4.¨Ubung Mathematik für Informatiker II SS 06

4. Übung
Mathematik für Informatiker II
Abgabe: 14.5.2006, 12:00 Uhr
Klaus Kriegel
Aufgabe 1
Potenzen komplexer Zahlen
Bestimmen Sie die Werte der folgenden Ausdrücke:
√
b) (−1 + i 3)8
a) (1 − i)10
Aufgabe 2
SS 06
komplexe Wurzeln
1 + 1 + 2 Punkte
c)
(−1−i)15
√
( 3+i)7
.
2 + 2 + 2 + 1 Punkte
Bestimmen Sie für die folgenden Ausdrücke alle komplexen Wurzeln (in Polarform):
√
√
√
a) 6 −8i
b) 3 64
c) 4 −16
.
d) Stellen Sie die Wurzeln aus c) im kartesischen System dar.
Aufgabe 3
komplexe Lösungen von Gleichungen
3 + 3 Punkte
Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:
a) z 4 − z 3 + 8z − 8 = 0 (eine Lösung leicht zu sehen)
b)
z6 + z3 − 6 = 0
Aufgabe 4
komplexe Exponentialfunktion
3+2 Punkte
Wir setzen als bekannt voraus, dass die reelle Exponentialfunktion exp(x) := ex eine bijektive Abbildung von R auf R+ ist und ln die Umkehrfunktion bezeichnet.
a) Zeigen Sie, dass die komplexe Exponentialfunktion den eingeschränkten Definitionsbereich {x + iy ∈ C | x ∈ R ∧ y ∈ [0, 2π)} bijektiv auf C \ {0} abbildet. Wie kann man das
zeigen?
Beschreiben Sie die Umkehrfunktion!
b) Bestimmen Sie die Urbilder von
i
e4
und
e3
√
2
3
+ i √e 2 .