Anmerkungen, Ergänzungen und Hinweise zu möglichen Korrekturen

Anmerkungen, Ergänzungen und Hinweise zu möglichen Korrekturen
(zu Analysis Band 2, 2. Auflage April 2007)
Vorbemerkungen
1. ’29 7b’ bedeutet ’Seite 29 7-te Zeile von oben’
’3 5u’ bedeutet ’Seite 3 5-te Zeile von unten’
2. I.d.R. steht nach einer solchen ’Ortsangabe’ zunächst das IST (d.h. das zu Korrigierende
bzw. zu Ergänzende), dann folgt das SOLL (d.h. der Korrektur- bzw. Ergänzungsvorschlag).
3. Zusätzliches steht in bzw. ergibt sich aus den ’[ ]’-Klammern.
Ort
Anmerkung, Ergänzung, Hinweis zu möglicher Korrektur
3
5u
’... Seite 125 in Band 1 ...’ ’... Seite 124 in Band 1 ...’
4
2u
’im Bildraum’ ’als Bildraum’
8
12u ’einen strikt positiven Wert’ ’einen positiven Wert’
[“positiv“ ist schon ”> 0“]
15 12u ’= (gn0 (xn0 ) − gm (x0 )) + gm (x0 )’ ’≤ gm (xn0 ) ≤ (gm (xn0 ) − gm (x0 )) + gm (x0 )’
[Denn bereitgestellt wurde:
0V≤ gm (x0 ) ≤ ε/2 für ein m ∈ N,
x∈K |x − x0 | ≤ δ ⇒ |gm (x) − gm (x0 )| ≤ ε/2 und
|x0 − xnk | ≤ δ für alle k ≥ k0 .
Anstelle von ’Setze n0 := max{nk0 , m}.’ wäre Folgendes zu verwenden
’O.E. sei k0 ≥ m. Dann ist nk0 ≥ m. Setze n0 := nk0 ’. ]
23 7u
’k · k∞ ist eine Norm auf CK.’
’k · k∞ ist eine Norm auf CK. (Allgemein gilt: k · k∞ ist eine Norm auf dem
Vektorraum der beschränkten Abbildungen von einer Menge M nach K.)’
[Damit ist dann – für später – klar, dass k · k∞ eine Norm auf Tr[a, b] und Int[a, b] ist.]
27 4u
’Guilio Ascoli’ ’Giulio Ascoli’
29 7b
Lösung zu dem ?” fehlt.
”
33 3u
’≤ ε’ ’≤ ε/3’
38 19b ’mit einer Lipschitzkonstante, die’ ’mit einer Lipschitzkonstanten, die’
63 9u
Rb
Rc
Rb
Rb
Rc
Rb
’ a τ (x) dx = a τ (x) dx + c τ (x) dx.’ ’ a τ (x) dx = a τ |[a,c] (x) dx + c τ |[c,b] (x) dx.’
1
[vgl. S.55 “3. Zerlegungseigenschaft”, genauer S.56 die Anforderung vor “4. Monotonie”.
Vielleicht eine Fußnote, dass im Folgenden die Darstellung der Einschränkung des Integranden
auf das entsprechende Teilintervall fortgelassen wird?]
73 7b
’I ∗ (f ) ≤ supn∈N ...’ ’I ∗ (f ) ≤ inf n∈N ...’
77 3u
’6.1.4(iii)’ ’6.1.4(iv)’
80 1u
’f − = f − f + ’ ’f − = f + − f ’
81 7u
’eine Säule’ ’einen Quader’ [Ist vielleicht “besser”?]
85 2b
’Erklärt man noch ri0 bzw. s0i für die i ∈ It als c bzw. d und bezeichnet mit
τ1 bzw. τ2 die durch die ri0 bzw. die s0i definierten Treppenfunktionen
{Fußnote: Auf den Punkten xi soll τ1 als c und τ2 als d definiert sein.},
so gilt überall τ1 (x) ≤ f (x) ≤ τ2 (x).’
’Setze c1 := min{h(x)|x ∈ [c, d]}, d1 := max{h(x)|x ∈ [c, d]}.
Erklärt man noch ri0 bzw. s0i für die i ∈ It als c1 bzw. d1 und bezeichnet mit
τ1 bzw. τ2 die durch die ri0 bzw. die s0i definierten Treppenfunktionen
{Fußnote: Auf den Punkten xi soll τ1 als c1 und τ2 als d1 definiert sein.},
so gilt überall τ1 (x) ≤ h(f (x)) ≤ τ2 (x).’
Weiter ist im folgenden Beweisgang 5-mal ’d − c’ durch ’d1 − c1 ’ zu ersetzen.
[ Begründung: 1. Es soll h(f (x)) anstatt
werden.
P f (x)0 abgeschätzt
0 )(x
2. d1 und c1 liefern die Abschätzung:
(s
−
r
−
xi ) ≤ (d1 − c1 )Lt . ]
i+1
i
i∈It i
88 9b
’Satz 6.1.7(iii)’ ’Satz 6.1.7(iv)’
98 8u
√2
√2
3
x3
x
− 2x =’ ’= ( − 2x) =’
’=
3
3
0
0
98 1u
7
7
’(3x2 y 4 − 12axy)y=4 notiert ’ ’(3x2 y 4 − 12xy)y=4 = notiert’
99 3b
2
2
x3
x3
’=
− 2x√ =’ ’= ( − 2x)√ =’
3
3
2
2
101 7u
5
5
14 3
14 3
4
4
’= x + 4x =’ ’= ( x + 4x ) =’
3
3
1
1
105 13b ’xex − x’ ’xex − ex ’
109 5b
’... rationalen Funktionen angegeben ... ’ ’... rationalen Funktionen über R angegeben ... ’
[Vielleicht besser/klarer/genauer?]
2
109 7u
’Funktionen über R’ ’Funktionen über Q’ [ Auf S. 52 in Bd.1 wird von Q ausgegangen.]
117 6u
Rb
Rb
Rb
Rb
’ a f (x)dx = λ a f (x)dx ’ ’ a f (x)dx = Re λ a f (x)dx ’ [Die letzte Gleichheit
wurde einige Zeilen vorher gezeigt.]
122 8b
Rx
Rx
Rx
’ xmn f (x)dx ≤ xmn |f (x)|dx ≤ xmn g(x)dx ’
Rx
Rx
Rx
’ xnm f (x)dx ≤ xnm |f (x)|dx ≤ xnm g(x)dx ’
[Man beachte 6.1.7(iv) und 6.1.9.]
126 12b ’Damit unterscheidet sich ... ’ [ist recht knapp, vielleicht ähnlich wie folgt:]
’Seien n, m so groß, dass εn , εm in ]a, b[ liegt, und sei o.E. εm ≤ εn . Dann gilt
a < −εn ≤ −εm < 0 < εm ≤ εn . Es folgt
R −ε
|gn − gm | = a n
ϕ(x)
x dx
R −εm
−
R εn
−εn
ϕ(x)
x dx
−
εm
+
Rb
εn
ϕ(x)
dx
x
ϕ(x)
x dx
−
R −εm
a
ϕ(x)
x dx
−
R −ε
0
= −εnm ( ϕ(0)
x + ϕ (0) +
Rb
εm
ϕ(x)
x dx
h(x)
x )dx
+
=
R −εn
εm
0
( ϕ(0)
x + ϕ (0) +
h(x)
)dx
x
R εn
R −εm
A + εm εdx ≤ A + 2ε(εn − εm ). Dabei ist
−εn εdx +
A=
R −εm
−εn
0
( ϕ(0)
x + ϕ (0))dx +
R −ε
ϕ(0) ( −εnm
172 1u
1
x
dx +
R εn
1
εm x
R εn
ϕ(0)
εm ( x
+ ϕ0 (0))dx = 2(εn − εm )ϕ0 (0) , denn es ist
dx) = 0 .
’dass f einen kompakten Träger hat’ ’dass f oder ϕ einen kompakten Träger hat’
[Vielleicht klarer?]
178 10b ’Satz ??’ ’Satz 7.1.3’ [Vermutlich?]
180 9u
’in Abschnitt 4.3’ ’in Abschnitt 4.2 und 4.3’
[Ausführlicher? Korollare aus 4.2.3 werden auf S. 181 erwähnt.]
183 3u
’f (a) + f 0 (a)(λx + (1 − λ)y − a) = λ(f (a) − f 0 (a)(x − a)) + (1 − λ)(f (a) − f 0 (a)(y − a))’
’f (a) + f 0 (a)(λx + (1 − λ)y − a) = λ(f (a) + f 0 (a)(x − a)) + (1 − λ)(f (a) + f 0 (a)(y − a))’
’= f (x0 ) +
f 0 (0)
n
+
+
f 00 (ξn
)
’
2n2
’= f (x0 ) +
f 0 (x0 )
n
+
+
f 00 (ξn
)
2n2
0
184 3b
’= f (x0 ) −
f 0 (0)
n
+
−
f 00 (ξn
)
’
2n2
’= f (x0 ) −
f 0 (x0 )
n
+
−
f 00 (ξn
)
2n2
0
184 3b
186 11b ’Mit Hilfe von Satz 6.4.3’ ’Mit Hilfe von Satz 6.4.1’ [Vermutlich?]
186 15b ’Mit Satz 6.4.3’ ’Mit Satz 6.4.1’ [Vermutlich?]
3
≤
186 7u
’(Mittelwertsatz der Integralrechnung)’ ’(Mittelwertsatz der Integralrechnung).’
[Vgl. auch S.97 “Satz 6.2.2 (Hauptsatz der ... ).” Dort ist die Schrift allerdings nicht kursiv.
Auch bei einigen anderen Sätzen ist bei deren ’Namen’ das ’Schrift-/Darstellungsbild
nicht einheitlich’, vgl. 5.4.1 und 5.4.2 .]
186 5u
’ξ ∈]a, b[’ ’ξ ∈ [a, b]’
192 5u
’Abstand x von (0, 1) hat’ ’Abstand x von (1, 0) hat’
241 18b ’Bemerkungen, Beispiele:’ ’Bemerkungen und Beispiele:’
[Vgl. S.172, 194, ... ?]
244 6u
’Im Falle stetiger partieller Ableitungen und kleinen h1 , h2 ’
Im Falle stetiger partieller Ableitungen und kleiner h1 , h2 ’
245 6u
’=
249 2u
Im Bild 8.3 sollte statt ’(2,1)’ der Wert ’(1,2)’ stehen.
1
1
· |f (x0 + hk ) − f (x0 ) − τk gi | ’ ’ = limk→∞
· |f (x0 + hk ) − f (x0 ) − τk gi | ’
|τk |
|τk |
253 14b ’−xy 2 cos(xy).’ ’−xy 2 cos(xy) − 2y sin(xy).’
254 5u
(0)
(0) (0)
’ x1 , x2 ’ ’ x1 , x2 ’
254 2u
√
√
’mit dem Radius 1/( 2n0 )’ ’mit dem Radius 2/n0 ’
255 11u ’x 7→
259 2b
∂f
∂f
(sn , x)’ ’y 7→
(sn , y)’ [Vielleicht besser, da x “eigentlich” schon belegt ist?]
∂x
∂x
’und f : U → Rn ’ ’und f : U → R’
261 12b ’hxi − xi−1 , gradf (xi + t0 (xi − xi−1 ))i’ ’hxi − xi−1 , gradf (xi−1 + ti (xi − xi−1 ))i’
266 5u
’|h31 |(| − (2 + th2 )3 cos((th1 )(2 + h2 ) + 6(2 + th2 ))|)/3!’
’|h31 |(| − (2 + th2 )3 cos((th1 )(2 + th2 )) + 6(2 + th2 )|)/3!’
270 11u ’für kleine h stets kleiner als Null (bzw. größer als Null)’
’für kleine h stets größer als Null (bzw. kleiner als Null)’
274
’1811-1674’ ’1811-1874’ [Lebensspanne von Otto Hesse unter dessen Bild]
274 16b ’{x ∈ U | Hf positiv definit}’ ’{x ∈ U | Hf (x) positiv definit}’
276 13u ’zwei sind. Sie ist offensichtlich’ ’2m sind. Sie ist offensichtlich’
279 15u ’ε2 hh, Hf (x0 + th)hi = hεh, Hf (x0 + th)εhi =’
4
’ε2 hh, Hf (x0 + tεh)hi = hεh, Hf (x0 + tεh)εhi =’
284 15b ’(gradfj )> ’ ’((gradfj )(x0 ))> ’
291 5b
’Wie in Abschnitt 8.2’ ’Wie in Abschnitt 8.3’
291 15u ’und f : U 7→ Rm dif f erenzierbar’ ’und f : U 7→ Rm stetig dif f erenzierbar’
[Ist f stetig differenzierbar, so ist f˜ stetig partiell differenzierbar.
Letzteres ist ein Voraussetzung für die Anwendung des Mittelwertsatzes.
Deshalb müßte m.E. die Stetigkeit von f vorausgesetzt werden.]
291 14u ’alle partiellen Ableitungen aller Koeffizientenfunktionen’
’alle partiellen Ableitungen aller Komponentenfunktionen’
[Auf Seite 283, Zeile 17 von unten, wird der Ausdruck “Komponentenfunktionen” verwendet.]
293 5u
’lim h→0
x0 6=h
’lim
1
· kf (x0 + h) − f (x0 ) − ϕ(h)k = 0’
khk
h→0
x0 6=h
x0 +h∈U
1
· kf (x0 + h) − f (x0 ) − ϕ(h)k = 0’
khk
[Vielleicht x0 + h ∈ U dazu?]
300 6b
’mit khk ≤ δ 0 gilt.’ ’mit khk ≤ δ 0 gilt42) .’ [Vielleicht die Fußnote schon hier einfügen?]
305 9b
’Sei f (x0 ) irgendein’ ’Sei y0 = f (x0 ) irgendein’
[Es ist vielleicht hilfreich, y0 hier einzuführen, da y0 einige Zeilen später verwendet wird?]
316 5b
’dass y bei (x1 , . . . , xn , y (0) ) implizit definiert ist’
(0)
(0)
’dass y als Funktion von x1 , . . . , xn nach R bei (x1 , . . . , xn , y (0) ) implizit definiert ist’
[vgl. S.314, 11-te Zeile von unten: “y als Funktion von x”]
316 6b
’und eine Funktion ϕ : V → R’ ’und eine stetig differenzierbare Funktion ϕ : V → R’
[“stetig differenzierbar” in die Definition aufzunehmen, ist (wohl) sinnvoll:
Einerseits ergibt sich im Beweis von 8.8.2 unter 3., dass ϕ stetig differenzierbar ist,
andererseits wird im Beweis von 8.9.1 auf S. 324, 17-te Zeile von oben, benötigt,
dass das “g” dort stetig differenzierbar ist.]
316 9b
[Es ist (wohl) auch sinnvoll, folgenden Punkt (iii) in Definiton 8.8.1 aufzunehmen.]
(0)
(0)
(iii) ϕ(x1 , . . . , xn ) = y (0) .
(0)
(0)
[Begründung: 1. ϕ(x1 , . . . , xn ) = y (0) ergibt sich im Beweis von 8.8.2.
2. Dies wird im Beweis von 8.9.1 auf S. 324, 18-te Zeile von oben, für das “g” dort benötigt.]
317 5u
’bei y = 0’ ’bei x = 0, y = 0’
318 6b
’dass das für y 6= x1 /2 geht’ ’dass das für y 6= −x1 /2 geht’
(0)
(0)
5
319 19u [Falls es sinnvoll ist, in der Definition 8.8.1 die “Anpassungen” 316 5b, 316 6b, 316 9b
vorzunehmen, ist es wohl auch sinnvoll, entsprechende “Anpassungen” (319 15u, 319 14u, 319 11u)
in Definition 8.8.3 vorzunehmen:]
(0)
(0) (0)
(0)
319 15u ’dass y1 , . . . , ym bei (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) implizit definiert sind’
(0)
(0) (0)
(0)
’dass y1 , . . . , ym als Funktionen von x1 , . . . , xn nach R bei (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym )
implizit definiert sind’
319 14u ’ und eine Funktion ϕ : V → Rm ’ ’ und eine stetig differenzierbare Funktion ϕ : V → Rm ’
(0)
(0)
(0)
(0)
319 11u [In Definiton 8.8.3 aufnehmen(?)] (iii) ϕ(x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , ym ).
324 16b ’so gibt es eine Umgebung V ’ ’so gibt es eine offene Umgebung V ’
324 1u
’{x0 + y | y ∈ Tx0 }’ ’{x0 + y | y ∈ Tx0 S}’ [Vermutlich?]
326 2b
’S := {x | F (x) = 0}’ ’S := {x ∈ U | F (x) = 0}’
326 8b
’wobei ϕ : ] − ε, ε[ → R eine’ ’wobei ϕ : ] − ε, ε[ → S eine’
326 10b ’ist relativer Extremwert von f ’ ’ist lokaler Extremwert von f ’ [Gemäß Definition 8.4.1.]
326 13u ’= λgradF1 (x1 , . . . , xn ).’ ’= λgradFn (x1 , . . . , xn ).’
344 19u ’(vgl. das graue Kästchen auf Seite 46)’ ’(vgl. Seite 46: Klein“ oder Groß”?)’
”
”
354 2b
’Überlegung wie auf Seite 80’ ’Überlegung wie auf Seite 81’
358 15b ’
R r0 R 2π
’
R r0 R 2π
0
0
0
0
re−r dϕ dr = 2π
2
R r0
re−r dϕ dr = 2π
0
R r0
0
re−r dr ’
2
re−r dr ’
369 4u
’Auf [1/m, 1[ stimmen beide mit f überein und auf [0, 1/m[ ist τ1 gleich 1 und τ2 gleich −1’.
’Auf [0, 1 − 1/m[ stimmen beide mit f überein und auf [1 − 1/m, 1[ ist τ1 gleich −1 und τ2 gleich 1’.
370 3b
’ ]0, ε[ ’ ’ ]1 − ε, 1[ ’
6
Mögliche Ergänzungen zum Register
Banachraum 293
Cauchy-Schwarz-Ungleichung 149,233
Fourieranalyse 185
Fréchet-Differenzierbarkeit 294
Funktion mit kompaktem Träger 172
Gâteaux-Differenzierbarkeit 294
Kernfunktionen 173
Komponentenfunktionen 231, 283, 291
- konvexe Menge 38, 277
lokal konstante Funktion 151
Monom [bei 246 ist ein Zifferndreher, korrekt ist] 264
mittlere quadratische Abweichung 148 [Hier ist zumindest ein 1. Hinweis auf das,
was dahinter steckt.]
Nullfunktion 2
Richtungsableitung [statt 251:] 261
- Riemannsche Fläche 304 [Hier ist zumindest ein 1. Hinweis auf das,
was dahinter steckt.]
stetig
- differenzierbar 248, 256, 294 [Hier ist ein Hinweis auf Horizonte.]
Streckenzug-zusammenhängend 261
Streuung 148 [Hier ist zumindest ein 1. Hinweis auf das, was dahinter steckt.]
stückweise stetig-differenzierbar 349
Verbindungsstrecke 258
7