Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 – Tag 10

Vorbereitungskurs Mathematik zum
Sommersemester 2011 – Tag 10
Timo Stöcker
Erstsemestereinführung Informatik
TU Dortmund
25. März 2011
Heute
Themen
Abzählende Kombinatorik
Auswahlen aus einer Menge
Urnenmodelle
Multinomialkoeffizient
Siebformel / Prinzip von Inklusion und Exklusion
Mastertheorem
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
2
Abzählende Kombinatorik
Bemerkung
Zuerst eine teilweise Wiederholung.
Satz
Es seien M1 , . . . , Mr endliche Mengen. Dann gilt:
S
P
| rk=1 Mk | = rk=1 |Mk |, für paarweise disjunkte Mengen Mk .
Q
Q
| rk=1 Mk | = rk=1 |Mk |
Q
Dabei bezeichnet rk=1 Mk das r -fache kartesische Produkt
M1 × M2 × · · · × Mr .
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
3
Schubfachprinzip
Satz
Es sei f : X → Y eine Abbildung zwischen endlichen Mengen und
|X | > |Y |. Dann gibt es ein y ∈ Y mit |f −1 (y )| ≥ 2.
Beispiel
Eine Bibliothek habe mehr als 4000 Bücher. Keines der Bücher
habe mehr als 4000 Seiten. Dann gibt es (mindestens) zwei Bücher
mit der gleichen Seitenzahl.
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
4
Erinnerung: Binomialkoeffizienten
Definition
Der Binomialkoeffizient n über k“ ist definiert als:
”
n
n!
:=
k!(n − k)!
k
Satz
n
0
n
k
=
n
n
= 1,
n
+ k+1 =
n
k =
n+1
k+1
n
n−k
Die Anzahl der
k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen
Menge ist kn .
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
5
Weitere Eigenschaften
Satz
Für a, b ∈ K und n ∈ N0 gilt: (a + b)n =
Pn
n
k=0 k
ak b n−k
Satz
X
m m+n
m
n
=
·
m
k
k
k=0
Dies ist die Anzahl der kürzesten Wege auf einem Rechteckgitter
von (0, 0) nach (n, m).
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
6
Und noch mehr Eigenschaften
Satz
Eine n-elementige Menge besitzt 2n Teilmengen, das heißt also
|P(M)| = 2n für |M| = n.
Definition
(n)k :=
n!
= n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − k + 1)
(n − k)!
heißt fallende Faktorielle.
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
7
Auswahlen aus einer Menge
Motivation
Viele kombinatorische Fragestellungen benötigen: Wähle aus einer
endlichen Menge mit oder ohne Zurücklegen der Elemente und mit
oder ohne Beachtung der Reihenfolge.
Satz
Es seien k, n ∈ N0 und M eine endliche Menge mit |M| = n
Elementen. Dann wird die Anzahl der Möglichkeiten für die
Auswahl von k Elementen aus dieser n-elementigen Menge M
gegeben durch
geordnet ungeordnet
n+k−1
mit Wiederholung
nk
k
n
ohne Wiederholung
(n)k
k
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
8
Beispiele – Geordnet
Geordnet mit Wiederholung
Wenn aus 10 Objekten 3 mal mit Zurücklegen gezogen wird, dann
sind 10 · 10 · 10 verschiedene Auswahlen möglich. Wobei
(a, b, a) 6= (b, a, a).
Geordnet ohne Wiederholung
Wenn aus 10 Objekten 3 mal ohne Zurücklegen gezogen wird,
dann sind 10 · 9 · 8 verschiedene Auswahlen möglich. Wobei
(a, b, c) 6= (b, a, c).
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
9
Beispiele – Ungeordnet
Ungeordnet mit Wiederholung
Wenn aus 10 Objekten
3 mal mit Zurücklegen gezogen wird, dann
12
sind 10+3−1
=
3
3 verschiedene Auswahlen möglich. Wobei
(a, b, a) = (b, a, a).
Ungeordnet ohne Wiederholung
Wenn aus 10 Objekten 3 mal ohne Zurücklegen gezogen wird,
dann sind 10
3 verschiedene Auswahlen möglich. Wobei
(a, b, c) = (b, a, c).
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
10
Urnenmodelle
Definition
Diese vier Möglichkeiten sind die vier Urnenmodelle. Man stellt
sich dabei vor, dass diese Ziehungen aus einer verdeckten Urne
erfolgen.
Urnenmodell 1: geordnet, mit Zurücklegen
Urnenmodell 2: geordnet, ohne Zurücklegen
Urnenmodell 3: ungeordnet, mit Zurücklegen
Urnenmodell 4: ungeordnet, ohne Zurücklegen
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
11
Multinomialkoeffizient
Definition
Für n = n1 + · · · + nk mit n1 , . . . , nk ∈ N0 , k ∈ N heißt
n
n!
:=
n1 ! · · · nk !
n1 , . . . , nk
Multinomialkoeffizient.
Bemerkung
n
n
n1 ,n2 = n1
n
1,...,1 = n!
=
n
n2
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
12
Anwendung
Satz
Es seien n = n1 + · · · + nk Objekte aufgeteilt auf k Sorten
gegeben. Das Tupel (n1 , . . . , nk ) heißt die Spezifikation der
n
Objekte. Dann ist n1 ,...,n
die Anzahl der möglichen Anordnungen
k
dieser Objekte als Folge der Länge n.
Beispiel
Betrachte das Wort Banane“. Wir haben n = 1 + 2 + 2 + 1 = 6
”
Buchstaben aufgeteilt auf die einzelnen Sorten B“, a“, n“, e“.
”
”
”
”
Die Spezifikation
lautet also: (1, 2, 2, 1). Und es gibt
6
6!
720
1,2,2,1 = 1!2!2!1! = 4 = 180 viele Anagramme.
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
13
Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes
Satz
n
(x1 + · · · + xk ) =
X
n1 , . . . , nk ≥ 0
n1 + · · · + nk = n
n
n1 , . . . , nk
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
· x1n1 · · · xknk
14
Prinzip von Inklusion und Exklusion
Satz
Für endliche Mengen M1 , . . . , Mn gilt:
|
n
[
k=0
n
X
Mk | =
(−1)k+1
k=1
X
|Mi1 ∩ · · · ∩ Mik |
1≤i1 <···<ik ≤n
Diese Formel nennt sich Siebformel oder das Prinzip von
Inklusion und Exklusion.
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
15
Beispiel
Beispiel
Mk sei die Menge der durch k teilbaren Zahlen ≤ 100.
Die Menge der Zahlen ≤ 100, die durch 2 oder 3 oder 5 teilbar
sind, lautet: M2 ∪ M3 ∪ M5 .
Es gilt: |M2 ∪ M3 ∪ M5 | = |M2 | + |M3 | + |M5 |
−|M2 ∩ M3 | − |M2 ∩ M5 | − |M3 ∩ M5 | +|M2 ∩ M3 ∩ M5 |
100
100
100
100
100
100
= 100
2 + b 3 c + 5 − b 6 c − 10 − b 15 c + b 30 c = 74.
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
16
Mastertheorem
Motivation
Betrachte die Formel: T (n) = a · T ( bn ) + f (n) mit a ≥ 1 und b > 1.
Interpretation der Rekurrenz T (n):
a = Anzahl der Unterprobleme in der Rekursion
1
b
= Teil des Originalproblems, welches wiederum durch alle
Unterprobleme repräsentiert wird
f (n) = Kosten (Aufwand), die durch die Division des
Problems und der Kombination der Teillösungen entstehen
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
17
Mastertheorem
Betrachte die Formel: T (n) = a · T ( bn ) + f (n) mit a ≥ 1 und b > 1.
Satz
Wenn ∀n ∈ N : f (n) ≤ c · nlogb a− für ein > 0 und ein c > 0 gilt,
dann gilt für T (n): c10 · nlogb a ≤ T (n) ≤ c 0 · nlogb a für ein c 0 ≥ 1.
Beispiel
Für T (n) = 8T ( n2 ) + 10n2 gilt:
a = 8, b = 2, f (n) = 10n2 , log2 8 = 3.
Bedingung überprüfen: Setze c = 20, = 1 dann gilt:
10n2 ≤ 20 · n3−1 X
Es folgt: ∃c 0 ≥ 1 : ∀n ∈ N :
1
c0
· n3 ≤ T (n) ≤ c 0 · n3
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
18
Mastertheorem
Betrachte die Formel: T (n) = a · T ( bn ) + f (n) mit a ≥ 1 und b > 1.
Satz
Wenn ∀n ∈ N : c1 · nlogb a ≤ f (n) ≤ c · nlogb a für ein c > 0 gilt,
dann gilt für T (n): c10 · nlogb a · log n ≤ T (n) ≤ c 0 · nlogb a · log n.
Beispiel
Für T (n) = 2T ( n2 ) + 10n gilt:
a = 2, b = 2, f (n) = 10n, log2 2 = 1.
Bedingung überprüfen: Setze c = 20 dann gilt:
1
1
1
20 · n ≤ 10n ≤ 20 · n X
Es folgt: ∃c 0 ≥ 1 : ∀n ∈ N :
1
c0
· n log n ≤ T (n) ≤ c 0 · n log n
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
19
Mastertheorem
Betrachte die Formel: T (n) = a · T ( bn ) + f (n) mit a ≥ 1 und b > 1.
Satz
Wenn ∀n ∈ N : f (n) ≥ c · nlogb a+ für > 0 und c > 0 und
zusätzlich für alle hinreichend großen n gilt: a · f ( bn ) ≤ d · f (n) für
ein d mit 0 < d < 1, dann gilt für T (n):
1
0
0
c 0 · f (n) ≤ T (n) ≤ c · f (n) für ein c ≥ 1.
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
20
Mastertheorem
Beispiel
Für T (n) = 2T ( n2 ) + n2 gilt:
a = 2, b = 2, f (n) = n2 , log2 2 = 1.
Bedingung überprüfen: Setze c = 1, = 1 dann gilt:
n2 ≥ 1 · n1+1 X
Zusatzbedingung überprüfen: a · f ( bn ) ≤ d · f (n)
2
⇔ 2( n2 )2 ≤ d · n2 . Setze d = 12 . ⇒ n2 ≤ 12 n2 X
Es folgt: ∃c 0 ≥ 1 : ∀n ∈ N :
1
c0
· n2 ≤ T (n) ≤ c 0 · n2
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
21
Zusammenfassung
Themen
Abzählende Kombinatorik
Auswahlen aus einer Menge
Urnenmodelle
Multinomialkoeffizient
Siebformel / Prinzip von Inklusion und Exklusion
Mastertheorem
Timo Stöcker | https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
22