Experimentalphysik I

Experimentalphysik I
Diplomstudium Chemie
(Universität Stuttgart)
Verfasser: Oliver Martin
Dozent: Dr. Wolf Wölfel
(im WS 2005/06)
1. Auflage 2006
Impressum:
© 1. Auflage, Dezember 2006
Alle Rechte auf das vorliegende Werk
inklusive aller graphischen Abbildungen sind
dem Verfasser vorbehalten.
Oliver Martin
Böblinger Straße 224
70199 Stuttgart
Tel.: 0711 / 23 72 434
E-Mail: [email protected]
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1. Inhaltsverzeichnis
1
I
Experimentalphysik I
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
I. Mechanik
1. Kinematik
- Ort: Abstand zweier Orte
- Zeit
Verknüpfung beider: s = s (t) (eine Funktion des Weges von der Zeit)
1.1 Die Zeit
- Einheit: Sekunde [t] = s
- Definitionen: - astronomische Zeit: 365,25 Sonnentage oder 366,25
Sternentage hat das Jahr
1 s = 1/864.000 Sonnentage
veraltete Definition
- mikroskopische Definition aufgrund der Ungenauigkeit
der
vorhergehenden
Definitionen
und
der
Schwankungen
keine äußeren Einflüsse bei Energieübergängen in
Atomen (festgelegte Energieportionen)
Standard (Zeitnominal): 133Cs-Atomuhr
ν = Zahl der Perioden/Zeitinterval = n/∆t = 1/T
Einheit: 1 Hz = 1 / s
damit ergibt sich für die Sekunde: 1 s =
9.192.631.770 T
ν = 9,192631770 GHz
1.2 Die Länge
- Einheit: [l] = 1 m
- Definitionen: - 10-7-Teil des Erdquadranten (1/4 des Äquators)
Urmeter in Paris (rel. Unsicherheit 10-6)
alte Definition
- 1 m = 1.650.763,73 ⋅ λ(86Kr)
- Lichtgeschwindigkeit: c = 299.792.458 m/s
- Winkel:
• Grad: 360 ° Vollkreis
• Radiant: 2 · π rad Vollkreis
1 rad = 57,3 °
1
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1.3 Bewegung
s
s2
s1
t1
t2
t
1.3.1 Mittlere Geschwindigkeit
v=
∆s
∆t
1.3.2 Momentangeschwindigkeit
∆s ds
= = s&
∆t → 0 ∆ t
dt
v = lim
1.3.3 Fortbewegung im dreidimensionalen Raum
v
∆r
v
r1
v
r2
v
v ∆r
Mittlere Geschwindigkeit:
v=
∆t
v
d
∆r v&
v
Momentangeschwindigkeit: v =
=r
d∆t
2
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1.4 Drehbewegungen
y
n2
)n
n1
x
∆ϕ
∆t
Mittlere Winkelgeschwindigkeit:
ω=
Momentane Winkelgeschwindigkeit:
dϕ
=ω =ϕ
dt
v
ω als Vektor:
ω
Richtung des Vektors steht senkrecht zur Ebene ("Rechte-Hand-Regel").
1.4.1 "Umrechnung" auf Linearbewegung
v =ω ⋅r
v v v
v =ω ×r
1.4.2 Umrechnung auf Drehzahl
ω = 2π n [n] = Umdrehung/s
3
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1.4.3 Experiment: Geschwindigkeit der Kugel zwischen zwei Platten
Rotationsachse
Scheibe 2
Scheibe 1
) s = 0,5 m
erstes Einschussloch
zweites Einschussloch
)n
Scheibe 1
v=
Scheibe 2
∆s
∆t
Delta s gegeben: 0,5 m
benötigt Delta t: ω =
∆ϕ
∆t
benötigt ω: ω = 2π n
1
n gegeben: n = 60
s
−1
−1
ω = 2π 60 s = 377 s
Umrechnung rad und °: ϕ [rad ] =
ϕ [°]
2π
∆φ gegeben: 38 °
∆φ = 38 ° = 0,66 rad
0,66
= 1,75 ms
377 s −1
0,5 m
m
v=
= 285,7
−3
1,75 ⋅10 s
s
∆t =
4
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1.4.4 Experiment "Falllatte"
Schreibkopf
n = 50
Schreibkopf spritzt in definierten Zeitabständen Tinte heraus. Die Falllatte
bewegt sich derweil. Folgendes Ergebnis lässt sich auf der Falllatte
erkennen:
Messtabelle:
t [s] s [cm]
0
0
0,02 2,4
0,04 5,0
0,06 8,0
0,08 11,3
0,10 15,0
0,12 19,2
0,14 23,7
0,16 28,7
0,18 33,9
0,20 39,7
∆ s [cm]
2,4
2,6
3,0
3,3
3,7
4,2
4,5
5,0
5,2
5,8
∆(∆ s) [cm]
0,2
0,4
0,3
0,4
0,5
0,3
0,5
0,2
0,6
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Graphische Darstellung:
s-t-Diagramm:
s
Tangente:
v=
∆s
∆t
t
v-t-Diagramm:
v
Steigung:
a=
∆v
∆t
t
a-t-Diagramm:
a
t
1.5 Beschleunigung
- zeitliche Änderung der Geschwindigkeit
v
v ∆v
- mittlere Beschleunigung: a =
∆t
v
v d v v& d&
- Momentanbeschleunigung: a =
=v =
s& = &&s
dt
dt
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v
d ω v&
- Winkelbeschleunigung: α =
= ω = ϕ&&
dt
1.5.1 Experiment zum Nachweis der Fallbeschleunigung
) s = const.
Aufschläge immer
schneller
) s … const.
Aufschläge in konstanten
Zeitabständen
1.6 Zusamenfassung
1.6.1 s-t-Diagramm
s (t)
v=m
)s
)t
t
Zeitliche Änderung von s Geschwindigkeit: erste Ableitung des Weges
nach der Zeit
7
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1.6.2 v-t-Diagramm
v (t)
)v
t
)t
Zeitliche Änderung von v Beschleunigung: zweite Ableitung des
Weges nach der Zeit
1.z.3. a-t-Diagramm
a (t)
a
t1
)t
t2
t
dv
= a (t ) ⇔ d v = a ( t ) ⋅ d t
dt
Die Fläche im a-t-Diagramm durch Zeitintervalle eingeschlossen ergibt
die Geschwindigkeit.
Funktionsgeometrische Herleitung:
(I) ∆ v = a ⋅ ∆ t
Infinitesimale Herleitung:
v2
t2
v1
t1
(II) ∫ d v = v0 + ∫ a (t ) d t
v2 − v1 = v0 ⋅ a(t ) ⋅ (t 2 − t1 )
Äquivalenz zu (I)!!
Ist v1 = 0 ^ v0 = 0 ^ a (t) = a ^ t1 = 0 ^ t2 = t gilt:
a=v·t
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v (t)
v2
s(t)
v1 = 0
t1 = 0
t2
t
Die Fläche im v-t-Diagramm durch Zeitintervalle eingeschlossen ergibt
den Weg.
Funktionsgeometrische Herleitung:
ds
= v ( t ) ⇔ d s = v (t ) ⋅ d t
dt
Infinitesimale Herleitung:
∫t =
1
2
v2 t 2
s2
∫ds= s
0
s1
t2
+ ∫ v (t ) d t
t1
v (t ) = v0 + a t
t2
s2 − s1 = s0 +
∫ (v
0
t2
t2
t1
t1
+ a t ) d t = s0 + ∫ v0 d t +
t1
∆ s = s0 + v0 (t 2 − t1 ) + 21 a (t 2 − t1 )
∫ (a t ) d t
2
Wenn s0 = 0 ^ v0 = 0 ^ t1 = 0 ^ s1 = 0 ^ s = s (t), dann:
2
s = 21 ⋅ a ⋅ t 2
Beispiel: Falllatte &&s = 21 ⋅ g ⋅ t 2
1.6.4 Erkenntnisse
1.) Bei konstanter Beschleunigung nimmt v proportional mit der Zeit zu.
2.) Bei a = const. nimmt der Weg quadratisch mit der Zeit zu.
1.6.5 Experiment
Auf 3 Kugeln wirkt "gleichzeitig"
unterschiedlichen Anfangsparametern.
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die
Erdbeschleunigung
aus
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Kugel 1: Freier, senkrechter Fall
Kugel 2: Anfangsgeschwindigkeit v0 > 0 mit Richtung waagerecht zum
Boden
Kugel 3: Zunächst freier, senkrechter Fall, dann Beeinflussung durch
Zusammentreffen mit der zweiten Kugel Impuls von zweiter Kugel,
wobei diese wiederum fast senkrecht weiter zum Boden fällt.
Diagramm von zweiter Kugel:
y
v0,x
v1 (t)
Zusammentreffen mit
dritter Kugel
v wird größer
y$
x$
t
Richtungsvektoren: x$ , y$ , z$
 x (t )


v
s (t ) = x (t ) ⋅ x$ + y (t ) ⋅ y$ + z (t ) ⋅ z$ =  y (t )
z t 
 ( )
 v ⋅t 
 0 
 v 
v
v
v
a (t ) =   ⇒ v ( t ) =  0  ⇒ s (t ) =  1 1 2 
− 2 g ⋅t 
 − g
 − g ⋅ t
x (t )
v0
x (t ) = v0 ⋅ t ⇔ t =
y (t ) = − 21 ⋅ g ⋅ t 2 ⇒ y (t ) = −
g
x2 = − C ⋅ x2
2
2 ⋅ vo
C...Konstante
1.7 Mathematische Beschreibung der Drehbewegung
y
K
y$
v
r (t )
x$
x
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v
r (t ) = x$ ⋅ r0 ⋅ cosϕ + y$ ⋅ r0 ⋅ sin ϕ
v
mit x$ , y$ : Einheitsvektor (Einheit 1); r0: Betrag des Ortsvektors; r (t ) :
Ortsvektor
1.7.1 Bei gleichförmiger Bewegung
ω=
dϕ ϕ
= ⇔ϕ =ω ⋅t
dt t
v
r (t ) = r0 ⋅ ( x$ ⋅ cos(ω ⋅ t ) + y$ ⋅ sin(ω ⋅ t )) = r0
Betrag
Richtung
Betrag
Der Einheitsvektor ist zeitabhängig:
⋅
r$ (t )
Einheitsvektor
y
K
r0 @ sin(T
T t)
v
r (t )
x
r0 @ cos(T
T t)
1.7.2 Geschwindigkeit durch Ableiten
d v
d
d
d
v
v (t ) =
r (t ) =
r0 ⋅ r$ (t )) = r0 ⋅ r$ (t ) = r0 ⋅ ( x$ ⋅ cos(ω t ) + y$ ⋅ sin(ω t ))
(
dt
dt
dt
dt
ω = const.
v
v (t ) = ω 0 ⋅ r0 ⋅ ( − x$ ⋅ sin(ω t ) + y$ ⋅ cos(ω t ))
Betrag
Richtung vonv
v
v (t ) = ω 0 ⋅ r0 ⋅ r$ ′
Einheitsvektor r$ ′ gibt die Richtung von v an und steht senkrecht zu r>.
y
r$ ′
v
r (t + d t )
dr
v
r (t )
K
x
v
v
v (t ) = ω ⋅ r ′
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Fazit: Zeitliche Ableitung des Ortsvektors ergibt Bahngeschwindigkeit. Da
v
gleichförmige Bewegung: ω = const . ∧
v = const .
Die Richtung ändert sich aber zeitlich! Es muss also eine
Beschleunigung vorliegen: Die Zentripetalbeschleunigung.
d v
v
a (t ) =
v (t ) = ω 2 ⋅ r0 ⋅ ( − x$ ⋅ cos(ω t ) − y$ ⋅ sin(ω t ))
dt
Betrag
Richtung
v
v
a (t ) = ω 2 ⋅ (r0 ⋅ r$ ′′ ) = −ω 2 ⋅ r
mit r$ ′′ : Einheitsvektor in Richtung der Beschleunigung.
v
Fazit: Bei gleichförmiger Bewegung ist a (t ) stets zum Kreismittelpunkt
gerichtet.
v
Zentripetalbeschleunigung: ar
ar = ω 2 ⋅ r = ω ⋅ (ω ⋅ r ) = ω ⋅ v
v v
v
ar = ω × v
y
v
ar
K
r (t)
x
Beschleunigung bei ungleichförmiger Bewegung:
v
v
v
a (t ) = aTANG + ar
im Allgemeinen:
v
a (t ) ist nicht parallel zu v (t )
y
v
aTANG
v
a (t )
v
ar
K
x
Die Beschleunigung ist dabei stets zum Kreisinnern gerichtet.
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2. Dynamik: Grundgesetze der klassischen
Mechanik
2.1 Konzepte der klassischen Mechanik
Körper besteht aus Materie: - Masse (m)
Einwirkung auf Körper:
Dichte (ρ)
m
kg
- Volumen (V)
ρ=
ρ] = 1 3
[
V
m
Idealisierung: Massepunkt
kg ⋅ m
Kraft (F) mit [ F ] = 1N = 1 2
s
}
2.2 Newton’sche Axiome
Gelten nur im Inertialsystem: Dreidimensionales Koordinatensystem,
welches sich mit konstanter Geschwindigkeit innerhalb des Universums
bewegt.
2.2.1 Erstes Newton’sches Axiom: Trägheitsgesetz
Jeder Körper versucht im Zustand seiner Bewegung zu verharren, sofern
die Summe aller Kräfte gleich 0 ist.
n
∑F
i
v
v
= Fa = 0 ⇒ v = const .
i =1
2.2.2 Zweites Newton’sches Axiom: Aktionsgesetz
Ist die Summe aller auf den Körper einwirkenden Kräfte ungleich 0, so
wirkt eine resultierende Kraft auf den Körper, welche dessen
Bewegungszustand ändert.
v
d
v
v
v
Fa =
m⋅v
Impuls p = m ⋅ v
dt
v
v
speziell: m = const .⇒ Fa = m ⋅ a (dynamisches Grundgesetz)
2.2.3 Drittes Newton’sches Axiom: Wechselwirkungsgesetz
Es gibt keine isolierte Kraft. Zu jeder Kraft gibt es eine gleich große,
entgegengesetzte Gegenkraft, da sich der Körper aufgrund seiner
Trägheit der Bewegungszustandsänderung widersetzt.
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2.3 Masse
- skalare Größe
- [m] = 1 kg
Eigenschaft:
- träge Masse: Widerstand, den der Körper der
Bewegungsänderung (Beschleunigung) aufgrund seiner
Trägheit entgegensetzt
- schwere Masse: Massenanziehung (z.B. Gravitation)
träge Masse ≡ schwere Masse
2.4 Kraft
- vektorielle Größe
v
v
kg ⋅ m
F
F = 1N = 1 2
s
[ ]
2.4.1 Experiment zum zweiten Newton’schen Axiom
v
FG
6
5
Zugmasse: mZug
v
a
4
3
2
1
mWagen
0
s
Untersuchung: F ~ m · a ?
Zeitmessung an den Fixpunkten.
mges = mWagen + mZug
Messwerttabelle:
s [m] mWagen [g]
0,5
2478
1,0
+ 2532
2,0
+ 450
mZug [g]
150
150
150
mges [g]
5610
5610
5610
14
t [s]
2,03
2,84
4,04
t2 [s2]
4,12
8,07
16,23
a [m/s2]
0,24
0,25
0,25
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s [m]
a [m/s2]
s [m]
2
2
s ~ t2
1
v=
1
0
1 2 3 4
t [s]
0
4 8 12 16
s
~t
t
t2 [s2] 0
t [s]
Variation der Massen:
Messwerttabelle:
s [m] mWagen [g]
1,0
2478
+ 27
+ 150
1,0
2478
+ 27
1,0
2478
+ 2532
+ 300
mZug [g]
150
mges [g] t [s]
2805
2,04
t2 [s2]
4,16
a [m/s2]
0,48
300
2805
1,43
2,04
0,98
300
5610
2,00
4,00
0,50
F~m·a
mZug ⋅ g
F
F
1.) a ~ =
=
m mges
mges
2.) a ~
2⋅ F
mges
3.) a ~
2⋅ F
2 ⋅ mges
⇒g=
mges
mZug
⋅a
wenn mWagen = 0 ⇒ mges = mZug ⇒ g = a
2.4.2 Gravitationskraft
m1 ⋅ m2
r2
mit γ: Gravitationskonstante
FG = ⋅γ
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Speziell auf der Erdoberfläche gilt:
m
FG = γ ⋅ Erde2 ⋅ m
rErde
1
42
4
3
g
mit g = 9,81 m/s²
Vektoriell:
v
v
FG = g ⋅ m
2.4.3 Hangabtriebskraft
FH
g
FG
FN
FH = m ⋅ g ⋅ sin ε
mit FH: Hangabtriebskraft
FN = m ⋅ g ⋅ cos ε
mit FN: Normalkraft
2.4.4 Reibungskraft
FR = µ ⋅ FN
mit µ: Reibungskoeffizient
1 > µH > µGl > µR > 0
mit µH: Haftreibungskoeffizient;
Rollreibungskoeffizient
µGl:
Gleitreibungskoeffizient;
µR:
Eine Reibungskraft ist stets entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung
gerichtet.
Beispiel
µH
Gummi-Asphalt: 0,9
Stahl-Eis:
0,03
µGl
0,85
0,015
µR
0,025
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2.4.5 Zentripetalkraft
v
v2 v
v
v
FZp = − m ⋅ ω 2 ⋅ r = − m ⋅ v = FZp = − m ⋅ ar
r
v = ω ⋅ r (Tangentialgeschwindigkeit)
r
v
r v
FZp
2.4.6 Experiment: Drehscheibe
K
Wann beginnt der Körper zu rutschen?
FHR ≥ FZp ⇒ Körper bewegt sich nicht relativ zur Scheibe
v
v
FZp = − FZf
µ ⋅ FG = − m ⋅ ω 2 ⋅ r = µ ⋅ m ⋅ gn
ω 2 ⋅ r = − µ ⋅ gn
2.4.7 Federkraft
- velastische Kraft (Hook’sches Gesetz)
v
FF = − D ⋅ x
mit D: Federkonstante; x: Auslenkung
x
m
v
FF
v
FG
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v
v
FF gleich groß wie FG in Ruhe.
Kopplung von Federn:
- Serienkopplung:
D1
D2
Feder 1
Feder 2
Dges:
1
1
1
=
+
Dges D1 D2
- Parallelkopplung:
D2
D1
Dges: Dges = D1 + D2
2.4.8 Trägheitskraft
- d’Alembert’sches Prinzip
- Scheinkraft, d.h. tritt nur in beschleunigten Bezugssystemen auf
- Beispiel:
K
v
v = const .
v
FG
Beobachter 2
Beobachter 1
(fallengelassener Gegenstand)
Beobachter 1 und 2 sehen den Körper senkrecht fallend
beschleunigtes System:
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s0 = 0
s0 = 0
v
a
v
a
t0 = 0
t0 + )t
v
a ≠ 0 = const .
Beobachter 1: Körper fällt senkrecht, aber kommt um den Wegbetrag
verschoben auf dem Boden des Fahrzeugs an, um den der Wagen
bereits in der Zeit des Falles gefahren ist
Beobachter 2: Körper fällt schräg runter.
Summe aus Gewichtskraft und Trägheitskraft ergibt die Gesamtkraft, die
den Körper schräg runter fallen lässt.
FTr = − m ⋅ a
v
FTr
v
a = const .
v
a≠0
v
FG
v
Fges
Beispiel: Aufzug
Beim Anfahren nach oben, geht man in die Knie und man wird scheinbar
schwerer auf der Waage. Beim Anfahren nach unten hebt man scheinbar
ein wenig ab und man wird scheinbar ein wenig leichter.
a = 0:
FS
Waage
FG
FS: Seilkraft
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FG = m ⋅ g = 76 kg ⋅ 9,81
m
= 750 N
s2
Aufzug fährt an nach oben:
a = const.
FS
FS
m·a
FTr
FG
FG
In Kabine:
∑ F=0
Fges = FG + FTr = FS + FG + FTr = 0
Aufzug fährt an nach unten:
a = const.
FTr
FG
Fges = FG - FTr
Experiment: Umlenkrolle
a
FG1 m1 m
2
FG2
Von außen betrachtet:
Fges = FG 2 − FG1 = m ⋅ a
Beobachter innerhalb des Systems:
Summe der Kräfte des Systems ist 0!
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a
FTr2
m1
m2
FG1
FTr1
FG2
∑F=F
+ FG 2 + FTr 1 + FTr 2 = 0
− FG1 + FG 2 − FTr 1 − FTr 2 = 0
− (m1 − m2 ) ⋅ gn − (m1 + m2 ) ⋅ a = 0
G1
(m
+ m2 ) ⋅ a = −(m1 − m2 ) ⋅ gn
a=
(m
(m
1
2
− m1 )
1
+ m2 )
⋅ gn
Für die Trägheit des Systems sind alle Massen des Systems
verantwortlich!
2.4.9 Experiment: Drittes Newton’sches Axiom
v
v
actio = reactio bzw. F = − F ′
keine isolierte Kraft möglich!
z.B.:
FTr = - FG
m ⋅ a = − m ⋅ gn
Dimitri
90 kg
Michael
80 kg
Nils
80 kg
F1 = - F2
m1 ⋅ a1 = m2 ⋅ a2
2s
1
s = ⋅a ⋅t2 ⇔ a = 2
2
t
2
2 s2
2
m1
s
= t 2 = 2
m2 2 s1
s1
2
t
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Egal, wer zieht oder wie die Massen sind. Die Kräfte (m · a) bleiben im
System überall gleich verteilt! Das bedeutet: Ist die Masse auf beiden
Wagen unterschiedlich, beschleunigt der Wagen mit der schwereren
Gesamtmasse langsamer als der Wagen mit der leichteren
Gesamtmasse.
2.5 Impuls
2.5.1 Definition
v
v
p = m⋅v
kg ⋅ m
[ pv ] = 1 s
Kraft ändert Impuls
v
d v v&
Impuls: Fa =
⋅p= p
dt
v
mit Fa : äußere Kraft
v
dv d
v
v
Fa = m ⋅ a = m ⋅
=
⋅ (m ⋅ v ) = p&
dt dt
v
Greift eine äußere Kraft Fa an einem Körper/System an, so ändert sich
v
dessen Impuls p .
2.5.2 Experiment: Fahrbahn
v
m
Wagen fährt auf Luftkissen. Die Geschwindigkeit und der Impuls bleiben
konstant, solange keine äußere Kraft einwirkt (Aufprall am Ende der
Fahrbahn.)
p=m·v
2.5.3 Beispiel: Kraftstoß
- zeitlich begrenzte Krafteinwirkung, z. B. Geschwindigkeitsänderung
beim Auto von 100 km/h auf 120 km/h
v d pv
v
v
F=
⇔ F ⋅dt = d p
dt
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t2
p2
v2
t1
p1
v1
∫ F (t ) d t = ∫ d p = m ⋅ ∫ d v
t2
v
∫ F (t ) d t =
v
v
v
v
p2 − p1 = ∆ p = m ⋅ ∆ v
t1
2.5.4 Diagramm: allgemein
F
)p
t2
t1
t
2.5.5 Diagramm: speziell
F
)p=F·)t
t1
t2
t
konstante Kraft, die nur zeitlich partiell zugeschaltet wird
2.5.6 Experiment: Piezohammer
Wird auf Piezokristall Druck ausgeübt, entsteht eine elektrische
Spannung.
Fazit: Impuls eines Systems wird durch äußere Kraft geändert (nicht
durch innere Kräfte).
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2.5.7 Impulserhaltungssatz (IES)
v
∑F
a
v
= 0 ⇒ p = const .
System von Körpern
k
k
v
v
v
pges = ∑ pi = ∑ mi ⋅ vi = const .
i =1
i =1
Impulsaustauschvorgänge innerhalb eines Systems von Körpern ändern
den Gesamtimpuls nicht.
Es gilt: Zustand vor Ereignis = Zustand nach Ereignis
bezogen auf den Impuls
v
v
pges ,vor = pges ,nach
- Beispiel: Billiard, Kernspaltung, Explosion
2.5.8 Experiment: Luftkissenfahrbahn
v
1. Impulsübertragung
m
m
pges,vor = pges,nach
m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v1’ + m2 · v2’
zweiter Impuls = 0 (ruhender Wagen)
m1 · v1 = m1 · v1’ + m2 · v2’
2 Unbekannte, Energiesatz fehlt
Nach Stoß fährt der angestoßene Wagen mit der Geschwindigkeit des
vorher fahrenden Wagens weiter, während der andere Wagen so lange
im Stillstand verharrt, bis er ebenfalls vom anderen Wagen wieder
angestoßen wird.
Feder
2. m1 = m2 = m
pges = 0
m
m
(elastisch)
Mitte
Die beiden Wagen fahren mit derselben Geschwindigkeit nach jedem
Stoß.
24
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Feder
3. m1 > m2
m
m
Wagen treffen sich immer wieder an derselben Stelle (Massen vorher
berechnet).
Fazit: Impuls bleibt erhalten
2.5.9 Schwerpunktsatz
System aus vielen starr oder elastisch gekoppelten Körpern.
- Beispiele: Turmspringer, ausgedehnte Körper
2.5.10 Experiment: Ermittlung des Schwerpunktes
Aufhängung
2. Aufhängung
Schwerpunkt
Schwerpunkt
Schnittpunkt beider Lotgeraden durch den Aufhängepunkt ergibt den
Schwerpunkt.
2.5.11 Experiment: Hantel mit ungleichen Massen
Wird in Luft geworfen.
Ergebnis: Hantel rotiert um Schwerpunktachse.
2.5.12 Experiment: Impulserhaltungssatz und Schwerpunktsatz
a) Gefesseltes Geschoss
Sp
Kanone bewegt sich nicht
25
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
b) Freies Geschoss
Sp
Kanone bewegt sich durch Rückstoss nach hinten
2.5.13 Experiment: Fahrbahn
v
m
m
2.5.14 Rakete: System mit veränderlicher Masse
Raketenstart aus Ruhe:
Rakete
Sp
Treibstoff
Bewegungsgleichung:
FR = mR · aR = FG + FSchub
mit FR: Kraft ...; mR: Masse ...; aR: Beschleunigung der Rakete; FSchub:
Schubkraft
FSchub = m& ⋅ vrel
mit m& : Massefluss; vrel: relative Geschwindigkeit
 ∆ m
d
m& =
⋅m


dt
 ∆t 
− m& ⋅ ( − vrel ) = m& ⋅ vrel
mR (t ) ⋅ a R = − mR (t ) ⋅ gn (r ) + m& ⋅ vrel
m in Erdnähe:
m&
⋅v
(m0 − m& ⋅ t ) rel
mit m0: Startmasse (Rakete R und Treibstoff T)
a R = − gn +
bei Brennschluss (Treibstoff verbraucht):
26
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
vend = vrel ⋅ ln
mT + mR ,leer
mR ,leer
Bewegung einer Rakete
v
Rakete jederzeit in Erdnähe mit gn = const.
vend = vmax
ar nimmt
stetig zu
a = gn
Umkehrpunkt
höchster Punkt (hmax)
tBrennschluss
t
Experiment: Rakete
a) Luft
ca. 2 m
b) Luft + Alustaub
fliegt doppelt so hoch
c) Luft + Wasser
fliegt am höchsten
Experiment: Raketenfahrzeug
Fahrzeug mit auströmender Gasflasche
3. Arbeit, Leistung, Energie
3.1 Arbeit
Arbeit = Kraft · Weg
27
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v v
W = Fx ⋅ x = F ⋅ x ⋅ cosα = F ⋅ x
[W ] = 1Nm = 1J
v
F
m
"
Fx
x
Wenn F nicht konstant:
s
2
v v
W = ∫ d W = ∫ F (v ) d s
2
1
s1
Spezieller Fall: F = const.
s2
W1,2 = F ⋅ ∫ d s = FN ⋅ µ ⋅ ( s2 − s1 )
s1
3.1.1 Beispiele für Arbeit
Hubarbeit
h
h2
- FG
h1
FG
FG = m · gn = - m · g · s
h2
h2
h1
h1
WHub = ∫ F d s = ∫ m ⋅ gn ⋅ d s = m ⋅ gn ⋅ (h2 − h1 )
h1 = 0 ⇒ h2 = h
WHub = m · g · h
F
FG
0
WHub
h
s
Spannarbeit
Hook’sches Gesetz: FF = - D · x
28
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
FF
Fa
x=0
s
x0
Fa = - FF
x0
x0
0
0
WSpann = ∫ Fa d x = ∫ D ⋅ x ⋅ d x
WSpann =
1
2
⋅ D ⋅ x0
2
F
WSpann
x0
s
Beschleunigungsarbeit
Im Gegensatz zur Hub- und Spannarbeit, bei der statische Kräfte wirken,
ist die Beschleunigungsarbeit durch eine dynamische Krafteinwirkung
gekennzeichnet.
Fa = m · a
v v x
WB = ∫ F d x = ∫ m ⋅ a ⋅ d x = m ⋅ a ⋅ x0
0
0
Fa
m
a
x0
x=0
da a = const.:
1
x = ⋅a ⋅t2 ∧ v = a ⋅t
2
nach t auflösen und gleichsetzen:
2
v0
x0 =
2a
2
v
1
2
WB = m ⋅ a ⋅ 0 = ⋅ m ⋅ v0
2a 2
WB hängt nur von der Endgeschwindigkeit ab (m = const.)!
Kraft F zwischen Anfang und Ende der Beschleunigung kann beliebig
sein!
29
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3.2 Leistung
Leistung = Arbeit/Zeit
v
dW &
v v
v ds
P=
= W = F (r ) ⋅
= F (r ) ⋅ v
dt
dt
J
Nm
[ P] = 1W = 1 s = 1 s
3.3 Energie
Die Fähigkeit (Eigenschaft) eines Systems, Arbeit verrichten zu können.
Allgemein: E mit [E] = 1 J = 1 Nm
3.3.1 Potentielle Energie
Epot = m · g · h
3.3.2 Spannenergie (Sonderfall der potentiellen Energie)
ED =
1
2
⋅ D ⋅ x0
2
3.3.3 Kinetische Energie
1
E kin = ⋅ m ⋅ v 2
2
3.3.4 Zusammenfassung: Energiesatz der Mechanik
W = ∆ E = ∆ E pot + ∆ E D + ∆ E kin
Zufuhr von Arbeit ∆ W > 0
Abfuhr von Arbeit ∆ W < 0
Ändert sich die Energie nicht, ändert sich die Gesamtenergie der
mechanischen Energien nicht.
∆ E = 0 ⇒ E ges = E pot + E D + E kin = const .
Energieerhaltungssatz (Axiom): gilt im mechanisch abgeschlossenen
System.
30
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3.3.5 Experiment: Fahrbahnen
h
Kugel
h0
Bahn 1
h
Kugel
h0
)s1
Bahn 2
)s2
Die Kugel auf der Bahn 1 erreicht das Ziel eher als die Kugel auf Bahn 2.
Länge:
Zeit:
Weg:
Bahn 1 > Bahn 2
∆ t1 < ∆ t2
∆ s1 = ∆ s2 vend,1 = vend,2
Eges,1 = Eges,2 = Epot + Ekin = const.
1
2
m ⋅ gn ⋅ h0 + ⋅ m ⋅ vend = const .
2
Die Endgeschwindigkeiten sind gleich, die Beschleunigungsphasen sind
unterschiedlich. Durch die unterschiedliche Krümmung, wird die Kugel
auf Bahn 1 schneller beschleunigt.
4. Stoßgesetze
Problem: Zwei Körper, die zusammenstoßen
m1
vor
nach
v1
m2
v1'
v2
v2'
gegeben: m1, m2, v1, v2
gesucht: v1’, v2’ (bei zwei Körpern, 2 Unbekannte)
Lösung: 2 Gleichungen Impuls- und Energieerhaltungssatz
Unterscheidung:
- Stoß:
• elastisch (Energieerhaltungssatz gilt): Eges = Eges’
• inelastisch: Eges > Eges’
• unelastisch (beide Körper vereinigt): Eges >> Eges’
31
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- mögliche Formen:
• gerade zentral:
• schief:
4.1 Gerader, zentraler, elastischer Stoß
m1
v1
m2
v1
gesucht: v1’, v2’
Lösung: Impulserhaltungssatz gilt immer bei Stoßprozessen!
v
v ′
pges = pges
v
v
v′ v′
p1 + p2 = p1 + p2
(I) m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v1’ + m2 · v2’
Ekin = Ekin’
Ekin,1 + Ekin,2 = Ekin,1’ + Ekin,2’
2
2
1
1
1
1
2
2
′
′
(II) ⋅ m ⋅ v1 + ⋅ m2 ⋅ v2 = ⋅ m1 ⋅ v1 + ⋅ m2 ⋅ v2
2
2
2
2
(III aus I) m1 (v1 - v1’) = m2 (v2’ - v2)
(IV aus II) m1 (v12 - v1’2) = m2 (v2’2 - v22)
(V aus IV) m1 (v1 - v1’) (v1 + v1’) = m2 (v2’ - v2) (v2’ + v2)
(VI aus V:III) v1 + v1’ = v2’ + v2
nach v2’ auflösen und in (I) einsetzen:
′ (m − m2 ) ⋅ v1 + 2 ⋅ m2 ⋅ v2
v1 = 1
m1 + m2
′ 2 ⋅ m1 ⋅ v1 + (m2 − m1 ) ⋅ v2
v2 =
m1 + m2
4.1.1 Spezialfälle
m1 = m2 = m
v
′
eingesetzt: v1 = 2 ⋅ m 2 = v2
2⋅m
v
′
v2 = 2 ⋅ m 1 = v1
2⋅m
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v
v1
v2'
v2
v1'
vor
t
nach
v2 = 0 ^ v1’ = 0 ^ v2’ = v1
v
v2'
v1
v2
v1'
vor
t
nach
vollständiger Übertrag von Impuls und Energie, wenn die Massen gleich
sind.
4.1.2 Ungleiche Massen
2 · m1 = m2 ^ v2 = 0
Eingesetzt in Formel:
1
′
′ 2
v1 = − ⋅ v1 ∧ v2 = ⋅ v1
3
3
Digramm:
v
v1
v2'
v2
t
v1'
m1 = 2 m2 ^ v2 = 0
′ 1
′ 4
v1 = ⋅ v1 ∧ v2 = ⋅ v1
3
3
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Diagramm:
v
v2'
v1
v1'
v2
t
m1 << m2 ^ v2 = 0 (starre Wand)
Annahme: m1 + m2 = m2 - m1 = m2
v1’ = - v1
v
v1
v2
v2'
t
v1'
Hinweis: Reflexion entspricht maximaler Impulsänderung
∆ p = 2⋅ p
∆p
F=
∆t
4.1.3 Experiment: Kugelkette
k: stoßende Kugel
l: wegfliegende Kugel
Es fliegen genauso viele Kugeln weg, wieviele auch stoßen. Warum?
Lösung:
Impulserhaltungssatz: k · m · v1 = l · m · v2 (I)
1
1
2
2
Energieerhaltungssatz: k ⋅ ⋅ m ⋅ v1 = l ⋅ ⋅ m ⋅ v2 (II)
2
2
2
2
2
2
I quadriert: k ⋅ v1 = l ⋅ v2 (III)
III:II: k = l
34
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4.2 Gerader, zentraler, unelastischer Stoß
m1 + m2 = mges
v1’ = v2’ = v’
vor
m1
v1
nach
m1
mges
v2
v’
Es
gilt
stets
der
Energieerhaltungssatz.
Impulserhaltungsatz,
nicht
jedoch
der
pges = pges’
m1 · v1 + m2 · v2 = mges · v’
m ⋅ v + m2 ⋅ v2
v′ = 1 1
mges
4.2.1 Spezialfall: m1 = m2 = m ^ v2 = 0
Experiment:
v
v1
v'
v2
t
v1
v
1
= m 1 = v1
2m
2m 2
Hier: Die Hälfte der Energie des fahrenden Wagens geht in
Deformationsenergie über und geht damit verloren.
Energieverlust:
∆ E = E kin ,vor − E kin ,nach
1
1
2
∆ E = ⋅ m ⋅ v1 − ⋅ 2 ⋅ m ⋅ v ′ 2
2
2
2
1  2
2
 v1   1
∆ E = m v1 − 2    = ⋅ m ⋅ v1
 2  4
2 
v ′ = m1
4.2.2 Experiment: Ballistisches Pendel
l = 9,42 m
mges = 3326 g
35
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Eine Pistolenkugel wiegt 4,5 g.
l
vk
mges
0
s
vk?
Ausschlag: 29 Skalenteile
1 Skalenteil entspricht 1,5 cm
s = 43,5 cm
Lösung:
1.) unelastischer Stoß: Impulserhaltungssatz
2.) Energieerhaltungssatz (beim Pendel!): Ekin,max = Epot,max
pges = pges’
mK · vK + mp · vp = mges · v’
P: Pendel
vp = 0
mK · vK = mges · v’
m
v K = ges ⋅ v ′
mK
v’: (nach Stoß, am Pendel)
Ekin,max = Epot,max
2
1
2 ⋅ mges ⋅ v ′ = mges ⋅ g n ⋅ h
v ′ = 2 ⋅ gn ⋅ h
h:
l
l
h
s
36
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 s
l − h = l ⋅ cos 
 l

 s 
h = l ⋅  1 − cos  
 l 

h = 1,004 cm
v ′ = 2 ⋅ 9,81 sm ⋅ 1,004 ⋅ 10 − 2 m
2
v’ = 0,44 m/s
vK =
mges
⋅ v′
mK
3326 g
vK =
⋅ 0,44 ms = 325,2 ms
4,5 g
5. Drehbewegungen eines Massepunktes
5.1 Drehimpuls
v v v
L=r × p
v
v
mit r : Radiusvektor; p : Impuls
v
kg ⋅ m2
L =1
= 1N ⋅ m ⋅ s
s
[ ]
z
v
L
y
v
p
v
r
m
x
v
v
v
L senkrecht zur Fläche, die von r und p aufgespannt wird.
v
v
L ist maximal, wenn r senkrecht zu p .
v
v
L = 0, wenn r parallel zu p .
L ist nicht an Kreisbewegung gebunden.
37
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5.1.1 Beispiel: Drehimpuls bei linearer Bewegung
v = const.
v
n1
n2
v v
r2 r3
v
r1
v
L1
n3
n4
v
r4
v
L3
Bezugspunkt
v
L
p1 = p2 = p3 = p4
Der Winkel zwischen Impuls und Radiusvektor ändert sich kontinuierlich:
v
v
v
v
L1 = L2 = L3 = L4
5.1.2 Beispiel: Kreisbewegung
v
v
p = m⋅ v
v
r
m
v
L
v
p = const .(t )
Winkel zwischen
v v v
L = r × p = const .
v
r = const .(t )
v v
r , p = 90 °
(Betrag und Richtung)
v
5.2 Bahndrehimpuls: L
Experiment: reibungsfreie Kreisbewegung (auf vibrierender Unterlage)
Bahndrehimpuls zeigt senkrecht zur Ebene.
L = r · p = r · m · v = r · m · r · ω = r2 · m · ω
L~ω
r2 · m als Konstante zusammengefasst: J Trägheitsmoment
(Massenträgheitsmoment)
J = r2 · m
Vergleich: p = m · v, L = J · ω
m des Impulses entspricht J des Bahndrehimpulses
38
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Hinweis: J ~ m und J ~ r2
5.3 Drehmoment
v v v
Definition: M = r × F
z
v
M
v
F
y
n m
v
r
x
Richtung des Drehmoments: Rechte-Hand-Regel
senkrecht zu Ortsvektor und Kraft
v
kg ⋅ m2
M = 1 2 = 1 Nm
s
v
v v
M = r ⋅ F ⋅ sin ϕ
[ ]
Messung über Torsionsfederwaage:
analog zum Kraftmesser (Hook’sches Gesetz: F = - D · x)
Drehmoment: M = - D · φ
5.3.1 Experiment zur Torsionsfederwaage
F
Kraftmesser
F
Scheibe
39
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5.4 Vergleich: Translation und Rotation
Translation
Kraft F mit [F] = 1 N
Impuls p mit [p] = 1 Ns
Strecke s mit [s] = 1 m
Federkonstante D mit [D] = 1 N/m
Rotation
Drehmoment M mit [M] = 1 Nm
Drehimpuls L mit [L] = 1 Nm · s
Winkel φ mit [φ] = 1 rad
Winkelrichtgröße D* mit [D*] = 1
Nm/rad
5.5 Drehimpulssatz, Drehimpulserhaltungssatz
Wie wird der Drehimpuls geändert? Durch Kraft.
Experiment:
p=m·v
m
v
r
F
reibungsfrei laufender Körper in Rotationsbewegung
Kraftstoß ändert Drehimpuls:
t2
t2
t1
t1
∆ L = ∫ M dt = ∫ r ⋅ F dt
Wenn r und F const.: ∆ L = M ⋅ ∆ t ⇔ M =
∆L
∆t
5.5.1 Allgemeiner Fall (Drehimpulssatz)
v
v
M a = L&
5.5.2 Drehimpulserhaltungssatz
v
v
wenn M a = 0 ⇒ L = const .
Das heißt die Richtung und der Betrag des Drehimpulses bleiben
erhalten.
5.5.3 Anwendungen/Beispiele
Planetenbahnen, Satellitenbahnen, Bahn des Mondes
40
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5.5.4 Experiment
v
r1
v
r2
v
r4
m
v
r3
Radius wird verändert. Die Winkelgeschwindigkeit verändert sich
entsprechend, da der Drehimpuls erhalten bleibt.
5.6 Arbeit bei der Kreisbewegung
F
)s
m
n
linear:
W =Kraft · Weg
Drehung:
W=F·∆s
W=F·r·∆φ
W=M·∆φ
Für F ≠ const. (allgemein differentiell):
ϕ2
W = ∫ M (ϕ ) dϕ
ϕ1
[W] = 1 J
5.7 Leistung bei der Kreisbewegung
Leistung = Arbeit / Zeit
dW
P=
= M ⋅ ϕ& = M ⋅ ω
dt
[P] = 1 J/s = 1 W
Wenn Anfang und Ende bekannt:
41
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
P=
W
∆t
Hinweis:
Beispiel Motor
P=M·ω
M, P
n = Drehzahl
[1/Min]
2.500
5.8 Energie bei der Kreisbewegung
v
v
m
v
r
E kin =
1
⋅ m ⋅ v2
2
1
⋅ m⋅ r2 ⋅ω2
2
1
( rot )
m ⋅ r 2 = J ⇒ E kin = ⋅ J ⋅ ω 2
2
(rot)
mit Ekin : Rotationsenergie; J: Trägheitsmoment
[Ekin] = 1 J
v = r ⋅ ω ⇒ E kin =
5.8.1 Energiesatz der Drehbewegung
W = E kin ,2
( rot )
− E kin ,1
( rot )
=
1
2
2
⋅ J ⋅ (ω 2 − ω 1 )
2
42
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
5.9 Drehbewegung eines starren Körpers, Trägheitsmoment
5.9.1 Experiment
Walze 1
Walze 2
Beide Walzen (rot und grün) haben die gleiche Masse, bestehen aus
demselben Material und haben die gleiche Geometrie. Die Walzen
werden gleichzeitig losgelassen, die rote kommt jedoch früher unten an
als die grüne. Warum?
m1
m2
r1 r2 r3 m
3
Drehachse
Massepunkt:
J = m · r2
System von Massepunkten:
n
J ges = ∑ mi ⋅ r1
2
i =1
homogener ausgedehnter Körper:
dm
r
Drehachse
ausgedehnter Körper: J ges =
∫r
2
dm
Körper
Entscheidend für J ist die Bezugsachse!
43
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
a) Dünnwandiger Zylinder/Ring
Drehachse
J Zylinder ,hohl =
∫r
2
dm = r 2 ⋅ m
Körper
b) Homogener Vollzylinder/Scheibe
J Zylinder ,voll =
1 2
⋅r ⋅m
2
Lösung des Problems des Experiments
Energieerhaltungssatz
Epot = Ekin(rot) + Ekin(transl)
1
1
1
const .= ⋅ J ⋅ ω 2 + ⋅ m ⋅ r 2 = ⋅ ω 2 ⋅ ( JW + m ⋅ r 2 )
2
2
2
JW: 1 1/2
Unterschied: ~ 14 %
5.10 Was passiert mit einem Fahrradfahrer, der einen
Abgrund abstürzt?
Der Schwerpunkt folgt der Wurfparabel (waagerechter Wurf).
Vollführt das Fahrrad dabei eine Drehbewegung?
Lges
LF
LN
Schwerpunkt
Lges
44
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Beide Räder haben den gleichen Drehimpuls.
5.11 Eigendrehimpuls
v
~ v
LE = J ⋅ ω
~
mit J : Trägheitstensor (im Allgemeinen 9 Komponenten)
v v
L ω → J skalar
5.12 Drehimpulssatz für den starren Körper
Änderung
durch ein äußeres Moment
v
v
v
M a = J ⋅ ω& = J ⋅ α
v
mit α : Winkelbeschleunigung
5.13 Experiment: Maxwellscheibe bzw. Maxwellrad
R
Radius der
Achse
Rad bewegt sich nach unten
nach oben
Energieerhaltungssatz:
Eges = const. = E pot + Ekin
( rot . )
+ Ekin
( transl . )
Eges = m ⋅ g ⋅ h + 12 ⋅ 12 ⋅ m ⋅ R 2 ⋅ ω 2 + 12 ⋅ m ⋅ r 2 ⋅ ω 2
mit m: Masse des Rades (Masse der Achse wird vernachlässigt)
v
oberer
Umkehrpunkt
+ vmax
t
- vmax
unterer
Umkehrpunkt
45
System
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
5.14 Drehimpulserhaltungssatz für starre Körper
v
v
~ v
M a = 0 ⇒ LE = J ⋅ ω = const.
J = skalar bei geeigneter Drehachse
5.14.1 Experiment: Drehstuhl mit sich drehendem Rad
Ergebnis: LE = const. (Vertikalkomponente)
T L
Stuhl anfangs in Ruhe. Rad wird gekippt. Damit die Vertikalkomponente
konstant bleibt, bewegt sich der Stuhl. Der Drehstuhl wird in
Drehbewegung versetzt. Das dadurch auftretende Gegenmoment gleicht
das Moment des nun horizontal ausgerichteten Rades aus und so ändert
sich der Drehimpuls nicht.
5.15 Experiment: Messung des Trägheitsmomentes
m
r
r
m
Körper
Hantel wird in Drehung versetzt. Über die Kreisfrequenz
Drehschwingung lässt sich das Trägheitsmoment berechnen.
Kreisfrequenz: ω
ω=
D*
D*
⇔J= 2
J
ω
mit D*: Rückstellmoment (hier: 0,8 Nm); J: Trägheitsmoment
m = 0,6 kg
r = 0,15 m
T = 8,8 s (Periodendauer)
ω0 =
2 ⋅π
= ...
T
Kontrolle:
JHantel = 2 · m · r2 = 2 · 0,6 kg · (0,15 m)2 = 0,027 kg · m2
46
der
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Entscheidend ist immer die Drehachse!
5.15.1 Drehachse außerhalb des Schwerpunktes
Lges = LBahn + LE
(System: Erde-Sonne)
v
v
Lges = m ⋅ R 2 ⋅ ω Bahn + J Körper ⋅ ω Körper
mit R: Radius der Bahn
5.15.2 Experiment: Drehstuhl
Lges = LBahn + LE
Lges = m · R2 · ω + JRad · ω
Lges = (m · R2 + J) · ω
Mit m · R2: Steiner’scher Term
L
R
m
5.15.3 Steiner’scher Satz
Erinnerung: Lges = LE + LBahn = JK · ωE + m · R2 · ωBahn
Experiment: Fall 1
Lges = 0 + LBahn = 0 + m · R2 · ωBahn
LBahn
TBahn
LE
TE
m
Experiment: Falle 2 (starrer Körper)
ωE = ωBahn = ω
Lges = LE + LBahn = JK · ωE + m · R2 · ωBahn = (JK + m · R2) ω
m · R2 = Jges
Steiner: Jges = JKörper + JSteiner
47
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Da abgeschlossenes System:
Lges,Fall1 = Lges,Fall2
JBahn · ωFall1 = Jges · ωFall2
Drehachse
R
SP
5.16 Kreisel-Präzession
v
L
Kräftefreier Kreisel: = const.
dass heißt: Betrag und Richtung des Drehimpulses ändern sich nicht
Änderung von L durch äußeres Moment (Drehimpulssatz!)
v v
Bisher: M L Betragsänderung
v v
Jetzt: M ⊥ L Richtungsänderung
5.16.1 Experiment
1.) Einseitige Aufhängung
Tp
M
R
L
FG
v v v
M = R× F
v v
2.) M ⊥ L Auslenkung
v
v ∆L
v v
M=
⇔ ∆ L = M ⋅∆t
∆t
48
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
v
während ∆ t Änderung der Richtung von L um ∆ φ
v
M (t )
M(t + ) t)
L(t + ) t)
)L
v
L(t )
)n
Tp
∆ϕ
= ωp
∆t
Präzessionskreisfrequenzv
v
∆ L M ⋅∆t
M
M
v
ωp = v =
∆ϕ =
=
v
L
L
L J ⋅ω
5.16.2 Satz vom gleichsinnigen Parallelismus
Ein Kreisel verhält sich unter dem Einfluss einer Störung (Drehmoment,
Zwangsdrehung) so, dass er versucht, die Richtung von L auf kürzestem
Weg gleichsinnig parallel zum Vektor der Störung einzustellen.
5.16.3 Experiment
v
v v
M a = R × FG
L
R
SP
M
FG
T
Tp
Präzessionsbewegung
5.16.4 Anwendung: Fahrrad
1.) Freihändig
SP
v
v
v
v
L
FG
49
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Sobald Kurvenfahrt vorliegt, gilt:
Fges = FG + FZf
v
v
R
v v v
M = R + FG
FG
v2
Zentrifugalkraft: FZf = m ⋅
r
FZf
SP
FG
Fges
2.) Zwangsdrehung mit dem Lenker
Lösung: Satz vom gleichsinnigen Parallelismus
Tp
Tp
v
v
L
L
M
Dabei in die „Kurve legen“
5.17 Hauptträgheitsachsen
Achsen 1, 2 und 3 sind freie Achsen
1
2
3
5.17.1 Experiment
Jmax stabile Rotation
50
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Jmin halbstabile Rotation
Jmittel instabile Rotation
Ergebnis: Alle Körper streben letztlich eine Rotation um eine freie Achse
mit Jmax an.
5.17.2 Zentrifugalmomente
T
m
FZf
L
r
r
FZf
m
FZf = m · r · ω2
v
v
Lv ╫ ω
L ändert sich kontinuierlich
M≠0
Lagerkräfte
v ~ v
L = J ⋅ω
System strebt aufgrund der Zentrifugalkräfte Rotation mit Jmax an.
Energie Ekin = ½ · J · ω2
wenn J maximal ist, dann wird ω minimal
energetisch günstigster Zustand
51
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6. Momentstoß Nutation
v
v
L
Folge: Trennen der Parallelorientierung von
und ω
Experiment:
Kraftstoß
luftgelagert
6.1 Nutationsfrequenz
ωN =
L
Jx
7. Bewegung in rotierenden Bezugssystemen
z.B. auf der Erde
7.1 Zwei Trägheitskräfte
7.1.1 Zentrifugalkraft
v
v
v2
v v2
FZf = m ⋅ r ⋅ ω = m ⋅ v
r
m
v
FZf
7.1.2 Corioliskraft
Existiert nur im rotierenden System! Scheinkraft wie Zentrifugalkraft.
Beispiel: Foucceult’sches Pendel
52
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Zur Erdoberfläche hin betrachtet bleibt die Richtung der Schwingung
erhalten, zur rotierenden Scheibe jedoch nicht.
v
v v
F
Definition: C = 2 ⋅ m ⋅ (v × ω )
mit v: Geschwindigkeit im rotierenden System; ω: Winkelgeschwindigkeit
v
FC
m
v
v
v
ω
Anwendungen:
- Meteorologie: Wirbelstürme (Passatwinde)
- Milchstraße: Bewegung der Sternenhaufen
8. Gravitation
Eigenschaft der Materie: schwere Masse
alle Körper ziehen sich gegenseitig an.
8.1 Newton 1667: Gravitationskraft
v
m v
FG = γ ⋅ m1 ⋅ 22 ⋅ eR
r
v
FG :
Gravitationskraft;
γ:
Gravitationskonstante
mit
(Proportionalitätskonstante); m1: Masse des Körpers 1; m2: Masse des
v
Körpers 2; r: Abstand beider Körper; e R : Einheitsvektor (ändert nicht
v
v
Betrag von FG , aber gibt die Richtung von FG an)
γ = 6,67259 · 10-11 N · m2/kg
53
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
v
v
F1 = − F2
v
F1
m2
v
F2
r
m1
8.1.1 Experimentelle Bestimmung von γ: Cavendish-Waage (1798)
Torsionsdraht D*
m1
m2
m2
m1
mK v
⋅ eR
2
rE
mit mE: Masse der Erde; mK: Masse des Körpers; rE: Radius der Erde
F = γ ⋅ mE ⋅
γ⋅
mE v
m
v
⋅ e R = g = 9,81 2
2
s
rE
v
mit g : Ortsfaktor, Erdbeschleunigung, Gravitationsfeldstärke
bei bekanntem Erdvolumen und mE: ρE = 5,51 · 103 kg/m3
mit ρE: mittlere Dichte der Erde
54
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
8.1.2 Verlauf der Gravitationsfeldstärke
rE
Erde
a
g
2
r
a= g⋅
rE
a= g⋅
rE
r2
rE
r
8.1.3 Anwendung: Kepler’schen Gesetze
1. Kepler’sches Gesetz
Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die
Sonne steht.
2. Kepler’sches Gesetz
Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten die gleichen Flächen
("konstante Flächengeschwindigkeit").
3. Kepler’sches Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die
dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Umlaufbahnen.
U2/a3
mit U: Umlaufzeit; a: große Halbachse
Bestimmung der Planetenmassen
Planet
Sonne
v2
a
55
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9. Mechanik deformierbarer Körper
Kondensierung von Materie:
F
abstoßend
Cl-
Na+
r
anziehend
bei T = 0 K:
Ep
r0
r0
r
bei T >> 0 K:
T
EBind
Bindungstypen:
- Ionenbindung
- homöopolare Bindung
- van-der-Waals-Bindung
Abstand der Atome ist temperaturabhängig
Folge: Die Aggregatzustände
• (Bose-Einstein-Kondensat)
• fest, flüssig-kristallin
• flüssig
• gasförmig
• Plasma
9.1 Festkörper
- Ionenkristalle: NaCl
- homöopolare Kristalle: Silicium, Diamant
- van-der-Waals-Kristalle: Molekülkristalle (Naphtalin)
- Metallkristalle: freie Elektronen
56
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
9.1.1 Verhalten unter Spannung
Definition: Spannung = Kraft/Fläche
F
N
p=
mit [ p ] = 2
A
m
- Normalspannung: σ =
FN
A
FN
A
Druckzug
- Tangentialspannung: τ =
Ft
wobei Ft ║A
A
A
Ft
- allseitiger/hydrostatischer Druck: p =
F
A
F
F
F
F
F
Experiment: Normalspannung
R
m
Hook’sches Gesetz: σ = E · ε
mit σ =
FN
∆l
; E: Elastizitätsmodul; ε =
A
l
57
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Überdehnung bleibende Verformung
elastischer Bereich
Bruch
ca. 1 %
Elastische Eigenschaften werden beschrieben durch 4 elastische
Konstanten. Ermittlung meist experimentell:
l
ymax
2
1
FG
1
l
ymax
2
FG
Biegemoment: M = E ⋅ J A ⋅
l
R
mit E: elastisches Moment; l: Länge; R: Krümmungsradius
Flächenmoment: J A = ∫ y 2 dA
JK =
1
⋅ a ⋅ h3
12
9.2 Hydro- und Aerostatik
Flüssigkeiten seien inkompressibel
9.2.1 Flüssigkeit ohne Schweredruck
- Druckkraft ist orthogonal zu A
- Druck wirkt radial
58
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
FG
p
Anwendung: Krafttransformator
F1
F2
p
A1
A2
p=
F1 F2
=
A1 A2
daraus folgt die Beziehung:
F1 A1
=
F2 A2
Hydraulische Presse:
F1
F2
9.2.2 Flüssigkeit mit Schweredruck
dp =
dF dm ⋅ g n ρ ⋅ dV ⋅ g n ρ ⋅ A ⋅ dh ⋅ g n
=
=
=
A
A
A
A
p = ρ · gn · h
mit ρ: Dichte der Flüssigkeit
dm
} 3 dh
FG
A
59
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Faustregel: Auf 10 Meter Tiefe im Wasser steigt der auf z.B. einen
Taucher wirkende Druck um 1 bar.
A
0
p [bar]
h [m]
9.2.3 Auftrieb
(Archimedes)
FA = A · ∆p mit ∆p = p2 – p1
FA = A · ρ · gn · ∆h
FA = V · gn
FA = mfl · gn
h=0
p
h1
p1
h2
p2
FG
FA > FG: Körper schwimmt
FA = FG: Körper schwebt
FA < FG: Körper sinkt
Auftrieb bei den Tragflächen eines Flugzeugs
Auftriebskraft
v
v
Anwendung bei der Wasserstrahlpumpe
9.2.4 Kommunizierende Gefäße/Röhren
Bezeichnung für oben offene und unten miteinander verbundene Gefäße.
Der Pegelstand ist bei einer nicht strömenden, homogenen Flüssigkeit in
60
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
allen Röhren gleich hoch, unabhängig von der Form der Gefäße, da der
Luftdruck überall konstant ist.
Strömt die Flüssigkeit allerdings, verhält es sich anders:
pdyn
9.2.5 Barometrische Höhenformel
p (h ) = p0 ⋅ e
−
ρ0
p0
⋅ g n ⋅h
h [km]
bei T = const.
11
5,5
0
0,25 0,5
p [bar]
1
9.2.6 Torricelli: Normaldruck
760 Torr bzw. mm Hg entsprechen 1013,25 mbar bzw. hPa
Vakuum
760 Torr
Normaldruck
pLuft
9.3 Hydro- und Aerodynamik
Kontinuitätsgleichung: inkompressibel
61
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V1 = V2
A2
v1
A1
v2
s2
s1
A1 · v1 = A2 · v2
9.3.1 Ideale Strömung
Gesetz von Bernoulli:
p0 = pstat + pdyn
p0 = pstat + ½ · ρ · v2
pdyn
v1
v2
pstat
)p
9.3.2 Reale Strömungen
pstat
pdyn
pdyn
pL
pstat
pdyn
pL
pdyn
pL
pdyn
Magnuseffekt bei realen Strömungen
Luft
v
62
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v’ = v + ω · r
v’’= v - ω · r
FA
pstat
T
v
r
pstat
63
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II. Elektrizität
1. Strom und Ladung
Elektrischer Strom hat drei Merkmale:
• magnetische Wirkung
• thermische Wirkung
• chemische Wirkung
1.1 Magnetische Wirkung
1.1.1 Experimente
- Strom erzeugt
Stromrichtung:
kreisförmiges
Magnetfeld
I
- Magnetfeld um Leiter hat Vektoreigenschaft:
I
Magnetnadel
- Strom durch Pendel im Magnetfeld:
64
orthogonal
um
die
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1.2 Chemische Wirkung
+ Cu
Zn -
Zn2+ Cu2+
ZnSO4
CuSO4
Anode
Kathode
1.3 Elektrischer Strom - Definition und Dimension
Definition (seit 1948): absolut Ampere, Kraftwirkung
N
[ I ] = 1 A = 2 ⋅ 10−7 m
Was ist Strom (Gleichstrom)?
fließende Ladung
Definition: Strom =
Zeit
I=
Q
∆t
oder differentiell:
∫I =
dQ
dt
Ladung
Folgt aus dem Stromgesetz:
Q = ∫ I ⋅ dt mit [Q] = 1C = 1 A ⋅ s
∆t
mit C: Coulomb
Elementarladung (Quant):
e = 1,602 ⋅ 10 −19 ⋅ C
1.4 Messung des Stroms
1.4.1 Drehspuleninstrument
Magnet
N
S
I
65
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1.4.2 Weicheiseninstrument
I
I
1.4.3 Hitzdrahtinstrument
2. Elektrische Spannung
Charakterisiert durch zwei Merkmale:
1.) Ursache für den elektrischen Strom
2.) Körper mit unterschiedlicher Spannung ziehen sich gegenseitig an
2.1 Dimension
J
J
[U ] = 1V = 1 A ⋅ s = 1 C
- Spannungsnormal (klassisch)
Westonnormalelement (Hg-Cd-Zelle)
U = 1,018650 V
heute mittels supraleitender Tunnelkontakte, Genauigkeit 10-10
2.2 Spannungsmessung
Elektrometer (Elektroskop):
++
+ ++ +
+
+ ++
+
im Kontakt mit
einer Ladung
66
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
3. Elektrische Widerstände
3.1 Definition des Widerstandes und der Leitfähigkeit
Der Widerstand eines elektrischen Leiters ist:
Spannung am Leiter
R=
Stromim Leiter
U
R=
mit [ R] = 1Ω
I
Ohm’sches Gesetz
Leitfähigkeit eines Leiters ist:
1
1
Λ=
mit [Λ ] = 1 S = 1
R
Ω
mit S: Siemens
Schaltsymbol eines Ohm’schen Widerstandes:
R
3.1 Leitertypen
Charakterisierung durch I/U-Kennlinien
3.1.1 Metalle, Ohm’sche Leiter
U
R
I
U0
I
U
67
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3.1.2 Halbleiterdiode
U
I
U0
I
U
0,6 V
3.1.3 Supraleiter
U
normal-leitend
supraleitend
T
3.1.4 Lichtbogen
I
U
U0
I
U
68
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4. Gleichstromkreise – kirchhoff’sche Regeln
4.1 Knotenregel
I4
I5
I3
I1
I2
∑ Ik = 0
k
4.2 Maschenregel
R1
R2
U1
U2
I
U0
∑U i = ∑ I k ⋅ Rk
i
k
5. Das elektrische Feld
5.1 …
Kondensatorplatten:
E
+
U = 225 V
-
l
E=
U
= const .
l
69
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Kondensatorfläche verdoppeln:
Fläche A1
Fläche A2
+
U = 400 V
-
E=
+
U = 400 V
-
Q1 Q2
=
A1 A2
5.1.x Zusammenfassung
Definition der Feldgrößen
Elektrische Feldstärke:
r U r
U
V
E=
E = ⋅ le [ E ] = 1
l
m
rl
mit le : Einheitsvektor
Ausgehend von der Flächenladungsdichte:
Q
σ=
A
Verschiebungsdichte:
r Q r
Q
C
D=
D = ⋅ le [ D] = 1 2
A
A
m
Zusammenhang:
D~E
D = ε0 ⋅ E
mit ε0: Dielektrizitätskonstante (mit ε0 = 8,854 · 10-12 A · s/(V · m))
Berechnung von ε0
gemessen:
U = 225 V
l = 0,01 m
A = 0,1 m2
Q = 2,05 · 10-8 C
E=
V
U
= 2,25 ⋅ 104
l
m
70
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Q 2,05 ⋅ 10 −8 C
−7 C
2
,
05
10
D= =
=
⋅
A
0,1m2
m2
C
2,05 ⋅ 10− 7 2
D
m = 9,11 ⋅ 10 −12 A ⋅ s
ε0 = =
V
A
V ⋅m
2,25 ⋅ 104
m
5.2 Influenz
Beeinflussung der Ladungsverteilung:
E
+
+
+
+
+
-
E
+
- +
- +
- +
+
+
-
-E
-
+
-
+
-
+
E
-
+
+
+
-
+
+
+
5.3 Das inhomogene elektrische Feld
Feld ausmessen!
generell:
2
U = ∫ E ⋅ ds
1
+
+
+
+
2
1
-
U
5.4 Das elektrostatische Potential
Potential φ (entspricht der potentiellen Energie in der Mechanik).
71
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Äquipotentialflächen
E
n1
n0
100 V
)n
50 V
0V
R
C
5.4.1 Definition
P1
r r
U = ϕ1 − ϕ 0 = − ∫ E ⋅ ds
[U ] = 1V
P0
5.4.2 Analogie zur Mechanik
Gebäude
Kondensator
h2
n1
ϕ1 = g ⋅ h1
U = ϕ1 − ϕ 0
W = e ⋅U
h
∆W = m ⋅ g ⋅ (h1 − h0 )
h1
n0
ϕ 0 = g ⋅ h0
5.4.3 Potential einer geladenen Kugel (Coulombpotential)
Ladung Q = 8,4 ⋅ 10 −8 C
+
+
+
+
r
+
+
+
+
Fächenladungsdichte σ =
Q
= D(r )
4 ⋅π ⋅ r2
Elektrische Feldstärke:
1
1
Q r
E (r ) =
⋅ D(r ) =
⋅ 2 ⋅r
ε0
4 ⋅ π ⋅ ε0 r
72
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r
1
FC ~ 2
r
mit FC: Coulombkraft
5.5 Kondensator
Kondensator ist ein Ladungsspeicher
E
+
+ ++ U
+ Q +
+
+ +
-
Aufnahmefähigkeit der Kugel für Ladungen ist begrenzt.
Kapazität:
Q
C
C=
C] = 1 F = 1
[
U
V
mit F: Farad
Schaltsymbol:
5.5.1 Laden/Entladen eines Kondensators
C
R
U
1: Aufladen
2: Entladen
2
1
+ -
Ladestrom:
−
t
R⋅C
I = I0 ⋅ e
mit R · C: Zeitkonstante (= τ); C: Kapazität; R: Widerstand
73
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I
Schalter 1
t
Schalter 2
5.5.2 Kondensatorschaltungen
Serienschaltung
+
Q
U1
- +
C1
U2
-
C2
+ U0
U 0 = U1 + U 2
Q Q Q
=
+
C C1 C2
1 1
1
=
+
C C1 C2
Parallelschaltung
Q1 +
Q
Q2 +
C1
C2
U
-
+ U0
Q = Q1 + Q2
C ⋅ U 0 = C1 ⋅ U 0 + C2 ⋅ U 0
C = C1 + C2
74
t
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5.5.3 Kugelkondensator
1
Q
4 ⋅ π ⋅ ε 0 r2 2
1
Q
ϕ=
⋅
4 ⋅ π ⋅ ε0 r
E=
⋅
U = ∆ ϕ = ϕ (r1 ) − ϕ (r2 ) =
 1 1
Q
⋅ − 
4 ⋅ π ⋅ ε 0  r1 r2 
r ⋅r
Q
= 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ 1 2
U
r2 − r1
Hinweis:
- wenn r2 → ∞:
C = 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r1
- innere Kugel ist im Inneren feldfrei
C=
-
++
++
-
-
r1
-
-
r2
-
U
5.5.4 Plattenkondensator
U Q D
= =
l ε0 ε0
A
Q
C = = ε0 ⋅
U
l
E=
+
Fläche A
l
5.5.5 Zylinderkondensator
C=
Q
= 2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅
U
l
r 
ln 2 
 r1 
75
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r1
-
++
++
-
-
r2
-
-
-
l
5.6 Kräfte und Drehmomente im elektrischen Feld
+ + +
+ + +
+ +++ +
+
- - - - F
Kraft auf Ladung:
U
F ~Q
E0 =
l
r
r
F = Q ⋅ E0
r
r
r
F
N
V
E0 =
E0 = 1 = 1
Q
C
m
[ ]
5.6.1 Kräfte zwischen Ladungen
Coulomb-Kraft:
Q ⋅Q r
1
F=
⋅ 1 2 2 ⋅r
4 ⋅ π ⋅ ε0
r
5.6.2 Dipol im homogenen elektrischen Feld
F = F+ + F− = Q ⋅ E 0 + ( − Q) ⋅ E0 = 0 keine resultierende Kraft
E
F
+ +
+
-
-
F-
Dipolmoment:
l
l
l
M = F ⋅ ⋅ sin α + F ⋅ ⋅ sin α = 2 ⋅ Q ⋅ E 0 ⋅ sin α
2
2
2
76
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r
r
p = Q⋅l
r
r
M = p ⋅ E 0 ⋅ sin α
r r r
M = p × E0
5.6.3 Dipol im inhomogenen elektrischen Feld
E
+
F-
F
-
+
F+
-
Dipol wird in die Feldquelle gezogen
5.7 Materie im elektrischen Feld
Pertinaxplatte in den Kondensator:
U
+++
+ + + Platte
- - - - - -
Ergebnis: Spannung sinkt
U
Um = 0
ε
Auswertung:
U
U
E
Em = m = 0 = 0
l
ε ⋅l ε
E
Em = 0
ε
elektrisches Feld
Qm = Q0
Ladung
σm = σ0
Flächenladungsdichte
Dm = D0
Verschiebungsdichte
Q
Q
Cm = m = ε ⋅ 0 = ε ⋅ C0
Kapazität mit Dielektrikum
Um
U0
Dm = ε ⋅ ε 0 ⋅ E m
Folge: Bei konstanter Spannung mehr Ladung.
77
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
5.7.1 Anschauliche Deutung
E0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
+
+
Polarisationsfeld
p=σp =
Em
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
-
+
+
Depolarisations
-feld
r
r
p
E dep = −
Dipolmoment
Volumen
ε0
5.7.2 Kraft auf Dielektrikum senkrecht zum elektrischen Feld
F
Alkohol
F
5.8 Magnetische Felder
Kleinster Magnet? Rotierende Ladung magnetischer Dipol (keine
Monopole)
Ursache für Magentismus: bewegte elektrische Ladungen
5.8.1 Makroskopisch
78
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Fast vollständig im
Innenraum der Spule
Anwendung: z.B. Magnetspule
N
S
I
Feldstärke H im Vakuum:
n
A
H=I⋅
H] = 1
[
l
m
mit H: Magnetfeldstärke; I: Strom; n: Zahl der Windungen; l: Länge der
Spule
homogenes Magnetfeld in langer Spule
5.8.2 Magnetfeld beeinflusst Ladungsbewegung: Induktion
i Ai
U
Induktion: Magnetfeldänderung bewirkt im Draht/Spule Spannungsstoß.
∫ U ind ⋅ dt = µ0 ⋅ n ⋅ A ⋅ ∆H
79
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Drei mögliche Feldänderungen
1.) Durch Änderung des Spulenstroms
H
H
t
t
2U
1
2 ⋅ U ⋅ ⋅ ∆t
2
U
U ⋅ ∆t
)t
t
1
/2)t
t
2.) Richtungsänderung der Induktionsspule
3.) Änderung der Querschnittsfläche der Induktionsspule
Einfache Induktionsspule
Fläche
U
∫ U ind ⋅ dt =µ0 ⋅ A ⋅ ∆H
d
U ind = ( µ0 ⋅ A ⋅ ∆ H )
4244
3
dt 14
φ
mit ф: Magnetischer Fluss ( [φ ] = 1Wb = 1
Induktionsgesetz:
U ind = φ&
Tesla
)
m2
Rogowski-Spule: Messung des Stromes, das ein Magnetfeld erzeugt.
80
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
5.8.3 Zusammenfassung
Ein sich änderndes elektrisches Feld (Strom) erzeugt ein senkrechtes
Magnetfeld:
E
Ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt senkrecht dazu ein ringförmiges
elektrisches Feld:
E
H&
Ergebnis: Erste Maxwell’sche Gleichung
- Durchflutungsgesetz
r r
r r d
r r
H
⋅
ds
=
J
⋅
dA
+
⋅
D
⋅ dA
∫
∫
dt ∫
mit J: Stromdichte; A: Fläche; D: Quellenfeld; s: Weg
Zweite Maxwell’sche Gleichung
- Induktionsgesetz
r r
r
r
d r r
E
⋅
ds
==
−
B
⋅
dA
B
=
µ
⋅
µ
⋅
H
0
∫
dt ∫
5.8.4 Anwendungen
Selbstinduktion
U0
Ui
L
R
I
U0
U i = µ0 ⋅ n ⋅ A ⋅ H&
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I ⋅n
mit H& =
l
n2 ⋅ A &
U i = µ0 ⋅
⋅I
l3
1424
L
Induktivität L:
n2 ⋅ A
L = µ0 ⋅
l
mit H: Henry
U i = L ⋅ I&
Vs
[ L] = 1 A = 1 H
Lämpchen heller beim Einschalten
I
L
+
t
Wirbelströme in leitendem Material
1.) Waltenhof’scher Hammer
r
B
B&
B& erzeugt E
E erzeugt I (Wirbelstrom)
I erzeugt -B
2.) Metallscheiben
- Vollscheibe
- geschlitzte Scheiben
3.) „Säge“
5.9 Kräfte auf Ladung
Lorentzkraft:
r
r r
FL = Q ⋅ v × B
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r
r H
B=
µ0
5.9.1 Einzelladung
v
v
+
-
„Rechte-Hand-Regel“
F = Q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin α
"
Festlegung:
F
B=
Q ⋅ v ⋅ sin α
N
N
[ B] = 1 C ⋅ m s = 1 A ⋅ m = 1Tesla
5.9.2 Strom (viele bewegte Ladungen im Draht)
r
r r
Fr = − e r⋅ n ⋅ lr⋅ A ⋅ v × B
F = I ⋅l × B
F
+ + + + + + + + + +
I
Zwei Drähte:
+
I
-
r
Schleife senkrecht zu B
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5.10 Magnetischer Dipol und Halleffekt
F
I
N
S
F
Magnetischer Dipol im homogenen Feld:
S
N
S
N
r Dipolmoment:
r r
M dip = m × B
r
mit m : magnetischer Dipol
Magnetischer Dipol im inhomogenen Feld:
S
N
N
F
5.10.1 Halleffekt
U+
r
B
d
U-
I
I⋅B
d
mit AH: Hallkonstante (materialabhängig)
AH klein für Metalle und groß für Halbleiter
U ind = AH ⋅
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5.10.2 Lenz’sche Regel
Der induzierte Strom ist so gerichtet, dass er seiner Entstehungsursache
entgegenwirkt.
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