Grundlagen der Physik II - Institut für Experimentelle Physik

Grundlagen der Physik II
Othmar Marti | 05. 07. 2007 | Institut für Experimentelle Physik
Physik, Wirtschaftsphysik und
Lehramt Physik
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Wärmelehre |
Grundlagen der Physik II |
05. 07. 2007
Klausur
Die Klausur findet am 26. Juli 2007 von 9:00-11:00 im Hörsaal
H2 (eventuell auch H14) statt. Hilfsmittel: 6 Seiten (3 Blätter)
A4 von eigener Hand beschrieben, Taschenrechner.
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Eselsbrücken
Eselsbrücke für thermodynamische Potentiale
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1. Schwere Unwetter Verwüsteten Heute früh pyramidische
Gebäude-Trakte.
2. Seidene Unabhängige Variablen Haben Funktional
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3. Studenten Untersuchen Verhalten heutiger Forscher per
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9. S U V Hilft Fysikern pei Grossen Taten
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Veränderung der Gleichgewichtslage bei veränderten
Nebenbedingungen
Links ist das Feder-Masse-Pendel ohne Gravitationsfeld zu
sehen, rechts mit Gravitationsfeld.
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Veränderung der Gleichgewichtslage bei veränderten
Nebenbedingungen
Ein Feder-Masse-Pendel wird durch die Federkraft
F (z) = −k z
beschrieben. Dies führt zur potentiellen Energie
1 2
kz
2
Wird nun die Gravitation eingeschaltet, so verlängert sich die
Feder wegen der Gravitationskraft F (z) = mg auf
g
z0 = m
k
Die Gravitation hat die potentielle Energie
Epot (z) =
Epot, Gravitation = −mg z
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Veränderung der Gleichgewichtslage bei veränderten
Nebenbedingungen
Feder−Masse−Pendel im Gravitationsfeld
8
6
Feder
Gravitation
kombiniert
4
Epot [J]
Seite 7
2
0
−2
−4
−10
−5
0
5
10
z [m]
Einfluss der Gravitation auf die potentielle Energie beim
Feder-Masse-Pendel.
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Isotherm-isochore Bedingungen
Offenes System ⇒ Entropie und Energie der Umgebung muss
mitberücksichtigt werden
SSyst + SUmgebung
dU − δW
T
dU − δW − T d S = 0
dS=
dU + p d V − T d S = 0
dU − T d S = dU − T d S − S d T = d(U − TS) = 0
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Isotherm-isochore Bedingungen
Bei isotherm-isochoren Bedingungen (T = const und
V = const) ist die freie Energie
F = U − TS
minimal.
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Isotherm-isobare Bedingungen
Bei isotherm-isobaren Bedingungen (T = const und
p = const) ist die freie Enthalpie
G = U + pV − TS
minimal.
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Adiabatisch-isobare Bedingungen
Bei adiabatisch-isobaren Bedingungen (δQ = 0 und
p = const) ist die Enthalpie
H = U + pV
minimal.
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Adiabatisch-isochore Bedingungen
Bei adiabatisch-isochoren Bedingungen (δQ = 0 und
V = const) ist die innere Energie
U
minimal.
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Allgemeine Formel für spezifische Wärmen
cp, mol − cV , mol = R
Wie gross ist aber cp, mol − cV , mol ?
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Allgemeine Formel für spezifische Wärmen
∂Q
∂S
CV =
=T
dT V
∂T V
δQ
∂S
Cp =
=T
dT p
∂T p
Die Entropie soll S (p,T ) vom Druck und der Temperatur
abhängen.
"
#
∂S
∂S
δQ = TdS = T
dp +
dT
∂p T
∂T p
Definition von Cp
δQ = Cp dT + T
∂S
∂p
dp
T
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Allgemeine Formel für spezifische Wärmen
Wir teilen durch dT und erhalten
δQ
∂S
∂p
= Cp + T
∂T V
∂p T ∂T V
Zur weiteren Berechnung drücken wir dp als Funktion von T ,V
aus
∂p
∂p
dp =
dT +
dV
∂T V
∂V T
Da wir CV suchen,
ist das Volumen konstant, der zweite
∂p
Summand , ∂V
dV , ist gleich null.
T
CV =
δQ
∂T
= Cp + T
V
∂S
∂p
T
∂p
∂T
V
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Allgemeine Formel für spezifische Wärmen
Maxwellrelation
∂V
=−
∂T p
T
∂V
∂p
CV = Cp − T
∂T p ∂T V
∂S
∂p
Wir ersetzen nun die beiden partiellen Ableitungen durch den
Volumenausdehnungskoeffizienten α und die isotherme
Kompressibilität κ.
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Allgemeine Formel für spezifische Wärmen
Die Definition des Volumenausdehnungskoeffizienten lautet
1 ∂S
1 ∂V
α=
=−
V ∂T p
V ∂p T
Damit kann
∂V
∂T p
umgeschrieben werden. Um
∂p
∂T
V
(bei
konstantem Volumen, d.h. dV = 0!) umzuschreiben setzen wir
an
∂V
∂V
0 = dV =
dp +
dT
∂p T
∂T p
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Allgemeine Formel für spezifische Wärmen
dp
∂V
∂p
= −dT
T
∂V
∂T
p
Wir teilen durch dT und bringen alle partiellen Ableitungen auf
die rechte Seite.
∂V
∂p
∂T p
= − ∂V
∂T V
∂p
T
Mit der Definition der isothermen Kompressibilität
1 ∂V
κ=−
V ∂p T
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Allgemeine Formel für spezifische Wärmen
∂p
∂T
=
V
α
κ
CV = Cp − T · V ·
α2
κ
α2
κ
Die Gleichung gilt für beliebige Substanzen. Bei der Herleitung
wurden ausser dem ersten Hauptsatz, der implizit in den
Maxwellschen Relationen steckt, keine Annahmen gemacht.
Cp − CV = TV
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Allgemeine Formel für spezifische Wärmen
Für molare Wärmekapazitäten erhalten wir die Beziehung
cp, mol − cV , mol = T
V α2
α2
= T Vmol
ν κ
κ
wobei ν die Molzahl ist.
Die spezifischen Wärmekapazitäten cy = Cy /V hängen wie
folgt zusammen:
α2
cp − cV = T
κ
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Allgemeine Formel für spezifische Wärmen
Beispiel:
Für Kupfer erhalten wir die folgenden Beziehungen
Vmol = 7.1
cm3
=
mol
−5
α = 5 · 10
mol
1
K
−13
κ = 4.5 · 10
cp, mol = 24.5
7.1 · 10−6 m3
cm2
dyn
−13
= 4.5 · 10
·
10−4 m2
10−5 N
J
K mol
Daraus erhält man
cp, mol − cV , mol = 1.2
γ =
J
Kmol
cp, mol
cV , mol
= 1.05
−12
= 4.5 · 10
m2
N
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van-der-Waals-Gas
Bei jedem Stoss wir der Impuls um 2r weiter als die mittlere
freie Weglänge ` bewegt.
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van-der-Waals-Gas
CO2 als van der Waals−Gas
10
257.25 K
260 K
273 K
280 K
290 K
300 K
310 K
8
6
p [MPa]
Seite 23
4
2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
103Vmol [m3/mol]
0.3
Isothermen von CO2
0.35
0.4
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van-der-Waals-Gas
CO2 als van der Waals−Gas
0.6
p(t,260.0), t
0.5
103Vmol [m3/mol]
Seite 24
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
4
6
p [MPa]
Vp-Diagramm
8
10
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van-der-Waals-Gas
Maxwellsche Konstruktion
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van-der-Waals-Gas
Amagat−Diagramm für CO2
6
257.25 K
260 K
273 K
280 K
290 K
300 K
310 K
330 K
360 K
400 K
5
103pVmol [J/mol]
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4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
p [MPa]
Amagat-Diagramm oder pV (p)-Diagramm. Dieses Diagramm
zeigt besonders schön die Abweichung vom Verhalten des
idealen Gases. Beim Idealen Gas wäre pV (p) = nRT eine von
der Temperatur abhängige Gerade.
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Joule-Thomson-Effekt
Überströmversuch