Zahlentheorie - Clemens Fuchs
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Zahlentheorie LVA 405.300 C. Fuchs Inhaltsübersicht 26.06.2013 Inhaltsübersicht Die Zahlentheorie gehört zu den Kerngebieten der Mathematik und steht historisch und thematisch in ihrem Zentrum. Es geht um Zahlen - gemeint sind die ganzen Zahlen - sowie deren Eigenschaften. Nach einer präzisen Einführung der ganzen Zahlen inklusive der algebraischen Operationen und der Ordnung, beschäftigen wir uns mit grundlegenden Eigenschaften: Division mit Rest, ggT und kgV, euklidischer Algorithmus, Primzahlen. Im Anschluß betrachten wir Restklassenringe ganzer Zahlen (Stichwort: Uhrenarithmetik); diese spielen nicht nur als Bausteine bei der Klassifizierung von allgemeineren Objekten eine wichtige Rolle, sondern kommen auch in Anwendungen in der Datensicherheit an prominenter Stelle vor. Insbesondere konzentrieren wir uns auf die Einheitengruppe von Restklassenringen. Am Ende übertragen wir die Resultate auf Polynome; auch sie bilden einen Ring (diese algebraischen Konstrukte bilden in der Vorlesung die gemeinsame Sprache), welcher sich sehr ähnlich dem Ring der ganzen Zahlen verhält. Die Vorlesung behandelt (voraussichtlich) die folgenden Themen: §1. Die ganzen Zahlen §2. Teilbarkeitslehre §3. Restklassenringe §4. Einheiten in Restklassenringen §5. Polynome Bei Fragen oder Bemerkungen (speziell Hinweise auf Fehler aller Art sind willkommen; Tippfehler ausgenommen) schicken Sie ein Email an [email protected]. §1. Die ganzen Zahlen 1.1 Arithmetik der ganzen Zahlen 1.1.1 Konstruktion der ganzen Zahlen, Vertretersystem (nicht-negative und negative ganze Zahlen) Beispiele 1.1.2 Addition und Multiplikation; Definition und Wohldefiniertheit Beispiel 1.1.3 Satz algebraische Eigenschaften ::::: 1 1.1.4 Ordnung auf Z inklusive Eigenschaften 1.1.5 Subtraktion 1.2 Ringe 1.2.1 Definition des Rings 1.2.2 Satz Z ist ein kommutativer Ring ::::: 1.2.3 Eigenschaften in Ringen 1.2.4 Vielfache und Potenzen von Ringelementen inklusive Eigenschaften 1.3 Beispiele für Ringe 1.3.1 Funktionenringe Beispiel 1.3.2 Direkte Produkte 1.3.3 Matrizenringe 1.4 Homomorphismen und Unterringe 1.4.1 Definition des Homomorphismus 1.4.2 Satz φ(0) = 0, φ(−a) = −φ(a) ::::: 1.4.3 Mono, Epi, Endo, Iso, Auto, isomorph: R ∼ =S 1.4.4 Satz id ist der einzige Endo von Z ::::: 1.4.5 Kern eines Homomorphismus, Idealeigenschaft von kerφ und Homomorphiesatz für Ringe 1.4.6 Definition von Unterringen Beispiel: Unterringe von Z 1.4.7 Satz φ(R) ist ein Unterring ::::: 1.4.8 Unterringkriterium §2. Teilbarkeitslehre 2.1 Division mit Rest 2.1.1 Betrag einer ganzen Zahl + Eigenschaften 2 2.1.2 Satz Divisionsalgorithmus ::::: Beispiel: 9 = 2 · 4 + 1 = (−2)(−4) + 1, −9 = (−3)4 + 3 = 3(−4) + 3 2.1.3 Teilbarkeit, Teiler/Vielfaches, echter Teiler, assoziiert + Eigenschaften von Teilbarkeit 2.1.4 Definition des ggT 2.1.5 Satz Existenz und Eindeutigkeit des ggT ::::: 2.1.6 teilerfremd 2.1.7 Eigenschaften des ggT; inbesondere das Restegesetz: (a, b) = (a mod b, b) falls b ̸= 0 2.1.8 kgV, Eigenschaften, Zusammenhang zu ggT 2.2 Der euklidische Algorithmus 2.2.1 Motivierendes Beispiel: a = 385, b = 252 2.2.2 Satz Euklidischer Algorithmus ::::: 2.2.3 :::::: Satz :::: von :::::::: Bezout ∀a, b ∈ Z ∃x, y ∈ Z: (a, b) = ax+by (idealtheoretische Charakterisierung des ggT) 2.2.4 Erweiterter euklidischer Algorithmus (Berlekamp-Algorithmus) Beispiel (Fortsetzung von 2.2.1) 2.2.5 Erweiterung für a1 , . . . , an 2.3 Primfaktorisierung 2.3.1 Definition der Primzahlen, Primteiler, P Beispiel 2.3.2 Fermat- und Mersenne-Zahlen, Primzahlrekorde 2.3.3 Satz (Lemma von Euklid) ::::::::::::::::::::::::::: 2.3.4 Fundamentalsatz/Hauptsatz der Zahlentheorie :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2.3.5 Primfaktordarstellung 2.3.6 Satz von Euklid |P| = ∞. ::::::::::::::::: 5 Beweise 2.3.7 Sieb des Erathostenes Beispiel: Primzahlen ≤ 20 2.3.8 Primzahlsatz 3 2.3.9 Folgerungen für ggT und kgV §3. Restklassenringe 3.1 Definition und Eigenschaften 3.1.1 Kongruenzen mod n 3.1.2 Satz Eigenschaften ::::: 3.1.3 Der Restklassenring mod n 3.1.4 Notation Zn Beispiel: Z6 3.1.5 Ideale (Bezug zu Aufgaben 3 und 4 am 2. Übungsblatt) 3.1.6 Satz Reduktion mod n ist ein Epi ::::: 3.1.7 Square and Multiply Beispiel 3.1.8 Satz Neunerprobe ::::: 3.2 Lineare Kongruenzen 3.2.1 Motivierendes Beispiel 3.2.2 Chinesischer Restsatz :::::::::::::::::::::::: Beispiel: x ≡ 3(11), x ≡ 6(8), x ≡ −2(15) 3.2.3 Satz Aus n = ::::: ∏ ∏ ni mit ni paarweise teilerfremd folgt Zn ∼ = Zni . Spezialfall: Primfaktorzerlegung von n und Beispiel: Z6 3.2.4 Modulare Arithmetik Beispiel: 13 · 17 mittels 420 = 3 · 4 · 5 · 7 §4. Einheiten in Restklassenringen 4.1 Einheiten und Nullteiler 4.1.1 Lineare Kongruenzen revisited 4.1.2 Einheiten mit Eigenschaften 4 4.1.3 Inversenberechnung Beispiel: 5−1 = 5 (mod 5) 4.1.4 Nullteiler mit Eigenschaften Beispiel: Z6 4.2 Anzahl der Einheiten 4.2.1 Eulersche φ-Funktion Beispiel: n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 4.2.2 Satz Formel für φ(n) ::::: 4.2.3 Satz von Euler :::::::::::::::: 4.2.4 Satz von Fermat ::::::::::::::::: Anwendungsbeispiel: p ̸= 2, p|x2 + 1 ⇒ p ≡ 1 (mod 4) 4.2.5 Potenzieren Beispiel: 9925 (13), 40512·5·2013 (17) 4.3 Integritätsbereiche und Körper 4.3.1 Einheiten in Ringen mit Eigenschaften 4.3.2 Integritätsbereich Beispiel: Z, Zn ist ein Körper genau dann, wenn n ∈ P 4.3.3 Körper Beispiele: Q, R, C, Zn ist ein Körper genau dann, wenn n ∈ P 4.4 Anwendung in der Kryptografie 4.4.1 RSA-Verfahren 4.4.2 Formaler Beweis der Korrektheit 4.4.3 Anforderungen an ein Public-Key-Kryptosystem §5. Polynome 5.1 Polynomring 5.1.1 Definition der Polynome 5.1.2 Addition und Multiplikation + alg. Eigenschaften 5.1.3 Satz R[X] besitzt einen zu R isomorphen Unterring. ::::: 5 5.1.4 Grad, Führungskoeffizient und Eigenschaften 5.1.5 Satz Ist R ein Integritätsbereich, so auch R[X]. Die Einheiten in R[X] sind dann genau ::::: die Einheiten von R. 5.1.6 Assoziiert 5.2 Teilbarkeitslehre 5.2.1 Satz Divisionsalgorithmus, mod, div ::::: Beispiel: f = x3 + 2x2 + 3x + 1, g = x2 − x − 1 5.2.2 Teilbarkeit und Eigenschaften 5.2.3 ggT, kgV und Eigenschaften 5.2.4 Satz (euklidischer Algorithmus) ::::::::::::::::::::::::::::::::: Beispiel 5.2.5 Satz von Bezout ::::::::::::::::: 5.3 Nullstellen 5.3.1 Polynomabbildungen und Eigenschaften Beispiel: xp − x ∈ Zp [x] 5.3.2 Auswertungshomomorphismus 5.3.3 Nullstelle 5.3.4 Wurzelsatz f (α) = 0 genau dann, wenn (X − α)|f ::::::::::::: 5.3.5 Satz f = (x − α1 )k1 · · · (x − αm )km g, g ∈ K[x], g(α) ̸= 0 für α ∈ K ::::: 5.3.6 Satz Jedes Polynom f hat höchstens deg(f ) Nullstellen. ::::: 5.3.7 Satz Die Zuordnung Polynom ↔ Polynomfunktion ist über unendlichen Körper ein Iso::::: morphismus. 5.3.8 Ohne Beweis: :::::::::::::::::::: Fundamentalsatz:::: der::::::::: Algebra 5.3.9 Rationaler Nullstellentest Beispiele 5.4 Irreduzible Polynome 5.4.1 Irreduzibel Beispiele 6 5.4.2 Satz (Lemma von Euklid für Polynome) :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 5.4.3 Hauptssatz der Zahlentheorie für Polynome :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 5.4.4 Modulares Irreduzibilitätskriterium Beispiel: f = x3 + 4x2 + 8x + 6, p = 3 5.5 Polynom-Interpolation 5.5.1 Chinesischer Restsatz für Polynome ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 5.5.2 Lagrange’sche Interpolationsformel Beispiel: f (−1) = 1, f (0) = f (1) = 0, f (2) = 5 Literatur 1. K.-H. Zimmermann, Diskrete Mathematik, Books on Demand, 2006, ISBN978-3-83345529-2 2. M. Aigner, Zahlentheorie, vieweg, 2012 3. P. Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer Verlag, 1991 4. C. Fuchs, Zahlentheorie, Vorlesungsskript, ETH Zürich, 2007 5. A. Leutbecher, Zahlentheorie, Springer, 1991 6. A. Pethő, Algebraische Algorithmen, vieweg, 1999 7
