn
+ (~u · ∇)~u = nq ~E +~u × ~B −∇ · P +
| {z }
∂t
∂t
|
{z
}
|
{z
}
Druckgradient
d~u/dt
Lorentz−Kraft
(Newton’sche Kraftgleichung auf Flüssigkeitselement)
δc p
δt
|{z}
Reibungskraft
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
Zweites Moment
I.a.: ~v ~v: Tensor 2. Ordnung ⇒ 9 Gleichungen
(6 nicht-redundant, 3 Diagonal-, 3 Nebendiagonalelemente)
Hier: Benutze ~v ·~v = v2 (Spur) als 2. Moment
Multipliziere mit Boltzmann-Gl (und integriere über alle Geschwindigkeiten)
Z
m
m
1
3
2 δf
2∂f 3
2
3
2 ~
v
d v+
v (~v · ∇x f ) d v +
v F · ∇v f d v = m v
d3 v
2 v ∂t
2 v
2 v
δt c
v
Z
Z
Z
L.S., Erster Term, W : Kinetische Energiedichte
Z
Z
∂
f
1
∂
∂W
m
2
3
2
3
d v=
mv f d v =
v
2 v ∂t
∂t
2
∂t
v
~ Wärmefluss
L.S., Zweiter Term, Q:
m
2
Z
v
v2 (~v · ∇x f ) d3 v = ∇ ·
Z
1 2 3
~
~v v f d v = ∇ · Q
v2
26
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
Zweites Moment: Energiegleichung
L.S., Dritter Term, mit ∇v v2 = 2~v, und ~v · (~v × ~B) = 0 → Joule’sche Wärme
Z
Z
Z 1
1
v2 ~F · ∇v f d3 v = −
f ~F · ∇v v2 d3 v = −q~E · ~v f d3 v = −~E · ~ji
2 v
2 v
v
Energiegleichung i − te-Spezies:
∂Wi
~ i − ~E · ~ji =
+∇·Q
∂t
Z
δc fi 3
1
mi v2
d v
δt
v2
Summation über alle Spezies, Kollisionsterm (Energieaustausch) hebt sich auf:
∂W
~ = ~E · ~j
+∇·Q
∂t
27
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
28
Das Schliessungsproblem
Der Term ~v · ∇ f der Boltzmanngleichung verknüpft jede Momentengleichung mit dem
nächsthöheren Moment → Zur Schliessung des Systems mit endlich vielen Gleichungen ist eine
zusätzliche Bedingung notwendig.
Keine allgemeine Lösung dieses “Schliessungsproblems”
Beispiel: kaltes Plasma
“Zustandsgleichung” verknüpft P mit niedrigen Momenten. Trivial bei kaltem Plasma
(kB T → 0):
P=0
→ Kraftgleichung (höchstes Moment, da keine Wärme):
i δ p
h
∂~u
c
+ (~u · ∇)~u = nq ~E +~u × ~B +
mn
∂t
δt
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
Adiabatische Zustandsgleichung
Ideales Gas: pV = NkB T .
Thermodynamisches Gleichgewicht: pV γ = const., (γ = C p /Cv ).
Skalarer Druck:
P = 1p
Wenn Teilchendichte gegeben:
d p
= 0,
dt nγ
p = p0
Verknüpfung mit Zahl der Freiheitsgrade z:
z+2
γ=
z
⇒ 3-D: γ = 5/3, 2-D: γ = 2,
1-D: γ = 3
n
n0
γ
29
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
Zustandsgleichung für nicht-isotropen Druck
Geringe Kopplung (Stösse) zwischen Bewegung k~B und ⊥ ~B ⇒ Anisotroper Druck-Tensor


p⊥ 0
0

~B~B 

P = p⊥ 1 + p k − p⊥ 2 =  0 p ⊥ 0 

B
0
0 pk
mit pk = nkB Tk , p⊥ = nkB T⊥ .
pk = pk,0
n
n0
3
,
p⊥ = p⊥,0
n
n0
2
Allerdings:
• Keine Kopplung der Druckkomponenten im inhomogenen ~B-Feld
• Keine Feldabhängigkeit von pk /p⊥ (wie z.B. im magnetischen Spiegel)
30
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
31
Chew-Goldberger-Low-Zustandsgleichungen
1. Adiabatische Invariante: Erhaltung des magnetischen Moments:
2
d mv⊥
d kB T⊥
d p⊥ d
µ=
=
=
=0
dt
dt 2B
dt
B
dt n B
Spiegelpunkte
B
A
Ideales Gas:
L
T⊥ ∝ B,
2. Adiabatische Invariante:
H
Erhaltung von J = vk ds, bzw. J = vk L = const.
Teilchenzahlerhaltung: N = nAL = const.
Flusserhaltung: Ψ = AB = const.
!
!
2
2
d 2pk L B2 A2
d pk B
d J 2 Ψ2
=
=
=0
dt N
dt
nm n2 A2 L2
dt
n3
Tk ∝ (n/B)2
Temperatur-Anisotropie bei Strömung im inhomogenen ~B-Feld, z.B. Magnetosphäre
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
32
Zusammenfassung (1)
• In “kinetischer Beschreibung” von Plasmen wird die Dichte im Phasenraum betrachtet:
f (~x,~v,t) (Verteilungsfunktion)
• Die Verteilungsfunktion wird als kontinuierlich angenommen, d.h. über
Phasenraumvolumen mit N ≫ 1 gemittelt
• Die makroskopischen, ortsabhängigen Grössen Teilchendichte n, mittlere Geschwindigkeit
~u, Drucktensor, etc. ergeben sich als Momente der Verteilungsfunktion
• Man unterscheidet
– langreichweitige Wechselwirkung (z.B. Lorentz-Kraft) - im Phasenraumvolumen bleibt
die Teilchenzahl erhalten
– kurzreichweitige Stösse - Streuung in das bzw. aus dem Phasenraumvolumen
• “Bewegungsgleichungen” für f :
– Vlasov-Gleichung - für stossfreie Plasmen
– Boltzmann-Gleichung - kurzreichweitige Stösse
– Gyrokinetische Gleichung - für Gyrozentrendichte
Einführung in die Plasmaphysik
Kinetische Beschreibung
33
Zusammenfassung (2)
• Aus den Momenten der Boltzmanngleichungen ergeben sich Gleichungen für
makroskopische Grössen:
– 0-tes Moment: Kontinuitätsgleichung (Massenströmung)
– 1-tes Moment: Kraftgleichung (Impulsübertrag)
– 2-tes Moment: Energiegleichung (Wärmefluss)
• Das System der Momentengleichung ist nicht in sich geschlossen und muss durch eine
weitere Bedingung für das höchste betrachtete Moment geschlossen werden. Für den
Druck (skalar oder anisotrop) gilt (bei hinreichender Stossfrequenz) eine adiabatische
Zustandsgleichung in Abhängigkeit von der Dichte.
• Im magnetisierten Plasma geht durch die Invarianz der ersten und zweiten adiabatischen
Konstante das Magnetfeld in die Zustandsgleichung (Chew-Goldberger-Low) ein.