PTP 2, Uebungsblatt 11 - Institut für Theoretische Physik

Analytische Mechanik und Thermodynamik
Prof. Arthur Hebecker
S. Kraus & C. Mayrhofer
Institut für Theoretische Physik
Universität Heidelberg
Sommersemester 2012
11. Übungsblatt
Die schriftlichen Aufgaben sind am 02.07.2012 in den Tutorien abzugeben.
Aufgabe 11.1 (10 Punkte):
Der eindimensionale harmonische Oszillator besitzt eine Erhaltungsgröße, die Energie. Finden
Sie die kanonische Transformation q, p 7→ Q(q, p), P (q, p), sodass der neue Impuls P der Energie
entspricht, P = H mit
1 2 m ω2 2
p +
q .
(1)
H=
2m
2
Mit anderen Worten, bestimmen Sie Q(q, p). Geben Sie eine Interpretation für Q.
Hinweis: Gehen SieRwie in der Vorlesung beschrieben vor: Sie konstruieren F2 als einfaches
q
Integral F2 (q, P ) =
dq 0 p(q 0 , P ). (Dies ist viel simpler als der in der Vorlesung beschriebene
allgemeine Fall.) Da sie nur an Q interessiert sind, können Sie vor dem Integrieren nach P
ableiten. Sie erhalten so ein Integral, das Sie schon auf Blatt 1 kennengelernt haben. Vergessen
Sie nicht, am Ende P durch q und p auszudrücken. Um Q in die Standardform der Literatur
zu bringen, überlegen Sie sich noch, dass
a
a
(2)
= arctan
arcsin √
b
a2 + b 2
gilt.
Freiwilliger Zusatz : Zeigen Sie explizit, dass für die P (q, p) und Q(q, p) die Auswertung der
Poissonklammer (bezüglich q,p!) die Relationen {P, P } = {Q, Q} = 0 und {Q, P } = 1 ergibt.
Aufgabe 11.2 (10 Punkte):
Wir definieren sogenannte δ-Funktion, auch Distributionen genannt, durch
Z ∞
Z
Z
3
dx δ(x) f (x) := f (0),
d r δ(r) f (r) := d3 r δ(x)δ(y)δ(z) f (x, y, z) = f (0) .
(3)
−∞
Beliebigen (aber stetigen und integrablen) (Test-)Funktionen f (x) und f (r) wird auf diese
Weise der Wert an der Stelle Null zugeordnet.
a) Zeigen Sie, dass für stetige monotone Funktionen g(x)
Z ∞
f (x0 )
dx δ(g(x)) f (x) = 0
mit
|g (x0 )|
−∞
x0 = g −1 (0)
(4)
ist. Schreiben Sie hierzu
R ∞ das Integral (4) über x in ein Integral über y um, mit y = g(x).
Verwenden Sie nun −∞ dy δ(y) h(y) = h(0), das heißt die Definition (3). Beachten Sie, was
mit den Integrationsgrenzen beim Übergang von x auf y passiert
Hinweis: dy = d(g(x)) = g 0 (x)dx; g(−∞) = ∓∞ und g(∞) = ±∞ für monoton steigende
bzw. fallende Funktionen;
Dieses Resultat lässt sich verallgemeinern zu (brauchen Sie nicht zu beweisen):
Z ∞
X f (xi )
dx δ(g(x)) f (x) =
mit 0 = g(xi ) und g 0 (xi ) 6= 0 ∀i .
(5)
0 (x )|
|g
i
−∞
i
1
b) Verwenden Sie nun (4) und zeigen Sie, dass aus g(x) = x − x0
Z ∞
dx δ(x − x0 ) f (x) = f (x0 )
(6)
−∞
folgt.
c) Berechnen Sie die folgenden Integrale:
Z ∞
Z ∞
dx δ(ln(x)) exp(x) ,
dx δ(sin(x)) exp(−|x|) und
−∞
−∞
Z
∞
dx δ(exp(x) − l)f (x)
−∞
mit l > 0.
Hinweis: Benutzen Sie für das zweite Integral (5).
Aufgabe 11.3 (10 Punkte):
Gegeben sei ein Würfel mit der Kantenlänge a. In diesem Würfel befinden sich N 1 Punktteilchen der Masse m. Alle Teilchen mögen sich mit der Geschwindigkeit v entweder nach ob
oder nach unten bewegen, das heißt vi = ±v ez , wobei jedoch gelten soll, dass
pg = m
N
X
vi = 0 .
(7)
i=1
Weiters sei angenommen, dass die Teilchen homogen über den gesamten Würfel verteilt sind,
sodass sich für die Verteilungsfunktion im Phasenraum f (q, p, t) ≡ f (p) ergibt.
a) Berechnen Sie nun den Druck p auf Deckel, Boden und Seiten des Würfels. Überlegen Sie
sich dazu wie viele Teilchen in der Zeit ∆t auf die jeweilige Fläche treffen.
Hinweise: Kraft ist Impulsänderung pro Zeit und Druck Kraft pro Fläche.
b) Geben Sie die Verteilungsfunktion f (p) für diese Konfiguration an.
Hinweise: Verwenden Sie hierzu das Konzept der δ-Funktionen aus Aufgabe 11.2. Sie brauchen drei δ-Funktionen, die nicht alle gleich sind!
c) Leiten Sie eine Formel für den Druck (z.B. auf den Deckel) in Abhängigkeit von einer allgemeinen Verteilungsfunktion f her.
Hinweise: Nehmen Sie an, dass der Druck ein lineares Funktional p[f ] der Verteilungsfunktion f ist. Solch ein Funktional können Sie stets als
Z
p[f ] = d3 p P(p) f (p)
(8)
schreiben. Die zunächst noch unbekannte Funktion P(p) bestimmen Sie, indem Sie f (p)
aus b) in (8) einsetzen und ein P(p) raten, so dass das Ergebnis von a) reproduziert wird.
Nebenbemerkung: Das Schwerefeld der Erde sei in diesem Beispiel zu vernachlässigen.
Aufgabe 11.4 (10 Punkte):
Die Verteilungsfunktion der Maxwell-Bolzmann-Verteilung sei gegeben durch:
2
f (p) = C e−A(p−p0 ) ,
wobei C, A und p0 zunächst freie Parameter seien.
2
(9)
R
a) Bestimmen Sie C aus der Normierungsbedingung d3 p f (p) = n.
R
b) Berechnen Sie nun hpi = d3 p p f (p)/n. Welche Bedeutung haben die Parameter p0 ?
R
c) Wie groß ist der Mittelwert von p2 = p· p, hp2 i = d3 p p2 f (p)/n, unter der vereinfachenden
Annahme p0 = 0.
Hinweis: Für das Gauß-Integral gilt:
Z
∞
2
dx e−x =
√
π.
(10)
−∞
2
R
R ∞ R 2π
2
2
∞
Dies folgt aus −∞ dx e−x
= 0 0 rdr dφ e−r = π. Benutzen Sie weiters für Integrale
R∞
R∞
2
2
der Form −∞ dx xn e−x = 2 0 dx xn e−x , mit n ∈ 2N , die partielle Integration und (10).
Auch sei nochmals erwähnt, dass ungerade Funktionen integriert über symmetrische Intervalle
verschwinden.
3