Theoretische Mechanik für LAK WS 09/10

W. Schweiger
Institut für Physik
FB Theor. Physik
KFU Graz
Theoretische Mechanik für LAK
WS 09/10
6. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 24.11.2009)
Aufgabe 17: Ein Raumschiff bewegt sich mit der Geschwindigkeit v(t) geradlinig durch den gravitationsfreien Raum. Es sammelt dabei (ruhenden) interstellaren Staub ein, sodass seine Masse m mit der Rate dm/dt = Cv
zunimmt (C=konst., hängt u. a. vom Querschnitt des Raumschiffs ab). Am
Anfang (t = 0) sei die Masse des Raumschiffes m0 und die Geschwindigkeit
v0 .
a) In welcher Zeit T wird das Raumschiff auf v0 /2 abgebremst?
Aufgabe 15: Die Dehnung eines Bungee-Seils soll dem Hookschen Gesetz gehorchen. Um das Seil auf Länge L > L0 zu dehnen, muss eine Kraft
FSeil = k(L − L0 ) aufgewendet werden. Wenn das Seil nicht gedehnt ist,
verschwindet diese Kraft. Ein recht gewichtiger Bungee-Jumper (99 kg)
springt nun von einer 97 m hohen Brücke. Reicht es bei einer Seillänge
von L0 = 34 m aus, wenn die Federkonstante des Seils einen Wert von
k = 49 N/m aufweist, um ihn vor dem Nasswerden im darunter liegenden
Fluss zu retten? Wie groß ist die Spannung des Seils FSeil , wenn sich der
Bungee-Jumper am tiefsten Punkt befindet?
Hinweis: Bei diesem Problem ist die Gesamtenergie E = T + Vgrav + VSeil
erhalten. Sie setzt sich aus kinetischer Energie T = mL̇2 /2, der potentiellen Energie aufgrund der Gravitation Vgrav = −mgL und der potentiellen
Energie im Seil VSeil = k(L − L0 )2 /2 zusammen. Überlegen Sie sich, wie die
einzelnen Energieanteile auf der Brücke und am tiefsten Punkt aussehen.
b) Wie hängt die Geschwindigkeit von der Zeit ab?
c) Wie hängt die Masse von der Zeit ab?
Hinweis: Da auf das Raumschiff keine äußeren Kräfte wirken, gilt für seinen Impuls dp/dt = d(mv)/dt = 0. Der Impuls ist also zeitlich konstant.
Lösen Sie die Bewegungsgleichung für v()t (es ist eine separierbare Differentialgleichung 1. Ordnung).
Aufgabe 18: Ein Teilchen der Masse m sei an einer Schnur befestigt, welche
durch eine vertikale Röhre läuft. Das Teilchen führe in einer horizontalen
Ebene (unter Vernachlässigung der Schwerkraft) eine Kreisbewegung aus
(Geschwindigkeit v0 , Radius r0 ).
v
0
m
r
Aufgabe 16: Im tiefen Dschungel steht Tarzan (Masse 95 kg, Position A) an
einer Uferböschung. In der Mitte des Flusses befindet sich Jane (Masse
50 kg, Position B) auf einem Stein, der sich annähernd auf Wasserniveau
befindet. Tarzan ergreift eine Liane (l = 35 m), die genau über Jane befestigt ist. Er stellt fest, dass die Böschung auf seiner Seite h1 = 5 m über
dem Wasserspiegel liegt und rechnet sich aus, welche Höhe h2 er auf der
gegenüberliegenden Uferseite erreichen kann, wen er Jane im Flug ergreift.
Nehmen Sie an, dass sich Tarzan zum Startzeitpunkt in Ruhe befindet.
θ
0
P
Der Befestigungspunkt P der Schnur werde nun nach unten verlegt, sodass
die Bewegung nun mit kleinerem Radius r < r0 erfolgt. Wie groß ist die
Änderung der kinetischen Energie?
Hinweis: Benutzen Sie Drehimpulserhaltung.
l
A
h2
B
h1
• Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der Tarzan bei Jane ankommt,
aus Energieerhaltung.
• Sobald Tarzan und Jane an der Liane hängen, können Sie als (ebenes) Pendel behandelt werden. Wie lange braucht Tarzan um Jane an
das andere Ufer zu bringen, wenn
p die (volle) Schwingungsdauer eines
Pendels im Schwerefeld T = 2π l/g ist?
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