Logik und Diskrete Strukturen

Hertrampf/Wächter/Walter/Weiÿ
Wintersemester 2014/15
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 7
Abgabe: bis Mo 02.02. 12:50 in den Abgabekästen im Mittelgang des 1. Stocks.
Besprechung: In den Kalenderwochen 06 und 07.
1.
Primzahlgenerierung (schriftlich)
(4
Punkte )
In vielen Anwendungen ist es wichtig eine zufällige Primzahl p zu nden (z. B. beim RSAVerfahren). Um einen Primzahl mit höchstens b Bits zu nden kann Beispielsweise folgender Algorithmus verwendet werden: Es wird zunächst zufällig gleichverteilt eine Zahl
n ∈ {0, 1, . . . , 2b − 1} gezogen. Anschlieÿend wir mithilfe eines Primzahltests ermittelt, ob n
prim ist. Ist dies nicht der Fall, wird wieder zufällig gleichverteilt eine weitere Zahl gezogen
und getestet und so weiter. . .
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert für die Anzahl der Runden, die der Algorithmus durchläuft, bis eine Primzahl gefunden wird, kleiner gleich der Bitlänge b ist.
Hinweis : Es gilt für alle x ∈ R mit 0 < x < 1:
∞
X
i=0
2.
ixi−1 =
∞
∞
X
d X i
1
d 1
d i
x =
=
x =
dx
dx i=0
dx 1 − x
(1 − x)2
i=0
Geometrisches und arithmetisches Mittel (schriftlich)
(5
Punkte )
(6
Punkte )
Seien a1 , . . . , an positive reelle Zahlen und sei
• G=
√
n
a1 · · · an das geometrische Mittel,
• A = (a1 + · · · + an )/n das arithmetische Mittel und
p
• Q = (a21 + · · · + a2n )/n das quadratische Mittel.
Zeigen Sie: min(a1 , . . . , an ) ≤ G ≤ A ≤ Q ≤ max(a1 , . . . , an ).
3.
Erwartungswert und Varianz (schriftlich)
a) Sei X die Zufallsvariable, die den Wurf eines ungezinkten Würfels beschreibt, d.h., X
nimmt die Werte 1, . . . , 6 mit Wahrscheinlichkeit jeweils 61 an. Bestimmen Sie Erwartungswert E[X] und Varianz Var[X] von X .
b) Sei Y die Zufallsvariable, welche die Summe der Augen von acht unabhängig geworfenen
Würfeln repräsentiert. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von Y.
c) Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf aller acht Würfel die Variable Y
mindestens 127 des erwarteten Wertes erreicht (d.h., p = Pr[Y ≥ 127 E[Y ]]). Schätzen
Sie diese Wahrscheinlichkeit sowohl mit Hilfe der Markov-Ungleichung als auch mit
der Tschebyschev-Ungleichung ab. Berechnen Sie auch den genauen Wert für p und
bewerten Sie die Ergebnisse der verschiedenen Abschätzungen.
4.
Ziegenproblem
a) Sie sind Teilnehmer einer Spielshow. Hinter einem von drei Toren versteckt sich der
Hauptgewinn, hinter den restlichen zwei Toren der Trostpreis (hier: eine Ziege; besser:
ein weiÿer Elephant). Sie wählen eines dieser Tore. Der Spielleiter önet dann zufällig
gleichverteilt eines der anderen beiden Tore, hinter dem sich jedoch nicht der Hauptgewinn versteckt. Sie haben dann die Wahl das Tor zu wechseln und danach wird Ihr
Tor geönet. Sollten Sie das Tor wechseln? Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich.
b) Betrachten Sie folgendes allgemeinere Spiel: Aus n Toren dürfen Sie k Tore auswählen.
Dannach werden n − k − 1 der n − k restlichen Tore geönet. Unter diesen n − k − 1
benden sich wieder nur jeweils Trostpreise. Sie haben nun wieder die Möglichkeit
entweder den Gewinn unter Ihren k Toren zu suchen oder auf das verbleibende Tor zu
wechseln. Finden Sie für alle k, n ∈ N mit k < n eine Strategie, die die Gewinnchancen
maximiert, und zeigen Sie, dass diese Strategie optimal ist.
5.
Buchpreis: Ziegenproblem II
Wir untersuchen nun eine mehrstuge Variante des Spiels aus der vorherigen Aufgabe. Für
n Tore gibt es n − 1 Runden in denen jeweils der Spieler zuerst ein Tor wählt und der
Spielleiter danach ein nicht-gewähltes Tor zufällig gleichverteilt önet, unter dem sich (falls
möglich) nicht der Hauptgewinn bendet. Finden Sie die Strategie, die den Erwartungswert
für den Gewinn des Spielers maximiert. Beweisen Sie, dass es keine bessere Strategie gibt.
Hinweis: Wer den Übungsleitern als Erster bis zum 17. April 2015 einen lückenlosen, formal korrekten Beweis in einzelnen Rechenschritten für dieses Problem vorstellt, erhält ein
ausgewähltes Buch geschenkt.
6.
Fibonacci-Zahlen und Matrizen
Zeigen Sie die folgende Identität:
1 1
1 0
7.
=
Fn+1 Fn
Fn Fn−1
!
K ombinatorische
Interpretation
Beweisen Sie die folgenden Identitäten mithilfe kombinatorischer Interpretation:
a)
b)
8.
!n
n
m
n
n−k
=
m
k
k
m−k
X n
k
n−m n
=2
k
m
m
k∈Z
Fehlstellungen in Permutationen
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Fehlstellungen FS(π) für
!
π=
1 2 3 4 5
.
3 1 4 2 5
b) Sei π eine Permutation auf n Elementen. Was ist die maximale Anzahl der Fehlstellungen FS(π)? Wie viele Permutationen π gibt es mit dieser Eigenschaft?