Zerlegung von R

Zerlegung von R
Satz: Es existiert eine disjunkte Zerlegung R = A ∪ B, so dass A von 1. Kategorie und B
eine Lebesgue-Nullmenge ist.
Beweis: Sei (an ) irgendeine Nummerierung der rationalen Zahlen (oder eine andere abzählbare
1
.
in R dichte Menge). Sei Iij ein offenes Intervall um ai von der Länge |Iij | = 2i+j
Setze
∞
∞
[
\
Gj :=
Iij , B :=
Gj .
i=1
j=1
Für beliebiges ε > 0 existiert ein j mit (1/2j ) < ε.
∞
S
P
Da für dieses j insbesondere B ⊂
Iij (diese Inklusion gilt für alle j) und
|Iij | =
i=1
i
P 1
= 21j < ε, ist B eine Menge vom Lebesgue-Maß Null.
2i+j
i
Andererseits ist jedes Gj eine offene und dichte Menge in R, ihr Komplement Gcj ist also
nirgends dicht und mithin ist
[
A := B c =
Gcj
j
eine Menge 1. Kategorie.
Man könnte im ersten Moment denken, dass B = Q. Das ist aber falsch, denn dann wäre
A = B c (= Menge der irrationalen Zahlen) eine Menge 2. Kategorie!