Daniel Krizanovic
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Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von Wahrscheinlichkeitsmaßen! Vortragender: Daniel Krizanovic Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Integraltransformation Def. 1.1: Eine Integraltransformation bildet eine Originalfunktion f auf eine Bildfunktion F ab mittels Z +∞ F (y ) := K (x, y )f (x)dx −∞ Die Funktion K (x, y ) wird auch Kern der Transformation genannt! Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Integraltransformation Wichtige Beispiele: Die von uns zu studierende Fourier-Transformation, wobei hier gilt K (x, y ) = e −ixy sowie die Laplace-Transformation mit K (x, y ) = 1[0,+∞) e −xy Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Anwendung der Integraltransformation Zwei typische Anwendungsgebiete der Integraltransformation sind in der unten stehenden Graphik veranschaulicht: ad a: Komplizierte Operationen im Originalraum können zu einfachen Operationen imBildraum werden. ad b: Manipulationen im Bildraum nebst anschließender Rücktransformation sind zur Filterung möglich. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Komplexe Integration Die bereits bekannte Theorie der Integration reellwertiger Funktionen, kann mit Hilfe einiger Bemerkungen sehr rasch auf komplexwertige Funktionen ausgeweitet werden. Da der Körper der komplexen Zahlen topologisch gesehen gleich dem R2 ist, können wir den Körper der komplexen Zahlen mit der σ - Algebra B2 der 2 - dimensionalen Borelmengen versehen, worauf sich auch die Messbarkeit C - wertiger Funktionen beziehen wird. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Komplexe Integration - Messbarkeit Sei f : Ω → C eine komplexe Funktion auf einem Maßraum (Ω, S, µ) mit Komponentenfunktionen u := RE (f ) und v := IM(f ) derart, dass f = u + iv ist. Die (S|B2 ) Messbarkeit von f ist nun äquivalent zur (S|B) Messbarkeit der reellen Funktionen u und v . Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Komplexe Integration - Integration Man nennt eine Funktion f : Ω → C auf (Ω, S, µ) (µ−) integrierbar wenn sowohl u := RE (f ) als auch v := IM(f ) µ− integrierbar sind und es gilt: Z Z Z fdµ = udµ + i vdµ Die komplexe Zahl genannt. R fdµ wird dann das Integral von f bezüglich µ Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Komplexe Integration - Eigenschaften Sei L1 (µ, C) die Menge aller komplexer µ− integrierbarer Funktionen. Diese Menge ist R ein Vektorraum Die Abb. Rf 7→ fdµ Rlinear (folgt unmittelbar aus der Linearität der Integrale udµ und vdµ) Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Komplexe Integration - Eigenschaften Es gilt nun: Eine messbare komplexe Funktion f auf Ω ist genau dann µ− integrierbar, wenn |f | µ− integrierbar ist. Es gilt dann Z Z | fdµ| ≤ |f |dµ Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Komplexe Integration - Lp Mit Hilfe dieser Erkenntnis können wir auch die Räume Lp (µ, C) mit 1 ≤ p < ∞ sinnvoll definieren. Der Raum Lp (µ, C) mit 1 ≤ p < ∞ ist die Menge aller messbaren, komplexen Funktionen f auf Ω, für welche |f |p µ− integrierbar ist. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation Nun haben wir die Möglichkeit uns mit der Fourier-Transformation zu beschäftigen. Vorher jedoch einige wichtige Begriffe die öfters vorkommen werden: Mb+ (Rd ) sei die Menge aller endlichen (beschränkten) Borelmaße auf dem Raum Rd Für jedes Maß µ ∈ Mb+ (Rd ) bezeichne Z ||µ|| := dµ = µ(Rd ) die Gesamtmasse von µ. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Definition für Maße Def.: Die Fouriertransformierte eines Maßes µ ∈ Mb+ (Rd ) ist folgendermaßen definiert Z µ̂(x) := e ihx,y i µ(dy ) Oftmals interessiert man sich in der Wahrscheinlichkeitstheorie für die Fouriertransformierte der in der Menge Mb+ (Rd ) gelegenen Verteilungen PX von stochastischen Größen X mit Wertebereich Rd . D.h. Elemente aus Mb+ (Rd ) sind genau die W-Maße auf Bd . Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Definition für Maße Def.: Sei X eine (Rd , Bd )-SG auf einem W-Raum (Ω, S, P). Dann heißt P̂X die charakteristische Funktion von X . Eine alternative Bezeichnung sei φX . Nun gilt: φX = P̂X = E(e ihx,X i ), x ∈ Rd Die charakteristische Funktion wird erst durch den Eindeutigkeitssatz gerechtfertigt, welchen wir im nächsten Kapitel formulieren und beweisen wollen. Vorher wollen wir uns zunächst mit einigen wichtigen Eigenschaften der Fouriertransformierten beschäftigen. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Eigenschaften Für die Fouriertransformierte µ̂ eines jeden Maßes µ ∈ Mb+ (Rd ) gilt (a) µ̂ ist gleichmäßig stetig auf Rd (b) |µ̂(x)| ≤ ||µ|| = µ̂(~0), ∀x ∈ Rd (c) µ̂ ist positiv semidefinit, d.h. für je endlich viele Punkte x1 , x2 , . . . , xn ∈ Rd und komplexe Zahlen λ1 , . . . , λn gilt n X λs λt µ̂(xs − xt ) ≥ 0. s,t=1 Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Eigenschaften Für beliebige Maße µ, ν ∈ Mb+ (Rd ) gilt: ˆ ν = µ̂ + ν̂ (a) µ + (b) αµ ˆ = αµ̂, mit α ∈ R+ (c) µ ˆ∗ ν = µ̂ · ν̂ (d) Für jede lineare Abbildung T des Vektorraumes Rd in sich gilt ˆ = µ̂ ◦ T T . T (µ) (e) Für die Spiegelung am Nullpunkt x 7→ S(x) := −x gilt: ˆ = µ̂ = µ̂ ◦ S. S(µ) Insbesondere ist damit neben jedem µ̂ die konjugiert komplexe Funktion µ̂ die Fourier-Transformierte eines Maßes aus Mb+ (Rd ). (f ) Für jede Translation Ta (x) := x + a in Rd ist Taˆ(µ) = ˆa µ̂ Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Eigenschaften Der nachstehende Satz gibt Auskunft über Produktmaße: Satz : Für das Produktmaß µ ⊗ ν zweier Maße µ ∈ Mb+ (Rd ) und 0 ν ∈ Mb+ (Rd ) berechnet sich die Fourier-Transformierte wie folgt: 0 ˆ ν(x, y ) = µ̂(x)ν̂(y ), (x, y ) ∈ Rd+d . µ⊗ Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Eigenschaften der charakteristischen Funktion Angewendet auf die charakteristische Funktion erhalten wir folgende Eigenschaften Die charakteristische Funktion der Summe u.a. SG. X1 , . . . , Xn ist gegeben durch φX1 +···+Xn = φX1 · . . . · φXn . Für jede lineare Abbildung T des Vektorraumes Rd in sich, jedes a ∈ Rd sowie jede (Rd , Bd ) SG. X ist φa+T ◦X (x) = e ihx,ai φX (T T (x)) Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Funktionen betreffend An dieser Stelle sei festgehalten, dass die Fourier-Transformierte einer λd integrierbaren Funktion f : R 7→ C wie folgt definiert ist: Z fˆ(x) := e ihx,y i f (y )dλ(y ). Somit gilt fˆ = u +ˆλd − u −ˆλd + i(v +ˆλd − v −ˆλd ) wenn f = u + iv die Zerlegung von f in Real und Imaginärteil ist und u = u + − u − bzw. v = v + − v − die Zerlegung von u und v in Positiv und Negativteil ist. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Eindeutigkeitssatz Ein wichtiger Satz um den Eindeutigkeitssatz zu beweisen ist folgender, als Verschärfung des Satzes über die gleichmäßige Stetigkeit von Fourier-transformierten Maßen: Satz (von Riemann - Lebesgue): Die Fourier-Transformierte fˆ einer jeden Funktion f ∈ L1 (λd , C) verschwindet im Unendlichen. ACHTUNG!: Da ˆ~0 = 1, verschwindet die Fourier-Transformierte eines Maßes µ ∈ Mb+ (Rd ) im Allgemeinen nicht im Unendlichen! Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Eindeutigkeitssatz Nun der Eindeutigkeitssatz: Satz (Eindeutigkeitssatz): Die Abbildung µ 7→ µ̂ von Mb+ (Rd ) in Cb (Rd , C) ist injektiv. Jedes Maß µ ∈ Mb+ (Rd ) ist somit durch seine Fourier-Transformierte µ̂ eindeutig bestimmt. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Eindeutigkeitssatz Der Eindeutigkeitssatz erlaubt es uns nun jedes Problem über endliche Borel-Maße auf Rd in ein äquivalentes Problem über deren Fourier-Transformierte zu transformieren. Hierin und in der Eigenschaft das Faltungsprodukt in das gewöhnliche Produkt zu überführen liegt die Bedeutung der Fourier-Transformation. Gleichzeitig wurde damit auch der Bezeichnung der charakteristische Funktion für die Fourier-Transformierte ein Sinn gegeben. Durch die charakteristische Funktion ist damit die Verteilung einer (Rd , Bd )- SG. X eindeutig bestimmt. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Eindeutigkeitssatz Nun betrachten wir ein Funktionen betreffendes Korollar des Eindeutigkeitssatzes. Korollar: Für je 2 Funktionen f , g ∈ L1 (λd , C) gilt: fˆ = ĝ ⇒ f = g λd -fü. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Schwache Konvergenz Bevor wir nun den Stetigkeitssatz formulieren soll vorher die schwache Konvergenz von Maßen wiederholt werden: Sei E ein metrischer Raum. Seien µ, µ1 , µ2 , . . . ∈ M+ (E ). Dann heißt die Folge (µn )n∈N schwach (weakly) konvergent gegen µ i.Z.: µ = w − limn µn falls gilt Z Z n→∞ fdµn −→ Daniel Krizanovic fdµ, ∀f ∈ Cb (E ). Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Stetigkeitssatz Satz (Stetigkeitssatz von P. Lévy): Für eine Folge (µn )n∈N in Mb+ (Rd ) gilt: (a): Ist (µn ) schwach konvergent gegen µ ∈ Mb+ (Rd ), so konvergiert die Folge (µ̂n ) der Fourier-Transformierten auf jeder kompakten Teilmenge des Rd gleichmäßig gegen µ̂. (b): Ist die Folge (µ̂n ) der Fourier-Transformierten wenigstens punktweise konvergent gegen eine in x = ~0 stetige komplexe Funktion φ auf Rd , so ist φ die Fourier-Transformierte eines (eindeutig) bestimmten Maßes µ ∈ Mb+ (Rd ) und die Folge (µn ) konvergiert schwach gegen µ. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Differenzierbarkeit Die Beantwortung der Frage nach der Differentiation von Fourier-Transformierten beruht hauptsächlich auf dem Differentiations-Lemma der Maßtheorie, sowie auf dem Begriff des Momentes, welchen wir zunächst in größerer Allgemeinheit, nämlich für Borel-Maße, diskutieren wollen. Dabei heißt ein auf Bd definiertes Maß µ ein Borel-Maß, falls für alle kompakten Mengen K ⊂ Rd gilt µ(K ) < +∞. Die Menge dieser Maße wird im Folgenden mit M+ (Rd ) bezeichnet. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Moment eines B-Maßes Def. : Sei µ ein (nicht notwendigerweise endliches) Borel-Maß auf Rd und seien k1 , . . . , kd ∈ N0 . Ist zusätzlich ~x = (x1 , . . . , xd ) 7→ x1k1 · . . . · xdkd µ- integrierbar auf Rd , so heißt Z Mk1 ,...,kd := x1k1 · . . . · xdkd dµ(x) das (k1 , . . . , kd )-te Moment von µ und k1 + . . . + kd dessen Ordnung. Man sagt auch, dass das zu k1 , . . . , kd gehörige gemischte Moment von µ existiert. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Differenzierbarkeit eines B-Maßes I Satz : Sei µ ein endliches Borel-Maß auf Rd , für welches alle Momente Mκ1 ,...,κd mit 0 ≤ κj ≤ kj , (j = 1, . . . , d) existieren. Für alle derartigen κ1 , . . . , κd existiert dann die partielle Ableitung Dκ1 ,...,κd µ̂ = ∂ κ1 +...+κd µ̂ ∂x1κ1 · . . . · ∂xdκd der Fourier-Transformierten µ̂ auf ganz Rd . Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Differenzierbarkeit eines B-Maßes II Weiters gilt Dκ1 ,...,κd µ̂(x) = i κ1 +...+κd Z e ihx,y i y1κ1 · . . . · ydκd dµ(y ) und insbesondere Dκ1 ,...,κd µ̂(~0) = i κ1 +...+κd Mκ1 ,...,κd . Jede dieser Ableitungen ist auf Rd gleichmäßig stetig und beschränkt. Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Ein kleines Beispiel P −λ λn mit Betrachtet man die Poissonverteilung πλ = ∞ n=0 e n! n λ > 0. Dabei bezeichnet n das zu n gehörige Dirac-Maß. Zur Erinnerung: Sei (Ω, S) ein Messraum. Zu jedem Punkt p ∈ Ω wird sein Diracmaß p definiert, indem man festlegt, dass jede messbare Menge A ∈ S das Maß 1 hat, wenn sie p enthält. Ansonsten ist das Maß Null. 1 fallsp ∈ A p (A) := 0 sonst Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation - Ein kleines Beispiel So erhält man die diskrete Fourietransformierte π̂λ wie folgt: π̂λ (x) = e −λ ∞ X λn n=0 n! e ixn =e −λ n ∞ X (λe ix ) n=0 ix e −λ e λe = e λ(e Daniel Krizanovic n! = ix −1) Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Quellen Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie - 5. Auflage, de Gruyter Verlag Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit, Springer Verlag Norbert Kusolitsch: Maß und Wahrscheinlichkeittheorie Eine Einführung, Springer Verlag Prof. Dr. Christoph Dalitz: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Fouriertransformation Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation von W-Maßen Fourier-Transformation Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Daniel Krizanovic Fourier-Transformation von W-Maßen