4 Masse und Durchmesser

Astronomie: Masse und Durchmesser
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4 Masse
Welche Theorie beschreibt den Zusammenhang
zwischen Raum, Zeit und Gravitation?
Ein Fundament der Astronomie ist die Relativitätstheorie, welche die Zusammenhänge zwischen
Raum, Zeit und Gravitation korrekt1 beschreibt. Die
Gleichungen der „klassischen“ Physik sind
allerdings sehr gute Näherungen, solange
● die vorkommenden Geschwindigkeiten klein sind
gegenüber der Lichtgeschwindigkeit ( c = 3⋅108 m/s)
und
● keine extremen Gravitationsfelder vorhanden sind
(wie sie z.B. in der Nähe von weißen Zwergen,
Neutronensternen oder schwarzen Löchern
vorkommen.)
Welche relativistischen Zusammenhänge
benötigen wir in dieser Vorlesung?
● Jede Form von Energie besitzt Trägheit und
unterliegt der Gravitation2. Daher kann man
Energien auch in der Einheit kg angeben. Der
Umrechnungsfaktor ist das Quadrat der
Lichtgeschwindigkeit: W = mc 2
c −v
● Dopplereffekt beim Licht: fD = f0
c+v
● Zusammenhang zwischen Impuls und Energie
pc 2
(gilt auch für Photonen!)
v
● Zeitdilatation: die Zeit auf der Oberfläche eines
Sterns (Masse M , Radius R ) läuft, aus großer
Entfernung beobachtet, langsamer ab. Während beim
Beobachter das Zeitintervall ∆t∞ verstreicht,
vergeht auf der Sternoberfläche die Zeit
2GM
∆tR = ∆t∞ 1 − 2 .
c R
eines Teilchens: W =
Aufgabe 1 Auf welchen Radius müsste man die
Sonne ( M * = 2⋅1030 kg) komprimieren, damit die
Zeit auf ihrer Oberfläche – aus der Ferne betrachtet
– stehenbleibt?
{2,96 km}
Wie ist der Schwarzschild – Radius RS definiert?
2GM
● Für einen Körper der Masse M ist RS = 2
c
● Ist der Radius eines Sterns kleiner als RS , kann
Licht von der Sternoberfläche nicht mehr nach
1
ein schlagender Beweis unter vielen: das GPS – System
funktioniert nicht, wenn man nichtrelativistisch rechnet.
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sogar die im Gravitationsfeld selbst gespeicherte
Energie!
H.Dirks
07.10.13
außen dringen. Ein solches Gebilde heißt schwarzes
Loch.
Aufgabe 2 In Neutronensternen herrscht eine Dichte
von 2⋅1017 kg/m3. Ab welcher Masse überschreitet
der Schwarzschildradius den Radius des Neutronensterns?
{2⋅1031 kg}
Wann kann man die Masse eines Sterns direkt
bestimmen?
Wenn er Teil eines Doppelsternsystems ist und man
seine Bewegung und die seines Begleiters direkt
ausmessen kann:
2a1
M1
M2
S
2a2
In der Abbildung umkreisen zwei verschieden
schwere Sterne auf Ellipsenbahnen einen
gemeinsamen Schwerpunkt S. Dann ist
G ⋅ ( M1 + M 2 ) ⋅ T 2 = 4 π 2 ( a1 + a2 )3 und
M1a1 = M 2 a2 ; dabei ist T die gemeinsame
Umlaufszeit; a1 und a2 sind die großen Halbachsen
der Ellipsen. Wenn man a1 und a2 ausmessen
kann, hat man zwei Gleichungen für die unbekannten Massen M1 und M 2 .
Aufgabe 3 Die Sirius – Parallaxe beträgt 0,38“.
Sirius bildet mit seinem Begleiter ein Doppelsternsystem mit einer Umlaufszeit von 50 Jahren.
a1 erscheint von der Erde aus unter einem Winkel
von 5,18“; a2 unter 2,36“. Wieviele Sonnenmassen
haben jeweils Sirius und sein Begleiter?
{2,15 und 0,98}
Wie kann man die Masse von Doppelsternen
bestimmen, die für eine Bestimmung der Parallaxe
zu weit entfernt sind?
Man untersucht das Spektrum der Strahlung.
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Astronomie: Masse und Durchmesser
H.Dirks
07.10.13
Durchmesser
v1
Wie kann man mit Hilfe des Mondes
Sterndurchmesser bestimmen?
v2
In der Abbildung bewegt sich M1 maximal mit
v1 von der Erde weg und M 2 maximal mit v2 auf
sie zu. Das von den Sternen ausgesandte Licht
erfährt dabei eine Dopplerverschiebung, aus der man
v1 und v2 berechnen kann. Aus der Änderung der
Dopplerverschiebungen als Funktion der Zeit ergibt
sich die Umlaufszeit T . Aus T und v kann man
die Bahnradien a1 und a2 berechnen und aus
diesen schließlich M1 und M 2 .
Wie groß ist die Dopplerverschiebung des Lichtes
als Funktion der Geschwindigkeit?
Für die relative Wellenlängenänderung ∆λ / λ
(„Dopplerverschiebung“) einer Spektrallinie gilt in
sehr guter Näherung:
∆λ v
= mit c = 3⋅108 m/s.
λ
c
Aufgabe 4 Ein Doppelsternsystem (Umlaufszeit 50
Jahre) besitzt kreisförmige Bahnen. Die Dopplerverschiebungen betragen jeweils 1,24⋅10-5 und
2,71⋅10-5. Welche Bahnradien haben die beteiligten
Sterne?
{6,2 und 13,6 AE}
Welche alternativen Methoden zur
Massebestimmung gibt es noch?
● Bestimmung der Masse aus der Leuchtkraft des
Sterns (s. Vorlesung „Leuchtkraft“);
● aus der Rotverschiebung im Gravitationsfeld
(s. Vorlesung „Sternmodelle“)
Wenn der Mond sich vor einen Stern schiebt, wird
kurz davor das Licht am „Rand“ der „Mondscheibe“
gebeugt und die Intensitätskurve „flackert“, bevor
sie auf null fällt. In der Abbildung ist der zeitliche
Verlauf der Intensitäten verschieden großer Sterne
abgebildet. Der Winkeldurchmesser ist jeweils
angegeben. Offenbar kann man aus der Abnahme der
„Flackeramplitude“ auf den Durchmesser des Sterns
schließen.
Aufgabe 5 Der Stern αSCO besitzt einen
Winkeldurchmesser von 0“,0413 . Der Mond
umrundet in 27,3 Tagen einmal die Erde. Wie lange
benötigt die Mondscheibe, um den Stern zu
verschlucken?
{75 ms}
Wie funktioniert ein Sterninterferometer?
D
Das Licht eines Sternes wird über zwei Spiegel im
Abstand D („Basislänge“) in das Teleskop
eingespiegelt.
Astronomie: Masse und Durchmesser
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Dann wird in der
Bildebene das Airy –
Scheibchen des Sterns
von Interferenzstreifen
durchsetzt, die den
gleichen Winkelabstand
haben, wie die Maxima
beim Doppelspalt mit
dem Spaltabstand D .
Bei einem bestimmten Wert von D verschwinden
die Interferenzstreifen. Daraus kann man den Durchmesser des angepeilten Sterns berechnen. Das
Auflösungsvermögen des Verfahren wird durch das
Seeing beeinträchtigt. Trotzdem erreicht man
Winkelauflösungen von unter 0,01“.
Aufgabe 6 3m vor einem Doppelspalt (Spaltabstand
D ) wird ein weiterer Doppelspalt ( g = 2mm) als
Beleuchtungsspalt angeordnet. Bei welchem D
verschwindet das Doppelspalt – Beugungsmuster?
(λ = 590 nm)
{0,44 mm}
Aufgabe 7 Das VLT auf dem Mt. Paranal besitzt
Hilfsteleskope, die ein Interferometer mit maximal
202 m Basislänge bilden können. Wie groß ist die
theoretische Winkelauflösung dieses Interferometers
(λ = 590 nm)?
{3⋅10 – 4 Winkelsekunden}
Wie arbeitet ein Intensitäts – Interferometer?
Bei dem Intensitäts – Interferometer, das 1962 in
Australien aufgebaut wurde, können zwei Großteleskope (6,5 m ∅) auf einem Kreis von 188 m ∅
bewegt werden. Jedes Teleskop sammelt das Licht
des auszumessenden Sterns in einem Photomultiplier. Je nach der Menge der einfallenden Photonen
erhält man zwei Ströme I1 (t ) und I 2 (t) . Der
Korrelationskoeffizient der beiden Ströme
I1 (t ) ⋅ I 2 (t ) nimmt mit wachsendem Abstand der
Teleskope nach dem gleichen Gesetz ab, wie die
Sichtbarkeit der Interferenzlinien des Michelson –
Interferometers. Deshalb wird die Anordnung auch
Korrelations – Interferometer genannt.
Mit diesem Gerät wurden im Laufe von 10 Jahren
32 Sterndurchmesser auf 0“,0001 genau vermessen!
H.Dirks
07.10.13
Wie kann man mit Speckle – Interferometrie
Sterndurchmesser bestimmen?
Durch die atmosphärischen Unruhe
wird das Airy –
Scheibchens eines
Sterns durch eine
Wolke aus Airy –
Scheibchen
(„Speckles“)ersetzt
(im Bild: Doppelstern).
Dabei erzeugen zueinander parallele Teile der
verbogenen Wellenfront jeweils ein Speckle. Die
Speckles ändern alle paar Millisekunden ihre
Position und Helligkeit. Aus hunderten von Bildern
einer Videoaufnahme läßt sich aber rechnerisch das
Airy – Scheibchen des Sterns rekonstruieren. Auf
diese Weise kann man das volle Auflösungsvermögen des Teleskops für die Bestimmung des
Sterndurchmessers oder des Abstandes von
Doppelsternen ausnutzen.
Wie kann man bei Bedeckungsveränderlichen den
Durchmesser beider Komponenten aus dem
Helligkeitsverlauf bestimmen?
Annahme: Ein Doppelsternsystem besteht aus einem
großen und einem kleinen Stern, der sich mit
konstanter Bahngeschwindigkeit v auf einer
Kreisbahn um den großen herumbewegt. Wenn der
Bahnradius groß ist gegenüber den Radien der
beteiligten Sterne, „sieht“ man den kleinen Stern mit
konstanter Geschwindigkeit v vor dem großen
vorbeiziehen. Die Helligkeit des Systems geht
während dieser Phase zurück. Nachdem man aus der
Dopplerverschiebung v bestimmt hat, kann man mit
den gemessenen Verdunkelungszeiten die gesuchten
Durchmesser der beiden Komponenten berechnen.
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Astronomie: Masse und Durchmesser
Aufgabe 8
0
0,1
0,2
t /T
In der Abbildung sieht man die Verdunkelung der
Gesamthelligkeit des Doppelsternsystems VV
Orionis. Die Zeitskala ist in Bruchteilen der
Umlaufszeit T = 1,5 d angegeben. Die gemessenen
Zeitpunkte entsprechen folgenden Abszissenwerten:
t1 = 0,02 , t2 = 0,07 , t3 = 0,13 und t4 = 0,18 . Die
Bahngeschwindigkeit beträgt 356 km/s. Wie groß
sind die Durchmesser der beiden Komponenten?
{2,3⋅109 m und 5⋅109 m}
H.Dirks
07.10.13