2 Vektoren im Koordinatensystem xyz
Werbung
2 Vektoren im Koordinatensystem Um Vektoren auch mit Zahlen ausdrücken zu können, benutzen wir das Kartesische Koordinatensystem in zwei oder drei Dimensionen. Dieses wird über folgende Basisvektoren definiert: e�0 e�1 e�2 Länge Richtung (Konvention) eine Einheit eine Einheit eine Einheit horizontal gegen uns horizontal nach rechts vertikal nach oben Mit diesen Basisvektoren können wir das Kartesische Koordinatensystem in drei Dimensionen aufbauen (→ Abbildung 6). Falls wir nur zwei Dimensionen benötigen, lassen wir e2 weg. Diese Basis heisst orthonormal, da alle Basisvektoren rechtwinklig zueinander sind und Länge 1 haben. z e2 e1 y e0 x Abbildung 6: Das Koordinatensystem Wir können nun einen Vektor nach den Einheitsvektoren zerlegen. In Abbildung 7 wird die Zerlegung eines Vektors, welcher drei Einheiten in x-Richtung, zwei Einheiten in y-Richtung und eine Einheit in z-Richtung verläuft, dargestellt. Die Zerlegung nach den Einheitsvektoren kann man also wie folgt darstellen: 3e�0 + 2e�1 + e�2 . 8 e0 e0 e0 e1 e2 e1 Abbildung 7: Ein Vektor zerlegt nach Einheitsvektoren Definition 2.1. Seien vx , vy und vz reelle Zahlen, so dass wir einen Vektor �v wie folgt nach den Einheitsvektoren zerlegen können: �v = vx�e0 + vy �e1 + vz �e2 So schreiben wir für den Vektor �v : vx �v = vy vz Die Werte vx , vy und vz nennen wir die Komponenten eines Vektors. Bewegen wir uns nur in zwei Dimensionen lassen wir die letzte Komponente vz weg. Den in Abbildung 7 abgebildeten Vektor könnten wir gemäss obiger Definition als den Vektor schreiben. 3 2 1 Auf diese Art sind die Richtung und die Länge des Vektors im Koordinatensystem festgelegt. Wir können die Länge nicht sofort aus den Komponenten ablesen. Wie in Abbildung 8 gezeigt, kann die Länge eines Vektors aber aus den Komponenten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden. Die präzise Herleitung verläuft gleich wie die der Berechnung der Länge einer Diagonalen in einem Quader. 9 2 2 � vx vx + 2 vy + vz vz � vx 2 + vy 2 vy Abbildung 8: Länge eines Vektors Satz 2.1 (Länge eines Vektors). Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten des Vektors. Das heisst, für einen Vektor vx �v = vy vz ist die Länge ��v � = � vx 2 + vy 2 + vz 2 . Diese Längenmessung wird auch Euklidische Norm genannt. Sie ist die aus der Euklidischen Geometrie offensichtlichste Art, die Länge eines Vektors zu messen. Je nach Anwendung, für welche die Vektoren benutzt werden, ist es aber nicht die einzig mögliche und manchmal nicht einmal die sinnvollste. 2.1 Operationen Im Folgenden möchten wir die Operationen, welche wir in Kapitel 1 konstruktiv definiert haben nun auch rechnerisch definieren. Dabei soll das Hauptziel sein, dass die Definitionen im Koordinatensystem den ursprünglichen, konstruktiven Definitionen nicht widersprechen. In dem Sinne handelt es sich nicht um neue Definitionen, sondern um eine Erweiterung der schon bekannten. Durch eine Skizze können wir leicht prüfen, dass wir für die Addition von Vektoren einfach die einzelnen Komponenten zusammenzählen dürfen. Dies führt uns zu der Definition der Addition im Koordinatensystem. Definition 2.2 (Addition). Die Addition von Vektoren �u und �v im Koordinatensystem definieren wir wie folgt: vx ux + v x ux �u + �v = uy + vy := uy + vy uz vz uz + v z Auch bei der Negation wird schnell klar, dass wir einfach die einzelnen Komponenten negieren können und so einen Vektor in entgegengesetzter Richtung erhalten. 10 Definition 2.3 (Negation). Die Negation eines Vektors �v wird wie folgt definiert: −vx vx −�v = − vy := −vy vz −vz Nun fehlt nur noch eine Definition, welche mit der in Kapitel 1.2 definierten Skalarmultiplikation übereinstimmt. Aber auch hier wird durch eine Skizze sofort klar, dass wir einfach die einzelnen Komponenten mit dem entsprechenden Skalar multiplizieren können. Definition 2.4 (Skalarmultiplikation). Einen Skalar λ und einen Vektor �v multiplizieren wir im Koordinatensystem wie folgt: λvx vx λ�v = λ vy := λvy vz λvz Im Kapitel 1.2 haben wir gesehen, dass die Skalarmultiplikation einen Vektor um einen Faktor verlängert oder verkürzt. In der Definition 2.4 ist vorerst nicht klar, dass hier wirklich der Vektor um s verlängert oder verkürzt wird. Es werden nur die einzelnen Komponenten des Vektors mit λ multipliziert. Der folgende Satz zeigt daher, dass sich mit dieser Multiplikation auch die Länge genau um λ verändert. Satz 2.2. Sei �a ein Vektor und λ ein Skalar. So gilt �λ�a� = λ��a� Beweis. Wir betrachten einen Vektor ax �a = ay az und einen Skalar λ. Nach Definition 2.1 können wir nun die Länge des Vektros λ�a berechnen. � � � λax � � � � �λ�a� = � � λay � � λaz � � = (λax )2 + (λay )2 + (λaz )2 � = λ2 a2x + λ2 a2y + λ2 a2z � = λ2 (a2x + a2y + a2z ) √ � = λ2 (a2x + a2y + a2z ) = λ��a� 11 Manchmal sind wir nur an der Richtung eines Vektors interessiert, nicht aber an seiner Länge. In dieser Situation ist es oft vorteilhaft, einen Vektor zu haben, welcher dieselbe Richtung wie unser Vektor hat, aber genau die Länge eins. Dies erreichen wir durch einen Prozess den wir normieren eines Vektors nennen. Satz 2.3 (Normieren). Multiplizieren wir einen Vektor �u mit dem Kehrwert seiner eigenen Länge, erhalten wir einen Vektor mit Länge 1. Das heisst, für den Vektor ux 1 1 uy �v := �u = � ��u� ux 2 + uy 2 + uz 2 u z gilt ��v � = 1. Beweis. Unter Verwendung des Satzes 2.2 kann dies durch eine kurze Rechnung gezeigt werden: � � � 1 � 1 ��u� � ��v � = � = �u� ��u� = =1 � ��u� ��u� ��u� 12
