(iv) [[ →³]] - S-Inf

Lehr- und Forschungsgebiet
Mathematische Grundlagen der Informatik
WS 00/01
Technische Hochschule Aachen
Prof. Dr. E. Gradel

1. Ubung
Mathematische Logik
Abgabe: Dienstag, den 24.10.2000 zu Beginn der Vorlesung am AH V oder bis 14 Uhr am Lehrstuhl


Ubungstermin:
Freitag, den 27.10.2000 in den Ubungsgruppen
7 Punkte
Aufgabe 1:
(a) Gegeben sei eine Interpretation I, so dass I(X1 ) = 1; I(X2 ) = 1; I(X3 ) = 1 und I(X4 ) = 0. Geben
Sie fur jede der folgenden Formeln ihren Wahrheitswert unter der Interpretation I an. Begrunden
Sie Ihre Antwort.
:= :((:(X4 ! (X1 ^ :X3 ))) $ (:X2 ! (X3 ^ :(X4 _ X1 ))))
'2 := :(:((X2 ^ (X3 _ X4 )) $ (X1 ! (X3 $ X4 ))) ! (X3 ^ (X4 ! (X2 ^ :X2 ))))
'3 := :(X2 ^ (:X3 _ (X1 ^ X3 ! X4 ))) ! (X4 _ (:X4 ! ((X1 ^ :X4 ) $ (X2 ^ X3 ))))
(i) '1
(ii)
(iii)
(b) Zeigen Sie:
[
[
[
[
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
^ '] I = [ ] I [ '] I
_ '] I = [ ] I + [ '] I [ ] I [ ' ] I
! '] I = 1 [ ] I + [ ] I [ ' ] I
! '] I = 1 () [ ] I [ '] I
4 Punkte
Aufgabe 2:
Aussagenlogische Formeln in Negations-Normalform (NNF) sind induktiv wie folgt deniert:
Aussagenvariabeln und negierte Aussagenvariabeln sind NNF-Formeln.
Mit
und
'
sind auch (
^ ') und ( _ ') NNF-Formeln.
Geben Sie einen Algorithmus an, der jede aussagenlogische Formel in eine aquivalente NNF-Formel transformiert. Schatzen Sie die Laufzeit des Algorithmus sowie die Lange der resultierenden Formel ab.
4 Punkte
Aufgabe 3:
Sei
F (n)
die Anzahl nicht-aquivalenter aussagenlogischer Formeln
(a) Berechnen Sie
mit ( ) fX1 ; : : : ; Xn g.
F (0); F (1); F (2).
(b) Berechnen Sie F (n) fur beliebige n.
Hinweis: Betrachten Sie Formeln der Form (Xn+1 ^ '1 (X1 ; : : : ; Xn )) _ (:Xn+1 ^ '2 (X1 ; : : : ; Xn )).
7 Punkte
Aufgabe 4:
(a) Welche der folgenden Formeln sind Tautologien:
(i)
(
! ') ! (:' ! :
)
1
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
0!
( ! ') ! (' ! )
( ^: )!1
( !: )!:
(b) Fur Formeln (X ) und ' sei (') die Formel, welche man erhalt, wenn man in
von X durch ' ersetzt. Zeigen Sie, dass die Formeln (1) ! ( (1)) und
Tautologien sind.
(c) Zeigen Sie: Ist (X ) ! ' eine Tautologie und X
ebenfalls eine Tautologie.
alle Vorkommen
(X ) ! ( (1))
62 ('), so ist fur beliebige # die Formel
(#) ! '
6 Punkte
Aufgabe 5:
! ' eine aussagenlogische Tautologie. Wir nennen # einen Interpolanten fur ! ', wenn ! #
! ' Tautologien sind und (#) ( ) \ (').
(a) Zeigen Sie, dass ( (1; Y ); Y ) ein Interpolant fur (X; Y ) ! '(Y; Z ) ist.
Sei
und
#
(b) Zeigen Sie per Induktion uber die Anzahl der Aussagenvariablen, die in aber nicht in ' vorkommen, dass zu jeder Tautologie ! ' ein Interpolant existiert (aussagenlogisches Interpolationstheorem).
2
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WS 00/01
Mathematische Grundlagen der Informatik
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Prof. Dr. E. Gradel

2. Ubung
Mathematische Logik
Abgabe: Dienstag, den 7.11.2000 zu Beginn der Vorlesung am AH V oder bis 14 Uhr am Lehrstuhl
U bungstermin: Freitag, den 10.11.2000 in den U bungsgruppen
8 Punkte
Aufgabe 1:
Eine besonders fur algorithmische Fragen sehr geeignete Prasentation aussagenlogischer Formeln ist die
Darstellung als Syntaxbaume. Der Syntaxbaum T' einer aussagenlogischen Formel ' ist induktiv deniert
wie folgt:
Ist ' eine atomare Formel, so besteht T' aus einem mit ' beschrifteten Blatt.
Ist ' := : , so besteht T' aus einer mit : beschrifteten Wurzel, mit T als Unterbaum.
Ist ' := '1 '2 , mit 2 f^; _; !g und '1 ; '2 Formeln, so ist T' deniert als Baum mit einer mit
beschrifteten Wurzel mit T'1 als linkem und T'2 als rechten Unterbaum.
(a) Konstruieren Sie die Syntaxbaume folgender Formeln:
(i) '1 := :(((X1 ^ X2 ) _ :X3 ) ^ ((:(X1 _ X3 )) ^ :X1 _ X2 ))
(ii) '2 := ((X1 _ X2 ) ^ (:X1 ^ X2 )) ^ ((X1 ^ :X2 ) _ (X1 ^ :X3 ))
(b) Geben Sie einen Algorithmus zur Auswertung aussagenlogischer Formeln an. Der Algorithmus soll
als Eingabe den Syntaxbaum einer Formel sowie eine Interpretation der Variablen erhalten. Die
Interpretation I ist als Liste von Paaren (X; I(X )) gegeben, wobei X eine Variable und I(X ) die
Interpretation der Variablen in I sein soll. Der Algorithmus soll so implementiert werden, da
er mit einem Zeiger in den Baum, einem Zeiger in die Liste sowie einer Bit-Variablen auskommt.
(Komplexitatstheoretisch bedeutet dies, da er Algorithmus mit logarithmisch beschranktem Platz
auskommen mu.)
(c) Demonstrieren Sie die Arbeitsweise Ihres Algorithmus an den Formeln aus Teil a) unter der Interpretation I mit I(X1 ) = 1; I(X2 ) = I(X3 ) = 0.
(d) Schatzen Sie die Laufzeit Ihres Algorithmus in Abhangigkeit zur Eingabegroe ab.
6 Punkte
Aufgabe 2:
(a) Sei := f'i : i 2 N g eine unendliche Menge aussagenlogischer Formeln mit der Eigenschaft, da
es fur jede Interpretation I ein n 2 N gibt, mit [ 'n ] I = 1. Weiterhin sei fur alle i sowohl 'i als
auch :'i erfullbar. Zeigen Sie:
(i) ist nicht notwendigerweise erf
ullbar.
(ii) : = f:'i : i 2 N g ist unerf
ullbar.
W
k
(iii) Es gibt ein k 2 N , so dass i=0 'i eine Tautologie ist.
Hinweis: F
uhren Sie den Beweis mit Hilfe des Kompaktheitssatzes sowie des Teils b).
(b) Beweisen Sie die erste Aussage des Kompaktheitssatzes unter Verwendung des zweiten Teils des
Satzes. Insbesondere heisst dies, dass Sie nicht den direkten Beweis aus der Vorlesung reproduzieren sollen!
1
5 Punkte
Aufgabe 3:
Die Relation j= ' ! kann folgendermaen als (partielle) Ordungsrelation aufgefat werden: Es gilt
' < genau dann, wenn j= ' ! , aber 6j= ! '.
(i) Zeigen Sie, da die so denierte Ordnung dicht ist, d.h. da zu je zwei Formeln ' <
eine Formel
existiert, so dass ' < < .
(ii) Zeigen Sie, da eine unendliche aufsteigende Kette '1 < '2 < '3 < : : : existiert.
(iii) Zeigen Sie, da es f
ur je zwei bzgl. < unvergleichbarer Formeln '; eine kleinste Formel gibt,
mit '; < .
6 Punkte
Aufgabe 4:
seien aussagenlogische Formeln. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) (i) ! (' ! ) ist eine Tautologie.
(ii)
! (' ! ) ( ^ ') ! .
(iii) (( ! ') ! ) ! ' ist eine Tautologie.
(iv) ( _ ') ! ( ! ) _ (' ! ).
;'
(
n
(b) Sei majn (X1 ; : : : ; Xn ) := 1 jfi : Xi = 1gj 2 . Geben Sie eine aussagenlogische Formel
0 sonst
(X1 ; : : : ; Xn ) an, welche majn deniert.
(c) Welche der folgenden Systeme sind funktional vollstandig: (maj2 ; :), (:maj3 ; 1), (maj3 ; 0; 1).
4 Punkte
Aufgabe 5:
Sei eine Konjunktion von AL-Formeln der Form
1. X1 ^ : : : ^ Xn ! Z1 _ Z2 .
2. X1 ^ : : : ^ Xn ! 0.
(a) Ist erfullbar, wenn
(i)
keine Formel des Typs 2 enthalt?
(ii)
keine Formel des Typs 1 mit n = 0 enthalt?
Geben Sie gegebenenfalls ein Modell an.
(b) Zeigen Sie mittels Resolution, dass
(X1 ^ X2 ! Z1 _ Z2 ) ^ (X2 ! X1 ) ^ (Z1 ^ X2 ! 0) ^ (Z2 ^ X2 ! 0) ^ X2
unerfullbar ist.
2
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Mathematische Grundlagen der Informatik
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3. Ubung
Mathematische Logik
Abgabe: Dienstag, den 21.11.2000 zu Beginn der Vorlesung am AH V oder bis 14 Uhr am Lehrstuhl
U bungstermin: Freitag, den 24.11.2000 in den U bungsgruppen
5 Punkte
Aufgabe 1:
Die folgende Einschrankung des Resolutionskalkuls heit P-Resolution: Es darf nur dann eine Resolvente
aus den Klauseln C1 und C2 gebildet werden, wenn eine der beiden Klauseln positiv ist. Eine Klausel
heit positiv, falls sie nur positive Literale enthalt. Zeigen Sie:
(a) Jede Klauselmenge ohne positive Klauseln ist erfullbar.
(b) Eine aussagenlogische Formel ist unerfullbar genau dann, wenn durch P -Resolution aus K ( )
abgeleitet werden kann.
Hinweis: F
uhren Sie den Beweis per Induktion uber die Anzahl der in vorkommenden Aussagenvariablen.
(c) Zeigen Sie per P-Resolution, dass die Klauselmenge
K = ffX; Y; Z g; f:X; V g; f:Y; X g; f:Z; V g; f:V gg
unerfullbar ist.
4 Punkte
Aufgabe 2:
Konstruieren Sie fur die folgenden Sequenzen Beweise im Sequenzenkalkul oder falsizierende Interpretationen:
(i) ? ) (' ^ (' ! )) !
(ii) (X ! Y ); (Z ! Y ) ) (X _ Z ); :Y
(iii) (X ! Y ) ) ((Z ! Y ) ! (X _ Z )) ! Y
(iv) (X _ Y ); (Z _ :Y ) ) (X _ Z )
3 Punkte
Aufgabe 3:
Geben Sie die Schlussregeln ( )) und () ) fur den Junktor ("exklusives oder\) an. Konstruieren
Sie im entsprechend erweiterten Sequenzenkalkul einen Beweis fur die Sequenz
( ') # ) (' #):
4 Punkte
Aufgabe 4:
Ein Homomorphismus von einem Graphen G = (V; E ) in einen Graphen G = (V ; E ) ist eine Abbildung
f : V ! V , so dass fur alle (u; v) 2 E auch (fu; fv) 2 E .
0
0
0
1
0
0
Sei G ein endlicher und G ein unendlicher Graph. Zeigen Sie: Wenn fur jeden endlichen Untergraph H
von G (d.h. H = (U; F ) mit U V und F E ) ein Homomorphismus von H nach G existiert, dann
existiert auch ein Homomorphismus von G nach G .
0
0
0
2 Punkte
Aufgabe 5:
Sei eine Menge aussagenlogischer Formeln. Zeigen Sie: Ist zu einer einzelnen nicht notwendigerweise
in enthaltenen Formel ' aquivalent, so ist auch zu einer endlichen Teilmenge aquivalent.
0
2
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4. Ubung
Mathematische Logik
Abgabe: Dienstag, den 5.12.2000 zu Beginn der Vorlesung am AH V oder bis 14 Uhr am Lehrstuhl


Ubungstermin:
Freitag, den 8.12.2000 in den Ubungsgruppen
5 Punkte
Aufgabe 1:
Welche der folgenden Mengen sind abzahlbar, welche u
ahlbar?
berabz
(a) Die Menge der endlichen Teilmengen von Q .
(b) Die Menge der Strukturen (N ; R) mit einstelligem Relationssymbol R.
(c) Die Menge aller aussagenlogischen Formeln mit Aussagenvariablen X1 ; X2 ; : : : .
(d) Die Menge aller unendlichen 0
1-Folgen.
(e) Die Vereinigung abzahlbar vieler abz
ahlbarer Mengen.
5 Punkte
Aufgabe 2:
Zu G = (V; E ) sei G := (V; E; E 6= ) mit E 6= := f(x; y )
H = (W; F ) ungerichtete Graphen.
2 V V
: x =
6 yg. Seien G = (V; E ) und
(a) Zeigen Sie, dass eine Abbildung f : V ! W genau dann ein injektiver Homomorphismus von G
nach H ist, wenn f ein Homomorphismus von G nach H ist.
(b) Ein Hamiltonkreis in einem Graph ist ein Zyklus, der alle Knoten des Graphen genau einmal
enth
alt. Geben Sie eine Familie Gn , n 2 N , von Graphen mit Universum f0; : : : ; n 1g an, so da ein
Graph H mit n Knoten genau dann einen Hamiltonkreis enth
alt, wenn es einen Homomorphismus
von Gn nach H gibt.
(c) Zeigen Sie, da G genau dann bipartit ist, wenn es einen Homomorphismus von G nach 3 Punkte
Aufgabe 3:
Untersuchen Sie f
ur die unten angegebenen Tripel (A; B; f : A ! B), ob
(a) f ein Homomorphismus
(b) f ein Isomorphismus
(c) f eine Einbettung von
A in B ist.
Dabei sei:
(i)
A := (N ; max; min)
B := (P (N ); [; \)
f
g
A := (A; [; \) mit A := Menge der endlichen Teilmengen von N
f (n) := 0; : : : ; n
(ii)
gibt.
B := (N ; max; min)
j j
f (X ) := X
1
(iii)
A := (N N ; Q) mit Q := f(n; m) : n und m sind teilerfremd g
B := (N ; P ), mit P := fp : p ist Primzahl g.
f (n; m) := (n m)! + 1
4 Punkte
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Automorphismengruppe von
~ @@@
~~
(a) @
@@ ~~
~
~ @@
(b)
(c)
@
~
@~@
@ ~~~
~ @@@
~~
@@ ~ @ ~~
(d) (f0; : : : ; ng; <) f
ur n 2 N .
6 Punkte
Aufgabe 5:
Sei
B eine -Struktur mit Universum B und sei A B .
(a) Zeigen Sie, dass es eine eindeutig bestimmte kleinste Substruktur
Wie nennen C die von A erzeugte Substruktur von B.
C B gibt, welche A enthalt.
(b) Geben Sie ein Beispiel f
ur eine Struktur B mit endlicher Signatur und einer endlichen Teilmenge
A B , so dass die von A erzeugte Substruktur unendlich ist.
(c) Geben Sie die von f n1 : n 2 N g erzeugte Substruktur in (R; +; ; 0; 1) an.
(d) Zeigen Sie: Wenn und A abzahlbar sind (und B beliebig), dann ist die von A erzeugte Substruktur
von B ebenfalls abzahlbar.
2
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Mathematische Grundlagen der Informatik
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Prof. Dr. E. Gradel

5. Ubung
Mathematische Logik
Abgabe: Dienstag, den 19.12.2000 zu Beginn der Vorlesung am AH V oder bis 14 Uhr am Lehrstuhl
U bungstermin: Freitag, den 22.12.2000 in den U bungsgruppen
6 Punkte
Aufgabe 1:
Gegeben sei folgendes Transitionssystem T := (S; Ea ; Eb ; P; Q).
j5 ajjjjjj 444
j
44
j
b / jjj / 44b
< Q
< P a Q EE
44
a yyy a yyy
EE
4
EE
yb
y
y
y
b " Ry
y
Q lll6 Q
P RRRR P bEE
y
l
a
a
a
E
y
RRR EE
yy llll
RRRE
R( o b l|yylll a
Q
P
Geben Sie fur jede der folgenden Formeln die Menge der Zustande von T an, an denen die Formel gilt
und beschreiben Sie die Bedeutung der Formel.
(a) '(x) := y z ((Eaxy Eb yz P z ) (Ea xy Ea yz
P z ))
V
W
(b) '(x0 ) := x1 x2 x3 x4 x5 ( 4i=1 (Ea xi xi+1 Eb xi xi+1 ) Eb x5 x0 Ea x2 x3 5i=0 P xi )
(c) '(x) := y z (Ea xy Eb yz Qz ) y z (Eaxy Eb yz (Qz P y))
8 8
9
^
9
9
9 9
!
9
^
^
9
^
! :
_
^
^ 8 8
^
^
!
^
^
^:
8 Punkte
Aufgabe 2:
Wir erinnern an die Denition einer Wortstruktur (w) fur ein Wort w uber einem endlichen Alphabet
. Sei ' ein FO-Satz uber der Signatur der Wortstrukturen. Die durch ' denierte Sprache L' wird als
Menge w : B(w) = ' deniert.
B
f
j
g
(a) Geben Sie zu jeder der folgenden Sprachen eine FO-Formel an, die die Sprache deniert.
(i) L1 := abacab
(ii) L2 := (abc)
(iii) L3 := aba(cb) ba
(b) Geben Sie fur i N Formeln 'i (x) an, die das i-te Element des Universums denieren. Geben Sie
weiterhin eine Formel max(x) an, welche das grosste Element deniert, und eine Formel succ(x; y),
welche alle Paare (x; y) deniert, so dass y das auf x folgende Element ist. Ist x schon das grosste
Element, so soll succ(x; y) fur alle y falsch sein.
(c) Welche Sprachen uber dem Alphabet a; b werden durch folgende Formeln deniert?
(i) '1 := x('0 (x) Pa (x))
x('1 (x) Pb (x))
x y (succ(x; y )
(Pa x Pb y)) x(max(x)
Pa x)
(ii) '2 := x('0 (x) Pa x)
x(max(x) Pb x)
x y z (Pa x Pb y Pa z )
2
f
9
9
^
^
^9
^ 9
g
^
^8
^
8
^ 9
1
!
9 9
^
$
^
^9
^
(iii) '3
:= y(Pb y
9
^ 8x
(Pa x
_
x
= y))
3 Punkte
Aufgabe 3:
Zeigen Sie:
(a) '[x1 =t1 ; : : : ; xn =tn ] = '[x1 =t1 ] [xn =tn], falls fur alle i = j xi nicht in tj vorkommt.
(b) '[x1 =t1 ; : : : ; xn =tn ] = '[xn =y][x1 =t1; : : : ; xn 1 =tn 1 ][y=tn], falls y nicht in ' und den Termen
t1 ; : : : ; tn vorkommt.
(c) Verallgemeinern Sie (b) so, dass '[x1 =t1 ; : : : ; xn =tn] aus ' mittels einer Komposition einfacher
Substitutionen gewonnen werden kann.
6
5 Punkte
Aufgabe 4:
(a) Wandeln sie folgende Formeln := x(Exz
x(( yExy )
P x)) in Skolem-Normalform,
Pranexnormalform und Negationsnormalform sowie in eine aquivalente reduzierte Formel um.
(b) Sei g ein dreistelliges, f ein zweistelliges, t ein einstelliges und c ein nullstelliges Funktionssymbol.
Geben Sie fur die Formel ' := x = gf f tcxxgttcf txf xxcx eine aquivalente, termreduzierte Formel
an.
8
! 9
8
!
6 Punkte
Aufgabe 5:
Sei
A1
An
eine Kette von -Strukturen. Wir konnen dann eine -Struktur A! :=
S A0A bilden,
so
dass
A
A
ur alle n N .
n
! f
n2N n
(a) Geben Sie die exakte Denition von A! an.
(b) Zeigen Sie, dass alle Satze der Form := x1 xr y1 ys ' (mit ' quantorenfrei) abgeschlossen sind unter Vereinigung von Ketten, d.h. wenn An = fur alle n, dann auch A! = .
(c) Zeigen Sie, dass b) nicht fur beliebige FO-Satze gilt.
(d) Sei die Modellklasse aller linearen Ordnungen A = (A; <), die ein maximales Element enthalten.
Geben Sie ein Axiomensystem fur an und zeigen Sie, dass kein Axiomensystem aus Satzen
der Form = x1 : : : xn y1 : : : ym ' (mit ' quantorenfrei) besitzt.
2
8
8
9
9
j
j
K
K
8
8
9
K
9
2
Lehr- und Forschungsgebiet
Mathematische Grundlagen der Informatik
WS 00/01
Technische Hochschule Aachen
Prof. Dr. E. Gradel

6. Ubung
Mathematische Logik
Abgabe: Dienstag, den 16.1.2001 zu Beginn der Vorlesung am AH V oder bis 14 Uhr am Lehrstuhl


Ubungstermin:
Freitag, den 19.1.2001 in den Ubungsgruppen
3 Punkte
Aufgabe 1:
f g
f
g
Gegeben sei die Struktur A := ( a; b ; P A ), wobei P zweistellig mit P A := (a; b); (b; b); (a; a) , sowie
:= x( yP yx y P xy ) gegeben.
9 8
^9 :
(a) Geben Sie den Spielgraphen fur das Auswertungsspiel auf
A und
an.
(b) Geben Sie fur einen der beiden Spieler eine Gewinnstrategie an. (Gewinnstrategien beginnen an
der Wurzel!)
5 Punkte
Aufgabe 2:
Geben Sie einen Algorithmus an, der zu jedem endlichen Spielgraphen G = (P; Z; p0 ) in Zeit
berechnet, ob Spieler V fur das Spiel G eine Gewinnstrategie hat.
O(jP j + jZ j)
4 Punkte
Aufgabe 3:
In der Vorlesung wurden Transitionssysteme allgemein als Graphen mit Knoten- und Kantenbeschriftungen eingefuhrt. Neben dieser allgemeinen Denition kann man Transitionssysteme auch so denieren,
da man nur Knoten- oder nur Kantenbeschriftungen zulat.
Ordnen Sie jedem Transitionssystem = (V; (Ea )a2A ; (Pi )i2I ) Transitionssysteme 1 := (V1 ; (Eb )b2B )
und 2 := (V2 ; E; (Pj )j 2J ), sowie jeder Formel Formeln 1 und 2 zu, so da fur alle v V gilt:
K
K
K; v j=
,
K
K ; v j=
1
1
,
K ; v j=
2
2
2
3 Punkte
Aufgabe 4:
KK
K
Seien ; 0 Transitionssysteme ohne Blatter und ohne atomare Eigenschaften, also ohne Knotenbeschriftungen. ; v und 0 ; v 0 heien trace equivalent, wenn es fur jedes unendliche Wort uber dem Alphabet
der Kantenbeschriftungen genau dann einen mit beschrifteten Pfad von v aus in gibt, wenn es einen
solchen auch von v 0 aus in 0 gibt.
K
K
K
(a) Zeigen oder widerlegen Sie, da bisimilare Transitionssysteme auch trace equivalent sind.
(b) Zeigen oder widerlegen Sie die Umkehrung dieser Aussage, d.h. sind je zwei Transitionssysteme
die trace equivalent sind auch bisimilar?
6 Punkte
Aufgabe 5:
K
2
K
K j
Wir betrachten Kripkestrukturen = (V; E; (Pi )i2I ). Eine Formel
ML ist gultig in , wenn ; v =
fur alle Zustande v V . Eine Formel ist gultig fur den Rahmen (V; E ), wenn sie gultig ist fur alle
Kripkestrukturen (V; E; (Pi )i2I ).
2
1
(a) Zeigen Sie, dass Formeln der Form
sind.
(
! ') ! ( ! ') in allen Kripkestrukturen gultig

(b) Zeigen Sie die Aquivalenz
folgender Aussagen:
(i)
(ii)
(iii)
E ist reexiv.
!
Alle Formeln der Form sind gultig in (V; E ).
Es gibt eine Aussagenvariable X , so dass X X gultig ist in (V; E ).
!

(c) Formulieren und beweisen Sie analoge Aquivalenzen
fur Formeln der Form (d) Welche Eigenschaften von E entsprechen den Formeln
! und
!
! .
.
5 Punkte
Aufgabe 6:
2
Eine Formel '(x; y ) FO (uber der Signatur einer Kripkestruktur) ist sicher fur Bisimulationen, wenn
fur alle Bisimulationen Z von nach 0 gilt: Wenn (v; v 0 ) Z und ein w existiert, so dass = '(v; w),
dann existiert ein w0 , so dass 0 = '(v 0 ; w0 ) und (w; w0 ) Z . In anderen Worten: Wenn die Hin- und
Her-Bedingungen fur die gegebenen Relationen Ea von bzw. 0 gelten, dann auch fur die durch '
denierten neuen Relationen.
Welche der folgenden Formeln sind sicher fur Bisimulationen?
K K
Kj
2
2
K
_ Ebxy
(b) '(x; y ) = 9z (Ea xz ^ Eb zy )
(c) '(x; y ) = Ea xy ^ Eb xy
(d) '(x; y ) = :Ea xy
V
(e) '(x; y ) = (y = x ^ 8z a A :Ea xz )
(a) '(x; y ) = Ea xy
2
2
K
Kj
Lehr- und Forschungsgebiet
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Prof. Dr. E. Gradel

7. Ubung
Mathematische Logik
Abgabe: Dienstag, den 30.1.2001 zu Beginn der Vorlesung am AH V oder bis 14 Uhr am Lehrstuhl


Ubungstermin:
Freitag, den 2.2.2001 in den Ubungsgruppen
3 Punkte
Aufgabe 1:
Beschreiben Sie das Auswertungsspiel fur die Modallogik. Zeigen Sie, dass man jedem endlichen Transitionssystem K, jedem Zustand v und jeder Formel 2 ML, ein Spiel MC(K; v; ) der Grosse jjKjj j j
zuordnen kann, welches eine Gewinnstrategie fur den Verizierer genau dann zulasst, wenn K; v j= .

Zusammen mit dem Algorithmus aus Aufgabe 2 Ubung
6 ergibt sich hieraus also ein Linearzeit-Verfahren
zum Model Checking modallogischer Formeln.
3 Punkte
Aufgabe 2:
Sei A eine endliche Struktur mit endlicher Signatur. Geben Sie ein endliches Axiomensystem fur die
Isomorphieklasse fB : A = Bg von A an.
4 Punkte
Aufgabe 3:
Sei
K
die folgende Kripke-Struktur (mit atomaren Eigenschaften p; q; r):
v0
v2
fp;qg
U
/ v1 }
= fp;qO g
{{{{
{
{
{
{{{{
{}{{{{
/ v3
fp;rg
/
4
fpg
v
v

Uberpr
ufen Sie fur jeden Zustand v des Systems, welche der folgenden Formeln an v gelten.
(a) EGp
(b) EF (AGp)
(c) AF (pUEG(p ! q ))
(d) EG(((p ^ q ) _ r)U (rUAGp))
4 Punkte
Aufgabe 4:
Ein universeller Horn-Satz ist eine Konjunktion von Regeln der Gestalt 8x8y(1 (
x; y) ^ ^ n (x; y) !
(x)), wobei die i und atomare Formeln sind. Man nennt 1 ^ ^ n den Rumpf und den Kopf
der Regel.
(a) Der Durchschnitt zweier Strukturen A := (A; R1A ; : : : ; RkA ) und B := (B; R1B ; : : : ; RkB ) mit A \ B 6=
? ist die Struktur A \ B := (A \ B; R1A \ R1B ; : : : ; RkA \ RkB ). Zeigen Sie: Ist ein universeller
Horn-Satz, so gilt fur alle Strukturen A; B mit A j= und B j= auch A \ B j= .
_ Rg, so da jede Regel in den Kopf Rx hat.
(b) Sei ein universeller Horn-Satz der Signatur [f
Zeigen Sie: Zu jeder -Struktur A gibt es eine eindeutig bestimmte kleinste Expansion (A; R) mit
(A; R) j= .
1
7 Punkte
Aufgabe 5:
(a) Zeigen Sie, per Induktion uber den Aufbau von CTL-Formeln, dass fur alle 2 CTL gilt: Wenn
K; v j=
und K; v K0 ; v 0 , dann auch K0 ; v 0 j= . Es folgt, dass CTL die Baummodell-Eigenschaft
hat.
(b) Formalisieren Sie folgende Aussagen in CTL bzw. erlautern Sie, warum sie nicht in CTL formalisiert werden konnen.
(i)
(ii)
Es gibt mindestens drei Pfade auf denen p irgendwann gilt.
Auf jedem Pfad, auf dem q mindestens zweimal gilt, gilt beim zweiten mal neben q auch p.
2
Lehr- und Forschungsgebiet
Mathematische Grundlagen der Informatik
WS 00/01
Technische Hochschule Aachen
Prof. Dr. E. Gradel

8. Ubung
Mathematische Logik
Abgabe: Dienstag, den 13.2.2001 zu Beginn der Vorlesung am AH V oder bis 14 Uhr am Lehrstuhl
Ruckgabe: Freitag, den 16.2.2001 in der Vorlesung
4 Punkte
Aufgabe 1:
A:
@_ @
@@
~
~
@ ~~
@ ~~~
~ @@
?
@ ~~~
~ @@
@
B:
o
/
@@
~
@
~
@~@ ~ @ ~~
/
(a) Welches ist das kleinste m, so dass Spieler I das Spiel Gm (A; B) gewinnt?
(b) Finden Sie einen Satz
mit Quantorenrang m, so dass A j=
und B j= : .
6 Punkte
Aufgabe 2:
Gegeben sei ein Transitionssystem T = (S; Ea ; Eb ; P; Q), wobei Ea und Eb zwei zweistellige und P; Q
zwei einstellige Relationen seien.
(a) Denieren Sie folgende Mengen mittels FO-Formeln:
(i)
(ii)
Die Menge aller Knotenpaare, die durch einen bab-Pfad verbunden sind.
Die Menge alles Knoten mit (mindestens) zwei mit P beschrifteten a-Vorgangern und (mindestens) zwei mit Q beschrifteten b-Nachfolgern.
(b) Denieren Sie folgende Mengen mittels RA-Ausdrucken:
(i)
(ii)
Die Menge aller Knoten mit zwei a-Vorgangern und einem b-Nachfolger.
Die Menge aller mit P beschrifteten Knoten, die als mittlere Knoten auf einem abba-Pfad
auftreten, dessen erster und letzter Knoten mit Q beschriftet ist.
(c) Gegeben sei folgende Version des Hauses vom Nikolaus.

d 
_@@
@@d
@@

@


d
O OOOO
o/7 OOOb ooooo
w
w
oooOOO
ooo b OOOO' o
o
o
w
Geben Sie fur jede der folgenden Formeln bzw. RA-Ausdrucke, die denierte Menge von Knoten
an und beschreiben Sie die Bedeutung der Formeln.
(i)
'(x) := 9y 9z (Ed xy ^ Ed yz ^ Ed zx ^ x 6= y ^ x 6= z ^ y 6= z ).
1
(ii)
1 2=3 4=5 6=7 8=1 (Ew Ed Ew Ew ).
6 Punkte
Aufgabe 3:
(a) Beweisen Sie die Korrektheit der Quantorenregeln (9 )), (8 )) und () 8). Zeigen Sie, dass in den
Regeln (9 )) und () 8) die Bedingung, dass c nicht in ; und vorkommt, nicht weggelassen
werden kann.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie die Korrektheit der folgenden Regel.
; ) ; #
) ; $ #
(c) Beweisen oder widerlegen Sie mit Hilfe des Sequenzenkalkuls die Gultigkeit folgender Formeln:
(i)
(ii)
((' ^ ) ! :') ! .
:9x'(x) $ 8x:'(x).
Hinweis: Die Gultigkeit von Formeln entspricht der Korrektheit gewisser Sequenzen.
6 Punkte
Aufgabe 4:
Sei f ein einstelliges Funktionssymbol.
(a) Sei K1 := f(A; f ) : fur jedes a 2 A gibt es unendlich viele b mit f (b) = ag. Zeigen Sie, dass K1
axiomatisierbar ist. Zeigen Sie ferner mit Hilfe des Satzes von Ehrenfeucht und Frasse, dass K1
nicht endlich axiomatisierbar ist.
(b) Sei K2 := f(A; f ) : fur alle a; b 2 A existieren n; m 2 N mit f n (a) = f m (b)g. Zeigen Sie mit Hilfe
des Kompaktheitssatzes, dass K2 nicht axiomatisierbar ist.
6 Punkte
Aufgabe 5:
Sei f ein einstelliges Funktionssymbol. Welche der folgenden Klassen von ff g-Strukturen sind FOaxiomatisierbar, welche endlich axiomatisierbar? Begrunden Sie ihre Antwort und geben Sie gegebenenfalls ein Axiomensystem an.
K1 = f(A; f ) : f ist injektiv aber nicht surjektiv g.
K2 = f(A; f ) 2 K1 : A endlich g.
K3 = die Klasse aller ff g-Strukturen, welche isomorph sind zu (N ; f ), mit f (n) = n + 1.
K4 = die Klasse aller uberabzahlbaren ff g-Strukturen.
K5 = f(A; f ) : fur alle a 2 A gilt jff n (a) : n 2 N gj
K6 = die Klasse der endlichen ff g-Strukturen in K5 .
2
753g.
Lehr- und Forschungsgebiet
Mathematische Grundlagen der Informatik
WS 00/01
Technische Hochschule Aachen
Prof. Dr. E. Gradel
Probeklausur
Mathematische Logik
8 Punkte
Aufgabe 1:
;'
seien aussagenlogische Formeln. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a)
(b)
! (' ! ) ist eine Tautologie.
(ii)
! (' ! ) ( ^ ') ! .
(iii) (( ! ') ! ) ! ' ist eine Tautologie.
(iv) ( _ ') ! ( ! ) _ (' ! ).
(
1 jfi : X = 1gj 2
Sei maj (X ; : : : ; X ) :=
.
(i)
1
n
i
0 sonst
Geben Sie eine aussagenlogische Formel (X1 ; : : : ; X ) an, welche maj deniert.
n
n
n
n
(c) Welche der folgenden Systeme sind funktional vollstandig: (maj2 ; :), (:maj3 ; 1), (maj3 ; 0; 1).
6 Punkte
Aufgabe 2:
(a) Formulieren Sie den Satz von Ehrenfeucht und Frasse. Erlautern Sie die dabei auftretenden
Begrie.
(b) Wie verwendet man diesen Satz, um nachzuweisen, dass eine Modellklasse K nicht endlich axiomatisierbar ist?
 quivalenzrelation auf A, so dass jede
(c) Zeigen Sie, dass die Klasse K := f(A; E ) : E ist A

Aquivalenzklasse
entweder hochstens 13 oder aber unendlich viele Elemente hat g nicht endlich
axiomatisierbar ist.
8 Punkte
Aufgabe 3:
(a) Erlautern Sie in eigenenen Worten, was es bedeutet, dass
(i)
(ii)
eine Sequenz
eine Regel
)
0 ) 0
korrekt ist.
) gultig ist.
(b) Welche der folgenden Sequenzen sind gultig, welche Regeln korrekt. Begrunden Sie Ihre Antworten.
(i)
(ii)
9x'(x) ) '(c), wenn c nicht in ' vorkommt.
'(c); '(d); 8z 8z 0 (:'(z ) _ z = z 0 _ :'(z 0 )) ) c = d.
1
) , wobei
:= f8x:Exx; 8x8y(x = y _ Exy _ Eyx); 8x8y8z (Exy ^ Eyz ! Exz )g und
:= f8x8y (Exy _ Eyx); :9x9y(Exy ^ Eyx)g.
(iii)
(iv)
;
)
;' ) ) ; ^ ' :
(c) Beweisen oder widerlegen Sie mit Hilfe des Sequenzenkalkuls die Gultigkeit folgender Formeln:
((' ^ ) ! :') ! .
:9x (x) ! 8x: (x).
(i)
(ii)
3 Punkte
Aufgabe 4:
Sei f ein zweistelliges, g ein einstelliges Funktionssymbol und P; E seien zweistellige Relationssymbole.
Weiterhin sei := P xx ^ 8x ((9y P yx ^ 9y P xy) ^ 8z Ezy)
(a) Bilden Sie [x=f yy; y=gx].
(b) Geben Sie eine zu
aquivalente Formel ' in Pranex-Normalform an.
(c) Transformieren Sie ' zu einer Formel in Skolem-Normalform.
6 Punkte
Aufgabe 5:
(a) Seien in KNF und ' in DNF aussagenlogische Formeln. Erlautern Sie wie man mittels Resolution
zeigt, dass
unerfullbar ist.
' allgemeing
ultig ist.
j= '.
(i)
(ii)
(iii)
(b) Zeigen Sie mittels Resolution, dass
:((X1 ! X2 ) ! X3 ) _ :(X1 _ X2 ) _ (X2 ^ X3 ) _ :(X1 ! X2 )
allgemeingultig ist.
(c) Zeigen Sie mittels Resolution, dass
(:X1 ! X2 ) ^ (X3 ! X2 ) ^ (:X3 ! :X4 ) ^ (X1 ^ X3 ! X5 ) j= X2 _ :X4 _ X5 :
6 Punkte
Aufgabe 6:
Welche der folgenden Klassen von Strukturen sind FO-axiomatisierbar, welche endlich axiomatisierbar?
Begrunden Sie Ihre Antwort und geben Sie gegebenenfalls ein Axiomensystem an.
K1
= Die Klasse aller diskreten linearen Ordnungen (A; <) ohne kleinstes und grosstes Element, z.B.
(Z; <).
K2
= Die Klasse aller abzahlbaren Strukturen in K1 .
K3
= Die Klasse aller Strukturen, die zu (R; <) isomorph sind.
2
K4
= Die Klasse aller partiellen Ordnungen (A; <), so dass es zu jedem a 2 A hochstens 4 Elemente
b 2 A gibt mit a < b.
K5
= Die Klasse aller partiellen Ordnungen, welche zu (Potf1; ; 2; 3g; ) isomorph sind.
K6
= Die Klasse aller endlichen linearen Ordnungen.
Punkte
Aufgabe 7:
Gegeben seien folgende Transitionssysteme:
K :=
1 N
=N
==NNNN
== NNN
NNN
=
N' / / /
v2 l
v3
v4
v5
v
K0 :=
v0 N
ppp 1 ==N=NNNN
p
p
p == NNN
ppp NNN
=
p
p
N& xpp / /
/
/ v0
v0 l
v0
v0
v0
2
3
4
5
6
(a) Sind K; v1 und K0 ; v10 bisimilar? Wenn ja, geben Sie eine Bisimulation an. Wenn nein, begrunden
Sie Ihre Antwort.
(b) Welches ist das kleinste m, so da Spieler I das Spiel G (K; K0 ) gewinnt?
m
(c) Geben Sie Formeln ' 2 ML und 2 FO mit qr( ) = 3 an, so da K; v1 j= ' und K0 ; v10 6j= ', bzw.
K j= [v1 ] und K0 6j= [v10 ] oder begrunden Sie, warum solche Formeln nicht existieren.
Punkte
Aufgabe 8:
(a) Sei A := fa; bg eine Menge von Aktionen und I := fP; Qg eine Menge atomarer Eigenschaften.
Geben Sie jeweils in FO, RA und ML eine Formel an, die in Kripke-Strukturen mit Aktionen aus
A und atomaren Eigenschaften aus I die Menge aller Knoten deniert, die keine Nachfolger haben
oder aber durch einen ab-Pfad mit solchen verbunden sind.
(b) Sei K folgendes Transitionssystem:
P;Q
v1
P
/
Q
v2
==
==
==
v3
/
P
v4
Q
v5
t
Geben Sie fur jede der folgenden Formeln die Knoten an, an denen die Formel gilt:
:= 8y(Exy ! ((P x $ P y) ^ (Qx $ Qy))).
1 [(1 4 2=3 (E E )) P P ]
(:P ^ :Q) _ Q
(i) '(x)
(ii)
(iii)
;
3 Punkte
Aufgabe 9:
Gegeben sei die Struktur A := (fa; bg; P A), wobei
:= 9x(8yP yx ^ 9y:P xy) gegeben.
P
zweistellig mit P A := f(a; b); (b; b); (a; a)g, sowie
(a) Geben Sie den Spielgraphen fur das Auswertungsspiel auf A und
an.
(b) Geben Sie fur einen der beiden Spieler eine Gewinnstrategie an. (Gewinnstrategien beginnen an
der Wurzel!)
3