Quantenmechanik II

Quantenmechanik II
Präsenzübung
Wintersemester 17/18
Keine Abgabe
Andrey Surzhykov
Robert Müller
Aufgabe 1 (Kommutatoren) Zeigen Sie folgende Eigenschaften des Kommutators:
(a) [λ + µB̂, Ĉ] = λ[Â, Ĉ] + µ[B̂, Ĉ]
(Linearität)
(b) [Â, [B̂, Ĉ]] + [Ĉ, [Â, B̂]] + [B̂, [Ĉ, Â]] = 0
(Jacobi-Identität)
(c) [Â, B̂ Ĉ] = B̂[Â, Ĉ] + [Â, B̂]Ĉ
(Produktregel)
Aufgabe 2 (Matrixdarstellung von Operatoren)
(a) Bei den folgenden Matrizen handelt es sich um Operatoren in Matrixdarstellung.
Kann es sich bei diesen um physikalische Observablen handeln? Wenn ja, um welche?
(Hinweis: Betrachten Sie die Kommutatorrelationen und Eigenwerte)
√
√




 3

3
3
0
0
−
0
0
i
0
0
−2 0 0 0
2
2
√
√
 3
 3


 0 − 1 0 0
0 1 √0 
0
−i
0 

2i
2


√
A1 =  2
,
A
=
,
A
=

2
3
3
3 
 0
0 12 0 
 0 1 √0



0
i
0
−
i
2
2
√
3
3
0
0 0 32
0 0
0
0
0
i
0
2
2
(b) Bestimmen Sie eine möglichst einfache Matrixdarstellung des Hamiltonoperators:
1
†
,
Ĥ = }ω â â +
2
wobei ↠und â Leiteroperatoren sind mit der üblichen Wirkung
√
↠|ni = n + 1 |n + 1i ,
√
â |ni = n |n − 1i ,
auf Eigenzustände |ni von Ĥ. Welches System beschreibt Ĥ?
Aufgabe 3 [Elementares zum (Dirac-) Formalismus der QM]
Sei X̂ ein linearer Operator auf einem Hilbertraum H und {ha|} eine Orthonormalbasis
von H, so ist die Spur von X̂ definiert durch:
X
trX̂ =
ha|X̂|ai
a
Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften:
1
(a) trX̂ ist unabhängig von der Wahl der Basis.
(b) trX̂ † = (trX̂)∗
(c) tr(λX̂) = λtrX̂, mit λ ∈ C
(d) tr(X̂ + Ŷ ) = tr(Ŷ + X̂)
(e) tr(X̂ Ŷ ) = tr(Ŷ X̂)
(f) tr(|ai ha0 |) = δaa0
Aufgabe 4 (Hellmann-Feynman Theorem)
Betrachten Sie den Hamiltonoperator Ĥ(λ) mit der zugehörigen Eigenwertschar E(λ)
und normierten Eigenvektoren |ψ(λ)i. Zeigen Sie nun, dass gilt:
∂E(λ)
∂ Ĥ
= hψ(λ)|
|ψ(λ)i
∂λ
∂λ
2