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PD Dr. S. Mertens
S. Falkner, S. Mingramm
WS 2007/2008
13. 11. 2007
Theoretische Physik I – Mechanik
Blatt 6
1. Virialsatz. Die Bewegung eines Systems von Massenpunkten sei auf ein endliches Raumgebiet beschränkt, das wirkende Potential sei unabhängig von der Geschwindigkeit und
eine homogene Funktion n-ter Ordnung, d.h.
V (λ~r ) = λn V (~r) .
(a) Leiten Sie einen Zusammenhang zwischen den zeitlichen Mittelwerten
1
T̄ = lim
τ →∞ τ
Zτ
0
N
∑ Ti
i =1
!
dt
und
1
V̄ = lim
τ →∞ τ
Zτ
0
N
∑ Vi
i =1
!
(3 Pkt.)
dt
der kinetischen und der potentiellen Energie her.
(b) Diskutieren Sie diesen Zusammenhang für Potentiale der Form
(1 Pkt.)
V (~r) = crn .
(insgesamt 4 Pkt.)
2. Reibung ohne Dissipationsfunktion. Bei einigen, vorwiegend eindimensionalen, Syste- (3 Pkt.)
men ist es möglich Reibungseffekte zu berücksichtigen ohne eine Dissipationsfunktion
einzuführen. Betrachten Sie zum Beispiel die Lagrangefunktion
L = eγt
kq2
mq̇2
−
2
2
.
Wie lautet die Bewegungsgleichung, die sich daraus ergibt? Gibt es Erhaltungsgrößen?
Führen Sie die Punkttransformation
γ
s( t) = e 2 t q( t)
durch. Wie lautet die Lagrange-Funktion L(s, ṡ) und die zugehörige Bewegungsgleichung?
Was bedeutet das für die Erhaltungsgröße des Systems?
3. Ruckmechanik. Unter dem Begriff generalisierte Mechanik versteht man eine Teilgebiet (4 Pkt.)
der theoretischen Mechanik, der sich mit Lagrangefunktionen befasst, die beliebig hohe
Ableitungen der generalisierten Koordinaten enthalten können. Probleme der Form
...
x = f ( ẍ, ẋ, x)
sind unter dem Stichwort Ruckmechanik bekannt. Zeigen Sie mit den Methoden der Variationsrechnung, dass, falls das Hamilton’sche Prinzip gilt und die Variation von sowohl qi
als auch q̇i am Rand verschwinden, die Euler-Lagrange-Gleichungen für L(qi , q̇i , q̈i , t)
d ∂L
∂L
d2 ∂L
−
+
=0
dt2 ∂q̈i
dt ∂q̇i
∂qi
i = 1...k
lauten. Wenden Sie das Resultat auf
L=−
m
k
q̈q − q2
2
2
an. Was beschreibt die Bewegungsgleichung?
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Theoretische Physik I: Mechanik
WS 2007/2008
4. Geodäten der Kugel. Zeigen Sie, dass die Geodäten der Kugel sog. Großkreise sind.
(3 Pkt.)
5. Bestimmung des Potentials. Aus einem gegebenen Zentralpotential lässt sich die Bahn
eines Massenpunktes (prinzipiell) durch Lösen der Bewegungsgleichungen finden. Auf
der anderen Seite ist es sehr nützlich, wenn man durch das Beobachten von Trajektorien
auf das zu Grunde liegende Potential schließen kann.
(a) Berechnen Sie das Potential, unter dessen Einfluss sich ein Teilchen auf der Trajektorie (1 Pkt.)
r( ϕ) = Aeaϕ
mit konstantem A und a bewegt.
(b) Wie lautet das Potential, wenn die Bahnkurve
(1 Pkt.)
r( ϕ) = Cϕk
mit konstantem C und k ist?
(insgesamt 2 Pkt.)
Auf diesem Übungsblatt sind maximal 16 Punkte zu erreichen, Abgabe erfolgt am 20. 11. 2007.
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