Quanten Chaos - Dr. Andreas Windisch

Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Quanten Chaos
Andreas Windisch
Vortrag zu Theoretische Festkörperphysik
01. März 2010
Andreas Windisch
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Überblick - Gliederung des Vortrages
1
Klassisches Chaos
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
2
Quanten Chaos
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Andreas Windisch
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Gliederung
1
Klassisches Chaos
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
2
Quanten Chaos
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Andreas Windisch
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Was ist Chaos?
Anfang des 18. Jahrhunderts schrieb Gottfried Willhelm Leibniz (1646 1716), [Lei96]:
Von dem Verhängnisse
Daß alles durch ein festgestelltes Verhängniß herfürgebracht werde, ist eben so gewiß,
als daß drey mal drey neun ist. [...] Wenn einer eine gnugsame Insicht in die innern
Theile der Dinge haben könnte [...] würde er ein Prophet seyn, und in dem
Gegenwärtigen das Zukünftige sehen, gleichsam als in einem Spiegel.
deterministisches System
stochastisches System
Andreas Windisch
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Klassisches Chaos: Wo irrt Leibniz?
Anfangsbedingungen sind niemals beliebig genau bekannt
Die einzelne Trajektorie ist daher nicht sinnvoll
Allenfalls eine Verteilung von Trajektorien macht Sinn
Was ist Chaos?
Chaos bedeutet Sensitivität auf Anfangsbedingungen
|δ~x (t)| ≈ eλt |δ~x (0)|
(1)
mit λ Ljapunov -Exponent. Bis zur Ljapunov -Zeit
1
T ≈ − ln |δx|/L
λ
ist die Dynamik bestimmbar, L charakteristische, lineare
Ausdehnung.
Andreas Windisch
Quanten Chaos
(2)
Klassisches Chaos
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Zusammenfassung
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Gliederung
1
Klassisches Chaos
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
2
Quanten Chaos
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
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Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Klassisches Chaos: ein Beispiel
Figure: Des Physikers Flipper
ideale elastische Stöße
konstante Geschwindigkeit
zweidimensionales Problem
Figure: Sensitivität auf
Anfangsbedingungen,[Cvi00]
Wann erfolgt Chaos?
Chaos braucht λ > 0 und Mischung
Andreas Windisch
Quanten Chaos
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Mit FORTRAN95 simulierte Trajektorien
2D - Pinball Game
2D - Pinball Game
Trajectories for diff. initial conditions
Trajectories for diff. initial conditions
2
2
2313231
2123132
1.5
1.5
21231232
3
2313
1
y-pos
y-pos
1
0.5
1
0.5
2
1
0
-0.5
Phi = 1.2168 rad
Phi = 1.2158 rad
-0.5
0
r=a/2, phi=PI/4
r=a/2-0.001, phi=PI/4
0.5
x-pos
1
1.5
2
-1
-1
-0.5
0
1
2D - Pinball Game
periodic trajectory, one cycle evolved
2
2
1.5
3
1.5
2
1.5
2
3
1
y-pos
1
y-pos
0.5
x-pos
2D - Pinball Game
Periodic trajectory, one cycle evolved
1.5
0.5
1
0.5
2
1
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
2
0
-0.5
-1
-1
3
-0.5
0
0.5
x-pos
1
1.5
Andreas Windisch
2
-1
-1
-0.5
0
2
0.5
x-pos
Quanten Chaos
1
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Analyse eines chaotischen Systems
Analyse
Diagnose: Feststellen der intrinsischen Dimension
Zählen und klassifizieren topologisch unterschiedliche
Trajektorien
Gewichten der Systemteile
Figure:
Skizze: Binäres Alphabet für 3-Scheiben-Flipper-Trajektorie, [Cvi00]
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Quanten Chaos
Klassisches Chaos
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Zusammenfassung
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Periodische Orbits, Poincaré-Schnitte und
symbolische Dynamik
Figure:
Figure:
Skizze: Periodische Trajektorien,[Cvi00]
Andreas Windisch
Poincaré-Schnitte (oben) und
Trajektorien für ein- und zweimaliges Abprallen
(unten),[Cvi00]
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Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Zusammenfassung Flipper
Wir halten fest:
Flipper (Billiard) zeigt chaotische Dynamik
Formalisierung: Symbolische Dynamik
Escape Rate und Periodic Orbit Theory
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Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Gliederung
1
Klassisches Chaos
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Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
2
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Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
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Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Logistisches Wachstum
Nn+1 = a · Nn
(3)
y
0.5
mit a Vermehrungsfaktor. Futtermangel in der n-ten
Generation reduziert den Vermehrungsfaktor:
0.4
0.3
Nn+1 = a · Nn (1 − bNn ).
(4)
0.2
0.1
Stationärer Zustand der Bevölkerung (Fixpunkt) bei:
x
Nn+1 = Nn = Nst ⇒ b =
a−1
a · Nst
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y
(5)
0.8
0.6
a < 1: Bevölkerung stirbt aus, auch wenn b = 0,
a > 0 und b = 0: Bevölkerung wächst. Mit
x = b · N ≤ 1 geht (4) in die Verhulst-Gleichung
über:
2
xn+1 = axn (1 − xn ) = axn − axn .
0.4
0.2
x
(6)
Mit Normierung x ≤ 1 folgt a ∈ [0, 4].
Andreas Windisch
Figure:
Oben: a = 2, x0 = 0.1, xf = 0.5;
Unten: a = 3.5, x0 = 0.1, Oszillationen, [Dem05]
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
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Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Das Feigenbaum-Diagramm
Bifurcation Diagram for the Logistic Map
x(n+1)=a*x(n)*(1-x(n))
1
Nullfolge
0.8
Bifurkation bei a = 3
0.6
x
Oszillationen
0.4
periodische ’Fenster’
stabiler Fixpunkte
0.2
0
2.75
3
3.25
Parameter a
3.5
3.75
4
Figure: Feigenbaumdiagramm,
erstellt mit einem
FORTRAN95-Programm
Andreas Windisch
rationale/irrationale
Startwerte
exakte Lösung für a = 4
Quanten Chaos
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Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Gliederung
1
Klassisches Chaos
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
2
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Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
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Klassisches Chaos
Quanten Chaos
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Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
Weitere Beispiele...
Weitere Beispiele für Chaos
N-Körper Problem, Planetenbahnen, [Sot08]
Herzschlag
Doppelpendel
Börse
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Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
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1
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Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
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Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
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Quanten Chaos
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Quanten Chaos
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Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Quanten Chaos
Schrödinger-Gleichung ist linear - Chaos?
Korrespondenzprinzip
Trajektorie?
Wellenchaos
∆x∆p ≥
1
~
2
Was ist ’Quantenchaos’?
Mit Quantenchaos meint man das quantenmechanisches Verhalten
klassischer, chaotischer Systeme
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Quanten Chaos
(7)
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Äquivalenz: stationäre Schrödinger-Gleichung und
Helmholtz-Gleichung
Stationäre Schrödinger-Gleichung:
2
−
Ansatz: ~
2m
∆ψ = i~
∂ψ
∂t
˛
˛
ψ ˛˛
,
Stationäre Wellengleichung (Helmholtz-Gleichung):
=0
(8)
(∆ −
S
Ansatz: ψn (x, t) = ψn (x)e
−iωn t
2
(∆ + kn )ψn (x) = 0
Dispersionsrelation:
ωn =
⇒
(9)
1 ∂2
c 2 ∂t 2
)ψ = 0
ψn (x, t) = ψn (x)e
(10)
−iωn t
2
~
2
kn .
(11)
Andreas Windisch
Quanten Chaos
⇒
(13)
(∆ + kn )ψn (x) = 0
(14)
ωn = ckn .
(15)
Dispersionsrelation:
2m
(12)
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Gliederung
1
Klassisches Chaos
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
2
Quanten Chaos
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
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Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Wellenpaket aus Superposition von Eigenfunktionen
Wellenpaket aus Superposition von Eigenfunktionen:
1-dim Box (0-l): Wie propagiert das Paket?
ψ(x, t) =
X
an ψn
−iωn t
(x)e
(16)
n
Eigenfunktionen:
s
Gauß um k mit Breite ∆k :
ψn (x) =
1 kn − k 2
an = a exp[− (
) ],
2
∆k
2
l
sin kn x, n = 1, 2, 3, . . . ,
kn =
(17)
nπ
l
.
(18)
(19)
Einsetzen in (16):
mit a Normierung.
s
ωn inkommensurabel: Funktion
quasiperiodisch
Reskonstruktion des Wellenpaketes
Andreas Windisch
∞
2 X
1 kn − k 2
−iωt
exp[− (
) ] sin kn xe
i
2
∆k
(20)
Diese Gleichung gilt sowohl für Wellen, als auch
Teilchenpakete, je nach Dispersionsrelation.
ψ(x, t) = a
Quanten Chaos
l n=1
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Propagation des Wellenpaketes
Rechnen für Wellen (lineare Dispersion):
Nutzen Poisson-Summen-Relation (Vgl. Skriptum),
es folgt:
ψ(x, t) =
∞
X
Vergleich von (20) und (21)
[φ(x − ctm ) − φ(l − x − ctm+1 )],
(21)
1
Glg (20): ψ(x, t) ausgedrückt in
Termen von Eigenfunktionen des
Systems
,
(22)
2
(x∆k ) ].
(23)
Glg (21): ψ(x, t) ist Puls der mit
Geschwindigkeit c propagiert und an
den Wänden reflektiert wird
m=−∞
tm = t − m
s
φ(x) = 2a
l
π
∆k exp[ik x −
1
2
2l
c
2
Gegensätzlichkeit
Interpretation von (21)
Ein Gauß’sches Wellenpaket der Breite ∆x = 1/∆k
und Geschwindigkeit c läuft zwischen zwei Wänden
hin und her, bei jeder Reflexion ändert sich das
Vorzeichen.
Andreas Windisch
Quantenmechanisches Spektrum auf der einen,
klassische Trajektorien auf der anderen Seite:
Hauptbestandteil semiklassischer Theorien,
insb. der Gutzwiller Spur-Formel.
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Mikrowellenpuls in Kavität
Figure:
Propagation eines Mikrowellenpulses in
einem Viertelstadion,[Sto95]
Andreas Windisch
Figure:
Dreidimensionale Ansicht der
Pulspropagation von (a) und (f),[Sto95]
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Gliederung
1
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Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
2
Quanten Chaos
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Andreas Windisch
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Kicked Rotator
Hamiltonfunktion:
H (t) =
X
L2
+ k cos Θ
δ(t − nT ).
2I
n
(24)
Bewegungsgleichungen:
Θ̇ =
∂H
,
∂L
L̇ = −
∂H
∂Θ
(25)
und somit
Θ̇ = L,
L̇ = k sin Θ
X
δ(t − n).
n
Andreas Windisch
Quanten Chaos
(26)
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Chirikov’s Standard Map
Chirikov’s Standard Map:
0.9716
0
Π
2Π
2Π
Θn+1 = Θn + Ln+1
(27)
Ln+1 = Ln + k sin Θn
(28)
2Π
Π
Π
0.2
0
Π
0
2Π
2Π
0
0
2Π
Π
2Π
5
0
Π
2Π
2Π
Π
2Π
Π
Π
0
Π
0
0
Π
2Π
0
0
0
Figure:
Poincaré-Schnitt der Standard Map für
k = 0.2, [Wei06]
Andreas Windisch
Figure:
Π
2Π
Poincaré-Schnitte der Standard Map für
k = 0.9716 und k = 5, [Wei06]
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Floquet Operator
Zeitentwicklung des
quantenmechanischen Zustandes:
ψn = F n ψ0
(29)
mit ψ0 und ψn Zustandsvektoren am
Anfang und nach n-tem Kick. F ist
Floquet-Operator :
i
iT L2
),
F = exp(− k cos Θ) exp(
~
~ 2I
(30)
∂
mit L Operator −i~ ∂Θ
.
Andreas Windisch
Figure:
Drehimpulsverteilung gekickter Rotator
mit k = kC = 0.0716 . . . linear (a) und
logarithmisch (b) skaliert. Die Autoren gingen von
einem L Eigenzustand mit L = 3.2~ aus,[TG86]
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
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Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Gliederung
1
Klassisches Chaos
Was ist Chaos?
Beispiel: Flipperautomat
Beispiel: Logistische Gleichung
Weitere Beispiele
2
Quanten Chaos
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Andreas Windisch
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Ausgangspunkt
Randbedingungen:
~ ×~
∇
E =−
∂~
B
,
(31)
,
∂t
~
~
∇D = 0,
(32)
~~
∇
B = 0,
(34)
~ =
~ ×H
∇
∂t
∂~
D
0
(39)
˛
˛
EZ ˛˛
= 0,
S
˛
˛
∇⊥ BZ ˛˛
= 0,
(40)
S
TM:
(35)
EZ (x, y , z) = E(x, y ) cos(
nπz
d
),
(36)
n = 0, 1, 2, . . .
(41)
BZ (x, y , z) = 0,
(42)
wobei E(x, y ) der zweidimensionalen
Helmoltz-Gleichung
verknüpft sind. Mit periodischem
elektromagnetischen Feld sind die
Helmholtz-Gleichungen:
2
[∆ + k − (
2
n̂~
B = 0,
Zylindergeometrie:
(33)
wobei in Vakuum das Displacement D und die
Induktion B mit E und H über
~
D = 0 ~
E,
~
~
B=µ H
n̂ × ~
E = 0,
(∆ + k )~
E = 0,
(37)
2
(∆ + k )~
B = 0, k = ω/c.
(38)
Andreas Windisch
nπ 2
) ]E = 0,
d
mit Dirichlet Randbedingung genügt.
Quanten Chaos
(43)
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Mikrowellen-Billiard
TE:
EZ (x, y , z) = 0,
nπz
)
BZ (x, y , z) = B(x, y ) sin(
d
n = 1, 2, 3, . . .
(44)
Vollständige Äquivalenz zur 2-dim
Schrödingergleichung für ein Teilchen in einer Box
mit unendlich hohen Wänden, inkl. RB!
(45)
wobei B(x, y ) nun der zweidimensionalen
Helmholtz-Gleichung
2
[∆ + k − (
nπ 2
) ]B = 0,
d
˛
˛
mit Neumann Randbedingungen ∇⊥ B(x, y )˛˛
(46)
=0
S
genügt. Für Frequenzen ν < c/2d korrespondiernd
zu Wellenzahlen k < π/d sind nur TM Moden mit
n = 0 möglich, und wir haben:
2
(∆ + k )E = 0.
(47)
Andreas Windisch
Figure:
Teil eines Mikrowellen-ReflexionsSpektrums einer Kavität in Form eines
Viertelstadions, (b = 20cm, l = 36cm) mit
h = 0.8cm. Jedes Minimum in der reflektierten
Mikrowellenleistung entspricht einer
Resonator-Eigenfrequenz., [HJS90]
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Welche Information steckt in so einem Spektrum?
Verteilungsfunktion P(s) für sn = En − En−1
1
Rechteckiger Resonator (a): klass. Dynamik
integrabel,
Erwarten Verteilung: P(s) = exp(−s),
signifikante Abweichungen für kleine s,
Grund: endliche Breite der Resonanzkurve.
2
Rechteckiger Resonator (b): Gleicher
Resonator wie in (a), nun aber
höherer Frequenzbereich. Keine
Ähnlichkeit mit der erwarteten Verteilung.
3
Viertelstadion (c): Gute Übereinstimmung mit
der Wigner-Verteilung
s exp(− π
s2 )
P(s) = π
2
4
(durchgezogene Linie), die in chaotischen
Systemen häufig auftritt.
Andreas Windisch
Figure:
Nächste-Nachbarn-Abstand Diagramme
für rechteckige Resonatoren (a) 5 − 10GHz und (b)
15 − 18GHz [FH91] und für das Viertelstadion
[HJS90]
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Gibt es Quanten Chaos?
Beispiel: Teilchen in einer Box
Beispiel: Kicked Rotator
Mikrowellen Billiards
Supraleitende Kavitäten
Güte des Resonators Q = ω0 /∆ω, ∆ω = 1/τ
1
Güte für normal leitende Resonatoren
etwa r
103 bis 104 , Skineffekt, Eindringtiefe
δ=
2
.
µ0 ωσ
2
Bis auf eine Konstante ist die Güte durch
(Energie im Resonator)/(Energie in Wänden)
gegeben.
3
Die Experimente wurden verbessert, Güten
von 105 bis 107 wurden erzielt
(Supraleitung).
4
Sehr scharfe Spektren.
Andreas Windisch
Figure:
Teil eines Spektrums eines Niob
Mikrowellenresonantors in Form eines
Viertelstadions. Das obere Spektrum wurde bei
Raumtemperatur T = 300K , das untere bei T = 2K ,
supraleitend, aufgenommen. Im rechten oberen Eck
sieht man die Versuchsanordnung mit den drei
gekoppelten Mikrowellenantennen, [DG92]
Quanten Chaos
Klassisches Chaos
Quanten Chaos
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Zum Mitnehmen: erster Teil
Ein deterministisches System nennt man chaotisch, wenn es
einen positiven Ljapunov-Exponenten λ > 0 aufweist und die
Trajektorien ’mischen’ können.
Zum Mitnehmen: zweiter Teil
Das Gebiet ’Quantenchaos’ beschäftigt sich mit
quantenmechanischen Aspekten klassischer, chaotischer
Systeme. Man nutzt Äquivalenzen wie etwa die der
Schrödinger-Gleichung und der Helmholtz-Gleichung.
Andreas Windisch
Quanten Chaos
Appendix
Literatur I
P. Cvitanovic.
Classical and Quantum Chaos.
Free download at: http://www.nbi.dk/ChaosBook, 2000.
Wolfgang Demtroeder.
Experimentalphysik 1 - Mechanik und Waerme.
Springer Berlin, Heidelberg, New York, Kaiserslautern, 2005.
H.L. Harney H. Lengeler C.H. Lewenkopf C. Rangacharyulu A. Richter P. Schardt H.A. Weidenmueller
D. Graef.
Distribution of Eigenmodes in a Superconducting Stadium Billiard with Chaotic Dynamics.
PHYSICAL REVIEW LETTERS, Volume 69, 1296, 1992.
G. Lenz P. Seba J. Stein H.J. Stoeckmann K. Zyczkowski F. Haake.
Manifestation of wave chaos in pseudointegrable microwave resonators.
PHYSICAL REVIEW A, Volume 44, R6161, 1991.
J. Stein H.-J. Stoeckmann.
’Quantum’ Chaos in Billiards Studied by Microwave Absorption.
PHYSICAL REVIEW LETTERS, Volume 64, 2215, 1990.
J.D. Jackson.
Classical Electrodynamics.
John Wiley & Sons, New York, 1962.
Andreas Windisch
Quanten Chaos
Appendix
Literatur II
Gottfried Wilhelm Leibniz.
Philosophische Werke in vier Baenden.
FELIX MEINER Verlag Hamburg, 1996.
Zusammenstellung von Ernst Cassirer, Band 2.
Steven Soter.
Am Rande des Chaos.
Spektrum der Wissenschaft, Jan. 2008.
J. Stein H.-J. Stoeckmann U. Stoffregen.
Microwave Studies of Billiard Green Functions and Propagators.
PHYSICAL REVIEW LETTERS, Volume 75, 23, 1995.
H-J Stoeckmann.
Quantum Chaos - an introduction.
Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
J. Rubner T. Geisel, G. Radons.
Kolmogorov-Arnol’d-Moser Barriers in the Quantum Dynamics of Chaotic Systems.
PHYSICAL REVIEW LETTERS, Volume 57, 2883, 1986.
Eric Weisstein.
Standard Map.
Mathematica Notebook, download at
http://mathworld.wolfram.com/notebooks/DynamicalSystems/StandardMap.nb, 2006.
Andreas Windisch
Quanten Chaos