t∂ ∂ + = × ∇ D JH ρ

Maxwellsche Gleichungen komplett
∂D
(I) ∇ × H = J +
∂t
(II)
(III)
(IV)
„Verschiebungsstrom“ (neu)
J
H
∂B
∇×E = −
∂t
∂D
∂t
I
E
∇⋅D = ρ
∇⋅B = 0
H
D
∂B
∂t
+
+
+
Vakuum: D = ε 0 E
B = µ0H
Elektrotechnik II
„Es gibt keine magnetischen Monopole“
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Seite 1
Ergänzende Beziehungen
Î Lorentz-Kraft auf Punktladung Q
F = Qv × B + QE
Î Materialgleichungen für isotrope Materialien
D = µE, B = µH, J = σE
Î Kontinuitätsgleichung ist in Maxwell-Gleichungen
bereits enthalten! Bilde Divergenz von Maxwell I und
Kombination mit Maxwell III:
∂D
∂
= div J + div
div rot H = 0 = div J + div
D
{
∂t
∂t ρ
!
⇒ div J = −
Elektrotechnik II
∂ρ
∂t
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Seite 2
Wiederholung Größen und Einheiten
Zeichen
physikalische Größe
Einheit
H
B
E
magnetische Feldstärke
A/m
magnetische Flussdichte
Vs/m2
elektrische Feldstärke
V/m
D
J
elektrische Flussdichte
As/m2
Konvektionsstromdichte
A/m2
Permeabilität
Vs/Am
Permittivität
As/Vm
spezifische Leitfähigkeit
S/m
µ
ε
σ
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Seite 3
Wie kam Maxwell auf den Verschiebungsstrom?
Betrachte: Aufgeschnittener Draht führt Stromdichte S=i/A, gegenüberliegende
Schnittflächen bilden Kondensator mit näherungsweise homogenem Feld.
Geschlossener Weg S um Draht
J (t ) =
i (t )
A
Änderungsrate der
Flächenladungsdichte
an Schnittfläche ∂ρ s
(Maxwell III)
∂D
=
= J (t )
∂t
∂t
D = ε 0E
Maxwell I in Integralform (noch ohne Verschiebungsstrom):
∫ H ⋅ ds = ∫ J ⋅ dA
S
AS
Flächenintegral kann über beliebige von S berandete Fläche AS ermittelt werden!
• Variante 1, AS schneidet Draht: H ⋅ ds = J ⋅ dA = I
•Variante 2, AS geht durch Spalt:
∫
∫
S
AS
∫ H ⋅ ds = ∫ J ⋅ dA = 0
S
Elektrotechnik II
OK 9
???
AS
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Seite 4
Wie kam Maxwell auf den Verschiebungsstrom?
(Forts.)
Der Widerspruch kann aufgelöst werden durch Ergänzung von Maxwell I
um den so genannten Verschiebungsstrom
∂D
∂D ⎞
⎛
∫ H ⋅ ds = ∫ ⎜⎝ J + ∂t ⎟⎠ ⋅ dA ⇔ rot H = J + ∂t
S
AS
∂ρ s ∂D
=
= J (t ) liefert damit ∫ H ⋅ ds für jede Wahl von AS
Wegen
∂t
∂t
S
das gleiche Ergebnis!
J (t ) =
i (t )
A
D = ε 0E
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Seite 5
Vorbemerkungen zu nichtstationären Feldern
Î Bisher: Behandlung von statischen und stationären
Feldproblemen.
Î Bisher betrachtete Verkopplung elektrischer und
magnetischer Felder durch Induktionsgesetz (Maxwell II)
Î Verkopplung aber auch über Verschiebungsstrom
(Zusatzterm in Maxwell I)
Î Das Wechselspiel beider Terme spielt für dynamische
EM-Felder eine große Rolle
Î Es zeigt sich unter anderem, dass „Wirkungen“ sich mit
endlicher Geschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit)
ausbreiten.
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Seite 6
Lösungen der Maxwell-Gleichungen im
strom- und ladungsfreien Raum
Î Betrachte Teilraum ohne Ladungen und Ströme
J = 0, ρ = 0
Î Volumen mit Vakuum oder zumindest homogen mit
isotropem Material gefüllt:
grad ε = 0, grad µ = 0
Î Resultierende Feldgleichungen
∂E
∂H
∇×H = ε
, ∇ × E = −µ
∂t
∂t
∇ ⋅ E = 0, ∇ ⋅ H = 0
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Seite 7
Lösungen der Maxwell-Gleichungen im
strom- und ladungsfreien Raum (Forts.)
Î Möglichkeit zur Elimination von E (analog von H):
Rotor von Maxwell I (bzw. II)
∂E
∂
∂ 2H
∇ × (∇ × H ) = ∇ × ε
= ε (∇ × E ) = − µε
∂t
∂t
∂t 2
Î Umformen von rot rot und Verwendung der DivergenzBeziehung
∂ 2H
∂ 2H
grad div H − ∆H = − µε
⇒ ∆H − µε
=0
123
∂t 2
∂t 2
0
Wellengleichung für H
Î Analoge Herleitung für E:
∂ 2E
∆E − µε
=0
2
∂t
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Seite 8
Lösung der Wellengleichung allgemein (skalar)
Î Skalare Wellengleichung in einer Dimension
2. Ableitung
nach dem Ort
∂ 2 f ( x, t )
∂x 2
1 ∂ 2 f ( x, t )
=
⋅
2
∂t 2
v
2. Ableitung
nach der Zeit
Î Lösung mit d‘Alembertschen Ansatz
x⎞
⎛
f ( x, t ) = f ⎜ t m ⎟
⎝ v⎠
– … vorwärts
+ … rückwärts
v … Ausbreitungsgeschwindigkeit der Lösung („Welle“)
Bsp: nach rechts („vorwärts“) laufende Welle
f(x,t=0)
vt1
f(x,t=t1)
x
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Seite 9
x
Überprüfung d´Alembert´scher Ansatz f ( x, t ) = f ⎛⎝⎜ t m v ⎞⎟⎠
Î 1. Ableitung
∂f
∂f
⎛ 1⎞
=
⋅⎜m ⎟
x
∂x ∂ (t m v ) ⎝ v ⎠
Î 2. Ableitung
∂2 f
∂f
∂f
=
⋅1
x
∂t ∂ (t m v )
1 ∂f
∂f
⇒
=m ⋅
∂x
v ∂t
∂ ⎛ 1 ∂f
= ⎜m ⋅
∂x 2 ∂x ⎝ v ∂t
1 ∂ ∂f
1 ∂2 f
⎞
=+ ⋅
⎟=m
v ∂t ∂x
⎠
v 2 ∂t 2
Î q.e.d.
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Seite 10
Zeitharmonische Wellengleichung
Î Komplexe Rechnung
Ansätze für Variablen in der Form
{
}
{
}
f ( x, t ) = fˆ ( x) cos(ωt + ϕ ) = Re fˆ ( x) exp( jϕ ) exp( jωt ) = Re f ( x) exp( jωt )
Eingesetzt in DG, Vertauschung RealteilBildung mit Differenziation nach t liefert
DG bezügl. räumlicher Koordinaten
2
∂
∂t
Î Wellengleichung ∆ f = − ω ⋅ f
v2
⇒ ∆ f + k2 f = 0
Î Lösung dieser DG 2.O.:
1D-Fall ∝ e m jkx
3D-Fall ∝ e m jk⋅r
Elektrotechnik II
→
jω
Wellenzahl
k=
ω
v
Wellenvektor
ω
k =k =
v
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Seite 11
Zeitharmonische Wellengleichung: 1D-Lösung
Î 1D-Lösung
f ( x) = A e m jkx
{
}
⇒ f ( x, t ) = Re f ( x) exp( jωt ) = Re{A exp(m jkx) exp( jωt )} =
= A cos(ωt m kx + arg( A))
Î Vorwärts laufende Welle
2π
⎞
⎛
x +ϕ ⎟ =
cos(ωt − kx + ϕ ) = cos⎜ ωt −
λ
⎠
⎝
⎞
⎛ ⎛ x⎞
ω
⎛
⎞
= cos⎜ ωt − x + ϕ ⎟ = cos⎜⎜ ω ⎜ t − ⎟ + ϕ ⎟⎟
v
⎝
⎠
⎠
⎝ ⎝ v⎠
Quelle Abb: Skript Weigel, JKU
Elektrotechnik II
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Seite 12
Zeitharmon. Wellengleichung: 1D-Lösung (Forts.)
Î Wellenlänge λ einer sinusförmigen Welle: Der
räumliche Abstand zweier benachbarter Punkte
gleicher Phase (zu einer festen Zeit).
Î Zusammenhang mit f und v: v= λ f
2π
⎛
⎞
Amplitude ∝ cos⎜ ωt −
x +ϕ ⎟
λ
⎝
⎠
Ortsverlauf
Zeitverlauf
Wellenlänge λ
Periodendauer T = 1/f
Feldstärke
Zeit t
Feldstärke
Phasengeschwindigkeit v
Ort x
2π
ω=
T
2π
k=
λ
Elektrotechnik II
Welle wandert nach rechts
Analogie
räumliche↔zeitliche
„Frequenz“
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Seite 13
3D-Lösung: „Ebene Welle“
Î Die Lösung exp(± jk.r) der 3D-Wellengleichung stellt eine
ebene Welle dar. (Wir betrachten im Folgenden vorlaufende Welle,
rücklaufende kann durch negatives k dargestellt werden)
Î Zusammenhang zwischen E und H für diese Lösung ergibt
sich aus Maxwell-Gleichungen.
Î Alle Größen weisen Ortsabhängigkeit exp(− jk.r) auf
→ Einführung komplexer Amplituden (Komplexe
Wechselstromrechnung hier mit Orts- und Zeitabhängigkeit)
Î Bei Betrachtung der Gleichungen für die komplexwertigen
Vektoren kann der Nabla-Operator einfach durch – jk ersetzt
werden! (Differentiation mit Realteilbildung vertauschbar!)
z.B. H (r , t ) = Re{H exp( jωt − jk ⋅ r )}
∇ exp(− jk ⋅ r ) = − jk exp(− jk ⋅ r ) ⇒ ∇ → − jk
⇒ z.B. ∇ × H (r , t ) → − jk × H, etc.
Î Analog zum Ersatz ∂ / ∂t exp( jωt ) = jω exp( jωt ) ⇒ ∂ / ∂t → jω
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Seite 14
3D-Lösung: „Ebene Welle“ (Forts.)
Î Maxwell-Gleichungen für komplexe Feldvektoren
− k × H = ωε E, k × E = ωµ H
k ⋅ E = 0, k ⋅ H = 0
Î E und H stehen normal auf Ausbreitungsrichtung der
Welle (gegeben durch k), genauer: ExH zeigt in
Richtung von k. Lösung stellt eine so genannte
transversal elektromagnetische Welle dar (TEM-Welle)
Î E und H stehen normal aufeinander
Î Verhältnis der Amplituden: Feldwellenwiderstand
E
E
k
ωµ
=
=
=
=
ZW =
H H ωε
k
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µ
= 377Ω in Vakuum
ε
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Seite 15
Feldwellenwiderstand
Î Feldwellenwiderstand
-
-
-
Elektrotechnik II
E
E
µ
ZW =
=
=
H H
ε
Ein endlicher Feldwellenwiderstand
(z.B. 377 Ω) bedeutet NICHT,
dass hier elektrische Energie in Wärme
umgesetzt wird!
Im Gegenteil:
Ein reelles ZW bedeutet hier sogar,
dass das Medium verlustlos ist.
Im allgemeinen (verlustbehafteten) Fall
ist ZW eine komplexe Zahl
mit Real- und Imaginärteil und heißt
Feldwellenimpedanz.
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Seite 16
3D-Lösung: „Ebene Welle“ (Forts.)
Ausbreitungsrichtung, k
Flächen konstanter
Phase bewegen
sich mit v=1/√εµ
E
k =k =
H
ω
v
= ω εµ
Richtung von E definiert Polarisationsebene. In diesem
Beispiel so genannte vertikale Polarisation
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Seite 17
Beispiel für ebene Welle
Î Ausbreitung in x-Richtung, E in y-Richtung
0
⎛
⎞
⎜
jωt m jkx ⎟
E = ⎜ E0 e e
⎟
⎜
⎟
0
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
0
⎜
⎟
H=⎜
0
⎟
⎜ ± E 0 e jωt e m jkx ⎟
⎜ Z
⎟
⎝ W
⎠
Elektrotechnik II
– … vorwärts
+ … rückwärts
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Seite 18
Linear und zirkular polarisierte ebene Wellen
Î Linear polarisierte Welle
-
E-Feld in Polarisationsebene
H-Feld senkrecht dazu
Î Überlagerung zweier orthogonal
polarisierter ebener Wellen mit 90° zeitlicher
Phasenverschiebung: zirkular polarisierte Welle
-
Elektrotechnik II
linkswendig oder rechtswendig
Feldvektoren bewegen sich auf Schraubenlinien
E- und H-Feld stehen senkrecht aufeinander
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Seite 19
Elliptisch polarisierte Welle
(für gleiche Amplituden der überlagerten linear polarisierten
Wellen: zirkular polarisierte Welle)
vertikal polarisierte
Î Elliptisch polarisierte Welle
Welle
+
horizontal polarisierte
Welle
mit 90° Phasenverschiebung
=
elliptisch polarisierte
Welle
Quelle Abb.: Skript Weigel JKU
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Seite 20
Bedeutung der ebenen Welle
Î Ebene Welle ist nur eine mögliche Lösung der
Feldgleichungen in einem Gebiet ohne Ströme und
Ladungen.
Î Es gibt noch zahlreiche weiterer derartiger möglicher
Lösungen (Zylinderwellen, Leckwellen, etc.)
Î Welche Lösung in einem strom/ladungsfreien
Feldgebiet tatsächlich realisiert wird, hängt von den
Strömen und Ladungen außerhalb des Bereichs ab
und kann über Randbedingungen erfasst werden (vgl.
Elektrostatik)
Î Das Strahlungsfeld von elektromagnetischen
Strahlern (Antennen) kann in großem Abstand von
der Antenne (so genanntes Fernfeld) jedoch in guter
Näherung lokal als ebene Welle dargestellt werden.
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Seite 21
Phasengeschwindigkeit ebener Wellen
Î Ein Punkt konstanter Phase bewegt sich mit der
Geschwindigkeit
2π ω ω
v=λ f =
⋅
= = ω εµ
k 2π k
in Richtung von k
Î Bei der Ausbreitung in Materialien können ε und µ
frequenzabhängig sein, man spricht von „Dispersion“
Î Zeitlich nichtsinusförmige Signale bzw.
elektromagnetische Wellen können durch
Überlagerung sinusförmiger Teilwellen repräsentiert
werden (Fourier-Analyse)
Î Im Falle von Dispersion bewegen sich die
entsprechenden Teilwellen mit unterschiedlicher
Phasengeschwindigkeit → Signalverzerrung
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Seite 22
Gruppengeschwindigkeit von Wellen
Î Besondere technische Bedeutung haben
schmalbandige Signale (z.b. Funk), hier belegt das
Signal ein vergleichsweise schmalbandiges Spektrum
um eine Trägerfrequenz herum.
Î Im Zeitbereich entsprechen solche Signale einer
hochfrequenten Schwingung deren Amplitude sich
langsam ändert (z.B. AM-Signale) Bsp.: Amplitudenmodulation
mit sinusförmigem Signal
Î Die Information liegt in dieser
Einhüllenden, ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit bei Übertragung
der Signale mit EM Wellen wird
durch die
Gruppengeschwindigkeit
beschrieben
Quelle Abb.: Wikipedia
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Seite 23
Gruppengeschwindigkeit
Î Einfaches Beispiel zur Übertragung mehrerer
Frequenzen: Reine Schwebung, d.h. Summe zweier
Wellen mit ähnlicher Frequenz
A cos(ω1t − k1 x ) + A cos(ω 2t − k 2 x )
Î Anwendung von Additionstheoremen
⎛α + β ⎞
⎛α − β ⎞
cos α + cos β = 2 cos⎜
cos
⎟
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
-
Phase des Trägers
ω1 +ω 2
2
-
Phase der Einhüllenden
ω1 −ω 2
2
Elektrotechnik II
k1 + k 2
t−
x
2
k1 − k 2
t−
x
2
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Seite 24
Gruppengeschwindigkeit (Forts.)
Î Ausbreitungsgeschwindigkeit
-
Träger
ω1 +ω 2
2
k +k
t − 12 2
x = konstant
ω1 +ω 2
k1 + k2 dx
⋅ dt
2
2
v=
-
Einhüllende
−
ω1 +ω 2
2
k1 + k2
2
vg =
Elektrotechnik II
=
ω1 −ω 2
2
k1 − k2
2
d
dt
=0
ω mittel
k mittel
Phasengeschwindigkeit
∆ω
=
∆k
Gruppengeschwindigkeit
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Seite 25
Dispersion: Gruppengeschwindigkeit und
Phasengeschwindigkeit sind unterschiedlich
Î Ohne Dispersion: Phasengeschwindigkeit hängt nicht
von der Frequenz ab
v=
ω
k
= konstant
Î Mit Dispersion
-
v ist frequenzabhängig
Gruppengeschwindigkeit vg (um eine Frequenz
herum)
dω
1
vg =
=
dk
dk
dω
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Seite 26
Auswirkung von Dispersion
k
dk
dω
k
k
ω
k
ω
ω
ohne Dispersion
(z.B. EM Welle im freien Raum)
v = vg
v=
ω
mit Dispersion
1
k
v ≠ vg
ω
vg =
Elektrotechnik II
1
dk
dω
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Seite 27
Brechungsindex in der Optik
Î In der Optik ist der Brechungsindex definiert
n = ε r µr
Î Phasengeschwindigkeit
v=
1
εµ
Vakuumlichtgeschwindigkeit:
c=
1
ε 0 µ0
Î Damit ist die Phasengeschwindigkeit in einem
Medium
c
v=
n
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Seite 28
Felder aufgrund von Strom- und
Ladungsverteilungen
Î Bisher: Betrachtung von speziellen Lösungen im
freien Raum (ebene Wellen u.ä.)
Î Jetzt: Betrachtung von Feldern die durch
vorgegebene Strom- und Ladungsverteilung erzeugt
werden.
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Seite 29
Skalares Potenzial in der Elektrodynamik
Î Potenzial in der Elektrostatik:
Wegen rot E=0 konnte das elektrische Feld durch
den Gradienten eines skalaren Potentials definiert
werden (ein reines Gradientenfeld ist wirbelfrei):
E = − grad ϕ
(Elektrostatik)
Î Gibt es jedoch zeitlich veränderliche Magnetfelder,
so ist
rot E = − ∂B
∂t
und diese Definition des Potenzials ϕ ist nicht
möglich!
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Seite 30
Vektorpotenzial
Î Allgemein und daher auch in der Elektrodynamik gilt
div B = 0
Î Daher definiert man (wie schon in der Magnetostatik)
ein Vektorpotential A und macht den Ansatz (ein
reines Wirbelfeld ist quellenfrei)
B = rot A
Î Einsetzen in die zweite Maxwell-Gleichung liefert
∂
∂A ⎞
⎛
rot E = − rot A ⇒ rot ⎜ E −
⎟=0
∂t
∂t ⎠
⎝
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Seite 31
Vektorpotenzial und Skalarpotenzial in
der Elektrodynamik
∂A ⎞
⎛
rot ⎜ E −
⎟=0
∂t ⎠
⎝
Î Der wirbelfreie Ausdruck kann als Gradient eines
skalaren Potenzials ausgedrückt werden
∂A
E+
= − grad ϕ
∂t
∂A
⇒ E = − grad ϕ −
∂t
Î Das elektrische Feld ist also mit dem Gradient eines
skalaren Potenzials und/oder einer zeitliche Änderung
des Vektorpotentials verknüpft.
Î Formulierung konstistent mit Elektrostatik (∂/∂t=0)
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Seite 32
Differenzialgleichungen für die Potenziale:
Wellengleichungen
Î Felder in Maxwellgleichungen durch Potenziale
ausgedrückt und
Î div A geeignet gewählt (Strahlungseichung,
Lorentzkonvention):
∂ϕ
div A + εµ
=0
∂t
Î ergibt Wellengleichungen für die Potenziale! (s.
folgende Folie)
Î Zur Erinnerung: div A kann gewählt werden, weil nur
rot A definiert wurde und ein Feld durch Quellen und
Wirbel (vollständig) bestimmt ist!
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Seite 33
Wellengleichungen für Potenziale
Maxwell I
Maxwell II
∂D
rot H = J +
∂t
rot E = −
∂B
∂t
Verknüpfungsbez.:
B=µH
D=ε E
Maxwell III
Maxwell IV
div D = ρ
div B = 0
B = rot A
∂A ⎞
⎛
rot ⎜ E +
⎟=0
∂t ⎠
⎝
∂A
= −grad ϕ
⇒ E+
∂t
∂E
rot rot A = J + ε
∂t
µ
1
∂
∂ 2A
grad div A − ∆A + ε grad ϕ + ε
=J
2
µ
µ
∂t
∂t
1
1
Wahl div A = −εµ
∂ϕ
∂t
∆A − εµ
Elektrotechnik II
∂
ρ
− div grad ϕ − div A =
ε
∂t
∂2A
∂t 2
= −µ J
∆ϕ − εµ
∂ 2ϕ
∂t 2
=−
ρ
ε
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Seite 34
Vektor- und Skalarpotential:
Gleichungen und Lösungen
Î Wellengleichungen für Potenziale
ρ
∂ 2ϕ
∆ϕ − εµ 2 = −
ε
∂t
skalares Potenzial
∆A − εµ
∂ 2A
2
= − µJ
∂t
Vektorpotenzial
Î Lösungen: sog. retardierte Potenziale (zeitl. verzögert)
r −r ′
⎛ ′
ρ⎜ r , t − v
1
⎝
ϕ (r, t ) =
4πε ∫
r − r′
V
⎞
⎟
⎠d V ′
r −r′
⎛
J⎜ r′, t − v
µ
⎝
A(r, t ) =
4π ∫
r − r′
⎞
⎟
⎠d V ′
V
r... Aufpunkt für Berechnung des Potenzials
r´... Ort der Ursache (Ladung oder Strom) für das Potential
Elektrotechnik II
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Seite 35
Retardierte Potenziale
Î Veranschaulichung Retardierung (z.B. ϕ)
Quelle Abb.: Skript Weigel JKU
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Seite 36
Felder einer elementaren Antenne:
Hertzscher Dipol
Î besteht aus kurzem Leiterstück mit konstanter
Strombelegung.
Î Stellt somit die Elementarlösung („räumliche
Impulsantwort“) dar.
Î Für zeitlich sinusförmige Änderung: komplexe
Anmerkung: in
Notation
r
jω t
komplexer Notation
J (r , t ) = aδ (r ) e
kann exp(jωt) auch
weggelassen werden.
r −r′ ⎞ ⎞
⎛ ⎛
exp⎜ jω ⎜ t − v ⎟ ⎟
µ
⎝
⎠ ⎠ µ exp( jωt − jk r − r′ )
⎝
⇒ A(r, t ) =
=
r − r′
r − r′
4π
4π
Î Zugehöriges ϕ kann aus Lorentz-Konvention
berechnet werden
Elektrotechnik II
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Seite 37
Hertzscher Dipol: Felder
Î Felder aus Lösung für Potenzial berechnet
-
Elektrotechnik II
Feldlinien des E-Feldes
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Seite 38
Hertzscher Dipol: Felder (Forts.)
Î Feldlinien des hertzschen Dipols
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Seite 39
Energiesatz der Elektrodynamik - Herleitung
Î E mal 1. Maxwellgleichung
∂D
E ⋅ rot H = E ⋅ J + E ⋅
∂t
Î H mal 2. Maxwellgleichung
∂B
H ⋅ rot E = − H ⋅
∂t
Î Differenz
∂D
∂B
E ⋅ rot H − H ⋅ rot E = E ⋅ J + E ⋅
+H⋅
∂t
∂t
Elektrotechnik II
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Seite 40
Energiesatz der Elektrodynamik – Herleitung
(Forts.)
Î Umformen linke Seite
Rotieren des
Spat-Produkts
(Produktregel für
Differentiation
beachten!)
E ⋅ rot H − H ⋅ rot E
= E ⋅ (∇ × H ) − H ⋅ (∇ × E )
Nabla in
kartesischen
Koordinaten
= −∇ ⋅ (E × H )
= −div(E × H )
= −divS
Î Definition Poynting-Vektor S
S = E× H
[S ] = [E ]⋅ [H ] = 1 V ⋅1 A = 1 W2
⇒ −div S = E ⋅ J + E ⋅
Elektrotechnik II
⎛∂ ⎞
⎜ ⎟
⎜∂ x⎟
⎜∂ ⎟
∇=⎜ ⎟
∂y
⎜ ⎟
⎜⎜ ∂ ⎟⎟
⎝∂ z⎠
m
m
m
∂D
∂B
+H⋅
∂t
∂t
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Seite 41
Energiesatz entspricht Energiebilanz
Î Interpretation der Senken des Poynting-Vektors
(basierend auf früheren theoretischen Überlegungen)
− div SW =
J ⋅E
+
∂B
H⋅
∂t
Verlustleistungsdichte
Änderung der
bzw. falls <0 extern
magnetischen
eingebrachte
Feldenergiedichte
Leistungsdichte (z.B.
durch Batterie)
+
∂D
E⋅
∂t
Änderung der
elektrischen
Feldenergiedichte
Î Diese Größen sind dimensionsmäßig
Leistungsdichten (Einheit W/m3)
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Seite 42
Integration des Energiesatzes, Energiefluss
Î Leistungen
-
Integral der Leistungsdichten über ein Volumen
∂D
∂B
d V +∫ H ⋅
dV
− ∫ divS d V = − ∫ S ⋅ d A = ∫ J ⋅ E d V +∫ E ⋅
∂t43 142
∂t43
1424
3 142
Gauß
Pthermisch − Pext
P
P
elektrisch
1444444
24444magnetisch
443
Leistungen
Î Hüllenintegral über den durch die Hülle tretenden
Poynting-Vektors = Volumsintegral über die
Leistungsdichten
Î Poynting-Vektor entspricht Energieflussdichte
(Energie die pro Zeiteinheit durch Einheitsfläche tritt)
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Bedeutung des Poynting Vektors
Î Richtung des Poynting-Vektors
-
-
Elektrotechnik II
in Richtung des Energieflusses.
Flächenvektor dA zeigt definitionsgemäß
nach außen.
Positives ∫ S ⋅ d A bedeutet Quellen im Volumen
und daher (Netto-)Energiefluss aus dem Volumen
nach außen.
Negatives ∫ S ⋅ d A bedeutet (Netto-)Energieverlust
im Volumen.
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Bsp: Energiefluss im Zweileitersystem
Î Poynting-Vektor im Zweileitersystem
-
a) verlustlos
b) verlustbehaftet
σ →∞
σ ... endlich
Î Der Energietransport findet also hauptsächlich
zwischen den Leitern statt und nicht durch die
Bewegung der Ladungsträger im Draht. Quelle Abb.: Skript Weigel JKU
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Geführte Wellen entlang von Leitern
(Leitungen)
Î Elektromagnetische Energie kann entlang von Leitern
geführt werden.
Î Einfaches Modell für eine gerade Leitung:
Zylindrische, unendlich ausgedehnte Anordnung von
Leitern
z
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Geführte Wellen entlang von Leitern (Forts.)
Î Für Lösungsansatz: Aufspaltung des Feldes zwischen
den Leitern in transversale und longitudinale
Komponenten (folgende Überlegungen wahlweise auch durch
Anschreiben der Komponenten in kartesischen Koordinaten)
E = E xe x + E y e y + E z e z = E ⊥ + E z e z ,
14
4244
3
E⊥
H = H ⊥ + H ze z
Î Rotorgleichungen (mit Notation
∇ ⊥ × E⊥ = −µ ∂t H ze z ,
∂t =
∇ ⊥ × H ⊥ = ε ∂t Eze z
∂
,...
∂t
)
∂ z E ⊥ − ∇ ⊥ E z = µ ∂ t e z × H ⊥ , ∂ z H ⊥ − ∇ ⊥ H z = −ε ∂ t e z × E ⊥
Î Divergenzgleichungen
∇ ⊥ ⋅ E ⊥ = −∂ z E z ,
∇ ⊥ ⋅ H ⊥ = −∂ z H z
(Übung: Rechnen Sie das nach!)
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Geführte Wellen entlang von Leitern (Forts.)
Î Randbedingungen am Leiter
n × E = 0, n ⋅ H = 0
(da im Leiterinneren E=0, H=0)
Î Randbedingungen für Ez, Hz folgt aus RB f. Leiter und
Rotorgl. ∂ z H ⊥ − ∇ ⊥ H z = −ε ∂t e z × E⊥
∂
E z = 0, n ⋅ ∇ ⊥ H z =
Hz = 0
∂n
Î Spezieller Lösungsansatz (durch RB motiviert)
(Transversal-Elektro-Magnetische Welle oder TEM
Welle)
E z = 0, H z = 0
Î Es gibt auch noch andere Lösungen („Moden“) aber
diese ist besonders einfach und praktisch relevant!
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TEM Wellen entlang von Leiterstrukturen
Î Für TEM Ansatz vereinfachen sich die Gleichungen
-
-
Differenzialgleichungen bzgl. x,y
∇ ⊥ × E ⊥ = 0,
∇⊥ × H⊥ = 0
∇ ⊥ ⋅ E ⊥ = 0,
∇⊥ ⋅ H⊥ = 0
In einem Querschnitt z=const gelten die
Gleichungen für statische bzw. stationäre 2D-Felder!
→ Mind. zwei Leiter notwendig um nicht
verschwindende Felder zu bekommen!
Differenzialgleichungen bezügl. z
∂ z E ⊥ = µ ∂ t e z × H ⊥ , ∂ z H ⊥ = −ε ∂ t e z × E ⊥
⇒ (∂ z − µ ε ∂ t2 )E ⊥ = 0, (∂ z − µ ε ∂ t2 )H ⊥ = 0
Wellengleichungen für Ausbreitung in z-Richtung!
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Beispiele für Ausführungsformen von
Zweidrahtleitungen
Î Leitungen
Mikrostreifenleitung
Zweidrahtleitung
Koaxialleitung
(keine TEM Wellen
da Raum zwischen
Leitern nicht
homogen!)
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Alternative Behandlung von TEM Wellen auf
Leitungen
Î Leitung (bestehend aus zwei Leitern) wird
charakterisiert durch
-
Leiterwiderstand R
Induktivität des Leiters L
Leitwert zwischen den Leitern (Isolation) G
Kapazität zwischen den Leitern C
Î Leitungsbeläge
-
Elektrotechnik II
bezogen auf die Länge l
Bezeichnet mit Strich ´
R
l
L
L′ =
l
G
G′ =
l
C
C′ =
l
R′ =
[R′] = 1 Ω
m
[L′] = 1 H
m
[G′] = 1 S
m
F
′
[C ] = 1
m
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Modell eines infinitesimalen Leitungsstückes
∂i
Î Modell einer Leitung der Länge dx
i + dx
∂x
i
L'dx
R'dx
G'dx
u
-
Maschengleichung
-
Knotengleichung
C'dx
u+
∂u
dx
∂x
u = R′ dx ⋅ i + L′ dx ⋅ ∂∂t i + u + ∂∂ux dx
i = G′ dx ⋅ (u + ∂∂ux dx ) + C ′ dx ⋅ ∂∂t (u + ∂∂ux dx ) + i + ∂∂xi dx
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Herleitung Telegrafengleichung
Î Modell einer Leitung der infinitesimalen Länge dx
-
Maschengleichung
u = R′ dx ⋅ i + L′ dx ⋅ ∂∂t i + u + ∂∂ux dx
− ∂∂ux = (R′ + L′ ∂∂t )i
-
Knotengleichung
• nach Vernachlässigung*
von Termen 2. Kleinheitsordnung (dx⋅dx)
i = G′ dx ⋅ u + C ′ dx ⋅ ∂∂t u + i + ∂∂xi dx
− ∂∂xi = (G′ + C ′ ∂∂t )u
*: Diese Vernachlässigung ist exakt! Nachweis: Aufstellen für kleines
aber endliches Stück ∆x, Größen in Taylorreihen entwickeln,
Grenzübergang ∆x→ 0.
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Herleitung Telegrafengleichung (Forts.)
Î Telegrafengleichungen
-
− ∂∂ux = (R′ + L′ ∂∂t )i
aus
− ∂∂xi = (G′ + C ′ ∂∂t )u
-
folgen
∂ 2 u ( x, t )
∂x 2
∂2
∂x 2
[
]
= (R′ + L′ ∂∂t )(G′ + C ′ ∂∂t ) u ( x, t )
[(
)(
)]
i ( x, t ) = R ′ + L′ ∂ G ′ + C ′ ∂ i ( x, t )
∂t
∂t
Î Für verlustfreie Leitung: Wellengleichungen!
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Zeitharmonische Telegrafengleichungen
Î komplexe Schreibweise (Unterstrich für komplexe
Größen weggelassen)
∂ 2 u ( x, t )
∂x 2
= [( R′ + jωL′)(G′ + jωC ′)]u ( x, t )
[K] = ( j k )2
− k 2 = (R′ + jωL′)(G′ + jωC ′)
∂ 2 u ( x, t ) + k 2 u ( x, t )
∂x 2
∂ 2 i ( x, t )
∂x 2
= [( R′ + jωL′)(G′ + jωC ′)]i ( x, t )
∂ 2 i ( x, t ) + k 2 i ( x, t )
∂x 2
Elektrotechnik II
=0
=0
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Zeitharmonische
Telegrafengleichungen (Forts.)
Î Zeitharmonische Telegrafengleichungen
∂ 2 u ( x, t ) + k 2 u ( x , t )
∂x 2
∂ 2 i ( x, t ) + k 2 i ( x, t )
∂x 2
-
=0
=0
Lösungen wieder durch d´alembertschen Ansatz
U ( x, t ) = U 0e j (ωt m k x )
I ( x, t ) = I 0e j (ωt m k x )
– … vorwärts
+ … rückwärts
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Allgemeiner Spannungs- und
Stromverlauf auf der Leitung
Î Darstellung durch Überlagerung aus
hinlaufender und rücklaufender Welle
U ( x, t ) = U HIN e j (ωt −k x ) + U RÜCK e j (ωt + k x )
I ( x, t ) = I HIN e j (ωt −k x ) − I RÜCK e j (ωt + k x )
I HIN e j (ωt − k x )
I RÜCK e j (ωt + k x )
U HIN , RÜCK ∈ C
I HIN , RÜCK ∈ C
U HIN e
j (ωt − k x )
v
v
U RÜCK e
j (ωt + k x )
durch Randbedingungen
festgelegt
x
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Ausbreitungskonstante
Î Dispersionsrelation
− k 2 = ( R′ + jωL′)(G′ + jωC ′)
-
Wegen γ = j k gilt für die Ausbreitungskonstante
γ = α + jβ = ( R′ + jωL′)(G′ + jωC ′)
-
Realteil: Dämpfungsfaktor α
Imaginärteil: Phasenkonstante β
Für verlustlose Leitungen gilt
γ=
jωL′jωC ′ = jω L′C ′ ⇒
α =0
Elektrotechnik II
β = ω L′C ′
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Illustration gedämpfte Welle
Î Hinlaufende Welle
Elektrotechnik II
uˆ1 e jϕu e −αx e j (ωt − βx )
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Wellenwiderstand
Î Wellenwiderstand (Characteristic Impedance)
-
ist das Verhältnis von
hinlaufender Spannungswelle zu
hinlaufender Stromwelle
ZW
-
oder rücklaufender Spannungswelle zu
rücklaufender Stromwelle
ZW
-
Elektrotechnik II
U HIN
=
I HIN
U RÜCK
=
I RÜCK
aber NICHT Gesamtspannung zu Gesamtstrom!
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Wellenwiderstand aus den
Telegrafengleichungen
-
Aus Herleitung der Telegrafengleichungen
-
nach Einsetzen z.B. der hinlaufenden Welle
− ∂∂ux = (R′ + L′ ∂∂t )i
(
)
− ∂∂x U HIN e j (ωt −k x ) = ( R′ + jωL′)
ZW
-
U HIN j (ωt −k x )
e
ZW
− U HIN e j (ωt −k x ) (− j k ) = ( R′ + jωL′)U HIN e j (ωt −k x )
(
)
mit − k = ( R′ + jωL′)(G ′ + jωC ′)
2
( R ′ + jωL ′ )
R ′ + jωL ′
=
ZW =
(R′ + jωL′)(G′ + jωC ′) G′ + jωC ′
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Wellenwiderstand
Î Wellenwiderstand (Wellenimpedanz)
-
ist
ZW
-
R ′ + jωL ′
=
G ′ + j ωC ′
und vereinfacht sich für hohe Frequenzen oder
verlustlose Leitungen zu
L′
ZW =
-
-
Elektrotechnik II
C′
Der Wellenwiderstand hat also nichts mit den
Verlusten der Leitung zu tun!
ZW wird oft auch mit Z0 bezeichnet.
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Leitung mit Quelle und Last
Î Übertragungssystem
Zi
IHIN
ZW
IRÜCK
Hinlaufende Welle
Za
UHIN
Ue
URÜCK
Rücklaufende Welle
IHIN
Konzentriertes
Bauelement
IRÜCK
Leitung
Konzentriertes
Bauelement
1442443 144444424444443 1
424
3
<< λ
> λ / 10
<< λ
Ue … Sinusspannung oder Impulse (Fouriertransformation)
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Reflexionsfaktor
Î Am Ende der Leitung (x=d) gilt
j (ωt − kd )
+ U RÜCK e j (ωt + kd )
U ( x, t ) U HIN e
Za =
=
=
(
ω
−
)
(
ω
+
)
j
t
k
d
j
t
k
d
I ( x, t )
I HIN e
− I RÜCK e
U HIN e j (ωt − kd ) + U RÜCK e j (ωt + kd )
=
U HIN j (ωt − kd ) U RÜCK j (ωt + kd )
−
e
e
ZW
ZW
...
U RÜCK Z a − Z W
⇒ rU =
=
U HIN
Z a + ZW
Elektrotechnik II
…Reflexionsfaktor (für die Spannung)
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