Seminararbeit Seminar aus reiner Mathematik

Seminararbeit
Seminar aus reiner Mathematik
Magdalena Schreilechner
1. Dezember 2011
1
Einleitung
Der Seminarvortrag erstreckt sich über die drei Kapitel 2.1-2.3 des Buches „Algebraic
Graph Theory“ von Chris Godsil und Gordon Royle und beschäftigt sich mit Permutationsgruppen, Gruppenaktionen auf Graphen und asymmetrischen Graphen.
1 Permutationsgruppen
Im ersten Kapitel möchte ich grundlegende Definitionen und kleinere Sätze für Permutationsgruppen und Gruppenaktionen auf Graphen behandeln.
Definition 1.1
a)Wir bezeichnen die symmetrische Gruppe einer Knotenmenge V, also die Menge
aller Permutationen der Knoten eines Graphen gemeinsam mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen, mit Sym(V ) oder Sym(n), wenn n die Anzahl der
Knoten darstellt.
b)Eine Permutationsgruppe auf V ist eine Untergruppe von Sym(V ).
Beispiel 1.1
Für einen Graphen X mit Knotenmenge V ist die Menge aller Automorphismen
Aut(X) als Untergruppe von Sym(V) eine Permutationsgruppe.
Beweis. Zwei Automorphismen von X hintereinanderausgeführt ergeben wieder einen
Automorphismus von X. Die identische Abbildung bildet das neutrale Element, und
da jeder Automorphismus ein Isomorphismus ist existiert die Umkehrabbildung,
welche das inverse Element bildet.
Definition 1.2
a) Ein Gruppenhomomorphismus ϕV : G −→ Sym(V ) für eine Gruppe G und eine
Knotenmenge V heißt Permutationsrepräsentant der Gruppe G.
b) Ein Permutationsrepräsentant definiert eine Operation der Gruppe G auf einer
Knotenmenge V, wir sagen die Gruppe G operiert auf V.
c) Ein Permutationsrepräsentant heißt treu, wenn gilt: ker(ϕV ) = e, wobei e das
neutrale Element von G beschreibt.
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Lemma 1.1
Eine Gruppe G operiere auf einer Knotenmenge V. Für jede Teilmenge S von V gilt:
Für jedes Element g ∈ G ist S g wieder eine Teilmenge von V und es gilt: |S g | = |S|.
Beweis. Da jedes Element g ∈ G eine Permutation der Knoten in V bewirkt, bewirkt
es auch eine Permutation der Elemente aus S in V. S g ⊆ V ist also klar. |S g | = |S|
folgt, da g eine Permutation, also ein Automorphismus von V nach V ist und so
jedes Element aus S in ein eindeutiges Element in V übergeführt wird.
Definition 1.3
Sei G eine Permutationsgruppe auf einer Knotenmenge V.
a) Eine Teilmenge S ⊆ V heißt G-invariant, wenn sg ∈ S für alle s ∈ S und alle
g ∈ G.
b) G heißt transitiv auf V, wenn für je zwei Elemente x, y ∈ V gilt: ∃ g ∈ G, sodass
xg = y.
Es sei nun zusätzlich S eine G-invariante Teilmenge.
c) Wir bezeichnen die Einschränkung der Permutation g ∈ G auf S mit: g|S.
Die Abbildung α : g 7→ g|S beschreibt einen Homomorphsmus von G nach Sym(S)
und das Bild von G unter α bildet eine Permutationsgruppe auf S. Wir bezeichnen
dieses Bild mit G|S.
d) S heißt Orbit oder Bahn von G, wenn G|S transitiv auf S ist.
Bemerkung zu Definition 1.3 b) Wir zeigen: α besitzt die Homomorphieeigenschaft:
Seien g1 , g2 ∈ G. α(g1 g2 ) = (g1 g2 )|S = g1 |Sg2 |S = α(g1 )α(g2 ). Das gilt, da S Ginvariant ist, und somit sowohl g1 und g2 , also auch g1 g2 Elemente von S in S
permutieren.
Lemma 1.2
Sei V eine Knotenmenge, G eine Permutationsgruppe auf V.
Für jedes x ∈ V gilt: xG := {xg : g ∈ G} ist ein Orbit von G.
Beweis. Es sei x ∈ V beliebig aber fix. Für jedes xg aus xG und jedes g̃ ∈ G gilt:
xgg̃ ∈ xG , xG ist also G-invariant. Es bleibt noch zu zeigen, dass xG ein Orbit von
G, also G|xG transitiv auf xG ist. Seien x1 , x2 ∈ xG , ∃ g1 , g2 ∈ G, sodass x1 = xg1
3
−1
und x2 = xg2 . Wähle g̃ = g1−1 g2 und g = g̃|xG . Dann gilt: xg1 = xg1 g1
Somit ist G|xG transitiv auf xG und xG ist ein Orbit von G.
g2
= xg 2 = x2 .
Eine Folgerung aus Lemma1.2 ist, dass jedes Element x ∈ V in einem eindeutigen
Orbit liegt, die Orbite von G bilden also eine Partition von V.
Beweis. Sei y ∈ xG , dann gilt: ∃g̃ ∈ G : y = xg̃ , das heißt y G = {y g : g ∈ G} = {xg̃g :
g ∈ G} = xG . Sei nun y ∈
/ xG ⇒6 ∃ g ∈ G : y g = x d.h. x ∈
/ y G ⇒ xg ∩ y G = φ.
Definition1.4
Es sei G eine Permutationsgruppe auf V.
a)Für jedes x ∈ V heißt:
Die Menge Gx := {g ∈ G : xg = x} Stabilisator von x.
b) Es seien x1 , x2 , ...xr ∈ V paarweise verschieden, dann sei:
T
Gx1 ,x2 ,...xr := ri=1 Gxi
Gx1 ,x2 ,...xr heißt elementweiser Stabilisator von x1 , x2 , ...xr .
c) Es sei S eine Teilmenge von V.
Die Menge GS := {g ∈ G : S g = S} heißt Stabilisator der Menge S.
Lemma1.3
Es gelten die Vorraussetzungen der Definition1.4, dann gilt:
Gx , Gx1 ,...xr und GS sind Untergruppen von G, weiters gilt für S = {x1 , ..., xr }:
Gx1 ,...,xr ist eine Untergruppe von GS .
Beweis. Wir überprüfen das Untergruppenkriterium für Gx : 1) Gx enthält das neu−1
−1
−1
trale Element e ∈ G, 2) es seien g1 , g2 ∈ Gx ⇒ (xg1 )g2 = xg2 = xg2 g2 = x. Daraus
folgt, dass Gx eine Untergruppe von G ist. Gx1 ,...xr ist als endlicher Durchschnitt
von Untergruppen wieder eine Untergruppe. GS ist eine Untergruppe folgt wieder
direkt aus dem Unterruppenkriterium.
Sei nun S = {x1 , ..., xr }. Da ein g ∈ Gx1 ,...,xr jedes xi für i = 1, ...r fix lässt ist
Gx1 ,...,xr eine Teilmenge von GS , als Untergruppe von G ist Gx1 ,...,xr also auch eine
Untergruppe von GS .
Satz1.1
Es sei G eine Permutationsgruppe auf V, S sei ein Orbit von G. Für x, y ∈ S gilt: Die
Menge der Permutationen von G, die x auf y abbilden, bildet eine Rechtsnebenklasse
4
von Gx . Umgekehrt bilden alle Elemente einer Rechtsnebenklasse von Gx x auf den
selben Punkt in S ab.
Erinnerung: Für die Untergruppe Gx ⊆ G ist durch: a ∼ b ⇔ ab−1 ∈ Gx eine
Äquivalenzrelation definiert. Die Menge aller Elemente b, die in Relation zu a stehen
{r.a : r ∈ Gx } = Gx .a heißt eine Rechtsnebenklasse von Gx .
Beweis. Aus S ist ein Orbit von G folgt, G ist transitiv auf S, d.h. für beliebige x, y ∈
−1
S ∃ g ∈ G : xg = y. Es sei nun h ∈ G für das gilt: xh = y ⇒ xh = xg ⇔ xhg = x
also hg −1 ∈ Gx und somit h ∈ Gx g. Es gilt also: ∀h ∈ G für die gilt xh = y ⇒ h ∈
Gx g.
Es sei nun l ∈ Gx g beliebig, dann ∃ r ∈ Gx : l = rg. Da gilt: xl = xrg = (xr )g = xg
folgt, dass jedes l ∈ Gx g x auf das Element xg abbildet.
Der folgende Satz ist eine Folgerung aus Satz 1.1:
Satz1.2 (Orbit-Stabilisator)
Sei G eine Permutationsgruppe auf V, sei x ∈ V beliebig. Dann gilt:
|Gx ||xG | = |G|
Beweis. Wir verwenden Satz 1.1 mit S = xG . Wir erhalten, dass jedem Element
x̃ ∈ xG genau eine Rechtsnebenklasse Gx g von Gx zugeordnet wird, nämlich diejenige
für die gilt: ∀r ∈ Gx g : xr = x̃. Umgekehrt wird jeder Rechtsnebenklasse Gx g ein
Element s ∈ xG zugeordnet, für das gilt: ∀r ∈ Gx g : xr = s.
Das heißt, es gibt genau |xG | Rechtsnebenklassen, die eine Partition von G bilden.
Jede dieser Rechtsnebenklassen besitzt genau |Gx | Elemente ⇒ |Gx ||xG | = |G|. Es stellt sich nun die Frage, wie Gx und Gy zu einander stehen, wenn x und y zwei
verschiedene Punkte des gleichen Orbits von G sind. Dazu definieren wir die Konjugationsrelation:
Definition1.5
Wir definieren eine Relation ∼ auf G. Für s, h ∈ G gilt:
s ∼ h ⇔ ∃ g ∈ G : s = g −1 hg
5
Wir sagen, s und h sind konjugiert zueinander. Sei w ∈ G, die Menge {g −1 wg, g ∈ G}
heißt Konjugiertenklasse von w.
Für eine Untergruppe H ⊆ G und ein g ∈ G definiert man: g −1 Hg = {g −1 hg : h ∈
H}
Lemma 1.4
a) Sei g ∈ G, dann bewirkt die Abbildung
τg : G → G
h 7→ g −1 hg
eine Permutation der Elemente von G. Die Menge aller Abbildungen τg , g ∈ G bildet
eine zu G isomorphe Gruppe, mit den Konjugiertenklassen von G als Orbite.
b) Für eine Untergruppe H ⊆ G und ein g ∈ G bildet g −1 Hg eine zu H isomorphe
Untergruppe von G.
Beweis. a) Zu zeigen ist: τg ist bijektiv. Wir finden τg −1 = τg−1 = ghg −1 als wohldefinierte Umkehrabbildung, τg ist also eine Permutation.
Wir betrachten nun T = {τg : g ∈ G} und verwenden das Untergruppenkriterium:
seien τg1 , τg2 ∈ T , für h ∈ G gilt dann τg1 τg2 −1 (h) = τg1 (g2 hg2−1 ) = g1−1 g2 hg2−1 g1 =
g3−1 hg3 = τg3 (h) mit g3 = g2−1 g1 . |T | = |G| ist klar.
Noch zu zeigen: Die Konjugiertenklassen von G bilden die Orbite von T. Sei h ∈ G
und Sh = {g −1 hg : g ∈ G} die Konjugiertenklasse zu h. Sh ist T-invariant: Sei
τg̃ ∈ T beliebig, dann gilt für ein g ∈ G : τg̃ (g −1 hg) = g̃ −1 g −1 hgg̃ ∈ Sh . Wir zeigen
T |Sh ist transitiv: seien h1 , h2 ∈ Sh ⇒ ∃g1 , g2 ∈ G : h1 = g1−1 hg1 und h2 = g2−1 hg2
Mit τg−1 g2 gilt dann τg1−1 g2 (h1 ) = g2−1 g1 g1−1 hg1 g1−1 g2 = g2−1 hg2 = h2 .
b) Der Beweis funktioniert analog zu a) mit dem Untergruppenkriterium.
Satz 1.3
Es sei G eine Permutationsgruppe auf V, x ∈ V beliebig. Für g ∈ G gilt:
g −1 Gx g = Gxg
6
Beweis. Setze y = xg . Wir zeigen, dass jedes Element aus g −1 Gx g y fix lässt. Sei
h ∈ Gx :
yg
−1 hg
= xhg = xg = y
das heißt: g −1 hg ∈ Gy .
Es sei nun h ∈ Gy :
xghg
−1
= y hg
−1
= yg
−1
=x
also: ghg −1 ∈ Gx ⇒ g −1 Gx g = Gy
Der Satz 1.3 beantwortet nun die vor Definition 1.4 gestellte Frage: Die Stabilisatoren
zweier Elemente aus dem gleichen Orbit sind zueinander konjugiert.
Definition 1.6
Es sei g eine Permutation auf V. fix(g) bezeichnet die Menge aller Knoten in V, die
von g fix gelassen werden fix(g) = {x ∈ V : xg = x}.
Satz 1.4 (Burnside)
Sei G eine Permutationsgruppe auf V. Die Anzahl der Orbite von G auf V ist gleich
der mittleren Anzahl von Knoten , die von den Elementen aus G festgehalten werden.
Beweis. Nennen wir die mittlere Anzahl von Knoten , die von den Elementen aus
G festgehalten werden MG . Wir zählen nun alle Elemente von V, die von einem
Element aus G fest gehalten werden. Zuerst summieren wir über die Elemente von
G. Die Gesamtanzahl ist dann gleich:
P
g∈G
|f ix(g)|
Diese Summe entspricht |G|MG .
Jetzt summieren wir über die Elemente von V:
P
x∈V
|Gx |
Für alle x aus dem gleichen Orbit bleibt |Gx | konstant, der Beitrag aller Elemente aus
dem Orbit xG ist also |xG ||Gx | = |G|. Die obige Summe ist also |G||Orbite von G|.
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2 Asymmetrische Graphen
Die Hauptaussage des zweiten Kapitels, wird sein, dass fast alle Graphen asymmetrisch sind, was bedeutet, dass die Anzahl der nicht asymmetrischen Graphen mit
wachsendem n zu null abnimmt.
Definition 2.1
a) Ein Graph X heißt asymmetrisch, wenn gilt: Aut(X) = id.
b) Die Menge aller isomorphen Graphen zu einem Graphen X heißt Isomorphieklasse
von X.
Bemerkungen zu Definition 2.1
1) Es sei V eine Menge aus n Knoten, Kn bezeichnet den vollständigen Graphen.
Wir bemerken, dass jeder Graph mit Knotenmenge V als Teilmenge von E(Kn ) geschrieben werden kann, die Menge aller Graphen bildet also die Potenzmenge
der
n
n
Kanten von Kn . Da Kn 2 Kanten besitzt, gibt es insgesammt 2 2 verschiedene
Graphen mit Knotenmenge V.
2) Zwei Graphen X und Y sind isomorph, wenn eine Permutation aus Sym(V )
existiert, sodass E(X) auf E(Y ) abgebildet wird. Sym(V ) operiert so auf den Teilmengen von E(Kn ). Die Isomorphieklassen bilden die Orbite von Sym(V ) auf der
Potenzmenge von E(Kn ).
Beweis. Die Isomorphieklasse IX zu einem Graph X ist ein Orbit von Sym(V ): IX
ist Sym(V )-invariant, da jede Permutation der Knoten eines zu X isomorphen Graphen wieder einen zu X isomorphen Graphen erzeugt. Sym(V )|IX ist transitiv: Seien
I1 , I2 ∈ IX ⇒ ∃ϕ1 , ϕ2 ∈ Sym(V ) : X = ϕ1 (I1 ) = ϕ2 (I2 ) ⇒ I1 = ϕ−1
1 ϕ2 (I2 ).
Lemma 2.1
Es sei X ein Graph mit Knotenmenge V, |V | = n, IX die Isomorphieklasse von X,
dann gilt:
|IX | =
n!
|Aut(X)|
Beweis. Wir verwenden den Satz 1.2 mit G = Sym(V ), dem Orbit IX und dem Orϕ
bitstabilisator = {ϕ ∈ Sym(V ) : IX
= IX } = Aut(X). Dann folgt mit |Sym(V )| =
8
n!: n! = |IX ||Aut(X)|.
Beispiel 2.1
Mit der Hilfe vom Satz von Burnside (Satz 1.4) wollen wir die Anzahl der Isomorphieklassen der Potenzmenge von E(Kn ) finden.
Dazu brauchen wir die mittlere Anzahl an Teilmengen von E(Kn ), die von den
Elementen von Sym(V ) fixiert werden. Hat nun eine Permutation g ∈ Sym(V ) r
Orbite auf E(Kn ) fixiert sie r Teilmengen von E(Kn ) und somit 2r Elemente der
Potenzmenge von E(Kn ). Wir nennen nun für jede Permutation g ∈ Sym(V ) orb(g)
die Anzahl der Orbite von g auf E(Kn ).
Die Anwendung vom Satz von Burnside liefert uns nun, dass die Anzahl von Isomorphieklassen von Graphen mit Knotenmenge V gleich ist:
1
n!
P
g∈Sym(V )
2orb(g)
Aus Lemma 2.1 erhalten wir folgendes: Wären alle Graphen asymmetrisch, so ent
n
P
1
orb(g)
n! = 2 2 ,
hielte jede Isomorphieklasse n! Elemente und es gelte: n! g∈Sym(V ) 2
das heißt, die Anzahl von Isomorphieklassen wäre dann gleich:
n
2 2
n!
Dieses Beispiel motiviert uns zur nächsten wichtigen Aussage um zu zeigen, dass fast
alle Graphen asymmetrisch sind. Dazu benötigen wir noch ein paar Grundbegriffe
für Permutationsgruppen:
Definition 2.2
Für eine Permutation g ∈ Sym(n) heißt supp(g) = {i : 1 ≤ i ≤ n, g(i) 6= i} der
Träger von g.
Ein Element π ∈ Sym(n) heißt ein r -Zykel, wenn es paarweise verschiedene i1 , ...ir
gibt, sodass für alle 1 ≤ i ≤ n gilt:



i,
für i ∈ {1, ...n}{i1 , ...ir }


π(i) = ij+1 , für i = ij , 1 ≤ j ≤ r − 1



i ,
für i = i
1
r
9
Satz 2.1
Die Anzahl der Isomorphieklassen von Graphen mit n Knoten ist höchstens
n
(1 + o(1)) 2 n!2
wobei o(1) eine Funktion bezeichnet, die zu 0 konvergiert für n → ∞
Beweis. Der Beweis besteht aus 3 Schritten.
Schritt 1: Wir zeigen: Unter allen Permutationen g ∈ Sym(n), deren Träger eine
gerade Anzahl von Elementen hat, |supp(g)| = 2r für ein r ∈ N, hat diejenige mit
genau r Transpositionen die größte Anzahl an Orbiten.
Beweis. Dazu reicht es die Permutation g, welche aus r Transpositionen besteht, mit
einer Permutation h, die aus mindestens einem k-Zykel, mit k > 2 besteht, und den
selben Träger hat zu vergleichen .
Da g nur aus Transpositionen besteht gilt: g 2 = e, dass heißt, dass alle Orbite von
g auf E(Kn ) aus einem oder zwei Elementen bestehen. Die einelementigen Orbite,
die nur aus den Elementen von E(Kn ) bestehen, für die gilt, dass beide Knoten
einer Kante nicht im Träger von g liegen, sind für die beiden Permutationen g und
h gleich. Die verbleibenden Kanten teilen sich nun jeweils auf die verschiedenen
Orbite auf, wobei die Orbite von g nur zweielementig sind, und h mindestens einen
6-elementigen Orbit besitzt. Es folgt also, dass h weniger Orbite besitzt als g.
Schritt 2: Es sei nun g eine Permutation mit genau r disjunkten 2-Zykeln, dann ist
die Anzahl der Orbite von g auf E(Kn ) genau n2 − r(n − r − 1).
Beweis. Da g nur aus Transpositionen besteht gilt: g 2 = e, dass heißt, dass alle
Orbite von g auf E(Kn ) aus einem oder zwei Elementen bestehen.
Wir teilen nun die Kanten, die von g nicht festgehalten werden in zwei Gruppen. Die
erste Gruppe besteht aus allen Kanten xy, für die gilt x, y ∈ supp(g) und xg 6= y,
das heißt x und y liegen in verschiedenen Zykeln. Da es 2r Elemente im Träger von g
gibt, und g in jedem der r Transpositionen je eine Kante festhält, gibt es insgesamt
2r
− r = 2r(2r−1)
− r = r(2r − 1) − r = 2r(r − 1) Kanten in Gruppe 1.
2
2
In Gruppe 2 befinden sich alle Kanten xy für die gilt: x ∈ supp(g) und y ∈
/ supp(g).
Da es 2r Elemente im Träger von g gibt und n − 2r Elemente die festgehalten werden, gibt es insgesamt 2r(n − 2r) Paare von diesen Elementen.
Die Gesamtanzahl der Orbite mit 2 Elementen ist somit 2r(r−1)+2r(n−2r)
= r(n−r−1)
2
Die Orbite mit nur einem Element bestehen aus den Kanten, die festgehalten werden, also denjenigen die im Träger von g liegen und eine Transposition bilden, sowie
10
die Kanten die nicht im Träger von g liegen und somit fix bleiben. Die Anzahl sol
cher Kanten, also die Anzahl der einelementigen Orbite ist gleich: r + n−2r
.
2
Die Gesamtanzahl von Orbiten von g auf E(Kn ) ergibt sich somit zu:
2
2
2
n−2r
= 2rn−2r −2r+2r+n2 −4rn+4r −n+2r
= r(n−r−1)+r+ (n−2r)(n−2r−1)
2
2
n
n2 +2r2 −2rn−n+2r
n2 −n
2
=
+
r
−
rn
+
r
=
− r(−r + n − 1).
2
2
2
r(n−r−1)+r+
Schritt 3: Wir teilen nun Permutationen aus Sym(n) in drei Gruppen, um die maximale Anzahl von Orbiten der Elemente jeder Gruppe abzuschätzen. Dazu fixieren
wir eine gerade natürliche Zahl m ≤ n − 2 und bilden die folgenden 3 Gruppen von
Permutationen: C1 = {e}, C2 beinhaltet alle nichtidentischen Permutationen, deren
Träger höchstens m Elemente enthalten und C3 beinhaltet alle restlichen Permutationen aus Sym(n). Wir schätzen nun die Größen dieser Gruppen ab:
|C1 | = 1, |C2 | ≤
n
m
m! < nm , |C3 | < n! < nn
Zur Abschätzung für C2 : m! ist die Anzahl aller Permutationen von m Knoten und
wird mit der Anzahl von Möglichkeiten multipliziert, m Knoten aus n auszuwählen.
Die zweite Abschätzung erhält man folgendermaßen:
n
m
m! =
n!
m!
m!(n−m)!
= n(n − 1) · · · (n − m + 1) < nn · · · n = nm
Im Schritt 2 haben wir gezeigt, dass die Anzahl von Orbiten einer Permutation mit
r Transpositionen genau n2 − r(−r + n − 1) ist, das heißt ein Element g ∈ C2
hat die meisten Orbite auf E(Kn ) wenn es nur aus einer Transposition besteht. Die
maximale Anzahl von Orbiten für Elemente aus C2 ist also: n2 − (n − 2). Für die
Gruppe C3 gilt, dass die maximale Anzahl von Orbiten von einer Permutation mit
genau m2 Transpositionen erzeugt wird, da die Elemente aus C3 einen Träger mit
mindestend m Elementen besitzen. Die maximale Anzahl von Orbiten lautet daher:
n
2
−
m
(− m2
2
+ n − 1) =
n
2
−
mn
2
+
mm
4
−
m
2
≤
n
2
−
2mn
4
+
mn
4
=
n
2
−
mn
4
In Beispiel 2.1 haben wir mithilfe des Satzes von Burnside die Anzahl von Isomorphieklassen von Graphen mit Knotenmenge V unter G gefunden zu:
P
1
orb(g)
g∈Sym(V ) 2
n!
Wir können diese Summe nun durch die gefundenen Abschätzungen vereinfachen:
n
n
n
n
P
−(n−2)
− mn
1
1
1
orb(g)
m
n
4
≤ n! [2 2 + n 2 2
+n 2 2
= n! 2 2 (1 + nm 2−(n−2) +
g∈Sym(V ) 2
n!
11
=
n − mn
4
n 2
)] =
n
1
2
2
n!
(1 + o(1))
n→∞
Wir zeigen noch: o(1) → 0.
Dazu setzen wir m = bclog2 (n)c mit c > 4.
o(1) = nm 2−(n−2) + nn 2−
mn
4
= 2mlog2 (n)−n+2 + 2nlog2 (n)−
nm
4
→0
Korollar 2.1
Fast alle Graphen sind asymmetrisch.
Beweis. Es sei V eine Menge von n Knoten. Wir bezeichnen das Verhältnis von
Isomorphieklassen von asymmetrischen Graphen auf V zu allen Isomorphieklassen
von Graphen auf V mit µ = µ(n). Aus dem Lemma 2.1 erhaltn wir, dass eine
Isomorphieklasse zu einem nicht asymmetrischen Graphen höchstens n!2 Graphen
beinhaltet. Das bedeutet, dass die durchschnittliche Größe einer Isomorphieklasse
höchstens beträgt:
n!µ +
n!
(1
2
− µ) =
n!
(1
2
+ µ)
Daraus erhalten wir:
n
|E(Kn )| = 2 2 = Anzahl von Isomorphieklassen * Durchschnittliche Größe einer Klasse ≤
n
(1 + o(1)) 2 n!2
n!
(1
2
+ µ)
Wir betrachten nun den Limes für n → ∞:
n
≤ limn→∞ (1 + o(1)) 2 n!2
⇒ 1 ≤ 1+lim2n→∞ µ
n
2
limn→∞ 2
limn→∞ µ)
n
limn→∞ 2 22
n!
(1 + µ)
2
=
(1 + limn→∞ o(1))(1 +
Da gilt: µ ≤ 1 folgt also µ geht gegen 1 für n nach ∞.
Die Anzahl von Isomorphieklassen von asymmetrischen Graphen ist nach Lemma
A
2.1 gleich: #X
, wobei #XA die Anzahl von asymmetrischen Graphen auf V ben!
schreibt. Daraus folgt, wenn α ≤ 1 das Verhältnis von asymetrischen Graphen zu
allen Graphen auf V bezeichnet:
12
α=
#XA
n
2 2
≥
#XA /n! n
(1+o(1))2 2
≥µ
Das heißt α geht gegen 1 für n gegen ∞.
Ein einfaches Beispiel für einen asymmetrischen Graphen:
Abbildung 1: Asymmetrischer Graph
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