Statistische Methoden für Bauingenieure WS 2013/14

Statistische Methoden für
Bauingenieure
WS 2013/14
Einheit 1: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Univ.Prof. Dr. Christian Bucher
Literatur
Bucher: Computational analysis of randomness in
• C.structural
mechanics, Taylor&Francis, London, 2009.
Viertl: Einführung in die Stochastik, Springer,
• R.Wien-New
York, 3. Aufl. 2003.
2
Einführungsbeispiel
• Kragbalken unter Einzellast
• Durchbiegung
=
können die Auswirkungen zufälliger
• Wie
Schwankungen von Last und System auf die
Durchbiegung quantifiziert werden?
3
Numerische “Experimente”
von mehreren zufälligen Werten für Last
• Erzeugung
und Biegesteifigkeit (“Stichprobe”) entsprechend
einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Durchbiegung für alle Wertepaare
• Berechnung
von Last und Biegesteifigkeit, erzeugt eine
Stichprobe der Durchbiegung
statistischer Methoden auf die
• Anwendung
Stichprobe der Durchbiegung zur Schätzung ihrer
Wahrscheinlichkeitsverteilung
4
Matlab/octave
• Skriptsprache für mathematische Operationen
M Zufallszahlen mit Mittelwert 1 und
• Erzeugt
Standardabweichung 0.1
M=100000;
F=normrnd(1, 0.1, M, 1);
EI=normrnd(1, 0.1, M, 1);
w=F./EI/3.;
hist(F,20);
figure;
hist(EI,20);
figure;
hist(w,20);
pause;
wm=mean(w)
ws=std(w)
5
Histogramme
Last
Biegesteifigkeit
Durchbiegung
6
Wahrscheinlichkeit
• Ereignisse
• Axiome (Kolmogorov)
:
[A]
:
:
[A
[ ]=
[A B] = [A] + [B]
C] = [A] + [C]
[A
C]
7
Komplementärereignis
Ereignis kann nur entweder eintreten oder nicht
• Ein
eintreten
[A] + [Ā] = [ ] =
Ereignis kann nicht gleichzeitig sowohl eintreten
• Ein
als auch nicht eintreten
[
Ā] = [ ] =
8
Bedingte Wahrscheinlichkeit
•
Figure 1: Set representation of events in sample space
Definition
⇥ P [Ā] = 1[AP [A]B]
[A|B]
=
[B]
(4)
• Unabhängigkeit
[A|B] = [A]
[A
B] = [A] [B]
9
Figure 2: Event A and complementary event Ā
Conditional Probability of event A conditional on the occurrence of event B:
P [A|B] =
P [A ⇧ B]
P [B]
(5)
Events A and B are called stochastically independent if P [A|B] = P [A]
Zerlegung⇥ des
Ereignisraums
P [A ⇧ B] = P [A]P [B]
Totale Wahrscheinlichkeit
•is partitioned
into disjoint sets A . . . A
(6)
Figure 3: Event B in disjoint partitioning Ai of
If
then S`Q#[B]
•
1
n
and B is an arbitrary event (cf. Fig. 3),
= S`Q#[B|A ]S`Q#[A ] + . . . + S`Q#[B|A ] [A ]
P [B] = P [B|A1 ]P [A1 ] + . . . + P [B|An ]P [An ]
Bayes’scher Satz
(7)
1.0 – 2./3. Dezember 2004
S`Q#[B|A
]S`Q#[A ] 3
S`Q#[B|A ]S`Q#[A ] + . . . + S`Q#[B|A ]S`Q#[A ]
Weimarer Optimierungs- und Stochastiktage
S`Q#[A |B] =
10
Testverfahren (1)
• Testverfahren zur Schadenserkennung
des Erkennens einer vorhandenen
• W’keit
Schädigung
= .
einer Schadensanzeige bei nicht vorhandener
• W’keit
Schädigung
= .
• W’keit des Vorhandenseins einer Schädigung
= .
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer
• Frage:
tatsächlichen Schädigung, wenn der Test positiv
ausfällt?
11
Testverfahren (2)
• Positives Resultat in zwei Fällen
-
a) wahre Anzeige (Schädigung vorhanden)
b) falsche Anzeige (Schädigung nicht vorhanden)
• Fälle a) und b) schließen sich gegenseitig aus
= S`Q#[A
B] = S`Q#[B|A] · S`Q#[A]
=
· = .
= S`Q#[Ā B] = S`Q#[B|Ā] · S`Q#[Ā]
=
·(
)= .
• W’keit eines positiven Testresultats
S`Q#[B] = .
+ .
= .
12
Testverfahren (3)
• Anwendung des Bayes’schen Satzes
S`Q#[A|B] = S`Q#[A
=
= .
·
B]/S`Q#[B]
·
+
·(
)
/ .
= .
geringe W’keit für tatsächlich vorhandene
• Sehr
Schädigung bei positivem Testergebnis
• Folgerung: Test ist kaum brauchbar
13
Zufallsvariable
• Ereignis
A={ | < }
• Eintretenswahrscheinlichkeit
•
[ ]= ( )
Verteilungsfunktion
•
Grenzwerte
( )= [ < ]
( )= ;
+
( )=
• Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
( )=
( )
14
Verteilungsfunktion und
Dichtefunktion
( )
( )
15
Erwartungswerte
• Mittelwert
¯ = 1[ ] =
( )
• Varianz (Quadrat der Standardabweichung)
= 1[(
¯) ] =
¯)
(
( )
• Variationskoeffizient (dimensionslos)
=
¯
;
¯=
• Erwartungswertbildung ist eine lineare Operation
1[ + ] = 1[ ] + 1[ ];
1[
] = 1[ ]
16
Standardisierung
• Definition einer standardisierten Variablen
¯
=
• Mittelwert
1[ ] =
1[ ¯ ]) =
(1[ ]
• Varianz
1[(
1[ ] =
¯) ] =
=
17
Einige W’keitsverteilungen (1)
• Normalverteilung (Gauß’sche Verteilung)
( )=
¯)
(
( )=
¯
(
);
;
< <
( )=
(
)
• Lognormalverteilung
(
( )=
( )=
(
µ
)
µ=¯
µ)
(
)
);
;
<
=
(
¯
+ )
18
Einige W’keitsverteilungen (2)
• Gumbelverteilung
{ (
( )=
{
( )=
¯ =µ+
µ)
;
=
[ (
[ (
;
µ) ]}
µ) ]}
= .
...
• Weibullverteilung
( )=
¯ =µ·
+
;
µ
;
=µ
+
+
19
Vergleich
• Alle Verteilungen mit Mittelwert 1 und Standardabw. 0.5
¯
σ
α
µ
µ
µ
20
Nichtlineare Funktionen einer
Zufallsvariablen
• Monotone Abbildungsvorschrift
+/
= ( )
= ( )
• Transformierte Zufallsvariable
+/
= ( )
• Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
[
+
]= [
( )=
+
( )
]= ( )
= [
=
( )
( )
( )]
21
Quadratische Funktion (1)
• Trennen in zwei monotone Bereiche
= ( )=
;
=
;
=
• Zusammensetzen der Dichtefunktion
( )=
=
(
)
+ (
[ (
)+ (
)
)]
22
Quadratische Funktion (2)
• Für normales X mit Mittelwert 1 und Standardabw. 0.1
( )=
(
)
.
. ·
+
(
)
.
¯ = 1[ ] = 1[ ] = ¯ +
= + . = .
= 1[ ] 1[ ] = 1[ ] ( ¯ + ) =
¯
¯
=¯ + ¯
+
=
= ¯
+
= . + .
= .
( )
= .
( )
23
Erzeugung von Zufallszahlen
mit vorgegebenen Verteilungen
• Matlab/octave Skript
Stichprobe
• Erzeugt
entsprechend vorgegebener
Verteilungen
• Einige
Standardverteilungen
verfügbar
Verteilungen durch
• Andere
Transformation realisierbar
M=100000;
mittel=1
std=0.5
x1=normrnd(mittel, std^2, M, 1);
hist(x1,20);
%
s=sqrt(log((std/mittel)^2+1))
mu=mittel*exp(-s^2/2)
x2=lognrnd(log(mu), s, M, 1);
figure;
hist(x2,20);
%
x3=wblrnd(1.129, 2.102, M, 1);
figure;
hist(x3,20);
pause;
24
Histogramme
Normalverteilung
Weibullverteilung
Lognormalverteilung
25