Lineare Algebra II — Bearbeitungsvorschlag —

Prof. Dr. A. Lytchak
Lineare Algebra II
— Bearbeitungsvorschlag —
9. a) Mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmt sich der ggT zu X 2 + X + 1;
, − π4 , π4 , 3π
.
b) Die Nullstellen von X 4 +1 in C sind gegeben durch eiϕ mit ϕ = − 3π
4
4
3π
π
π
3π
−i 4
−i 4
i4
i 4
4
Also ist X + 1 = (X − e
)(X − e )(X − e )(X − e ) eine Zerlegung in irreduzible Faktoren in C[X]. Fassen wir die komplex konjugierten
Nullstellen zusammen und verwenden
√ für komplexe Zahlen
√ z + z̄ = 2Re(z)
z, so erhalten wir X 4 + 1 = (X 2 − 2X + 1)(X 2 + 2X + 1). Dies ist eine
Zerlegung in irreduzible Faktoren in R[X],
denn die Faktoren haben Grad
√
/ Q steigt diese Zerlegung nicht
2 und keine Nullstellen in R. Wegen 2 ∈
ab zu einer Zerlegung in Q[X]. Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung in
irreduzible Faktoren muss aber dann X 4 + 1 irreduzibel in Q[X] sein.
10. a) Nachrechnen.
√
1
. Sei nun a + −5b ∈ R \ {0}.
b) Für komplexe Zahlen z 6= 0 gilt |z −1 | = |z|
√
Wegen |a + −5b|2 = a2 + 5b2 ≥ 1 sind die einzigen invertierbaren Elemente
in R gerade ±1.
c) Ein Element r ∈ R heisst irreduzibel, wenn aus r = pq folgt, dass p oder q
invertierbar sind (also nach Teil b) entweder gleich +1 oder -1.)
√
√
√
Die √möglichen komplexen Beträge ≤ 6√von
d) Es gilt |1 ± −5| = 6. √
Elementen in R sind: 0, 1, 2, 5, 6. Also sind die Elemente 2, 3 und 1± −5
irreduzibel.
11. a) Ergänzt man eine Basis von U zu einer Basis von V , so hat die darstellende
Matrix von f bezüglich dieser Basis Blockgestalt.
b) Z.B. ist X 4 + X + 1 irreduzibel über F2 .
12. Eine obere Dreiecksmatrix A ∈ C5×5 mit allen Diagonalelementen gleich 1 hat
malg (1) = 5. Man kann nun jede Zahl i = 1, . . . , 5 als mgeo (1) realisieren indem
man i Einsen auf der Nebendiagonalen (also den Einträgen akk+1 ) wählt und
sonst nur Nullen.