Herbst 2013 - Thema 3 - Aufgabe 3 Lösung

Herbst 2013 - Thema 3 - Aufgabe 3
a) Eine Permutation
k
σ
sei das Produkt zweier disjunkter Zykel der teilerfremden Längen
und l. Welche Ordnung hat
b) Sei
σ?
die gröÿte Elementordnung in der symmetrischen Gruppe
a(n)
Sn .
Man zeige
a(n)
n
Lösung:
Sei
σ ∈ Sn
τ1 , τ2
Da
mit
σ = τ1 ◦ τ2 ,
seien disjunkte Zykel mit ord(τ1 )
disjunkt sind, gilt:
τ1 , τ2
(i)
=k
und ord(τ2 )
=l
mit
(k, l) = 1
τ1 ◦ τ2 = τ2 ◦ τ1
(ii) < τ1 > ∩ < τ2 > = {id}
σ 2 = (τ1 τ2 )(τ1 τ2 ) = τ1 (τ2 τ1 )τ2 = τ1 (τ1 τ1 )τ2 = τ12 τ22
Daraus folgt
Sei ord(σ)
→
= m
id = τ1m τ2m
< τ2 > ∋ τ2−m = τ1m ∈ < τ1 >
→
(ii)
→
τ1m ∈ < τ1 > ∩ < τ2 > → τ1m = id
→ τ2m = id
→
ordτ1
→
m
b) Sei
∀m ∈ N
σ m = τ1m τ2m
Induktiv folgt:
a(n)
|m
m minimal
=
∧
|m
ordτ2
kgV (ord(τ1 ), ord(τ2 )) = kgV (k, l)
die maximale Elementordnung in
∀ k ∈ N ∃n ∈ N
Sei also
k∈N
gegeben. Wähle
a)
→
ord
(τ1 ) = 2k,
ord τ2
≥k
aus
= 2k + 1
(2k, 2k + 1) = 1
ord
(τ1 τ2 ) = 2k · (2k + 1)
≥
n → ∞
= (1 . . . 2k), τ2 = (2k + 1 2k + 2 . . . 4k + 1)
und
a(n)
n
a(n)
n
k·l
n = 4k + 1
Betrachte die disjunkten Zykel τ1
Es gilt:
mit
=
Sn
a(n)
Behauptung: n wächst über alle Schranken für
Zu zeigen:
(k,l)=1
(2 aufeinander folgende Zahlen sind teilerfremd)
2k · (2k + 1)
4k + 1
≥
2k · (2k + 1)
4k + 2
=
k
Sn
→∞