Aufgabenblatt 8

Physik 1 Hydrologen/VNT, WS 2014/15
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Aufgabenblatt 8
Aufgabenblatt 8
Aufgabe 1
(M 4.2 Feder“)
”
Ein Körper der Masse m wird in der Höhe z1 losgelassen und trifft bei z = 0 auf das
Ende einer senkrecht stehenden Feder mit der Federkonstanten k, die den Fall des
Körpers bremst. (Die Masse der Feder wird vernachlässigt.)
(a) Bis zu welchem Ort z2 wird die Feder maximal zusammengedrückt?
(b) Welche Geschwindigkeit vz3 hat der Körper, wenn die Feder bis zur Stelle z3
zusammengedrückt ist?
(c) Welche Leistung P3 entwickelt die Feder bei z3 ?
(d) Stellen Sie die gesamte potentielle Energie des Systems als Funktion von z im
Bereich −0.3 m ≤ z ≤ 0.6 m grafisch dar. Lösen Sie an Hand dieses Diagramms
grafisch: Der Körper der Masse m fällt aus der Höhe z4 auf die Feder. Bis zu
welcher Stelle z5 wird die Feder zusammengedrückt? Überprüfen Sie außerdem
das Ergebnis von Aufgabenteil (a) an diesem Diagramm!
m = 10.0 kg, z1 = 0.60 m, z3 = −0.10 m, z4 = 0.40 m, k = 1.96 × 103 N m−1
Aufgabe 2
(M 4.7 Bus“)
”
Ein vollbesetzter Bus hat die Masse m.
(a) Welche Arbeit W10 bringt der Motor bei jedem Anfahren bis zum Erreichen der
Geschwindigkeit v1 auf ebener Straße auf?
(b) Welche maximale Leistung P1 und welche durchschnittliche Leistung P̄ wären
erforderlich, wenn das Anfahren auf einer ebenen Strecke s1 gleichmäßig beschleunigt erfolgen würde?
m = 10 t, v1 = 30 km h−1 , s1 = 100 m
Aufgabe 3
(M 5.2 Zwei Kugeln“)
”
Zwei Kugeln mit den Massen m1 = m und m2 = 2m bewegen sich mit gleichem Geschwindigkeitsbetrag v aufeinander zu. Welche Geschwindigkeiten v10 und v20 ergeben
sich nach dem Zusammenstoß, wenn dieser
(a) vollkommen elastisch,
(b) vollkommen inelastisch erfolgt?
(c) Wie groß ist im Fall (b) der Energieverlust ∆E?
Jens Patommel <[email protected]>
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Aufgabe 4
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(M 5.4 Stoßpendel“)
”
Ein Stoßpendel besteht aus einer dünnen Stange der Länge l, die am unteren Ende
einen Holzklotz mit der Masse mH trägt. Wird eine Kugel der Masse mK in den
Holzklotz geschossen, so schlägt das vorher ruhende Pendel um die Strecke xm aus.
Wie groß war die Geschwindigkeit v des Geschosses?
l
l
v
mH
mK
0
xm
x
l = 2.0 m, mH = 0.80 kg, mK = 5.0 g, xm = 20 cm
Jens Patommel <[email protected]>
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Lösung zu Aufgabe 1
(a) Die Gesamtenergie Eges setzt sich zusammen aus der potentiellen Energie Eg
im Schwerefeld der Erde, der potentiellen Energie EF der Feder und der kinetischen
Energie Ekin . Am Anfang ist die Feder entspannt und der Körper befindet sich in
Ruhe, deshalb sind die Federenergie und die kinetische Energie am Anfang 0, die
Gesamtenergie beträgt also am Anfang
Eges1 = Eg1 = mgz1 .
Wenn die Feder (bei z2 ) maximal zusammengestaucht ist, ist der Körper in Ruhe,
die kinetische Energie ist dann wiederum Null. Die Gesamtenergie im Zustand der
maximal gestauchten Feder beträgt
Eges2 = Eg2 + EF2 = mgz2 + 21 kz22 .
Es gilt der Energieerhaltungssatz, wonach die Gesamtenergie konstant ist:
⇐⇒
Eges1 = Eges2
=⇒ mgz1 = mgz2 + 21 kz22
mg
mg
z22 + 2
z2 = 2
z1 .
k
k
Diese quadratische Gleichung kann man durch quadratische Ergänzung oder mittels
p-q-Formel nach z2 auflösen:
s
!
mg
kz1
z2 =
−1 ± 1 + 2
.
k
mg
Das positive Vorzeichen bedeutet eine Streckung und das negative Vorzeichung eine
Stauchung der Feder, wobei das positive Vorzeichung nur dann eine gültige Lösung
ergibt, wenn der Körper bei der Aufwärtsbewegung mit der Feder fest verbunden
bleibt (mittels eines Kopplungsmechanismus, zum Beispiel durch Magnetkraft). Ist
der Körper nur lose mit der Feder verbunden, wird er sich von ihr lösen, sobald die
Gleichgewichtslage erreicht ist. Darum brauchen wir uns aber keine Gedanken zu
machen, denn gefragt ist nach der Position der maximalen Federstauchung, nicht
nach der maximalen Streckung. Die Lösung lautet also
s
!
kz1
mg
1+ 1+2
z2 = −
k
mg


s
−2
−1
10 kg · 9.81 m s 
1.96 kN m · 0.6 m 
=−
1+ 1+2
−1
1.96 kN m
10 kg · 9.81 m s−2
= −30.0 cm .
(b) Die Position z3 liegt zwischen z2 und 0, also in jenem Bereich, wo sowohl die
Federenergie als auch die kinetische Energie zur Gesamtenergie beitragen. Nach dem
Jens Patommel <[email protected]>
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Energieerhaltungssatz gilt
2
mgz1 = mgz3 + 12 kz32 + 12 mvz3
r
k
⇐⇒ vz3 = ± 2g(z1 − z3 ) − z32
m
s
=±
29.81 m s−2 (0.6 m − 0.1 m) −
(1.1)
1.96 kN m−1
(0.1 m)2
10 kg
= ±3.4 m s−1 .
Das positive Vorzeichen der Geschwindigkeit bedeutet, dass sich der Körper auf dem
Weg nach oben und das negative Vorzeichen, dass sich der Körper auf dem Weg nach
untern befindet.
(c) Die Leistung ist die Zeitableitung der Arbeit bzw. der Energie, die Momentanleistung der Feder beträgt somit
1 dz(t)2
dWF (t)
d 1
2
kz(t)
=
= 2k
dt
dt 2
dt
2
KR 1 dz dz(t)
= 12 k · 2z(t) · vz (t)
= 2k
dz dt
r
PF (t) =
k
(4.1)
= kz(t) vz (t) = ±kz(t) 2g [z1 − z(t)] − z(t)2 ,
| {z }
m
FF (z(t))
wobei ich die Kettenregel df (g(x))
= dfdg(g) dg(x)
und Gleichung (4.1) mit z3 ≡ z(t)
dx
dx
verwendet habe. Zum Zeitpunkt t3 mit z3 = z(t3 ) entwickelt die Feder die Leistung
P3 = PF (t3 )
r
k
= ±kz(t3 ) 2g [z1 − z(t3 )] − z(t3 )2
m
r
k
= ±kz3 2g [z1 − z3 ] − z32
m
= ±1.96 kN · 0.1 m · 3.4 m s−1
= ±0.67 kW .
(d) In den folgenden Diagrammen sind die potentielle Energie (Summe aus Federund Gravitationsenergie) und die Gesamtenergie über der Ortskoordinate z aufgetragen. Aufgrund des Energieerhaltungssatzes ist die Gesamtenergie konstant und
daher als horizontale Gerade eingezeichnet. Bei positiven z-Werten ist die Feder entspannt, der Beitrag der Feder zur potentiellen Energie also Null, so dass hier die potentielle Energie eine Gerade ist (Epot = Eg = mgz). Bei negativen z-Werten kommt
noch der quadratische Term der Federenergie dazu (Epot = Eg + EF = mgz + 21 kz 2 ),
wodurch die Kurve eine Parabelform annimmt. Die kinetische Energie ergibt sich
als Differenz zwischen Gesamtenergie und potentieller Energie, deren Verlauf ist in
der zweiten und dritten Abbildung als schwarze Kurve eingezeichnet. Minimum und
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Maximum der z-Koordinate sind durch den Schnittpunkt der Gesamtenergiekurve
mit der Kurve für die potentielle Energie gegeben, denn dort wird die kinetische
Energie (und somit die Geschwindigkeit) gerade Null.
Wir möchten nun ablesen, bis zu welcher Stelle z5 die Feder maximal zusammengestaucht wird, falls sie in der Höhe z4 fallengelassen wird. Dazu tragen wir die
neue Gesamtenergie als grüne Kurve auf, und zwar so, dass sie die blaue Kurve
der potentiellen Energie bei z4 schneidet (hier sind Geschwindigkeit und kinetische
Energie Null). Diese grüne Kurve schneidet die potentielle Energiekurve in einem
zweiten Punkt bei z5 ≈ −0.25 m. Da hier Geschwindigkeit und kinetische Energie
Null sind, ist dort die Feder maximal zusammengedrückt. Außerdem lesen wir ab,
dass z2 ungefähr −0.30 m beträgt, was sich im Einklang mit unserem Ergebnis aus
Teilaufgabe (a) befindet.
E/J
Epot
Eges1
50
Ekin,max
Ekin (z3 )
Eges2
10
z2 z5
z3
0.1
z4
0.5
z1
z/m
0.5
z1
z/m
10
E/J
Eges
50
Epot
Ekin
10
z2
z3
0.1
10
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E/J
Eges
50
Epot
EF
Ekin
10
z3
z2
0.1
0.5
10
z1
z/m
Eg
Lösung zu Aufgabe 2
(a) Die vom Motor zum Anfahren des Busses zu verrichtende Arbeit ist die Differenz aus kinetischer Energie Ekin1 nach Erreichen der Geschwindigkeit v1 und der
kinetischen Anfangsenergie Ekin0 :
W10 = Ekin1 − Ekin0 = 12 mv12 − 0 = 347 kJ .
(b) Die momentane Leistung P (t) berechnet sich aus der Zeitableitung der zur
Beschleunigung verrichteten Arbeit, also der kinetischen Energie:
dW 0 (t)
dt
d 1
=
mv(t)2
2
dt
dv 2 dv(t)
= 21 m
dv dt
= 12 m · 2v(t) · a(t)
= m v(t) a(t)
= ma0 v(t) .
P (t) =
(2.1)
Im letzten Schritt wird ausgenutzt, dass die Beschleunigung konstant erfolgt. Wir
suchen das Maximum der Leistung im Zeitintervall [0, t1 ]. Dazu bilden wir die erste
Zeitableitung:
d
dP (t)
=
ma0 v(t)
dt
dt
dv(t)
= ma0
dt
2
= ma0 > 0 .
Die Zeitableitung der Leistung ist für alle t positiv, P (t) ist somit eine streng monoton wachsende Funktion und hat ihr Maximum am rechten Rand bei t1 . Es gilt
Jens Patommel <[email protected]>
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somit für die maximale Leistung:
P1 = P (t1 ) = ma0 v(t1 ) = ma0 v1 .
(2.2)
Die Beschleunigung erhält man aus der Bewegungsgleichung für konstante Beschleunigung
v(t) = a0 t,
s(t) = 21 a0 t2 ,
indem man dort die Zeit t1 einsetzt:
v1 = a0 t1 ,
s1 = 12 a0 t21
und t1 eliminiert:
=⇒
⇐⇒
t1 =
v1
a0
s1 =
1
a
2 0
a0 =
2
1 v1
2
s1
(2.3)
v1
a0
2
(2.4)
Dies setzen wir in (2.2) ein und erhalten für die maximale Leistung
P1 = ma0 v1 = 21 m
v13
= 28.9 kW.
s1
Den zeitlichen Mittelwert hgi[t0 ,t1 ] einer physikalischen Größe g(t) über ein Zeitintervall [t0 , t1 ] definiert man ganz allgemein als folgendes Integral:
hgi[t0 ,t1 ]
1
=
t1 − t0
Zt1
dt g(t).
t0
Dies wenden wir an, um die durchschnittliche Leistung beim Beschleunigen des
Busses zu bestimmen, wobei wir beachten, dass die Leistung als Zeitableitung der
Arbeit definiert ist:
Zt1
1
dt P (t)
P̄ =
t1 − t0
t0
1
=
t1 − t0
1
=
t1 − t0
Zt1
dW
dt
dt
t0
W
Z(t1 )
dW
W (t0 )
W (t1 ) − W (t0 )
t1 − t0
1
mv 2
= 2 1.
t1
=
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Die Zeit t1 wird errechnet, indem wir (2.4) in (2.3) einsetzen,
(2.4) ∧ (2.3)
=⇒
t1 = 2
s1
,
v1
so dass wir für die Durchschnittsleistung schlussendlich erhalten:
P̄ = 41 m
v13
= 12 P1 = 14.45 kW .
s1
Lösung zu Aufgabe 3
(a) Beim vollkommen elastischen Stoß bleiben Energie und Impult erhalten, wodurch man im Falle des zentralen Stoßes zwei Gleichungen für die zwei Geschwindigkeiten nach dem Stoß erhält.
Energieerhaltung:
+ 21 m2 v22 = 12 m1 v102 + 21 m2 v202
⇐⇒ m1 v12 − v102 = m2 v202 − v22
m1 (v1 − v10 ) (v1 + v10 ) = m2 (v20 − v2 ) (v20 + v2 )
1
m v2
2 1 1
⇐⇒
(3.1)
Impulserhaltung:
m1 v1 + m2 v2 = m1 v10 + m2 v20
⇐⇒ m1 (v1 − v10 ) = m2 (v20 − v2 )
(3.2)
Unter der Voraussetzung, dass v1 6= v10 und v2 6= v20 gilt (ansonsten würden sich die
Kugeln ungestört durchdringen), folgt aus (3.1) und (3.2)
v1 + v10 = v20 + v2
⇐⇒ v20 = v1 + v10 − v2 .
(3.3)
Dies in (3.2) eingesetzt ergibt
⇐⇒
m1 (v1 − v10 ) = m2 (v1 + v10 − v2 − v2 )
m1 v1 − m1 v10 = m2 v1 + m2 v10 − 2m2 v2
(m1 − m2 )v1 + 2m2 v2
.
⇐⇒ v10 =
m1 + m2
Jetzt noch in (3.3) einsetzen liefert die symmetrische Lösung
v20 =
(m2 − m1 )v2 + 2m1 v1
.
m1 + m2
Mit m2 = 2m1 = m und v1 = −v2 = v folgt
v10 = − 53 v ,
v20 = 31 v .
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(b) Nach dem vollkommen inelastischen Stoß bewegen sich die beiden Kugeln mit
gemeinsamer Geschwindigkeit weiter. Diese Geschwindigkeit ist bereits durch die
Impulserhaltung festgelegt:
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v 0
m1 v1 + m2 v2
.
⇐⇒ v 0 =
m1 + m2
Einsetzen von m2 = 2m1 = m und v1 = −v2 = v ergibt
v 0 = − 13 v .
(3.4)
(c) Der absolute Energieverlust lautet
0
∆Ekin = Ekin − Ekin
= 12 m1 v12 + 21 m2 v22 − 12 (m1 + m2 )v 02
= 21 m(v 2 + 2v 2 − 3v 02 )
(3.4) 1
= 2 m(3v 2
= 34 v 2 .
− 3( 13 v)2 )
Um eine bessere Vorstellung zu bekommen, berechnen wir noch schnell den relativen
Energieverlust:
f=
4 2
v
∆E
8
= 3 3 2 = = 89 % .
E
9
mv
2
Rund 89 % der kinetischen Energie wird in Innere Energie (Wärme, Verformung)
umgewandelt!
Lösung zu Aufgabe 4
Die Impulserhaltung liefert einen Zusammenhang zwischen der gesuchten Geschwindigkeit der Kugel vor dem Einschlag und der Geschwindigkeit des Holzklotzes (mit
feststeckender Kugel) unmittelbar nach dem Einschlag:
mK v = (mK + mH ) v 0
mH
v0 .
⇐⇒ v = 1 +
mK
(4.1)
Die Energieerhaltung gestattet die Berechnung der Geschwindigkeit v 0 aus der Kenntnis der Höhe h:
1
2
(mK + mH ) v 02 = (mK + mH ) gh
p
⇐⇒ v 0 = 2gh .
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(4.2)
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Schließlich wird noch ein Zusammenhang zwischen der Höhe h und dem horizontalen
Abstand x benötigt, den uns der Satz des Pythagoras liefert:
h<l
⇐⇒
l2 = (l − h)2 + x2m
"
r
h=l 1−
x m 2
1−
l
#
.
(4.3)
Jetzt braucht nur noch (4.3), (4.2) und (4.1) ineinander eingesetzt zu werden, um
das Ergebnis
v "
#
r
u
x 2
mH u
t2gl 1 − 1 − m
v = 1+
mK
l
v


s
u
2
u
800 g u
0.2 m

t29.81 m s−2 · 2 m 1 − 1 −
= 1+
5g
2m
= 71.4 m s−1 = 257 km h−1
zu erhalten.
Quellen
Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer,
Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: 978-3-446-41785-4
http://www.hanser-fachbuch.de/buch/Uebungsbuch+Physik/9783446417854
Die Übungsblätter gibt es unter
http://newton.phy.tu-dresden.de/~patommel/Physik
Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter
https://iktp.tu-dresden.de/index.php?id=1113
Jens Patommel <[email protected]>
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