Lineare Algebra II — Bearbeitungsvorschlag —

Prof. Dr. A. Lytchak
WS 2013/14
Blatt 8
11.6.2014
Lineare Algebra II
— Bearbeitungsvorschlag —
29. Jeder Endomorphismus V → V hat immer die beiden trivialen invarianten Unterräume {0} und V . Im Folgenden bezeichnen wir daher nur echte Unterräume
als invariant. Für Endomorphismen f : R2 → R2 sind invariante Unterräume
also nichts anderes als Geraden, die von Eigenvektoren aufgespannt werden. Ist
f nicht-trivial, dann gibt es genau in zwei Fällen komplementäre invariante Unterräume U, U 0 . Entweder f ist ein Vielfaches der Identität, d.h. es gibt einen
Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit 2, oder es gibt zwei verschiedene Eigenwerte.
a b
Die Matrix
hat die Eigenwerte a, c ∈ R. Ist b = 0, so sind die Einheits0 c
vektoren e1 , e2 Eigenvektoren und diese spannen komplementäre Eigenräume auf.
Nehmen wir also
6= 0 an. Für die Eigenräume ergibt sich E(a) = span(e1 ) und
b
1
E(c) = span c−a . Die beiden Eigenräume sind genau dann komplementär,
b
falls a 6= c.
0 c
Für die Matrix
behandeln wir zunächst den Fall a = 0. Dann gibt es die
a b
. Ist b = 0, so gibt es also nur einen Eigenwert, nämlich
Eigenwerte λ± = b±|b|
2
0. Der dazugehörige Eigenraum wird für c 6= 0 von e1 aufgespannt, ist also 1dimensional und hat damit kein invariantes Komplement. Für b 6= 0 ergeben
sich die Eigenwerte
0, b mit komplementären Eigenräumen E(0) = span(e1 ) und
E(b) = span
c
b
1
. Damit ist der Fall a = 0 abgeschlossen.
Sei√ ab jetzt a 6= 0. Dann ergibt sich für die Eigenwerte die Gleichung λ± =
b± b2 +4ac
. Es gibt also nur für b2 + 4ac ≥ 0 reelle Eigenwerte. Wir setzenD :=
2
b−D
√
2a
b2 + 4ac. Für die Eigenräume ergibt sich dann E( b+D
)
=
span
und
2
−1
b+D E( b−D
) = span 2a . Diese sind komplementär falls b + D 6= b − D, also genau
2
−1
dann wenn D 6= 0 (und damit D > 0).
30. a) Wir setzen U = ker(B1 ). Wegen AB1 = B1 A ist U ein A-invarianter Unterraum. Es gilt U ( Kn , denn B1 6= 0. B1 B2 = 0 ist äquivalent zu Im B2 ⊂ U .
Wegen B2 6= 0 gilt Im B2 6= {0} und damit U 6= {0}. U ist also ein echter
A-invarianter Unterraum.
b) Wir setzen Bi := pi (A). Wäre Bi = 0, so würde die Behauptung aus einem
Satz aus der Vorlesung folgen, denn grad(pi ) < n. Wir können also Bi 6= 0
annehmen. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt 0 = χA (A) = B1 B2 .
Da A mit allen Polynomen in A kommutiert, gilt insbesondere B1 A = AB1 .
Die Behauptung folgt nun aus Teilaufgabe a).
31. Für das charakteristische Polynom ergibt sich jeweils χ(λ) = −λ5 . Damit ist
das Minimalpolynom gegeben durch µ(λ) = λk , wobei k gerade der Nilpotenzindex ist. Die angegebenen Matrizen haben alle Blockgestalt und k ist gerade die
maximale Zahl, so dass es eine k × k-Untermatrix gibt die nur Einsen auf der
Nebendiagonale und sonst nur Nullen als Einträge hat (maximaler Jordanblock).
Es ergibt sich also:
a) µ(λ) = λ4 ;
b) µ(λ) = λ3 ;
c) µ(λ) = λ3 ;
d) µ(λ) = λ2 .
32. a) Wir bezeichnen die Matrix mit A. Es gilt entweder χA = µA , oder µA ist ein
echter Teiler von χA . Letzteres bedeutet µA (λ) = (λ − λ̃). Wegen µA (A) = 0
bedeutet dies A = λ̃1 bzw. a = d = λ̃ und b = c = 0.
b) Wir bezeichnen die Matrix wieder mit A. Das Minimalpolynom hat entweder
Grad 2 oder Grad 3, denn A ist kein Vielfaches der Einheitsmatrix. Falls
es Grad 3 hat, so gilt wegen Normiertheit µA = −χA . Wir zeigen, dass
A2 , A, 1 linear unabhängig sind, also dass A nicht Nullstelle eines Polynoms
mit Grad 2 ist. Nehmen wir also u2 A2 + u1 A + u0 1 = 0, mit
2 , u1 , u0 ∈ R,
 u
u0
an. Wenden wir die Gleichung auf e1 an, so erhalten wir u1  = 0 ∈ R3 .
u2
Also gilt für das Minimalpolynom immer µA = −χA .