Reelle Algebra - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. Alexander Prestel
Sven Wagner
Wintersemester 2007/08
Übungsblatt 7
30.11.2007
Reelle Algebra
Aufgabe 7.1:
Sei R ein reell abgeschlossener Körper, und seien n, m, k ∈ N∗ . Seien A ⊂ Rn und B ⊂ Rm
semialgebraische Mengen. Zeigen Sie:
a) Sind f : A → B und g : B → Rk semialgebraische Funktionen, so auch g ◦ f : A → Rk .
b) Eine Abbildung f : A → B ist genau dann semialgebraisch, wenn für jede semialgebraische Funktion g : B → R die Komposition g ◦ f : A → R semialgebraisch ist.
c) Seien f1 , . . . , fm : A → R Abbildungen. Die Abbildung f = (f1 , . . . , fm ) : A → Rm ,
a 7→ (f1 (a), . . . , fm (a)) ist genau dann semialgebraisch, wenn alle fj semialgebraisch
sind.
d) Sei f : A → R semialgebraische Funktion, für die f (a) 6= 0 für alle a ∈ A gilt. Dann
1
ist auch f1 : A → R, a 7→ f (a)
semialgebraisch.
e) Sind f, g : A → R semialgebraische Funktionen, so auch sup(f, g) : A → R, a 7→
sup{f (a), g(a)} und inf(f, g) : A → R, a 7→ inf{f (a), g(a)}.
f) Ist f : A → Rm eine semialgebraische Funktion, so ist f −1 (B) semialgebraisch.
g) Ist f : A → B eine semialgebraische Bijektion, so ist auch die Umkehrabbildung
f −1 : B → A semialgebraisch.
Aufgabe 7.2:
Sei S ⊂ Rn eine nichtleere semialgebraische Menge über einem reell abgeschlossener Körper
R. Zeigen Sie:
a) Für alle x ∈ Rn ist der Abstand zwischen x und S
dist(x, S) := inf{kx − yk | y ∈ S}
wohldefiniert.
b) Die Funktion distS : Rn → R, x 7→ dist(x, S) ist stetig und semialgebraisch, sie verschwindet auf dem Abschluß S von S, ist aber überall sonst positiv.
Aufgabe 7.3:
Sei R ein reell abgeschlossener Körper, und sei n ∈ N∗ . Zeigen Sie, daß die semialgebraischen
Mengen
Rn , ]0, ∞[n , ]0, 1[n und Bn := {x ∈ Rn | kxk < 1}
alle zueinander semialgebraisch homöomorph sind.
Bitte wenden.
Aufgabe 7.4:
Sei (K, ≤) ein angeordneter Körper, sei n ∈ N∗ , und sei K[X1 , . . . , Xn ] der Polynomring in
n Unbestimmten über K. Sei a = (a1 , . . . , an ) ∈ K n gegeben. Zeigen Sie, daß die Menge
P := Pa := {f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] | f (a) ≥ 0} folgende Eigenschaften besitzt:
a) P + P ⊂ P , P · P ⊂ P , K[X1 , . . . , Xn ]2 ⊂ P und −1 ∈
/ P;
b) P ∪ −P = K[X1 , . . . , Xn ] und P ∩ −P ist ein Primideal von K[X1 , . . . , Xn ].
Sei nun b ∈ K n mit b 6= a. Betrachten Sie die Menge T := Pa ∩ Pb = {f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] |
f (a) ≥ 0, f (b) ≥ 0}. Welche der oben genannten Eigenschaften sind auch für T erfüllt?
Welche nicht?
Abgabe bis Freitag, den 7. Dezember, 10 Uhr in Briefkasten 18.