Vorlesung [1.5ex] Informationsökonomik und die

Vorlesung
Informationsökonomik und die Theorie der Firma
Ulrich Schwalbe
Universität Hohenheim
3. Vorlesung 14.11.2007
Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim)
Informationsökonomik
3. Vorlesung 14.11.2007
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Moral Hazard
Literatur: Holmström, B. (1979): “Moral Hazard and Observability”, Bell
Journal of Economics 10, 74-91.
Leistung des Beauftragten (A) ist nicht beobachtbar bzw. nicht
verifizierbar. D.h. Vertrag kann keine best. Leistung vorschreiben.
Konstanter Lohn ⇒ A wird die geringstmögliche Leistung e = 0
wählen. Wenn P die Leistung e = 0 implementieren will, ist der
optimale Lohn so, dass gilt u(w) = Ū, unabhängig vom Ergebnis.
Dies ist der niedrigste Lohn, der garantiert, dass A den Vertrag
akzeptiert.
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Will P eine andere als die geringstmögliche Leistung
implementieren, muss der P den Vertrag so konstruieren, dass die
richtigen Anreize gesetzt werden.
P risikoneutral, A risikoavers. (Für den Fall, dass P risikoavers und
A risikoneutral sind, ist der optimale Vertrag ein
Franchise–Vertrag: A trägt das gesamte Risiko und zahlt dem P
einen konstanten Betrag. In diesem Fall hat A keinen Anreiz, nicht
die optimale Leistung zu wählen. Das Anreizproblem existiert
dann nicht. )
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Der P muss berücksichtigen, dass – gegeben den Vertrag – der A
seine Leistung so wählen wird, dass er seinen Nutzen maximiert, d.h.
e ∈ arg max
ê
n
X
pi (ê)u(w(xi )) − v (ê),
i=1
mit pi (ê) := prob(x = xi |ê).
Diese Beschränkung heisst die Anreizkompatibilitätsbeschränkung.
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Der optimale Vertrag ist die Lösung des folgenden
Optimierungsproblems:
max
e,{w(xi )i=1,...,n }
u.d.N.
n
X
n
X
pi (e)[(xi − w(xi )]
i=1
pi (e)u(w(xi )) − v (e) ≥ Ū,
i=1
e ∈ arg max
ê
n
X
pi (ê)u(w(xi )) ≥ v (ê).
i=1
Die erste Bedingung ist die Teilnahmebedingung, die zweite die
Anreizbedingung.
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Ein einfaches Beispiel – zwei mögliche Leistungen
Der A kann nur zwischen zwei Leistungen wählen, eh und el , mit
v (eh ) > v (el ).
Die Ergebnisse xi werden vom schlechtesten zum besten
geordnet, x1 < · · · < xn .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses xi bei der
Leistung ej wird durch pij bezeichnet.
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Annahme
Es wird angenommen, dass
k
X
i=1
pih <
k
X
pil
∀k = 1, . . . n − 1.
i=1
D.h., schlechte Ergebnisse sind wahrscheinlicher, wenn die geringe
Leistung el gewählt wird. Oder: Das Ergebnis ist mit grösserer
Wahrscheinlichkeit grösser als xk , wenn eh gewählt wird. Oder: ph
dominiert pl im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung.
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Wenn der P die Leistung eh implementieren will, muss die
Lohnzahlung vom Ergebnis abhängen (denn wenn der Lohn
konstant wäre, würde der A immer el wählen). Die
Anreizkompatibilitätsbedingung ist
n
X
pih u(w(xi ))
i=1
bzw.
h
− v (e ) ≥
n
X
pil u(w(xi )) − v (el ),
i=1
n
X
[pih − pil ]u(w(xi )) ≥ v (eh ) − v (el ).
i=1
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Der optimale Vertrag ist die Lösung des folgenden Problems:
L(w(xi ), e, λ, µ) =
n
X
pih [xi − w(xi )]
i=1
+λ
+µ
"
n
X
"
n
X
pih u(w(xi )) − v (eh ) − Ū
i=1
[pih
−
pil ]u(w(xi ))
l
#
− v (e ) + v (e ) .
i=1
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h
#
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Die Bedingungen erster Ordung für dieses Problem (bezüglich wi ) sind
gegeben durch:
− pih + λpih u ′ (w(xi )) + µ(pih − pil )u ′ (w(xi )) = 0
(1)
∀i = 1, . . . , n,
λ
µ
"
X
"
X
pih u(w(xi ))
i
h
#
− v (e ) − Ū = 0, λ ≥ 0, [·] ≥ 0,
(2)
#
(3)
(pih − pil )u(w(xi )) − v (eh ) + v (el ) = 0, µ ≥ 0, [·] ≥ 0.
i
Aus (1) folgt
pih = λpih u ′ + µ(pih − pil )u ′ .
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Aus (1) folgt
pih = λpih u ′ + µ(pih − pil )u ′ .
Division durch u ′ ergibt
pih
h
h
l
=
λp
+
µ
p
−
p
i
i
i
u′
∀i = 1, . . . , n.
(4)
Aufsummieren über i ergibt
n
X
ph
i=1
da
Pn
h
i=1 pi
=
i
u′
=λ
Pn
l
i=1 pi
n
X
pih + µ
n
X
pih − µ
i=1
i=1
n
X
pil = λ,
i=1
= 1. Es gilt also
λ=
n
X
i=1
pih
> 0.
u ′ (w(xi ))
Die Teilnahmebedingung ist bindend. A erhält im Erwartungswert nicht
mehr als seinen Reservationsnutzen.
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Ist die Anreizbedingung ebenfalls bindend, d.h. ist µ > 0? Um die
Eigenschaften des optimalen Vertrages zu analysieren, schreiben wir
die Bedingungen erster Ordnung in der folgenden Form, wobei (4)
durch pih dividiert wurde:
#
"
pil
1
∀i = 1, . . . , n.
=λ+µ 1− h
u ′ (w(xi ))
pi
Daraus folgt µ > 0. Warum?
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#
"
pil
1
=λ+µ 1− h
u ′ (w(xi ))
pi
∀i = 1, . . . , n.
Falls µ = 0 wäre, müsste 1/u ′ konstant (gleich λ) sein.
Dann wäre der Lohn ebenfalls konstant.
In diesem Fall würde aber der A die Leistung el wählen, ein
Widerspruch zu der Annahme, dass der P eh implementieren
möchte.
Die Teilnahmebedingung und die Anreizkompatibilitätsbedingung sind
demnach beide bindend. Aus der Tatsache µ > 0 folgt, dass der
optimale Lohn vom Ergebnis abhängen muss.
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Likelihood Ratio (LR)
pil /pih heisst Likelihood Ratio (LR).
1
= λ + µ[1 − LR]
u′
Je kleiner die LR, desto grösser ist die rechte Seite, und somit
auch die linke Seite.
Der Bruch 1/u ′ nimmt mit abnehmender LR zu.
Daher nimmt u ′ mit abnehmender LR ab (je kleiner die LR, umso
kleiner ist auch u ′ ).
Da die Nutzenfunktion streng konkav ist (A ist risikoavers), ist u ′
umso kleiner, je grösser w ist.
Das heisst, je kleiner die LR, umso grösser ist der optimale Lohn
bei jedem Ergebnis.
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Die Abhängigkeit des Lohnes vom Ergebnis wird in den Vertrag
aufgenommen, um dem A einen Anreiz zu geben, die Leistung eh zu
wählen. Der optimale Vertrag ist eine Kombination aus der
Versicherung des A gegenüber Zufallseinflüssen und dem Setzen der
richtigen Anreize.
Bei nur zwei möglichen Ergebnissen xS und xF mit xS > xF ist also
w(xS ) > w(xF ).
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Referenzfall: Vollständige Information
A risikoavers, P risikoneutral:
1
= λ,
u ′ (xi )
w = w 0 = konstant.
Asymmetrische Information: Drei Fälle
1. pil > pih : Ergebnis xi ist mit grösserer W. auf Leistung el
zurückzuführen. Bsp: Trotz Regen werden keine Regenschirme
verkauft.
"
#
pil
1
= λ + µ 1 − h < λ ⇒ wi < w 0 .
u ′ (xi )
pi
A wird im Ereignis xi “bestraft”.
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2. pil = pih : Ergebnis xi lässt keine Rückschlüsse auf Leistung zu, eh
und el sind gleich wahrscheinlich.
1
u ′ (xi )
= λ ⇒ wi = w 0 .
3. pil < pih : Ergebnis xi ist mit grösserer W. auf eh zurückzuführen. Bsp:
Trotz Sonnenschein wurden viele Regenschirme verkauft.
#
"
pil
1
= λ + µ 1 − h > λ ⇒ wi > w 0 .
u ′ (xi )
pi
A wird im Ereignis xi “belohnt”.
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Frage: Ist es immer der Fall, dass ein besseres Ergebnis einen
höheren Lohn impliziert? Antwort: Im allgemeinen nicht!
Beispiel Es gibt vier Ergebnisse x1 < x2 < x3 < x4 . Die
Wahrscheinlichkeiten sind wie folgt:
pil
pih
LRi
x1
x2
x3
x4
0, 3 0, 1 0, 2 0, 4
0, 1 0, 2 0, 1 0, 6
3 1/2 2 2/3
Die Bedingung
k
X
i=1
pih <
k
X
pil
∀k = 1, . . . n − 1.
i=1
ist erfüllt.
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Aber: Wenn das zweitschlechteste Ergebnis x2 beobachtet wird, ist die
Wahrscheinlichkeit hoch, dass eh und nicht el gewählt wurde, da
p2h > p2l . Wenn das bessere Ergebnis x3 beobachtet wird, ist die
Wahrscheinlichkeit hoch, dass el gewählt wurde. Wenn P also die
Leistung eh belohnen will, muss er im schlechteren Ergebnis x2 einen
höheren Lohn zahlen als im besseren Ergebnis x3 : w(x2 ) > w(x3 )!
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Gibt es Bedingungen, unter denen der Lohn zunehmend im Ergebnis
ist? Ja: Die LR muss im Ergebnis fallend sein:
LR =
pil
pih
nimmt in i ab:
l
pi+1
pil
>
.
h
pih
pi+1
Diese Eigenschaft wird als Monotone Likelihood Ratio Property
(MLRP) bezeichnet. Je grösser (besser) das Ergebnis xi , umso kleiner
die LR, i. e. umso wahrscheinlicher ist es, dass xi durch eh erreicht
wurde. Ist die MLRP erfüllt, so nimmt der Lohn im Ergebnis zu.
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