TU Ilmenau Institut für Mathematik Prof. Dr. S. Vogel Stochastische

TU Ilmenau
Institut für Mathematik
Prof. Dr. S. Vogel
Stochastische Modelle für Informatikstudenten
Übungsaufgaben
SP1 Die Verteilung eines diskreten Zufallsvektors (X, Y )T sei durch folgende
Tabelle gegeben:
X
Y
1
2
3
1
2
3
0, 1
0, 15
0
0, 15 0
0, 1 0, 2
0, 25 0, 05.
Man gebe eine Vorschrift zu Erzeugung von (Pseudo-)Zufallsvektoren mit
dieser Verteilung an.
SP2 Man gebe eine Vorschrift zur Erzeugung von zweidimensionalen
normal−2
verteilten Zufallsvektoren mit dem Erwartungswertvektor
und der
1
4 −4
Kovarianzmatrix
an.
−4
5
SP3 Man gebe eine Vorschrift zur Erzeugung von Zufallszahlen mit der Dichtefunktion
 x
für
x ∈ [0, 2]
 4
x
1 − 4 für
x ∈ (2, 4]
fX (x) =

0
sonst
nach der Verwerfungsmethode an.
SP4 Es seien X0 , X1 , X2 Zufallsgrößen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum [Ω, A, P ].
Es gelte
P (X0 = i) = 31 , i = 1, 2, 3; P (X1 = k|X0 = k) = 12 , k = 1, 2, 3;
P (X1 = i|X0 = j) = 14 , i 6= j, i, j ∈ {1, 2, 3}, sowie
P (X2 = i|X0 = k, X1 = j) = P (X1 = i|X0 = j), i, j, k ∈ {1, 2, 3}.
Man bestimme P (X0 = 1, X1 = 2, X2 = 3), E(X2 |X1 = 1),
E(X2 |X0 = 1, X1 = 1) und E(X2 |X0 = 1).
1
SP5 (Xn )n∈N0 sei eine homogene Markovkette
mit dem Zustandsraum
0, 2 0, 8
S = {0, 1}, der Übergangsmatrix P =
und der Anfangsver0, 4 0, 6
teilung P (X0 = 0) = P (X0 = 1) = 0, 5.
Man berechne P (X10 = 1|X8 = 1), P (X2 = 0, X4 = 1) sowie E(X2 ).
SP6 Gegeben sei eine homogene Markovkette mit S = {1, 2, 3} und


0 1 0
P =  12 0 12  .
0 1 0
n
P
P k.
Man bestimme P n , n ∈ N, sowie lim n1
n→∞
k=1
SP7 Die funktionsgerechte Arbeitsweise von 4 automatisch arbeitenden Maschinen wird in äquidistanten Zeitpunkten durch eine Instandsetzungsabteilung
kontrolliert. Für jede der 4 Maschinen sei p = 13 die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass sie während einer Kontrollperiode ausfällt. Der Ausfall einer
Maschine erfolgt unabhängig vom Ausfall der anderen Maschinen und unabhängig vom Zeitpunkt der zuletzt vorgenommenen Reparatur.
Von den zu Beginn einer Kontrollperiode vorhandenen ausgefallenen Maschinen kann die Instandsetzungsabteilung während der Kontrollperiode 2
Maschinen wieder betriebsfähig machen. Die reparierten Maschinen werden
im folgenden Kontrollzeitpunkt wieder in Betrieb genommen.
Man gebe die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten für die Anzahl Xn
der betriebsfähigen Maschinen zum Zeitpunkt n an.
SP8 Gegeben sei eine r × r-Matrix A mit komplexen Koeffizienten. Wenn ein
Skalar λ ∈ C und ein Spaltenvektor v ∈ C r , v 6= 0, derart existieren, dass
Av = λv (bzw. v T A = λv T )
gilt, dann heißt v rechter (bzw. linker) Eigenvektor von A zum Eigenwert λ.
Es sei bekannt, dass eine r × r-Matrix A r verschiedene Eigenwerte besitze.
u1 , . . . , ur und v1 , . . . vr seien die zu λ1 , . . . , λr gehörigen linken bzw. rechten Eigenvektoren. Dann gilt uTi vj = 0, i 6= j, und die Vektoren können so
gewählt werden, dass uTi vi = 1, i ∈ {1, . . . , r} erfüllt ist. Weiterhin kann
An mittels
An = V Λn U T
berechnet werden, wobei U = (u1 . . . ur ), V = (v1 . . . vr ) gesetzt wurde und
Λ eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten λ1 , . . . , λr bezeichnet.
n
UnterAusnutzung
 dieses Ergebnisses bestimme man P für die Matrix
0 1 0
1

0 12  .
P=
2
0 1 0
2
SP9 Betrachtet wird eine Fertigungslinie, für die die Wahrscheinlichkeit, dass
ein hergestellter Artikel fehlerhaft ist, p ∈ (0, 1) beträgt. Die Gütekontrolle
wird nach einem 2-Phasen-Inspektionsplan durchgeführt. In Phase A wird
ein Artikel mit Wahrscheinlichkeit r ∈ (0, 1) geprüft. In Phase B werden
alle Artikel geprüft. Sobald ein fehlerhafter Artikel entdeckt wird, erfolgt
der Übergang von Phase A zu Phase B. Umgekehrt wird von Phase B auf
Phase A umgeschaltet, wenn bei N aufeinander folgenden Artikeln kein
Fehler gefunden wurde.
(Xn )n∈N sei ein Prozess mit den Zuständen E0 , . . . , EN . Dabei bedeutet
Xn = Ej , j ∈ {0, 1, . . . , N − 1}, dass seit dem letzten fehlerhaften Artikel
j aufeinander folgende einwandfreie gefunden wurden. Xn = EN bedeutet,
dass sich der Prüfprozess in Phase A befindet.
Man zeige, dass (Xn )n∈N eine homogene Markovkette darstellt, bestimme
ihre stationäre Verteilung und überprüfe, ob
lim P (Xn = Ej ), j ∈ {1, . . . , N }, existiert.
n→∞
SP10 (Xn )n∈N sei eine Markovkette mit dem Zustandsraum
0, 5 0, 5
S = {0, 1}, den Übergangsmatrizen Pn =
, n ∈ N, und der
0
1
Anfangsverteilung P (X0 = 0) = 1.
a) Man bestimme P (X3 = 1, X1 = 1), P (X3 = 1|X1 = 1) sowie E(X3 ).
b) Gibt es eine Anfangsverteilung p~0 = (P (X0 = 0) P (X0 = 1))T derart, dass
P (X1 = 1) = 41 gilt?
c) S bezeichne den (zufälligen) Zeitpunkt des ersten Eintretens der Markovkette in den Zustand 1. Man bestimme
P (X0 = 0, X1 = 0, ..., X(n−1) = 0, Xn = 1) und E(S), falls diese Größe
existiert.
SP11 Es wird mit einem Würfel gewürfelt. Xn bezeichne jeweils die im Folgenden
angegebene Größe. Man überprüfe, ob (Xn )n∈N eine Markovkette bildet
und gebe gegebenenfalls die Übergangsmatrix an.
a) Xn ... größte Zahl, die bis zum (einschließlich) n-ten Wurf gewürfelt wurde,
b) Xn ... Zahl der Sechsen in den ersten n Würfen,
c) Xn ... Zahl der Würfe seit der letzten Sechs, wobei angenommen wird, dass
zum Zeitpunkt Null eine Sechs gewürfelt wurde.
SP12 Betrachtet wird ein Lager für eine bestimmte Ware. Das Lager wird regelmäßig inspiziert und nach einer sogenannten (m,M)-Lagerhaltungspolitik (m < M ) aufgefüllt:
3
Falls der Warenbestand die Zahl m unterschreitet, wird auf die Zahl M aufgefüllt. (Dabei wird davon ausgegangen, dass die Lieferung sofort erfolgt.)
Falls der Warenbestand größer oder gleich m ist, wird nichts hinzugefügt.
X0 bezeichne den Ausgangswarenbestand, Xn den Bestand, der bei der nten Inspektion vorgefunden wird, und Dn den zufälligen Bedarf (demand)
zwischen der n − 1-ten und der n-ten Inspektion. Es wird angenommen,
dass X0 , D1 , D2 . . . unabhängig sind.
a) Man begründe, dass (Xn )n∈N0 durch eine Markovkette beschrieben werden
kann.
b) Es seien m = 1, M = 3, und die Zufallsgrößen Dn , n ∈ N, seien Poissonverteilt mit dem Parameter λ = 1. Man bestimme die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten.
c) Unter den in b) gemachten Voraussetzungen bestimme man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Lagerbestand zum Inspektionszeitpunkt 2 genau 3
beträgt, wenn er zum Ausgangszeitpunkt ebenfalls 3 betrug.
SP13 Gegeben sei eine homogene Markovkette mit dem Zustandsraum
S = {1, 2, 3, 4, 5} und der Übergangsmatrix

 2
0 0 13 0
3



 1 1 1 1


 4 4 4 4 0 




1
3
.
0
0
0
P=
4
4 





 0 0 0 1 0 




1
1
0 0 2 0 2
a) Man klassifiziere die Zustände der Markovkette.
(n)
b) Man bestimme die Grenzwerte lim pij , i, j ∈ S.
n→∞
SP14 Man zeige, dass eine homogene Markovkette mit endlich vielen Zustnden
keine wesentlichen, transienten Zustnde besitzen kann.
SP15 Betrachtet wird das zufällige Wandern auf allen ganzen Zahlen mit Start im
Nullpunkt. Xn bezeichne den Zustand (Zahl), in dem sich die Markovkette
zum Zeitpunkt n ∈ N befindet. Weiterhin seien
∞
P
p0 (n) = P (Xn = 0), n ∈ N0 ; P0 (s) =
p0 (n)sn ,
n=0
4
f0 (n) = P (X1 6= 0, . . . , Xn−1 6= 0, Xn = 0), n ≥ 2,
∞
P
f0 (1) = P (X1 = 0); F0 (s) =
f0 (n)sn .
n=1
a) Man zeige, dass P0 (s) = 1 + P0 (s)F0 (s) gilt.
1
b) Man zeige, dass P0 (s) = (1 − 4pqs2 )− 2 gilt.
SP16 Der stochastische Prozess (Xn )n∈N mit dem Zustandsraum S ⊂ N besitze
die Eigenschaft
P (Xn+1 = in+1 |X0 = i0 , . . . , Xn−1 = in−1 , Xn = in )
= P (Xn+1 = in+1 |Xn−1 = in−1 , Xn = in ) =: pin−1 in ,in+1
∀(i0 , . . . , in ) mit P (X0 = i0 , . . . , Xn = in ) > 0
(homogene Markovsche Kette 2. Ordnung).
Man zeige, dass dann (Yn )n∈N mit Yn = (Xn , Xn+1 ) eine (gewöhnliche)
homogene Markovkette mit dem Zustandsraum S × S bildet. Unter Verwendung der Abkürzungen pij,k = P (Xn+1 = k|Xn−1 = i, Xn = j) gebe
man die Übergangsmatrix von (Yn )n∈N für den Fall an, dass S = {1, 2} gilt.
SP17 Gegeben seien eine homogene Markovkette
dem Zustandsraum

 mit
2
1
0
3
3


 1 1 1 

S = {1, 2, 3}, der Übergangsmatrix P =  2 4 4 
 und


0 0 1
der Anfangsverteilung p0 = (1 0 0)T sowie die Menge B = {3} ⊂ S. Beim
Übergang von einem Zustand s ∈ S\B in einen Zustand s̃ ∈ {1, 2, 3} entstehen jeweils die Kosten 1. Hat die Markovkette jedoch einmal die Menge
B erreicht, entstehen keine weiteren Kosten.
Man ermittle den Erwartungswert der entstehenden Gesamtkosten.
SP18 Betrachtet wird die Anzahl Xn der Maschinen, die sich am Tag n ∈ N0 =
in einer Reparaturwerkstatt befinden. Die Anzahl der Maschinen, die am
Beginn des Arbeitstages n, n ∈ N, neu zur Reparatur angeliefert werden,
sei Zn , wobei die Zufallsgrößen Zn , n ∈ N, als unabhängig und identisch
verteilt mit P (Zn = k) = ak , k ∈ N0 , angenommen werden. Jeden Tag
kann genau eine Maschine repariert werden. Zum Zeitpunkt t = 0 befindet
sich keine Maschine in der Werkstatt.
a) Man gebe eine Rekursionsvorschrift für Xn , n ∈ N, an und begründe damit,
dass (Xn )n∈N0 eine homogene Markovkette darstellt.
b) Man gebe die Übergangsmatrix dieser Markovkette an.
5
c) Es gelte a0 > 0 und a0 + a1 < 1. Mit Hilfe der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen gebe man eine Vorschrift zur Bestimmung der stationären
Verteilung an.
SP19 Man beweise die in der Vorlesung angegebenen Rechenregeln für etQ .
α
1−α
SP20 Es sei die Matrix P =
mit 0 < α < 1 gegeben. Man
1−α
α
zeige, dass es genau dann eine Familie vonÜbergangswahrscheinlichkeiten
−λ
λ
(P (t))t≥0 mit P (t) = etQ , Q =
, λ > 0, µ > 0, und P (1) = P
µ −µ
gibt, wenn 21 < α < 1 gilt.
SP21 Gegeben sei ein homogener Poissonprozess (Nt )t≥0 .
a) Man zeige, dass
P (Nh = 1) = λh + o(h) sowie P (Nh ≥ 2) = o(h) gilt.
b) Man bestimme die Intensitäten des Prozesses.
SP22 Man zeigeR mittels vollständiger Induktion,n dass
gilt.
1 da1 . . . dan = (β−α)
n!
(a1 ,...,an ):α≤a1 <...<an ≤β
SP23 U1 und U2 seien unabhängige R[0, 1]-verteilte Zufallsgrößen. Man weise
T
nach,√
dass dann der Zufallsvektor
√ (Y1 , Y2 ) mit
Y1 = U1 cos(2πU2 ) und Y2 = U1 sin(2πU2 ).
auf dem Einheitskreis gleichmäßig stetig verteilt ist.
SP24 U1 und U2 seien unabhängige R[0, 1]-verteilte Zufallsgrößen. Man weise
nach,√
dass dann die Zufallsgrößen Y1√und Y2 mit
Y1 = −2 ln U1 cos(2πU2 ) und Y2 = −2 ln U1 sin(2πU2 )
unabhängig und N (0, 1)-verteilt sind.
SP25 X1 und X2 seien unabhängige R[0, 2]-verteilte Zufallsgrößen. Man bestimme
die Verteilung des Zufallsvektors (min(X1 , X2 ), max(X1 , X2 ))T .
SP26 Eine Maschine stellt Faden her. Längs des Fadens sind Herstellungsfehler
zufällig verteilt. Die Fehler längs des Fadens können als Ankunftszeiten“
”
eines Poissonprozesses aufgefasst werden. Die Maschine erzeugt im Mittel
einen Fehler pro 200 m Fadenlänge.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig herausgeschnittener Faden der Länge 500 m mehr als 2 Fehler enthält?
SP27 An eine Rechnereinheit werden von 3 Arbeitsplätzen unabhängig voneinander Programme im Zeittakt von Poissonprozessen übergeben. Vom Arbeitsplatz A kommen durchschnittlich 0,5 Programme pro Zeiteinheit, vom
6
Arbeitsplatz B durchschnittlich 1,0 und vom Arbeitsplatz C durchschnittlich 0,8 Programme.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass innerhalb von 2 Zeiteinheiten höchstens 2 Programme an die Rechnereinheit übergeben werden?
SP28 (Xt )t≥0 sei eine homogene Markovkette mit stetiger Zeit mit dem ZustandsraumS = {0, 1, 2} und
 der Intensitätsmatrix
−2
1
1
1 .
Q =  1 −2
2
2 −4
Man gebe eine Vorschrift zur Bestimmung von P( 21 ) und P(1) an.
SP29 Für eine Markovkette mit stetiger
Zeitseien der Zustandsraum S = {0, 1}
−λ
λ
und die Intensitätsmatrix
gegeben. Man formuliere das Syµ −µ
stem der Kolmogorovschen Vorwärtsgleichungen und das System der Kolmogorovschen Rückwärtsgleichungen zur Bestimmung der pij (t), i, j ∈
S, t ≥ 0, und löse eines dieser Systeme. Darüber hinaus berechne man
lim pij (t), i, j ∈ S.
t→∞
SP30 Fehler in einer digitalen Datenübertragungsstrecke treten in der Regel in
Bündeln auf. Das heißt, innerhalb eines sehr kurzen Zeitintervalls können
gleich mehrere Fehler auftreten; danach ist die Leitung wieder frei von Fehlern, bis ein neues Fehlerbündel ankommt. Das System besitzt eine Fehlerkorrektureinrichtung, die die Fehler in jedem Bündel mit höchstens 2
Fehlern korrigiert.
Die Bündel kommen im Zeittakt eines Poissonprozesses mit dem Parameter
λ = 3, 5 an (Zeiteinheit Stunden). Die einzelnen Bündel sind unabhängig
und identisch verteilt entsprechend
P (Yi = 1) = 0, 9, P (Yi = 2) = 0, 099, P (Yi > 2) = 0, 001.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Betriebszeit
von 8 Stunden unkorrigierte Fehler durchschlüpfen“?
”
b) Man berechne den Erwartungswert für die Anzahl der nicht
korrigierten Fehlerbündel in diesem Zeitintervall.
SP31 Gegeben seien ein Poissonprozess (Nt )t≥0 mit Intensität λ > 0 sowie eine
Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen Y1 , Y2 , . . . , deren Erwartungswert existiert. Weiterhin sei Y0 := 0. (Nt )t≥0 und (Yn )n∈N seien
Nt
P
unabhängig. Betrachtet wird der Prozess (Nt∗ )t≥0 mit Nt∗ =
Yn .
n=0
Unter Verwendung des folgenden Hinweises berechne man den Erwartungswert E(Nt∗ ).
7
Hinweis: Es sei (Bn )n∈N0 eine Familie von Ereignissen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
[Ω, Σ, P ] mit Bi ∩ Bj = ∅, i 6= j, P (Bi ) > 0, i ∈ N0 ,
S
und
Bi = Ω. Dann gilt für eine Zufallsgröße X, deren Erwartungswert
i∈N0
existiert, die Beziehung
∞
P
E(X) = E(X| Bi )·P (Bi ), wobei E(X| Bi ) den Erwartungswert bezüglich
i=0
der (bedingten) Verteilung P (·| Bi ), i = 0, 1, . . . bezeichnet.
SP32 Betrachtet wird die homogene Markovkette (Xt )t≥0 mit stetiger Zeit aus
Aufgabe SP 28.
a) Man bestimme die Übergangsmatrix der eingebetteten Markovkette.
b) Man bestimme lim pij (t) und näherungsweise E(Xt ) für hinreichend
t→∞
großes t.
SP33 (Xt )t≥0 sei ein Geburts- und Todesprozess mit dem Zustandsraum
S = {0, 1, . . .} und der Intensitätsmatrix Q = (qij )i, j∈S
wobei
qii = −(µ + λ), i = 1, 2, . . . , q00 = −λ.
qi,i+1 = λ, i = 0, 1, . . .
qi,i−1 = µ, i = 1, 2, . . . .
sowie 0 < λ < µ gelten soll.
Man bestimme die stationäre Verteilung des Prozesses (Xt )t≥0 .
SP34 Ein Arbeiter muss nacheinander drei Aufgaben erledigen. Die Zeiten, die
er für die Erledigung der einzelnen Jobs benötigt, seien unabhängige, exponentialverteilte Zufallsgrößen mit dem Erwartungswert 1.
a) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Arbeiter zur Erledigung der drei Aufgaben länger als 3 Zeiteinheiten benötigt.
b) Es sei bekannt, dass der Arbeiter länger als 3 Zeiteinheiten für die Erledigung der 3 Jobs benötigt. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass
er auch länger als 3,5 Zeiteinheiten benötigt?
SP35 Es wird angenommen, dass das Auftreten von Fehlern in einem neuen Text
durch einen Poissonprozess mit Intensität λ > 0 (pro Seite) beschrieben
werden kann. Betrachtet wird ein Text, der L Seiten umfasst. Zwei Personen
P1 und P2 lesen unabhängig voneinander Korrekturen. Es sei bekannt,
dass P1 gewöhnlich 70% der Fehler findet und P2 85% der Fehler. Man
bestimme die Verteilung der Anzahl der Fehler, die weder von P1 noch von
P2 gefunden werden.
8
SP36 Es wird angenommen, dass der Zuzug von Familien in ein bestimmtes Gebiet durch einen Poissonprozess beschrieben werden kann. Es sei bekannt,
dass pro Woche durchschnittlich 2 Familien ankommen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine ankommende Familie aus genau 4 (3, 2, 1) Personen
besteht, betrage 16 ( 13 , 13 , 16 ). Man bestimme Erwartungswert und Varianz der
Anzahl der Personen, die in einer Zeitspanne von 5 Wochen zuziehen.
SP37 Es wird angenommen, dass die Jobeingänge in einem Versandunternehmen durch einen Poissonprozess mit Intensität λ > 0 beschrieben werden
können. Zum Zeitpunkt T werden alle bis dahin eingegangenen Aufträge
versandt. Es soll nun ein zusätzlicher Versandzeitpunkt t mit 0 < t < T festgelegt werden, zu dem alle bis dahin eingegangenen Aufträge weitergeleitet
werden. Wie ist t zu wählen, damit die mittlere Gesamtaufenthaltszeit (für
alle ankommenden Aufträge) in dem Versandunternehmen minimal wird?
SP38 (Xt )t≥0 sei ein Semi-Markovscher Prozess mit dem Zustandsraum
S = {1, 2} und dem Semi-Markovschen Kern
0, 6(1 − e−5t )
0, 4(1 − e−2t
.
M (t) =
0, 5 − 0, 2e−3t − 0, 3e−5t 0, 5 − 0, 5e−2t − te−2t
Man bestimme
a) die Übergangsmatrix der eingebetteten Markovkette,
b) die Funktionen Fij und Hi sowie die erwarteten Aufenthaltsdauern
µi , i, j ∈ {1, 2},
c) lim P (Xt = 1).
t→∞
SP39 Eine Maschine besteht aus zwei Bauteilen B1 und B2 , deren Lebensdauern
exponentialverteilt sind mit den Parametern 0,01 bzw. 0,04. Die Maschine
fällt aus, wenn eines der beiden Bauteile ausfällt. Die ausgefallenen Bauteile werden sofort repariert; die Reparaturzeiten sind ebenfalls exponentialverteilt mit den Parametern 1 bzw. 2. Der stochastische Prozess (YT )t≥0
beschreibe den Zustand der Maschine:
Yt = 1 ↔ Bauteil B1 wird repariert,
Yt = 2 ↔ Bauteil B2 wird repariert,
Yt = 3 ↔ Maschine arbeitet.
Man zeige, dass (Yt )t≥0 ein Semi-Markovscher Prozess mit dem Semi-Markovschen
Kern


0
0
1 − e−t
0
0
1 − e−2t 
M (t) = 
0, 2(1 − e−0,05t ) 0, 8(1 − e−0,05t )
0
9
SP40 Für eine Zufallsgröße X wird die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ψX | R1 → R1 durch ψX (t) :=E(tX ) definiert. Speziell für eine diskrete
Zufallsgröße X mit P (X = k) = pk , k = 0, 1, . . . , gilt damit ψX (t) =
∞
P
pk tk . Diese Reihe ist für |t| ≤ 1 konvergent.
k=0
(k)
Aufgrund der Beziehung pk = k!1 ψX (0) ”erzeugt” ψX die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Außdem gilt
∞
P
0
E(X) = lim ψX
(t) = lim
pk ktk−1 ,
t↑1
var(X) =
t↑1 k=0
00
lim ψX (t)+E(X) −
t↑1
(E(X))2 .
Man bestimme die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Poissonverteilung und daraus Erwartungswert und Varianz.
SP41 (Xn )n∈N0 sei eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen, die exponentialverteilt
∞
P
1
< ∞ die
sind jeweils mit dem Parameter λn . Man zeige, dass aus
λn
Beziehung P (
∞
P
n=1
Xn < ∞) = 1 folgt.
n=1
SP42 Gegeben sei ein Geburtsprozess (Xt )t≥0 mit den Geburtsintensitäten qi,i+1 =
iλ und der Anfangsverteilung P (Xo = 1) = 1. Man kann dann zeigen, dass
für µ(t) :=E(Xt ) die Gleichung
Rt λr
eλt µ(t) = 2λ
e µ(r)dr + 1
r=0
gilt. Man erzeuge aus dieser Gleichung eine Differentialgleichung zur Bestimmung von µ(t) und löse sie.
SP43 Betrachtet wird ein 2-dimensionaler Poissonscher Punktprozess mit Intensität λ > 0. Für einen fest gewählten Punkt x ∈ R2 bezeichne X den
Abstand des Punktes x zum nächsten Punkt des Poissonschen Punktpro2
zesses. Man zeige, dass P (X > t) = e−λπt gilt und berechne E(X).
SP44 Gegeben sei das M/M/s/∞-Bedienungsmodell im stationären Zustand.
a) Man berechne die mittlere Anzahl der besetzten Geräte.
b) Man zeige (rechnerisch), dass die Formel von Little auch für die Anzahl
der Kunden im System und die Verweilzeit gilt.
SP45 In einer Reparaturwerkstatt arbeiten 3 Mechaniker. Die Aufträge treffen
nach einem Poissonprozess mit der Intensität λ = 8 ein. Die Reparaturzeit
ist exponentialverteilt mit µ = 2. Welche Konsequenz ergibt sich?
Mit der kleinstmöglichen Anzahl von Mechanikern, die ein stationäres Verhalten zulässt, bestimme man die Verteilung der Wartezeit, die mittlere
10
Wartezeit, die mittlere Warteschlangenlänge und die mittlere Verweilzeit in
der Werkstatt.
SP46 Die Zwischenankunftszeiten und die Bedienungszeiten an einem Schalter
seien exponentialverteilt. Es treffen pro Stunde im Mittel 5 Kunden ein,
und es können im Mittel 6 Kunden pro Stunde bedient werden.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Wartezeit in der Schlange
höchstens 30 Minuten?
b) Ein ankommender Kunde findet im System 2 Kunden vor. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Wartezeit in der Schlange höchstens
20 Minuten beträgt?
SP47 Eine telefonische Auskunftszentrale besitzt 5 Auskunftsplätze. Ein ankommender Anruf wird auf eine freie Leitung gelegt. Ist keine Leitung frei, so
wird der Anrufer abgewiesen. Welcher Anteil der Anrufer wird im Mittel
abgewiesen, wenn die ankommenden Anrufe einen Poissonprozess mit dem
Parameter λ = 30 (pro Stunde) bilden und die Gespräche exponentialverteilt sind mit dem Erwartungswert 5 Minuten?
SP48 An einem Schalter kommen im Mittel pro Stunde 20 Kunden an. Die Zwischenankunftszeiten und die Bedienungszeiten können als exponentialverteilt angenommen werden.
a) Welche mittlere Bedienungszeit darf nicht überschritten werden, damit mit
einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 nicht mehr als 5 Kunden in
der Schlange warten müssen?
b) Welche mittlere Bedienungszeit darf nicht überschritten werden, wenn die
mittlere Länge der Warteschlange nicht größer als 3 Kunden sein soll?
SP49 Gegeben sei ein M/M/1/∞-Warteschlangensystem mit den Parametern
λ = 10 und µ = 12. Wie ändern sich EL und EW , wenn die Anzahl
der Bedienungsgeräte auf zwei erhöht wird?
SP50 You are considering renting some data processing equipment. Model 1 has
service rate µ1 = 100 customers/hour and rents for c1 = $1000/month.
Model 2 has service rate µ2 = 200 customers/hour and rents for c2 =
$1800/month. The arrival rate of customers (orders to be processed) is λ =
80 customers per hour. The waiting time cost is judged to be $1/customerhour. Assume Poisson arrivals during normal working hours (about 200
hours/month), exponential service, and that the equipment operates only
during these hours. Which model should you rent? (Ignore carryover effects,
e.g., over a weekend).
11
SP51 Betrachtet wird ein M/G/1/∞-Warteschlangensystem mit dem Parameter
λ = 1 und gleichmäßig stetig auf [0,1] verteilter Bedienungszeit (Zeiteinheit
Stunden). Man überprüfe, ob sich für die Anzahl der Kunden im System
eine stationäre Verteilung einstellt. Im Fall der Existenz einer stationären
Verteilung berechne man ihre erzeugende Funktion, die Wahrscheinlichkeit,
dass sich kein Kunde im System befindet, sowie die mittlere Anzahl der
Kunden im System.
SP52 In einem Büro steht ein Telefon. Im Mittel kommen pro Stunde 20 Anrufe
aus dem internen Netz und 5 Anrufe von außerhalb. Wenn beim Eintreffen eines Gesprächs von außerhalb ein internes Gespräch läuft, so wird
letzteres abgebrochen. Die Gesprächsdauern sind exponentialverteilt mit
den Mittelwerten 3 Minuten (internes Gespräch) und 4 Minuten (Gespräch
von außerhalb). Die Eingangsströme seien Poissonströme. Man bestimme
die stationäre Verteilung (unter Verwendung der Zustände frei“, internes
”
”
Gespräch“, Gespräch von außerhalb“) sowie die Wahrscheinlichkeit dafür,
”
dass ein interner Telefonanruf unterbrochen wird.
SP53 Es ist die minimale Anzahl von Start-Lande-Bahnen auf einem Flugplatz zu
bestimmen, für die die Wahrscheinlichkeit, dass ein ankommendes Flugzeug
warten muss, kleiner als 0,05 ist. Der Ankunftsstrom bildet einen Poissonprozess mit λ = 27 (pro Stunde), die Zeit, während der sich ein Flugzeug
auf der Start-Lande-Bahn aufhält, kann als exponentialverteilt mit dem
Mittelwert 2 Minuten angenommen werden.
SP54 Gegeben sei ein M (1)/M (µ)/1/2-Bedienungssystem (Zeiteinheit Stunden),
wobei angenommen wird, dass die Bedienrate“µ alle positiven reellen Zah”
len annehmen kann. Die Betriebskosten für ein Bediengerät mit Rate µ
betragen pro Stunde 2µ Geldeinheiten. Jeder Kunde bezahlt für die Bedienung 10 Geldeinheiten. Der Besitzer des Bedienungssystems möchte µ so
wählen, dass der erwartete Gewinn maximal wird. Man gebe eine Bestimmungsgleichung für µ an.
SP55 Betrachtet wird ein Bedienungssystem mit einem Bediengerät, das gleichzeitig zwei Kunden bedienen kann. Ist das Bediengerät frei geworden und
befindet sich mindestens ein Kunde im System, beginnt eine neue Bedienungsphase mit einem oder, falls vorhanden, zwei Kunden. Die Bedienungszeiten seien - unabhängig davon, ob ein oder zwei Kunden bedient werden unabhängige, mit dem Parameter µ exponentialverteilte Zufallsgrößen. Die
ankommenden Kunden werden durch einen Poissonprozess mit Intensität λ
beschrieben.
Betrachtet werden die Zustände
0 ... Es befindet sich kein Kunde im System.
0B...Das Bediengerät ist besetzt; es befindet sich kein Kunde in der Warteschlange.
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n ... Es befinden sich n, n ≥ 1, Kunden in der Warteschlange.
Der Prozess (Xt )t≥0 , der angibt, in welchem dieser Zustände sich das System befindet, ist dann eine Markovkette mit stetiger Zeit.
a) Man bestimme die Intensitätsmatrix Q dieser Markovkette.
λ(1−α)
b) Man zeige, dass durch p∗0B = λ+µ(1−α)
, p∗n = αn p∗0B , p∗0 = µλ p∗0B mit α =
q
1
(
1 + 4λ
− 1) die stationäre Verteilung dieser Markovkette gegeben ist.
2
µ
c) Man bestimme die mittlere Länge der Warteschlange.
SP56 The two tellers in a bank each take an exponentially distributed time to
deal with any customer, their parameters are λ and µ respectively. You
arrive to find exactly two customers present, each occupying a teller.
a) You take a fancy to a randomly chosen teller, and queue for that teller to be
free; no later switching is permitted. Assuming any necessary independence,
what is the probability p that you are the last of the three customers to
leave the bank?
b) Suppose you go to the teller, who becomes first free. Find p.
SP57 (Xn )0≤n≤N sei eine irreduzible homogene Markovkette mit dem Zustandsraum S, der Übergangsmatrix P = (pij )i,j∈S und der stationären Verteilung p∗ = (πj )j∈S , deren Anfangsverteilung mit der stationären Verteilung übereinstimmt. Betrachtet wird der Prozess (Yn )0≤n≤N mit Yn =
XN −n . Man zeige, dass (Yn )0≤n≤N eine homogene Markovkette mit der
Übergangsmatrix P̂ = (p̂ij )i,j∈S ist, wobei πj p̂ji = πi pij ∀i, j ∈ S gilt.
Weiterhin zeige man, dass p∗ auch stationäre Verteilung von (Yn )0≤n≤N ist.
SP58 Gegeben sei ein stationäres M/M/s/∞−Warteschlangensystem.
Ist der Prozess (Xt )t∈R , der die Anzahl der Kunden im System beschreibt,
reversibel?
1
)/M ( 15 )/1/∞−Bedienungssystems
SP59 Ein Reporter möchte Kunden eines M ( 10
(Zeiteinheit Minuten), die das System gerade verlassen, über ihren Eindruck
befragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nach seinem Eintreffen länger als 20 Minuten warten muss, bis er den zweiten Kunden befragen
kann?
SP60 Gegeben sei ein GI/M/1/∞−Warteschlangensystem mit gleichmäßig stetig auf [0,1] verteilten Zwischenankunftszeiten und der Bedienungsinten”
sität“ µ = 4. Man bestimme die stationäre Verteilung, die mittlere Anzahl
der Kunden im System und die mittlere Länge der Warteschlange.
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SP61 Betrachtet wird ein Netzwerk, das aus drei M/M/1/∞-Bedienungssystemen
S1 , S2 , S3 mit jeweils unabhängigen, mit den Parametern µ1 = µ2 = 60, µ3 =
120 exponentialverteilten Bedienzeiten (in Minuten) besteht. An den Stationen S1 bzw. S2 kommen von außen Poissonsche Eingangsströme mit den
Intensitäten λ1 
= 4 und λ2 = 8 (pro Minute) an. Die Matrix

1
1
1
0 4 2 4



 1
1


0
0
2

 2


1
4
1
4
1
4
1
4
gibt die Wahrscheinlichkeiten für die Übergänge zwischen den einzelnen Stationen sowie in der letzten Spalte die Wahrscheinlichkeiten für das Verlassen
des Systems an. Man bestimme die stationäre Verteilung des Netzwerkes
und die mittleren Warteschlangenlängen.
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