Lösung 8

MAE4 – Mathematik: Analysis für Ingenieure 4
Dr. Christoph Kirsch
Frühlingssemester 2016
ZHAW Winterthur
Lösung 8
Aufgabe 1 :
a) Wir definieren die Zufallsvariable
X := “Anzahl der gezogenen roten Kugeln”,
(1)
dann gilt X ∼ B(30, 5/100) = B(30, 1/20). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
gegeben durch
2
X
k 30−k
2 X
19
30
1
“P (X ≤ 2)” = FX (2) =
fX (k) =
' 81 %, (2)
20
20
k
k=0
k=0
wobei wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung aus der Tabelle im Kap. 1.3.2 der Vorlesung abgelesen haben.
b) Wir definieren die Zufallsvariable
X := “Anzahl der gezogenen blauen Kugeln,
bis genau 1 rote Kugel gezogen wurde”,
(3)
dann gilt X ∼ N B(1, 1/20) = G(1/20). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
gegeben durch
2
X
k
2
X
1 19
' 14 %,
“P (X ≤ 2)” = FX (2) =
fX (k) =
20
20
k=0
k=0
(4)
wobei wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion der geometrischen Verteilung aus der
Tabelle im Kap. 1.3.2 der Vorlesung abgelesen haben.
c) Wir definieren die Zufallsvariable
X := “Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe”,
(5)
dann gilt X ∼ H(100, 5, 6). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch
5 100−5
“P (X ≥ 1)” = 1 − “P (X = 0)” = 1 − fX (0) = 1 −
0
6−0
100
6
' 27 %,
(6)
wobei wir die Gegenwahrscheinlichkeit sowie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der
hypergeometrischen Verteilung aus der Tabelle im Kap. 1.3.2 der Vorlesung verwendet haben.
1
Aufgabe 2 :
a) Mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Exponentialverteilung aus der Tabelle im Kap. 1.3.5 der Vorlesung erhalten wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Z1
Z1
1
“P (−3 ≤ X ≤ 1)” =
fX (x) dx = 0.2e−0.2x dx = −e−0.2x 0
(7)
−3
0
= 1−e
−0.2
' 18 %.
(8)
b) Mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der (stetigen) Gleichverteilung aus
der Tabelle im Kap. 1.3.5 der Vorlesung erhalten wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit
7
Z∞
Z7
1
1 1
2
dy = y = (7 − 5) = = 40 %.
(9)
“P (Y > 5)” = fY (y) dy =
5
5 5 5
5
5
5
c) Mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Cauchy-Verteilung aus der Tabelle im Kap. 1.3.5 der Vorlesung erhalten wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit
“P (|Z − 1| < 3)”
=
=
“P (−3 < Z − 1 < 3)” = “P (−2 < Z < 4)”(10)
Z4
Z4
1
2
fZ (z) dz =
dz
(11)
π 4 + (z − 1)2
−2
u:= 12 (z−1)
=
−2
Z
1
π
3
2
3
2
1
2
du
=
4 + 4u2
π
− 32
=
=
=
Z2
1
du
1 + u2
− 32
3
1
arctan(u)|−2 3
2
π
1
3
3
arctan
− arctan −
π
2
2
2
3
arctan
' 63 %.
π
2
(13)
(14)
(15)
Z ∼ Cauchy(1,2)
0.16
0.14
0.1
Z
f (z)
0.12
0.08
0.06
0.04
0.02
-3
-2
-1
0
1
z
2
(12)
2
3
4
5
Aufgabe 3 :
a) Wir lesen zuerst die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fX aus der Tabelle im
Kap. 1.3.5 der Vorlesung ab (λ = 1):
−x
e , x≥0
fX (x) =
, x ∈ R.
(16)
0,
x<0
Für die linear transformierte Zufallsvariable Y = 23 X − 3 erhalten wir nach
Kap. 1.5.1 der Vorlesung die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (a = −3, b = 23 )
3 − 3 (y+3) 3
y−a
3
3
1
e 2
, 2 (y + 3) ≥ 0
2
fX
= fX
(y + 3) =
fY (y) =
(17)
3
0,
(y + 3) < 0
b
b
2
2
2
3 − 3 (y+3)
e 2
, y ≥ −3
2
=
.
(18)
0,
y < −3
Schliesslich erhalten wir die (kumulative) Verteilungsfunktion FY durch Integration. Für c ≥ −3 gilt
Zc
(18)
Zc
fY (y) dy =
FY (c) =
− 23 (c+3)
3 − 3 (y+3)
dy
e 2
2
u:=− 23 (y+3)
=
−3
−∞
Z
3 u
2
e −
du
2
3
0
− 32 (c+3)
Z
− 3 (c+3)
−eu du = −eu |0 2
=
3
= 1 − e− 2 (c+3) ,
(19)
0
und für c < −3 gilt FY (c) = 0.
Y := (2/3) X - 3, X
1
∼ Exp(1)
0.8
F Y(c)
0.6
0.4
0.2
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
c
b) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch
(19)
“P (−2 ≤ Y ≤ 1)” = FY (1) − FY (−2) = 1 − e
3
= e− 2 − e−6 ' 22 %.
3
− 32 (1+3)
− 1−e
− 32 (−2+3)
(20)
Aufgabe 4 :
a) Gemäss Kap. 1.5.2 der Vorlesung ist die reelle Zufallsvariable
Y :=
X − (−2)
1
X −µ
=
= X +1
σ
2
2
(21)
standardnormalverteilt
(Y ∼ N (0, 1)). Dabei haben wir die Parameter µ = −2
√
√
2
und σ = σ = 4 = 2 der Verteilung von X verwendet.
b) Mit der Formel (12) aus dem Kap. 1.5.2 der Vorlesung erhalten wir die gesuchte
Wahrscheinlichkeit
0+2
“P (X < 0)” = FX (0) = Φ
= Φ(1) ' 0.8413 ' 84 %,
(22)
2
wobei Φ die (kumulative) Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet, deren Werte tabelliert sind (z. B. in der Formelsammung von Papula,
S. 508).
Aufgabe 5 :
a) Die Quartile (d. h. die 25 %-, 50 %-, und 75 %-Quantile) der Verteilung von X
sind nach Def. 13 der Vorlesung gegeben durch
QX (0.25) = inf ({x ∈ R | FX (x) ≥ 0.25}) ,
QX (0.5) = inf ({x ∈ R | FX (x) ≥ 0.5}) ,
QX (0.75) = inf ({x ∈ R | FX (x) ≥ 0.75}) .
(23)
(24)
(25)
Weil X standardnormalverteilt ist, gilt FX ≡ Φ ((kumulative) Verteilungfunktion der Standardnormalverteilung), und die Werte von Φ sind tabelliert. Mit
einer solchen Tabelle finden wir die gesuchten Werte
QX (0.25) =
=
=
QX (0.5) =
QX (0.75) =
inf ({x ∈ R | Φ(x) ≥ 0.25})
inf ({x ∈ R | Φ(−x) ≥ 1 − 0.25})
inf ({x ∈ R | Φ(−x) ≥ 0.75}) ' −0.68,
inf ({x ∈ R | Φ(x) ≥ 0.5}) = 0,
inf ({x ∈ R | Φ(x) ≥ 0.75}) ' 0.68,
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
wobei wir die Eigenschaft Φ(−x) = 1 − Φ(x) der (kumulativen) Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung verwendet haben.
Bemerkung: Gemäss der Tabelle aus Papula, S. 508, gelten Φ(0.67) ' 0.7486 <
0.75 und Φ(0.68) ' 0.7518 > 0.75, also gilt 0.67 < QX (0.75) < 0.68. Mit
dem MATLAB-Befehl norminv(0.75,0,1) erhalten wir den Wert QX (0.75) '
0.674489 . . . .
4
kumulative Verteilungsfunktion F
X
1
= Φ, X ∼ N(0,1)
Φ(x)
0.75
0.5
0.25
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
b) Wir verwenden die Definition 14 der Vorlesung:
Z∞
E[X] =
Z∞
xfX (x) dx =
−∞
2 −2x
4x e
dx
Zλ
MAE3, Def. 4, 1.
=
lim
λ→∞
|0
0
4x2 e−2x dx .
{z
=:I(λ)
(31)
}
Mit zweimaliger partieller Integration erhalten wir
Zλ
I(λ) =
2 −2x
4x e
λ
−2x2 e−2x 0
dx =
Zλ
+
0
4xe−2x dx
(32)
0
2 −2λ
= −2λ e
+ 0 + −2xe
−2x
λ
+
Zλ
0
2e−2x dx
(33)
0
2 −2λ
= −2λ e
−2λ
− 2λe
+ 0 + −e
−2x
= −2λ2 e−2λ − 2λe−2λ − e−2λ + 1
= 1 − 2λ2 + 2λ + 1 e−2λ .
λ
0
(34)
(35)
(36)
Für den Grenzwert erhalten wir mit der Grenzwertregel von Bernoulli und de
L’Hospital:
”
4λ + 2
2λ2 + 2λ + 1 “ ∞
∞
(37)
=
1 − lim
2λ
λ→∞ 2e2λ
λ→∞
e
∞
”
2λ + 1 “ ∞
2
= 1 − lim
=
1
−
lim
= 1 − lim e−2λ = 1. (38)
2λ
2λ
λ→∞
λ→∞
λ→∞
e
2e
lim I(λ) = 1 − lim
λ→∞
Es gilt also E[X] = 1.
Bemerkung: Das uneigentliche Integral in (31) dürfen Sie direkt mit dem Taschenrechner auswerten.
Vorlesungswebseite: http://home.zhaw.ch/~kirs/MAE4
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