1 Induktive Statistik - XP

9. August 2007
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MM 1006 Lösung der Statistik-Prüfung
Induktive Statistik
Im folgenden soll bei jeder Aufgabe auch das Prinzip explizit genannt werden,
mit dem die Lösung berechnet wird. (z.B. Satz von Bayes‘“, Erwartungswert
”
”
der Binomial-Verteilung“, unabhängige Zufallsvariablen“ etc.)
”
Aufgabe 1. Eine Person spielt zehn Runden Roulette (mit Zahlen von 0 bis 36)
und setzt jedesmal auf nur eine Zahl.
Teilaufgabe 1.1. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person in einer Runde
gewinnt?
Laplace-Wahrscheinlichkeit.
Ereignis A : Gesetzte Zahl gewinnt.“
”
Ω = {0, 1, . . . , 36}
1
= 37
P (A) = |A|
|Ω|
Teilaufgabe 1.2. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person mindestens
einmal gewinnt?
Bernoulli-Kette.
1
36
p = 37
, q = 1 − p = 37
36 10
Keinmal gewinnen: q 10 = 37
Mindestens einmal gewinnen entspricht nicht keinmal gewinnen.
10
1 − q 10 = 1 − 36
≈ 0, 24
37
Teilaufgabe 1.3. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person mindestens
dreimal gewinnt?
Binomialverteilung.
P( höchstens zwei Gewinne“) = P( kein Gewinn“) + P( genau ein Gewinn“) +
”
”
”
P( genau zwei Gewinne“)
”
P( mindestens drei Gewinne“) = P( nicht höchstens zwei Gewinne“) = 1 - P( min”
”
”
destens drei Gewinne“)
1 − 10
p0 q 10 + 10
p1 q 9 + 10
p2 q 8 = 2
0
1
10 1 1 36 9
10 1 2 36 8
1 0 36 10
1 − 10
+
+
≈ 0, 003
0 37 37
1 37 37
2 37 37
Teilaufgabe 1.4. Wie oft wird die Person durchschnittlich gewinnen?
Erwartungswert der Binomial-Verteilung
1
10
E(X) = 10 · 37
= 37
≈ 0, 27
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Aufgabe 2. Der Spieler ändert seine Roulette-Strategie und spielt nun solange
bis er gewinnt, wobei er diesmal immer auf eine Farbe setzt.
Teilaufgabe 2.1. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler in einer Runde gewinnt?
Laplace-Wahrscheinlichkeit.
Ereignis A = Gewählte Farbe gewinnt“.
”
Ω = {0, 1, . . . , 36}
= 18
P (A) = |A|
|Ω|
37
Teilaufgabe 2.2. Wieviele Runden muss der Spieler im Mittel spielen, bis er
das erste Mal gewinnt?
Erwartungswert der geometrischen Verteilung.
1
= 181 = 37
≈ 2, 06
E(x) = P (A)
18
37
Teilaufgabe 2.3. Wieviele Runden muss der Spieler im Mittel spielen, bis er
zwei Mal gewinnt, wenn zwischen den Erfolgen auch Misserfolge liegen dürfen?
Erwartungswert der geometrischen Verteilung. Additivität des Erwartungswertes.
Anzahl Runden zum ersten Gewinn: x. Anzahl Runden nach dem ersten Gewinn
bis zum zweiten Gewinn: y.
Gesucht: E(x + y).
37
37
+ 18
≈
Wegen Additivität der Erwartungswerte gilt E(x + y) = E(x) + E(y) = 18
4, 11
Aufgabe 3. Der Hersteller eines Geräts, welches Geldscheine auf Echtheit prüft,
gibt die Erkennungsrate falscher Geldscheine mit 98% an (falscher Geldschein
wird als falsch erkannt) und die der Fehlalarme mit 5% (echter Geldschein wird
als falsch eingestuft).
Ereignis F : Schein ist falsch.“
”
Ereignis A : Gerät schlägt Alarm.“
”
P (A|F ) = 0.98
P (A|F̄ ) = 0.05
Teilaufgabe 3.1. Angenommen, jeder zehntausendste Schein im Umlauf ist gefälscht.
Wenn das Gerät nun einen Schein als gefälscht anzeigt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser tatsächlich gefälscht?
P (F ) = 0.0001
P (A) = P (A|F ) · P (F ) + P (A|F̄ ) · P (F̄ ) (totale Wahrscheinlichkeit)
P (A|F )P (F )
P (F |A) = P (A|F )P
(F )+P (A|F̄ )P (F̄ )
0.98·0.0001
P (F |A) = 0.98·0.0001+0.05·0.9999
0.000098
P (F |A) = 0.000098+0.049995
≈ 0.002
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Teilaufgabe 3.2. Angenommen, das Gerät meldet jeden tausedsten Schein als
Falschgeld. Wie hoch ist der tatsächliche Anteil falscher Scheine im Umlauf ?
P (A) = 0.001
)P (F )
P (F |A) = P (A|F
P (A)
Nach P (F ) auflösen.
P (F |A)P (A) = P (A|F )P (F )
|A)P (A)
P (F ) = P (F
P (A|F ))
P (F ) = 0.002·0.001
≈ 0.000002
0.98
Aufgabe 4. Betrachten wir ein Wettrennen mit sieben Teilnehmern.
Teilaufgabe 4.1. Wieviele verschiedene Startreihenfolgen gibt es?
Permutationen: n! = 7! = 5040
Teilaufgabe 4.2. Von weiten ist nur zu erkennen, dass fünf der Teilnehmer
dunkelhaarig und zwei blond sind. Wieviele Kombinationemöglichkeiten bleiben
noch?
Binomialkoeffizient:
n
k
=
7
2
=
7!
5!2!
= 21
Aufgabe 5. Bei einem Filmfestival werden 24 Filme gezeigt, von denen jeweils
drei gleichzeitig stattfinden.
Teilaufgabe 5.1. Wieviele Möglichkeiten gibt es, sich ein Festivalprogramm zusammenzustellen, wenn soviele Vorstellungen wie möglich besucht werden?
Für jede der acht Vorstellungen gibt es drei Möglichkeiten, sich zu entscheiden:
38 = 6561
Teilaufgabe 5.2. Wieviele Möglichkeiten gibt es, sich ein Festivalprogramm zusammenzustellen, wenn mindestens eine Vorstellung besucht wird?
Wenn nicht alle Vorstellungen besucht werden müssen, gibt es für jede der acht
Vorstellungen vier Möglichkeiten: Film A, Film B, Film C oder nicht hingehen.
D.h. Anzahl der Möglichkeiten: 48 = 65536.
Es gibt genau eine Möglichkeit, keinen Film anzusehen. D.h. Anzahl der Möglichkeiten mindestens einen Film anzusehen: 48 − 1 = 65535.
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MM 1006 Lösung der Statistik-Prüfung
Deskriptive Statistik
Aufgabe 6. Gegeben sind die folgenden Daten:
X
Y
Datensatz
4 3 2 1
1 3 5 7
0
9
Teilaufgabe 6.1. Bestimme Mittelwerte x̄ und ȳ sowie empirische Varianzen sX
und sY .
x̄ = 51 (4 + 3 + 2 + 1 + 0) = 2
ȳ = 15 (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 5
s2X = 15 ((4 − 2)2 + (3 − 2)2 + (2 − 2)2 + (1 − 2)2 + (0 − 2)2 ) = 2
s2Y = 51 ((1 − 5)2 + (3 − 5)2 + (5 − 5)2 + (7 − 5)2 + (9 − 5)2 ) = 8
Teilaufgabe 6.2. Bestimme die empirische Kovarianz sXY .
sXY = 51 ((4 − 2)(1 − 5) + (3 − 2)(3 − 5) + (2 − 2)(5 − 5) + (1 − 2)(7 − 5) + (0 − 2)(9 − 5)) =
−4
Teilaufgabe 6.3. Bestimme den Korrelationskoeffizienten. Sind die beiden Merkmale X und Y anhängig voneinander?
−4
√ = √
= √−4
= −4
r = ssxXY
= −1
sy
4
2 8
16
Die beiden Merkmale sind negativ abhängig voneinander.
Teilaufgabe 6.4. Bestimme die Ausgleichsgerade.
β = ssXY
= −4
= −2
2
2
X
α = ȳ − β x̄ = 5 − (−2) · 2 = 9
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